Graf fungsi y sin x. Graf fungsi

>>Matematik: Fungsi y = sin x, y = cos x, sifat dan grafnya

Fungsi y = sin x, y = cos x, sifat dan grafnya

Dalam bahagian ini kita akan membincangkan beberapa sifat bagi fungsi y = sin x, y = cos x dan membina grafnya.

1. Fungsi y = sin X.

Di atas, dalam § 20, kami merumuskan peraturan yang membenarkan setiap nombor t dikaitkan dengan nombor kos t, i.e. mencirikan fungsi y = sin t. Mari kita perhatikan beberapa sifatnya.

Sifat bagi fungsi u = sin t.

Domain definisi ialah set K nombor nyata.
Ini berikutan fakta bahawa mana-mana nombor 2 sepadan dengan titik M(1) pada bulatan nombor, yang mempunyai koordinat yang jelas; ordinat ini ialah cos t.

u = sin t ialah fungsi ganjil.

Ini berikutan daripada fakta bahawa, seperti yang dibuktikan dalam § 19, untuk sebarang kesamarataan
Ini bermakna graf bagi fungsi u = sin t, seperti graf mana-mana fungsi ganjil, adalah simetri berkenaan dengan asalan dalam sistem koordinat segi empat tepat tOi.

Fungsi u = sin t bertambah pada selang
Ini berikutan fakta bahawa apabila titik bergerak di sepanjang suku pertama bulatan nombor, ordinat secara beransur-ansur meningkat (dari 0 hingga 1 - lihat Rajah 115), dan apabila titik itu bergerak di sepanjang suku kedua bulatan nombor, ordinat secara beransur-ansur berkurangan (dari 1 hingga 0 - lihat Rajah 116).

Fungsi u = sint dibatasi di bawah dan di atas. Ini berikutan daripada fakta bahawa, seperti yang kita lihat dalam § 19, untuk sebarang ketidaksamaan yang berlaku

(fungsi mencapai nilai ini pada mana-mana titik borang (fungsi mencapai nilai ini pada mana-mana titik borang
Menggunakan sifat yang diperolehi, kami akan membina graf bagi fungsi yang menarik kepada kami. Tetapi (perhatian!) daripada u - sin t kita akan tulis y = sin x (lagipun, kita lebih terbiasa menulis y = f(x), dan bukan u = f(t)). Ini bermakna kita akan membina graf dalam sistem koordinat xOy biasa (dan bukan toOy).

Mari buat jadual nilai fungsi y - sin x:

Komen.

Mari kita berikan salah satu versi asal usul istilah "sinus". Dalam bahasa Latin, sinus bermaksud bengkok (tali busur).

Graf yang dibina sedikit sebanyak membenarkan istilah ini.

Garis yang berfungsi sebagai graf bagi fungsi y = sin x dipanggil gelombang sinus. Bahagian sinusoid yang ditunjukkan dalam Rajah. 118 atau 119 dipanggil gelombang sinus, dan bahagian gelombang sinus yang ditunjukkan dalam Rajah. 117, dipanggil separuh gelombang atau arka gelombang sinus.

2. Fungsi y = cos x.

Kajian fungsi y = cos x boleh dijalankan lebih kurang mengikut skema yang sama yang digunakan di atas untuk fungsi y = sin x. Tetapi kami akan memilih jalan yang membawa kepada matlamat dengan lebih cepat. Pertama, kami akan membuktikan dua formula yang penting dalam diri mereka (anda akan melihat ini di sekolah menengah), tetapi buat masa ini hanya mempunyai kepentingan tambahan untuk tujuan kami.

Untuk sebarang nilai t persamaan berikut adalah sah:

Bukti. Biarkan nombor t sepadan dengan titik M bulatan berangka n, dan nombor * + - titik P (Rajah 124; demi kesederhanaan, kami mengambil titik M pada suku pertama). Lengkok AM dan BP adalah sama, dan segi tiga tepat OKM dan OLBP adalah sama. Ini bermakna O K = Ob, MK = Pb. Daripada kesamaan ini dan dari lokasi segi tiga OCM dan OBP dalam sistem koordinat, kami membuat dua kesimpulan:

1) ordinat titik P kedua-duanya dalam magnitud dan tanda bertepatan dengan absis titik M; ia bermakna bahawa

2) absis titik P adalah sama dalam nilai mutlak dengan ordinat titik M, tetapi berbeza dalam tanda daripadanya; ia bermakna bahawa

Kira-kira penaakulan yang sama dijalankan dalam kes di mana titik M tidak tergolong dalam suku pertama.
Jom guna formula (ini adalah formula yang dibuktikan di atas, tetapi bukannya pembolehubah t kita menggunakan pembolehubah x). Apakah formula ini memberi kita? Ia membolehkan kita menegaskan bahawa fungsi

adalah sama, yang bermaksud graf mereka bertepatan.
Mari kita plot fungsi Untuk melakukan ini, mari kita beralih kepada sistem koordinat tambahan dengan asalan pada satu titik (garis putus-putus dilukis dalam Rajah 125). Mari kita ikat fungsi y = sin x ke sistem koordinat baharu - ini akan menjadi graf fungsi (Gamb. 125), i.e. graf bagi fungsi y - cos x. Ia, seperti graf fungsi y = sin x, dipanggil gelombang sinus (yang agak semula jadi).

Sifat bagi fungsi y = cos x.

y = cos x ialah fungsi genap.

Peringkat pembinaan ditunjukkan dalam Rajah. 126:

1) membina graf fungsi y = cos x (lebih tepat, satu setengah gelombang);
2) dengan meregangkan graf yang dibina dari paksi-x dengan faktor 0.5, kami memperoleh satu setengah gelombang graf yang diperlukan;
3) menggunakan separuh gelombang yang terhasil, kami membina keseluruhan graf fungsi y = 0.5 cos x.

Fungsiy = dosax

Graf fungsi ialah sinusoid.

Bahagian lengkap gelombang sinus yang tidak berulang dipanggil gelombang sinus.

Separuh gelombang sinus dipanggil separuh gelombang sinus (atau arka).

Sifat fungsiy = dosax:

Untuk membuat graf fungsi y= dosa x Ia adalah mudah untuk menggunakan skala berikut:

Pada helaian kertas dengan segi empat sama, kami mengambil panjang dua segi empat sama sebagai unit segmen.

Pada paksi x Mari kita ukur panjang π. Pada masa yang sama, untuk kemudahan, kami membentangkan 3.14 dalam bentuk 3 - iaitu, tanpa pecahan. Kemudian pada helaian kertas dalam sel π akan menjadi 6 sel (tiga kali 2 sel). Dan setiap sel akan menerima nama semula jadinya sendiri (daripada yang pertama hingga keenam): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Inilah maknanya x.

Pada paksi-y kita menandakan 1, yang merangkumi dua sel.

Mari kita buat jadual nilai fungsi menggunakan nilai kita x:

Seterusnya kita akan membuat jadual. Hasilnya ialah separuh gelombang, titik tertingginya ialah (π/2; 1). Ini ialah graf bagi fungsi tersebut y= dosa x pada segmen. Mari tambahkan separuh gelombang simetri pada graf yang dibina (berbanding simetri kepada asal, iaitu, pada segmen -π). Puncak separuh gelombang ini berada di bawah paksi-x dengan koordinat (-1; -1). Hasilnya akan menjadi gelombang. Ini ialah graf bagi fungsi tersebut y= dosa x pada segmen [-π; π].

Anda boleh meneruskan gelombang dengan membinanya pada segmen [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], dsb. Pada semua segmen ini, graf fungsi akan kelihatan sama seperti pada segmen [-π; π]. Anda akan mendapat garisan beralun berterusan dengan gelombang yang sama.

Fungsiy = cosx.

Graf fungsi ialah gelombang sinus (kadangkala dipanggil gelombang kosinus).

Sifat fungsiy = cosx:

Fungsiy = mf(x).

Mari kita ambil fungsi sebelumnya y=kos x. Seperti yang anda sedia maklum, grafnya ialah gelombang sinus. Jika kita mendarab kosinus fungsi ini dengan nombor tertentu m, maka gelombang akan mengembang dari paksi x(atau akan mengecut, bergantung pada nilai m).
Gelombang baharu ini akan menjadi graf bagi fungsi y = mf(x), dengan m ialah sebarang nombor nyata.

Oleh itu, fungsi y = mf(x) ialah fungsi biasa y = f(x) didarab dengan m.

Jikam< 1, то синусоида сжимается к оси x oleh pekalim. Jikam > 1, maka sinusoid diregangkan dari paksix oleh pekalim.

Apabila melakukan regangan atau mampatan, anda boleh memplot hanya satu separuh gelombang gelombang sinus, dan kemudian melengkapkan keseluruhan graf.

Fungsiy = f(kx).

Jika fungsi y =mf(x) membawa kepada regangan sinusoid dari paksi x atau mampatan ke arah paksi x, maka fungsi y = f(kx) membawa kepada regangan dari paksi y atau mampatan ke arah paksi y.

Selain itu, k ialah sebarang nombor nyata.

Pada 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y oleh pekalik. Jikak > 1, maka sinusoid dimampatkan ke arah paksiy oleh pekalik.

Apabila membuat grafik fungsi ini, anda boleh membina satu setengah gelombang gelombang sinus, dan kemudian menggunakannya untuk melengkapkan keseluruhan graf.

Fungsiy = tgx.

Graf fungsi y= tg x ialah tangen.

Ia cukup untuk membina sebahagian daripada graf dalam selang dari 0 hingga π/2, dan kemudian anda boleh meneruskannya secara simetri dalam selang dari 0 hingga 3π/2.

Sifat fungsiy = tgx:

Fungsiy = ctgx

Graf fungsi y=ctg x juga merupakan tangentoid (ia kadang-kadang dipanggil cotangentoid).

Sifat fungsiy = ctgx:

Belakang ke hadapan

Perhatian! Pratonton slaid adalah untuk tujuan maklumat sahaja dan mungkin tidak mewakili semua ciri pembentangan. Jika anda berminat dengan kerja ini, sila muat turun versi penuh.

Besi berkarat tanpa ada gunanya,
air yang berdiri reput atau membeku dalam kesejukan,
dan fikiran seseorang, tidak mencari apa-apa kegunaan untuk dirinya sendiri, merana.
Leonardo da Vinci

Teknologi yang digunakan: pembelajaran berasaskan masalah, pemikiran kritis, komunikasi komunikatif.

Matlamat:

• Perkembangan minat kognitif dalam pembelajaran.
• Mengkaji sifat-sifat fungsi y = sin x.
• Pembentukan kemahiran amali membina graf fungsi y = sin x berdasarkan bahan teori yang dipelajari.

Tugasan:

1. Gunakan potensi pengetahuan sedia ada tentang sifat-sifat fungsi y = sin x dalam situasi tertentu.

2. Gunakan penubuhan sedar hubungan antara model analitikal dan geometri bagi fungsi y = sin x.

Membangunkan inisiatif, kesediaan dan minat tertentu dalam mencari penyelesaian; keupayaan untuk membuat keputusan, tidak berhenti di situ, dan mempertahankan pandangan anda.

Untuk memupuk aktiviti kognitif pelajar, rasa tanggungjawab, hormat-menghormati antara satu sama lain, persefahaman bersama, sokongan bersama, dan keyakinan diri; budaya komunikasi.

Semasa kelas

Peringkat 1. Mengemas kini pengetahuan asas, memotivasikan pembelajaran bahan baharu

"Masuk pelajaran."

Terdapat 3 kenyataan yang ditulis di papan tulis:

1. Persamaan trigonometri sin t = a sentiasa mempunyai penyelesaian.
2. Graf bagi fungsi ganjil boleh dibina menggunakan penjelmaan simetri tentang paksi Oy.
3. Fungsi trigonometri boleh digraf menggunakan satu gelombang separuh utama.

Pelajar berbincang secara berpasangan: adakah penyataan itu benar? (1 minit). Hasil perbincangan awal (ya, tidak) kemudiannya dimasukkan ke dalam jadual dalam lajur "Sebelum".

Guru menetapkan matlamat dan objektif pelajaran.

2. Mengemas kini pengetahuan (hadapan pada model bulatan trigonometri).

Kita telah pun berkenalan dengan fungsi s = sin t.

1) Apakah nilai yang boleh diambil oleh pembolehubah t. Apakah skop fungsi ini?

2) Dalam selang apakah nilai ungkapan sin t terkandung? Cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi s = sin t.

3) Selesaikan persamaan sin t = 0.

4) Apakah yang berlaku kepada ordinat titik apabila ia bergerak sepanjang suku pertama? (ordinat meningkat). Apakah yang berlaku kepada ordinat titik apabila ia bergerak sepanjang suku kedua? (ordinat secara beransur-ansur berkurangan). Bagaimanakah ini berkaitan dengan kebosanan fungsi? (fungsi s = sin t bertambah pada segmen dan berkurang pada segmen ).

5) Mari tulis fungsi s = sin t dalam bentuk y = sin x yang biasa kepada kita (kita akan membinanya dalam sistem koordinat xOy biasa) dan menyusun jadual nilai-nilai fungsi ini.

Peringkat 2. Persepsi, kefahaman, penyatuan utama, hafalan secara tidak sengaja

Peringkat 4. Sistematisasi utama pengetahuan dan kaedah aktiviti, pemindahan dan aplikasinya dalam situasi baru

6. No. 10.18 (b,c)

Peringkat 5. Kawalan akhir, pembetulan, penilaian dan penilaian kendiri

7. Kami kembali kepada penyataan (permulaan pelajaran), berbincang menggunakan sifat-sifat fungsi trigonometri y = sin x, dan isikan lajur "Selepas" dalam jadual.

8. D/z: fasal 10, No. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

Untuk menggunakan pratonton pembentangan, buat akaun Google dan log masuk kepadanya: https://accounts.google.com

Kapsyen slaid:

Fungsi y = sin x dan y = cos x dan grafnya (persembahan yang disertakan untuk pelajaran) KORPUSOVA TATYANA SERGEEVNA guru matematik MBOU LSOSH No. 2 dinamakan sempena. Wilayah N.F.Struchenkova Bryansk.

DEFINISI Fungsi berangka yang ditakrifkan oleh formula y = sin x dan y = cos x dipanggil sinus dan kosinus, masing-masing. 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Fungsi y=sin x, graf dan sifat. 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Gelombang sinus 1 - π/2 π 2 π 3 π x -3 π/2 - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

y = sin(x+a) CONTOH y 1 -1 π 2 π - π 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

y = sin x + a 1) y = sin x + 1; y 1 x - π 0 π 2 π x -1 x 2) y = sin x - 1 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Memplot graf y=sin(x+m)+l y 1 - π 0 π 2 π 3 π x -1 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Fungsi y = cos x, sifat dan grafnya. 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

y = cos x y 1 - π/2 π 2 π 3 π x - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 Graf fungsi y= cos x diperoleh dengan menganjakkan sinusoid ke kiri dengan π/2 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Memplot graf y = cos (x+m)+l 1)y =- cos x; y 2 y x 0 x -1 2)y= cos (x- π/4)+2 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Memplot graf y=k · sin x y 2.5 1 x -1 -2.5 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Mencari tempoh fungsi trigonometri Jika y=f(x) adalah berkala dan mempunyai tempoh positif terkecil T₁, maka fungsi y=A· f(kx+b), di mana A, k dan b adalah malar, dan k ≠ 0 , juga berkala dengan tempoh Contoh : 11/10/2013 KORPUSOVA T.S. 1) y=sin 6 x +2, Т₁=2 π T₁=2 π

Memplot graf fungsi berkala 11/10/2013 KORPUSOVA T.S. y x 1 1 y x 1 1 1)T= 4 2)T= 4 Diberi fungsi y= f(x) . Bina grafnya jika tempoh itu diketahui. y x 1 1 3)T= 3

Lukis graf fungsi: y=2cos(2x- π/3)-0.5 dan cari domain takrifan dan julat nilai fungsi 11/10/2013 KORPUSOVA T.S. y x 1 -1 π - π 2 π -2 π T= π

Pelajaran dan pembentangan tentang topik: "Fungsi y=sin(x). Definisi dan sifat"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Manual dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 10 dari 1C
Kami menyelesaikan masalah dalam geometri. Tugas pembinaan interaktif untuk gred 7-10
Persekitaran perisian "1C: Pembina Matematik 6.1"

Apa yang akan kita kaji:

• Sifat-sifat fungsi Y=sin(X).
• Graf fungsi.
• Bagaimana untuk membina graf dan skalanya.
• Contoh.

Sifat sinus. Y=sin(X)

Kawan-kawan, kita telah pun berkenalan dengan fungsi trigonometri hujah berangka. Adakah anda ingat mereka?

Mari kita lihat lebih dekat pada fungsi Y=sin(X)

Mari kita tulis beberapa sifat fungsi ini:
1) Domain definisi ialah set nombor nyata.
2) Fungsinya ganjil. Mari kita ingat definisi fungsi ganjil. Sesuatu fungsi dipanggil ganjil jika kesamaan memegang: y(-x)=-y(x). Seperti yang kita ingat dari formula hantu: sin(-x)=-sin(x). Takrifan dipenuhi, yang bermaksud Y=sin(X) ialah fungsi ganjil.
3) Fungsi Y=sin(X) bertambah pada ruas dan berkurangan pada ruas [π/2; π]. Apabila kita bergerak sepanjang suku pertama (lawan arah jam), ordinat meningkat, dan apabila kita bergerak melalui suku kedua ia berkurangan.

4) Fungsi Y=sin(X) adalah terhad dari bawah dan dari atas. Harta ini berikutan daripada fakta bahawa
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Nilai terkecil bagi fungsi ialah -1 (pada x = - π/2+ πk). Nilai terbesar bagi fungsi ialah 1 (pada x = π/2+ πk).

Mari kita gunakan sifat 1-5 untuk memplot fungsi Y=sin(X). Kami akan membina graf kami secara berurutan, menggunakan sifat kami. Mari mula membina graf pada segmen.

Perhatian khusus harus diberikan kepada skala. Pada paksi ordinat adalah lebih mudah untuk mengambil segmen unit yang sama dengan 2 sel, dan pada paksi abscissa adalah lebih mudah untuk mengambil segmen unit (dua sel) sama dengan π/3 (lihat rajah).

Memplotkan fungsi sinus x, y=sin(x)

Mari kita hitung nilai fungsi pada segmen kami:

Mari bina graf menggunakan mata kita, dengan mengambil kira sifat ketiga.

Jadual penukaran untuk formula hantu

Mari kita gunakan sifat kedua, yang mengatakan bahawa fungsi kita adalah ganjil, yang bermaksud bahawa ia boleh dicerminkan secara simetri berkenaan dengan asal:

Kita tahu bahawa sin(x+ 2π) = sin(x). Ini bermakna bahawa pada selang [- π; π] graf kelihatan sama seperti pada segmen [π; 3π] atau atau [-3π; - π] dan seterusnya. Apa yang perlu kita lakukan ialah melukis semula dengan teliti graf dalam rajah sebelumnya di sepanjang keseluruhan paksi-x.

Graf fungsi Y=sin(X) dipanggil sinusoid.

Mari kita tulis beberapa sifat lagi mengikut graf yang dibina:
6) Fungsi Y=sin(X) bertambah pada mana-mana bahagian dalam bentuk: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k ialah integer dan berkurangan pada mana-mana segmen bentuk: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – integer.
7) Fungsi Y=sin(X) ialah fungsi berterusan. Mari kita lihat graf fungsi dan pastikan fungsi kita tidak mempunyai rehat, ini bermakna kesinambungan.
8) Julat nilai: segmen [- 1; 1]. Ini juga boleh dilihat dengan jelas daripada graf fungsi.
9) Fungsi Y=sin(X) - fungsi berkala. Mari lihat graf sekali lagi dan lihat bahawa fungsi mengambil nilai yang sama pada selang waktu tertentu.

Contoh masalah sinus

1. Selesaikan persamaan sin(x)= x-π

Penyelesaian: Mari bina 2 graf fungsi: y=sin(x) dan y=x-π (lihat rajah).
Graf kami bersilang pada satu titik A(π;0), ini jawapannya: x = π

2. Graf fungsi y=sin(π/6+x)-1

Penyelesaian: Graf yang dikehendaki akan diperolehi dengan menggerakkan graf fungsi y=sin(x) π/6 unit ke kiri dan 1 unit ke bawah.

Penyelesaian: Mari kita plot fungsi dan pertimbangkan segmen kita [π/2; 5π/4].
Graf fungsi menunjukkan bahawa nilai terbesar dan terkecil dicapai pada hujung segmen, masing-masing pada titik π/2 dan 5π/4.
Jawapan: sin(π/2) = 1 – nilai terbesar, sin(5π/4) = nilai terkecil.

Masalah sinus untuk penyelesaian bebas

• Selesaikan persamaan: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Graf fungsi y=sin(π/3+x)-2
• Graf fungsi y=sin(-2π/3+x)+1
• Cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi y=sin(x) pada ruas itu
• Cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi y=sin(x) pada selang [- π/3; 5π/6]