Graf bagi fungsi sinx x. Fungsi y=sin x dan y=cos x dan pembentangan graf mereka untuk pelajaran algebra (gred 10) mengenai topik

Pelajaran dan pembentangan tentang topik: "Fungsi y=sin(x). Definisi dan sifat"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Manual dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 10 dari 1C
Kami menyelesaikan masalah dalam geometri. Tugas pembinaan interaktif untuk gred 7-10
Persekitaran perisian "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Apa yang akan kita kaji:

• Sifat-sifat fungsi Y=sin(X).
• Graf fungsi.
• Bagaimana untuk membina graf dan skalanya.
• Contoh.

Sifat sinus. Y=sin(X)

Kawan-kawan, kita telah pun berkenalan dengan fungsi trigonometri hujah berangka. Adakah anda ingat mereka?

Mari kita lihat lebih dekat fungsi Y=sin(X)

Mari kita tulis beberapa sifat fungsi ini:
1) Domain definisi ialah set nombor nyata.
2) Fungsinya ganjil. Mari kita ingat definisi fungsi ganjil. Sesuatu fungsi dipanggil ganjil jika kesamaan memegang: y(-x)=-y(x). Seperti yang kita ingat dari formula hantu: sin(-x)=-sin(x). Takrifan dipenuhi, yang bermaksud Y=sin(X) ialah fungsi ganjil.
3) Fungsi Y=sin(X) bertambah pada ruas dan berkurang pada ruas [π/2; π]. Apabila kita bergerak sepanjang suku pertama (lawan arah jam), ordinat meningkat, dan apabila kita bergerak melalui suku kedua, ia berkurangan.

4) Fungsi Y=sin(X) adalah terhad dari bawah dan dari atas. Harta ini mengikuti daripada fakta bahawa
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Nilai terkecil bagi fungsi ialah -1 (pada x = - π/2+ πk). Nilai terbesar bagi fungsi ialah 1 (pada x = π/2+ πk).

Mari kita gunakan sifat 1-5 untuk memplot fungsi Y=sin(X). Kami akan membina graf kami secara berurutan, menggunakan sifat kami. Mari mula membina graf pada segmen.

Perhatian khusus harus diberikan kepada skala. Pada paksi ordinat adalah lebih mudah untuk mengambil segmen unit yang sama dengan 2 sel, dan pada paksi abscissa adalah lebih mudah untuk mengambil segmen unit (dua sel) sama dengan π/3 (lihat rajah).

Memplot fungsi sinus x, y=sin(x)

Mari kita hitung nilai fungsi pada segmen kami:

Mari bina graf menggunakan mata kita, dengan mengambil kira sifat ketiga.

Jadual penukaran untuk formula hantu

Mari kita gunakan sifat kedua, yang mengatakan bahawa fungsi kita adalah ganjil, yang bermaksud bahawa ia boleh dicerminkan secara simetri berkenaan dengan asal:

Kita tahu bahawa sin(x+ 2π) = sin(x). Ini bermakna bahawa pada selang [- π; π] graf kelihatan sama seperti pada segmen [π; 3π] atau atau [-3π; - π] dan seterusnya. Apa yang perlu kita lakukan ialah melukis semula dengan teliti graf dalam rajah sebelumnya di sepanjang keseluruhan paksi-x.

Graf fungsi Y=sin(X) dipanggil sinusoid.

Mari kita tulis beberapa sifat lagi mengikut graf yang dibina:
6) Fungsi Y=sin(X) bertambah pada mana-mana bahagian dalam bentuk: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k ialah integer dan berkurangan pada mana-mana segmen bentuk: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – integer.
7) Fungsi Y=sin(X) ialah fungsi berterusan. Mari kita lihat graf fungsi dan pastikan fungsi kita tidak mempunyai rehat, ini bermakna kesinambungan.
8) Julat nilai: segmen [- 1; 1]. Ini juga boleh dilihat dengan jelas daripada graf fungsi.
9) Fungsi Y=sin(X) - fungsi berkala. Mari lihat graf sekali lagi dan lihat bahawa fungsi mengambil nilai yang sama pada selang waktu tertentu.

Contoh masalah sinus

1. Selesaikan persamaan sin(x)= x-π

Penyelesaian: Mari bina 2 graf fungsi: y=sin(x) dan y=x-π (lihat rajah).
Graf kami bersilang pada satu titik A(π;0), ini jawapannya: x = π

2. Graf fungsi y=sin(π/6+x)-1

Penyelesaian: Graf yang dikehendaki akan diperolehi dengan menggerakkan graf fungsi y=sin(x) π/6 unit ke kiri dan 1 unit ke bawah.

Penyelesaian: Mari kita plot fungsi dan pertimbangkan segmen kita [π/2; 5π/4].
Graf fungsi menunjukkan bahawa nilai terbesar dan terkecil dicapai pada hujung segmen, masing-masing pada titik π/2 dan 5π/4.
Jawapan: sin(π/2) = 1 – nilai terbesar, sin(5π/4) = nilai terkecil.

Masalah sinus untuk penyelesaian bebas

• Selesaikan persamaan: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Graf fungsi y=sin(π/3+x)-2
• Graf fungsi y=sin(-2π/3+x)+1
• Cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi y=sin(x) pada ruas itu
• Cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi y=sin(x) pada selang [- π/3; 5π/6]

Berpusat pada satu titik A.
α - sudut dinyatakan dalam radian.

Definisi
Sinus (sin α) ialah fungsi trigonometri bergantung pada sudut α antara hipotenus dan kaki segi tiga tegak, sama dengan nisbah panjang kaki bertentangan |BC| kepada panjang hipotenus |AC|.

Kosinus (cos α) ialah fungsi trigonometri bergantung pada sudut α antara hipotenus dan kaki segi tiga tegak, sama dengan nisbah panjang kaki bersebelahan |AB| kepada panjang hipotenus |AC|.

Notasi yang diterima

;
;
.

;
;
.

Graf fungsi sinus, y = sin x

Graf fungsi kosinus, y = cos x

Sifat sinus dan kosinus

Berkala

Fungsi y = dosa x dan y = kerana x berkala dengan period 2π.

pariti

Fungsi sinus adalah ganjil. Fungsi kosinus adalah genap.

Domain definisi dan nilai, ekstrem, peningkatan, penurunan

Fungsi sinus dan kosinus adalah berterusan dalam domain takrifnya, iaitu, untuk semua x (lihat bukti kesinambungan). Sifat utama mereka dibentangkan dalam jadual (n - integer).

Formula asas

Jumlah kuasa dua sinus dan kosinus

Formula untuk sinus dan kosinus daripada jumlah dan perbezaan

;
;

Formula untuk hasil sinus dan kosinus

Formula jumlah dan perbezaan

Menyatakan sinus melalui kosinus

;
;
;
.

Menyatakan kosinus melalui sinus

;
;
;
.

Ungkapan melalui tangen

; .

Apabila , kita mempunyai:
; .

Pada:
; .

Jadual sinus dan kosinus, tangen dan kotangen

Jadual ini menunjukkan nilai sinus dan kosinus untuk nilai argumen tertentu.

Ungkapan melalui pembolehubah kompleks

;

Formula Euler

Ungkapan melalui fungsi hiperbolik

;
;

Derivatif

; . Rumus terbitan > > >

Terbitan urutan ke-n:
{ -∞ < x < +∞ }

Secant, cosecant

Fungsi songsang

Fungsi songsang sinus dan kosinus masing-masing adalah arcsine dan arccosine.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Rujukan:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Panduan matematik untuk jurutera dan pelajar kolej, "Lan", 2009.

GRAFIK FUNGSI

Fungsi sinus

- sekumpulan R semua nombor nyata.

Nilai Berbilang Fungsi— segmen [-1; 1], iaitu fungsi sinus - terhad.

Fungsi ganjil: sin(−x)=−sin x untuk semua x ∈ R.

Fungsinya adalah berkala

sin(x+2π k) = sin x, dengan k ∈ Z untuk semua x ∈ R.

dosa x = 0 untuk x = π k , k ∈ Z.

dosa x > 0(positif) untuk semua x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.

dosa x< 0 (negatif) untuk semua x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.

Fungsi kosinus

Domain Fungsi- sekumpulan R semua nombor nyata.

Nilai Berbilang Fungsi— segmen [-1; 1], iaitu fungsi kosinus - terhad.

Fungsi genap: cos(−x)=cos x untuk semua x ∈ R.

Fungsinya adalah berkala dengan tempoh positif terkecil 2π:

cos(x+2π k) = cos x, di mana k ∈ Z untuk semua x ∈ R.

cos x = 0 di
cos x > 0 untuk semua
kerana x< 0 untuk semua
Fungsi bertambah dari −1 hingga 1 pada selang waktu:
Fungsi semakin berkurangan dari −1 hingga 1 pada selang waktu:
Nilai terbesar bagi fungsi sin x = 1 pada titik:
Nilai terkecil bagi fungsi sin x = −1 pada titik:

Fungsi tangen

Nilai Berbilang Fungsi— keseluruhan garis nombor, i.e. tangen - fungsi tidak terhad.

Fungsi ganjil: tg(−x)=−tg x
Graf fungsi adalah simetri tentang paksi OY.

Fungsinya adalah berkala dengan tempoh positif terkecil π, i.e. tg(x+π k) = tan x, k ∈ Z untuk semua x daripada domain definisi.

Fungsi kotangen

Nilai Berbilang Fungsi— keseluruhan garis nombor, i.e. kotangen - fungsi tidak terhad.

Fungsinya adalah berkala dengan tempoh positif terkecil π, i.e. cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z untuk semua x daripada domain definisi.

Fungsi Arcsine

Domain Fungsi— segmen [-1; 1]

Nilai Berbilang Fungsi- segmen -π /2 arcsin x π /2, i.e. arcsine - fungsi terhad.

Fungsi ganjil: arcsin(−x)=−arcsin x untuk semua x ∈ R.
Graf fungsi adalah simetri tentang asalan.

Sepanjang keseluruhan kawasan definisi.

Fungsi kosinus arka

Domain Fungsi— segmen [-1; 1]

Nilai Berbilang Fungsi— segmen 0 arccos x π, i.e. arccosine - fungsi terhad.

Fungsi semakin meningkat atas keseluruhan kawasan definisi.

Fungsi Artangen

Domain Fungsi- sekumpulan R semua nombor nyata.

Nilai Berbilang Fungsi— segmen 0 π, i.e. arctangent - fungsi terhad.

Fungsi ganjil: arctg(−x)=−arctg x untuk semua x ∈ R.
Graf fungsi adalah simetri tentang asalan.

Fungsi semakin meningkat atas keseluruhan kawasan definisi.

Fungsi tangen arka

Domain Fungsi- sekumpulan R semua nombor nyata.

Nilai Berbilang Fungsi— segmen 0 π, i.e. arccotangent - fungsi terhad.

Fungsinya bukan genap mahupun ganjil.
Graf fungsi adalah tidak simetri sama ada berkenaan dengan asalan mahupun berkenaan dengan paksi Oy.

Fungsi semakin berkurangan atas keseluruhan kawasan definisi.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat secara terperinci fungsi y = sin x, sifat asas dan grafnya. Pada permulaan pelajaran, kita akan memberikan definisi fungsi trigonometri y = sin t pada bulatan koordinat dan mempertimbangkan graf fungsi pada bulatan dan garis. Mari tunjukkan keberkalaan fungsi ini pada graf dan pertimbangkan sifat utama fungsi tersebut. Pada akhir pelajaran, kita akan menyelesaikan beberapa masalah mudah menggunakan graf fungsi dan sifatnya.

Topik: Fungsi trigonometri

Pelajaran: Fungsi y=sinx, sifat asasnya dan graf

Apabila mempertimbangkan fungsi, adalah penting untuk mengaitkan setiap nilai argumen dengan nilai fungsi tunggal. ini undang-undang surat menyurat dan dipanggil fungsi.

Mari kita takrifkan undang-undang surat menyurat untuk .

Sebarang nombor nyata sepadan dengan satu titik pada bulatan unit Satu titik mempunyai satu ordinat, yang dipanggil sinus nombor (Rajah 1).

Setiap nilai argumen dikaitkan dengan nilai fungsi tunggal.

Sifat yang jelas mengikuti dari definisi sinus.

Rajah menunjukkan bahawa kerana ialah ordinat bagi suatu titik pada bulatan unit.

Pertimbangkan graf bagi fungsi tersebut. Mari kita ingat tafsiran geometri hujah. Hujahnya ialah sudut pusat, diukur dalam radian. Di sepanjang paksi kita akan memplot nombor atau sudut nyata dalam radian, di sepanjang paksi nilai fungsi yang sepadan.

Contohnya, sudut pada bulatan unit sepadan dengan titik pada graf (Rajah 2)

Kami telah memperoleh graf fungsi dalam kawasan itu Tetapi mengetahui tempoh sinus, kita boleh menggambarkan graf fungsi ke atas keseluruhan domain definisi (Rajah 3).

Tempoh utama fungsi ialah Ini bermakna graf boleh diperolehi pada segmen dan kemudian diteruskan ke seluruh domain definisi.

Pertimbangkan sifat-sifat fungsi:

1) Skop definisi:

2) Julat nilai:

3) Fungsi ganjil:

4) Tempoh positif terkecil:

5) Koordinat titik persilangan graf dengan paksi absis:

6) Koordinat titik persilangan graf dengan paksi ordinat:

7) Selang di mana fungsi mengambil nilai positif:

8) Selang di mana fungsi mengambil nilai negatif:

9) Meningkatkan selang:

10) Mengurangkan selang:

11) Mata minimum:

12) Fungsi minimum:

13) Mata maksimum:

14) Fungsi maksimum:

Kami melihat sifat fungsi dan grafnya. Sifat akan digunakan berulang kali apabila menyelesaikan masalah.

Bibliografi

1. Algebra dan permulaan analisis, gred 10 (dalam dua bahagian). Buku teks untuk institusi pendidikan am (peringkat profil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra dan permulaan analisis, gred 10 (dalam dua bahagian). Buku masalah untuk institusi pendidikan (peringkat profil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra dan analisis matematik untuk gred 10 (buku teks untuk pelajar sekolah dan kelas dengan kajian matematik yang mendalam - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Kajian mendalam tentang algebra dan analisis matematik.-M.: Pendidikan, 1997.

5. Koleksi masalah dalam matematik untuk pemohon ke institusi pengajian tinggi (disunting oleh M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebra.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Masalah algebra dan prinsip analisis (manual untuk pelajar gred 10-11 institusi pendidikan am - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Koleksi masalah algebra dan prinsip analisis: buku teks. elaun untuk 10-11 gred. dengan mendalam belajar Matematik.-M.: Pendidikan, 2006.

Kerja rumah

Algebra dan permulaan analisis, gred 10 (dalam dua bahagian). Buku masalah untuk institusi pendidikan (peringkat profil), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Sumber web tambahan

3. Portal pendidikan untuk persediaan peperiksaan ().

Dalam pelajaran ini kita akan melihat secara terperinci fungsi y = sin x, sifat asas dan grafnya. Pada permulaan pelajaran, kita akan memberikan definisi fungsi trigonometri y = sin t pada bulatan koordinat dan mempertimbangkan graf fungsi pada bulatan dan garis. Mari tunjukkan keberkalaan fungsi ini pada graf dan pertimbangkan sifat utama fungsi tersebut. Pada akhir pelajaran, kita akan menyelesaikan beberapa masalah mudah menggunakan graf fungsi dan sifatnya.

Topik: Fungsi trigonometri

Pelajaran: Fungsi y=sinx, sifat asasnya dan graf

Apabila mempertimbangkan fungsi, adalah penting untuk mengaitkan setiap nilai argumen dengan nilai fungsi tunggal. ini undang-undang surat menyurat dan dipanggil fungsi.

Mari kita takrifkan undang-undang surat menyurat untuk .

Sebarang nombor nyata sepadan dengan satu titik pada bulatan unit Satu titik mempunyai satu ordinat, yang dipanggil sinus nombor (Rajah 1).

Setiap nilai argumen dikaitkan dengan nilai fungsi tunggal.

Sifat yang jelas mengikuti dari definisi sinus.

Rajah menunjukkan bahawa kerana ialah ordinat bagi suatu titik pada bulatan unit.

Pertimbangkan graf bagi fungsi tersebut. Mari kita ingat tafsiran geometri hujah. Hujahnya ialah sudut pusat, diukur dalam radian. Di sepanjang paksi kita akan memplot nombor atau sudut nyata dalam radian, di sepanjang paksi nilai fungsi yang sepadan.

Contohnya, sudut pada bulatan unit sepadan dengan titik pada graf (Rajah 2)

Kami telah memperoleh graf fungsi dalam kawasan itu Tetapi mengetahui tempoh sinus, kita boleh menggambarkan graf fungsi ke atas keseluruhan domain definisi (Rajah 3).

Tempoh utama fungsi ialah Ini bermakna graf boleh diperolehi pada segmen dan kemudian diteruskan ke seluruh domain definisi.

Pertimbangkan sifat-sifat fungsi:

1) Skop definisi:

2) Julat nilai:

3) Fungsi ganjil:

4) Tempoh positif terkecil:

5) Koordinat titik persilangan graf dengan paksi absis:

6) Koordinat titik persilangan graf dengan paksi ordinat:

7) Selang di mana fungsi mengambil nilai positif:

8) Selang di mana fungsi mengambil nilai negatif:

9) Meningkatkan selang:

10) Mengurangkan selang:

11) Mata minimum:

12) Fungsi minimum:

13) Mata maksimum:

14) Fungsi maksimum:

Kami melihat sifat fungsi dan grafnya. Sifat akan digunakan berulang kali apabila menyelesaikan masalah.

Bibliografi

1. Algebra dan permulaan analisis, gred 10 (dalam dua bahagian). Buku teks untuk institusi pendidikan am (peringkat profil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra dan permulaan analisis, gred 10 (dalam dua bahagian). Buku masalah untuk institusi pendidikan (peringkat profil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra dan analisis matematik untuk gred 10 (buku teks untuk pelajar sekolah dan kelas dengan kajian matematik yang mendalam - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Kajian mendalam tentang algebra dan analisis matematik.-M.: Pendidikan, 1997.

5. Koleksi masalah dalam matematik untuk pemohon ke institusi pengajian tinggi (disunting oleh M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebra.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Masalah algebra dan prinsip analisis (manual untuk pelajar gred 10-11 institusi pendidikan am - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Koleksi masalah algebra dan prinsip analisis: buku teks. elaun untuk 10-11 gred. dengan mendalam belajar Matematik.-M.: Pendidikan, 2006.

Kerja rumah

Algebra dan permulaan analisis, gred 10 (dalam dua bahagian). Buku masalah untuk institusi pendidikan (peringkat profil), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Sumber web tambahan

3. Portal pendidikan untuk persediaan peperiksaan ().