Jumlah sinus dan tangen dengan hujah yang berbeza. Jumlah dan perbezaan sinus dan kosinus: terbitan formula, contoh

Formula untuk jumlah dan perbezaan sinus dan kosinus untuk dua sudut α dan β membolehkan kita bergerak dari hasil tambah sudut ini kepada hasil darab sudut α + β 2 dan α - β 2. Marilah kita ambil perhatian dengan segera bahawa anda tidak seharusnya mengelirukan formula untuk jumlah dan perbezaan sinus dan kosinus dengan formula untuk sinus dan kosinus bagi jumlah dan perbezaan. Di bawah kami menyenaraikan formula ini, berikan derivasinya dan tunjukkan contoh aplikasi untuk masalah tertentu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formula untuk jumlah dan perbezaan sinus dan kosinus

Mari tuliskan rupa formula jumlah dan perbezaan untuk sinus dan kosinus

Formula jumlah dan perbezaan untuk sinus

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Formula jumlah dan perbezaan untuk kosinus

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Formula ini sah untuk mana-mana sudut α dan β. Sudut α + β 2 dan α - β 2 masing-masing dipanggil separuh jumlah dan separuh beza bagi sudut alfa dan beta. Mari kita berikan formulasi untuk setiap formula.

Takrif formula untuk jumlah dan perbezaan sinus dan kosinus

Jumlah sinus dua sudut adalah sama dengan dua kali hasil darab sinus separuh hasil tambah sudut ini dan kosinus separuh beza.

Perbezaan sinus dua sudut adalah sama dengan dua kali hasil darab sinus bagi separuh beza sudut ini dan kosinus separuh hasil.

Jumlah kosinus dua sudut adalah sama dengan dua kali hasil darab kosinus separuh hasil tambah dan kosinus separuh beza sudut ini.

Perbezaan kosinus dua sudut adalah sama dengan dua kali hasil darab sinus bagi separuh hasil dan kosinus bagi separuh beza sudut ini, diambil dengan tanda negatif.

Menerbitkan formula untuk jumlah dan perbezaan sinus dan kosinus

Untuk mendapatkan formula bagi jumlah dan perbezaan sinus dan kosinus dua sudut, formula penambahan digunakan. Jom senaraikan di bawah

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Mari kita bayangkan juga sudut itu sendiri sebagai hasil tambah separuh dan separuh perbezaan.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Kami meneruskan terus kepada terbitan formula jumlah dan perbezaan untuk sin dan cos.

Terbitan formula bagi jumlah sinus

Dalam jumlah sin α + sin β, kita menggantikan α dan β dengan ungkapan untuk sudut-sudut ini yang diberikan di atas. Kita mendapatkan

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Sekarang kita menggunakan formula penambahan pada ungkapan pertama, dan kedua - formula untuk sinus perbezaan sudut (lihat formula di atas)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Buka kurungan, tambah istilah serupa dan dapatkan formula yang diperlukan

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Langkah-langkah untuk mendapatkan formula yang selebihnya adalah serupa.

Terbitan formula untuk perbezaan sinus

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = dosa α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Terbitan formula bagi jumlah kosinus

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Terbitan formula untuk perbezaan kosinus

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 dosa α - β 2

Contoh penyelesaian masalah praktikal

Mula-mula, mari kita semak salah satu formula dengan menggantikan nilai sudut tertentu ke dalamnya. Biarkan α = π 2, β = π 6. Mari kita hitung nilai jumlah sinus bagi sudut-sudut ini. Pertama, kami akan menggunakan jadual nilai asas fungsi trigonometri, dan kemudian kami akan menggunakan formula untuk jumlah sinus.

Contoh 1. Menyemak formula hasil tambah sinus dua sudut

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Sekarang mari kita pertimbangkan kes apabila nilai sudut berbeza daripada nilai asas yang dibentangkan dalam jadual. Biarkan α = 165°, β = 75°. Mari kita kira perbezaan antara sinus sudut ini.

Contoh 2. Aplikasi rumus beza sinus

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Menggunakan formula untuk jumlah dan perbezaan sinus dan kosinus, anda boleh beralih daripada jumlah atau perbezaan kepada hasil darab fungsi trigonometri. Selalunya formula ini dipanggil formula untuk bergerak dari jumlah kepada produk. Formula untuk jumlah dan perbezaan sinus dan kosinus digunakan secara meluas dalam menyelesaikan persamaan trigonometri dan dalam menukar ungkapan trigonometri.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Sumber elektronik ini merupakan bahan yang sangat baik untuk menjalankan pembelajaran interaktif di sekolah moden. Ia ditulis dengan betul, mempunyai struktur yang jelas dan bersesuaian dengan kurikulum sekolah. Terima kasih kepada penjelasan terperinci, topik yang dibentangkan dalam pelajaran video akan menjadi jelas kepada seberapa ramai pelajar dalam kelas yang mungkin. Guru mesti ingat bahawa tidak semua pelajar mempunyai tahap persepsi, kelajuan pemahaman atau asas yang sama. Bahan sedemikian akan membantu anda menghadapi kesukaran dan mengejar rakan sebaya anda, meningkatkan prestasi akademik anda. Dengan bantuan mereka, dalam persekitaran rumah yang tenang, secara bebas atau bersama tutor, pelajar boleh memahami topik tertentu, mengkaji teori dan melihat contoh aplikasi praktikal formula tertentu, dsb.

Pelajaran video ini ditumpukan kepada topik "Sinus dan kosinus perbezaan hujah." Diandaikan bahawa pelajar telah mempelajari asas trigonometri, biasa dengan fungsi asas dan sifatnya, formula hantu dan jadual nilai trigonometri.

Selain itu, sebelum meneruskan untuk mempelajari topik ini, anda mesti mempunyai pemahaman sinus dan kosinus jumlah hujah, mengetahui dua formula asas dan boleh menggunakannya.

Pada permulaan pelajaran video, juruhebah mengingatkan pelajar tentang dua formula ini. Seterusnya, formula pertama ditunjukkan - sinus perbezaan hujah. Sebagai tambahan kepada bagaimana formula itu sendiri diperolehi, ia ditunjukkan bagaimana ia diperoleh daripada yang lain. Oleh itu, pelajar tidak perlu menghafal formula baru tanpa memahaminya, yang merupakan kesilapan biasa. Perkara ini amat penting bagi pelajar dalam kelas ini. Anda mesti sentiasa ingat bahawa anda boleh menambah tanda + di hadapan tanda tolak, dan tolak pada tanda tambah akhirnya akan bertukar menjadi tolak. Dengan langkah mudah ini, anda boleh menggunakan formula untuk sinus jumlah dan mendapatkan formula untuk sinus perbezaan argumen.

Formula untuk kosinus perbezaan diperoleh dengan cara yang sama daripada formula untuk kosinus hasil tambah argumen.

Pembesar suara menerangkan segala-galanya langkah demi langkah, dan sebagai hasilnya, formula umum untuk kosinus hasil tambah dan perbezaan hujah dan sinus diperoleh, sama.

Contoh pertama daripada bahagian praktikal pelajaran video ini mencadangkan mencari kosinus Pi/12. Adalah dicadangkan untuk membentangkan nilai ini dalam bentuk perbezaan tertentu, di mana minuend dan subtrahend akan menjadi nilai jadual. Seterusnya, formula kosinus untuk perbezaan hujah akan digunakan. Dengan menggantikan ungkapan, anda boleh menggantikan nilai yang terhasil dan mendapatkan jawapannya. Juruhebah membacakan jawapan, yang dipaparkan pada akhir contoh.

Contoh kedua ialah persamaan. Di kedua-dua belah kanan dan kiri kita melihat kosinus perbezaan hujah. Pembesar suara menyerupai formula pemutus, yang digunakan untuk menggantikan dan memudahkan ungkapan ini. Formula ini ditulis di sebelah kanan supaya pelajar dapat memahami dari mana datangnya perubahan tertentu.

Contoh lain, yang ketiga, ialah pecahan tertentu, di mana dalam kedua-dua pengangka dan penyebut kita mempunyai ungkapan trigonometri, iaitu, perbezaan produk.

Di sini juga, apabila menyelesaikan, formula pengurangan digunakan. Oleh itu, pelajar sekolah dapat melihat bahawa jika mereka terlepas satu topik dalam trigonometri, ia akan menjadi semakin sukar untuk memahami yang lain.

Dan akhirnya, contoh keempat. Ini juga merupakan persamaan di mana perlu menggunakan formula baru yang dipelajari dan lama apabila menyelesaikannya.

Anda boleh melihat contoh yang diberikan dalam tutorial video dengan lebih terperinci dan cuba menyelesaikannya sendiri. Mereka boleh diberikan sebagai kerja rumah kepada pelajar sekolah.

DEKOD TEKS:

Topik pelajaran ialah "Sinus dan kosinus perbezaan hujah."

Dalam kursus sebelumnya, kami telah diperkenalkan kepada dua formula trigonometri: sinus dan kosinus hasil tambah hujah.

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.

sinus hasil tambah dua sudut adalah sama dengan hasil tambah antara sinus sudut pertama dan kosinus sudut kedua dan hasil darab kosinus sudut pertama dan sinus sudut kedua;

Kosinus hasil tambah dua sudut adalah sama dengan perbezaan antara hasil darab kosinus sudut ini dan hasil tambah sudut ini.

Menggunakan formula ini, kita akan memperoleh formula Sinus dan kosinus perbezaan hujah.

Sinus perbezaan hujah sin(x-y)

Dua formula (sinus hasil tambah dan sinus perbezaan) boleh ditulis sebagai:

dosa (xy) = sin x cos ycos x dosa y.

Begitu juga, kami memperoleh formula untuk kosinus perbezaan:

Mari kita tulis semula kosinus perbezaan antara argumen sebagai jumlah dan gunakan formula yang telah diketahui untuk kosinus hasil tambah: cos (x + y) = cosxcosy - sinxsiny.

hanya untuk hujah x dan -y. Menggantikan hujah ini ke dalam formula, kita mendapat cosxcos(- y) - sinxsin(- y).

sin(- y)= - siny). dan kita mendapat ungkapan akhir cosxcosy + sinxsiny.

cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y.

Ini bermakna cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y.

Kosinus beza dua sudut adalah sama dengan hasil tambah antara hasil darab kosinus sudut ini dan hasil darab sinus sudut ini.

Menggabungkan dua formula (kosinus jumlah dan kosinus perbezaan) menjadi satu, kami menulis

cos(xy) = cosxcos y sin xsin y.

Ingatlah bahawa formula dalam amalan boleh diaplikasikan dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

Mari lihat contoh.

CONTOH 1. Kira kos (kosinus pi dibahagikan dengan dua belas).

Penyelesaian. Mari kita tulis pi dibahagikan dengan dua belas sebagai beza pi dengan tiga dan pi dibahagikan dengan empat: = - .

Mari kita gantikan nilai ke dalam formula perbezaan kosinus: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny, justeru cos = cos (-) = cos cos + sin sin

Kita tahu bahawa cos = , cos = sin= , sin = . Tunjukkan jadual nilai.

Kami menggantikan nilai sinus dan kosinus dengan nilai berangka dan mendapat ∙ + ∙ apabila mendarab pecahan dengan pecahan, kami mendarabkan pengangka dan penyebut, kami mendapat

cos = cos (-) = cos cos + sin sin = ∙ + ∙ = = =.

Jawapan: cos =.

CONTOH 2. Selesaikan persamaan cos(2π - 5x) = cos(- 5x) (kosinus dua pi tolak lima x adalah sama dengan kosinus pi dengan dua tolak lima x).

Penyelesaian. Di sebelah kiri dan kanan persamaan kita menggunakan formula pengurangan cos(2π - cos (kosinus dua pi tolak alfa adalah sama dengan kosinus alfa) dan cos(- = sin (kosinus pi dengan dua tolak alfa adalah sama dengan sinus alfa), kita mendapat cos 5x = sin 5x, kita memberikannya kepada bentuk persamaan homogen darjah pertama dan kita memperoleh cos 5x - sin 5x = 0. Ini adalah persamaan homogen darjah pertama. Mari kita bahagikan kedua-dua belah sebutan persamaan dengan cos 5x. Kami ada:

cos 5x: cos 5x - sin 5x: cos 5x = 0, kerana cos 5x: cos 5x = 1, dan sin 5x: cos 5x = tan 5x, maka kita dapat:

Oleh kerana kita sudah tahu bahawa persamaan tgt = a mempunyai penyelesaian t = arctga + πn, dan kerana kita mempunyai t = 5x, a = 1, kita dapat

5x = arctan 1 + πn,

dan nilai arctg ialah 1, maka tg 1= Tunjukkan jadual

Gantikan nilai ke dalam persamaan dan selesaikannya:

Jawapan: x = +.

CONTOH 3. Cari nilai pecahan itu. (dalam pengangka ialah perbezaan hasil darab kosinus tujuh puluh lima darjah dan enam puluh lima darjah dan hasil darab sinus tujuh puluh lima darjah dan enam puluh lima darjah, dan dalam penyebut ialah perbezaan hasil darab sinus lapan puluh lima darjah dan kosinus tiga puluh lima darjah dan hasil darab kosinus lapan puluh lima darjah dan sinus tiga puluh lima darjah) .

Penyelesaian. Dalam pengangka pecahan ini, perbezaan boleh "diruntuhkan" ke dalam kosinus jumlah hujah 75° dan 65°, dan dalam penyebut, perbezaan boleh "diruntuhkan" ke dalam sinus perbezaan antara hujah. 85° dan 35°. Kita mendapatkan

Jawapan:- 1.

CONTOH 4. Selesaikan persamaan: cos(-x) + sin(-x) = 1(kosinus selisih pi dengan empat dan x ditambah sinus selisih pi dengan empat dan x adalah sama dengan satu).

Penyelesaian. Mari kita gunakan formula perbezaan kosinus dan perbezaan sinus.

Tunjukkan formula kosinus perbezaan am

Kemudian cos (-x) = cos cos x + sinsinх

Tunjukkan formula am untuk perbezaan sinus

dan dosa (-х)= sin cosх - cos sinх

Gantikan ungkapan ini ke dalam persamaan cos(-x) + sin(-x) = 1 dan dapatkan:

cos cos x + sinsin x + sin cos x - cos sin x = 1,

Oleh kerana cos= dan sin= Tunjukkan jadual maksud sinus dan kosinus

Kami mendapat ∙ cos x + ∙ sinx + ∙ cos x - ∙ sinx = 1,

sebutan kedua dan keempat adalah bertentangan, oleh itu mereka membatalkan satu sama lain, meninggalkan:

∙ cos + ∙ cos = 1,

Mari selesaikan persamaan ini dan dapatkannya

2∙ ∙ cos x= 1,

Oleh kerana kita sudah tahu bahawa persamaan cos = a mempunyai penyelesaian t = arcosa+ 2πk, dan kerana kita mempunyai t=x, a =, kita dapat

x = arccos + 2πn,

dan oleh kerana nilainya ialah arccos, maka cos =