Formula trigonometri ialah kes khas. Menyelesaikan persamaan trigonometri

Pelajaran dan pembentangan mengenai topik: "Menyelesaikan persamaan trigonometri mudah"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Manual dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 10 dari 1C
Kami menyelesaikan masalah dalam geometri. Tugas interaktif untuk membina di angkasa
Persekitaran perisian "1C: Pembina Matematik 6.1"

Apa yang akan kita kaji:
1. Apakah persamaan trigonometri?

3. Dua kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
4. Persamaan trigonometri homogen.
5. Contoh.

Apakah persamaan trigonometri?

Kawan-kawan, kita telah pun mempelajari arcsine, arccosine, arctangent dan arccotangent. Sekarang mari kita lihat persamaan trigonometri secara umum.

Persamaan trigonometri ialah persamaan di mana pembolehubah terkandung di bawah tanda fungsi trigonometri.

Mari kita ulangi bentuk penyelesaian persamaan trigonometri termudah:

1)Jika |a|≤ 1, maka persamaan cos(x) = a mempunyai penyelesaian:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jika |a|≤ 1, maka persamaan sin(x) = a mempunyai penyelesaian:

3) Jika |a| > 1, maka persamaan sin(x) = a dan cos(x) = a tidak mempunyai penyelesaian 4) Persamaan tg(x)=a mempunyai penyelesaian: x=arctg(a)+ πk

5) Persamaan ctg(x)=a mempunyai penyelesaian: x=arcctg(a)+ πk

Untuk semua formula k ialah integer

Persamaan trigonometri termudah mempunyai bentuk: T(kx+m)=a, T ialah beberapa fungsi trigonometri.

Selesaikan persamaan: a) sin(3x)= √3/2

Penyelesaian:

A) Mari kita nyatakan 3x=t, maka kita akan menulis semula persamaan kita dalam bentuk:

Penyelesaian kepada persamaan ini ialah: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Daripada jadual nilai kita dapat: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Mari kita kembali kepada pembolehubah kita: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Kemudian x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Jawapan: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, dengan n ialah integer. (-1)^n – tolak satu kepada kuasa n.

Lebih banyak contoh persamaan trigonometri.

Penyelesaian:

A) Kali ini mari kita beralih terus ke pengiraan punca persamaan dengan segera:

X/5= ± arcos(1) + 2πk. Kemudian x/5= πk => x=5πk

Jawapan: x=5πk, dengan k ialah integer.

B) Kami menulisnya dalam bentuk: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Kita tahu bahawa: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Jawapan: x=2π/9 + πk/3, dengan k ialah integer.

Selesaikan persamaan: cos(4x)= √2/2. Dan cari semua akar pada segmen.

Penyelesaian:

Mari kita selesaikan persamaan kita dalam bentuk umum: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sekarang mari kita lihat akar yang jatuh pada segmen kita. Pada k Pada k=0, x= π/16, kita berada dalam segmen yang diberikan.
Dengan k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, kita memukul sekali lagi.
Untuk k=2, x= π/16+ π=17π/16, tetapi di sini kami tidak memukul, yang bermaksud bahawa untuk k besar kami juga jelas tidak akan memukul.

Jawapan: x= π/16, x= 9π/16

Dua kaedah penyelesaian utama.

Mari kita selesaikan persamaan:

Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan persamaan kami, kami akan menggunakan kaedah memperkenalkan pembolehubah baru, menandakan: t=tg(x).

Hasil daripada penggantian kita dapat: t 2 + 2t -1 = 0

Mari kita cari punca-punca persamaan kuadratik: t=-1 dan t=1/3

Kemudian tg(x)=-1 dan tg(x)=1/3, kita dapat persamaan trigonometri termudah, mari kita cari puncanya.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Jawapan: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Contoh penyelesaian persamaan

Selesaikan persamaan: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Penyelesaian:

Mari kita gunakan identiti: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Persamaan kami akan mengambil bentuk: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Mari kita perkenalkan penggantian t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Penyelesaian kepada persamaan kuadratik kami ialah punca-punca: t=2 dan t=-1/2

Kemudian cos(x)=2 dan cos(x)=-1/2.

Kerana kosinus tidak boleh mengambil nilai lebih daripada satu, maka cos(x)=2 tidak mempunyai punca.

Untuk cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Jawapan: x= ±2π/3 + 2πk

Persamaan trigonometri homogen.

Persamaan bentuk

persamaan trigonometri homogen darjah kedua.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri homogen darjah pertama, bahagikannya dengan cos(x): Anda tidak boleh membahagi dengan kosinus jika ia sama dengan sifar, mari pastikan bahawa ini tidak berlaku:
Biarkan cos(x)=0, kemudian asin(x)+0=0 => sin(x)=0, tetapi sinus dan kosinus tidak sama dengan sifar pada masa yang sama, kita mendapat percanggahan, jadi kita boleh membahagikan dengan selamat dengan sifar.

Selesaikan persamaan:
Contoh: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Penyelesaian:

Mari kita keluarkan faktor sepunya: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Kemudian kita perlu menyelesaikan dua persamaan:

Cos(x)=0 dan cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pada x= π/2 + πk;

Pertimbangkan persamaan cos(x)+sin(x)=0 Bahagikan persamaan kita dengan cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Jawapan: x= π/2 + πk dan x= -π/4+πk

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri homogen darjah kedua?
Kawan-kawan, sentiasa ikut peraturan ini!

1. Lihat apakah pekali a bersamaan, jika a=0 maka persamaan kita akan mengambil bentuk cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), contoh penyelesaian yang terdapat pada slaid sebelumnya

2. Jika a≠0, maka anda perlu membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan kuasa dua kosinus, kita dapat:

Kami menukar pembolehubah t=tg(x) dan dapatkan persamaan:

Selesaikan contoh No.:3

Mari kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan kuasa dua kosinus:

Kami menukar pembolehubah t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Mari cari punca-punca persamaan kuadratik: t=-3 dan t=1

Kemudian: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Jawapan: x=-arctg(3) + πk dan x= π/4+ πk

Selesaikan contoh No.:4

Penyelesaian:
Mari kita ubah ekspresi kita:

Kita boleh menyelesaikan persamaan tersebut: x= - π/4 + 2πk dan x=5π/4 + 2πk

Jawapan: x= - π/4 + 2πk dan x=5π/4 + 2πk

Selesaikan contoh no.:5

Penyelesaian:
Mari kita ubah ekspresi kita:

Mari kita perkenalkan penggantian tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Penyelesaian kepada persamaan kuadratik kita ialah punca-punca: t=-2 dan t=1/2

Kemudian kita dapat: tg(2x)=-2 dan tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Jawapan: x=-arctg(2)/2 + πk/2 dan x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Masalah untuk penyelesaian bebas.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) Selesaikan persamaan: sin(3x)= √3/2. Dan cari semua punca pada ruas [π/2; π].

3) Selesaikan persamaan: katil 2 (x) + 2 katil (x) + 1 =0

4) Selesaikan persamaan: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Selesaikan persamaan: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Selesaikan persamaan: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Anda boleh memesan penyelesaian terperinci untuk masalah anda!!!

Kesamaan yang mengandungi tidak diketahui di bawah tanda fungsi trigonometri (`sin x, cos x, tan x` atau `ctg x`) dipanggil persamaan trigonometri, dan formulanya yang akan kita pertimbangkan lebih lanjut.

Persamaan yang paling mudah ialah `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, dengan `x` ialah sudut yang perlu ditemui, `a` ialah sebarang nombor. Mari kita tuliskan rumus akar bagi setiap daripadanya.

1. Persamaan `sin x=a`.

Untuk `|a|>1` ia tidak mempunyai penyelesaian.

Apabila `|a| \leq 1` mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Formula akar: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Persamaan `cos x=a`

Untuk `|a|>1` - seperti dalam kes sinus, ia tidak mempunyai penyelesaian antara nombor nyata.

Apabila `|a| \leq 1` mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Formula akar: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Kes khas untuk sinus dan kosinus dalam graf.

3. Persamaan `tg x=a`

Mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga untuk sebarang nilai `a`.

Formula akar: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Persamaan `ctg x=a`

Juga mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga untuk sebarang nilai `a`.

Formula akar: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formula untuk punca persamaan trigonometri dalam jadual

Untuk sinus:
Untuk kosinus:
Untuk tangen dan kotangen:
Formula untuk menyelesaikan persamaan yang mengandungi fungsi trigonometri songsang:

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri

Menyelesaikan sebarang persamaan trigonometri terdiri daripada dua peringkat:

• dengan bantuan mengubahnya kepada yang paling mudah;
• selesaikan persamaan termudah yang diperoleh menggunakan rumus punca dan jadual yang ditulis di atas.

Mari kita lihat kaedah penyelesaian utama menggunakan contoh.

Kaedah algebra.

Kaedah ini melibatkan menggantikan pembolehubah dan menggantikannya kepada kesamaan.

Contoh. Selesaikan persamaan: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

buat penggantian: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, kemudian `2y^2-3y+1=0`,

kita dapati puncanya: `y_1=1, y_2=1/2`, dari mana dua kes berikut:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Jawapan: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Pemfaktoran.

Contoh. Selesaikan persamaan: `sin x+cos x=1`.

Penyelesaian. Mari kita alihkan semua sebutan kesamaan ke kiri: `sin x+cos x-1=0`. Menggunakan , kami mengubah dan memfaktorkan bahagian kiri:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Jawapan: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Pengurangan kepada persamaan homogen

Pertama, anda perlu mengurangkan persamaan trigonometri ini kepada salah satu daripada dua bentuk:

`a sin x+b cos x=0` (persamaan homogen darjah pertama) atau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (persamaan homogen darjah kedua).

Kemudian bahagikan kedua-dua bahagian dengan `cos x \ne 0` - untuk kes pertama, dan dengan `cos^2 x \ne 0` - untuk yang kedua. Kami memperoleh persamaan untuk `tg x`: `a tg x+b=0` dan `a tg^2 x + b tg x +c =0`, yang perlu diselesaikan menggunakan kaedah yang diketahui.

Contoh. Selesaikan persamaan: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Penyelesaian. Mari kita tulis sebelah kanan sebagai `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ini ialah persamaan trigonometri homogen darjah kedua, kita bahagikan sisi kiri dan kanannya dengan `cos^2 x \ne 0`, kita dapat:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Mari kita perkenalkan penggantian `tg x=t`, menghasilkan `t^2 + t - 2=0`. Punca-punca persamaan ini ialah `t_1=-2` dan `t_2=1`. Kemudian:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \dalam Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \dalam Z`.

Jawab. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \dalam Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \dalam Z`.

Bergerak ke Separuh Sudut

Contoh. Selesaikan persamaan: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Penyelesaian. Mari gunakan formula sudut dua kali, menghasilkan: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Menggunakan kaedah algebra yang diterangkan di atas, kami memperoleh:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \dalam Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \dalam Z`.

Jawab. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Pengenalan sudut bantu

Dalam persamaan trigonometri `a sin x + b cos x =c`, dengan a,b,c ialah pekali dan x ialah pembolehubah, bahagikan kedua-dua belah dengan `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

Pekali di sebelah kiri mempunyai sifat sinus dan kosinus, iaitu jumlah kuasa duanya adalah sama dengan 1 dan modulnya tidak lebih daripada 1. Mari kita nyatakan ia seperti berikut: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, maka:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Mari kita lihat lebih dekat contoh berikut:

Contoh. Selesaikan persamaan: `3 sin x+4 cos x=2`.

Penyelesaian. Bahagikan kedua-dua belah kesamaan dengan `sqrt (3^2+4^2)`, kita dapat:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Mari kita nyatakan `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Oleh kerana `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, maka kami mengambil `\varphi=arcsin 4/5` sebagai sudut tambahan. Kemudian kami menulis kesamaan kami dalam bentuk:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Menggunakan formula untuk jumlah sudut untuk sinus, kami menulis kesamaan kami dalam bentuk berikut:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Jawab. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Persamaan trigonometri rasional pecahan

Ini adalah persamaan dengan pecahan yang pengangka dan penyebutnya mengandungi fungsi trigonometri.

Contoh. Selesaikan persamaan. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Penyelesaian. Darab dan bahagi bahagian kanan kesamaan dengan `(1+cos x)`. Hasilnya kami mendapat:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Memandangkan penyebut tidak boleh sama dengan sifar, kita mendapat `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Mari kita samakan pengangka pecahan kepada sifar: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Kemudian `sin x=0` atau `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \dalam Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \dalam Z`.

Diberi bahawa ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, penyelesaiannya ialah `x=2\pi n, n \in Z` dan `x=\pi /2+2\pi n` , `n \dalam Z`.

Jawab. `x=2\pi n`, `n \dalam Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \dalam Z`.

Trigonometri, dan persamaan trigonometri khususnya, digunakan dalam hampir semua bidang geometri, fizik dan kejuruteraan. Belajar bermula pada gred ke-10, sentiasa ada tugas untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu, jadi cuba ingat semua formula persamaan trigonometri - ia pasti berguna kepada anda!

Walau bagaimanapun, anda tidak perlu menghafalnya, perkara utama adalah memahami intipati dan dapat memperolehnya. Ia tidak sesukar yang disangka. Lihat sendiri dengan menonton video.

Memerlukan pengetahuan tentang formula asas trigonometri - jumlah kuasa dua sinus dan kosinus, ungkapan tangen melalui sinus dan kosinus, dan lain-lain. Bagi mereka yang telah melupakannya atau tidak mengenali mereka, kami mengesyorkan membaca artikel "".
Jadi, kita tahu formula trigonometri asas, sudah tiba masanya untuk menggunakannya dalam amalan. Menyelesaikan persamaan trigonometri dengan pendekatan yang betul, ia merupakan satu aktiviti yang menarik, seperti, contohnya, menyelesaikan kubus Rubik.

Berdasarkan nama itu sendiri, jelas bahawa persamaan trigonometri ialah persamaan di mana yang tidak diketahui berada di bawah tanda fungsi trigonometri.
Terdapat apa yang dipanggil persamaan trigonometri termudah. Inilah rupanya: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Mari kita pertimbangkan bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri tersebut, untuk kejelasan kita akan menggunakan bulatan trigonometri yang sudah biasa.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

katil x = a

Mana-mana persamaan trigonometri diselesaikan dalam dua peringkat: kita mengurangkan persamaan kepada bentuk termudah dan kemudian menyelesaikannya sebagai persamaan trigonometri mudah.
Terdapat 7 kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

1. Kaedah penggantian dan penggantian boleh ubah

Selesaikan persamaan 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Menggunakan formula pengurangan yang kita dapat:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Gantikan cos(x + /6) dengan y untuk memudahkan dan mendapatkan persamaan kuadratik biasa:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Punca-puncanya ialah y 1 = 1, y 2 = 1/2

Sekarang mari kita pergi dalam urutan terbalik

Kami menggantikan nilai y yang ditemui dan mendapat dua pilihan jawapan:

2. Menyelesaikan persamaan trigonometri melalui pemfaktoran

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan sin x + cos x = 1?

Mari kita gerakkan semuanya ke kiri supaya 0 kekal di sebelah kanan:

sin x + cos x – 1 = 0

Mari kita gunakan identiti yang dibincangkan di atas untuk memudahkan persamaan:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Mari kita faktorkan:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Kami mendapat dua persamaan

3. Pengurangan kepada persamaan homogen

Persamaan adalah homogen berkenaan dengan sinus dan kosinus jika semua sebutannya adalah relatif kepada sinus dan kosinus yang mempunyai kuasa yang sama bagi sudut yang sama. Untuk menyelesaikan persamaan homogen, teruskan seperti berikut:

a) memindahkan semua ahlinya ke sebelah kiri;

b) keluarkan semua faktor sepunya daripada kurungan;

c) samakan semua faktor dan kurungan kepada 0;

d) persamaan homogen darjah yang lebih rendah diperolehi dalam kurungan, yang seterusnya dibahagikan kepada sinus atau kosinus darjah yang lebih tinggi;

e) selesaikan persamaan yang terhasil untuk tg.

Selesaikan persamaan 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Mari kita gunakan formula sin 2 x + cos 2 x = 1 dan buang dua terbuka di sebelah kanan:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Bahagikan dengan cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Gantikan tan x dengan y dan dapatkan persamaan kuadratik:

y 2 + 4y +3 = 0, yang puncanya ialah y 1 =1, y 2 = 3

Dari sini kita dapati dua penyelesaian kepada persamaan asal:

x 2 = arctan 3 + k

4. Menyelesaikan persamaan melalui peralihan kepada setengah sudut

Selesaikan persamaan 3sin x – 5cos x = 7

Mari kita beralih kepada x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Mari kita gerakkan semuanya ke kiri:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Bahagikan dengan cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Pengenalan sudut bantu

Sebagai pertimbangan, mari kita ambil persamaan bentuk: a sin x + b cos x = c,

di mana a, b, c ialah beberapa pekali arbitrari, dan x adalah tidak diketahui.

Mari bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan:



Sekarang pekali persamaan, mengikut formula trigonometri, mempunyai sifat sin dan cos, iaitu: modulus mereka tidak lebih daripada 1 dan jumlah kuasa dua = 1. Mari kita nyatakan masing-masing sebagai cos dan sin, di mana - ini adalah sudut bantu yang dipanggil. Kemudian persamaan akan mengambil bentuk:

cos * sin x + sin * cos x = C

atau sin(x + ) = C

Penyelesaian kepada persamaan trigonometri termudah ini ialah

x = (-1) k * arcsin C - + k, di mana



Perlu diingatkan bahawa notasi cos dan sin boleh ditukar ganti.

Selesaikan persamaan sin 3x – cos 3x = 1

Pekali dalam persamaan ini ialah:

a = , b = -1, jadi bahagikan kedua-dua belah dengan = 2

Apabila menyelesaikan banyak masalah matematik, terutamanya yang berlaku sebelum darjah 10, susunan tindakan yang dilakukan yang akan membawa kepada matlamat ditakrifkan dengan jelas. Masalah tersebut termasuk, sebagai contoh, persamaan linear dan kuadratik, ketaksamaan linear dan kuadratik, persamaan pecahan dan persamaan yang berkurang kepada kuadratik. Prinsip berjaya menyelesaikan setiap masalah yang disebutkan adalah seperti berikut: anda perlu menentukan jenis masalah yang anda selesaikan, ingat urutan tindakan yang diperlukan yang akan membawa kepada hasil yang diinginkan, i.e. jawab dan ikuti langkah-langkah ini.

Adalah jelas bahawa kejayaan atau kegagalan dalam menyelesaikan masalah tertentu bergantung terutamanya pada bagaimana betul jenis persamaan yang diselesaikan ditentukan, seberapa betul urutan semua peringkat penyelesaiannya dihasilkan semula. Sudah tentu, dalam kes ini adalah perlu untuk mempunyai kemahiran untuk melakukan transformasi dan pengiraan yang sama.

Keadaannya berbeza dengan persamaan trigonometri. Ia sama sekali tidak sukar untuk menetapkan fakta bahawa persamaan adalah trigonometri. Kesukaran timbul apabila menentukan urutan tindakan yang akan membawa kepada jawapan yang betul.

Kadangkala sukar untuk menentukan jenisnya berdasarkan rupa persamaan. Dan tanpa mengetahui jenis persamaan, hampir mustahil untuk memilih yang betul daripada beberapa dozen formula trigonometri.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, anda perlu mencuba:

1. bawa semua fungsi yang termasuk dalam persamaan kepada "sudut yang sama";
2. bawa persamaan kepada "fungsi yang serupa";
3. faktorkan bahagian kiri persamaan, dsb.

Mari kita pertimbangkan kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

I. Pengurangan kepada persamaan trigonometri termudah

Gambar rajah penyelesaian

Langkah 1. Menyatakan fungsi trigonometri dari segi komponen yang diketahui.

Langkah 2. Cari hujah fungsi menggunakan formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

dosa x = a; x = (-1) n lengkok a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Langkah 3. Cari pembolehubah yang tidak diketahui.

Contoh.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Penyelesaian.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Jawapan: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Penggantian boleh ubah

Gambar rajah penyelesaian

Langkah 1. Kurangkan persamaan kepada bentuk algebra berkenaan dengan salah satu fungsi trigonometri.

Langkah 2. Nyatakan fungsi yang terhasil oleh pembolehubah t (jika perlu, masukkan sekatan pada t).

Langkah 3. Tulis dan selesaikan persamaan algebra yang terhasil.

Langkah 4. Buat penggantian terbalik.

Langkah 5. Selesaikan persamaan trigonometri termudah.

Contoh.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Penyelesaian.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Biarkan sin (x/2) = t, dengan |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 atau e = -3/2, tidak memenuhi syarat |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Jawapan: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Kaedah pengurangan susunan persamaan

Gambar rajah penyelesaian

Langkah 1. Gantikan persamaan ini dengan persamaan linear, menggunakan formula untuk mengurangkan darjah:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Langkah 2. Selesaikan persamaan yang terhasil menggunakan kaedah I dan II.

Contoh.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Penyelesaian.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Jawapan: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Persamaan homogen

Gambar rajah penyelesaian

Langkah 1. Kurangkan persamaan ini kepada bentuk

a) sin x + b cos x = 0 (persamaan homogen darjah pertama)

atau ke pandangan

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (persamaan homogen darjah kedua).

Langkah 2. Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

dan dapatkan persamaan untuk tan x:

a) tan x + b = 0;

b) tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Langkah 3. Selesaikan persamaan menggunakan kaedah yang diketahui.

Contoh.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Penyelesaian.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Biarkan tg x = t, kemudian

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 atau t = -4, yang bermaksud

tg x = 1 atau tg x = -4.

Daripada persamaan pertama x = π/4 + πn, n Є Z; daripada persamaan kedua x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Jawapan: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Kaedah mengubah persamaan menggunakan formula trigonometri

Gambar rajah penyelesaian

Langkah 1. Dengan menggunakan semua formula trigonometri yang mungkin, kurangkan persamaan ini kepada persamaan yang diselesaikan dengan kaedah I, II, III, IV.

Langkah 2. Selesaikan persamaan yang terhasil menggunakan kaedah yang diketahui.

Contoh.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Penyelesaian.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 atau 2cos x + 1 = 0;

Daripada persamaan pertama 2x = π/2 + πn, n Є Z; daripada persamaan kedua cos x = -1/2.

Kami mempunyai x = π/4 + πn/2, n Є Z; daripada persamaan kedua x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Akibatnya, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Jawapan: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Keupayaan dan kemahiran menyelesaikan persamaan trigonometri adalah sangat yang penting, perkembangan mereka memerlukan usaha yang ketara, baik dari pihak murid mahupun dari pihak guru.

Banyak masalah stereometri, fizik, dan lain-lain dikaitkan dengan penyelesaian persamaan trigonometri Proses penyelesaian masalah tersebut merangkumi banyak pengetahuan dan kemahiran yang diperoleh dengan mempelajari unsur-unsur trigonometri.

Persamaan trigonometri menduduki tempat penting dalam proses pembelajaran matematik dan pembangunan peribadi secara umum.

Masih ada soalan? Tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan daripada tutor, daftar.
Pelajaran pertama adalah percuma!

laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

Kursus video "Dapatkan A" merangkumi semua topik yang diperlukan untuk berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik dengan 60-65 mata. Selesaikan semua tugasan 1-13 Profile Unified State Exam dalam matematik. Juga sesuai untuk lulus Peperiksaan Asas Negeri Bersepadu dalam matematik. Jika anda ingin lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dengan 90-100 mata, anda perlu menyelesaikan bahagian 1 dalam 30 minit dan tanpa kesilapan!

Kursus persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu untuk gred 10-11, dan juga untuk guru. Semua yang anda perlukan untuk menyelesaikan Bahagian 1 Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik (12 masalah pertama) dan Masalah 13 (trigonometri). Dan ini adalah lebih daripada 70 mata pada Peperiksaan Negeri Bersepadu, dan pelajar 100 mata mahupun pelajar kemanusiaan tidak boleh melakukannya tanpanya.

Semua teori yang diperlukan. Penyelesaian pantas, perangkap dan rahsia Peperiksaan Negeri Bersepadu. Semua tugas semasa bahagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini mematuhi sepenuhnya keperluan Peperiksaan Negeri Bersepadu 2018.

Kursus ini mengandungi 5 topik besar, 2.5 jam setiap satu. Setiap topik diberikan dari awal, ringkas dan jelas.

Beratus-ratus tugas Peperiksaan Negeri Bersatu. Masalah perkataan dan teori kebarangkalian. Algoritma yang ringkas dan mudah diingati untuk menyelesaikan masalah. Geometri. Teori, bahan rujukan, analisis semua jenis tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu. Stereometri. Penyelesaian rumit, helaian cheat berguna, pembangunan imaginasi spatial. Trigonometri dari awal kepada masalah 13. Memahami bukannya menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Algebra. Akar, kuasa dan logaritma, fungsi dan terbitan. Asas untuk menyelesaikan masalah kompleks Bahagian 2 Peperiksaan Negeri Bersatu.