Menyelesaikan persamaan kotangen trigonometri. Kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan trigonometri

Memerlukan pengetahuan tentang formula asas trigonometri - jumlah kuasa dua sinus dan kosinus, ungkapan tangen melalui sinus dan kosinus, dan lain-lain. Bagi mereka yang telah melupakannya atau tidak mengenali mereka, kami mengesyorkan membaca artikel "".
Jadi, kita tahu formula trigonometri asas, sudah tiba masanya untuk menggunakannya dalam amalan. Menyelesaikan persamaan trigonometri dengan pendekatan yang betul, ia merupakan satu aktiviti yang menarik, seperti, contohnya, menyelesaikan kubus Rubik.

Berdasarkan nama itu sendiri, jelas bahawa persamaan trigonometri ialah persamaan di mana yang tidak diketahui berada di bawah tanda fungsi trigonometri.
Terdapat apa yang dipanggil persamaan trigonometri termudah. Inilah rupanya: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Mari kita pertimbangkan bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri tersebut, untuk kejelasan, kami akan menggunakan bulatan trigonometri yang sudah biasa.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

katil bayi x = a

Mana-mana persamaan trigonometri diselesaikan dalam dua peringkat: kita mengurangkan persamaan kepada bentuk termudah dan kemudian menyelesaikannya sebagai persamaan trigonometri mudah.
Terdapat 7 kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

1. Kaedah penggantian dan penggantian boleh ubah

Selesaikan persamaan 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Menggunakan formula pengurangan yang kita dapat:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Gantikan cos(x + /6) dengan y untuk memudahkan dan mendapatkan persamaan kuadratik biasa:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Punca-puncanya ialah y 1 = 1, y 2 = 1/2

Sekarang mari kita pergi dalam urutan terbalik

Kami menggantikan nilai y yang ditemui dan mendapat dua pilihan jawapan:

2. Menyelesaikan persamaan trigonometri melalui pemfaktoran

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan sin x + cos x = 1?

Mari kita gerakkan semuanya ke kiri supaya 0 kekal di sebelah kanan:

sin x + cos x – 1 = 0

Mari kita gunakan identiti yang dibincangkan di atas untuk memudahkan persamaan:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Mari kita faktorkan:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Kami mendapat dua persamaan

3. Pengurangan kepada persamaan homogen

Persamaan adalah homogen berkenaan dengan sinus dan kosinus jika semua sebutannya adalah relatif kepada sinus dan kosinus yang mempunyai kuasa yang sama bagi sudut yang sama. Untuk menyelesaikan persamaan homogen, teruskan seperti berikut:

a) memindahkan semua ahlinya ke sebelah kiri;

b) keluarkan semua faktor sepunya daripada kurungan;

c) samakan semua faktor dan kurungan kepada 0;

d) persamaan homogen darjah yang lebih rendah diperolehi dalam kurungan, yang seterusnya dibahagikan kepada sinus atau kosinus darjah yang lebih tinggi;

e) selesaikan persamaan yang terhasil untuk tg.

Selesaikan persamaan 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Mari kita gunakan formula sin 2 x + cos 2 x = 1 dan buang dua terbuka di sebelah kanan:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Bahagikan dengan cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Gantikan tan x dengan y dan dapatkan persamaan kuadratik:

y 2 + 4y +3 = 0, yang puncanya ialah y 1 =1, y 2 = 3

Dari sini kita dapati dua penyelesaian kepada persamaan asal:

x 2 = arctan 3 + k

4. Menyelesaikan persamaan melalui peralihan kepada setengah sudut

Selesaikan persamaan 3sin x – 5cos x = 7

Mari kita beralih kepada x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Mari kita gerakkan semuanya ke kiri:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Bahagikan dengan cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Pengenalan sudut bantu

Sebagai pertimbangan, mari kita ambil persamaan bentuk: a sin x + b cos x = c,

di mana a, b, c ialah beberapa pekali arbitrari, dan x adalah tidak diketahui.

Mari bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan:



Sekarang pekali persamaan, mengikut formula trigonometri, mempunyai sifat sin dan cos, iaitu: modulus mereka tidak lebih daripada 1 dan jumlah kuasa dua = 1. Mari kita nyatakan masing-masing sebagai cos dan sin, di mana - ini adalah sudut bantu yang dipanggil. Kemudian persamaan akan mengambil bentuk:

cos * sin x + sin * cos x = C

atau sin(x + ) = C

Penyelesaian kepada persamaan trigonometri termudah ini ialah

x = (-1) k * arcsin C - + k, di mana



Perlu diingatkan bahawa notasi cos dan sin boleh ditukar ganti.

Selesaikan persamaan sin 3x – cos 3x = 1

Pekali dalam persamaan ini ialah:

a = , b = -1, jadi bahagikan kedua-dua belah dengan = 2

Kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri ialah: mengurangkan persamaan kepada yang paling mudah (menggunakan formula trigonometri), memperkenalkan pembolehubah baru, dan pemfaktoran. Mari kita lihat penggunaannya dengan contoh. Beri perhatian kepada format penulisan penyelesaian kepada persamaan trigonometri.

Syarat yang perlu untuk berjaya menyelesaikan persamaan trigonometri ialah pengetahuan tentang formula trigonometri (topik 13 kerja 6).

Contoh.

1. Persamaan dikurangkan kepada yang paling mudah.

1) Selesaikan persamaan

Penyelesaian:

Jawapan:

2) Cari punca-punca persamaan

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, kepunyaan segmen.

Penyelesaian:

Jawapan:

2. Persamaan yang berkurang kepada kuadratik.

1) Selesaikan persamaan 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Penyelesaian: Menggunakan formula sin 2 x = 1 – cos 2 x, kita dapat

Jawapan:

2) Selesaikan persamaan cos 2x = 1 + 4 cosx.

Penyelesaian: Menggunakan formula cos 2x = 2 cos 2 x – 1, kita dapat

Jawapan:

3) Selesaikan persamaan tgx – 2ctgx + 1 = 0

Penyelesaian:

Jawapan:

3. Persamaan homogen

1) Selesaikan persamaan 2sinx – 3cosx = 0

Penyelesaian: Biarkan cosx = 0, kemudian 2sinx = 0 dan sinx = 0 – satu percanggahan dengan fakta bahawa sin 2 x + cos 2 x = 1. Ini bermakna cosx ≠ 0 dan kita boleh membahagikan persamaan dengan cosx. Kita mendapatkan

Jawapan:

2) Selesaikan persamaan 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Penyelesaian:

Kami menggunakan formula 1 = sin 2 x + cos 2 x dan sin 2x = 2 sinxcosx, kita dapat

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Biarkan cosx = 0, kemudian sin 2 x = 0 dan sinx = 0 – satu percanggahan dengan fakta bahawa sin 2 x + cos 2 x = 1.
Ini bermakna cosx ≠ 0 dan kita boleh membahagikan persamaan dengan cos 2 x . Kita mendapatkan

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Mari kita nyatakan tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

Jawapan: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Persamaan bentuk a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Jawapan:

5. Persamaan diselesaikan dengan pemfaktoran.

1) Selesaikan persamaan sin2x – sinx = 0.

Punca persamaan f (X) = φ ( X) hanya boleh berfungsi sebagai nombor 0. Mari kita semak ini:

cos 0 = 0 + 1 – kesamaan adalah benar.

Nombor 0 adalah satu-satunya punca persamaan ini.

Jawapan: 0.

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada pihak berkuasa kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses tanpa kebenaran, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Anda boleh memesan penyelesaian terperinci untuk masalah anda!!!

Kesamaan yang mengandungi tidak diketahui di bawah tanda fungsi trigonometri (`sin x, cos x, tan x` atau `ctg x`) dipanggil persamaan trigonometri, dan formulanya yang akan kita pertimbangkan lebih lanjut.

Persamaan yang paling mudah ialah `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, dengan `x` ialah sudut yang perlu ditemui, `a` ialah sebarang nombor. Mari kita tuliskan formula akar untuk setiap rumus tersebut.

1. Persamaan `sin x=a`.

Untuk `|a|>1` ia tidak mempunyai penyelesaian.

Apabila `|a| \leq 1` mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Formula akar: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Persamaan `cos x=a`

Untuk `|a|>1` - seperti dalam kes sinus, ia tidak mempunyai penyelesaian antara nombor nyata.

Apabila `|a| \leq 1` mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Formula akar: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Kes khas untuk sinus dan kosinus dalam graf.

3. Persamaan `tg x=a`

Mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga untuk sebarang nilai `a`.

Formula akar: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Persamaan `ctg x=a`

Juga mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga untuk sebarang nilai `a`.

Formula akar: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formula untuk punca persamaan trigonometri dalam jadual

Untuk sinus:
Untuk kosinus:
Untuk tangen dan kotangen:
Formula untuk menyelesaikan persamaan yang mengandungi fungsi trigonometri songsang:

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri

Menyelesaikan sebarang persamaan trigonometri terdiri daripada dua peringkat:

• dengan bantuan mengubahnya kepada yang paling mudah;
• selesaikan persamaan termudah yang diperoleh menggunakan rumus punca dan jadual yang ditulis di atas.

Mari kita lihat kaedah penyelesaian utama menggunakan contoh.

Kaedah algebra.

Kaedah ini melibatkan menggantikan pembolehubah dan menggantikannya kepada kesamaan.

Contoh. Selesaikan persamaan: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

buat penggantian: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, kemudian `2y^2-3y+1=0`,

kita dapati puncanya: `y_1=1, y_2=1/2`, dari mana dua kes berikut:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Jawapan: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Pemfaktoran.

Contoh. Selesaikan persamaan: `sin x+cos x=1`.

Penyelesaian. Mari kita alihkan semua sebutan kesamaan ke kiri: `sin x+cos x-1=0`. Menggunakan , kami mengubah dan memfaktorkan bahagian kiri:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Jawapan: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Pengurangan kepada persamaan homogen

Pertama, anda perlu mengurangkan persamaan trigonometri ini kepada salah satu daripada dua bentuk:

`a sin x+b cos x=0` (persamaan homogen darjah pertama) atau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (persamaan homogen darjah kedua).

Kemudian bahagikan kedua-dua bahagian dengan `cos x \ne 0` - untuk kes pertama, dan dengan `cos^2 x \ne 0` - untuk yang kedua. Kami memperoleh persamaan untuk `tg x`: `a tg x+b=0` dan `a tg^2 x + b tg x +c =0`, yang perlu diselesaikan menggunakan kaedah yang diketahui.

Contoh. Selesaikan persamaan: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Penyelesaian. Mari kita tulis sebelah kanan sebagai `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ini ialah persamaan trigonometri homogen darjah kedua, kita bahagikan sisi kiri dan kanannya dengan `cos^2 x \ne 0`, kita dapat:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Mari kita perkenalkan penggantian `tg x=t`, menghasilkan `t^2 + t - 2=0`. Punca-punca persamaan ini ialah `t_1=-2` dan `t_2=1`. Kemudian:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \dalam Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \dalam Z`.

Jawab. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \dalam Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \dalam Z`.

Bergerak ke Separuh Sudut

Contoh. Selesaikan persamaan: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Penyelesaian. Mari gunakan formula sudut dua kali, menghasilkan: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Menggunakan kaedah algebra yang diterangkan di atas, kami memperoleh:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \dalam Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \dalam Z`.

Jawab. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Pengenalan sudut bantu

Dalam persamaan trigonometri `a sin x + b cos x =c`, dengan a,b,c ialah pekali dan x ialah pembolehubah, bahagikan kedua-dua belah dengan `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

Pekali di sebelah kiri mempunyai sifat sinus dan kosinus, iaitu jumlah kuasa duanya adalah sama dengan 1 dan modulnya tidak lebih daripada 1. Mari kita nyatakan ia seperti berikut: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, maka:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Mari kita lihat lebih dekat contoh berikut:

Contoh. Selesaikan persamaan: `3 sin x+4 cos x=2`.

Penyelesaian. Bahagikan kedua-dua belah kesamaan dengan `sqrt (3^2+4^2)`, kita dapat:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Mari kita nyatakan `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Oleh kerana `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, maka kami mengambil `\varphi=arcsin 4/5` sebagai sudut tambahan. Kemudian kami menulis kesamaan kami dalam bentuk:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Menggunakan formula untuk jumlah sudut untuk sinus, kami menulis kesamaan kami dalam bentuk berikut:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Jawab. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Persamaan trigonometri rasional pecahan

Ini adalah persamaan dengan pecahan yang pengangka dan penyebutnya mengandungi fungsi trigonometri.

Contoh. Selesaikan persamaan. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Penyelesaian. Darab dan bahagi bahagian kanan kesamaan dengan `(1+cos x)`. Hasilnya kami mendapat:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Memandangkan penyebut tidak boleh sama dengan sifar, kita mendapat `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Mari kita samakan pengangka pecahan kepada sifar: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Kemudian `sin x=0` atau `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \dalam Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \dalam Z`.

Diberi bahawa ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, penyelesaiannya ialah `x=2\pi n, n \in Z` dan `x=\pi /2+2\pi n` , `n \dalam Z`.

Jawab. `x=2\pi n`, `n \dalam Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \dalam Z`.

Trigonometri, dan persamaan trigonometri khususnya, digunakan dalam hampir semua bidang geometri, fizik dan kejuruteraan. Belajar bermula pada gred ke-10, sentiasa ada tugas untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu, jadi cuba ingat semua formula persamaan trigonometri - ia pasti berguna kepada anda!

Walau bagaimanapun, anda tidak perlu menghafalnya, perkara utama adalah memahami intipati dan dapat memperolehnya. Ia tidaklah sesukar yang disangka. Lihat sendiri dengan menonton video.

Hubungan antara fungsi trigonometri asas - sinus, kosinus, tangen dan kotangen - diberikan rumus trigonometri. Dan kerana terdapat banyak hubungan antara fungsi trigonometri, ini menerangkan banyaknya formula trigonometri. Sesetengah formula menyambungkan fungsi trigonometri sudut yang sama, yang lain - fungsi sudut berbilang, yang lain - membolehkan anda mengurangkan darjah, keempat - menyatakan semua fungsi melalui tangen sudut separuh, dsb.

Dalam artikel ini kami akan menyenaraikan mengikut susunan semua formula trigonometri asas, yang mencukupi untuk menyelesaikan sebahagian besar masalah trigonometri. Untuk kemudahan hafalan dan penggunaan, kami akan mengumpulkannya mengikut tujuan dan memasukkannya ke dalam jadual.

Navigasi halaman.

Identiti asas trigonometri

Identiti asas trigonometri mentakrifkan hubungan antara sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi satu sudut. Mereka mengikuti dari definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen, serta konsep bulatan unit. Mereka membenarkan anda untuk menyatakan satu fungsi trigonometri dari segi yang lain.

Untuk penerangan terperinci tentang formula trigonometri ini, terbitan dan contoh penggunaannya, lihat artikel.

Formula pengurangan

Formula pengurangan ikut daripada sifat sinus, kosinus, tangen dan kotangen, iaitu, ia mencerminkan sifat berkala fungsi trigonometri, sifat simetri, serta sifat anjakan oleh sudut tertentu. Formula trigonometri ini membolehkan anda beralih daripada bekerja dengan sudut sembarangan kepada bekerja dengan sudut antara sifar hingga 90 darjah.

Rasional untuk formula ini, peraturan mnemonik untuk menghafalnya dan contoh aplikasinya boleh dikaji dalam artikel.

Formula tambahan

Formula penambahan trigonometri menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri hasil tambah atau beza dua sudut dinyatakan dalam sebutan fungsi trigonometri bagi sudut tersebut. Rumus ini berfungsi sebagai asas untuk mendapatkan formula trigonometri berikut.

Formula untuk double, triple, dsb. sudut

Formula untuk double, triple, dsb. sudut (ia juga dipanggil formula berbilang sudut) menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri bagi dua, tiga, dsb. sudut () dinyatakan dalam sebutan fungsi trigonometri bagi satu sudut. Derivasi mereka adalah berdasarkan formula penambahan.

Maklumat yang lebih terperinci dikumpulkan dalam formula artikel untuk double, triple, dsb. sudut

Formula separuh sudut

Formula separuh sudut tunjukkan bagaimana fungsi trigonometri bagi separuh sudut dinyatakan dalam sebutan kosinus bagi sudut keseluruhan. Rumus trigonometri ini mengikuti dari rumus sudut berganda.

Kesimpulan dan contoh aplikasi mereka boleh didapati dalam artikel.

Formula pengurangan darjah

Formula trigonometri untuk mengurangkan darjah direka untuk memudahkan peralihan daripada kuasa semula jadi fungsi trigonometri kepada sinus dan kosinus dalam darjah pertama, tetapi berbilang sudut. Dalam erti kata lain, ia membolehkan anda mengurangkan kuasa fungsi trigonometri kepada yang pertama.

Formula untuk jumlah dan perbezaan fungsi trigonometri

Tujuan utama formula untuk jumlah dan perbezaan fungsi trigonometri adalah untuk pergi ke hasil darab fungsi, yang sangat berguna apabila memudahkan ungkapan trigonometri. Formula ini juga digunakan secara meluas dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, kerana ia membolehkan anda memfaktorkan jumlah dan perbezaan sinus dan kosinus.

Formula untuk hasil darab sinus, kosinus dan sinus dengan kosinus

Peralihan daripada hasil darab fungsi trigonometri kepada jumlah atau perbezaan dijalankan menggunakan formula hasil darab sinus, kosinus dan sinus dengan kosinus.

Penggantian trigonometri sejagat

Kami melengkapkan ulasan kami tentang formula asas trigonometri dengan formula yang menyatakan fungsi trigonometri dari segi tangen setengah sudut. Pengganti ini dipanggil penggantian trigonometri sejagat. Kemudahannya terletak pada fakta bahawa semua fungsi trigonometri dinyatakan dalam sebutan tangen setengah sudut secara rasional tanpa akar.

Bibliografi.

• Algebra: Buku teks untuk darjah 9. purata sekolah/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky - M.: Pendidikan, 1990. - 272 ms. - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Algebra dan permulaan analisis: Buku teks. untuk gred 10-11. purata sekolah - ed ke-3. - M.: Pendidikan, 1993. - 351 p.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra dan permulaan analisis: Proc. untuk gred 10-11. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn dan lain-lain; Ed. A. N. Kolmogorov - ed ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 ms. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (manual untuk pemohon ke sekolah teknik): Proc. elaun.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hlm., sakit.

Hak cipta oleh pelajar pandai

Hak cipta terpelihara.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tiada bahagian tapak, termasuk bahan dalaman dan penampilan, boleh diterbitkan semula dalam apa jua bentuk atau digunakan tanpa kebenaran bertulis terlebih dahulu daripada pemegang hak cipta.