නිශ්චිත උදාහරණ මත ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා ක්රම. ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා මූලික ක්රම

ඔබේ ගැටලුවට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් ඇණවුම් කළ හැකිය !!!

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක (`sin x, cos x, tg x` හෝ `ctg x`) ලකුණ යටතේ නොදන්නා සමානත්වයක් අඩංගු ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, අපි ඒවායේ සූත්‍ර තවදුරටත් සලකා බලමු.

සරලම සමීකරණ වන්නේ `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, මෙහි `x` යනු සොයා ගත යුතු කෝණය වන අතර, `a` යනු ඕනෑම අංකයකි. අපි ඒ එක එක මූල සූත්‍ර ලියමු.

1. සමීකරණය `sin x=a`.

`|a|>1` සඳහා එයට විසඳුම් නොමැත.

සමග `|a| \leq 1` හි අසීමිත විසඳුම් ගණනක් ඇත.

මූල සූත්‍රය: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. සමීකරණය `cos x=a`

`|a|>1` සඳහා - සයින්හි දී මෙන්, තාත්වික සංඛ්‍යා අතර විසඳුම් නොමැත.

සමග `|a| \leq 1` හි අසීමිත විසඳුම් ගණනක් ඇත.

මූල සූත්‍රය: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

ප්‍රස්ථාරවල සයින් සහ කොසයින් සඳහා විශේෂ අවස්ථා.

3. සමීකරණය `tg x=a`

`a` හි ඕනෑම අගයක් සඳහා අසීමිත විසඳුම් ගණනක් ඇත.

මූල සූත්‍රය: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. සමීකරණය `ctg x=a`

එය `a` හි ඕනෑම අගයක් සඳහා අනන්ත විසඳුම් ද ඇත.

මූල සූත්‍රය: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

වගුවේ ඇති ත්රිකෝණමිතික සමීකරණවල මූලයන් සඳහා සූත්ර

සයිනස් සඳහා:
කොසයින් සඳහා:
ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් සඳහා:
ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අඩංගු සමීකරණ විසඳීම සඳහා සූත්‍ර:

ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා ක්රම

ඕනෑම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක විසඳුම අදියර දෙකකින් සමන්විත වේ:

• එය සරලම බවට පරිවර්තනය කිරීමට භාවිතා කිරීම;
• මූලයන් සහ වගු සඳහා ඉහත සූත්‍ර භාවිතයෙන් ලැබෙන සරල සමීකරණය විසඳන්න.

උදාහරණ භාවිතා කරමින් විසඳුමේ ප්රධාන ක්රම සලකා බලමු.

වීජීය ක්රමය.

මෙම ක්‍රමයේදී, විචල්‍යයක් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම සහ එය සමානාත්මතාවයට ආදේශ කිරීම සිදු කෙරේ.

උදාහරණයක්. සමීකරණය විසඳන්න: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

ආදේශකයක් කරන්න: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, ඉන්පසු `2y^2-3y+1=0`,

අපි මූලයන් සොයා ගනිමු: `y_1=1, y_2=1/2`, එයින් අවස්ථා දෙකක් අනුගමනය කරයි:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

පිළිතුර: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

සාධකකරණය.

උදාහරණයක්. සමීකරණය විසඳන්න: `sin x+cos x=1`.

තීරණය. සමානාත්මතාවයේ සියලුම නියමයන් වමට ගෙන යන්න: `sin x+cos x-1=0`. භාවිතා කරමින්, අපි වම් පැත්ත පරිවර්තනය කර සාධකකරණය කරමු:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

පිළිතුර: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

සමජාතීය සමීකරණයකට අඩු කිරීම

පළමුව, ඔබ මෙම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය ආකාර දෙකෙන් එකකට ගෙන ආ යුතුය:

`a sin x+b cos x=0` (පළමු උපාධියේ සමජාතීය සමීකරණය) හෝ `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (දෙවන උපාධියේ සමජාතීය සමීකරණය).

ඉන්පසු පළමු අවස්ථාව සඳහා කොටස් දෙකම `cos x \ne 0` මගින් සහ දෙවැන්න සඳහා `cos^2 x \ne 0` මගින් බෙදන්න. අපට `tg x` සඳහා සමීකරණ ලැබේ: `a tg x+b=0` සහ `a tg^2 x + b tg x +c =0`, එය දන්නා ක්‍රම භාවිතයෙන් විසඳිය යුතුය.

උදාහරණයක්. සමීකරණය විසඳන්න: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

තීරණය. අපි දකුණු පැත්ත `1=sin^2 x+cos^2 x` ලෙස ලියමු:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -`` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

මෙය දෙවන උපාධියේ සමජාතීය ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයකි, එහි වම් සහ දකුණු පැති `cos^2 x \ne 0` මගින් බෙදීම, අපට ලැබෙන්නේ:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස `t^2 + t - 2=0` ප්‍රතිස්ථාපන `tg x=t` හඳුන්වා දෙමු. මෙම සමීකරණයේ මූලයන් වන්නේ `t_1=-2` සහ `t_2=1`. ඉන්පසු:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

පිළිතුර. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Half Corner වෙත යන්න

උදාහරණයක්. සමීකරණය විසඳන්න: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

තීරණය. ද්විත්ව කෝණ සූත්‍ර යෙදීමෙන් ප්‍රතිඵලය වනුයේ: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

ඉහත විස්තර කර ඇති වීජීය ක්‍රමය යෙදීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

පිළිතුර. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

සහායක කෝණයක් හඳුන්වාදීම

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයේ `a sin x + b cos x =c`, a,b,c සංගුණක වන අතර x විචල්‍යයක් වන විට, අපි කොටස් දෙකම `sqrt (a^2+b^2)` මගින් බෙදන්නෙමු:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

වම් පැත්තේ ඇති සංගුණකවලට සයින් සහ කෝසයින් ගුණ ඇත, එනම්, ඒවායේ වර්ගවල එකතුව 1 වන අතර ඒවායේ මාපාංකය උපරිම වශයෙන් 1 වේ. අපි ඒවා පහත පරිදි දක්වමු: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , එවිට:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

පහත උදාහරණය දෙස සමීපව බලමු:

උදාහරණයක්. සමීකරණය විසඳන්න: `3 sin x+4 cos x=2`.

තීරණය. සමීකරණයේ දෙපැත්තම `sqrt (3^2+4^2)` ​​මගින් බෙදීම, අපට ලැබෙන්නේ:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+``\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5= sin \varphi` දක්වන්න. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` නිසා, අපි `\varphi=arcsin 4/5` සහායක කෝණයක් ලෙස ගනිමු. ඉන්පසු අපි අපගේ සමානාත්මතාවය ආකෘතියෙන් ලියන්නෙමු:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

සයින් සඳහා කෝණ එකතුව සඳහා සූත්‍රය යෙදීමෙන්, අපි අපගේ සමානාත්මතාවය පහත ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

පිළිතුර. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

භාගික-තාර්කීය ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ

මේවා ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත ඇති සංඛ්‍යා සහ හරවල භාග සමග සමානතා වේ.

උදාහරණයක්. සමීකරණය විසඳන්න. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

තීරණය. සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත `(1+cos x)` මගින් ගුණ කර බෙදන්න. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපට ලැබෙන්නේ:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

හරය ශුන්‍ය විය නොහැකි නිසා, අපට `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ලැබේ.

භාගයේ සංඛ්‍යාව ශුන්‍යයට සම කරන්න: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. ඉන්පසු `sin x=0` හෝ `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

`x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ලෙස ලබා දී ඇති පරිදි, විසඳුම් වන්නේ `x=2\pi n, n \in Z` සහ `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

පිළිතුර. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

විශේෂයෙන්ම ත්‍රිකෝණමිතිය සහ ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ ජ්‍යාමිතිය, භෞතික විද්‍යාව සහ ඉංජිනේරු විද්‍යාව යන සෑම අංශයකම පාහේ භාවිතා වේ. අධ්‍යයනය ආරම්භ වන්නේ 10 වන ශ්‍රේණියේ, විභාගය සඳහා සෑම විටම කාර්යයන් ඇත, එබැවින් ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල සියලුම සූත්‍ර මතක තබා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න - ඒවා අනිවාර්යයෙන්ම ඔබට ප්‍රයෝජනවත් වනු ඇත!

කෙසේ වෙතත්, ඔබට ඒවා කටපාඩම් කිරීමට පවා අවශ්ය නැත, ප්රධාන දෙය වන්නේ සාරය තේරුම් ගැනීම සහ නිගමනය කිරීමට හැකි වීමයි. එය පෙනෙන තරම් අපහසු නැත. වීඩියෝව නැරඹීමෙන් ඔබම බලන්න.

ත්‍රිකෝණමිතියෙහි මූලික සූත්‍ර පිළිබඳ දැනුම අවශ්‍ය වේ - සයින් සහ කෝසයින් වර්ගවල එකතුව, සයින් සහ කෝසයින් හරහා ස්පර්ශක ප්‍රකාශනය සහ වෙනත් ය. ඒවා අමතක වූ හෝ නොදන්නා අය සඳහා, අපි "" ලිපිය කියවීමට නිර්දේශ කරමු.
ඉතින්, අපි මූලික ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර දන්නවා, ඒවා ක්‍රියාවට නැංවීමට කාලයයි. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීමනිවැරදි ප්‍රවේශය සමඟ, එය ඉතා උද්යෝගිමත් ක්‍රියාකාරකමකි, උදාහරණයක් ලෙස, රුබික් කැටයක් විසඳීම වැනි.

නම මතම පදනම්ව, ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් යනු නොදන්නා දෙය ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක ලකුණ යටතේ ඇති සමීකරණයක් බව පැහැදිලිය.
ඊනියා සරල ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ ඇත. මෙන්න ඒවා පෙනෙන්නේ කෙසේද: sinх = a, cos x = a, tg x = a. සලකා බලන්න, එවැනි ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද?, පැහැදිලිකම සඳහා, අපි දැනටමත් හුරුපුරුදු ත්රිකෝණමිතික කවය භාවිතා කරමු.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

cot x = a

ඕනෑම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් අදියර දෙකකින් විසඳනු ලැබේ: අපි සමීකරණය සරලම ස්වරූපයට ගෙන එන අතර පසුව එය සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය ලෙස විසඳන්නෙමු.
ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන ප්‍රධාන ක්‍රම 7ක් ඇත.

1. විචල්ය ආදේශන සහ ආදේශන ක්රමය

2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0 සමීකරණය විසඳන්න

අඩු කිරීමේ සූත්‍ර භාවිතා කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

සරල බව සඳහා cos(x + /6) y සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කර සුපුරුදු චතුරස්‍ර සමීකරණය ලබා ගනිමු:

2y 2 - 3y + 1 + 0

y 1 = 1, y 2 = 1/2 යන මූලයන්

දැන් අපි ආපස්සට යමු

අපි y හි සොයාගත් අගයන් ආදේශ කර පිළිතුරු දෙකක් ලබා ගනිමු:

2. සාධකකරණය හරහා ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම

sin x + cos x = 1 සමීකරණය විසඳන්නේ කෙසේද?

0 දකුණේ පවතින පරිදි අපි සියල්ල වමට ගෙන යමු:

sin x + cos x - 1 = 0

සමීකරණය සරල කිරීම සඳහා අපි ඉහත අනන්‍යතා භාවිතා කරමු:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

අපි සාධකකරණය කරමු:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

අපට සමීකරණ දෙකක් ලැබේ

3. සමජාතීය සමීකරණයකට අඩු කිරීම

සමීකරණයක් සයින් සහ කෝසයින් සම්බන්ධයෙන් සමජාතීය වන්නේ සයින් සහ කෝසයින් සම්බන්ධයෙන් එහි සියලුම නියමයන් එකම කෝණයකින් සමාන නම්. සමජාතීය සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා, පහත පරිදි ඉදිරියට යන්න:

අ) එහි සියලුම සාමාජිකයින් වම් පැත්තට මාරු කරන්න;

ආ) සියලු පොදු සාධක වරහන් වලින් ඉවත් කරන්න;

ඇ) සියලු සාධක සහ වරහන් 0 ට සමාන කරන්න;

ඈ) වරහන් තුළ, අඩු උපාධියක සමජාතීය සමීකරණයක් ලබා ගන්නා අතර, එය සයින් හෝ කෝසයින් මගින් ඉහළ මට්ටමකට බෙදනු ලැබේ;

e) tg සඳහා ලැබෙන සමීකරණය විසඳන්න.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 සමීකරණය විසඳන්න

අපි sin 2 x + cos 2 x = 1 සූත්‍රය භාවිතා කර දකුණු පස ඇති විවෘත දෙක ඉවත් කරමු:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cosx මගින් බෙදන්න:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

අපි tg x y සමඟ ආදේශ කර චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් ලබා ගනිමු:

y 2 + 4y +3 = 0 එහි මූලයන් y 1 =1, y 2 = 3

මෙතැන් සිට අපි මුල් සමීකරණයට විසඳුම් දෙකක් සොයා ගනිමු:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. අර්ධ කෝණයකට මාරුවීම හරහා සමීකරණ විසඳීම

3sin x - 5cos x = 7 සමීකරණය විසඳන්න

අපි x/2 වෙත යමු:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

සියල්ල වමට මාරු කිරීම:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) අනුව බෙදන්න:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. සහායක කෝණයක් හඳුන්වාදීම

සලකා බැලීම සඳහා, අපි පෝරමයේ සමීකරණයක් ගනිමු: a sin x + b cos x \u003d c,

මෙහි a, b, c සමහර අත්තනෝමතික සංගුණක වන අතර x යනු නොදන්නා කරුණකි.

සමීකරණයේ දෙපැත්තම බෙදන්න:



දැන් සමීකරණයේ සංගුණක, ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍රවලට අනුව, sin සහ cos හි ගුණ ඇත, එනම්: ඒවායේ මාපාංකය 1 ට වඩා වැඩි නොවන අතර වර්ගවල එකතුව = 1. අපි ඒවා පිළිවෙලින් cos සහ sin ලෙස දක්වමු, කොහෙද? ඊනියා සහායක කෝණය. එවිට සමීකරණය පෝරමය ගනී:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

හෝ sin(x +) = C

මෙම සරල ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයට විසඳුම වන්නේ

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, කොහෙද



cos සහ sin යන තනතුරු එකිනෙකට හුවමාරු වන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය.

sin 3x - cos 3x = 1 සමීකරණය විසඳන්න

මෙම සමීකරණයේ සංගුණක වන්නේ:

a \u003d, b \u003d -1, එබැවින් අපි කොටස් දෙකම \u003d 2 න් බෙදන්නෙමු

සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල විසඳුම.

ඕනෑම සංකීර්ණතාවයක ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල විසඳුම අවසානයේ සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම දක්වා පැමිණේ. මෙහි දී, ත්‍රිකෝණමිතික කවය නැවතත් හොඳම සහායකයා බවට පත්වේ.

කොසයින් සහ සයින් අර්ථ දැක්වීම් සිහිපත් කරන්න.

කෝණයක කෝසයින් යනු දී ඇති කෝණයකින් භ්‍රමණය වීමට අනුරූප වන ඒකක කවයේ ලක්ෂ්‍යයක abscissa (එනම් අක්ෂය දිගේ ඛණ්ඩාංකය) වේ.

කෝණයක සයින් යනු දී ඇති කෝණයක් හරහා භ්‍රමණය වීමට අනුරූප වන ඒකක කවයේ ලක්ෂ්‍යයක ඕඩිනේට් (එනම් අක්ෂය දිගේ ඛණ්ඩාංකය) වේ.

ත්‍රිකෝණමිතික කවය දිගේ චලනය වීමේ ධනාත්මක දිශාව වාමාවර්තව චලනය ලෙස සැලකේ. අංශක 0 ක (හෝ රේඩියන 0) භ්‍රමණයක් ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්‍යයකට අනුරූප වේ (1; 0)

සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීමට අපි මෙම අර්ථ දැක්වීම් භාවිතා කරමු.

1. සමීකරණය විසඳන්න

මෙම සමීකරණය භ්‍රමණ කෝණයේ එවැනි සියලුම අගයන් මගින් සෑහීමකට පත්වේ, එය රවුමේ ලක්ෂ්‍යවලට අනුරූප වන අතර එහි විධානය සමාන වේ.

y-අක්ෂයේ ordinate සමඟ ලක්ෂ්‍යයක් සලකුණු කරමු:

එය රවුම සමඟ ඡේදනය වන තෙක් x-අක්ෂයට සමාන්තරව තිරස් රේඛාවක් අඳින්න. අපට රවුමක වැතිරී ඕඩිනේට් එකක් ඇති ලකුණු දෙකක් ලැබේ. මෙම ලක්ෂ්ය භ්රමණ කෝණ සහ රේඩියන වලට අනුරූප වේ:

අපි, රේඩියනයකට භ්‍රමණ කෝණයට අනුරූප ලක්ෂ්‍යය අතහැර, සම්පූර්ණ කවයක් වටා ගියහොත්, අපි රේඩියනයකට භ්‍රමණ කෝණයට අනුරූප වන ලක්ෂ්‍යයකට පැමිණෙමු. එනම්, මෙම භ්‍රමණ කෝණය අපගේ සමීකරණය ද තෘප්තිමත් කරයි. අපට කැමති තරම් "නිෂ්ක්‍රීය" හැරීම් කළ හැකි අතර, එකම ලක්ෂ්‍යයට ආපසු යා හැකි අතර, මෙම සියලු කෝණ අගයන් අපගේ සමීකරණය තෘප්තිමත් කරනු ඇත. "නිෂ්ක්‍රීය" විප්ලව ගණන අකුරෙන් (හෝ) දක්වා ඇත. අපට මෙම විප්ලවයන් ධනාත්මක සහ සෘණ යන දෙඅංශයෙන්ම සිදු කළ හැකි බැවින්, (හෝ ) ඕනෑම පූර්ණ සංඛ්‍යා අගයක් ගත හැක.

එනම්, මුල් සමීකරණයේ පළමු විසඳුම් මාලාවේ ස්වරූපය ඇත:

, , - පූර්ණ සංඛ්‍යා කට්ටලයක් (1)

ඒ හා සමානව, දෙවන විසඳුම් මාලාවේ පෝරමය ඇත:

, කොහෙද, . (2)

ඔබ අනුමාන කළ පරිදි, මෙම විසඳුම් මාලාව පදනම් වන්නේ භ්‍රමණ කෝණයට අනුරූප වන රවුමේ ලක්ෂ්‍යය මත ය.

මෙම විසඳුම් මාලාවන් දෙක එක් ප්‍රවේශයකට ඒකාබද්ධ කළ හැකිය:

අපි මෙම ප්‍රවේශය (එනම්, පවා) ගතහොත්, අපට පළමු විසඳුම් මාලාව ලැබෙනු ඇත.

අපි මෙම ප්‍රවේශය (එනම්, ඔත්තේ) ගතහොත්, අපට දෙවන විසඳුම් මාලාව ලැබෙනු ඇත.

2. දැන් අපි සමීකරණය විසඳමු

කෝණය හරහා හැරීමෙන් ලබාගත් ඒකක කවයේ ලක්ෂ්‍යයේ abscissa වන බැවින්, අපි abscissa සමඟ ලක්ෂ්‍යයක් අක්ෂයේ සලකුණු කරමු:

රවුම සමඟ ඡේදනය වන තෙක් අක්ෂයට සමාන්තරව සිරස් රේඛාවක් අඳින්න. අපට රවුමක වැතිරී abscissa ඇති ලකුණු දෙකක් ලැබෙනු ඇත. මෙම ලක්ෂ්ය භ්රමණ කෝණ සහ රේඩියන වලට අනුරූප වේ. දක්ෂිණාවර්තව ගමන් කරන විට, අපට සෘණ භ්‍රමණ කෝණයක් ලැබෙන බව මතක තබා ගන්න:

අපි විසඳුම් මාලාවක් දෙකක් ලියන්නෙමු:

,

,

(ප්‍රධාන සම්පූර්ණ කවයෙන් පසු කිරීමෙන් අපි නිවැරදි ස්ථානයට පැමිණෙමු, එනම්.

අපි මෙම මාලා දෙක එක් පෝස්ට් එකකට ඒකාබද්ධ කරමු:

3. සමීකරණය විසඳන්න

ස්පර්ශක රේඛාව OY අක්ෂයට සමාන්තරව ඒකක කවයේ ඛණ්ඩාංක (1,0) සමඟ ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරයි.

1 ට සමාන ඕඩිනේට් එකකින් ලක්ෂ්‍යයක් ලකුණු කරන්න (අපි සොයන්නේ 1 කෝණවල ස්පර්ශකය):

මෙම ලක්ෂ්යය සරල රේඛාවක් සමඟ මූලාරම්භයට සම්බන්ධ කර ඒකක කවය සමඟ රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ස්ථාන සලකුණු කරන්න. රේඛාවේ සහ රවුමේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍ය භ්‍රමණ කෝණවලට අනුරූප වන අතර:

අපගේ සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන භ්‍රමණ කෝණවලට අනුරූප ලක්ෂ්‍ය රේඩියන වෙන්ව පවතින බැවින්, අපට විසඳුම පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:

4. සමීකරණය විසඳන්න

කෝටැන්ජන්ට් රේඛාව අක්ෂයට සමාන්තරව ඒකක කවයේ ඛණ්ඩාංක සමඟ ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරයි.

අපි කෝටැන්ජන්ට් රේඛාවේ abscissa -1 සමඟ ලක්ෂ්‍යයක් සලකුණු කරමු:

මෙම ලක්ෂ්යය සරල රේඛාවේ මූලාරම්භයට සම්බන්ධ කර එය රවුම සමඟ ඡේදනය වන තෙක් එය දිගටම කරගෙන යන්න. මෙම රේඛාව රේඩියනවල භ්‍රමණ කෝණවලට අනුරූප ස්ථානවල රවුම ඡේදනය කරයි:

ට සමාන දුරකින් මෙම ලක්ෂ්‍ය එකිනෙකින් වෙන් කර ඇති බැවින්, අපට මෙම සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:

ලබා දී ඇති උදාහරණ වලදී, සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල විසඳුම නිදර්ශනය කිරීම සඳහා, ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල වගු අගයන් භාවිතා කරන ලදී.

කෙසේ වෙතත්, සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ වගු නොවන අගයක් තිබේ නම්, අපි සමීකරණයේ පොදු විසඳුමේ අගය ආදේශ කරමු:

විශේෂ විසඳුම්:

0 වන කවය මත ලකුණු ලකුණු කරන්න:

රවුමේ තනි ලක්ෂ්‍යයක් සලකුණු කරන්න, එහි විධානය 1 ට සමාන වේ:

රවුමේ තනි ලක්ෂ්‍යයක් සලකුණු කරන්න, එහි විධානය -1 ට සමාන වේ:

ශුන්‍යයට ආසන්න අගයන් දැක්වීම සිරිතක් බැවින්, අපි විසඳුම පහත පරිදි ලියන්නෙමු:

රවුමේ ලකුණු සලකුණු කරන්න, එහි abscissa 0:

5.
රවුමේ තනි ලක්ෂ්‍යයක් සලකුණු කරමු, එහි abscissa 1 ට සමාන වේ:

රවුමේ තනි ලක්ෂ්‍යයක් සලකුණු කරන්න, එහි abscissa -1 ට සමාන වේ:

සහ තවත් සංකීර්ණ උදාහරණ කිහිපයක්:

1.

තර්කය නම් සයින් එකකි

අපගේ සයින් තර්කය වන්නේ, එබැවින් අපට ලැබෙන්නේ:

සමීකරණයේ දෙපැත්තම 3 න් බෙදන්න:

පිළිතුර:

2.

කෝසයින් තර්කය නම් කෝසයින් ශුන්‍ය වේ

අපගේ කොසයිනයේ තර්කය වන්නේ, එබැවින් අපට ලැබෙන්නේ:

අපි ප්රකාශ කරමු , මේ සඳහා අපි මුලින්ම ප්රතිවිරුද්ධ ලකුණ සමඟ දකුණට ගමන් කරමු:

දකුණු පැත්ත සරල කරන්න:

කොටස් දෙකම -2 න් බෙදන්න:

k ඕනෑම නිඛිල අගයක් ගත හැකි බැවින්, පදයට පෙර ලකුණ වෙනස් නොවන බව සලකන්න.

පිළිතුර:

අවසාන වශයෙන්, "ත්‍රිකෝණමිතික කවයක් භාවිතා කරමින් ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක මූලයන් තෝරාගැනීම" යන වීඩියෝ නිබන්ධනය නරඹන්න.

සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම පිළිබඳ සංවාදය මෙයින් අවසන් වේ. ඊළඟ වතාවේ අපි විසඳන්නේ කෙසේද යන්න ගැන කතා කරමු.

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීමේ සංකල්පය.

• ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් විසඳීමට, එය මූලික ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ එකක් හෝ කිහිපයකට පරිවර්තනය කරන්න. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය විසඳීම අවසානයේ මූලික ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ හතර විසඳීම දක්වා පැමිණේ.