දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග මොනවාද? දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය: න්‍යාය සහ ගැටළු විසඳීම

දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය

අපි වාහකයන් සමඟ දිගටම කටයුතු කරන්නෙමු. පළමු පාඩමේදී ඩමි සඳහා දෛශිකඅපි දෛශික සංකල්පය, දෛශික සමඟ ක්‍රියා, දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක සහ දෛශික සමඟ සරලම කාර්යයන් පරීක්ෂා කළෙමු. ඔබ පළමු වරට සෙවුම් යන්ත්‍රයකින් මෙම පිටුවට පැමිණියේ නම්, ඉහත හඳුන්වාදීමේ ලිපිය කියවීමට මම තරයේ නිර්දේශ කරමි, මන්ද ද්‍රව්‍ය ප්‍රගුණ කිරීමට, ඔබ මා භාවිතා කරන නියමයන් සහ අංකනයන්හි සැරිසැරීමට අවශ්‍ය වන අතර දෛශික පිළිබඳ මූලික දැනුමක් තිබිය යුතුය. මූලික ගැටළු විසඳීමට. මෙම පාඩම මාතෘකාවේ තාර්කික අඛණ්ඩ පැවැත්මක් වන අතර, එය දෛශිකවල තිත් නිෂ්පාදනය භාවිතා කරන සාමාන්‍ය කාර්යයන් විස්තරාත්මකව විශ්ලේෂණය කරමි. මෙය ඉතා වැදගත් ක්‍රියාකාරකමකි.... උදාහරණ මඟ නොහැරීමට උත්සාහ කරන්න, ඒවා ප්රයෝජනවත් ප්රසාද දීමනාවක් සමඟ ඇත - ඔබ ආවරණය කර ඇති ද්රව්යය ඒකාබද්ධ කිරීමට සහ විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතියෙහි පොදු ගැටළු සඳහා ඔබේ දෑත් ලබා ගැනීමට පුහුණුවීම් උපකාරි වනු ඇත.

දෛශික එකතු කිරීම, දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම.... ගණිතඥයන් වෙනත් කිසිවක් ඉදිරිපත් කර නැතැයි සිතීම බොළඳ වනු ඇත. දැනටමත් සලකා බැලූ ක්රියා වලට අමතරව, දෛශික සමඟ තවත් මෙහෙයුම් ගණනාවක් ඇත, එනම්: දෛශික වල dot නිෂ්පාදනය, දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයහා දෛශික මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක්... දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනය පාසලේ සිට අපට හුරුපුරුදු ය, අනෙක් නිෂ්පාදන දෙක සාම්ප්‍රදායිකව උසස් ගණිත පාඨමාලාවට සම්බන්ධ වේ. මාතෘකා සරලයි, බොහෝ ගැටළු විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම ඒකාකෘති සහ තේරුම්ගත හැකි ය. එකම දෙය. තොරතුරු රාශියක් ඇත, එබැවින් ප්‍රගුණ කිරීමට උත්සාහ කිරීම නුසුදුසු ය, සියල්ල එකවර විසඳන්න. මෙය තේ පෝච්චි සඳහා විශේෂයෙන් සත්‍ය වේ, මාව විශ්වාස කරන්න, කතුවරයාට ගණිතයෙන් චිකාටිලෝ මෙන් දැනීමට කිසිසේත් අවශ්‍ය නැත. හොඳයි, සහ ගණිතයෙන් නොවේ, ඇත්ත වශයෙන්ම, ද =) වැඩිපුර සූදානම් වූ සිසුන්ට ද්‍රව්‍ය තෝරා බේරා භාවිතා කළ හැකිය, අර්ථයෙන්, නැතිවූ දැනුම "ලබා ගන්න", මම ඔබට හානිකර කවුන්ට් ඩ්‍රැකියුලා වන්නෙමි =)

අවසාන වශයෙන්, අපි දොර විවෘත කර, දෛශික දෙකක් එකිනෙක හමු වූ විට කුමක් සිදුවේදැයි උද්යෝගයෙන් බලමු.

දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය නිර්ණය කිරීම.
තිත් නිෂ්පාදන ගුණාංග. සාමාන්ය කාර්යයන්

තිත් නිෂ්පාදන සංකල්පය

මුලින්ම ගැන දෛශික අතර කෝණය... දෛශික අතර කෝණය කුමක්දැයි සෑම දෙනාම අවබෝධයෙන් වටහාගෙන ඇතැයි මම සිතමි, නමුත් යම් අවස්ථාවක දී, තව ටිකක් විස්තරාත්මකව. නොමිලේ ශුන්‍ය නොවන දෛශික සහ සලකා බලන්න. ඔබ මෙම දෛශික අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයෙන් කල් දැමුවහොත්, බොහෝ දෙනෙක් දැනටමත් ඔවුන්ගේ මනසෙහි සිතාගෙන ඇති පින්තූරයක් ඔබට ලැබේ:

මෙහි දී මම තත්ත්වය ගෙනහැර දැක්වූයේ අවබෝධතා මට්ටමින් පමණක් බව පාපොච්චාරණය කරමි. ඔබට දෛශික අතර කෝණය පිළිබඳ දැඩි අර්ථ දැක්වීමක් අවශ්ය නම්, කරුණාකර පෙළපොත වෙත යොමු වන්න, නමුත් ප්රායෝගික ගැටළු සඳහා අපට, ප්රතිපත්තිමය වශයෙන්, එය අවශ්ය නොවේ. තවද මෙහි සහ ඊළඟට මම සමහර ස්ථානවල ශුන්‍ය දෛශික අඩු ප්‍රායෝගික වැදගත්කම හේතුවෙන් නොසලකා හරිමි. පහත සඳහන් සමහර ප්‍රකාශවල න්‍යායික අසම්පූර්ණත්වය සම්බන්ධයෙන් මට දෝෂාරෝපණය කළ හැකි උසස් අඩවි නරඹන්නන් සඳහා මම විශේෂයෙන් වෙන් කිරීමක් කළෙමි.

අංශක 0 සිට 180 දක්වා (0 සිට රේඩියන දක්වා) ඇතුළුව අගයන් ගත හැක. විශ්ලේෂණාත්මකව, මෙම කරුණ ද්විත්ව අසමානතාවයේ ස්වරූපයෙන් ලියා ඇත:

හෝ

(රේඩියන වලින්).

සාහිත්යයේ දී, කෝණ නිරූපකය බොහෝ විට නොසලකා හරින අතර සරලව ලියා ඇත.

අර්ථ දැක්වීම:දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය යනු මෙම දෛශික වල දිග වල ගුණිතයට සමාන වන NUMBER වන අතර ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයිනය:

මෙය දැනටමත් තරමක් දැඩි නිර්වචනයකි.

අපි අත්‍යවශ්‍ය තොරතුරු කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමු:

තනතුර: dot product මගින් හෝ සරලව දක්වා ඇත.

මෙහෙයුමේ ප්‍රතිඵලය NUMBER වේ: දෛශිකය දෛශිකයෙන් ගුණ කරනු ලබන අතර, ප්රතිඵලය අංකයකි. ඇත්ත වශයෙන්ම, දෛශිකවල දිග සංඛ්‍යා නම්, කෝණයක කෝසයින් අංකයක් නම්, ඒවායේ නිෂ්පාදනය අංකයක් ද වනු ඇත.

උණුසුම් කිරීමේ උදාහරණ කිහිපයක් පමණි:

උදාහරණ 1

විසඳුමක්:අපි සූත්රය භාවිතා කරමු ... මේ අවස්ථාවේ දී:

පිළිතුර:

කොසයින් අගයන් සොයා ගත හැක ත්රිකෝණමිතික වගුව... මම එය මුද්රණය කිරීමට නිර්දේශ කරමි - එය කුළුණේ සෑම අංශයකම පාහේ අවශ්ය වන අතර බොහෝ වාරයක් අවශ්ය වනු ඇත.

තනිකරම ගණිතමය දෘෂ්ටි කෝණයකින්, තිත් නිෂ්පාදිතය මානයන් රහිත ය, එනම්, ප්‍රති result ලය, මෙම අවස්ථාවෙහි, සංඛ්‍යාවක් පමණක් වන අතර එය එයයි. භෞතික විද්‍යාවේ ගැටළු වල දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, පරිමාණ නිෂ්පාදනයට සෑම විටම නිශ්චිත භෞතික අර්ථයක් ඇත, එනම්, ප්‍රති result ලයෙන් පසුව, එක් හෝ තවත් භෞතික ඒකකයක් දැක්විය යුතුය. බලයේ කාර්යය ගණනය කිරීමේ කැනොනිකල් උදාහරණයක් ඕනෑම පෙළපොතකින් සොයාගත හැකිය (සූත්රය හරියටම තිත් නිෂ්පාදනයයි). බලයේ කාර්යය ජූල්ස් වලින් මනිනු ලැබේ, එබැවින් පිළිතුර ඉතා නිශ්චිතව ලියා ඇත, උදාහරණයක් ලෙස.

උදාහරණ 2

නම් සොයන්න , සහ දෛශික අතර කෝණය වේ.

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි විසඳුමක් සඳහා උදාහරණයකි, පිළිතුර නිබන්ධනය අවසානයේ ඇත.

දෛශික අතර කෝණය සහ තිත් නිෂ්පාදන අගය

උදාහරණ 1 හි, තිත් නිෂ්පාදනය ධනාත්මක බවට පත් වූ අතර උදාහරණ 2 හි එය ඍණ බවට පත් විය. තිත් නිෂ්පාදනයේ ලකුණ රඳා පවතින්නේ කුමක් දැයි අපි සොයා බලමු. අපි අපගේ සූත්‍රය දෙස බලමු: ... ශුන්‍ය නොවන දෛශිකවල දිග සෑම විටම ධනාත්මක වේ:, එබැවින් ලකුණ රඳා පවතින්නේ කොසයිනයේ අගය මත පමණි.

සටහන: පහත තොරතුරු පිළිබඳ වඩා හොඳ අවබෝධයක් සඳහා, අත්පොතෙහි ඇති කොසයින් ප්‍රස්ථාරය අධ්‍යයනය කිරීම වඩා හොඳය ක්‍රියාකාරී ප්‍රස්ථාර සහ ගුණාංග... කොසයිනය කොටසක හැසිරෙන ආකාරය බලන්න.

දැනටමත් සඳහන් කර ඇති පරිදි, දෛශික අතර කෝණය වෙනස් විය හැක , සහ පහත සඳහන් අවස්ථා හැකි ය:

1) නම් එන්නත් කිරීමදෛශික අතර කුළුබඩු සහිත: (අංශක 0 සිට 90 දක්වා), පසුව , හා dot නිෂ්පාදනය ධනාත්මක වනු ඇත සම අධ්‍යක්ෂණය කළා, එවිට ඔවුන් අතර කෝණය ශුන්ය ලෙස සලකනු ලබන අතර, තිත් නිෂ්පාදනය ද ධනාත්මක වනු ඇත. සූත්‍රය සරල කර ඇති බැවින්:.

2) නම් එන්නත් කිරීමදෛශික අතර මෝඩ: (අංශක 90 සිට 180 දක්වා), පසුව , සහ ඒ අනුව, dot නිෂ්පාදනය ඍණ වේ:. විශේෂ අවස්ථාව: දෛශික නම් ප්රතිවිරුද්ධ දිශාව, එවිට ඔවුන් අතර කෝණය සලකනු ලැබේ යොදවා ඇත: (අංශක 180). තිත් නිෂ්පාදනය ද සෘණාත්මක වේ, සිට

ප්‍රතිවිරුද්ධ ප්‍රකාශ ද සත්‍ය වේ:

1) නම්, මෙම දෛශික අතර කෝණය තියුණු වේ. විකල්පයක් ලෙස, දෛශික දෛශික වේ.

2) නම්, ලබා දී ඇති දෛශික අතර කෝණය නොපැහැදිලි වේ. විකල්පයක් ලෙස, දෛශික ප්රතිවිරුද්ධව යොමු කර ඇත.

නමුත් තුන්වන නඩුව විශේෂ උනන්දුවක් දක්වයි:

3) නම් එන්නත් කිරීමදෛශික අතර කෙලින්ම: (අංශක 90), එවිට dot නිෂ්පාදන ශුන්‍ය වේ:. ප්‍රතිලෝමය ද සත්‍ය වේ: නම්, එසේ නම්. ප්රකාශය පහත පරිදි සංයුක්තව සකස් කර ඇත: දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය ශුන්‍ය වන්නේ මෙම දෛශික විකලාංග නම් සහ පමණි... කෙටි ගණිත අංකනය:

! සටහන : නැවත ගණිතමය තර්කනයේ පදනම්: ද්විත්ව ඒකපාර්ශ්වික තාර්කික ප්රතිවිපාක නිරූපකය සාමාන්යයෙන් "එවිට සහ පසුව පමණක්", "නම් සහ පමණක් නම්" ලෙස කියවනු ලැබේ. ඔබට පෙනෙන පරිදි, ඊතල දෙපැත්තටම යොමු කර ඇත - "මෙයින් මෙය පහත දැක්වේ, සහ අනෙක් අතට - මෙයින් පහත දැක්වෙන දේ වලින්." මාර්ගය වන විට, එක් මාර්ගයක් අනුගමනය කිරීමේ නිරූපකයෙන් වෙනස කුමක්ද? අයිකනය හිමිකම් කියයි එය පමණි"එය මෙයින් අනුගමනය කරයි" සහ ප්‍රතිවිරුද්ධ දෙය සත්‍යයක් නොවේ. උදාහරණයක් ලෙස: නමුත් සෑම මෘගයෙක්ම පැන්තර් නොවේ, එබැවින් මෙම අවස්ථාවේදී අයිකනය භාවිතා කළ නොහැක. ඒ සමගම, අයිකනය වෙනුවට පුළුවන්එක්-මාර්ග නිරූපකය භාවිතා කරන්න. උදාහරණයක් ලෙස, ගැටළුව විසඳීමේදී, දෛශික විකලාංග බව අපි නිගමනය කළෙමු: - එවැනි ප්‍රවේශයක් නිවැරදි වනු ඇත, ඊටත් වඩා සුදුසු ය .

තුන්වන නඩුව ඉතා ප්රායෝගික වැදගත්කමක් දරයි.දෛශික විකලාංග ද නැද්ද යන්න පරීක්ෂා කිරීමට එය ඔබට ඉඩ සලසයි. පාඩමේ දෙවන කොටසේදී අපි මෙම ගැටළුව විසඳන්නෙමු.

තිත් නිෂ්පාදන ගුණාංග

දෛශික දෙකක් ඇති විට අපි තත්වයට යමු සම අධ්‍යක්ෂණය කළා... මෙම අවස්ථාවේදී, ඒවා අතර කෝණය ශුන්‍යයට සමාන වන අතර, තිත් නිෂ්පාදන සූත්‍රය පෝරමය ගනී :.

දෛශිකය විසින්ම ගුණ කළහොත් කුමක් සිදුවේද? දෛශිකය තමා සමඟම සහයෝගී වන බව පැහැදිලිය, එබැවින් අපි ඉහත සරල කළ සූත්‍රය භාවිතා කරමු:

අංකය කැඳවනු ලැබේ අදිශ චතුරස්රයදෛශිකය, සහ ලෙස දැක්වේ.

මේ අනුව, දෛශිකයේ අදිශ චතුරස්‍රය ලබා දී ඇති දෛශිකයේ දිග වර්ග වලට සමාන වේ:

මෙම සමානාත්මතාවයෙන්, ඔබට දෛශිකයක දිග ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රයක් ලබා ගත හැක:

එය නොපැහැදිලි බවක් පෙනෙන්නට තිබුණත්, පාඩමේ කාර්යයන් සෑම දෙයක්ම එහි ස්ථානයේ තබයි. ගැටළු විසඳීමට, අපට ද අවශ්ය වේ dot නිෂ්පාදන ගුණාංග.

අත්තනෝමතික දෛශික සහ ඕනෑම අංකයක් සඳහා, පහත ගුණාංග වලංගු වේ:

1) - විස්ථාපනය කළ හැකි හෝ සංක්රමණිකපරිමාණ නිෂ්පාදන නීතිය.

2) - බෙදා හැරීම හෝ බෙදාහැරීමේපරිමාණ නිෂ්පාදන නීතිය. සරලව, ඔබට වරහන් පුළුල් කළ හැකිය.

3) - සංයෝජනය හෝ ආශ්රිතපරිමාණ නිෂ්පාදන නීතිය. තිත් නිෂ්පාදනයෙන් නියතය පිටතට ගත හැක.

බොහෝ විට, සියලු වර්ගවල දේපල (ඒවා ද ඔප්පු කළ යුතුය!) සිසුන් විසින් අනවශ්‍ය කුණු ලෙස සලකනු ලැබේ, එය මතක තබා ගත යුතු අතර විභාගයෙන් පසු වහාම ආරක්ෂිතව අමතක කළ යුතුය. මෙහි වැදගත් දෙය නම්, සාධක ප්‍රකෘතියෙන් නිෂ්පාදිතය වෙනස් නොවන බව පළමු ශ්‍රේණියේ සිට සෑම දෙනාම දන්නා බව පෙනේ :. මම ඔබට අනතුරු ඇඟවිය යුතුයි, සමාන ප්‍රවේශයක් සහිත උසස් ගණිතයේදී, ලී කැඩීම පහසුය. එබැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, විස්ථාපන දේපල වලංගු නොවේ වීජීය න්‍යාස... සඳහාද එය සත්‍ය නොවේ දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනය... එමනිසා, කළ හැකි සහ කළ නොහැකි දේ තේරුම් ගැනීම සඳහා අවම වශයෙන් උසස් ගණිතය අතරතුර ඔබට හමු වන ඕනෑම ගුණාංගයක් සොයා බැලීම වඩා හොඳය.

උදාහරණය 3

විසඳුමක්:පළමුව, දෛශිකය සමඟ තත්වය පැහැදිලි කරමු. කොහොමත් මේ මොකක්ද? දෛශික එකතුව සහ හොඳින් නිර්වචනය කරන ලද දෛශිකයක් වන අතර එය දක්වනු ලැබේ. දෛශික සමඟ ක්රියා වල ජ්යාමිතික අර්ථ නිරූපණය ලිපියෙන් සොයාගත හැකිය ඩමි සඳහා දෛශික... දෛශිකයක් සහිත එම parsley දෛශික එකතුව සහ.

එබැවින්, කොන්දේසිය අනුව තිත් නිෂ්පාදනය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ. න්‍යායාත්මකව, ඔබ වැඩ කරන සූත්‍රය යෙදිය යුතුය , නමුත් කරදරය වන්නේ දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණය අප නොදැන සිටීමයි. නමුත් කොන්දේසිය දෛශික සඳහා සමාන පරාමිතීන් ලබා දෙයි, එබැවින් අපි වෙනත් මාර්ගයකට යන්නෙමු:

(1) දෛශික ප්‍රකාශන ආදේශ කරන්න.

(2) බහුපද ගුණ කිරීමේ රීතියට අනුව අපි වරහන් පුළුල් කරමු, ලිපියේ අසභ්‍ය දිව ඇඹරීමක් සොයාගත හැකිය සංකීර්ණ සංඛ්යාහෝ භාගික තාර්කික ශ්‍රිතයක් ඒකාබද්ධ කිරීම... මම නැවත නැවත නොකියමි =) මාර්ගය වන විට, තිත් නිෂ්පාදනයේ බෙදා හැරීමේ ගුණය අපට වරහන් පුළුල් කිරීමට ඉඩ සලසයි. අපිට අයිතිය තියෙනවා.

(3) පළමු සහ අවසාන නියමයන්හිදී, අපි දෛශිකවල අදිශ වර්ග සංයුක්තව ලියන්නෙමු: ... දෙවන වාරයේදී, අපි අදිශ නිෂ්පාදනයේ පාරගම්යතාව භාවිතා කරමු :.

(4) අපි සමාන කොන්දේසි ලබා දෙන්නෙමු:

(5) පළමු වාරයේ දී, අපි බොහෝ කලකට පෙර සඳහන් නොකළ අදිශ වර්ග සූත්‍රය භාවිතා කරමු. අවසාන වාරයේදී, පිළිවෙලින්, එකම දේ ක්‍රියාත්මක වේ :. සම්මත සූත්රය අනුව අපි දෙවන පදය පුළුල් කරමු .

(6) අපි මෙම කොන්දේසි ආදේශ කරමු , සහ ප්රවේශමෙන් අවසන් ගණනය කිරීම් සිදු කරන්න.

පිළිතුර:

තිත් නිෂ්පාදනයේ සෘණ අගය දෛශික අතර කෝණය නොපැහැදිලි බව සඳහන් කරයි.

කාර්යය සාමාන්යයි, ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා උදාහරණයක් මෙන්න:

උදාහරණය 4

දෛශික වල තිත් ගුණිතය සහ එය දන්නේ නම් සොයන්න .

දැන් තවත් පොදු කාර්යයක්, දෛශිකයේ දිග සඳහා නව සූත්රය සඳහා පමණි. මෙහි ඇති තනතුරු ටිකක් අතිච්ඡාදනය වනු ඇත, එබැවින් පැහැදිලිකම සඳහා, මම එය වෙනත් අකුරකින් නැවත ලියන්නෙමි:

උදාහරණ 5

දෛශිකයේ දිග සොයන්න if .

විසඳුමක්පහත පරිදි වනු ඇත:

(1) දෛශික ප්‍රකාශනයක් සැපයීම.

(2) අපි දිග සූත්‍රය භාවිතා කරමු:, සම්පූර්ණ ප්‍රකාශනය "ve" දෛශිකයක් ලෙස ක්‍රියා කරන අතර.

(3) අපි එකතුවේ වර්ග සඳහා පාසල් සූත්‍රය භාවිතා කරමු. එය මෙහි කුතුහලයෙන් ක්‍රියා කරන ආකාරය සැලකිල්ලට ගන්න: - ඇත්ත වශයෙන්ම, එය වෙනසෙහි චතුරස්රය වන අතර, ඇත්ත වශයෙන්ම එය එසේ වේ. උනන්දුවක් දක්වන අයට ස්ථාන වල දෛශික නැවත සකස් කළ හැකිය: - නියමයන් නැවත සකස් කිරීම දක්වා එය එසේම විය.

(4) ඉතිරිය පෙර ගැටළු දෙකෙන් දැනටමත් හුරුපුරුදුය.

පිළිතුර:

අපි කතා කරන්නේ දිග ගැන බැවින්, මානය දැක්වීමට අමතක නොකරන්න - "ඒකක".

උදාහරණ 6

දෛශිකයේ දිග සොයන්න if .

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි විසඳුමක් සඳහා උදාහරණයකි. නිබන්ධනය අවසානයේ සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පිළිතුර.

අපි තිත් නිෂ්පාදනයෙන් ප්‍රයෝජනවත් දේවල් මිරිකීම දිගටම කරගෙන යන්නෙමු. අපි නැවතත් අපගේ සූත්‍රය දෙස බලමු ... සමානුපාතික රීතියට අනුව, දෛශිකවල දිග වම් පැත්තේ හරයට නැවත සකසමු:

අපි කොටස් මාරු කරන්නෙමු:

මෙම සූත්‍රයේ තේරුම කුමක්ද? ඔබ දෛශික දෙකක දිග සහ ඒවායේ තිත් නිෂ්පාදනය දන්නේ නම්, ඔබට මෙම දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයිනය ගණනය කළ හැකිය, එබැවින් කෝණයම.

තිත් නිෂ්පාදනය අංකයක්ද? ගණන. දෛශිකවල දිග සංඛ්‍යා ද? අංක. එබැවින්, භාගය ද නිශ්චිත සංඛ්යාවකි. සහ කෝණයේ කෝසයින් දන්නේ නම්: , එවිට ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතය භාවිතා කිරීමෙන් කෝණයම සොයා ගැනීම පහසුය: .

උදාහරණ 7

දෛශික අතර කෝණය සොයන්න සහ එය දන්නේ නම්.

විසඳුමක්:අපි සූත්රය භාවිතා කරමු:

ගණනය කිරීම් වල අවසාන අදියරේදී, තාක්ෂණයක් භාවිතා කරන ලදී - හරයේ අතාර්කිකත්වය තුරන් කිරීම. අතාර්කිකත්වය නැති කිරීම සඳහා, මම සංඛ්‍යා සහ හරය ගුණ කළෙමි.

එසේ නම් , එවිට:

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අගයන් සොයා ගත හැක ත්රිකෝණමිතික වගුව... මෙය කලාතුරකින් සිදු වුවද. විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතික ගැටළු වලදී, යම් ආකාරයක අවුල් සහගත වලසෙකු බොහෝ විට පෙනී සිටින අතර, කෝණයේ අගය ආසන්න වශයෙන් කැල්කියුලේටරය භාවිතා කර සෙවිය යුතුය. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි එවැනි පින්තූරයක් එක් වරකට වඩා දකිනු ඇත.

පිළිතුර:

නැවතත්, මානය දැක්වීමට අමතක නොකරන්න - රේඩියන සහ අංශක. පුද්ගලිකව, දැනුවත්ව "සියලු ප්‍රශ්න ඉවත් කිරීම" සඳහා, මම එය සහ එය යන දෙකම දැක්වීමට කැමැත්තෙමි (ඇත්ත වශයෙන්ම, කොන්දේසිය අනුව, පිළිතුර රේඩියන වලින් පමණක් හෝ අංශක වලින් පමණක් ඉදිරිපත් කිරීම අවශ්‍ය නොවේ).

දැන් ඔබට වඩාත් දුෂ්කර කාර්යයකට තනිවම මුහුණ දීමට හැකි වනු ඇත:

උදාහරණ 7*

දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණය ලබා දී ඇත. දෛශික අතර කෝණය සොයන්න.

කාර්යය බහු-පියවර තරම් දුෂ්කර නොවේ.
විසඳුම් ඇල්ගොරිතම විශ්ලේෂණය කරමු:

1) කොන්දේසිය අනුව, දෛශික අතර කෝණය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වන අතර, එබැවින්, ඔබ සූත්රය භාවිතා කළ යුතුය .

2) තිත් නිෂ්පාදනය සොයා ගන්න (උදාහරණ අංක 3, 4 බලන්න).

3) දෛශිකයේ දිග සහ දෛශිකයේ දිග සොයා ගන්න (උදාහරණ අංක 5, 6 බලන්න).

4) විසඳුමේ අවසානය උදාහරණ අංක 7 සමඟ සමපාත වේ - අපි අංකය දනිමු, එයින් අදහස් කරන්නේ කෝණය සොයා ගැනීම පහසු බවයි:

නිබන්ධනය අවසානයේ කෙටි විසඳුමක් සහ පිළිතුර.

පාඩමේ දෙවන කොටස එකම තිත් නිෂ්පාදනය කෙරෙහි අවධානය යොමු කරයි. ඛණ්ඩාංක. එය පළමු කොටසට වඩා පහසු වනු ඇත.

දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය,
විකලාංග පදනමකින් ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දී ඇත

පිළිතුර:

ඛණ්ඩාංක සමඟ කටයුතු කිරීම වඩාත් ප්රසන්න බව අමුතුවෙන් කිව යුතු නැත.

උදාහරණ 14

දෛශික වල තිත් ගුණිතය සොයන්න සහ, නම්

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි විසඳුමක් සඳහා උදාහරණයකි. මෙහිදී ඔබට මෙහෙයුමේ ආශ්‍රය භාවිතා කළ හැකිය, එනම් ගණන් නොකරන්න, නමුත් වහාම ත්‍රිත්ව පරිමාණය නිෂ්පාදනයෙන් පිටතට ගෙන ගොස් එය අවසන් වරට ගුණ කරන්න. පාඩම අවසානයේ විසඳුම සහ පිළිතුර.

ඡේදයේ අවසානයේ, දෛශිකයක දිග ගණනය කිරීමේ ප්රකෝපකාරී උදාහරණයක්:

උදාහරණ 15

දෛශික වල දිග සොයන්න , නම්

විසඳුමක්:නැවතත් පෙර කොටසේ මාර්ගයම යෝජනා කරයි :, නමුත් තවත් ක්රමයක් තිබේ:

දෛශිකය සොයන්න:

සහ සුළු සූත්රය අනුව එහි දිග :

තිත් නිෂ්පාදනය මෙහි කිසිසේත්ම ප්‍රශ්නයක් නොවේ!

ව්‍යාපාරයෙන් බැහැරව, එය දෛශිකයක දිග ගණනය කිරීමේදී වේ:
නවත්වන්න. දෛශික දිගෙහි පැහැදිලි ගුණයෙන් ප්‍රයෝජන නොගන්නේ මන්ද? දෛශිකයේ දිග ගැන කුමක් කිව හැකිද? මෙම දෛශිකය දෛශිකයට වඩා 5 ගුණයක් දිගු වේ. දිශාව ප්රතිවිරුද්ධය, නමුත් එය වැදගත් නොවේ, මන්ද සංවාදය දිගු වේ. නිසැකවම, දෛශිකයේ දිග නිෂ්පාදනයට සමාන වේ මොඩියුලයදෛශික දිගකට සංඛ්‍යා:
- මොඩියුලයේ ලකුණ "කනවා" අංකයේ විය හැකි අඩුවක්.

මේ අනුව:

පිළිතුර:

ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දෙන දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයින් සඳහා සූත්‍රය

දෛශික ඛණ්ඩාංක අනුව දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයිනය සඳහා පෙර ව්‍යුත්පන්න සූත්‍රය ප්‍රකාශ කිරීමට දැන් අපට සම්පූර්ණ තොරතුරු තිබේ:

ගුවන් යානයේ දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයින්සහ විකලාංග පදනමින් ලබා දී ඇත, සූත්රය මගින් ප්රකාශිතය:
.

අවකාශ දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයින්විකලාංග පදනමින් ලබා දී ඇත, සූත්රය මගින් ප්රකාශිතය:

උදාහරණ 16

ත්රිකෝණයේ සිරස් තුනක් ලබා දී ඇත. සොයන්න (ශීර්ෂ කෝණය).

විසඳුමක්:කොන්දේසියට අනුව, ඇඳීම සිදු කිරීමට අවශ්ය නොවේ, නමුත් තවමත්:

අවශ්ය කෝණය හරිත චාපයකින් සලකුණු කර ඇත. කෝණයෙහි පාසල් නම් කිරීම වහාම සිහිපත් කරන්න: - විශේෂ අවධානය යොමු කරන්න සාමාන්යයලිපිය - මෙය අපට අවශ්‍ය කෙළවරේ මුදුනයි. කෙටිකතාව සඳහා, එය සරලව ලිවිය හැකිය.

චිත්‍රයෙන් ත්‍රිකෝණයේ කෝණය දෛශික අතර කෝණය සමඟ සමපාත වන අතර වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්: .

මානසිකව සිදු කරන ලද විශ්ලේෂණය සිදු කරන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගැනීම යෝග්ය වේ.

දෛශික සොයන්න:

තිත් නිෂ්පාදනය ගණනය කරමු:

සහ දෛශිකවල දිග:

කෝණයක කෝසයින්:

මම තේ පෝච්චිවලට නිර්දේශ කරන කාර්යය සම්පූර්ණ කිරීමේ අනුපිළිවෙල මෙයයි. වඩාත් සංකීර්ණ පාඨකයන්ට "එක් පේළියකින්" ගණනය කිරීම් ලිවිය හැකිය:

මෙන්න "නරක" කොසයින් අගයක උදාහරණයක්. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන අගය අවසාන නොවේ, එබැවින් හරය තුළ ඇති අතාර්කික බවෙන් මිදීමේ සුළු ප්‍රයෝජනයක් නැත.

අපි කෙළවරම සොයා ගනිමු:

ඔබ චිත්රය දෙස බැලුවහොත්, ප්රතිඵලය තරමක් පිළිගත හැකි ය. පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, කෝණය ප්රෝටරයක් සමඟද මැනිය හැක. මොනිටරයේ කවරයට හානි නොකරන්න =)

පිළිතුර:

පිළිතුරෙහි, එය අමතක නොකරන්න ත්‍රිකෝණයේ කෝණය ගැන ඇහුවා(සහ දෛශික අතර කෝණය ගැන නොවේ), නිවැරදි පිළිතුර සඳහන් කිරීමට අමතක නොකරන්න: සහ කෝණයේ ආසන්න අගය: කැල්කියුලේටරය සමඟ සොයා ගන්නා ලදී.

ක්‍රියාවලිය භුක්ති විඳි අයට කෝණ ගණනය කර කැනොනිකල් සමානාත්මතාවයේ වලංගුභාවය තහවුරු කළ හැකිය

උදාහරණ 17

ත්‍රිකෝණයක් එහි සිරස් වල ඛණ්ඩාංක මගින් අභ්‍යවකාශයේ අර්ථ දැක්වේ. පැති අතර කෝණය සොයන්න සහ

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි විසඳුමක් සඳහා උදාහරණයකි. නිබන්ධනය අවසානයේ සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පිළිතුර

කෙටි අවසාන කොටස ප්‍රක්ෂේපණ සඳහා කැප කරනු ඇත, එහි අදිශ නිෂ්පාදනය ද "මිශ්‍ර" වේ:

දෛශික-දෛශික ප්රක්ෂේපණය. ඛණ්ඩාංක අක්ෂය වෙත දෛශිකයේ ප්රක්ෂේපණය.
දෛශිකයක දිශානු කෝසයින

දෛශික සලකා බලන්න සහ:

අපි දෛශිකය මතට දෛශිකය ප්‍රක්ෂේපණය කරමු, මේ සඳහා අපි දෛශිකයේ ආරම්භයේ සහ අවසානය මඟ හරිමු. ලම්බකදෛශිකයකට (හරිත තිත් රේඛා). ආලෝක කිරණ දෛශිකයට ලම්බකව වැටෙන බව සිතන්න. එවිට කොටස (රතු රේඛාව) දෛශිකයේ "සෙවණ" වනු ඇත. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, දෛශිකය මත දෛශිකයේ ප්රක්ෂේපණය කොටසෙහි LENGTH වේ. එනම්, PROJECTION යනු අංකයකි.

මෙම NUMBER පහත සඳහන් පරිදි දැක්වේ:, "විශාල දෛශිකය" යන්නෙන් දෛශිකයක් දක්වයි කුමන project, "small subscript vector" යන්නෙන් දෛශිකයක් දක්වයි මතප්‍රක්ෂේපණය කෙරෙන.

වාර්තාවම මෙසේ කියවේ: "දෛශිකයේ ප්රක්ෂේපණය" a "දෛශිකය මත" bh "".

දෛශිකය "bs" "ඉතා කෙටි" නම් කුමක් සිදුවේද? අපි "be" දෛශිකය අඩංගු සරල රේඛාවක් අඳින්නෙමු. තවද "a" දෛශිකය දැනටමත් ප්රක්ෂේපණය වනු ඇත "bh" දෛශිකයේ දිශාව මත, සරලව - දෛශිකය "be" අඩංගු සරල රේඛාව මත. තිස් දහවන රාජධානියේ "a" දෛශිකය කල් දැමුවහොත් එයම සිදුවනු ඇත - එය තවමත් "bh" දෛශිකය අඩංගු සරල රේඛාවට පහසුවෙන් ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ.

කෝණය නම්දෛශික අතර කුළුබඩු සහිත(පින්තූරයේ මෙන්), පසුව

දෛශික නම් විකලාංග, එවිට (ප්‍රක්ෂේපණය යනු මානයන් ශුන්‍ය යැයි උපකල්පනය කරන ලක්ෂ්‍යයකි).

කෝණය නම්දෛශික අතර මෝඩ(රූපයේ, දෛශික ඊතලය මානසිකව නැවත සකස් කරන්න), ඉන්පසු (එකම දිග, නමුත් අඩු ලකුණක් සමඟ ගෙන ඇත).

අපි මෙම දෛශික එක් ස්ථානයක සිට කල් දමමු:

පැහැදිලිවම, දෛශිකය චලනය වන විට, එහි ප්රක්ෂේපණය වෙනස් නොවේ

I. තිත් නිෂ්පාදනය අතුරුදහන් වන්නේ අවම වශයෙන් එක් දෛශිකයක් ශුන්‍ය නම් හෝ දෛශික ලම්බක නම් පමණි. ඇත්ත වශයෙන්ම, නම් හෝ, හෝ පසුව.

ප්‍රතිවිරුද්ධව, ගුණ කරන දෛශික ශුන්‍ය නොවේ නම්, තත්වයෙන් නිසා

එය පහත සඳහන් විට:

ශුන්‍ය දෛශිකයේ දිශාව නිර්වචනය කර නොමැති බැවින් ශුන්‍ය දෛශිකය ඕනෑම දෛශිකයකට ලම්බක ලෙස සැලකිය හැකිය. එබැවින්, අදිශ නිෂ්පාදනයේ ඇඟවුම් කරන ලද ගුණය කෙටි ආකාරයකින් සකස් කළ හැක: දෛශික ලම්බක නම් සහ පමණක් නම් අදිශ නිෂ්පාදනය අතුරුදහන් වේ.

II. තිත් නිෂ්පාදනයට ප්‍රතිස්ථාපන ගුණ ඇත:

මෙම දේපල කෙලින්ම අර්ථ දැක්වීමෙන් පහත දැක්වේ:

එකම කෝණය සඳහා විවිධ තනතුරු නිසා.

III. බෙදා හැරීමේ නීතිය ඉතා වැදගත් වේ. එහි යෙදුම සාමාන්‍ය ගණිතයේ හෝ වීජ ගණිතයේ මෙන් විශිෂ්ටයි, එහිදී එය පහත පරිදි සකස් කර ඇත: එකතුව ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ එක් එක් පදය ගුණ කර එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස නිෂ්පාදන එකතු කළ යුතුය, i.e.

පැහැදිලිවම, වීජ ගණිතයේ හෝ බහුපදවල බහුවිධ සංඛ්‍යා ගුණ කිරීම මෙම ගුණ කිරීමේ ගුණය මත පදනම් වේ.

මෙම නියමයට දෛශික වීජ ගණිතයේ එකම මූලික අර්ථය ඇත, මන්ද එහි පදනම මත අපට දෛශිකවලට බහුපද ගුණ කිරීමේ සාමාන්‍ය රීතිය යෙදිය හැකිය.

අපි ඔප්පු කරමු ඕනෑම දෛශික තුනක් සඳහා A, B, C සමානාත්මතාවය

සූත්‍රය මගින් ප්‍රකාශිත තිත් නිෂ්පාදනයේ දෙවන අර්ථ දැක්වීමට අනුව, අපට ලැබෙන්නේ:

§ 5 සිට ප්‍රක්ෂේපනවල 2 ගුණය දැන් යෙදීමෙන්, අපි සොයා ගන්නේ:

Q.E.D.

IV. තිත් නිෂ්පාදනයට සංඛ්‍යාත්මක සාධකයක් සම්බන්ධයෙන් ඒකාබද්ධ කිරීමේ ගුණය ඇත; මෙම දේපල පහත සූත්‍රය මගින් ප්‍රකාශ වේ:

එනම්, දෛශිකවල තිත් ගුණිතය සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමට, එක් සාධකයක් මෙම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ.

ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා කාර්යයන් ද ඇත, ඔබට පිළිතුරු දැකිය හැකිය.

ගැටලුවේ දී දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණය "රිදී තැටියක" ඉදිරිපත් කර ඇත්නම්, ගැටලුවේ තත්වය සහ එහි විසඳුම මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

උදාහරණ 1.දෛශික ලබා දී ඇත. දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණය පහත අගයන් මගින් නිරූපණය කරන්නේ නම් ඒවායේ තිත් ගුණිතය සොයන්න:

තවත් අර්ථ දැක්වීමක් ද වලංගු වේ, එය අර්ථ දැක්වීම 1 ට සම්පූර්ණයෙන්ම සමාන වේ.

අර්ථ දැක්වීම 2... දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය යනු මෙම දෛශිකවලින් පළමු දෛශිකය විසින් තීරණය කරන ලද අක්ෂයට අනෙක් දෛශිකය ප්‍රක්ෂේපණය කිරීම මගින් මෙම දෛශිකවලින් එකක දිග ප්‍රමාණයේ ගුණිතයට සමාන සංඛ්‍යාවක් (අදිශය) වේ. 2 අර්ථ දැක්වීමට අනුව සූත්‍රය:

මීළඟ වැදගත් න්‍යායික කරුණෙන් පසුව අපි මෙම සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගැටලුව විසඳන්නෙමු.

ඛණ්ඩාංක අනුව දෛශිකවල තිත් ගුණිතය නිර්ණය කිරීම

ගුණ කරන දෛශික ඒවායේ ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දෙන්නේ නම් එම සංඛ්‍යාවම ලබා ගත හැක.

අර්ථ දැක්වීම 3.දෛශිකවල තිත් ගුණිතය යනු ඒවායේ අදාළ ඛණ්ඩාංකවල යුගල වශයෙන් නිෂ්පාදනවල එකතුවට සමාන අංකයකි.

මතුපිටින්

දෛශික දෙකක් සහ තලයේ ඒවා දෙකෙන් අර්ථ දක්වා තිබේ නම් කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක

එවිට මෙම දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය ඒවායේ අදාළ ඛණ්ඩාංකවල යුගල වශයෙන් නිෂ්පාදනවල එකතුවට සමාන වේ:

උදාහරණ 2.දෛශිකයට සමාන්තර අක්ෂයකට දෛශිකයේ ප්‍රක්ෂේපණයේ සංඛ්‍යාත්මක අගය සොයන්න.

විසඳුමක්. අපි දෛශිකයන්ගේ තිත් ගුණිතය සොයා ගන්නේ ඒවායේ ඛණ්ඩාංකවල යුගල වශයෙන් නිෂ්පාදන එකතු කිරීමෙනි:

දැන් අපි දෛශිකයේ දිග සහ දෛශිකයට සමාන්තරව අක්ෂයේ ඇති දෛශිකයේ ප්‍රක්ෂේපනය (සූත්‍රයට අනුකූලව) ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන අදිශ නිෂ්පාදිතය සමාන කළ යුතුය.

දෛශිකයේ දිග එහි ඛණ්ඩාංකවල වර්ගවල එකතුවේ වර්ගමූලය ලෙස අපි සොයා ගනිමු:

අපි සමීකරණයක් සකස් කර එය විසඳන්නෙමු:

පිළිතුර. අපේක්ෂිත සංඛ්‍යාත්මක අගය සෘණ 8 වේ.

අභ්යවකාශයේ

දෛශික දෙකක් සහ අභ්‍යවකාශයේ ඒවා කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්‍ර ඛණ්ඩාංක තුනකින් අර්ථ දක්වා තිබේ නම්

එවිට මෙම දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය ද ඒවායේ අදාළ ඛණ්ඩාංකවල යුගල වශයෙන් නිෂ්පාදනවල එකතුවට සමාන වේ, දැනටමත් ඇත්තේ ඛණ්ඩාංක තුනක් පමණි:

සලකා බලන ක්‍රමය මඟින් තිත් නිෂ්පාදනය සොයා ගැනීමේ ගැටලුව වන්නේ තිත් නිෂ්පාදනයේ ගුණ විග්‍රහ කිරීමෙන් පසුවය. මක්නිසාද යත් කාර්යයේ දී ගුණිත දෛශික සෑදෙන්නේ කුමන කෝණයද යන්න තීරණය කිරීම අවශ්ය වනු ඇත.

දෛශික තිත් නිෂ්පාදන ගුණාංග

වීජීය ගුණ

1. (විස්ථාපන දේපල: දෛශික ගුණ කරන ස්ථානවල වෙනස් වීමෙන් ඔවුන්ගේ තිත් නිෂ්පාදනයේ විශාලත්වය වෙනස් නොවේ).

2. (ගුණක සංයෝජන දේපල: දෛශිකයක තිත් ගුණිතය යම් සාධකයකින් ගුණ කළ විට තවත් දෛශිකයක් මෙම දෛශිකවල තිත් ගුණිතයට සමාන වේ එම සාධකයෙන් ගුණ කළ විට).

3. (දෛශික එකතුවට සාපේක්ෂව බෙදා හැරීමේ දේපල: තුන්වන දෛශිකය මගින් දෛශික දෙකක එකතුවේ තිත් ගුණිතය පළමු දෛශිකයේ තුන්වන දෛශිකයේ සහ දෙවන දෛශිකයේ තුන්වන දෛශිකයේ තිත් නිෂ්පාදනවල එකතුවට සමාන වේ).

4. (දෛශිකයේ අදිශ වර්ග ශුන්‍යයට වඩා වැඩිය), ශුන්‍ය නොවන දෛශිකයක් නම්, සහ, නම්, ශුන්‍ය දෛශිකයක් වේ.

ජ්යාමිතික ගුණ

අධ්යයනය යටතේ මෙහෙයුමේ නිර්වචනවලදී, අපි දැනටමත් දෛශික දෙකක් අතර කෝණය පිළිබඳ සංකල්පය ස්පර්ශ කර ඇත. මෙම සංකල්පය පැහැදිලි කිරීමට කාලයයි.

ඉහත පින්තූරයේ, දෛශික දෙකක් දෘශ්‍යමාන වන අතර ඒවා පොදු සම්භවයකට ගෙන එනු ලැබේ. අවධානය යොමු කළ යුතු පළමු දෙය: මෙම දෛශික අතර කෝණ දෙකක් තිබේ - φ 1 හා φ 2 ... දෛශිකවල තිත් නිෂ්පාදනයේ නිර්වචන සහ ගුණාංගවල දිස්වන්නේ මෙම කෝණවලින් කවරක්ද? සලකා බැලූ කෝණවල එකතුව 2 වේ π එබැවින් මෙම කෝණවල කෝසයින් සමාන වේ. තිත් නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනයට ඇතුළත් වන්නේ කෝණයක කෝසයිනය මිස එහි ප්‍රකාශනයේ අගය නොවේ. නමුත් දේපලවල එක් කොනක් පමණක් සලකනු ලැබේ. තවද මෙය ඉක්මවා නොයන කෝණ දෙකෙන් එකකි π , එනම් අංශක 180 කි. රූපයේ, මෙම කෝණය ලෙස නම් කර ඇත φ 1 .

1. දෛශික දෙකක් ලෙස හැඳින්වේ විකලාංග හා මෙම දෛශික අතර කෝණය සරල රේඛාවකි (අංශක 90 හෝ π / 2) නම් මෙම දෛශික වල තිත් ගුණිතය ශුන්‍ය වේ :

දෛශික වීජ ගණිතයේ ඕතොගෝනලිටි යනු දෛශික දෙකක ලම්බකතාවයයි.

2. ශුන්‍ය නොවන දෛශික දෙකක් සෑදේ තියුණු කොන (අංශක 0 සිට 90 දක්වා, හෝ, එය සමාන වේ - අඩු π dot නිෂ්පාදනය ධනාත්මක වේ .

3. ශුන්‍ය නොවන දෛශික දෙකක් සෑදේ obtuse කෝණය (අංශක 90 සිට 180 දක්වා, හෝ, එය සමාන වේ - තවත් π / 2) නම් සහ ඔවුන්ගේ නම් පමණි dot නිෂ්පාදනය ඍණ වේ .

උදාහරණය 3.දෛශික ඛණ්ඩාංකවල දක්වා ඇත:

ලබා දී ඇති දෛශික යුගලවල තිත් නිෂ්පාදන ගණනය කරන්න. මෙම දෛශික යුගල සෑදෙන්නේ කුමන කෝණයෙන්ද (උග්ර, සෘජු, ඝෝෂාකාරී)?

විසඳුමක්. අනුරූප ඛණ්ඩාංකවල නිෂ්පාදන එකතු කිරීමෙන් අපි ගණනය කරන්නෙමු.

අපට සෘණ අංකයක් ලැබුණි, එම නිසා දෛශික යෝග්‍ය කෝණයක් සාදයි.

අපට ධනාත්මක අංකයක් ලැබුණි, එබැවින් දෛශික තියුණු කෝණයක් සාදයි.

අපට ශුන්‍යය ලැබුණි, එබැවින් දෛශික සෘජු කෝණයක් සාදයි.

අපට ධනාත්මක අංකයක් ලැබුණි, එබැවින් දෛශික තියුණු කෝණයක් සාදයි.

ස්වයං පරීක්ෂණය සඳහා, ඔබට භාවිතා කළ හැකිය මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය දෛශිකවල තිත් නිෂ්පාදනය සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයිනය.

උදාහරණය 4.දෛශික දෙකක දිග සහ ඒවා අතර කෝණය දක්වා ඇත:

දෛශික සහ විකලාංග (ලම්බක) අංකයේ කුමන අගයකින්ද යන්න තීරණය කරන්න.

විසඳුමක්. බහුපද ගුණ කිරීමේ රීතියට අනුව අපි දෛශික ගුණ කරමු:

දැන් අපි එක් එක් පදය ගණනය කරමු:

අපි සමීකරණයක් සම්පාදනය කරමු (නිෂ්පාදනයේ සමානාත්මතාවය ශුන්‍යයට), සමාන නියමයන් ලබා දී සමීකරණය විසඳන්න:

පිළිතුර: අපිට වටිනාකම ලැබුණා λ = 1.8, ඒ සඳහා දෛශික විකලාංග වේ.

උදාහරණ 5.දෛශිකය බව ඔප්පු කරන්න දෛශිකයට විකලාංග (ලම්බක).

විසඳුමක්. orthogonality පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, අපි දෛශික සහ බහුපද ලෙස ගුණ කරමු, ඒ සඳහා ගැටළු ප්‍රකාශයේ දක්වා ඇති ප්‍රකාශනය ආදේශ කරන්න:

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ පළමු බහුපදයේ එක් එක් පදය (කාලය) දෙවන පදයේ එක් එක් පදයෙන් ගුණ කළ යුතු අතර එහි ප්‍රතිඵලය වන නිෂ්පාදන එකතු කරන්න:

එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, වියදමෙන් කොටස අඩු වේ. ප්රතිඵලය පහත දැක්වේ:

නිගමනය: ගුණ කිරීමේ ප්‍රති result ලයක් ලෙස අපට ශුන්‍යය ලැබුණි, එබැවින් දෛශිකවල විකලාංග (ලම්බකතාව) ඔප්පු වේ.

ගැටලුව ඔබම විසඳන්න, ඉන්පසු විසඳුම බලන්න

උදාහරණ 6.දෛශිකවල දිග සහ, සහ මෙම දෛශික අතර කෝණය ලබා දී ඇත π /4. කුමන අගයකින්ද යන්න තීරණය කරන්න μ දෛශික සහ අන්යෝන්ය වශයෙන් ලම්බක වේ.

දෛශිකවල තිත් ගුණිතයේ සහ n-මාන දෛශිකවල ගුණිතයේ න්‍යාස නිරූපණය

සමහර විට න්‍යාස ආකාරයෙන් ගුණ කරන දෛශික දෙක නියෝජනය කිරීම පැහැදිලි බව සඳහා වාසිදායක වේ. එවිට පළමු දෛශිකය පේළි න්‍යාසයක් ලෙසත්, දෙවැන්න තීරු න්‍යාසයක් ලෙසත් නිරූපණය කෙරේ.

එවිට දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය වනු ඇත මෙම matrices වල නිෂ්පාදනයක් :

ප්රතිඵලය අප දැනටමත් සලකා බැලූ ක්රමය මගින් ලබා ගත් ප්රතිඵලය සමාන වේ. එක් තනි අංකයක් ලබා ගන්නා අතර, තීරු න්‍යාසය මගින් පේළි න්‍යාසයේ ගුණිතය ද එක් අංකයකි.

න්‍යාස ආකාරයෙන් වියුක්ත n-මාන දෛශිකවල ගුණිතය නිරූපණය කිරීම පහසුය. එබැවින්, සිව්මාන දෛශික දෙකක ගුණිතය මූලද්‍රව්‍ය හතරක් සහිත පේළි න්‍යාසයක සහ මූලද්‍රව්‍ය හතරක් සහිත තීරු න්‍යාසයක ප්‍රතිඵලයක් වනු ඇත, පංචමාන දෛශික දෙකක ගුණිතය මූලද්‍රව්‍ය පහක් සහිත පේළි න්‍යාසයක ගුණිතය සහ මූලද්‍රව්‍ය පහක් සහිත තීරු අනුකෘතියක් සහ යනාදිය.

උදාහරණ 7.දෛශික යුගලවල තිත් නිෂ්පාදන සොයන්න

matrix නියෝජනය භාවිතා කරමින්.

විසඳුමක්. පළමු දෛශික යුගලය. අපි පළමු දෛශිකය පේළි න්‍යාසයක් ලෙසත්, දෙවැන්න තීරු න්‍යාසයක් ලෙසත් නිරූපණය කරමු. අපි මෙම දෛශිකවල තිත් ගුණිතය තීරු න්‍යාසය මගින් පේළි න්‍යාසයේ ගුණිතය ලෙස සොයා ගනිමු:

ඒ හා සමානව, අපි දෙවන යුගලය නියෝජනය කර සොයා ගන්නේ:

ඔබට පෙනෙන පරිදි, උදාහරණ 2 සිට එකම යුගලවල ප්රතිඵල සමාන වේ.

දෛශික දෙකක් අතර කෝණය

දෛශික දෙකක් අතර කෝණයේ කෝසයින් සඳහා සූත්‍රයේ ව්‍යුත්පන්නය ඉතා අලංකාර සහ සංක්ෂිප්ත ය.

දෛශිකවල තිත් ගුණිතය ප්‍රකාශ කිරීමට

(1)

ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන්, අපි මුලින්ම ඒකක දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදිතය සොයා ගනිමු. නිර්වචනය අනුව දෛශිකයක තිත් ගුණිතය:

ඉහත සූත්‍රයේ ලියා ඇති දේ අදහස් වන්නේ: දෛශිකයක තිත් ගුණිතය එහි දිග වර්ග වලට සමාන වේ... ශුන්‍යයේ කෝසයිනය එකකට සමාන වේ, එබැවින් එක් එක් ඕට් වර්ග එකකට සමාන වේ: