ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර විශේෂ අවස්ථා වේ. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම

මාතෘකාව පිළිබඳ පාඩම සහ ඉදිරිපත් කිරීම: "සරල ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම"

අතිරේක ද්රව්ය
හිතවත් පරිශීලකයින්, ඔබේ අදහස්, සමාලෝචන, පැතුම් තැබීමට අමතක නොකරන්න! සියලුම ද්රව්ය ප්රති-වයිරස වැඩසටහනක් මගින් පරීක්ෂා කර ඇත.

1C සිට 10 ශ්‍රේණිය සඳහා Integral online store හි අත්පොත් සහ සිමියුලේටර්
අපි ජ්යාමිතිය තුළ ගැටළු විසඳන්නෙමු. අභ්යවකාශයේ ගොඩනැගීම සඳහා අන්තර් ක්රියාකාරී කාර්යයන්
මෘදුකාංග පරිසරය "1C: Mathematical Constructor 6.1"

අපි අධ්යයනය කරන දේ:
1. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ යනු කුමක්ද?

3. ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා ප්රධාන ක්රම දෙකක්.
4. සමජාතීය ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ.
5. උදාහරණ.

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ යනු කුමක්ද?

යාලුවනේ, අපි දැනටමත් arcsine, arccosine, arctangent සහ arccotangent අධ්‍යයනය කර ඇත්තෙමු. දැන් අපි පොදුවේ ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ බලමු.

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ යනු ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක ලකුණ යටතේ විචල්‍යයක් අඩංගු වන සමීකරණ වේ.

අපි සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීමේ ආකාරය නැවත කියමු:

1) |a|≤ 1 නම්, cos(x) = a සමීකරණයට විසඳුමක් ඇත:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) |a|≤ 1 නම්, sin(x) = a සමීකරණයට විසඳුමක් ඇත:

3) නම් |a| > 1, එවිට sin(x) = a සහ cos(x) = a සමීකරණයට විසඳුම් නැත 4) tg(x)=a සමීකරණයට විසඳුමක් ඇත: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a සමීකරණයට විසඳුමක් ඇත: x=arcctg(a)+ πk

සියලුම සූත්‍ර සඳහා k යනු පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි

සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල ස්වරූපය ඇත: T(kx+m)=a, T යනු යම් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයකි.

සමීකරණ විසඳන්න: a) sin(3x)= √3/2

විසඳුමක්:

A) අපි 3x=t සඳහන් කරමු, එවිට අපි අපගේ සමීකරණය නැවත ලියන්නෙමු:

මෙම සමීකරණයට විසඳුම වනුයේ: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

අගයන් වගුවෙන් අපට ලැබෙන්නේ: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

අපි අපගේ විචල්‍යය වෙත ආපසු යමු: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

එවිට x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

පිළිතුර: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, මෙහි n යනු පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි. (-1)^n – n හි බලයෙන් එකක් අඩු කරන්න.

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ සඳහා තවත් උදාහරණ.

විසඳුමක්:

A) මෙවර අපි කෙලින්ම සමීකරණයේ මූලයන් ගණනය කිරීමට යමු:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. එවිට x/5= πk => x=5πk

පිළිතුර: x=5πk, මෙහි k යනු පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි.

B) අපි එය ආකෘතියෙන් ලියන්නෙමු: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. අපි එය දනිමු: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

පිළිතුර: x=2π/9 + πk/3, මෙහි k යනු පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි.

සමීකරණ විසඳන්න: cos(4x)= √2/2. සහ කොටසේ ඇති සියලුම මූලයන් සොයා ගන්න.

විසඳුමක්:

අපි අපගේ සමීකරණය සාමාන්‍ය ආකාරයෙන් විසඳමු: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

දැන් අපි බලමු අපේ කොටසට වැටෙන මූලයන් මොනවාද කියලා. k හිදී k=0, x= π/16, අපි ලබා දී ඇති කොටසෙහි සිටිමු.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 සමඟ, අපි නැවත පහර දෙන්නෙමු.
k=2 සඳහා, x= π/16+ π=17π/16, නමුත් මෙහිදී අපි පහර දුන්නේ නැත, එයින් අදහස් කරන්නේ විශාල k සඳහා අපි පැහැදිලිවම පහර නොදෙන බවයි.

පිළිතුර: x= π/16, x= 9π/16

ප්රධාන විසඳුම් ක්රම දෙකක්.

අපි සමීකරණය විසඳමු:

විසඳුමක්:
අපගේ සමීකරණය විසඳීම සඳහා, අපි නව විචල්‍යයක් හඳුන්වාදීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරමු, එය දක්වන්නේ: t=tg(x).

ප්රතිස්ථාපන ප්රතිඵලයක් ලෙස අපට ලැබෙන්නේ: t 2 + 2t -1 = 0

චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් සොයා ගනිමු: t=-1 සහ t=1/3

එවිට tg(x)=-1 සහ tg(x)=1/3, අපි සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය ලබා ගනිමු, අපි එහි මූලයන් සොයා ගනිමු.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

පිළිතුර: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

සමීකරණයක් විසඳීමේ උදාහරණයක්

සමීකරණ විසඳන්න: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

විසඳුමක්:

අපි අනන්‍යතාවය භාවිතා කරමු: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

අපගේ සමීකරණය ස්වරූපය ගනී: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

අපි t=cos(x) ආදේශනය හඳුන්වා දෙමු: 2t 2 -3t - 2 = 0

අපගේ චතුරස්රාකාර සමීකරණයට විසඳුම මූලයන් වේ: t=2 සහ t=-1/2

එවිට cos(x)=2 සහ cos(x)=-1/2.

නිසා cosine ට එකකට වඩා වැඩි අගයක් ගත නොහැක, එවිට cos(x)=2ට මූලයන් නොමැත.

cos(x)=-1/2 සඳහා: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

පිළිතුර: x= ±2π/3 + 2πk

සමජාතීය ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ.

පෝරමයේ සමීකරණ

දෙවන උපාධියේ සමජාතීය ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ.

පළමු උපාධියේ සමජාතීය ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් විසඳීමට, එය cos(x) මගින් බෙදන්න: එය ශුන්‍යයට සමාන නම් ඔබට කොසයිනයෙන් බෙදිය නොහැක, මෙය එසේ නොවන බවට වග බලා ගනිමු:
cos(x)=0, පසුව asin(x)+0=0 => sin(x)=0 ඉඩ දෙන්න, නමුත් sine සහ cosine එකවර බිංදුවට සමාන නොවේ, අපට ප්‍රතිවිරෝධතාවක් ලැබේ, එබැවින් අපට ආරක්ෂිතව බෙදිය හැකිය. බිංදුවෙන්.

සමීකරණය විසඳන්න:
උදාහරණය: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

විසඳුමක්:

අපි පොදු සාධකය ඉවත් කරමු: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

එවිට අපට සමීකරණ දෙකක් විසඳිය යුතුය:

Cos(x)=0 සහ cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 at x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 සමීකරණය සලකා බලන්න අපගේ සමීකරණය cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

පිළිතුර: x= π/2 + πk සහ x= -π/4+πk

දෙවන උපාධියේ සමජාතීය ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද?
යාලුවනේ, සෑම විටම මෙම නීති අනුගමනය කරන්න!

1. a සංගුණකය සමාන වන්නේ කුමක් දැයි බලන්න, a=0 නම් අපගේ සමීකරණය cos(x)(bsin(x)+ccos(x) පෝරමය ගනී), පෙර විනිවිදකයේ ඇති විසඳුමේ උදාහරණයකි.

2. a≠0 නම්, ඔබ සමීකරණයේ දෙපැත්තම cosine වර්ගයෙන් බෙදිය යුතුය, අපට ලැබෙන්නේ:

අපි t=tg(x) විචල්‍යය වෙනස් කර සමීකරණය ලබා ගනිමු:

උදාහරණ අංක: 3 විසඳන්න

අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම කොසයින් චතුරස්‍රයෙන් බෙදමු:

අපි t=tg(x) විචල්‍යය වෙනස් කරමු: t 2 + 2 t - 3 = 0

චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් සොයා ගනිමු: t=-3 සහ t=1

එවිට: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

පිළිතුර: x=-arctg(3) + πk සහ x= π/4+ πk

උදාහරණ අංක:4 විසඳන්න

විසඳුමක්:
අපි අපගේ ප්රකාශනය පරිවර්තනය කරමු:

අපට එවැනි සමීකරණ විසඳිය හැකිය: x= - π/4 + 2πk සහ x=5π/4 + 2πk

පිළිතුර: x= - π/4 + 2πk සහ x=5π/4 + 2πk

උදාහරණ අංක: 5 විසඳන්න

විසඳුමක්:
අපි අපගේ ප්රකාශනය පරිවර්තනය කරමු:

අපි tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 ආදේශනය හඳුන්වා දෙමු.

අපගේ චතුරස්රාකාර සමීකරණයට විසඳුම මූලයන් වනු ඇත: t=-2 සහ t=1/2

එවිට අපට ලැබෙන්නේ: tg(2x)=-2 සහ tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

පිළිතුර: x=-arctg(2)/2 + πk/2 සහ x=arctg(1/2)/2+ πk/2

ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා ගැටළු.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) සමීකරණ විසඳන්න: sin(3x)= √3/2. සහ කොටසේ ඇති සියලුම මූලයන් සොයා ගන්න [π/2; π].

3) සමීකරණය විසඳන්න: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) සමීකරණය විසඳන්න: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) සමීකරණය විසඳන්න: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) සමීකරණය විසඳන්න: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

ඔබේ ගැටලුවට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් ඇණවුම් කළ හැකිය !!!

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක (`sin x, cos x, tan x` හෝ `ctg x`) ලකුණ යටතේ නොදන්නා සමානාත්මතාවක් ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, අපි තවදුරටත් සලකා බලන්නේ ඒවායේ සූත්‍ර වේ.

සරලම සමීකරණ වන්නේ `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, මෙහි `x` යනු සොයා ගත යුතු කෝණය වන අතර, `a` යනු ඕනෑම අංකයකි. අපි ඒ එක් එක් මූල සූත්‍ර සටහන් කරමු.

1. සමීකරණය `sin x=a`.

`|a|>1` සඳහා එයට විසඳුම් නොමැත.

විට `|a| \leq 1` හි අසීමිත විසඳුම් ගණනක් ඇත.

මූල සූත්‍රය: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. සමීකරණය `cos x=a`

`|a|>1` සඳහා - සයින් සම්බන්ධයෙන් මෙන්, එයට තාත්වික සංඛ්‍යා අතර විසඳුම් නොමැත.

විට `|a| \leq 1` හි අසීමිත විසඳුම් ගණනක් ඇත.

මූල සූත්‍රය: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

ප්‍රස්ථාරවල සයින් සහ කොසයින් සඳහා විශේෂ අවස්ථා.

3. සමීකරණය `tg x=a`

`a` හි ඕනෑම අගයක් සඳහා අසීමිත විසඳුම් ගණනක් ඇත.

මූල සූත්‍රය: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. සමීකරණය `ctg x=a`

එසේම `a` හි ඕනෑම අගයක් සඳහා අසීමිත විසඳුම් ගණනක් ඇත.

මූල සූත්‍රය: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

වගුවේ ඇති ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල මූලයන් සඳහා සූත්‍ර

සයින් සඳහා:
කොසයින් සඳහා:
ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් සඳහා:
ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අඩංගු සමීකරණ විසඳීම සඳහා සූත්‍ර:

ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා ක්රම

ඕනෑම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් විසඳීම අදියර දෙකකින් සමන්විත වේ:

• එය සරලම බවට පරිවර්තනය කිරීමේ ආධාරයෙන්;
• ඉහත ලියා ඇති මූල සූත්‍ර සහ වගු භාවිතයෙන් ලබාගත් සරලම සමීකරණය විසඳන්න.

උදාහරණ භාවිතා කරමින් ප්රධාන විසඳුම් ක්රම දෙස බලමු.

වීජ ගණිත ක්රමය.

මෙම ක්‍රමයට විචල්‍යයක් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම සහ එය සමානාත්මතාවයට ආදේශ කිරීම ඇතුළත් වේ.

උදාහරණයක්. සමීකරණය විසඳන්න: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

ආදේශකයක් කරන්න: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, ඉන්පසු `2y^2-3y+1=0`,

අපි මූලයන් සොයා ගනිමු: `y_1=1, y_2=1/2`, එයින් අවස්ථා දෙකක් අනුගමනය කරයි:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

පිළිතුර: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

සාධකකරණය.

උදාහරණයක්. සමීකරණය විසඳන්න: `sin x+cos x=1`.

විසඳුමක්. අපි සමානාත්මතාවයේ සියලුම නියමයන් වමට ගෙන යමු: `sin x+cos x-1=0`. භාවිතා කරමින්, අපි වම් පස පරිවර්තනය කර සාධකකරණය කරමු:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

පිළිතුර: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

සමජාතීය සමීකරණයකට අඩු කිරීම

පළමුව, ඔබ මෙම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය ආකාර දෙකෙන් එකකට අඩු කළ යුතුය:

`a sin x+b cos x=0` (පළමු උපාධියේ සමජාතීය සමීකරණය) හෝ `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (දෙවන උපාධියේ සමජාතීය සමීකරණය).

ඉන්පසු පළමු අවස්ථාව සඳහා කොටස් දෙකම `cos x \ne 0` න් සහ දෙවැන්න සඳහා `cos^2 x \ne 0` මගින් බෙදන්න. අපි දන්නා ක්‍රම භාවිතයෙන් විසඳිය යුතු `tg x`: `a tg x+b=0` සහ `a tg^2 x + b tg x +c =0` සඳහා සමීකරණ ලබා ගනිමු.

උදාහරණයක්. සමීකරණය විසඳන්න: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

විසඳුමක්. අපි දකුණු පැත්ත `1=sin^2 x+cos^2 x` ලෙස ලියමු:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

මෙය දෙවන උපාධියේ සමජාතීය ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයකි, අපි එහි වම් සහ දකුණු පැති `cos^2 x \ne 0` මගින් බෙදන්නෙමු, අපට ලැබෙන්නේ:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. අපි `tg x=t` ආදේශනය හඳුන්වා දෙමු, එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස `t^2 + t - 2=0`. මෙම සමීකරණයේ මූලයන් වන්නේ `t_1=-2` සහ `t_2=1`. ඉන්පසු:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

පිළිතුර. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

අර්ධ කෝණයට ගමන් කිරීම

උදාහරණයක්. සමීකරණය විසඳන්න: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

විසඳුමක්. අපි ද්විත්ව කෝණ සූත්‍ර යොදමු, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

ඉහත විස්තර කර ඇති වීජීය ක්‍රමය යෙදීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

පිළිතුර. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

සහායක කෝණය හඳුන්වාදීම

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයේ `a sin x + b cos x =c`, a,b,c සංගුණක වන අතර x යනු විචල්‍යයක් වන අතර, දෙපැත්තම `sqrt (a^2+b^2)` මගින් බෙදන්න:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

වම් පැත්තේ ඇති සංගුණකවලට සයින් සහ කෝසයින් ගුණ ඇත, එනම් ඒවායේ වර්ගවල එකතුව 1 ට සමාන වන අතර ඒවායේ මොඩියුල 1 ට වඩා වැඩි නොවේ. අපි ඒවා පහත පරිදි දක්වමු: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, පසුව:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

පහත උදාහරණය දෙස සමීපව බලමු:

උදාහරණයක්. සමීකරණය විසඳන්න: `3 sin x+4 cos x=2`.

විසඳුමක්. සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම `sqrt (3^2+4^2)` ​​මගින් බෙදන්න, අපට ලැබෙන්නේ:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+``\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

අපි `3/5 = cos \varphi` , `4/5= sin \varphi` සඳහන් කරමු. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` නිසා, අපි `\varphi=arcsin 4/5` සහායක කෝණයක් ලෙස ගනිමු. ඉන්පසු අපි අපගේ සමානාත්මතාවය ආකෘතියෙන් ලියන්නෙමු:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

සයින් සඳහා කෝණ එකතුව සඳහා සූත්‍රය යෙදීමෙන්, අපි අපගේ සමානාත්මතාවය පහත ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු:

`පව් (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

පිළිතුර. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

භාගික තාර්කික ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ

මේවා සංඛ්‍යා සහ හරවල ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අඩංගු භාග සහිත සමානතා වේ.

උදාහරණයක්. සමීකරණය විසඳන්න. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

විසඳුමක්. සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්ත `(1+cos x)` මගින් ගුණ කර බෙදන්න. ප්රතිඵලයක් වශයෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

හරය බිංදුවට සමාන විය නොහැකි බව සලකන විට, අපට `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ලැබේ.

අපි භාගයේ සංඛ්‍යාව ශුන්‍යයට සම කරමු: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. ඉන්පසු `sin x=0` හෝ `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

`x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ලෙස ලබා දී ඇති පරිදි, විසඳුම් වන්නේ `x=2\pi n, n \in Z` සහ `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

පිළිතුර. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

විශේෂයෙන්ම ත්‍රිකෝණමිතිය සහ ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ ජ්‍යාමිතිය, භෞතික විද්‍යාව සහ ඉංජිනේරු විද්‍යාව යන සෑම අංශයකම පාහේ භාවිතා වේ. 10 වන ශ්‍රේණියේ ඉගෙනීම ආරම්භ වේ, ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගය සඳහා සෑම විටම කාර්යයන් ඇත, එබැවින් ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල සියලුම සූත්‍ර මතක තබා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න - ඒවා අනිවාර්යයෙන්ම ඔබට ප්‍රයෝජනවත් වනු ඇත!

කෙසේ වෙතත්, ඔබට ඒවා කටපාඩම් කිරීමට පවා අවශ්ය නැත, ප්රධාන දෙය වන්නේ සාරය තේරුම් ගැනීම සහ එය ව්යුත්පන්න කිරීමට හැකි වීමයි. එය පෙනෙන තරම් අපහසු නැත. වීඩියෝව නැරඹීමෙන් ඔබම බලන්න.

ත්‍රිකෝණමිතියේ මූලික සූත්‍ර පිළිබඳ දැනුම අවශ්‍ය වේ - සයින් සහ කෝසයින් වර්ගවල එකතුව, සයින් සහ කෝසයින් හරහා ස්පර්ශක ප්‍රකාශනය සහ වෙනත් ය. ඒවා අමතක වූ හෝ නොදන්නා අය සඳහා, අපි "" ලිපිය කියවීමට නිර්දේශ කරමු.
ඉතින්, අපි මූලික ත්රිකෝණමිතික සූත්ර දන්නවා, එය ප්රායෝගිකව භාවිතා කිරීමට කාලයයි. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීමනිවැරදි ප්‍රවේශය සමඟ, එය ඉතා උද්යෝගිමත් ක්‍රියාකාරකමකි, උදාහරණයක් ලෙස, රුබික් කැටයක් විසඳීම වැනි.

නම මතම පදනම්ව, ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් යනු නොදන්නා දෙය ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයේ ලකුණ යටතේ ඇති සමීකරණයක් බව පැහැදිලිය.
ඊනියා සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ ඇත. මෙන්න ඒවා පෙනෙන්නේ කෙසේද: sinx = a, cos x = a, tan x = a. අපි සලකා බලමු එවැනි ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද?, පැහැදිලිකම සඳහා අපි දැනටමත් හුරුපුරුදු ත්‍රිකෝණමිතික කවය භාවිතා කරමු.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

cot x = a

ඕනෑම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් අදියර දෙකකින් විසඳනු ලැබේ: අපි සමීකරණය එහි සරලම ස්වරූපයට අඩු කර එය සරල ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් ලෙස විසඳන්නෙමු.
ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන ප්‍රධාන ක්‍රම 7ක් ඇත.

1. විචල්ය ආදේශන සහ ආදේශන ක්රමය

2cos 2 (x + /6) – 3sin(/3 – x) +1 = 0 සමීකරණය විසඳන්න

අඩු කිරීමේ සූත්‍ර භාවිතා කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

සාමාන්‍ය චතුරස්‍ර සමීකරණය සරල කිරීමට සහ ලබා ගැනීමට cos(x + /6) y සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න:

2y 2 - 3y + 1 + 0

එහි මූලයන් y 1 = 1, y 2 = 1/2 වේ

දැන් අපි ප්‍රතිලෝම අනුපිළිවෙලට යමු

අපි y හි සොයාගත් අගයන් ආදේශ කර පිළිතුරු විකල්ප දෙකක් ලබා ගනිමු:

2. සාධකකරණය හරහා ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම

sin x + cos x = 1 සමීකරණය විසඳන්නේ කෙසේද?

0 දකුණේ පවතින පරිදි අපි සියල්ල වමට ගෙන යමු:

sin x + cos x – 1 = 0

සමීකරණය සරල කිරීමට ඉහත සාකච්ඡා කළ අනන්‍යතා භාවිතා කරමු:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

අපි සාධකකරණය කරමු:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

අපට සමීකරණ දෙකක් ලැබේ

3. සමජාතීය සමීකරණයකට අඩු කිරීම

සමීකරණයක් සයින් සහ කෝසයින් සම්බන්ධයෙන් සමජාතීය වන්නේ එහි සියලුම නියමයන් එකම කෝණයක එකම බලයේ සයින් සහ කෝසයිනයට සාපේක්ෂ නම්. සමජාතීය සමීකරණයක් විසඳීමට, පහත පරිදි ඉදිරියට යන්න:

අ) එහි සියලුම සාමාජිකයින් වම් පැත්තට මාරු කරන්න;

ආ) සියලු පොදු සාධක වරහන් වලින් ඉවතට ගන්න;

ඇ) සියලු සාධක සහ වරහන් 0 ට සමාන කරන්න;

d) අඩු උපාධියක සමජාතීය සමීකරණයක් වරහන් වලින් ලබා ගනී, එය ඉහළ උපාධියක සයින් හෝ කෝසයිනයකට බෙදා ඇත;

e) tg සඳහා ලැබෙන සමීකරණය විසඳන්න.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 සමීකරණය විසඳන්න

අපි sin 2 x + cos 2 x = 1 සූත්‍රය භාවිතා කර දකුණු පස ඇති විවෘත දෙක ඉවත් කරමු:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x මගින් බෙදන්න:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x y සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කර චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ලබා ගන්න:

y 2 + 4y +3 = 0, එහි මූලයන් y 1 =1, y 2 = 3

මෙතැන් සිට අපි මුල් සමීකරණයට විසඳුම් දෙකක් සොයා ගනිමු:

x 2 = ආක්ටාන් 3 + කි

4. අර්ධ කෝණයකට මාරුවීම හරහා සමීකරණ විසඳීම

3sin x – 5cos x = 7 සමීකරණය විසඳන්න

අපි x/2 වෙත යමු:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

අපි සියල්ල වමට ගෙන යමු:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) අනුව බෙදන්න:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. සහායක කෝණය හඳුන්වාදීම

සලකා බැලීම සඳහා, අපි පෝරමයේ සමීකරණයක් ගනිමු: a sin x + b cos x = c,

මෙහි a, b, c යනු අත්තනෝමතික සංගුණක වන අතර x යනු නොදන්නා කරුණකි.

අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම බෙදමු:



දැන් සමීකරණයේ සංගුණක, ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍රවලට අනුව, sin සහ cos යන ගුණාංග ඇත, එනම්: ඒවායේ මාපාංකය 1 ට වඩා වැඩි නොවන අතර වර්ගවල එකතුව = 1. අපි ඒවා පිළිවෙලින් cos සහ sin ලෙස දක්වමු, එහිදී - මෙය ඊනියා සහායක කෝණය. එවිට සමීකරණය පෝරමය ගනී:

cos * sin x + sin * cos x = C

හෝ sin(x + ) = C

මෙම සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයට විසඳුම වන්නේ

x = (-1) k * arcsin C - + k, කොහෙද



cos සහ sin යන අංක එකිනෙකට හුවමාරු වන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය.

sin 3x – cos 3x = 1 සමීකරණය විසඳන්න

මෙම සමීකරණයේ සංගුණක වන්නේ:

a = , b = -1, එබැවින් දෙපැත්ත = 2 න් බෙදන්න

බොහෝ දේ විසඳන විට ගණිතමය ගැටළු, විශේෂයෙන් 10 ශ්‍රේණියට පෙර සිදුවන ඒවා, ඉලක්කය කරා ගෙන යන ක්‍රියාවන්හි අනුපිළිවෙල පැහැදිලිව නිර්වචනය කර ඇත. එවැනි ගැටළු වලට උදාහරණයක් ලෙස, රේඛීය සහ චතුරස්‍ර සමීකරණ, රේඛීය සහ චතුරස්‍ර අසමානතා, භාගික සමීකරණ සහ චතුරස්‍ර වලට අඩු කරන සමීකරණ ඇතුළත් වේ. සඳහන් කර ඇති එක් එක් ගැටළු සාර්ථකව විසඳීමේ මූලධර්මය පහත පරිදි වේ: ඔබ විසඳන්නේ කුමන ආකාරයේ ගැටලුවක්ද යන්න තහවුරු කර ගත යුතුය, අපේක්ෂිත ප්රතිඵලය කරා ගෙන යන ක්රියාවන්ගේ අවශ්ය අනුපිළිවෙල මතක තබා ගන්න, i.e. පිළිතුරු දී මෙම පියවර අනුගමනය කරන්න.

කිසියම් ගැටළුවක් විසඳීමේ සාර්ථකත්වය හෝ අසාර්ථකත්වය ප්‍රධාන වශයෙන් රඳා පවතින්නේ විසඳන සමීකරණයේ වර්ගය කෙතරම් නිවැරදිව තීරණය කරන්නේද, එහි විසඳුමේ සියලුම අදියරවල අනුපිළිවෙල කෙතරම් නිවැරදිව ප්‍රතිනිෂ්පාදනය කරන්නේද යන්න මත බව පැහැදිලිය. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම නඩුවේදී සමාන පරිවර්තනයන් සහ ගණනය කිරීම් සිදු කිරීමට කුසලතා තිබිය යුතුය.

සමඟ තත්වය වෙනස් ය ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ.සමීකරණය ත්රිකෝණමිතික බව තහවුරු කිරීම කිසිසේත් අපහසු නැත. නිවැරදි පිළිතුරට තුඩු දෙන ක්‍රියා අනුපිළිවෙල තීරණය කිරීමේදී දුෂ්කරතා පැන නගී.

සමීකරණයක පෙනුම මත පදනම්ව එහි වර්ගය තීරණය කිරීම සමහර විට අපහසු වේ. සමීකරණයේ වර්ගය නොදැන, ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර දුසිම් කිහිපයකින් නිවැරදි එකක් තෝරා ගැනීම පාහේ කළ නොහැක්කකි.

ත්රිකෝණමිතික සමීකරණයක් විසඳීමට, ඔබ උත්සාහ කළ යුතුය:

1. සමීකරණයේ ඇතුළත් සියලුම කාර්යයන් "එකම කෝණ" වෙත ගෙන ඒම;
2. සමීකරණය "සමාන ශ්රිත" වෙත ගෙන ඒම;
3. සමීකරණයේ වම් පැත්ත සාධක කරන්න, ආදිය.

අපි සලකා බලමු ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා මූලික ක්රම.

I. සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවලට අඩු කිරීම

විසඳුම් රූප සටහන

පියවර 1.දන්නා සංරචක අනුව ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක් ප්‍රකාශ කරන්න.

පියවර 2.සූත්‍ර භාවිතා කර ශ්‍රිත තර්කය සොයන්න:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

ටැන් x = a; x = ආක්ටාන් a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

පියවර 3.නොදන්නා විචල්‍යය සොයන්න.

උදාහරණයක්.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

විසඳුමක්.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x - π/4 = ± (π - π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

පිළිතුර: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. විචල්ය ප්රතිස්ථාපනය

විසඳුම් රූප සටහන

පියවර 1.එක් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයකට අදාළව සමීකරණය වීජීය ස්වරූපයට අඩු කරන්න.

පියවර 2. t විචල්‍යය මගින් ලැබෙන ශ්‍රිතය දක්වන්න (අවශ්‍ය නම්, t මත සීමා කිරීම් හඳුන්වා දෙන්න).

පියවර 3.ලැබෙන වීජීය සමීකරණය ලියා විසඳන්න.

පියවර 4.ප්‍රතිලෝම ආදේශනයක් කරන්න.

පියවර 5.සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය විසඳන්න.

උදාහරණයක්.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

විසඳුමක්.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) sin (x/2) = t, එහිදී |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 හෝ e = -3/2, |t| කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නොකරයි ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

පිළිතුර: x = π + 4πn, n Є Z.

III. සමීකරණ අනුපිළිවෙල අඩු කිරීමේ ක්රමය

විසඳුම් රූප සටහන

පියවර 1.උපාධිය අඩු කිරීම සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කරමින් මෙම සමීකරණය රේඛීය එකක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න:

sin 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

පියවර 2. I සහ II ක්‍රම භාවිතයෙන් ලැබෙන සමීකරණය විසඳන්න.

උදාහරණයක්.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

විසඳුමක්.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

පිළිතුර: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. සමජාතීය සමීකරණ

විසඳුම් රූප සටහන

පියවර 1.මෙම සමීකරණය පෝරමයට අඩු කරන්න

a) a sin x + b cos x = 0 (පළමු උපාධියේ සමජාතීය සමීකරණය)

හෝ දර්ශනයට

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (දෙවන උපාධියේ සමජාතීය සමීකරණය).

පියවර 2.සමීකරණයේ දෙපැත්තෙන්ම බෙදන්න

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

සහ tan x සඳහා සමීකරණය ලබා ගන්න:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

පියවර 3.දන්නා ක්‍රම භාවිතයෙන් සමීකරණය විසඳන්න.

උදාහරණයක්.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

විසඳුමක්.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) එවිට tg x = t ට ඉඩ දෙන්න

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 හෝ t = -4, එනම්

tg x = 1 හෝ tg x = -4.

පළමු සමීකරණයෙන් x = π/4 + πn, n Є Z; දෙවන සමීකරණයෙන් x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

පිළිතුර: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර භාවිතයෙන් සමීකරණයක් පරිවර්තනය කිරීමේ ක්‍රමය

විසඳුම් රූප සටහන

පියවර 1.හැකි සියලුම ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර භාවිතා කරමින්, මෙම සමීකරණය I, II, III, IV ක්‍රම මගින් විසඳන ලද සමීකරණයකට අඩු කරන්න.

පියවර 2.දන්නා ක්‍රම භාවිතයෙන් ලැබෙන සමීකරණය විසඳන්න.

උදාහරණයක්.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

විසඳුමක්.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 හෝ 2cos x + 1 = 0;

පළමු සමීකරණයෙන් 2x = π/2 + πn, n Є Z; දෙවන සමීකරණයෙන් cos x = -1/2.

අපට x = π/4 + πn/2, n Є Z; දෙවන සමීකරණයෙන් x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

පිළිතුර: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීමේ හැකියාව සහ කුසලතාව ඉතා ඉහළයි වැදගත්, ඔවුන්ගේ සංවර්ධනය සඳහා ශිෂ්‍යයාගේ සහ ගුරුවරයාගේ පැත්තෙන් සැලකිය යුතු උත්සාහයක් අවශ්‍ය වේ.

ස්ටීරියෝමිතිය, භෞතික විද්‍යාව යනාදී බොහෝ ගැටලු ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල විසඳුම සමඟ සම්බන්ධ වේ.

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ ගණිතය ඉගෙනීමේ ක්‍රියාවලියේ සහ පොදුවේ පුද්ගලික සංවර්ධනයේ වැදගත් ස්ථානයක් ගනී.

තවමත් ප්‍රශ්න තිබේද? ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේදැයි නොදන්නේද?
උපදේශකයෙකුගෙන් උපකාර ලබා ගැනීමට, ලියාපදිංචි වන්න.
පළමු පාඩම නොමිලේ!

වෙබ් අඩවිය, සම්පූර්ණ හෝ අර්ධ වශයෙන් ද්රව්ය පිටපත් කරන විට, මූලාශ්රය වෙත සබැඳියක් අවශ්ය වේ.

"A ලබා ගන්න" වීඩියෝ පාඨමාලාවට ලකුණු 60-65ක් සමඟ ගණිතයේ ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගය සාර්ථකව සමත් වීමට අවශ්‍ය සියලුම මාතෘකා ඇතුළත් වේ. ගණිතයේ පැතිකඩ ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේ 1-13 සියලු කාර්යයන් සම්පූර්ණ කරන්න. ගණිතයේ මූලික ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගය සමත් වීමට ද සුදුසු ය. ඔබට ලකුණු 90-100ක් සමඟ ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගය සමත් වීමට අවශ්‍ය නම්, ඔබට විනාඩි 30 කින් සහ වැරදි නොමැතිව 1 කොටස විසඳිය යුතුය!

10-11 ශ්‍රේණි සඳහා මෙන්ම ගුරුවරුන් සඳහා ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගය සඳහා සූදානම් වීමේ පාඨමාලාව. ගණිතය (පළමු ගැටළු 12) සහ ගැටළු 13 (ත්‍රිකෝණමිතිය) හි ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේ 1 වන කොටස විසඳීමට ඔබට අවශ්‍ය සියල්ල. මෙය ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේ ලකුණු 70 කට වඩා වැඩි වන අතර ලකුණු 100 ක ශිෂ්‍යයෙකුට හෝ මානව ශාස්ත්‍ර ශිෂ්‍යයෙකුට ඔවුන් නොමැතිව කළ නොහැක.

අවශ්ය සියලු න්යාය. ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයේ ඉක්මන් විසඳුම්, අන්තරායන් සහ රහස්. FIPI කාර්ය බැංකුවේ 1 කොටසෙහි සියලුම වත්මන් කාර්යයන් විශ්ලේෂණය කර ඇත. පා course මාලාව 2018 ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේ අවශ්‍යතා සමඟ සම්පුර්ණයෙන්ම අනුකූල වේ.

පාඨමාලාවේ විශාල මාතෘකා 5 ක්, පැය 2.5 බැගින් අඩංගු වේ. සෑම මාතෘකාවක්ම මුල සිට සරලව හා පැහැදිලිව දක්වා ඇත.

ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාග කාර්යයන් සිය ගණනක්. වචන ගැටළු සහ සම්භාවිතා න්යාය. ගැටළු විසඳීම සඳහා සරල සහ මතක තබා ගැනීමට පහසු ඇල්ගොරිතම. ජ්යාමිතිය. න්යාය, විමර්ශන ද්රව්ය, සියලු වර්ගවල ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාග කාර්යයන් විශ්ලේෂණය කිරීම. ස්ටීරියෝමිතිය. උපක්‍රමශීලී විසඳුම්, ප්‍රයෝජනවත් වංචා පත්‍ර, අවකාශීය පරිකල්පනය වර්ධනය කිරීම. මුල සිට ගැටලුව දක්වා ත්‍රිකෝණමිතිය 13. තදබදය වෙනුවට අවබෝධය. සංකීර්ණ සංකල්ප පිළිබඳ පැහැදිලි පැහැදිලි කිරීම්. වීජ ගණිතය. මූලයන්, බලතල සහ ලඝුගණක, ශ්‍රිතය සහ ව්‍යුත්පන්න. ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයේ 2 වන කොටසෙහි සංකීර්ණ ගැටළු විසඳීම සඳහා පදනමක්.