අංකයක නිරපේක්ෂ අගය ඒමූලාරම්භයේ සිට ලක්ෂය දක්වා ඇති දුර වේ එහෙත්(ඒ).

මෙම නිර්වචනය තේරුම් ගැනීමට, අපි විචල්‍යයක් වෙනුවට ආදේශ කරමු ඒඕනෑම අංකයක්, උදාහරණයක් ලෙස 3 සහ එය නැවත කියවීමට උත්සාහ කරන්න:

අංකයක නිරපේක්ෂ අගය 3 මූලාරම්භයේ සිට ලක්ෂය දක්වා ඇති දුර වේ එහෙත්(3 ).

මොඩියුලය සුපුරුදු දුර ප්රමාණයට වඩා වැඩි දෙයක් නොවන බව පැහැදිලි වේ. මූලාරම්භයේ සිට A ලක්ෂයට ඇති දුර බැලීමට උත්සාහ කරමු 3 )

ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භයේ සිට A ලක්ෂ්‍යයට ඇති දුර 3 ) 3 (ඒකක තුනක් හෝ පියවර තුනක්) සමාන වේ.

අංකයක මාපාංකය සිරස් රේඛා දෙකකින් දැක්වේ, උදාහරණයක් ලෙස:

අංක 3 හි මාපාංකය පහත පරිදි දැක්වේ: |3|

අංක 4 හි මාපාංකය පහත පරිදි දැක්වේ: |4|

අංක 5 හි මාපාංකය පහත පරිදි දැක්වේ: |5|

අපි අංක 3 හි මාපාංකය සොයමින් එය 3 ට සමාන බව සොයා ගත්තෙමු. එබැවින් අපි ලියන්නෙමු:

කියවනවා වගේ: "තුනෙහි මාපාංකය තුනකි"

දැන් අපි අංක -3 හි මාපාංකය සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරමු. නැවතත්, අපි නිර්වචනය වෙත ආපසු ගොස් එය තුළට -3 අංකය ආදේශ කරමු. තිතක් වෙනුවට පමණි ඒනව ලක්ෂ්යයක් භාවිතා කරන්න බී. ලක්ෂ්යය ඒඅපි දැනටමත් පළමු උදාහරණයේ භාවිතා කර ඇත.

අංකයේ මාපාංකය වේ 3 මූලාරම්භයේ සිට ලක්ෂ්‍යය දක්වා ඇති දුර අමතන්න බී(—3 ).

එක් ලක්ෂයක සිට තවත් ස්ථානයකට ඇති දුර ඍණ විය නොහැක. එබැවින්, ඕනෑම සෘණ අංකයක මාපාංකය, දුරක් වීම, ද සෘණ නොවේ. අංක -3 හි මොඩියුලය අංක 3 වනු ඇත. මූලාරම්භයේ සිට B(-3) ලක්ෂ්‍යය දක්වා ඇති දුර ද ඒකක තුනකට සමාන වේ:

කියවනවා වගේ: "සංඛ්‍යාවක මොඩියුලය අඩු තුනයි"

අංක 0 හි මාපාංකය 0 වේ, මන්ද ඛණ්ඩාංක 0 සමඟ ලක්ෂ්‍යය සම්භවය සමඟ සමපාත වන බැවින්, i.e. මූලාරම්භයේ සිට ස්ථානය දක්වා දුර O(0)ශුන්‍යයට සමාන වේ:

"ශුන්‍යයේ මාපාංකය ශුන්‍ය වේ"

අපි නිගමන උකහා ගනිමු:

• අංකයක මාපාංකය සෘණ විය නොහැක;
• ධන අංකයක් සහ ශුන්‍යයක් සඳහා, මාපාංකය සංඛ්‍යාවටම සමාන වන අතර සෘණ එකක් සඳහා ප්‍රතිවිරුද්ධ සංඛ්‍යාවට සමාන වේ;
• ප්රතිවිරුද්ධ සංඛ්යා සමාන මොඩියුල ඇත.

ප්රතිවිරුද්ධ සංඛ්යා

සංඥා වලින් පමණක් වෙනස් වන සංඛ්යා ලෙස හැඳින්වේ ප්රතිවිරුද්ධ. උදාහරණයක් ලෙස, අංක −2 සහ 2 ප්රතිවිරුද්ධ වේ. ඒවා වෙනස් වන්නේ සංඥා වලින් පමණි. අංක −2 ට සෘණ ලකුණක් ඇත, 2 ට වැඩි ලකුණක් ඇත, නමුත් අපට එය නොපෙනේ, මන්ද අපි කලින් කී පරිදි ප්ලස් සාම්ප්‍රදායිකව ලියා නැත.

ප්රතිවිරුද්ධ සංඛ්යා සඳහා තවත් උදාහරණ:

ප්රතිවිරුද්ධ සංඛ්යා සමාන මොඩියුල ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, අපි −2 සහ 2 සඳහා මොඩියුල සොයා ගනිමු

රූපයේ දැක්වෙන්නේ මූලාරම්භයේ සිට ලක්ෂ්ය දක්වා ඇති දුරයි A(-2)හා B(2)පියවර දෙකකට සමාන වේ.

ඔබ පාඩමට කැමතිද?
අපගේ නව Vkontakte කණ්ඩායමට සම්බන්ධ වී නව පාඩම් පිළිබඳ දැනුම්දීම් ලැබීම ආරම්භ කරන්න

අපි ගණිතය තෝරා ගන්නේ නැහැඇගේ වෘත්තිය, ඇය අපව තෝරා ගනී.

රුසියානු ගණිතඥ යූ.අයි. මනින්

මොඩියුල සමීකරණ

පාසල් ගණිතයේ විසඳීමට ඇති දුෂ්කරම ගැටළු වන්නේ මොඩියුල ලකුණ යටතේ විචල්‍ය අඩංගු සමීකරණ ය. එවැනි සමීකරණ සාර්ථකව විසඳීම සඳහා, මොඩියුලයේ නිර්වචනය සහ මූලික ගුණාංග දැනගැනීම අවශ්ය වේ. ස්වාභාවිකවම, මෙම වර්ගයේ සමීකරණ විසඳීමට සිසුන්ට කුසලතා තිබිය යුතුය.

මූලික සංකල්ප සහ ගුණාංග

තාත්වික සංඛ්‍යාවක මාපාංකය (නිරපේක්ෂ අගය).දක්වා ඇත සහ පහත පරිදි අර්ථ දක්වා ඇත:

මොඩියුලයේ සරල ගුණාංගවලට පහත සම්බන්ධතා ඇතුළත් වේ:

සටහන, අවසාන ගුණාංග දෙක ඕනෑම ඉරට්ටේ උපාධියක් සඳහා පවතින බව.

එසේම, නම් , කොහෙද , පසුව සහ

වඩාත් සංකීර්ණ මොඩියුල ගුණාංග, මොඩියුල සමඟ සමීකරණ විසඳීමේදී ඵලදායී ලෙස භාවිතා කළ හැක, පහත ප්‍රමේයයන් මගින් සකස් කර ඇත:

ප්රමේයය 1.ඕනෑම විශ්ලේෂණ කාර්යයන් සඳහාහා අසමානතාවය

ප්රමේයය 2.සමානාත්මතාවය අසමානතාවයට සමාන වේ.

ප්රමේයය 3.සමානාත්මතාවය අසමානතාවයට සමාන වේ.

"සමීකරණ" යන මාතෘකාවේ ගැටළු විසඳීමේ සාමාන්ය උදාහරණ සලකා බලන්න, මොඩියුල ලකුණ යටතේ විචල්‍ය අඩංගු වේ.

මාපාංකය සමඟ සමීකරණ විසඳීම

මාපාංකයක් සමඟ සමීකරණ විසඳීම සඳහා පාසල් ගණිතයේ වඩාත් පොදු ක්රමය වන්නේ ක්රමයයි, මොඩියුලය පුළුල් කිරීම මත පදනම්ව. මෙම ක්රමය පොදු වේ, කෙසේ වෙතත්, සාමාන්ය නඩුවේදී, එහි යෙදුම ඉතා අපහසු ගණනය කිරීම් වලට හේතු විය හැක. මේ සම්බන්ධයෙන් සිසුන් වෙනත් අය ගැන ද දැනුවත් විය යුතුය, එවැනි සමීකරණ විසඳීම සඳහා වඩාත් කාර්යක්ෂම ක්රම සහ ශිල්පීය ක්රම. විශේෂයෙන්ම, න්‍යායන් යෙදීමට කුසලතා තිබිය යුතුය, මෙම ලිපියේ දක්වා ඇත.

උදාහරණ 1සමීකරණය විසඳන්න. (එක)

තීරණය. සමීකරණය (1) "සම්භාව්ය" ක්රමය මගින් විසඳනු ඇත - මොඩියුලය පුළුල් කිරීමේ ක්රමය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සංඛ්යාත්මක අක්ෂය බිඳ දමමුතිත් සහ කාල පරතරයන් සහ අවස්ථා තුනක් සලකා බලන්න.

1. , එසේ නම් , , , සහ සමීකරණය (1) පෝරමය ගනී. එය මෙතැන් සිට අනුගමනය කරයි. කෙසේ වෙතත්, මෙහි , එසේ සොයාගත් අගය සමීකරණයේ මුල නොවේ (1).

2. නම්, පසුව (1) සමීකරණයෙන් අපි ලබා ගනිමුහෝ .

එදින සිට සමීකරණයේ මුල (1).

3. නම්, එවිට සමීකරණය (1) ආකෘතිය ගනීහෝ . එය සටහන් කර ගන්න .

පිළිතුර: , .

මොඩියුලය සමඟ පහත සමීකරණ විසඳන විට, එවැනි සමීකරණ විසඳීමේ කාර්යක්ෂමතාව වැඩි කිරීම සඳහා අපි මොඩියුලවල ගුණාංග ක්රියාකාරීව භාවිතා කරමු.

උදාහරණ 2සමීකරණය විසඳන්න.

තීරණය.සිට සහ එවිට එය සමීකරණයෙන් පහත දැක්වේ. මේ සම්බන්ධයෙන්, , , සහ සමීකරණය බවට පත් වේ. මෙතනින් අපිට ලැබෙනවා. කෙසේ වුවද , එබැවින් මුල් සමීකරණයට මූලයන් නොමැත.

පිළිතුර: මුල් නැත.

උදාහරණය 3සමීකරණය විසඳන්න.

තීරණය.එදින සිට . එසේ නම්, සහ සමීකරණය බවට පත් වේ.

මෙතනින් අපිට ලැබෙනවා.

උදාහරණය 4සමීකරණය විසඳන්න.

තීරණය.අපි සමීකරණය සමාන ආකාරයකින් නැවත ලියමු. (2)

එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන් සමීකරණ වර්ගයෙහි සමීකරණවලට අයත් වේ.

ප්රමේයය 2 සැලකිල්ලට ගනිමින්, සමීකරණය (2) අසමානතාවයට සමාන බව ප්රකාශ කළ හැකිය. මෙතනින් අපිට ලැබෙනවා.

පිළිතුර: .

උදාහරණ 5සමීකරණය විසඳන්න.

තීරණය. මෙම සමීකරණයට ස්වරූපය ඇත. ඒ නිසා , ප්රමේයය 3 අනුව, මෙන්න අපට අසමානතාවය ඇතහෝ .

උදාහරණය 6සමීකරණය විසඳන්න.

තීරණය.අපි එහෙම හිතමු. පරිදි , එවිට දී ඇති සමීකරණය චතුරස්රාකාර සමීකරණයක ස්වරූපය ගනී, (3)

කොහෙද . (3) සමීකරණයට තනි ධන මූලයක් ඇති බැවින්ඊළගට . මෙතැන් සිට අපට මුල් සමීකරණයේ මූලයන් දෙකක් ලැබේ:හා .

උදාහරණ 7 සමීකරණය විසඳන්න. (4)

තීරණය. සමීකරණයේ සිටසමීකරණ දෙකක එකතුවට සමාන වේ:හා , පසුව (4) සමීකරණය විසඳීමේදී අවස්ථා දෙකක් සලකා බැලීම අවශ්ය වේ.

1. නම්, එසේ නම් හෝ .

මෙතැන් සිට අපට ලැබෙන්නේ, සහ .

2. නම්, එසේ නම් හෝ .

එදින සිට .

පිළිතුර: , , , .

උදාහරණ 8සමීකරණය විසඳන්න . (5)

තීරණය.එතැන් සිට සහ . මෙතැන් සිට සහ සමීකරණයෙන් (5) එය අනුගමනය කරයි සහ , i.e. මෙන්න අපට සමීකරණ පද්ධතියක් ඇත

කෙසේ වෙතත්, මෙම සමීකරණ පද්ධතිය නොගැලපේ.

පිළිතුර: මුල් නැත.

උදාහරණ 9 සමීකරණය විසඳන්න. (6)

තීරණය.අපි නම් කරනවා නම් සහ සමීකරණයෙන් (6) අපි ලබා ගනිමු

හෝ . (7)

(7) සමීකරණයට ස්වරූපය ඇති බැවින්, මෙම සමීකරණය අසමානතාවයට සමාන වේ. මෙතනින් අපිට ලැබෙනවා. එතැන් සිට හෝ .

පිළිතුර: .

උදාහරණ 10සමීකරණය විසඳන්න. (8)

තීරණය.ප්‍රමේයය 1 ට අනුව, අපට ලිවිය හැකිය

(9)

සමීකරණය (8) සැලකිල්ලට ගනිමින්, අසමානතා (9) දෙකම සමානාත්මතා බවට පරිවර්තනය වන බව අපි නිගමනය කරමු, i.e. සමීකරණ පද්ධතියක් ඇත

කෙසේ වෙතත්, ප්‍රමේයය 3 මගින්, ඉහත සමීකරණ පද්ධතිය අසමානතා පද්ධතියට සමාන වේ.

(10)

අසමානතා පද්ධතිය විසඳීම (10) අපි ලබා ගනිමු . අසමානතා පද්ධතිය (10) සමීකරණයට (8) සමාන වන බැවින්, මුල් සමීකරණයට තනි මූලයක් ඇත.

පිළිතුර: .

උදාහරණ 11. සමීකරණය විසඳන්න. (11)

තීරණය.කරමු සහ , එවිට සමීකරණය (11) සමානාත්මතාවය අදහස් කරයි.

මෙයින් එය පහත දැක්වෙන්නේ සහ . මේ අනුව, මෙහිදී අපට අසමානතා පද්ධතියක් ඇත

මෙම අසමානතා පද්ධතියට විසඳුම වන්නේහා .

පිළිතුර: , .

උදාහරණ 12.සමීකරණය විසඳන්න. (12)

තීරණය. සමීකරණය (12) මොඩියුලවල අනුප්‍රාප්තික ප්‍රසාරණය කිරීමේ ක්‍රමය මගින් විසඳනු ලැබේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අවස්ථා කිහිපයක් සලකා බලන්න.

1. නම් , එසේ නම් .

1.1 එසේ නම් සහ , .

1.2 එසේ නම් . කෙසේ වුවද , එබැවින්, මෙම අවස්ථාවෙහිදී, (12) සමීකරණයට මූලයන් නොමැත.

2. නම් , එසේ නම් .

2.1 එසේ නම් සහ , .

2.2 එසේ නම් සහ .

පිළිතුර: , , , , .

උදාහරණ 13සමීකරණය විසඳන්න. (13)

තීරණය.සමීකරණයේ වම් පැත්ත (13) සෘණ නොවන බැවින්, සහ . මේ සම්බන්ධයෙන්, සහ සමීකරණය (13)

පෝරමය ගනී හෝ .

සමීකරණය බව දන්නා කරුණකි සමීකරණ දෙකක එකතුවට සමාන වේහා , අපට ලැබෙන විසඳුම, . පරිදි , එවිට (13) සමීකරණයට එක් මූලයක් ඇත.

පිළිතුර: .

උදාහරණ 14 සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳන්න (14)

තීරණය.සිට සහ, පසුව සහ. එබැවින්, සමීකරණ පද්ධතියෙන් (14) අපි සමීකරණ පද්ධති හතරක් ලබා ගනිමු:

ඉහත සමීකරණ පද්ධතිවල මූලයන් සමීකරණ පද්ධතියේ මූලයන් වේ (14).

පිළිතුර: ,, , , , , , .

උදාහරණ 15 සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳන්න (15)

තීරණය.එදින සිට . මේ සම්බන්ධයෙන්, සමීකරණ පද්ධතියෙන් (15) අපි සමීකරණ පද්ධති දෙකක් ලබා ගනිමු

පළමු සමීකරණ පද්ධතියේ මූලයන් වන්නේ සහ , දෙවන සමීකරණ පද්ධතියෙන් අපි ලබා ගනිමු සහ .

පිළිතුර: , , , .

උදාහරණ 16 සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳන්න (16)

තීරණය.එය පද්ධතියේ පළමු සමීකරණයෙන් (16) පහත දැක්වේ.

එදින සිට . පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය සලකා බලන්න. තාක් දුරට, එවිට , සහ සමීකරණය බවට පත් වේ, , හෝ .

අපි අගය ආදේශ කළහොත්පද්ධතියේ පළමු සමීකරණයට (16), පසුව, හෝ .

පිළිතුර: , .

ගැටළු විසඳීමේ ක්රම පිළිබඳ ගැඹුරු අධ්යයනයක් සඳහා, සමීකරණ විසඳුමට සම්බන්ධයි, මොඩියුල ලකුණ යටතේ විචල්‍ය අඩංගු වේ, ඔබට නිර්දේශිත සාහිත්‍ය ලැයිස්තුවෙන් නිබන්ධන උපදෙස් දිය හැකිය.

1. තාක්ෂණික විශ්ව විද්‍යාල සඳහා අයදුම්කරුවන් සඳහා ගණිතයේ කාර්යයන් එකතු කිරීම / එඩ්. එම්.අයි. ස්කැනවි. - එම්.: ලෝකය සහ අධ්‍යාපනය, 2013. - 608 පි.

2. Suprun V.P. උසස් පාසල් සිසුන් සඳහා ගණිතය: සංකීර්ණත්වය වැඩි කිරීමේ කාර්යයන්. - එම් .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 පි.

3. Suprun V.P. උසස් පාසල් සිසුන් සඳහා ගණිතය: ගැටළු විසඳීම සඳහා සම්මත නොවන ක්රම. - එම් .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 පි.

ඔබට ප්‍රශ්න තිබේද?

උපදේශකයෙකුගේ උපකාරය ලබා ගැනීමට - ලියාපදිංචි වන්න.

වෙබ් අඩවිය, ද්රව්යයේ සම්පූර්ණ හෝ අර්ධ වශයෙන් පිටපත් කිරීම සමඟ, මූලාශ්රය වෙත සබැඳියක් අවශ්ය වේ.

සිසුන් සඳහා වඩාත්ම දුෂ්කර මාතෘකාවක් වන්නේ මාපාංක ලකුණ යටතේ විචල්‍යයක් අඩංගු සමීකරණ විසඳීමයි. අපි බලමු ආරම්භයක් සඳහා එය සම්බන්ධ වන්නේ කුමක් ද? නිදසුනක් වශයෙන්, චතුරස්රාකාර සමීකරණ බොහෝ දරුවන් ගෙඩි මෙන් ක්ලික් කරයි, නමුත් මොඩියුලයක් වැනි වඩාත් සංකීර්ණ සංකල්පයට වඩා බොහෝ ගැටලු ඇති වන්නේ ඇයි?

මගේ මතය අනුව, මෙම සියලු දුෂ්කරතා මාපාංකය සමඟ සමීකරණ විසඳීම සඳහා පැහැදිලිව සකස් කරන ලද නීති නොමැතිකම සමඟ සම්බන්ධ වේ. එබැවින්, චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳීමේදී, ශිෂ්‍යයා තමාට ප්‍රථමයෙන් වෙනස් කොට සැලකීමේ සූත්‍රය යෙදිය යුතු බවත්, පසුව චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් සඳහා සූත්‍ර යෙදිය යුතු බවත් නිසැකවම දනී. නමුත් සමීකරණයේ මොඩියුලයක් හමු වුවහොත් කුමක් කළ යුතුද? සමීකරණයේ මාපාංක ලකුණ යටතේ නොදන්නා කරුණක් අඩංගු වන විට නඩුව සඳහා අවශ්‍ය ක්‍රියාකාරී සැලැස්ම පැහැදිලිව විස්තර කිරීමට අපි උත්සාහ කරමු. අපි එක් එක් සිද්ධිය සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් දෙන්නෙමු.

නමුත් පළමුව, අපි මතක තබා ගනිමු මොඩියුල අර්ථ දැක්වීම. ඉතින්, අංකයේ මාපාංකය ඒනම් අංකයම නම් වේ ඒඍණ නොවන සහ -ඒඅංකය නම් ඒශුන්යයට වඩා අඩුය. ඔබට එය මෙසේ ලිවිය හැකිය:

|අ| = a නම් a ≥ 0 සහ |a| = -a නම් a< 0

මොඩියුලයේ ජ්යාමිතික අර්ථය ගැන කතා කරන විට, සෑම තාත්වික සංඛ්යාවක් සංඛ්යා අක්ෂයේ නිශ්චිත ලක්ෂ්යයකට අනුරූප වන බව මතක තබා ගත යුතුය - එය සම්බන්ධීකරණය. එබැවින්, මොඩියුලය හෝ අංකයක නිරපේක්ෂ අගය යනු මෙම ලක්ෂ්‍යයේ සිට සංඛ්‍යාත්මක අක්ෂයේ මූලාරම්භය දක්වා ඇති දුරයි. දුර සෑම විටම ධන අංකයක් ලෙස ලබා දී ඇත. මේ අනුව, ඕනෑම සෘණ අංකයක මාපාංකය ධන අංකයකි. මාර්ගය වන විට, මෙම අදියරේදී පවා බොහෝ සිසුන් ව්යාකූල වීමට පටන් ගනී. ඕනෑම අංකයක් මොඩියුලයේ තිබිය හැක, නමුත් මොඩියුලය යෙදීමේ ප්රතිඵලය සෑම විටම ධනාත්මක අංකයකි.

දැන් අපි සමීකරණ විසඳීමට යමු.

1. |x| පෝරමයේ සමීකරණයක් සලකා බලන්න = c, c යනු සැබෑ සංඛ්‍යාවකි. මෙම සමීකරණය මාපාංකයේ නිර්වචනය භාවිතයෙන් විසඳා ගත හැක.

අපි සියලුම තාත්වික සංඛ්‍යා කණ්ඩායම් තුනකට බෙදන්නෙමු: ශුන්‍යයට වඩා වැඩි ඒවා, ශුන්‍යයට වඩා අඩු ඒවා සහ තුන්වන කණ්ඩායම අංක 0 වේ. අපි විසඳුම රූප සටහනක ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු:

(±c නම් c > 0

නම් |x| = c, එවිට x = (0 නම් c = 0

(සමග නම් මුල් නැත< 0

1) |x| = 5, මන්ද 5 > 0, පසුව x = ±5;

2) |x| = -5, නිසා -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, පසුව x = 0.

2. |f(x)| පෝරමයේ සමීකරණයක් = b, b > 0. මෙම සමීකරණය විසඳීම සඳහා, මාපාංකය ඉවත් කිරීම අවශ්ය වේ. අපි එය කරන්නේ මෙහෙමයි: f(x) = b හෝ f(x) = -b. දැන් ලබා ගත් එක් එක් සමීකරණ වෙන වෙනම විසඳිය යුතුය. මුල් සමීකරණයේ නම් b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, මන්ද 4 > 0, එවිට

x + 2 = 4 හෝ x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, මන්ද 11 > 0, එවිට

x 2 - 5 = 11 හෝ x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 මුල් නැත

3) |x 2 – 5x| = -8 , නිසා -අට< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)| පෝරමයේ සමීකරණයක් = g(x). මොඩියුලයේ අර්ථය අනුව, එවැනි සමීකරණයකට එහි දකුණු පැත්ත ශුන්‍යයට වඩා වැඩි හෝ සමාන නම් විසඳුම් ඇත, i.e. g(x) ≥ 0. එවිට අපට ඇත්තේ:

f(x) = g(x)හෝ f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. මෙම සමීකරණයට 5x - 10 ≥ 0 නම් මූලයන් ඇත. එවැනි සමීකරණවල විසඳුම ආරම්භ වන්නේ මෙහිදීය.

1. O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0

2. විසඳුම:

2x - 1 = 5x - 10 හෝ 2x - 1 = -(5x - 10)

3. O.D.Z ඒකාබද්ධ කරන්න. සහ විසඳුම, අපට ලැබෙන්නේ:

O.D.Z. අනුව මූල x \u003d 11/7 නොගැලපේ, එය 2 ට වඩා අඩු වන අතර x \u003d 3 මෙම කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරයි.

පිළිතුර: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. විරාම ක්‍රමය භාවිතයෙන් මෙම අසමානතාවය විසඳමු:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. විසඳුම:

x - 1 \u003d 1 - x 2 හෝ x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 හෝ x = 1 x = 0 හෝ x = 1

3. විසඳුම සහ O.D.Z.

x = 1 සහ x = 0 යන මූලයන් පමණක් සුදුසු වේ.

පිළිතුර: x = 0, x = 1.

4. |f(x)| පෝරමයේ සමීකරණයක් = |g(x)|. එවැනි සමීකරණයක් පහත දැක්වෙන f(x) = g(x) හෝ f(x) = -g(x) යන සමීකරණ දෙකට සමාන වේ.

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. මෙම සමීකරණය පහත සඳහන් දෙකට සමාන වේ:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 හෝ x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 හෝ x = 4 x = 2 හෝ x = 1

පිළිතුර: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. ආදේශන ක්රමය මගින් විසඳන ලද සමීකරණ (විචල්යය වෙනස් කිරීම). මෙම විසඳුම් ක්‍රමය විශේෂිත උදාහරණයකින් පැහැදිලි කිරීමට පහසුම වේ. එබැවින්, මාපාංකයක් සහිත චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් ලබා දෙන්න:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. මොඩියුලයේ ගුණය අනුව x 2 = |x| 2, එබැවින් සමීකරණය පහත පරිදි නැවත ලිවිය හැක:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. අපි වෙනස කරමු |x| = t ≥ 0, එවිට අපට ඇත්තේ:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. මෙම සමීකරණය විසඳීමෙන්, අපට t \u003d 1 හෝ t \u003d 5 ලැබේ. අපි ආදේශනය වෙත ආපසු යමු:

|x| = 1 හෝ |x| = 5

x = ±1 x = ±5

පිළිතුර: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

අපි තවත් උදාහරණයක් බලමු:

x 2 + |x| – 2 = 0. මොඩියුලයේ ගුණය අනුව x 2 = |x| 2, එසේ

|x| 2 + |x| – 2 = 0. අපි වෙනස කරමු |x| = t ≥ 0, එවිට:

t 2 + t - 2 \u003d 0. මෙම සමීකරණය විසඳීමෙන්, අපට ලැබෙන්නේ, t \u003d -2 හෝ t \u003d 1. අපි ආදේශනය වෙත ආපසු යමු:

|x| = -2 හෝ |x| = 1

මූලයන් නැත x = ± 1

පිළිතුර: x = -1, x = 1.

6. තවත් සමීකරණ වර්ගයක් වන්නේ "සංකීර්ණ" මාපාංකයක් සහිත සමීකරණ ය. එවැනි සමීකරණවලට "මොඩියුලයක් තුළ මොඩියුල" ඇති සමීකරණ ඇතුළත් වේ. මෙම වර්ගයේ සමීකරණ මොඩියුලයේ ගුණාංග භාවිතයෙන් විසඳා ගත හැක.

1) |3 – |x|| = 4. අපි දෙවන වර්ගයේ සමීකරණවල මෙන් ම ක්රියා කරන්නෙමු. නිසා 4 > 0, එවිට අපට සමීකරණ දෙකක් ලැබේ:

3 – |x| = 4 හෝ 3 – |x| = -4.

දැන් අපි එක් එක් සමීකරණය තුළ x මොඩියුලය ප්‍රකාශ කරමු, ඉන්පසු |x| = -1 හෝ |x| = 7.

ප්රතිඵලය වන එක් එක් සමීකරණ අපි විසඳන්නෙමු. පළමු සමීකරණයේ මූලයන් නොමැත, මන්ද -එක< 0, а во втором x = ±7.

පිළිතුර x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. අපි මෙම සමීකරණය සමාන ආකාරයකින් විසඳන්නෙමු:

3 + |x + 1| = 5 හෝ 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 හෝ x + 1 = -2. මූලයන් නොමැත.

පිළිතුර: x = -3, x = 1.

මාපාංකය සමඟ සමීකරණ විසඳීම සඳහා විශ්වීය ක්රමයක් ද ඇත. මෙය පරතරය ක්‍රමයයි. නමුත් අපි එය තවදුරටත් සලකා බලමු.

blog.site, ද්‍රව්‍යයේ සම්පූර්ණ හෝ අර්ධ පිටපත් කිරීම සමඟ, මූලාශ්‍රය වෙත සබැඳියක් අවශ්‍ය වේ.

මෙම මාර්ගගත ගණිත ගණක යන්ත්‍රය ඔබට උපකාරී වනු ඇත මොඩියුල සමඟ සමීකරණයක් හෝ අසමානතාවයක් විසඳන්න. සඳහා වැඩසටහන මොඩියුල සමඟ සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳීමගැටලුවට පිළිතුර ලබා දෙනවා පමණක් නොව, එය මඟ පෙන්වයි පැහැදිලි කිරීම් සමඟ සවිස්තරාත්මක විසඳුම, i.e. ප්රතිඵලය ලබා ගැනීමේ ක්රියාවලිය පෙන්වයි.

මෙම වැඩසටහන උසස් පාසැල් සිසුන්ට පරීක්ෂණ සහ විභාග සඳහා සූදානම් වීමේදී, ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයට පෙර දැනුම පරීක්ෂා කිරීමේදී, ගණිතයේ සහ වීජ ගණිතයේ බොහෝ ගැටලු විසඳීමට දෙමාපියන්ට ප්‍රයෝජනවත් විය හැකිය. එසේත් නැතිනම් ඔබට උපදේශකයෙකු කුලියට ගැනීම හෝ නව පෙළපොත් මිලදී ගැනීම මිල අධිකද? එසේත් නැතිනම් ඔබට හැකි ඉක්මනින් ඔබේ ගණිතය හෝ වීජ ගණිතය ගෙදර වැඩ කිරීමට අවශ්‍යද? මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සමඟ අපගේ වැඩසටහන් භාවිතා කළ හැකිය.

මේ ආකාරයෙන්, විසඳිය යුතු කාර්යයන් ක්ෂේත්‍රයේ අධ්‍යාපන මට්ටම වැඩි වන අතරම, ඔබට ඔබේම පුහුණුව සහ/හෝ ඔබේ බාල සහෝදර සහෝදරියන්ගේ පුහුණුව පැවැත්විය හැකිය.

මාපාංක සමඟ සමීකරණය හෝ අසමානතාවය ඇතුළත් කරන්න

මෙම කාර්යය විසඳීමට අවශ්‍ය සමහර ස්ක්‍රිප්ට් පූරණය නොවූ බවත්, වැඩසටහන ක්‍රියා නොකරන බවත් සොයා ගන්නා ලදී.
ඔබට AdBlock සක්‍රීය කර තිබිය හැක.
මෙම අවස්ථාවේදී, එය අක්රිය කර පිටුව නැවුම් කරන්න.

නිසා ප්‍රශ්නය විසඳන්න ඕන ගොඩක් අය ඉන්නවා, ඔයාගේ ඉල්ලීම පෝලිමේ.
තත්පර කිහිපයකට පසු, විසඳුම පහත දිස්වනු ඇත.
කරුණාකර ඉන්න තත්පර...

ඔබ නම් විසඳුමේ දෝෂයක් දක්නට ලැබුණි, එවිට ඔබට ඒ ගැන ප්‍රතිපෝෂණ පෝරමයේ ලිවිය හැක.
අමතක කරන්න එපා කුමන කාර්යයද යන්න දක්වන්නඔබ තීරණය කරන්න ක්ෂේත්ර තුළට ඇතුල් කරන්න.

අපගේ ක්‍රීඩා, ප්‍රහේලිකා, ඉමුලේටර්:

න්‍යාය ටිකක්.

මොඩියුල සමග සමීකරණ සහ අසමානතා

මූලික පාසල් වීජ ගණිත පාඨමාලාවේදී, ඔබට මොඩියුල සමඟ සරලම සමීකරණ සහ අසමානතා සපුරාලිය හැකිය. ඒවා විසඳීම සඳහා, ඔබට \(|x-a| \) යනු x සහ a ලක්ෂ්‍ය අතර සංඛ්‍යා රේඛාවේ ඇති දුර බව මත පදනම්ව ජ්‍යාමිතික ක්‍රමයක් යෙදිය හැක: \(|x-a| = \rho (x;\; a ) \). උදාහරණයක් ලෙස, \(|x-3|=2 \) සමීකරණය විසඳීමට, ඔබ 3 ලක්ෂයේ සිට 2ක් දුරින් ඇති සංඛ්‍යා රේඛාවේ ලක්ෂ්‍ය සොයා ගත යුතුය. එවැනි ලක්ෂ්‍ය දෙකක් තිබේ: \(x_1=1 \) සහ \(x_2=5 \) .

අසමානතාවය විසඳීම \(|2x+7|

නමුත් මොඩියුල සමඟ සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳීමේ ප්‍රධාන ක්‍රමය ඊනියා "අර්ථ දැක්වීම අනුව මොඩියුල ප්‍රසාරණය" හා සම්බන්ධ වේ:
\(a \geq 0 \) නම් \(|a|=a \);
\(a රීතියක් ලෙස, මොඩියුල සහිත සමීකරණයක් (අසමානතාවය) මොඩියුලයේ ලකුණ අඩංගු නොවන සමීකරණ (අසමානතා) සමූහයකට අඩු කරයි.

ඉහත නිර්වචනයට අමතරව, පහත සඳහන් ප්රකාශයන් භාවිතා කරනු ලැබේ:
1) \(c > 0 \), එසේ නම් \(|f(x)|=c \) සමීකරණ කට්ටලයට සමාන වේ: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.\)
2) \(c > 0 \), එවිට අසමානතාවය \(|f(x)| 3) \(c \geq 0 \) නම්, අසමානතාවය \(|f(x)| > c \) වේ අසමානතා කට්ටලයට සමාන: \(\වම[\ආරම්භක(අරාව)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) අසමානතාවයේ කොටස් දෙකම \(f(x) නම් උදාහරණය 1. \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \) සමීකරණය විසඳන්න.

\(x-1 \geq 0 \), එවිට \(|x-1| = x-1 \) සහ ලබා දී ඇති සමීකරණය බවට පත් වේ
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
\(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \) නම්.
මේ අනුව, දක්වා ඇති අවස්ථා දෙකෙන් එක් එක් සමීකරණය වෙන වෙනම සලකා බැලිය යුතුය.
1) ඉඩ \(x-1 \geq 0 \), i.e. \(x \geq 1 \). \(x^2 +2x -8 = 0 \) සමීකරණයෙන් අපි \(x_1=2, \; x_2=-4\) සොයා ගනිමු. \(x \geq 1 \) කොන්දේසිය තෘප්තිමත් වන්නේ \(x_1=2\) අගයෙන් පමණි.
2) ඉඩ දෙන්න \(x-1 පිළිතුර: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

උදාහරණය 2. \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \) සමීකරණය විසඳන්න.

පළමු මාර්ගය(නිර්වචනය අනුව මොඩියුලය පුළුල් කිරීම).
උදාහරණ 1 හි මෙන් තර්ක කරමින්, දී ඇති සමීකරණය කොන්දේසි දෙකක් යටතේ වෙන වෙනම සලකා බැලිය යුතු බව අපි නිගමනය කරමු: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) හෝ \(x^2-6x+7

1) \(x^2-6x+7 \geq 0 \), එසේ නම් \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) සහ දී ඇති සමීකරණය \(x^2 බවට පත්වේ. -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). මෙම චතුරස්‍ර සමීකරණය විසඳීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
\(x_1=6 \) අගය \(x^2-6x+7 \geq 0 \) කොන්දේසිය සපුරාලන්නේදැයි සොයා බලමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි දක්වා ඇති අගය චතුරස්රාකාර අසමානතාවයට ආදේශ කරමු. අපට ලැබෙන්නේ: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), i.e. \(7 \geq 0 \) යනු නිවැරදි අසමානතාවයයි. එබැවින්, \(x_1=6 \) යනු ලබා දී ඇති සමීකරණයේ මුල වේ.
\(x_2=\frac(5)(3) \) අගය \(x^2-6x+7 \geq 0 \) කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන්නේ දැයි සොයා බලමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි දක්වා ඇති අගය චතුරස්රාකාර අසමානතාවයට ආදේශ කරමු. අපට ලැබෙන්නේ: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), i.e. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) යනු වලංගු නොවන අසමානතාවයකි. එබැවින් \(x_2=\frac(5)(3) \) ලබා දී ඇති සමීකරණයේ මූලයක් නොවේ.

2) \(x^2-6x+7 \(x_3=3\) අගය \(x^2-6x+7 අගය \(x_4=\frac(4)(3) \) කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරයි නම් කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නොවේ \ (x^2-6x+7 එබැවින්, දී ඇති සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත: \(x=6, \; x=3 \).

දෙවන මාර්ගය.සමීකරණයක් ලබා දී ඇත \(|f(x)| = h(x) \), ඉන්පසු \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\දකුණ. \)
මෙම සමීකරණ දෙකම ඉහත විසඳා ඇත (දී ඇති සමීකරණය විසඳීමේ පළමු ක්‍රමය සමඟ), ඒවායේ මූලයන් පහත පරිදි වේ: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3) \). මෙම අගයන් හතරෙහි \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) කොන්දේසිය තෘප්තිමත් වන්නේ දෙකකින් පමණි: 6 සහ 3. එබැවින්, දී ඇති සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත: \(x=6, \; x=3 \ ).

තුන්වන මාර්ගය(ග්‍රැෆික්).
1) \(y = |x^2-6x+7| \) ශ්‍රිතය සැලසුම් කරමු. මුලින්ම අපි \(y = x^2-6x+7\) පරාවලයක් ගොඩනඟමු. අප සතුව \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය \(y = (x-3)^2-2 \) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයෙන් \(y = x^2 \) එය පරිමාණ ඒකක 3ක් දකුණට මාරු කිරීමෙන් ලබා ගත හැක. x-අක්ෂය) සහ පරිමාණ ඒකක 2 ක් පහළට (y-අක්ෂය දිගේ). සරල රේඛාව x=3 යනු අප උනන්දු වන පරාවලයේ අක්ෂයයි. වඩාත් නිවැරදිව සැලසුම් කිරීම සඳහා පාලන ලක්ෂ්‍ය ලෙස, ලක්ෂ්‍යය (3; -2) - පරාවලයේ මුදුන, ලක්ෂ්‍යය (0; 7) සහ ලක්ෂ්‍යය (6; 7) අක්ෂයට සාපේක්ෂව සමමිතික ලෙස ගැනීම පහසුය. පැරබෝලා වල.
\(y = |x^2-6x+7| \) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය ගොඩනැගීමට, ඔබ විසින් x-අක්ෂයට පහළින් නොවන තැනූ පැරබෝලාවේ එම කොටස් නොවෙනස්ව තැබිය යුතු අතර, එහි කොටස පිළිබිඹු කරයි. x-අක්ෂයට පහළින් x-අක්ෂයට පහළින් පිහිටා ඇති parabola.
2) රේඛීය ශ්‍රිතය \(y = \frac(5x-9)(3) \) සැලසුම් කරමු. ලකුණු (0; –3) සහ (3; 2) පාලන ලක්ෂ්‍ය ලෙස ගැනීම පහසුය.

abscissa අක්ෂය සමඟ සරල රේඛාවේ ඡේදනයේ x = 1.8 ලක්ෂ්‍යය පරාවලයේ වම් ඡේදනය වන ස්ථානයට abscissa අක්ෂය සමඟ දකුණට පිහිටා තිබීම අත්‍යවශ්‍ය වේ - මෙය ලක්ෂ්‍යය \(x=3-\sqrt වේ. (2) \) (මොකද \(3-\sqrt(2 ) 3) ඇඳීම අනුව විනිශ්චය කිරීම, ප්‍රස්ථාර ලක්ෂ්‍ය දෙකකින් ඡේදනය වේ - A (3; 2) සහ B (6; 7). මෙම ලක්ෂ්‍යවල අබ්සිස්සා ආදේශ කිරීම ලබා දී ඇති සමීකරණයේ x \u003d 3 සහ x \u003d 6, අපි තවත් අගය දෙකම නිවැරදි සංඛ්‍යාත්මක සමානාත්මතාවය ලබා දෙන බවට වග බලා ගන්නෙමු. එබැවින්, අපගේ උපකල්පනය තහවුරු කරන ලදී - සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත: x \u003d 3 සහ x \u003d 6. පිළිතුර: 3; 6.

අදහස් දක්වන්න. චිත්රක ක්රමය, එහි සියලු අලංකාරය සඳහා, ඉතා විශ්වසනීය නොවේ. සලකා බැලූ උදාහරණයේ, එය ක්‍රියාත්මක වූයේ සමීකරණයේ මූලයන් පූර්ණ සංඛ්‍යා නිසා පමණි.

උදාහරණය 3. \(|2x-4|+|x+3| = 8 \) සමීකරණය විසඳන්න

පළමු මාර්ගය
2x–4 ප්‍රකාශනය x = 2 ලක්ෂ්‍යයේදී 0 බවට පත් වන අතර x = –3 ලක්ෂ්‍යයේ දී x + 3 ප්‍රකාශනය වෙයි. මෙම ලක්ෂ්‍ය දෙක සංඛ්‍යා රේඛාව අන්තරයන් තුනකට බෙදයි: \(x

පළමු අන්තරය සලකා බලන්න: \((-\infty; \; -3) \).
x නම් දෙවන විරාමය සලකා බලන්න: \([-3; \; 2) \).
\(-3 \leq x නම් තුන්වන විරාමය සලකා බලන්න: \()