ශ්‍රිතයක සමානාත්මතාවය සොයා ගන්නේ කෙසේද. ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ කාර්යයන්

ශ්‍රිතයක ඒකාකාර බව සහ අමුතු බව එහි ප්‍රධාන ගුණාංගවලින් එකක් වන අතර සමානාත්මතාවය පාසල් ගණිත පාඨමාලාවේ ආකර්ෂණීය කොටසක් ගනී. එය බොහෝ දුරට ශ්‍රිතයේ හැසිරීම තීරණය කරන අතර අනුරූප ප්‍රස්ථාරය ගොඩනැගීමට බෙහෙවින් පහසුකම් සපයයි.

කාර්යයේ සමානාත්මතාවය තීරණය කරමු. සාමාන්‍යයෙන් කථා කරන විට, එහි නිර්වචන වසමෙහි පිහිටා ඇති ස්වාධීන විචල්‍යයේ (x) ප්‍රතිවිරුද්ධ අගයන් සඳහා, y (ක්‍රියාකාරීත්වය) හි අනුරූප අගයන් සමාන වුවද, අධ්‍යයනය යටතේ ඇති ශ්‍රිතය සලකනු ලැබේ.

අපි වඩාත් දැඩි නිර්වචනයක් ලබා දෙමු. D වසමෙහි අර්ථ දක්වා ඇති f (x) ශ්‍රිතයක් සලකා බලන්න. එය නිර්වචන වසමෙහි පිහිටා ඇති ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා වුව ද වනු ඇත:

• -x (ප්‍රතිවිරුද්ධ ලක්ෂ්‍යය) ද මෙම විෂය පථය තුළ පවතී,

• f(-x) = f(x).

ඉහත නිර්වචනයෙන් එවැනි ශ්‍රිතයක් නිර්වචනය කිරීමේ වසම සඳහා අවශ්‍ය කොන්දේසිය, එනම්, ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය වන O ලක්ෂ්‍යයට අදාළ සමමිතිය, ඉරට්ටේ නිර්වචන වසමෙහි යම් ලක්ෂ්‍යයක් b අඩංගු වන්නේ නම්, ශ්‍රිතය, එවිට අදාළ ලක්ෂ්‍යය b ද මෙම වසම තුළ පවතී. ඉහතින්, එබැවින්, නිගමනය පහත දැක්වේ: ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයට ඕඩිනේට් අක්ෂය (Oy) සම්බන්ධයෙන් සමමිතික ස්වරූපයක් ඇත.

ප්‍රායෝගිකව ශ්‍රිතයක සමානාත්මතාවය තීරණය කරන්නේ කෙසේද?

එය h(x)=11^x+11^(-x) සූත්‍රය භාවිතයෙන් නියම කිරීමට ඉඩ දෙන්න. නිර්වචනයෙන් සෘජුවම අනුගමනය කරන ඇල්ගොරිතම අනුගමනය කරමින්, අපි මුලින්ම එහි නිර්වචන වසම පරීක්ෂා කරමු. නිසැකවම, එය තර්කයේ සියලුම අගයන් සඳහා අර්ථ දක්වා ඇත, එනම් පළමු කොන්දේසිය තෘප්තිමත් වේ.

ඊළඟ පියවර වන්නේ තර්කය (x) සඳහා ප්රතිවිරුද්ධ අගය (-x) ආදේශ කිරීමයි.
අපට ලැබෙන්නේ:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
එකතු කිරීම සංක්‍රමණ (සංක්‍රමණ) නීතිය තෘප්තිමත් කරන බැවින්, h(-x) = h(x) සහ දෙන ලද ක්‍රියාකාරී යැපීම ඉරට්ටේ බව පැහැදිලිය.

h(x)=11^x-11^(-x) ශ්‍රිතයේ සමානාත්මතාවය පරීක්ෂා කරමු. එකම ඇල්ගොරිතම අනුගමනය කරමින්, අපි h(-x) = 11^(-x) -11^x ලබා ගනිමු. අවාසිය ඉවත් කිරීම, අවසානයේ අපට තිබේ
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). එබැවින් h(x) ඔත්තේ වේ.

මාර්ගය වන විට, මෙම නිර්ණායක අනුව වර්ගීකරණය කළ නොහැකි කාර්යයන් ඇති බව සිහිපත් කළ යුතුය, ඒවා ඉරට්ටේ හෝ ඔත්තේ ලෙස හැඳින්වේ.

කාර්යයන් පවා සිත්ගන්නාසුලු ගුණාංග ගණනාවක් ඇත:

• සමාන කාර්යයන් එකතු කිරීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස, ඔවුන් ඉරට්ටේ එකක් ලබා ගනී;
• එවැනි කාර්යයන් අඩු කිරීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස, ඉරට්ටේ එකක් ලබා ගනී;
• even, also even;
• එවැනි ශ්‍රිත දෙකක් ගුණ කිරීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ඉරට්ටේ එකක් ලැබේ;
• ඔත්තේ සහ ඉරට්ටේ ශ්‍රිත ගුණ කිරීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, ඔත්තේ එකක් ලැබේ;
• ඔත්තේ සහ ඉරට්ටේ ශ්‍රිත බෙදීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, ඔත්තේ එකක් ලැබේ;
• එවැනි ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය ඔත්තේ ය;
• ඔබ ඔත්තේ ශ්‍රිතයක් වර්ග කළහොත්, ඔබට ඉරට්ටේ එකක් ලැබේ.

ශ්‍රිතයක සමානාත්මතාවය සමීකරණ විසඳීමට භාවිතා කළ හැක.

සමීකරණයේ වම් පැත්ත ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයක් වන g(x) = 0 වැනි සමීකරණයක් විසඳීමට, විචල්‍යයේ සෘණ නොවන අගයන් සඳහා එහි විසඳුම් සෙවීම ප්‍රමාණවත් වේ. සමීකරණයේ ප්රතිඵලයක් වශයෙන් මූලයන් ප්රතිවිරුද්ධ සංඛ්යා සමඟ ඒකාබද්ධ කළ යුතුය. ඒවායින් එකක් සත්‍යාපනයට යටත් වේ.

පරාමිතියක් සමඟ සම්මත නොවන ගැටළු විසඳීමට ද මෙය සාර්ථකව භාවිතා වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, 2x^6-x^4-ax^2=1 සමීකරණයට මූල තුනක් ඇති a පරාමිතියේ කිසියම් අගයක් තිබේද?

විචල්‍යය ඉරට්ටේ බලවල සමීකරණයට ඇතුළු වන බව අප සැලකිල්ලට ගතහොත්, x ආදේශ කිරීම - x සමඟ ලබා දී ඇති සමීකරණය වෙනස් නොවන බව පැහැදිලිය. එයින් කියවෙන්නේ නිශ්චිත සංඛ්‍යාවක් එහි මූලය නම්, ප්‍රතිවිරුද්ධ සංඛ්‍යාව ද මූලය වන බවයි. නිගමනය පැහැදිලිය: ශුන්යයට වඩා වෙනස් වන සමීකරණයක මූලයන් එහි විසඳුම් කට්ටලයට "යුගල වශයෙන්" ඇතුළත් වේ.

සංඛ්‍යාව 0 නොවන බව පැහැදිලිය, එනම්, එවැනි සමීකරණයක මූල ගණන ඒකාකාර විය හැකි අතර, ස්වාභාවිකවම, පරාමිතියේ ඕනෑම අගයක් සඳහා එයට මූල තුනක් තිබිය නොහැක.

නමුත් 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 යන සමීකරණයේ මූල සංඛ්‍යාව ඔත්තේ විය හැකි අතර පරාමිතියේ ඕනෑම අගයක් සඳහා. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම සමීකරණයේ මූලයන් කට්ටලය "යුගල වශයෙන්" විසඳුම් අඩංගු දැයි පරීක්ෂා කිරීම පහසුය. 0 යනු මූලයක් දැයි බලමු. අපි එය සමීකරණයට ආදේශ කරන විට, අපට 2=2 ලැබේ. මේ අනුව, "යුගල කළ" ඒවාට අමතරව, 0 ද මූලයක් වන අතර, ඒවායේ ඔත්තේ අංකය සනාථ කරයි.

කිසියම් හෝ සමානාත්මතාවය සඳහා ශ්රිතයක් ඉරට්ටේ (ඔත්තේ) ලෙස හැඳින්වේ

.

ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය අක්ෂය ගැන සමමිතික වේ
.

ඔත්තේ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය සම්භවය පිළිබඳ සමමිතික වේ.

උදාහරණය 6.2. ශ්‍රිතයක් ඉරට්ටේ ද ඔත්තේ ද යන්න පරීක්ෂා කරන්න

1)
; 2)
; 3)
.

විසඳුමක්.

1) ශ්‍රිතය නිර්වචනය වන්නේ කවදාද යන්නයි
. අපි හොයාගන්නම්
.

එම.
. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මෙම ශ්රිතය ඒකාකාර බවයි.

2) ශ්‍රිතය නිර්වචනය වන්නේ කවදාද යන්නයි

එම.
. මේ අනුව, මෙම ශ්රිතය අමුතුයි.

3) කාර්යය සඳහා අර්ථ දක්වා ඇත, i.e. සදහා

,
. එබැවින් ශ්‍රිතය ඉරට්ටේ හෝ ඔත්තේ නොවේ. අපි එය සාමාන්‍ය ස්වරූපයේ ශ්‍රිතයක් ලෙස හඳුන්වමු.

කාර්යය
මෙම කාල පරතරය තුළ තර්කයේ සෑම විශාල අගයක්ම ශ්‍රිතයේ විශාල (කුඩා) අගයකට අනුරූප වේ නම්, යම් පරතරයක් මත වැඩි කිරීම (අඩු වීම) ලෙස හැඳින්වේ.

යම් කාල පරාසයක් තුළ වැඩිවන (අඩු) ශ්‍රිත ඒකාකාරී ලෙස හැඳින්වේ.

කාර්යය නම්
පරතරය මත වෙනස් කළ හැකිය
සහ ධනාත්මක (සෘණ) ව්යුත්පන්නයක් ඇත
, පසුව කාර්යය
මෙම කාල සීමාව තුළ වැඩි (අඩු)

උදාහරණය 6.3. ශ්‍රිතවල ඒකාකාරී බවේ කාල අන්තරයන් සොයන්න

1)
; 3)
.

විසඳුමක්.

1) මෙම ශ්‍රිතය සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා රේඛාව මත අර්ථ දක්වා ඇත. අපි ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු.

ව්‍යුත්පන්නය නම් ශුන්‍ය වේ
සහ
. අර්ථ දැක්වීමේ වසම යනු තිත් වලින් බෙදනු ලබන සංඛ්‍යා අක්ෂයයි
,
කාල පරතරයන්හිදී. එක් එක් කාල පරතරය තුළ ව්‍යුත්පන්නයේ ලකුණ අපි තීරණය කරමු.

පරතරය තුළ
ව්‍යුත්පන්නය සෘණ වේ, මෙම පරතරය මත ශ්‍රිතය අඩු වේ.

පරතරය තුළ
ව්යුත්පන්නය ධනාත්මක වේ, එබැවින්, මෙම කාල සීමාව තුළ ශ්රිතය වැඩි වේ.

2) මෙම ශ්‍රිතය නම් අර්ථ දක්වා ඇත
හෝ

.

එක් එක් කාල පරතරය තුළ චතුරස්රාකාර ත්රිකෝණයේ ලකුණ අපි තීරණය කරමු.

මේ අනුව, ශ්‍රිතයේ නිර්වචනයේ වසම

අපි ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු
,
, නම්
, i.e.
, එහෙත්
. ප්‍රාන්තරවල ව්‍යුත්පන්නයේ ලකුණ අපි තීරණය කරමු
.

පරතරය තුළ
ව්‍යුත්පන්නය සෘණ වේ, එබැවින් විරාමය මත ශ්‍රිතය අඩු වේ
. පරතරය තුළ
ව්‍යුත්පන්නය ධනාත්මක වේ, ශ්‍රිතය පරතරයට වඩා වැඩි වේ
.

තිත්
ශ්‍රිතයේ උපරිම (අවම) ලක්ෂ්‍යය ලෙස හැඳින්වේ
, ලක්ෂ්යයේ එවැනි අසල්වැසි ප්රදේශයක් තිබේ නම් එය සෑම කෙනෙකුටම වේ
මෙම අසමානතාවයෙන් අසමානතාවය පවතී

.

ශ්‍රිතයක උපරිම සහ අවම ලක්ෂ්‍ය අන්ත ලක්ෂ්‍ය ලෙස හැඳින්වේ.

කාර්යය නම්
ලක්ෂ්යයේ අන්තයක් ඇත, එවිට මෙම ලක්ෂ්‍යයේ ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය ශුන්‍යයට සමාන වේ හෝ නොපවතී (අන්තයක පැවැත්ම සඳහා අවශ්‍ය කොන්දේසියකි).

ව්‍යුත්පන්නය ශුන්‍ය වන හෝ නොපවතින ලක්ෂ්‍ය විවේචනාත්මක ලෙස හැඳින්වේ.

රීතිය 1. තීරනාත්මක ලක්ෂ්යය හරහා සංක්රමණය තුළ (වමේ සිට දකුණට) නම් ව්යුත්පන්න
ලකුණ "+" සිට "-" දක්වා වෙනස් කරයි, පසුව ලක්ෂ්‍යයේ කාර්යය
උපරිමයක් ඇත; "-" සිට "+" දක්වා නම්, එවිට අවම; නම්
ලකුණ වෙනස් නොවේ, එවිට අන්තයක් නොමැත.

රීතිය 2. ලක්ෂ්යයේදී ඉඩ දෙන්න
ශ්‍රිතයක පළමු ව්‍යුත්පන්නය
ශුන්යයට සමාන වේ
, සහ දෙවන ව්යුත්පන්නය පවතින අතර එය ශුන්යයට වඩා වෙනස් වේ. නම්
, එම - උපරිම ලක්ෂ්යය, නම්
, එම - කාර්යයේ අවම ලක්ෂ්යය.

උදාහරණය 6.4. උපරිම සහ අවම කාර්යයන් ගවේෂණය කරන්න:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

විසඳුමක්.

1) ශ්‍රිතය අර්ථ දක්වා ඇති අතර පරතරය මත අඛණ්ඩව පවතී
.

අපි ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු
සහ සමීකරණය විසඳන්න
, i.e.
.මෙතැන් සිට
- විවේචනාත්මක කරුණු.

ව්‍යුත්පන්නයේ ලකුණ අපි අන්තරවල තීරණය කරමු,
.

ලකුණු හරහා ගමන් කරන විට
සහ
ව්යුත්පන්න වෙනස්කම් ලකුණ "-" සිට "+" දක්වා, එබැවින්, රීතිය 1 අනුව
- අවම ලකුණු.

ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන විට
ව්යුත්පන්න වෙනස්කම් ලකුණ "+" සිට "-" දක්වා, එසේ
- උපරිම ලක්ෂ්යය.

,
.

2) ශ්‍රිතය අර්ථ දක්වා ඇති අතර පරතරය තුළ අඛණ්ඩව පවතී
. අපි ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු
.

සමීකරණය විසඳා ගැනීමෙන්
, අපි හොයාගන්නම්
සහ
- විවේචනාත්මක කරුණු. හරය නම්
, i.e.
, එවිට ව්යුත්පන්නය නොපවතී. ඒ නිසා,
- තුන්වන තීරනාත්මක ලක්ෂ්යය. ව්‍යුත්පන්නයේ ලකුණ අපි කාල පරතරයන් තුළ තීරණය කරමු.

එබැවින්, ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතය අවම වේ
, ලකුණු වලින් උපරිම
සහ
.

3) ශ්‍රිතයක් නිර්වචනය කර අඛණ්ඩ නම්
, i.e. හිදී
.

අපි ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු

.

අපි තීරණාත්මක කරුණු සොයා බලමු:

ලකුණු අසල්වැසි
අර්ථ දැක්වීමේ වසමට අයත් නොවේ, එබැවින් ඒවා අන්ත නොවේ. එබැවින්, තීරණාත්මක කරුණු විමසා බලමු
සහ
.

4) ශ්‍රිතය අර්ථ දක්වා ඇති අතර පරතරය මත අඛණ්ඩව පවතී
. අපි රීතිය 2 භාවිතා කරමු. ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න
.

අපි තීරණාත්මක කරුණු සොයා බලමු:

අපි දෙවන ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු
සහ ලක්ෂ්යවල එහි ලකුණ තීරණය කරන්න

ලකුණු වලදී
කාර්යය අවම වේ.

ලකුණු වලදී
කාර්යයට උපරිමයක් ඇත.

වෙබ් අඩවියකට ගණිතමය සූත්‍ර ඇතුළත් කරන්නේ කෙසේද?

ඔබට කවදා හෝ වෙබ් පිටුවකට ගණිතමය සූත්‍ර එකක් හෝ දෙකක් එක් කිරීමට අවශ්‍ය නම්, මෙය කිරීමට ඇති පහසුම ක්‍රමය ලිපියේ විස්තර කර ඇති පරිදි වේ: ගණිතමය සූත්‍ර පහසුවෙන් වුල්ෆ්‍රම් ඇල්ෆා විසින් ස්වයංක්‍රීයව ජනනය කරන පින්තූර ආකාරයෙන් වෙබ් අඩවියට ඇතුළු කරනු ලැබේ. . සරලත්වයට අමතරව, මෙම විශ්වීය ක්රමය සෙවුම් යන්ත්රවල වෙබ් අඩවියේ දෘශ්යතාව වැඩිදියුණු කිරීමට උපකාරී වනු ඇත. එය දිගු කාලයක් තිස්සේ වැඩ කර ඇත (සහ, මම හිතන්නේ, සදහටම වැඩ කරනු ඇත), නමුත් දැනටමත් සදාචාරාත්මකව යල්පැන ඇත.

ඔබ නිතිපතා ඔබේ වෙබ් අඩවියේ ගණිතමය සූත්‍ර භාවිතා කරන්නේ නම්, මම ඔබට නිර්දේශ කරන්නේ MathJax - MathML, LaTeX හෝ ASCIIMathML සලකුණු භාවිතා කර වෙබ් බ්‍රව්සර්වල ගණිතමය අංකනය පෙන්වන විශේෂ JavaScript පුස්තකාලයකි.

MathJax භාවිතා කිරීම ආරම්භ කිරීමට ක්‍රම දෙකක් තිබේ: (1) සරල කේතයක් භාවිතයෙන්, ඔබට ඉක්මනින් MathJax ස්ක්‍රිප්ට් එකක් ඔබේ වෙබ් අඩවියට සම්බන්ධ කළ හැක, එය නිවැරදි වේලාවට දුරස්ථ සේවාදායකයකින් ස්වයංක්‍රීයව පූරණය වේ (සේවාදායක ලැයිස්තුව); (2) MathJax ස්ක්‍රිප්ට් එක දුරස්ථ සේවාදායකයකින් ඔබගේ සේවාදායකයට බාගත කර එය ඔබගේ අඩවියේ සියලුම පිටු වෙත සම්බන්ධ කරන්න. දෙවන ක්‍රමය - වඩාත් සංකීර්ණ සහ කාලය ගතවන - ඔබගේ වෙබ් අඩවියේ පිටු පූරණය වීම වේගවත් කරනු ඇති අතර, යම් හේතුවක් නිසා මව් MathJax සේවාදායකය තාවකාලිකව ලබා ගත නොහැකි වුවහොත්, මෙය ඔබගේම වෙබ් අඩවියට කිසිදු ආකාරයකින් බලපාන්නේ නැත. මෙම වාසි තිබියදීත්, මම පළමු ක්රමය තෝරා ගත්තේ එය සරල, වේගවත් හා තාක්ෂණික කුසලතා අවශ්ය නොවේ. මගේ ආදර්ශය අනුගමනය කරන්න, මිනිත්තු 5 කින් ඔබට ඔබේ වෙබ් අඩවියේ MathJax හි සියලුම විශේෂාංග භාවිතා කිරීමට හැකි වනු ඇත.

ප්‍රධාන MathJax වෙබ් අඩවියෙන් හෝ ලේඛන පිටුවෙන් ලබාගත් කේත විකල්ප දෙකක් භාවිතයෙන් ඔබට දුරස්ථ සේවාදායකයකින් MathJax පුස්තකාල ස්ක්‍රිප්ට් සම්බන්ධ කළ හැක:

මෙම කේත විකල්පයන්ගෙන් එකක් ඔබේ වෙබ් පිටුවේ කේතයට පිටපත් කර ඇලවීම අවශ්‍ය වේ, වඩාත් සුදුසු වන්නේ ටැග් අතර සහ හෝ ටැගයට පසුව වහාම. පළමු විකල්පයට අනුව, MathJax වේගයෙන් පූරණය වන අතර පිටුව අඩුවෙන් මන්දගාමී වේ. නමුත් දෙවන විකල්පය මගින් MathJax හි නවතම අනුවාද ස්වයංක්‍රීයව නිරීක්ෂණය කර පූරණය කරයි. ඔබ පළමු කේතය ඇතුල් කරන්නේ නම්, එය වරින් වර යාවත්කාලීන කිරීමට අවශ්ය වනු ඇත. ඔබ දෙවන කේතය ඇතුළත් කළහොත්, පිටු වඩා සෙමින් පූරණය වනු ඇත, නමුත් ඔබට MathJax යාවත්කාලීනයන් නිරන්තරයෙන් නිරීක්ෂණය කිරීමට අවශ්‍ය නොවනු ඇත.

MathJax සම්බන්ධ කිරීමට පහසුම ක්‍රමය වන්නේ Blogger හෝ WordPress: අඩවි පාලන පැනලය තුළ, තුන්වන පාර්ශ්ව ජාවාස්ක්‍රිප්ට් කේතය ඇතුළු කිරීමට නිර්මාණය කර ඇති විජට් එකක් එක් කරන්න, ඉහත ඉදිරිපත් කර ඇති බාගැනීම් කේතයේ පළමු හෝ දෙවන අනුවාදය එයට පිටපත් කර විජට් එක සමීප කරන්න. අච්චුවේ ආරම්භයට (මාර්ගය වන විට, මෙය කිසිසේත්ම අවශ්‍ය නොවේ , MathJax ස්ක්‍රිප්ට් එක අසමමුහුර්තව පටවා ඇති බැවින්). එච්චරයි. දැන් MathML, LaTeX, සහ ASCIIMathML හි සලකුණු වාක්‍ය ඛණ්ඩය ඉගෙන ගන්න, ඔබ ඔබේ වෙබ් අඩවියේ වෙබ් පිටුවලට ගණිතමය සූත්‍ර ඇතුළු කිරීමට සූදානම්.

ඕනෑම ඛණ්ඩනය නිශ්චිත රීතියකට අනුව ගොඩනගා ඇති අතර එය අසීමිත වාර ගණනක් අඛණ්ඩව යොදනු ලැබේ. එවැනි සෑම වේලාවක්ම පුනරාවර්තනයක් ලෙස හැඳින්වේ.

මෙන්ගර් ස්පොන්ජියක් තැනීම සඳහා පුනරාවර්තන ඇල්ගොරිතම තරමක් සරල ය: 1 පැත්ත සහිත මුල් ඝනකයක් එහි මුහුණුවලට සමාන්තරව ගුවන් යානා මගින් සමාන ඝනක 27 කට බෙදා ඇත. එක් මධ්යම ඝනකයක් සහ මුහුණු දිගේ එයට යාබදව ඇති ඝනක 6 ක් එයින් ඉවත් කරනු ලැබේ. ප්රතිඵලය වන්නේ ඉතිරි කුඩා කැට 20 කින් සමන්විත කට්ටලයකි. මෙම එක් එක් ඝනකයක් සමඟම එසේ කිරීමෙන්, අපට කුඩා කැට 400 කින් සමන්විත කට්ටලයක් ලැබේ. මෙම ක්රියාවලිය නිමක් නැතිව දිගටම කරගෙන යාම, අපි මෙන්ගර් ස්පොන්ජියක් ලබා ගනිමු.

ශ්‍රිතය යනු ඉතා වැදගත් ගණිතමය සංකල්ප වලින් එකකි. ශ්‍රිතයක් යනු x හි එක් එක් අගය y හි තනි අගයකට අනුරූප වේ නම්, x විචල්‍යය මත y විචල්‍යයේ යැපීමයි. x විචල්‍යය ස්වාධීන විචල්‍යය හෝ තර්කය ලෙස හැඳින්වේ. y විචල්‍යය පරායත්ත විචල්‍යය ලෙස හැඳින්වේ. ස්වාධීන විචල්‍යයේ සියලුම අගයන් (විචල්‍ය x) ශ්‍රිතයේ අර්ථ දැක්වීමේ වසම සාදයි. රඳා පවතින විචල්‍යය (y විචල්‍යය) ශ්‍රිතයේ පරාසයක් ගන්නා සියලුම අගයන්.

ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය යනු ඛණ්ඩාංක තලයේ සියලුම ලක්ෂ්‍යවල කට්ටලය වන අතර, ඒවායේ අබ්සිස්සා තර්කයේ අගයන්ට සමාන වන අතර ඕඩිනේට් ශ්‍රිතයේ අනුරූප අගයන්ට සමාන වේ, එනම්, x විචල්‍යයේ අගයන් abscissa අක්ෂය ඔස්සේ සැලසුම් කර ඇති අතර, y විචල්‍යයේ අගයන් ordinate අක්ෂය ඔස්සේ සැලසුම් කර ඇත. ශ්‍රිතයක් ප්‍රස්ථාර කිරීමට, ඔබ ශ්‍රිතයේ ගුණාංග දැන සිටිය යුතුය. කාර්යයේ ප්රධාන ගුණාංග පහත සාකච්ඡා කරනු ඇත!

ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයක් තැනීම සඳහා, අපි අපගේ වැඩසටහන භාවිතා කිරීම නිර්දේශ කරමු - මාර්ගගත ක්‍රියාකාරකම් ප්‍රස්ථාර කිරීම. මෙම පිටුවේ ඇති කරුණු අධ්‍යයනය කිරීමේදී ඔබට කිසියම් ප්‍රශ්නයක් ඇත්නම්, ඔබට සැමවිටම අපගේ සංසදයෙන් ඔවුන්ගෙන් ඇසිය හැක. සංසදයේදී ඔවුන් ඔබට ගණිතය, රසායන විද්‍යාව, ජ්‍යාමිතිය, සම්භාවිතා න්‍යාය සහ තවත් බොහෝ විෂයයන් පිළිබඳ ගැටළු විසඳීමට උපකාරී වනු ඇත!

කාර්යයන්හි මූලික ගුණාංග.

1) ශ්‍රිතයේ අර්ථ දැක්වීමේ වසම සහ ශ්‍රිතයේ අගයන් පරාසය.

ශ්‍රිතයක වසම යනු y = f(x) ශ්‍රිතය අර්ථ දක්වා ඇති තර්කය x (විචල්‍ය x) හි සියලුම වලංගු තාත්වික අගයන් සමූහයකි.
ශ්‍රිතයක පරාසය යනු ශ්‍රිතය පිළිගන්නා සියලුම තථ්‍ය y අගයන් සමූහයකි.

ප්‍රාථමික ගණිතයේ දී ශ්‍රිත අධ්‍යයනය කරනු ලබන්නේ තාත්වික සංඛ්‍යා සමූහය මත පමණි.

2) ශ්‍රිත ශුන්‍ය.

y=0 ලෙස හඳුන්වන x හි අගයන් ශ්‍රිත ශුන්‍ය. මේවා ඔක්ස් අක්ෂය සමඟ ශ්‍රිත ප්‍රස්ථාරයේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යවල අබ්සිසාස් වේ.

3) ශ්‍රිතයක නියත ලකුණේ විරාමයන්.

ශ්‍රිතයක නියත ලකුණේ විරාමයන් - y ශ්‍රිතයේ අගයන් ධන හෝ සෘණ පමණක් වන x අගයන්හි එවැනි කාල අන්තරයන් ලෙස හැඳින්වේ. ශ්‍රිතයේ නියත ලකුණේ විරාමයන්.

4) කාර්යයේ ඒකාකාරී බව.

වැඩිවන ශ්‍රිතයක් (නිශ්චිත කාල පරතරයක් තුළ) යනු ශ්‍රිතයේ විශාල අගයකට අනුරූප වන මෙම විරාමයේ තර්කයේ විශාල අගයක් වන ශ්‍රිතයකි.

අඩුවන ශ්‍රිතයක් (නිශ්චිත කාල පරාසයක) යනු මෙම විරාමයේ තර්කයේ විශාල අගයක් ශ්‍රිතයේ කුඩා අගයකට අනුරූප වන ශ්‍රිතයකි.

5) ශ්‍රිතයේ සමානාත්මතාවය (අමුතු බව).

ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයක් යනු සම්භවය සම්බන්ධයෙන් සහ ඕනෑම x f(-x) = f(x) සඳහා අර්ථ දැක්වීමේ වසම සමමිතික වන ශ්‍රිතයකි. ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය ඕඩිනේට් සම්බන්ධයෙන් සමමිතික වේ.

ඔත්තේ ශ්‍රිතයක් යනු සම්භවය සම්බන්ධයෙන් අර්ථ දැක්වීමේ වසම සමමිතික වන අතර ඕනෑම x සඳහා නිර්වචන වසමෙහි සමානාත්මතාවය f(-x) = - f(x) සත්‍ය වේ. ඔත්තේ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය සම්භවය පිළිබඳ සමමිතික වේ.

පවා කාර්යය
1) අර්ථ දැක්වීමේ වසම ලක්ෂ්‍යයට (0; 0) සමමිතික වේ, එනම්, ලක්ෂ්‍යය අර්ථ දැක්වීමේ වසමට අයත් වන්නේ නම්, ලක්ෂ්‍යය -a ද අර්ථ දැක්වීමේ වසමට අයත් වේ.
2) ඕනෑම අගයක් සඳහා x f(-x)=f(x)
3) ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය Oy අක්ෂය ගැන සමමිතික වේ.

ඔත්තේ ශ්‍රිතයකට පහත ගුණාංග ඇත:
1) අර්ථ දැක්වීමේ වසම ලක්ෂ්‍යයේ සමමිතික වේ (0; 0).
2) අර්ථ දැක්වීමේ වසමට අයත් ඕනෑම අගයක් සඳහා x, සමානාත්මතාවය f(-x)=-f(x) තෘප්තිමත් වේ
3) ඔත්තේ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය සම්භවය සම්බන්ධයෙන් සමමිතික වේ (0; 0).

සෑම කාර්යයක්ම ඉරට්ටේ හෝ ඔත්තේ නොවේ. කාර්යයන් සාමාන්ය දැක්මඉරට්ටේ හෝ ඔත්තේ නැත.

6) සීමිත සහ අසීමිත කාර්යයන්.

|f(x)| වැනි ධන සංඛ්‍යාවක් M තිබේ නම් ශ්‍රිතයක් සීමා සහිත ලෙස හැඳින්වේ x හි සියලුම අගයන් සඳහා ≤ M. එවැනි අංකයක් නොමැති නම්, කාර්යය අසීමිත වේ.

7) කාර්යයේ ආවර්තිතා.

ශ්‍රිතයේ නිර්වචන වසමෙන් ඕනෑම x සඳහා ශුන්‍ය නොවන අංකයක් තිබේ නම් f(x) ශ්‍රිතයක් ආවර්තිතා වේ: f(x+T) = f(x). මෙම කුඩාම සංඛ්‍යාව ශ්‍රිතයේ කාලසීමාව ලෙස හැඳින්වේ. සියලුම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත ආවර්තිතා වේ. (ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර).

නිර්වචන වසමෙන් ඕනෑම x සඳහා f(x)=f(x-T)=f(x+T) සමානාත්මතාවය රඳවා ගන්නා සංඛ්‍යාවක් තිබේ නම් f ශ්‍රිතයක් ආවර්තිතා ලෙස හැඳින්වේ. T යනු ශ්‍රිතයේ කාල සීමාවයි.

සෑම ආවර්තිතා ශ්‍රිතයකටම අනන්ත කාල පරිච්ඡේද ඇත. ප්රායෝගිකව, කුඩාම ධනාත්මක කාල පරිච්ඡේදය සාමාන්යයෙන් සලකනු ලැබේ.

ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක අගයන් කාල සීමාවට සමාන විරාමයකින් පසුව පුනරාවර්තනය වේ. ප්‍රස්ථාර තැනීමේදී මෙය භාවිතා වේ.

කාර්යය අධ්යයනය.

1) D(y) - නිර්වචන වසම: x විචල්‍යයේ එම සියලු අගයන්ගේ කට්ටලය. ඒ සඳහා f(x) සහ g(x) යන වීජීය ප්‍රකාශන අර්ථවත් කරයි.

ශ්‍රිතයක් සූත්‍රයකින් ලබා දෙන්නේ නම්, නිර්වචනයේ වසම සූත්‍රය අර්ථවත් කරන ස්වාධීන විචල්‍යයේ සියලුම අගයන්ගෙන් සමන්විත වේ.

2) ශ්‍රිතයේ ගුණ: ඉරට්ටේ/ඔත්තේ, ආවර්තිතා:

තර්කයේ ලකුණෙහි වෙනස්වීම් සම්බන්ධයෙන් ප්‍රස්තාර සමමිතික වන ශ්‍රිත ඔත්තේ සහ ඉරට්ටේ ලෙස හැඳින්වේ.

ඔත්තේ ශ්‍රිතයක් යනු ස්වාධීන විචල්‍යයේ ලකුණ (ඛණ්ඩාංක කේන්ද්‍රයට සාපේක්ෂව සමමිතික) වෙනස් වන විට එහි අගය ප්‍රතිවිරුද්ධ අගයට වෙනස් කරන ශ්‍රිතයකි.

ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයක් යනු ස්වාධීන විචල්‍යයේ ලකුණ වෙනස් වන විට එහි අගය වෙනස් නොවන ශ්‍රිතයකි (ඕඩිනේට් ගැන සමමිතික).

ඉරට්ටේ හෝ ඔත්තේ ශ්‍රිතයක් (සාමාන්‍ය ස්වරූපයේ ශ්‍රිතයක්) යනු සමමිතියක් නොමැති ශ්‍රිතයක් නොවේ. මෙම ප්‍රවර්ගයට පෙර කාණ්ඩ 2 යටතට නොවැටෙන ශ්‍රිත ඇතුළත් වේ.

ඉහත කිසිඳු කාණ්ඩයකට අයත් නොවන ශ්‍රිත හඳුන්වනු ලැබේ ඉරට්ටේ හෝ ඔත්තේ නැත(හෝ පොදු කාර්යයන්).

ඔත්තේ කාර්යයන්

අත්තනෝමතික පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් ඇති ඔත්තේ බලය.

පවා කාර්යයන්

අත්තනෝමතික පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් ඇති බලය පවා.

ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක් යනු යම් නිත්‍ය තර්ක පරතරයකින් පසුව එහි අගයන් පුනරුච්චාරණය කරන ශ්‍රිතයකි, එනම්, සමස්ත වසම පුරා යම් ස්ථාවර ශුන්‍ය නොවන සංඛ්‍යාවක් (ශ්‍රිතයේ කාලසීමාව) තර්කයට එක් කරන විට එහි අගය වෙනස් නොකරයි. අර්ථ දැක්වීම.

3) ශ්‍රිතයක ශුන්‍ය (මුල්) යනු එය ශුන්‍ය බවට පත්වන ලක්ෂ්‍ය වේ.

අක්ෂය සමඟ ප්රස්ථාරයේ ඡේදනය ලක්ෂ්යය සොයා ගැනීම ඔයි. මෙය සිදු කිරීම සඳහා ඔබ අගය ගණනය කළ යුතුය f(0) අක්ෂය සමඟ ප්‍රස්ථාරයේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍ය ද සොයා ගන්න ගොනා, ඇයි සමීකරණයේ මූලයන් සොයන්නේ f(x) = 0 (හෝ මූලයන් නොමැති බවට වග බලා ගන්න).

ප්‍රස්ථාරය අක්ෂය ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිතයේ ශුන්‍ය ලෙස හැඳින්වේ. ශ්‍රිතයක ශුන්‍ය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ සමීකරණය විසඳිය යුතුය, එනම් ශ්‍රිතය ශුන්‍ය වන “x” අගයන් සොයා ගන්න.

4) සං signs ා වල නියත විරාමයන්, ඒවායේ සලකුණු.

f(x) ශ්‍රිතය සලකුණ පවත්වාගෙන යන අන්තරයන්.

නියත ලකුණක විරාමයක් යනු ශ්‍රිතය ධන හෝ ඍණ වන සෑම ලක්ෂ්‍යයකදීම විරාමයකි.

x අක්ෂයට ඉහළින්.

අක්ෂයට පහළින්.

5) අඛණ්ඩතාව (අනත්තිමත් වීමේ ලක්ෂ්ය, අත්හිටුවීමේ ස්වභාවය, අසමමිතිය).

අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක් යනු “ජම්ප්” නොමැති ශ්‍රිතයකි, එනම් තර්කයේ කුඩා වෙනස්කම් ශ්‍රිතයේ අගයෙහි කුඩා වෙනස්කම් වලට තුඩු දෙන එකකි.

ශ්රිතයේ සීමාව නම් පවතී, නමුත් මෙම අවස්ථාවේදී ශ්‍රිතය නිර්වචනය කර නැත, නැතහොත් සීමාව මෙම ලක්ෂ්‍යයේ ශ්‍රිතයේ අගය සමග සමපාත නොවේ:

,

එවිට ලක්ෂ්යය ලෙස හැඳින්වේ ඉවත් කළ හැකි බිඳීමේ ලක්ෂ්යයකාර්යයන් (සංකීර්ණ විශ්ලේෂණයේ දී, ඉවත් කළ හැකි ඒකීය ලක්ෂ්යයක්).

අපි ඉවත් කළ හැකි අත්හිටුවීමේ ස්ථානයේ කාර්යය "නිවැරදි" කර දමා නම් , එවිට අපට යම් ලක්ෂ්‍යයක සන්තතික ශ්‍රිතයක් ලැබේ. කාර්යයක් මත එවැනි මෙහෙයුමක් ලෙස හැඳින්වේ කාර්යය අඛණ්ඩව දිගු කිරීමහෝ අඛණ්ඩතාව මගින් ශ්‍රිතය නැවත අර්ථ දැක්වීම, ලක්ෂ්‍යයේ නම ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස සාධාරණීකරණය කරයි ඉවත් කළ හැකිකැඩීම.

පළමු හා දෙවන ආකාරයේ අඛණ්ඩතා ලකුණු

ශ්‍රිතයකට දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක අඛණ්ඩ පැවැත්මක් තිබේ නම් (එනම්, දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයේ සීමාව නොපවතී හෝ දී ඇති ලක්ෂ්‍යයේ ශ්‍රිතයේ අගය සමඟ සමපාත නොවේ නම්), සංඛ්‍යාත්මක ශ්‍රිත සඳහා විකල්ප දෙකක් තිබේ. සංඛ්‍යාත්මක ශ්‍රිතවල පැවැත්ම හා සම්බන්ධයි ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන්:

ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන් දෙකම පවතින්නේ නම් සහ සීමිත නම්, එවැනි ලක්ෂ්‍යයක් පළමු ආකාරයේ විසන්ධි ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස හැඳින්වේ. ඉවත් කළ හැකි විසන්ධිතා ලකුණු පළමු ආකාරයේ විසන්ධි ස්ථාන වේ;

අවම වශයෙන් ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන්ගෙන් එකක් හෝ නොපවතියි නම් හෝ සීමිත අගයක් නොවේ නම්, එවැනි ලක්ෂ්‍යයක් දෙවන ආකාරයේ අඛණ්ඩතා ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස හැඳින්වේ.

රෝග ලක්ෂණය - කෙලින්ම, වක්‍රයේ ලක්ෂ්‍යයක සිට මේ දක්වා ඇති දුර යන ගුණය ඇති කෙලින්මලක්ෂ්‍යය ශාඛාව දිගේ අනන්තය දක්වා ගමන් කරන විට ශුන්‍යයට නැඹුරු වේ.

සිරස්

සිරස් අසමමිතිය - සීමා රේඛාව .

රීතියක් ලෙස, සිරස් අසමමිතිය තීරණය කිරීමේදී, ඔවුන් එක් සීමාවක් නොව, ඒකපාර්ශ්වික දෙකක් (වම් සහ දකුණ) සොයයි. මෙය සිදු කරනුයේ විවිධ දිශාවන්ගෙන් සිරස් අසමමිතිය වෙත ළඟා වන විට කාර්යය හැසිරෙන ආකාරය තීරණය කිරීම සඳහා ය. උදාහරණ වශයෙන්:

තිරස් අසමමිතිය - කෙලින්මවිශේෂ, පැවැත්මට යටත් වේ සීමාව

.

ආනත රෝග ලක්ෂණය - කෙලින්මවිශේෂ, පැවැත්මට යටත් වේ සීමාවන්

සටහන: ශ්‍රිතයකට ආනත (තිරස්) අසමමිතික දෙකකට වඩා තිබිය නොහැක.

සටහන: ඉහත සඳහන් කළ සීමාවන් දෙකෙන් අවම වශයෙන් එකක් නොපවතියි නම් (හෝ සමාන වේ ), එවිට (හෝ ) හි ඇති ආනත රෝග ලක්ෂණය නොපවතී.

අයිතමය 2 හි නම්.), එවිට , සහ සීමාව තිරස් අසමමිතික සූත්‍රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය, .

6) ඒකාකාරීත්වයේ විරාම සොයා ගැනීම. ශ්‍රිතයක ඒකාකාරී බවේ විරාම සොයන්න f(x)(එනම් වැඩි වීම සහ අඩු වීම යන කාල අන්තරයන්). මෙය ව්යුත්පන්න සංඥාව පරීක්ෂා කිරීම මගින් සිදු කෙරේ f(x) මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ව්යුත්පන්නය සොයා ගන්න f(x) සහ අසමානතාවය විසඳන්න f(x 0. මෙම අසමානතාවය පවතින කාල පරතරයන් මත, ශ්‍රිතය f(x) වැඩි වේ. ප්‍රතිලෝම අසමානතාවය පවතින තැන f(x)0, කාර්යය f(x) අඩු වේ.

දේශීය අන්තයක් සොයා ගැනීම. ඒකාකාරීත්වයේ විරාමයන් සොයා ගැනීමෙන් පසු, අපට වහාම දේශීය අන්ත ලක්ෂ්‍ය තීරණය කළ හැකිය, එහිදී වැඩිවීමක් අඩුවීමකින් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ, දේශීය උපරිමය පිහිටා ඇත, සහ අඩුවීමක් වැඩිවීමකින් ප්‍රතිස්ථාපනය වන විට, දේශීය අවම ස්ථාන පිහිටා ඇත. මෙම ලක්ෂ්‍යවල ශ්‍රිතයේ අගය ගණනය කරන්න. ශ්‍රිතයක දේශීය අන්ත ලක්ෂ්‍ය නොවන තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍ය තිබේ නම්, මෙම ලක්ෂ්‍යවල ද ශ්‍රිතයේ අගය ගණනය කිරීම ප්‍රයෝජනවත් වේ.

කොටසක y = f(x) ශ්‍රිතයේ විශාලතම සහ කුඩාම අගයන් සොයා ගැනීම (දිගටම)