ස්වාභාවික ලඝුගණක සමඟ සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද? ලඝුගණක සමීකරණ විසඳීම සඳහා සමහර ක්රම
ලඝුගණක සමීකරණයයනු නොදන්නා (x) සහ එය සමඟ ඇති ප්රකාශන ලඝුගණක ශ්‍රිතයේ ලකුණ යටතේ ඇති සමීකරණයකි. ලඝුගණක සමීකරණ විසඳීමෙන් ඔබ දැනටමත් හුරුපුරුදු සහ .
ලඝුගණක සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද?
සරලම සමීකරණය වන්නේ log a x = b, a සහ b සමහර සංඛ්යා නම්, x යනු නොදන්නා එකකි.
ලඝුගණක සමීකරණයක් විසඳීම x = a b සපයා ඇත: a > 0, a 1.
x ලඝුගණකයෙන් පිටත කොතැනක හෝ තිබේ නම්, උදාහරණයක් ලෙස log 2 x = x-2 නම්, එවැනි සමීකරණයක් දැනටමත් මිශ්‍ර ලෙස හැඳින්වෙන අතර එය විසඳීමට විශේෂ ප්‍රවේශයක් අවශ්ය බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය.
කදිම අවස්ථාව වන්නේ ලඝුගණක ලකුණ යටතේ සංඛ්යා පමණක් ඇති සමීකරණයක් හමු වූ විටය, උදාහරණයක් ලෙස x+2 = ලඝු 2 2. එය විසඳීමට ලඝුගණකවල ගුණ දැනගැනීම ප්රමාණවත් වේ. නමුත් එවැනි වාසනාව බොහෝ විට සිදු නොවේ, එබැවින් වඩාත් දුෂ්කර දේ සඳහා සූදානම් වන්න.
නමුත් පළමුව, අපි සරල සමීකරණ සමඟ ආරම්භ කරමු. ඒවා විසඳීම සඳහා, ලඝුගණකය පිළිබඳ ඉතා සාමාන්ය අවබෝධයක් ලබා ගැනීම යෝග්ය වේ.
සරල ලඝුගණක සමීකරණ විසඳීම
මේවාට ලඝු 2 x = ලඝු 2 16 වර්ගයේ සමීකරණ ඇතුළත් වේ. ලඝුගණකයේ ලකුණ මඟ හැරීමෙන් අපට x = 16 ලැබෙන බව පියවි ඇසට දැකගත හැකිය.
වඩාත් සංකීර්ණ ලඝුගණක සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා, එය සාමාන්‍යයෙන් සාමාන්ය වීජීය සමීකරණයක් විසඳීමට හෝ සරල ලඝුගණක සමීකරණයක් log a x = b විසඳීමට අඩු කෙරේ. සරලම සමීකරණවලදී මෙය එක් චලනයකදී සිදු වේ, එබැවින් ඒවා සරලම ලෙස හැඳින්වේ.
ලඝුගණක පහත දැමීමේ ඉහත ක්‍රමය ලඝුගණක සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳීමට ඇති ප්රධාන ක්‍රමයකි. ගණිතයේ දී, මෙම මෙහෙයුම විභවතාව ලෙස හැඳින්වේ. මෙම වර්ගයේ මෙහෙයුම් සඳහා යම් නීති හෝ සීමාවන් තිබේ:
- ලඝුගණක වලට සමාන සංඛ්‍යාත්මක පාද ඇත
- සමීකරණයේ දෙපැත්තේ ලඝුගණක නිදහස් වේ, i.e. කිසිදු සංගුණකයක් හෝ වෙනත් විවිධ ආකාරයේ ප්රකාශන නොමැතිව.
සමීකරණ ලඝු-සටහනේ 2 x = 2log 2 (1 - x) විභවය අදාළ නොවේ යැයි කියමු - දකුණු පස ඇති සංගුණකය 2 එයට ඉඩ නොදේ. පහත උදාහරණයේ, log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) ද එක් සීමාවක් තෘප්තිමත් නොකරයි - වම් පසින් ලඝුගණක දෙකක් ඇත. එකක් පමණක් තිබුනේ නම්, එය සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් කාරණයක් වනු ඇත!
පොදුවේ ගත් කල, ඔබට ලඝුගණක ඉවත් කළ හැක්කේ සමීකරණයේ පෝරමය තිබේ නම් පමණි:
log a (...) = log a (...)
නියත වශයෙන්ම ඕනෑම ප්රකාශනයක් වරහන් තුළ තැබිය හැකිය; මෙය විභව ක්‍රියාකාරිත්වයට කිසිසේත්ම බලපාන්නේ නැත. ලඝුගණක ඉවත් කිරීමෙන් පසුව, සරල සමීකරණයක් පවතිනු ඇත - රේඛීය, හතරැස්, ඝාතීය යනාදිය, ඒවා විසඳන්නේ කෙසේදැයි ඔබ දැනටමත් දන්නා බව මම බලාපොරොත්තු වෙමි.
අපි තවත් උදාහරණයක් ගනිමු:
log 3 (2x-5) = log 3 x
අපි විභවය යොදන්නෙමු, අපට ලැබෙන්නේ:
ලඝු-සටහන 3 (2x-1) = 2
ලඝුගණකයේ නිර්වචනය මත පදනම්ව, එනම්, ලඝුගණකය යනු ලඝුගණක ලකුණ යටතේ ඇති ප්රකාශනයක් ලබා ගැනීම සඳහා පාදම ඉහළ නැංවිය යුතු සංඛ්‍යාවයි, i.e. (4x-1), අපට ලැබෙන්නේ:
නැවතත් අපට ලැබුණේ ලස්සන පිළිතුරකි. මෙහිදී අපි ලඝුගණක ඉවත් කිරීමකින් තොරව සිදු කළෙමු, නමුත් විභවතාව ද මෙහි අදාළ වේ, මන්ද ඕනෑම සංඛ්‍යාවකින් ලඝුගණකයක් සෑදිය හැකි අතර හරියටම අපට අවශ්ය එකයි. ලඝුගණක සමීකරණ සහ විශේෂයෙන්ම අසමානතා විසඳීමට මෙම ක්‍රමය බෙහෙවින් උපකාරී වේ.
අපගේ ලඝුගණක සමීකරණ ලඝු සටහන 3 (2x-1) = 2 විභවතාව භාවිතයෙන් විසඳා ගනිමු:
අංක 2 ලඝුගණකයක් ලෙස සිතමු, උදාහරණයක් ලෙස, මෙම ලොග් 3 9, මන්ද 3 2 =9.
ඉන්පසුව ලොග් 3 (2x-1) = ලොග් 3 9 සහ නැවතත් අපි එකම සමීකරණය 2x-1 = 9 ලබා ගනිමු. සියල්ල පැහැදිලි වනු ඇතැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි.
ඒ නිසා අපි ඇත්තටම ඉතා වැදගත් වන සරලම ලඝුගණක සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේදැයි සොයා බැලුවෙමු ලඝුගණක සමීකරණ විසඳීම, වඩාත්ම භයානක හා විකෘති වූ ඒවා පවා අවසානයේ සෑම විටම සරලම සමීකරණ විසඳීමට පැමිණේ.
අප ඉහත කළ සෑම දෙයකදීම, අනාගතයේදී තීරණාත්මක කාර්යභාරයක් ඉටු කරන එක් ඉතා වැදගත් කරුණක් අපට අහිමි විය. කාරණය නම්, ඕනෑම ලඝුගණක සමීකරණයකට විසඳුම, වඩාත්ම මූලික එක පවා සමාන කොටස් දෙකකින් සමන්විත වේ. පළමුවැන්න සමීකරණයේ විසඳුමයි, දෙවැන්න අවසර ලත් අගයන් (APV) පරාසය සමඟ ක්රියා කරයි. මෙය හරියටම අපි ප්‍රගුණ කළ පළමු කොටසයි. ඉහත උදාහරණ වල, ODZ පිළිතුරට කිසිදු ආකාරයකින් බලපාන්නේ නැත, එබැවින් අපි එය සලකා බැලුවේ නැත.
අපි තවත් උදාහරණයක් ගනිමු:
ලඝු-සටහන 3 (x 2 -3) = ලඝු-සටහන 3 (2x)
පිටතින්, මෙම සමීකරණය ඉතා සාර්ථකව විසඳිය හැකි මූලික එකකට වඩා වෙනස් නොවේ. නමුත් එය එසේ නොවේ. නැත, ඇත්ත වශයෙන්ම අපි එය විසඳන්නෙමු, නමුත් බොහෝ දුරට වැරදි ලෙස, එහි කුඩා සැඟවී සිටීමක් අඩංගු වන අතර, සී ශ්‍රේණියේ සිසුන් සහ විශිෂ්ට සිසුන් යන දෙදෙනාම වහාම එයට වැටේ. අපි සමීපව බලමු.
ඒවා කිහිපයක් තිබේ නම්, ඔබ සමීකරණයේ මුල හෝ මූලයන්ගේ එකතුව සොයා ගත යුතු යැයි කියමු:
ලඝු-සටහන 3 (x 2 -3) = ලඝු-සටහන 3 (2x)
අපි විභවය භාවිතා කරමු, එය මෙහි පිළිගත හැකිය. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි සාමාන්ය චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් ලබා ගනිමු.
සමීකරණයේ මූලයන් සොයා ගැනීම:
එය මුල් දෙකක් බවට පත් විය.
පිළිතුර: 3 සහ -1
මුලින්ම බැලූ බැල්මට සෑම දෙයක්ම නිවැරදියි. නමුත් අපි ප්රතිඵලය පරීක්ෂා කර එය මුල් සමීකරණයට ආදේශ කරමු.
අපි x 1 = 3 සමඟ ආරම්භ කරමු:
ලඝු-සටහන 3 6 = ලඝු-සටහන 3 6
චෙක්පත සාර්ථකයි, දැන් පෝලිම x 2 = -1:
ලඝු-සටහන 3 (-2) = ලඝු-සටහන 3 (-2)
හරි, නවත්වන්න! පිටතින් සෑම දෙයක්ම පරිපූර්ණයි. එක් දෙයක් - සෘණ සංඛ්යා වලින් ලඝුගණක නොමැත! මෙයින් අදහස් කරන්නේ අපගේ සමීකරණය විසඳීම සඳහා x = -1 මූලය සුදුසු නොවන බවයි. එබැවින් නිවැරදි පිළිතුර අප ලියා ඇති පරිදි 2 නොව 3 වනු ඇත.
අපට අමතකව තිබූ ODZ එහි මාරක භූමිකාව ඉටු කළේ මෙහිදීය.
පිළිගත හැකි අගයන් පරාසයේ මුල් උදාහරණය සඳහා අවසර දී ඇති හෝ අර්ථවත් වන x හි අගයන් ඇතුළත් වන බව මම ඔබට මතක් කරමි.
ODZ නොමැතිව, ඕනෑම සමීකරණයක නිරපේක්ෂ නිවැරදි විසඳුමක් පවා ලොතරැයියක් බවට පත්වේ - 50/50.
බැලූ බැල්මට ප්‍රාථමික උදාහරණයක් විසඳීමට අප හසුවන්නේ කෙසේද? නමුත් හරියටම විභවතාවයේ මොහොතේ. ලඝුගණක අතුරුදහන් වූ අතර, ඔවුන් සමඟ සියලු සීමා කිරීම්.
මෙම නඩුවේ කුමක් කළ යුතුද? ලඝුගණක ඉවත් කිරීම ප්‍රතික්ෂේප කරනවාද? මෙම සමීකරණය විසඳීම සම්පූර්ණයෙන්ම ප්‍රතික්ෂේප කරනවාද?
නැත, අපි, එක් ප්‍රසිද්ධ ගීතයක සැබෑ වීරයන් මෙන්, හැරවුම් මාර්ගයක් ගනිමු!
අපි කිසියම් ලඝුගණක සමීකරණයක් විසඳීමට පෙර, අපි ODZ ලියා තබමු. නමුත් ඊට පසු, අපගේ සමීකරණය සමඟ ඔබේ හදවත කැමති ඕනෑම දෙයක් කළ හැකිය. පිළිතුර ලැබුණු පසු, අපි අපගේ ODZ හි ඇතුළත් නොවන මූලයන් ඉවතට විසි කර අවසාන අනුවාදය ලියා තබමු.
දැන් අපි ODZ වාර්තා කරන්නේ කෙසේදැයි තීරණය කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි මුල් සමීකරණය හොඳින් පරීක්ෂා කර එහි සැක සහිත ස්ථාන සොයන්නෙමු, එනම් x මගින් බෙදීම, මූල පවා යනාදිය. අපි සමීකරණය විසඳන තුරු, x සමාන වන්නේ කුමක් දැයි අපි නොදනිමු, නමුත් අපි නිසැකවම දනිමු, ආදේශ කළ විට, 0 හෝ ඍණ අංකයක වර්ගමූලයෙන් බෙදීම ලබා දෙන එම x, පිළිතුරක් ලෙස නොගැලපේ. . එබැවින්, එවැනි x පිළිගත නොහැකි අතර ඉතිරිය ODZ වේ.
අපි නැවතත් එම සමීකරණය භාවිතා කරමු:
ලඝු-සටහන 3 (x 2 -3) = ලඝු-සටහන 3 (2x)
ලඝු-සටහන 3 (x 2 -3) = ලඝු-සටහන 3 (2x)
ඔබට පෙනෙන පරිදි, 0 න් බෙදීමක් නොමැත, වර්ග මූලයන් ද නොමැත, නමුත් ලඝුගණකයේ සිරුරේ x සමඟ ප්රකාශන ඇත. ලඝුගණකයේ ඇතුළත ප්රකාශනය සැමවිටම >0 විය යුතු බව අපි වහාම මතක තබා ගනිමු. අපි මෙම කොන්දේසිය ODZ ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු:
එම. අපි තවමත් කිසිවක් විසඳා නැත, නමුත් අපි දැනටමත් සම්පූර්ණ sublogarithmic ප්රකාශනය සඳහා අනිවාර්ය කොන්දේසියක් ලියා ඇත. කැරලි වරහන යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ මෙම කොන්දේසි එකවරම සත්‍ය විය යුතු බවයි.
ODZ ලියා ඇත, නමුත් එය අප විසින් සිදු කරනු ලබන අසමානතා පද්ධතිය විසඳීම සඳහා ද අවශ්ය වේ. අපට පිළිතුර x > v3 ලැබේ. දැන් අපි දන්නවා අපිට නොගැලපෙන x මොකක්ද කියලා. ඉන්පසු අපි ලඝුගණක සමීකරණය විසඳීමට පටන් ගනිමු, එය අප ඉහත කළ දෙයයි.
x 1 = 3 සහ x 2 = -1 යන පිළිතුරු ලැබුණු පසු, අපට ගැලපෙන්නේ x1 = 3 පමණක් බව දැකීම පහසු වන අතර, අපි එය අවසන් පිළිතුර ලෙස සටහන් කරමු.
අනාගතය සඳහා, පහත සඳහන් දේ මතක තබා ගැනීම ඉතා වැදගත් වේ: අපි ඕනෑම ලඝුගණක සමීකරණයක් අදියර 2 කින් විසඳන්නෙමු. පළමුවැන්න සමීකරණය විසඳා ගැනීමයි, දෙවැන්න ODZ තත්ත්වය විසඳීමයි. අදියර දෙකම එකිනෙකාගෙන් ස්වාධීනව සිදු කරනු ලබන අතර පිළිතුර ලිවීමේදී පමණක් සංසන්දනය කරනු ලැබේ, i.e. අනවශ්‍ය සියල්ල ඉවත දමා නිවැරදි පිළිතුර ලියන්න.
ද්රව්යය ශක්තිමත් කිරීම සඳහා, අපි වීඩියෝව නැරඹීමට තරයේ නිර්දේශ කරමු:
වීඩියෝව ලොගය විසඳීමේ වෙනත් උදාහරණ පෙන්වයි. සමීකරණ සහ ප්රායෝගිකව විරාම ක්‍රමය සකස් කිරීම.
මෙම ප්රශ්නයට, ලඝුගණක සමීකරණ විසඳන ආකාරයදැනට එච්චරයි. ලඝු සටහනෙන් යමක් තීරණය වේ නම්. සමීකරණ අපැහැදිලි හෝ නොතේරෙන ලෙස පවතී, අදහස් දැක්වීමේදී ඔබේ ප්රශ්න ලියන්න.
සටහන: සමාජ අධ්‍යාපන ඇකඩමිය (ASE) නව සිසුන් පිළිගැනීමට සූදානම්.
ගණිතයේ අවසාන පරීක්ෂණය සඳහා සූදානම් වීම වැදගත් කොටසකි - "ලඝුගණක". මෙම මාතෘකාවෙන් කාර්යයන් අනිවාර්යයෙන්ම ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයේ අඩංගු වේ. පසුගිය වසරවල අත්දැකීම්වලින් පෙනී යන්නේ ලඝුගණක සමීකරණ බොහෝ පාසල් සිසුන්ට දුෂ්කරතා ඇති කළ බවයි. එමනිසා, විවිධ මට්ටමේ පුහුණුවක් ඇති සිසුන් නිවැරදි පිළිතුර සොයා ගන්නේ කෙසේද යන්න තේරුම් ගෙන ඉක්මනින් ඒවාට මුහුණ දිය යුතුය.
Shkolkovo අධ්‍යාපන ද්වාරය භාවිතයෙන් සහතික කිරීමේ පරීක්ෂණය සාර්ථකව සමත් වන්න!
ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය සඳහා සූදානම් වන විට, උසස් පාසැල් උපාධිධාරීන්ට පරීක්ෂණ ගැටළු සාර්ථකව විසඳීම සඳහා වඩාත් සම්පූර්ණ සහ නිවැරදි තොරතුරු සපයන විශ්වසනීය මූලාශ්රයක් අවශ්ය වේ. කෙසේ වෙතත්, පෙළපොතක් සෑම විටම අත ළඟ නැති අතර, අන්තර්ජාලයේ අවශ්ය නීති සහ සූත්ර සෙවීමට බොහෝ විට කාලය ගතවේ.
Shkolkovo අධ්‍යාපනික ද්වාරය ඔබට ඕනෑම වේලාවක ඕනෑම තැනක ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය සඳහා සූදානම් වීමට ඉඩ සලසයි. අපගේ වෙබ් අඩවිය ලඝුගණක පිළිබඳ තොරතුරු විශාල ප්‍රමාණයක් පුනරාවර්තනය කිරීමට සහ උකහා ගැනීමට මෙන්ම නොදන්නා එකක් සහ කිහිපයක් සමඟ වඩාත් පහසු ප්‍රවේශයක් ලබා දෙයි. පහසු සමීකරණ සමඟ ආරම්භ කරන්න. ඔබ අපහසුවකින් තොරව ඔවුන් සමඟ කටයුතු කරන්නේ නම්, වඩාත් සංකීර්ණ ඒවා වෙත යන්න. ඔබට විශේෂිත අසමානතාවයක් විසඳීමේ ගැටලුවක් තිබේ නම්, ඔබට එය ඔබගේ ප්‍රියතමයන් වෙත එක් කළ හැක එවිට ඔබට එය පසුව වෙත ආපසු යා හැක.
කාර්යය සම්පූර්ණ කිරීම සඳහා අවශ්ය සූත්ර සොයා ගත හැකිය, "න්යායික උපකාර" කොටස දෙස බැලීමෙන් සම්මත ලඝුගණක සමීකරණයේ මූලය ගණනය කිරීම සඳහා විශේෂ අවස්ථා සහ ක්රම නැවත නැවත කරන්න. Shkolkovo ගුරුවරුන් සරලම හා වඩාත්ම තේරුම්ගත හැකි ආකාරයෙන් සාර්ථක ලෙස සමත්වීම සඳහා අවශ්ය සියලු ද්රව්ය එකතු කර, ක්රමානුකූලව හා ඉදිරිපත් කළේය.
ඕනෑම සංකීර්ණතාවයක කාර්යයන් සමඟ පහසුවෙන් මුහුණ දීම සඳහා, අපගේ ද්වාරයෙහි ඔබට සමහර සම්මත ලඝුගණක සමීකරණවල විසඳුම පිළිබඳව ඔබව හුරු කර ගත හැකිය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, "නාමාවලි" කොටස වෙත යන්න. ගණිතයේ පැතිකඩ මට්ටමේ ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය සමඟ සමීකරණ ඇතුළුව උදාහරණ විශාල ප්‍රමාණයක් අප සතුව ඇත.
රුසියාව පුරා පාසල්වල සිසුන්ට අපගේ ද්වාරය භාවිතා කළ හැකිය. පන්ති ආරම්භ කිරීම සඳහා, පද්ධතිය තුළ ලියාපදිංචි වී සමීකරණ විසඳීම ආරම්භ කරන්න. ප්රතිඵල තහවුරු කිරීම සඳහා, අපි ඔබට දිනපතා Shkolkovo වෙබ් අඩවියට ආපසු යාමට උපදෙස් දෙන්නෙමු.
මෙම වීඩියෝවෙන් මම ලඝුගණක සමීකරණ පිළිබඳ දීර්ඝ පාඩම් මාලාවක් ආරම්භ කරමි. දැන් ඔබ ඉදිරියෙහි උදාහරණ තුනක් ඇත, එහි පදනම මත අපි සරලම ගැටළු විසඳීමට ඉගෙන ගනිමු, ඒවා නම් - ප්රොටෝසෝවා.
ලොග් 0.5 (3x - 1) = -3
ලඝු-සටහන (x + 3) = 3 + 2 ලඝු-සටහන 5
සරලම ලඝුගණක සමීකරණය පහත සඳහන් බව මම ඔබට මතක් කරමි:
log a f (x) = b
මෙහිදී, x විචල්යය පවතින්නේ තර්කය තුළ පමණක් වීම, එනම් f (x) ශ්‍රිතයේ පමණක් වීම වැදගත් වේ. තවද a සහ b සංඛ්යා හුදෙක් සංඛ්යා වන අතර, කිසිම අවස්ථාවක x විචල්යය අඩංගු ශ්‍රිත නොවේ.
මූලික විසඳුම් ක්රම
එවැනි ව්යුහයන් විසඳීමට බොහෝ ක්රම තිබේ. උදාහරණයක් ලෙස, පාසලේ බොහෝ ගුරුවරුන් මෙම ක්‍රමය ඉදිරිපත් කරයි: සූත්රය භාවිතයෙන් f (x) ශ්රිතය වහාම ප්‍රකාශ කරන්න. f ( x ) = a b . එනම්, ඔබ සරලම ඉදි කිරීම් හමු වූ විට, අතිරේක ක්රියාවන් සහ ඉදිකිරීම් නොමැතිව වහාම විසඳුම වෙත ගමන් කළ හැකිය.
ඔව්, ඇත්ත වශයෙන්ම, තීරණය නිවැරදි වනු ඇත. කෙසේ වෙතත්, මෙම සූත්‍රයේ ගැටලුව වන්නේ බොහෝ සිසුන් ය තේරෙන්නේ නෑ, එය පැමිණෙන්නේ කොහෙන්ද සහ අපි a අකුර b අකුරට ඔසවන්නේ ඇයි?
එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, උදාහරණයක් ලෙස, මෙම අකුරු මාරු කරන විට, මම බොහෝ විට ඉතා කරදරකාරී වැරදි දකිමි. මෙම සූත්රය තේරුම් ගත යුතු හෝ තද කළ යුතු අතර, දෙවන ක්‍රමය වඩාත් නුසුදුසු හා තීරණාත්මක අවස්ථාවන්හිදී වැරදි වලට තුඩු දෙයි: විභාග, පරීක්ෂණ, ආදිය.
සම්මත පාසල් සූත්රය අත්හැර දමා ලඝුගණක සමීකරණ විසඳීමට දෙවන ප්රවේශය භාවිතා කරන ලෙස මම මගේ සියලුම සිසුන්ට යෝජනා කරන්නේ එබැවිනි, ඔබ බොහෝ විට නමෙන් අනුමාන කළ පරිදි එය හැඳින්වේ. කැනොනිකල් ආකෘතිය.
කැනොනිකල් ආකෘතිය පිළිබඳ අදහස සරල ය. අපි නැවතත් අපගේ ගැටලුව දෙස බලමු: වම් පසින් අපට log a ඇත, සහ a අකුරෙන් අප අදහස් කරන්නේ අංකයක් වන අතර, කිසිම අවස්ථාවක x විචල්යය අඩංගු ශ්‍රිතයක් නොවේ. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, මෙම ලිපිය ලඝුගණකයේ පදනම මත පනවා ඇති සියලුම සීමා කිරීම් වලට යටත් වේ. එනම්:
1 ≠ a > 0
අනෙක් අතට, එම සමීකරණයෙන් ම අපට පෙනෙන්නේ ලඝුගණකය b අංකයට සමාන විය යුතු බවත්, මෙම ලිපියට කිසිදු සීමාවක් පනවා නැති බවත්, එයට ඕනෑම අගයක් ගත හැකි බැවිනි - ධන සහ සෘණ යන දෙකම. ඒ සියල්ල රඳා පවතින්නේ f(x) ශ්රිතය ගන්නා අගයන් මතය.
ඕනෑම b සංඛ්‍යාවක් a හි a පාදයට b හි බලයට ලඝුගණකයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකි බවට අපගේ අපූරු රීතිය මෙහිදී අපට මතකයි.
b = log a a b
මෙම සූත්රය මතක තබා ගන්නේ කෙසේද? ඔව්, ඉතා සරලයි. අපි පහත ඉදිකිරීම් ලියන්නෙමු:
b = b 1 = b log a a
ඇත්ත වශයෙන්ම, මේ අවස්ථාවේ දී අප ආරම්භයේ දී ලියා ඇති සියලු සීමාවන් පැන නගී. දැන් අපි ලඝුගණකයේ මූලික ගුණය භාවිතා කර a හි බලය ලෙස b ගුණකය හඳුන්වා දෙමු. අපට ලැබෙන්නේ:
b = b 1 = b log a a = log a a b
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, මුල් සමීකරණය පහත පරිදි නැවත ලියනු ලැබේ:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
එච්චරයි. නව ශ්‍රිතයේ තවදුරටත් ලඝුගණකයක් අඩංගු නොවන අතර සම්මත වීජීය ශිල්පීය ක්රම භාවිතයෙන් විසඳිය හැක.
ඇත්ත වශයෙන්ම, යමෙකු දැන් විරුද්ධ වනු ඇත: කිසියම් ආකාරයක කැනොනිකල් සූත්‍රයක් ඉදිරිපත් කිරීමට අවශ්ය වූයේ ඇයි, මුල් සැලසුමේ සිට අවසාන සූත්රය වෙත වහාම යාමට හැකි නම් අමතර අනවශ්‍ය පියවර දෙකක් සිදු කරන්නේ ඇයි? ඔව්, මෙම සූත්රය පැමිණෙන්නේ කොතැනින්ද යන්න බොහෝ සිසුන්ට නොතේරෙන නිසා පමණක් නම් සහ එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස එය යෙදීමේදී නිතිපතා වැරදි සිදු වේ.
නමුත් මෙම ක්රියා අනුපිළිවෙල, පියවර තුනකින් සමන්විත වන අතර, අවසාන සූත්රය පැමිණෙන්නේ කොහෙන්ද යන්න ඔබට නොතේරුණත්, මුල් ලඝුගණක සමීකරණය විසඳීමට ඔබට ඉඩ සලසයි. මාර්ගය වන විට, මෙම ප්රවේශය කැනොනිකල් සූත්රය ලෙස හැඳින්වේ:
log a f (x) = log a a b
කැනොනිකල් ආකෘතියේ පහසුව ද පවතින්නේ එය අද අප සලකා බලන සරලම ඒවා පමණක් නොව, ඉතා පුළුල් ලඝුගණක සමීකරණ විසඳීමට භාවිතා කළ හැකි බැවිනි.
විසඳුම් සඳහා උදාහරණ
දැන් අපි සැබෑ උදාහරණ දෙස බලමු. ඉතින්, අපි තීරණය කරමු:
ලොග් 0.5 (3x - 1) = -3
අපි එය මෙසේ නැවත ලියමු:
ලඝු-සටහන 0.5 (3x - 1) = ලඝු-සටහන 0.5 0.5 -3
බොහෝ සිසුන් කඩිමුඩියේ සිටින අතර මුල් ගැටලුවෙන් අප වෙත පැමිණි බලයට අංක 0.5 වහාම ඉහළ නැංවීමට උත්සාහ කරයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, එවැනි ගැටළු විසඳීම සඳහා ඔබ දැනටමත් හොඳින් පුහුණු වී ඇති විට, ඔබට වහාම මෙම පියවර සිදු කළ හැකිය.
කෙසේ වෙතත්, ඔබ දැන් මෙම මාතෘකාව අධ්‍යයනය කිරීමට පටන් ගෙන තිබේ නම්, අප්රසන්න වැරදි වළක්වා ගැනීම සඳහා ඕනෑම තැනක ඉක්මන් නොවීම වඩා හොඳය. ඉතින්, අපට කැනොනිකල් ස්වරූපය ඇත. අපිට තියෙනවා:
3x - 1 = 0.5 -3
මෙය තවදුරටත් ලඝුගණක සමීකරණයක් නොව, x විචල්‍යයට සාපේක්ෂව රේඛීය වේ. එය විසඳීම සඳහා, අපි පළමුව −3 හි බලයට අංක 0.5 දෙස බලමු. 0.5 1/2 බව සලකන්න.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
ලඝුගණක සමීකරණයක් විසඳන විට සියලුම දශම භාගයන් පොදු භාග බවට පරිවර්තනය කරන්න.
අපි නැවත ලියන්න සහ ලබා ගන්න:
3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3
එච්චරයි, අපට පිළිතුර ලැබුණා. පළමු ගැටළුව විසඳා ඇත.
දෙවන කාර්යය
අපි දෙවන කාර්යය වෙත යමු:
අපට පෙනෙන පරිදි, මෙම සමීකරණය තවදුරටත් සරලම නොවේ. වම් පැත්තේ වෙනසක් ඇති නිසා පමණක් නම් සහ එක් පාදයකට එක ලඝුගණකයක් නොවේ.
ඒ නිසා අපි කොහොම හරි මේ වෙනස නැති කරන්න ඕන. මෙම අවස්ථාවේ දී, සෑම දෙයක්ම ඉතා සරල ය. අපි පාදයන් දෙස සමීපව බලමු: වම් පසින් මූලයට යටින් ඇති අංකය:
සාමාන්ය නිර්දේශය: සියලුම ලඝුගණක සමීකරණ වලදී, රැඩිකලුන් ඉවත් කිරීමට උත්සාහ කරන්න, එනම්, මූලයන් සහිත ඇතුළත් කිරීම් වලින් සහ බල ශ්‍රිත වෙත ගමන් කරන්න, හුදෙක් මෙම බලවල ඝාතකයන් ලඝුගණකයේ ලකුණෙන් පහසුවෙන් ඉවත් කර ඇති නිසා සහ අවසානයේ එවැනි ඇතුළත් කිරීමක් සැලකිය යුතු ලෙස සරල කර ගණනය කිරීම් වේගවත් කරයි. අපි එය මෙසේ ලියමු.
දැන් අපි ලඝුගණකයේ කැපී පෙනෙන ගුණාංගය මතක තබා ගනිමු: බලයන් තර්කයෙන් මෙන්ම පාදයෙන් ද ලබා ගත හැකිය. පදනම සම්බන්ධයෙන්, පහත සඳහන් දේ සිදු වේ:
log a k b = 1/k loga b
වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, පාදක බලයේ තිබූ සංඛ්යාව ඉදිරියට ගෙන එන අතර ඒ සමඟම ප්‍රතිලෝම වේ, එනම් එය ප්‍රතිවර්ත සංඛ්‍යාවක් බවට පත්වේ. අපගේ නඩුවේදී, මූලික උපාධිය 1/2 විය. ඒ නිසා අපිට 2/1 විදියට එලියට ගන්න පුළුවන්. අපට ලැබෙන්නේ:
5 2 ලොග් 5 x - ලොගය 5 x = 18
10 ලොග් 5 x - ලොගය 5 x = 18
කරුණාකර සටහන් කරන්න: මෙම පියවරේදී කිසිම අවස්ථාවක ඔබ ලඝුගණක ඉවත් නොකළ යුතුය. 4-5 ශ්‍රේණියේ ගණිතය සහ මෙහෙයුම් අනුපිළිවෙල මතක තබා ගන්න: ගුණ කිරීම පළමුව සිදු කරනු ලබන අතර පසුව එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම පමණි. මෙම අවස්ථාවේදී, අපි මූලද්‍රව්‍ය 10 කින් එකම මූලද්‍රව්‍යවලින් එකක් අඩු කරමු:
9 ලඝු 5 x = 18
ලඝු-සටහන 5 x = 2
දැන් අපේ සමීකරණය විය යුතු ආකාරයට පෙනේ. මෙය සරලම ඉදිකිරීම වන අතර අපි එය කැනොනිකල් ආකෘතිය භාවිතයෙන් විසඳමු:
ලඝු-සටහන 5 x = ලඝු-සටහන 5 5 2
x = 5 2
x = 25
එච්චරයි. දෙවන ගැටළුව විසඳා ඇත.
තුන්වන උදාහරණය
අපි තුන්වන කාර්යය වෙත යමු:
ලඝු-සටහන (x + 3) = 3 + 2 ලඝු-සටහන 5
මම ඔබට පහත සූත්රය මතක් කර දෙන්නම්:
log b = log 10 b
කිසියම් හේතුවක් නිසා ඔබ අංක ලොගයෙන් ව්යාකූල වී ඇත්නම් b , සියලු ගණනය කිරීම් සිදු කරන විට ඔබට සරලව ලිවිය හැකිය ලොග් 10 b . ඔබට අනෙක් අය සමඟ මෙන් දශම ලඝුගණක සමඟ වැඩ කළ හැකිය: බලය ගන්න, lg 10 ආකෘතියේ ඕනෑම අංකයක් එකතු කරන්න සහ නියෝජනය කරන්න.
අපගේ පාඩම ආරම්භයේදීම අප ලියා ඇති සරලම එකක් නොවන බැවින් ගැටලුව විසඳීමට අපි දැන් භාවිතා කරන්නේ මෙම ගුණාංග ය.
පළමුව, lg 5 ට ඉදිරියෙන් ඇති සාධකය 2 එකතු කර 5 පාදයේ බලයක් බවට පත් විය හැකි බව සලකන්න. ඊට අමතරව, නිදහස් පදය 3 ලඝුගණකයක් ලෙස ද නිරූපණය කළ හැකිය - මෙය අපගේ අංකනය අනුව නිරීක්ෂණය කිරීම ඉතා පහසුය.
ඔබම විනිශ්චය කරන්න: ඕනෑම අංකයක් 10 පාදයට ලඝු ලෙස නිරූපණය කළ හැක:
3 = ලඝු-සටහන 10 10 3 = ලඝු-සටහන 10 3
ලබාගත් වෙනස්කම් සැලකිල්ලට ගනිමින් මුල් ගැටළුව නැවත ලියමු:
ලඝු-සටහන (x - 3) = ලඝු-සටහන 1000 + ලඝු-සටහන 25
ලඝු-සටහන (x - 3) = ලඝු-සටහන 1000 25
ලඝු-සටහන (x - 3) = ලඝු-සටහන 25,000
අප ඉදිරියේ නැවතත් කැනොනිකල් ස්වරූපය ඇති අතර, පරිවර්තන අදියර හරහා නොගොස් එය අපට ලැබුණි, එනම් සරලම ලඝුගණක සමීකරණය කොතැනකවත් නොපෙන්වයි.
පාඩම ආරම්භයේදීම මා කතා කළේ මෙයයි. බොහෝ පාසල් ගුරුවරුන් ලබා දෙන සම්මත පාසල් සූත්‍රයට වඩා පුළුල් පන්තියේ ගැටළු විසඳීමට කැනොනිකල් ආකෘතිය ඔබට ඉඩ සලසයි.
හොඳයි, එපමණයි, අපි දශම ලඝුගණකයේ ලකුණෙන් මිදෙන්නෙමු, අපට සරල රේඛීය ඉදිකිරීමක් ලැබේ:
x + 3 = 25,000
x = 24,997
සෑම! ගැටලුව විසඳී ඇත.
විෂය පථය පිළිබඳ සටහනක්
මෙහිදී මම අර්ථ දැක්වීමේ විෂය පථය සම්බන්ධයෙන් වැදගත් ප්‍රකාශයක් කිරීමට කැමැත්තෙමි. නිසැකවම දැන් සිසුන් සහ ගුරුවරුන් පවසනු ඇත: "අපි ලඝුගණක සමඟ ප්රකාශන විසඳන විට, f (x) තර්කය බිංදුවට වඩා වැඩි විය යුතු බව මතක තබා ගත යුතුය!" මේ සම්බන්ධයෙන් තාර්කික ප්‍රශ්නයක් පැන නගී: සලකා බැලූ කිසිදු ගැටලුවකදී මෙම අසමානතාවය සෑහීමකට පත්වීමට අපට අවශ්ය නොවන්නේ මන්ද?
කණගාටු නොවන්න. මෙම අවස්ථා වලදී, අමතර මූලයන් නොපෙන්වයි. මෙය ඔබට විසඳුම වේගවත් කිරීමට ඉඩ සලසන තවත් විශිෂ්ට උපක්‍රමයකි. ගැටලුවේ දී x විචල්යය සිදු වන්නේ එක් ස්ථානයක පමණක් නම් (හෝ ඒ වෙනුවට, තනි ලඝුගණකයේ එක් තර්කයක් තුළ) සහ අපගේ නඩුවේ වෙනත් තැනක x විචල්යය නොපෙන්වන්නේ නම්, අර්ථ දැක්වීමේ වසම ලියන්න. අවශ්ය නැහැ, එය ස්වයංක්රීයව ක්රියාත්මක වන නිසා.
ඔබම විනිශ්චය කරන්න: පළමු සමීකරණයේදී අපට ලැබුණේ 3x - 1, එනම් තර්කය 8 ට සමාන විය යුතුය. මෙයින් ස්වයංක්රීයව අදහස් වන්නේ 3x - 1 ශුන්යයට වඩා වැඩි වනු ඇති බවයි.
එම සාර්ථකත්වය සමඟම අපට ලිවිය හැකිය දෙවන අවස්ථාවෙහිදී x 5 2 ට සමාන විය යුතුය, එනම් එය නිසැකවම ශුන්යයට වඩා වැඩි ය. තුන්වන අවස්ථාවෙහි, x + 3 = 25,000, එනම්, නැවතත්, පැහැදිලිවම ශුන්යයට වඩා වැඩි වේ. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, විෂය පථය ස්වයංක්රීයව තෘප්තිමත් වේ, නමුත් x එක් ලඝුගණකයක තර්කයක පමණක් සිදු වුවහොත් පමණි.
සරලම ගැටළු විසඳීමට ඔබ දැනගත යුත්තේ එපමණයි. මෙම රීතිය පමණක්, පරිවර්තන රීති සමඟින්, ඔබට ඉතා පුළුල් පන්ති ගැටළු විසඳීමට ඉඩ සලසයි.
නමුත් අපි අවංක වෙමු: මෙම තාක්ෂණය අවසානයේ අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා, ලඝුගණක සමීකරණයේ කැනොනිකල් ආකෘතිය යෙදිය යුතු ආකාරය ඉගෙන ගැනීමට, එක් වීඩියෝ පාඩමක් නැරඹීම පමණක් ප්රමාණවත් නොවේ. එමනිසා, දැන්, මෙම වීඩියෝ පාඩමට අමුණා ඇති ස්වාධීන විසඳුම් සඳහා විකල්ප බාගත කර මෙම ස්වාධීන කෘති දෙකෙන් එකක්වත් විසඳීම ආරම්භ කරන්න.
එය ඔබට වචනාර්ථයෙන් මිනිත්තු කිහිපයක් ගතවනු ඇත. නමුත් එවැනි පුහුණුවක බලපෑම ඔබ මෙම වීඩියෝ පාඩම සරලව නැරඹුවාට වඩා බෙහෙවින් වැඩි වනු ඇත.
මෙම පාඩම ඔබට ලඝුගණක සමීකරණ තේරුම් ගැනීමට උපකාරී වනු ඇතැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි. කැනොනිකල් පෝරමය භාවිතා කරන්න, ලඝුගණක සමඟ වැඩ කිරීම සඳහා නීති රීති භාවිතා කරමින් ප්රකාශන සරල කරන්න - එවිට ඔබ කිසිදු ගැටලුවකට බිය නොවනු ඇත. අදට මට ඇත්තේ එපමණකි.
අර්ථ දැක්වීමේ වසම සැලකිල්ලට ගනිමින්
දැන් අපි ලඝුගණක ශ්‍රිතයේ නිර්වචනයේ වසම ගැන කතා කරමු, සහ ලඝුගණක සමීකරණවල විසඳුමට මෙය බලපාන ආකාරය ගැන. පෝරමය ඉදිකිරීමක් සලකා බලන්න
log a f (x) = b
එවැනි ප්රකාශනයක් සරලම ලෙස හැඳින්වේ - එහි අඩංගු වන්නේ එක් ශ්‍රිතයක් පමණක් වන අතර a සහ b සංඛ්යා හුදෙක් සංඛ්යා වන අතර කිසිදු අවස්ථාවක x විචල්යය මත රඳා පවතින ශ්‍රිතයක් නොවේ. එය ඉතා සරලව විසඳිය හැකිය. ඔබට අවශ්ය වන්නේ සූත්රය භාවිතා කිරීම පමණි:
b = log a a b
මෙම සූත්රය ලඝුගණකයේ ප්රධාන ගුණාංගවලින් එකක් වන අතර අපගේ මුල් ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරන විට අපට පහත දේ ලැබේ:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
මෙය පාසල් පෙළපොත් වලින් හුරුපුරුදු සූත්‍රයකි. බොහෝ සිසුන්ට බොහෝ විට ප්‍රශ්නයක් ඇති වනු ඇත: මුල් ප්‍රකාශනයේ f (x) ශ්රිතය ලඝු ලකුණ යටතේ ඇති බැවින්, එයට පහත සීමාවන් පනවා ඇත:
f(x) > 0
සෘණ සංඛ්‍යාවල ලඝුගණකය නොපවතින නිසා මෙම සීමාව අදාළ වේ. ඉතින්, සමහර විට, මෙම සීමාවේ ප්රතිඵලයක් ලෙස, පිළිතුරු පිළිබඳ චෙක්පතක් හඳුන්වා දිය යුතුද? සමහර විට ඒවා ප්‍රභවයට ඇතුළත් කළ යුතුද?
නැත, සරලම ලඝුගණක සමීකරණවලදී අමතර පරීක්ෂා කිරීම අනවශ්‍යයි. සහ ඒ නිසයි. අපගේ අවසාන සූත්රය දෙස බලන්න:
f (x) = a b
කාරණය නම් a අංකය ඕනෑම අවස්ථාවක 0 ට වඩා වැඩි වීමයි - මෙම අවශ්‍යතාවය ලඝුගණකයෙන් ද පනවනු ලැබේ. අංකය a පදනම වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, b අංකයට සීමාවන් පනවා නැත. නමුත් මෙය කමක් නැත, මන්ද අපි ධන අංකයක් කුමන බලයකට ඔසවා තැබුවද, අපට තවමත් ප්‍රතිදානයේදී ධනාත්මක සංඛ්‍යාවක් ලැබෙනු ඇත. මේ අනුව, f (x) > 0 අවශ්‍යතාවය ස්වයංක්රීයව තෘප්තිමත් වේ.
ලොග් ලකුණ යටතේ ඇති ශ්‍රිතයේ වසම පරීක්ෂා කිරීම ඇත්තෙන්ම වටී. තරමක් සංකීර්ණ ව්යුහයන් තිබිය හැකි අතර, විසඳුම් ක්‍රියාවලියේදී ඔබ අනිවාර්යයෙන්ම ඒවා කෙරෙහි අවධානය යොමු කළ යුතුය. අපි බලමු.
පළමු කාර්යය:
පළමු පියවර: දකුණු පස කොටස පරිවර්තනය කරන්න. අපට ලැබෙන්නේ:
අපි ලඝුගණක ලකුණ ඉවත් කර සුපුරුදු අතාර්කික සමීකරණය ලබා ගනිමු:
ලබාගත් මූලයන් අතුරින්, දෙවන මූලය ශුන්යයට වඩා අඩු බැවින් පළමු එක පමණක් අපට ගැලපේ. එකම පිළිතුර වනු ඇත්තේ අංක 9 ය. එපමණයි, ගැටලුව විසඳී ඇත. ලඝුගණක ලකුණ යටතේ ඇති ප්රකාශනය 0 ට වඩා වැඩි බව සහතික කිරීමට අමතර පරීක්ෂණ අවශ්ය නොවේ, මන්ද එය හුදෙක් 0 ට වඩා වැඩි නොවේ, නමුත් සමීකරණයේ තත්ත්වය අනුව එය 2 ට සමාන වේ. එබැවින් අවශ්‍යතාවය “ශුන්යයට වඩා වැඩිය. ” ස්වයංක්රීයව තෘප්තිමත් වේ.
අපි දෙවන කාර්යය වෙත යමු:
මෙහි සෑම දෙයක්ම එක හා සමානයි. ත්‍රිත්ව ප්‍රතිස්ථාපනය කරමින් අපි ඉදිකිරීම් නැවත ලියන්නෙමු:
අපි ලඝුගණක සලකුණු ඉවත් කර අතාර්කික සමීකරණයක් ලබා ගනිමු:
සීමාවන් සැලකිල්ලට ගනිමින් අපි දෙපස වර්ග කර ලබා ගනිමු:
4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2
4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 -4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
අපි වෙනස් කොට සැලකීම හරහා ලැබෙන සමීකරණය විසඳන්නෙමු:
D = 49 - 24 = 25
x 1 = -1
x 2 = -6
නමුත් x = −6 අපට ගැලපෙන්නේ නැත, මන්ද අපි මෙම අංකය අපගේ අසමානතාවයට ආදේශ කළහොත් අපට ලැබෙන්නේ:
−6 + 4 = −2 < 0
අපගේ නඩුවේදී, එය 0 ට වඩා වැඩි වීම හෝ ආන්තික අවස්ථාවන්හිදී සමාන වීම අවශ්ය වේ. නමුත් x = -1 අපට ගැලපේ:
−1 + 4 = 3 > 0
අපගේ නඩුවේ එකම පිළිතුර වනුයේ x = -1 වේ. ඒක තමයි විසඳුම. අපි නැවතත් අපගේ ගණනය කිරීම් ආරම්භයට යමු.
මෙම පාඩමෙන් ප්රධාන වශයෙන් ගත යුතු කරුණ නම්, ඔබට සරල ලඝුගණක සමීකරණවල ශ්‍රිතයක බාධාවන් පරීක්ෂා කිරීමට අවශ්ය නොවන බවයි. විසඳුම් ක්‍රියාවලියේදී සියලු සීමාවන් ස්වයංක්රීයව තෘප්තිමත් වන බැවිනි.
කෙසේ වෙතත්, මෙය කිසිසේත්ම ඔබට පරීක්ෂා කිරීම සම්පූර්ණයෙන්ම අමතක කළ හැකි බවක් අදහස් නොවේ. ලඝුගණක සමීකරණයක් මත වැඩ කිරීමේ ක්‍රියාවලියේදී, එය අතාර්කික එකක් බවට පත්විය හැකි අතර, එය දකුණු පැත්ත සඳහා තමන්ගේම සීමාවන් සහ අවශ්යතා ඇති අතර, එය අද අප විවිධ උදාහරණ දෙකකින් දැක ඇත.
එවැනි ගැටළු විසඳීමට නිදහස් වන්න සහ තර්කයේ මූලයක් තිබේ නම් විශේෂයෙන් සැලකිලිමත් වන්න.
විවිධ පදනම් සහිත ලඝුගණක සමීකරණ
අපි ලඝුගණක සමීකරණ දිගටම අධ්‍යයනය කරන අතර වඩාත් සංකීර්ණ ඉදිකිරීම් විසඳීමට මෝස්තරයක් වන තවත් තරමක් රසවත් ශිල්පීය ක්රම දෙකක් දෙස බලමු. නමුත් පළමුව, සරලම ගැටළු විසඳන්නේ කෙසේදැයි මතක තබා ගනිමු:
log a f (x) = b
මෙම ප්‍රවේශයේදී a සහ b යනු සංඛ්යා වන අතර f (x) ශ්‍රිතයේ x විචල්යය තිබිය යුතු අතර එහි පමණක් එනම් x තර්කයේ පමණක් තිබිය යුතුය. අපි කැනොනිකල් ආකෘතිය භාවිතයෙන් එවැනි ලඝුගණක සමීකරණ පරිවර්තනය කරන්නෙමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, එය සටහන් කරන්න
b = log a a b
එපමණක් නොව, a b යනු නිශ්චිතවම තර්කයකි. අපි මෙම ප්රකාශනය පහත පරිදි නැවත ලියමු:
log a f (x) = log a a b
වම් සහ දකුණ යන දෙකෙහිම a පාදක කර ගැනීමට ලඝුගණකයක් ඇති වන පරිදි අප සාක්ෂාත් කර ගැනීමට උත්සාහ කරන්නේ මෙයයි. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අපට සංකේතාත්මකව කථා කළහොත්, ලඝු-සටහන් සලකුණු කළ හැකි අතර, ගණිතමය දෘෂ්ටි කෝණයකින්, අපි තර්ක සමීකරණය කරන බව අපට පැවසිය හැකිය:
f (x) = a b
එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, විසඳීමට වඩාත් පහසු වනු ඇති නව ප්රකාශනයක් අපට ලැබෙනු ඇත. අද අපගේ ගැටළු සඳහා මෙම රීතිය අදාළ කර ගනිමු.
ඉතින්, පළමු නිර්මාණය:
පළමුවෙන්ම, මම සටහන් කරන්නේ දකුණු පසින් හරය ලඝු-සටහනක් ඇති කොටසකි. ඔබ මෙවැනි ප්රකාශනයක් දකින විට, ලඝුගණකවල අපූරු ගුණාංගයක් මතක තබා ගැනීම හොඳ අදහසකි:
රුසියානු භාෂාවට පරිවර්තනය කර ඇති අතර, මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඕනෑම ලඝුගණකයක් ඕනෑම c පාදයක් සහිත ලඝුගණක දෙකක ප්‍රමාණය ලෙස නිරූපණය කළ හැකි බවයි. ඇත්ත වශයෙන්ම 0< с ≠ 1.
ඉතින්: c විචල්යය විචල්‍යයට සමාන වන විට මෙම සූත්‍රයට එක් අපූරු විශේෂ අවස්ථාවක් ඇත බී. මෙම අවස්ථාවේදී, අපට එවැනි ඉදිකිරීමක් ලැබේ:
අපගේ සමීකරණයේ දකුණු පස ඇති ලකුණෙන් අපට පෙනෙන ඉදිකිරීම් මෙයයි. මෙම ඉදිකිරීම log a b සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු, අපට ලැබෙන්නේ:
වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, මුල් කාර්යයට සාපේක්ෂව, අපි තර්කය සහ ලඝුගණකයේ පදනම මාරු කළෙමු. ඒ වෙනුවට, අපි කොටස ආපසු හැරවීමට සිදු විය.
පහත රීතියට අනුව ඕනෑම උපාධියක් පදනමෙන් ලබා ගත හැකි බව අපට මතකයි:
වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, පාදයේ බලය වන k සංගුණකය ප්‍රතිලෝම භාගයක් ලෙස ප්‍රකාශ වේ. අපි එය ප්‍රතිලෝම භාගයක් ලෙස ලබා දෙමු:
භාගික සාධකය ඉදිරියෙන් තැබිය නොහැක, මන්ද මෙම අවස්ථාවේ දී අපට මෙම අංකනය කැනොනිකල් ස්වරූපයක් ලෙස නිරූපණය කිරීමට නොහැකි වනු ඇත (සියල්ලට පසු, කැනොනිකල් ස්වරූපයෙන් දෙවන ලඝුගණකයට පෙර අමතර සාධකයක් නොමැත). එබැවින්, බලයක් ලෙස තර්කයට 1/4 කොටස එකතු කරමු:
දැන් අපි පාද සමාන වන (සහ අපගේ පදනම් ඇත්ත වශයෙන්ම සමාන) තර්ක සමාන කර ලියන්න:
x + 5 = 1
x = -4
එච්චරයි. පළමු ලඝුගණක සමීකරණයට පිළිතුර අපට ලැබුණි. කරුණාකර සටහන් කරන්න: මුල් ගැටලුවේදී, x විචල්යය දිස්වන්නේ එක් ලොගයක පමණක් වන අතර එය එහි තර්කයේ දිස්වේ. එබැවින්, වසම පරීක්ෂා කිරීම අවශ්ය නොවේ, අපගේ අංකය x = -4 ඇත්තෙන්ම පිළිතුර වේ.
දැන් අපි දෙවන ප්රකාශනය වෙත යමු:
ලොගය 56 = ලඝු-සටහන 2 ලොගය 2 7 - 3ලොගය (x + 4)
මෙහිදී, සාමාන්ය ලඝුගණක වලට අමතරව, අපට log f (x) සමඟ වැඩ කිරීමට සිදුවනු ඇත. එවැනි සමීකරණයක් විසඳන්නේ කෙසේද? සූදානම් නැති ශිෂ්‍යයෙකුට මෙය යම් ආකාරයක දුෂ්කර කාර්යයක් සේ පෙනේ, නමුත් ඇත්ත වශයෙන්ම සියල්ල මූලික ආකාරයකින් විසඳිය හැකිය.
lg 2 log 2 7 යන යෙදුම දෙස සමීපව බලන්න. ඒ ගැන අපට කුමක් කිව හැකිද? log සහ lg හි පදනම් සහ තර්ක සමාන වන අතර මෙය සමහර අදහස් ලබා දිය යුතුය. ලඝුගණක ලකුණ යටතේ බලය ලබා ගන්නා ආකාරය නැවත වරක් සිහිපත් කරමු:
log a b n = nlog a b
වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, තර්කයේ b හි බලයක් වූයේ කුමක්ද යන්න ලඝු-සටහන ඉදිරිපිට සාධකයක් බවට පත්වේ. lg 2 log 2 7 යන ප්‍රකාශනයට මෙම සූත්රය යොදමු. lg 2 ට බිය නොවන්න - මෙය වඩාත් පොදු ප්‍රකාශනයයි. ඔබට එය පහත පරිදි නැවත ලිවිය හැකිය:
වෙනත් ඕනෑම ලඝුගණකයකට අදාළ වන සියලුම නීති ඒ සඳහා වලංගු වේ. විශේෂයෙන්, ඉදිරි සාධකය තර්කයේ මට්ටමට එකතු කළ හැකිය. අපි එය ලියා තබමු:
බොහෝ විට, සිසුන් මෙම ක්‍රියාව කෙලින්ම නොපෙනේ, මන්ද එක් ලොගයක් තවත් ලකුණක් යටතේ ඇතුළත් කිරීම හොඳ නැති බැවිනි. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙහි අපරාධ කිසිවක් නැත. එපමණක් නොව, ඔබට වැදගත් රීතියක් මතක නම් ගණනය කිරීමට පහසු සූත්‍රයක් අපට ලැබේ:
මෙම සූත්රය අර්ථ දැක්වීමක් ලෙසත් එහි එක් ගුණාංගයක් ලෙසත් සැලකිය හැකිය. ඕනෑම අවස්ථාවක, ඔබ ලඝුගණක සමීකරණයක් පරිවර්තනය කරන්නේ නම්, ඔබ ඕනෑම සංඛ්‍යාවක ලඝු නිරූපනය දන්නා ආකාරයටම මෙම සූත්රය ද දැන සිටිය යුතුය.
අපි අපේ කාර්යයට ආපසු යමු. සමාන ලකුණේ දකුණට ඇති පළමු පදය lg 7 ට සමාන වන බව සැලකිල්ලට ගනිමින් අපි එය නැවත ලියන්නෙමු. අපට ඇත්තේ:
lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)
අපි lg 7 වමට ගෙන යමු, අපට ලැබෙන්නේ:
lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)
වම් පස ඇති ප්රකාශන එකම පදනමක් ඇති බැවින් අපි ඒවා අඩු කරමු:
lg (56/7) = -3lg (x + 4)
දැන් අපි ලබා ගත් සමීකරණය දෙස සමීපව බලමු. එය ප්රායෝගිකව කැනොනිකල් ස්වරූපය වේ, නමුත් දකුණු පසෙහි සාධකය -3 ඇත. අපි එය නිවැරදි lg තර්කයට එකතු කරමු:
ලොගය 8 = ලොගය (x + 4) -3
අපට පෙර ලඝුගණක සමීකරණයේ කැනොනිකල් ස්වරූපය වේ, එබැවින් අපි lg සලකුණු හරස් කර තර්ක සමාන කරමු:
(x + 4) -3 = 8
x + 4 = 0.5
එච්චරයි! අපි දෙවන ලඝුගණක සමීකරණය විසඳා ගත්තෙමු. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අමතර චෙක්පත් අවශ්ය නොවේ, මන්ද මුල් ගැටලුවේ x එක් තර්කයක පමණක් පැවතුනි.
මෙම පාඩමේ ප්රධාන කරුණු නැවත ලැයිස්තුගත කිරීමට මට ඉඩ දෙන්න.
ලඝුගණක සමීකරණ විසඳීම සඳහා කැප වූ මෙම පිටුවේ සියලුම පාඩම් වල උගන්වනු ලබන ප්රධාන සූත්රය වන්නේ කැනොනිකල් ආකෘතියයි. බොහෝ පාසල් පෙළපොත් එවැනි ගැටළු වෙනස් ලෙස විසඳීමට ඔබට උගන්වන බව බිය නොවන්න. මෙම මෙවලම ඉතා කාර්යක්ෂමව ක්රියා කරන අතර අපගේ පාඩම ආරම්භයේදීම අප විසින් අධ්‍යයනය කරන ලද සරලම ගැටළු වලට වඩා පුළුල් පරාසයක ගැටළු විසඳීමට ඔබට ඉඩ සලසයි.
මීට අමතරව, ලඝුගණක සමීකරණ විසඳීම සඳහා මූලික ගුණාංග දැනගැනීම ප්රයෝජනවත් වනු ඇත. එනම්:
- එක් පදනමක් වෙත ගමන් කිරීම සඳහා වන සූත්රය සහ අපි ප්‍රතිලෝම ලොග් කරන විට විශේෂ අවස්ථාව (මෙය පළමු ගැටලුවේදී අපට ඉතා ප්රයෝජනවත් විය);
- ලඝුගණක ලකුණෙන් බල එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා සූත්රය. මෙහිදී, බොහෝ සිසුන් සිරවී සිටින අතර, පිටතට ගෙන හඳුන්වා දුන් උපාධියෙහිම log f (x) අඩංගු විය හැකි බව නොපෙනේ. ඒකෙ වරදක් නෑ. අපට අනෙක් ලකුණට අනුව එක් ලොගයක් හඳුන්වා දිය හැකි අතර ඒ සමඟම ගැටලුවේ විසඳුම සැලකිය යුතු ලෙස සරල කළ හැකිය, එය දෙවන නඩුවේදී අපි නිරීක්ෂණය කරමු.
අවසාන වශයෙන්, සෑම තැනකම x විචල්යය ලොගයේ එක් ලකුණක පමණක් පවතින අතර ඒ සමඟම එහි තර්කයේ ඇති බැවින්, මෙම එක් එක් අවස්ථාවෙහි අර්ථ දැක්වීමේ වසම පරීක්ෂා කිරීම අවශ්ය නොවන බව මම එකතු කිරීමට කැමැත්තෙමි. එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස විෂය පථයේ සියලුම අවශ්යතා ස්වයංක්රීයව සම්පූර්ණ වේ.
විචල්ය පදනම සමඟ ගැටළු
අද අපි ලඝුගණක සමීකරණ දෙස බලමු, බොහෝ සිසුන්ට එය සම්පූර්ණයෙන්ම විසඳිය නොහැකි නම් සම්මත නොවන බව පෙනේ. අපි කතා කරන්නේ සංඛ්යා මත නොව විචල්ය සහ ශ්‍රිත පවා පදනම් කරගත් ප්රකාශන ගැන ය. අපගේ සම්මත තාක්ෂණය භාවිතයෙන්, එනම් කැනොනිකල් ආකෘතිය හරහා අපි එවැනි ඉදිකිරීම් විසඳන්නෙමු.
පළමුව, සාමාන්ය සංඛ්යා මත පදනම්ව සරලම ගැටළු විසඳන්නේ කෙසේදැයි මතක තබා ගනිමු. එබැවින්, සරලම ඉදිකිරීම ලෙස හැඳින්වේ
log a f (x) = b
එවැනි ගැටළු විසඳීම සඳහා අපට පහත සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය:
b = log a a b
අපි අපගේ මුල් ප්රකාශනය නැවත ලියා ලබා ගන්නේ:
log a f (x) = log a a b
එවිට අපි තර්ක සමාන කරමු, එනම් අපි ලියන්නෙමු:
f (x) = a b
මේ අනුව, අපි ලොග් ලකුණ ඉවත් කර සුපුරුදු ගැටළුව විසඳන්නෙමු. මෙම අවස්ථාවේ දී, විසඳුමෙන් ලබාගත් මූලයන් මුල් ලඝුගණක සමීකරණයේ මූලයන් වනු ඇත. මීට අමතරව, වම් සහ දකුණ යන දෙකම එකම පාදයක් සහිත එකම ලඝුගණකයේ ඇති වාර්තාවක් නිශ්චිතවම කැනොනිකල් ස්වරූපය ලෙස හැඳින්වේ. එහෙම වාර්තාවකට තමයි අද නිර්මාණ අඩු කරන්න හදන්නේ. ඉතින්, අපි යමු.
පළමු කාර්යය:
ලොග් x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1
1 ලොග් x - 2 (x - 2) 1 සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න. තර්කයේ අපි නිරීක්ෂණය කරන උපාධිය ඇත්ත වශයෙන්ම සමාන ලකුණේ දකුණට ඇති අංකය b වේ. මේ අනුව, අපි අපගේ ප්රකාශනය නැවත ලියමු. අපට ලැබෙන්නේ:
ලොග් x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = ලොග් x - 2 (x - 2)
අපි දකින්නේ කුමක්ද? අපට පෙර ලඝුගණක සමීකරණයේ කැනොනිකල් ස්වරූපය වේ, එබැවින් අපට තර්ක ආරක්ෂිතව සමාන කළ හැකිය. අපට ලැබෙන්නේ:
2x 2 - 13x + 18 = x - 2
නමුත් විසඳුම එතැනින් අවසන් නොවේ, මන්ද මෙම සමීකරණය මුල් එකට සමාන නොවේ. සියල්ලට පසු, ප්රතිඵලය ගොඩනැගීම සම්පූර්ණ සංඛ්යා රේඛාව මත අර්ථ දක්වා ඇති කාර්යයන් වලින් සමන්විත වන අතර, අපගේ මුල් ලඝුගණක සෑම තැනකම නිර්වචනය කර නොමැති අතර සෑම විටම නොවේ.
එබැවින්, අපි අර්ථ දැක්වීමේ වසම වෙන වෙනම ලිවිය යුතුය. අපි හිසකෙස් නොබෙදී මුලින්ම සියලු අවශ්යතා ලියා තබමු:
පළමුව, එක් එක් ලඝුගණකයේ තර්කය 0 ට වඩා වැඩි විය යුතුය:
2x 2 - 13x + 18 > 0
x - 2 > 0
දෙවනුව, පාදය 0 ට වඩා වැඩි පමණක් නොව, 1 ට වඩා වෙනස් විය යුතුය:
x - 2 ≠ 1
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි පද්ධතිය ලබා ගනිමු:
නමුත් කලබල නොවන්න: ලඝුගණක සමීකරණ සැකසීමේදී, එවැනි පද්ධතියක් සැලකිය යුතු ලෙස සරල කළ හැකිය.
ඔබම විනිශ්චය කරන්න: එක් අතකින්, චතුරස්රාකාර ශ්රිතය ශුන්යයට වඩා වැඩි විය යුතු අතර, අනෙක් අතට, මෙම චතුරස්රාකාර ශ්රිතය යම් රේඛීය ප්රකාශනයකට සමාන වේ, එය ශුන්යයට වඩා වැඩි විය යුතුය.
මෙම අවස්ථාවේදී, අපට එම x − 2 > 0 අවශ්ය නම්, 2x 2 - 13x + 18 > 0 අවශ්‍යතාවය ස්වයංක්රීයව තෘප්තිමත් වේ.එබැවින්, අපට චතුර්ශ්‍රිත ශ්රිතය අඩංගු අසමානතාවය ආරක්ෂිතව හරස් කළ හැක. මේ අනුව, අපගේ පද්ධතියේ අඩංගු ප්රකාශන සංඛ්යාව තුනක් දක්වා අඩු වනු ඇත.
ඇත්ත වශයෙන්ම, එම සාර්ථකත්වය සමඟම අපට රේඛීය අසමානතාවය ඉක්මවා යා හැකිය, එනම්, x - 2 > 0 හරස් කර 2x 2 - 13x + 18 > 0 අවශ්ය වේ. නමුත් සරලම රේඛීය අසමානතාවය විසඳීම වඩා වේගවත් බව ඔබ එකඟ වනු ඇත. සහ සරල, හතරැස් වලට වඩා, මෙම සමස්ත පද්ධතිය විසඳීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස අපට එකම මූලයන් ලැබේ යන කොන්දේසිය යටතේ වුවද.
පොදුවේ, හැකි සෑම විටම ගණනය කිරීම් ප්රශස්ත කිරීමට උත්සාහ කරන්න. සහ ලඝුගණක සමීකරණවලදී, වඩාත්ම දුෂ්කර අසමානතාවයන් හරස් කරන්න.
අපි අපේ පද්ධතිය නැවත ලියමු:
මෙන්න ප්රකාශන තුනක පද්ධතියක්, ඉන් දෙකක්, ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි දැනටමත් කටයුතු කර ඇත. චතුරස්රාකාර සමීකරණය වෙන වෙනම ලියා එය විසඳා ගනිමු:
2x 2 - 14x + 20 = 0
x 2 - 7x + 10 = 0
අපට පෙර අඩු චතුරස්රාකාර ත්රිකෝණයක් වන අතර, එබැවින්, අපට Vieta හි සූත්ර භාවිතා කළ හැකිය. අපට ලැබෙන්නේ:
(x - 5)(x - 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
දැන් අපි අපගේ පද්ධතියට ආපසු ගොස් x = 2 අපට නොගැලපෙන බව සොයා ගනිමු, මන්ද x 2 ට වඩා වැඩි විය යුතු බව අපට අවශ්ය වේ.
නමුත් x = 5 අපට හොඳින් ගැලපේ: අංක 5 2 ට වඩා වැඩි වන අතර ඒ සමඟම 5 3 ට සමාන නොවේ. එබැවින් මෙම පද්ධතියට ඇති එකම විසඳුම x = 5 වනු ඇත.
එපමණයි, ODZ සැලකිල්ලට ගැනීම ඇතුළුව ගැටළුව විසඳනු ලැබේ. අපි දෙවන සමීකරණයට යමු. වඩාත් සිත්ගන්නාසුළු සහ තොරතුරු සහිත ගණනය කිරීම් අපව මෙහි බලා සිටී:
පළමු පියවර: පසුගිය වතාවේ මෙන්, අපි මෙම සම්පූර්ණ කාරණය කැනොනිකල් ආකෘතියට ගෙන එයි. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපට අංක 9 පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
ඔබ මූල සමඟ පදනම ස්පර්ශ කිරීමට අවශ්ය නැත, නමුත් තර්කය පරිවර්තනය කිරීම වඩා හොඳය. තාර්කික ඝාතකයක් සමඟ මූලයේ සිට බලයට යමු. අපි මෙසේ ලියමු.
මට අපගේ සම්පූර්ණ විශාල ලඝුගණක සමීකරණය නැවත ලිවීමට ඉඩ නොදෙන්න, නමුත් වහාම තර්ක සමාන කරන්න:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
අපට පෙර අලුතින් අඩු කරන ලද චතුරස්‍ර ත්‍රිපදයකි, අපි Vieta හි සූත්ර භාවිතා කර මෙසේ ලියමු:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
ඉතින්, අපි මූලයන් ලබා ගත්තෙමු, නමුත් ඒවා මුල් ලඝුගණක සමීකරණයට ගැලපෙන බවට කිසිවෙකු අපට සහතික විය. සියල්ලට පසු, ලඝු-සටහන් සංඥා අතිරේක සීමාවන් පනවා ඇත (මෙහි අපි පද්ධතිය ලියා තිබිය යුතුය, නමුත් සම්පූර්ණ ව්යුහයේ අවුල් සහගත ස්වභාවය නිසා, මම නිර්වචනයේ වසම වෙන වෙනම ගණනය කිරීමට තීරණය කළෙමි).
පළමුවෙන්ම, තර්ක 0 ට වඩා වැඩි විය යුතු බව මතක තබා ගන්න, එනම්:
මේවා නිර්වචනයේ විෂය පථය මගින් පනවන ලද අවශ්යතා වේ.
අපි පද්ධතියේ පළමු ප්රකාශන දෙක එකිනෙකට සමාන කරන බැවින්, අපට ඒවායින් ඕනෑම එකක් හරස් කළ හැකි බව අපි වහාම සටහන් කරමු. දෙවෙනි එකට වඩා භයානක පෙනුමක් තියෙන නිසා පළවෙනි එක හරස් කරමු.
ඊට අමතරව, දෙවන හා තෙවන අසමානතාවයන්ට විසඳුම එකම කට්ටල බව සලකන්න (සමහර සංඛ්‍යාවක ඝනකයක් ශුන්යයට වඩා වැඩි වේ, මෙම අංකයම ශුන්යයට වඩා වැඩි නම්; ඒ හා සමානව, තුන්වන අංශකයේ මූලයක් සමඟ - මෙම අසමානතා සම්පූර්ණයෙන්ම සමානයි, එබැවින් අපට එය හරස් කළ හැකිය).
නමුත් තුන්වන අසමානතාවය සමඟ මෙය ක්රියා නොකරනු ඇත. කොටස් දෙකම ඝනකයක් දක්වා ඔසවා වම් පස ඇති රැඩිකල් ලකුණ ඉවත් කරමු. අපට ලැබෙන්නේ:
එබැවින් අපට පහත අවශ්යතා ලැබේ:
− 2 ≠ x > −3
අපගේ කුමන මූලයන්: x 1 = -3 හෝ x 2 = -1 මෙම අවශ්යතා සපුරාලන්නේද? පැහැදිලිවම, x = -1 පමණි, මන්ද x = -3 පළමු අසමානතාවය තෘප්තිමත් නොකරන බැවිනි (අපගේ අසමානතාවය දැඩි බැවින්). එබැවින්, අපගේ ගැටලුව වෙත ආපසු යාම, අපට එක් මූලයක් ලැබේ: x = -1. එච්චරයි, ගැටලුව විසඳා ඇත.
නැවත වරක්, මෙම කාර්යයේ ප්රධාන කරුණු:
- කැනොනිකල් පෝරමය භාවිතයෙන් ලඝුගණක සමීකරණ යෙදීමට සහ විසඳීමට නිදහස් වන්න. එවැනි අංකනය කරන සිසුන්, මුල් ගැටලුවේ සිට log a f (x) = b වැනි ඉදිකිරීමකට සෘජුවම ගමන් කරනවාට වඩා, ගණනය කිරීම් අතරමැදි පියවරයන් මඟ හරිමින් කොහේ හෝ දුවන අයට වඩා අඩු වැරදි සිදු කරයි;
- ලඝුගණකයක විචල්ය පදනමක් දිස් වූ වහාම, ගැටළුව සරලම වීම නතර වේ. එබැවින්, එය විසඳන විට, අර්ථ දැක්වීමේ වසම සැලකිල්ලට ගැනීම අවශ්ය වේ: තර්ක ශුන්යයට වඩා වැඩි විය යුතු අතර, පාදයන් 0 ට වඩා වැඩි නොවිය යුතුය, නමුත් ඒවා 1 ට සමාන නොවිය යුතුය.
අවසාන අවශ්යතා විවිධ ආකාරවලින් අවසාන පිළිතුරු සඳහා යෙදිය හැක. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට අර්ථ දැක්වීමේ වසම සඳහා අවශ්ය සියලු අවශ්යතා අඩංගු සම්පූර්ණ පද්ධතියක් විසඳා ගත හැකිය. අනෙක් අතට, ඔබට මුලින්ම ගැටලුව විසඳා ගත හැකි අතර, පසුව අර්ථ දැක්වීමේ වසම මතක තබා ගන්න, එය පද්ධතියක ස්වරූපයෙන් වෙන වෙනම සකස් කර ලබාගත් මූලයන් වෙත එය යොදන්න.
විශේෂිත ලඝුගණක සමීකරණයක් විසඳීමේදී තෝරා ගත යුතු ක්‍රමය ඔබට භාරයි. ඕනෑම අවස්ථාවක, පිළිතුර සමාන වනු ඇත.
පාසැලේ ගණිත පාඩම් වලදී බොහෝ විට සාකච්ඡා නොකරන නමුත් ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය ඇතුළුව තරඟකාරී කාර්යයන් සකස් කිරීමේදී බහුලව භාවිතා වන ලඝුගණක සමීකරණ කිහිපයක් සලකා බලමු.
1. ලඝුගණක ක්‍රමය මගින් විසඳන ලද සමීකරණ
පාදයේ සහ ඝාතක දෙකෙහිම විචල්‍යයක් අඩංගු සමීකරණ විසඳන විට, ලඝුගණක ක්‍රමය භාවිතා වේ. ඒ සමගම, ඝාතකයේ ලඝුගණකයක් තිබේ නම්, සමීකරණයේ දෙපැත්තම මෙම ලඝුගණකයේ පාදයට ලඝුගණක කළ යුතුය.
උදාහරණ 1.
සමීකරණය විසඳන්න: x log 2 x+2 = 8.
විසඳුමක්.
සමීකරණයේ වම් සහ දකුණු පැතිවල ලඝුගණකය 2 පාදයට ගනිමු. අපට ලැබේ
ලඝු-සටහන 2 (x ලොග් 2 x + 2) = ලඝු-සටහන 2 8,
(ලොග 2 x + 2) ලඝු-සටහන 2 x = 3.
ලොග් 2 x = t කරමු.
එවිට (t + 2)t = 3.
t 2 + 2t - 3 = 0.
D = 16. t 1 = 1; t 2 = -3.
එබැවින් ලොග් 2 x = 1 සහ x 1 = 2 හෝ ලොග් 2 x = -3 සහ x 2 = 1/8
පිළිතුර: 1/8; 2.
2. සමජාතීය ලඝුගණක සමීකරණ.
උදාහරණ 2.
සමීකරණ ලොගය 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0 විසඳන්න
විසඳුමක්.
සමීකරණයේ වසම
(x 2 – 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.
ලොග් 3 (x + 5) = 0 x = -4. පරීක්ෂා කිරීමෙන් අපි x හි මෙම අගය නොවන බව තීරණය කරමු 
මුල් සමීකරණයේ මුල වේ. එබැවින්, අපට ලොග් 2 3 (x + 5) මගින් සමීකරණයේ දෙපැත්තම බෙදිය හැකිය.
අපට ලොග් 2 3 (x 2 – 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) – 3 log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0 ලැබේ.
ලොග් 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t ට ඉඩ දෙන්න. එවිට t 2 - 3 t + 2 = 0. මෙම සමීකරණයේ මූලයන් 1 වේ; 2. මුල් විචල්යය වෙත ආපසු යාම, අපි සමීකරණ දෙකක කට්ටලයක් ලබා ගනිමු
නමුත් ලඝුගණකයේ පැවැත්ම සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි සලකා බැලිය යුත්තේ අගයන් (0; 9] පමණි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ වම් පැත්තේ ප්රකාශනය x = 1 හි විශාලතම අගය 2 වන බවයි. දැන් y = ශ්රිතය සලකා බලන්න. 2 x-1 + 2 1-x. අපි t = 2 x -1 ගත්තොත්, එය y = t + 1/t ආකාරය ගනී, එහිදී t > 0. එවැනි තත්වයන් යටතේ, එයට තනි තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යයක් ඇත t = 1. මෙය අවම ලක්ෂ්‍යය Y vin = 2. එය x = 1 ට ළඟා වේ.
සලකා බලන ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර ඡේදනය විය හැක්කේ ලක්ෂ්‍යයේදී (1; 2) එක් වරක් පමණක් බව දැන් පැහැදිලිය. විසඳන සමීකරණයේ එකම මූලය x = 1 බව පෙනේ.
පිළිතුර: x = 1.
උදාහරණ 5. සමීකරණ ලොගය 2 2 x + (x – 1) ලඝු 2 x = 6 – 2x විසඳන්න
විසඳුමක්.
ලොග් 2 x සඳහා මෙම සමීකරණය විසඳමු. ලොග් 2 x = t කරමු. එවිට t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0.
D = (x – 1) 2 – 4(2x – 6) = (x – 5) 2. t 1 = -2; t 2 = 3 - x.
අපි සමීකරණ ලොගය 2 x = -2 හෝ ලඝු 2 x = 3 - x ලබා ගනිමු.
පළමු සමීකරණයේ මූලය x 1 = 1/4 වේ. 
2 x = 3 - x සමීකරණ ලඝු-සටහනේ මූලය තෝරාගැනීමෙන් අපි සොයා ගනිමු. මෙය අංක 2 වේ. මෙම මූලය අනන්‍ය වේ, y = log 2 x ශ්රිතය අර්ථ දැක්වීමේ සම්පූර්ණ වසම පුරා වැඩි වෙමින් පවතින අතර, y = 3 – x ශ්රිතය අඩු වෙමින් පවතී.
සංඛ්යා දෙකම සමීකරණයේ මූලයන් බව පරීක්ෂා කිරීම පහසුය
පිළිතුර:1/4; 2.
වෙබ් අඩවිය, සම්පූර්ණ හෝ අර්ධ වශයෙන් ද්රව්ය පිටපත් කරන විට, මූලාශ්රය වෙත සබැඳියක් අවශ්ය වේ.
ඔබ දන්නා පරිදි, බලයන් සමඟ ප්රකාශන ගුණ කරන විට, ඒවායේ ඝාතකයන් සෑම විටම එකතු වේ (a b *a c = a b+c). මෙම ගණිතමය නියමය ආකිමිඩීස් විසින් ව්‍යුත්පන්න කරන ලද අතර පසුව 8 වැනි සියවසේදී විරාසෙන් නම් ගණිතඥයා පූර්ණ සංඛ්යා ඝාතක වගුවක් නිර්මාණය කළේය. ලඝුගණක තවදුරටත් සොයා ගැනීම සඳහා සේවය කළේ ඔවුන්ය. මෙම කාර්යය භාවිතා කිරීමේ උදාහරණ ඔබට සරල එකතු කිරීමකින් අපහසු ගුණ කිරීම සරල කිරීමට අවශ්ය සෑම තැනකම පාහේ සොයාගත හැකිය. ඔබ මෙම ලිපිය කියවීම සඳහා විනාඩි 10 ක් වැය කරන්නේ නම්, ලඝුගණක යනු කුමක්ද සහ ඒවා සමඟ වැඩ කරන්නේ කෙසේද යන්න අපි ඔබට පැහැදිලි කරන්නෙමු. සරල සහ ප්‍රවේශ විය හැකි භාෂාවෙන්.
ගණිතයේ අර්ථ දැක්වීම
ලඝුගණකයක් යනු පහත පෝරමයේ ප්‍රකාශනයකි: log a b=c, එනම් ඕනෑම සෘණ නොවන සංඛ්‍යාවක (එනම් ඕනෑම ධනයක) “b” එහි පාදයේ “a” දක්වා ඇති ලඝුගණකය “c” බලය ලෙස සැලකේ. අවසානයේ "b" අගය ලබා ගැනීම සඳහා "a" පාදය ඉහල දැමිය යුතුය. අපි උදාහරණ යොදා ගනිමින් ලඝුගණකය විශ්ලේෂණය කරමු, ප්රකාශන ලොගයක් 2 ඇතැයි කියමු 8. පිළිතුර සොයා ගන්නේ කෙසේද? එය ඉතා සරලයි, ඔබට අවශ්ය බලය 2 සිට 8 දක්වා ලැබෙන බලයක් සොයා ගත යුතුය. ඔබේ හිසෙහි යම් ගණනය කිරීම් කිරීමෙන් පසුව, අපට අංක 3 ලැබේ! එය සත්‍යයකි, මන්ද 2 සිට 3 බලයට පිළිතුර 8 ලෙස ලබා දෙයි.
ලඝුගණක වර්ග
බොහෝ සිසුන්ට සහ සිසුන්ට, මෙම මාතෘකාව සංකීර්ණ හා තේරුම්ගත නොහැකි බව පෙනේ, නමුත් ඇත්ත වශයෙන්ම ලඝුගණක එතරම් බියජනක නොවේ, ප්රධාන දෙය නම් ඒවායේ සාමාන්ය අර්ථය තේරුම් ගැනීම සහ ඒවායේ ගුණාංග සහ සමහර නීති මතක තබා ගැනීමයි. ලඝුගණක ප්රකාශන වර්ග තුනක් ඇත:
- ස්වාභාවික ලඝුගණකය ln a, මෙහි පදනම Euler අංකය (e = 2.7) වේ.
- දශම a, මෙහි පාදය 10 වේ.
- a>1 පාදයට b ඕනෑම සංඛ්‍යාවක ලඝුගණකය.
ලඝුගණක න්‍යායන් භාවිතයෙන් තනි ලඝුගණකයකට සරල කිරීම, අඩු කිරීම සහ පසුව අඩු කිරීම ඇතුළුව ඒ සෑම එකක්ම සම්මත ආකාරයකින් විසඳනු ලැබේ. ලඝුගණකවල නිවැරදි අගයන් ලබා ගැනීම සඳහා, ඒවා විසඳීමේදී ඒවායේ ගුණාංග සහ ක්රියා අනුපිළිවෙල මතක තබා ගත යුතුය.
නීති සහ සමහර සීමා කිරීම්
ගණිතයේ දී ප්‍රත්‍යක්‍ෂයක් ලෙස පිළිගැනෙන රීති-සීමාවන් කිහිපයක් ඇත, එනම් ඒවා සාකච්ඡාවට භාජනය නොවන අතර සත්‍යය වේ. උදාහරණයක් ලෙස, සංඛ්යා බිංදුවෙන් බෙදීම කළ නොහැකි අතර සෘණ සංඛ්‍යාවල ඉරට්ටේ මූලය උපුටා ගැනීම ද කළ නොහැක. ලඝුගණක වලට ඔවුන්ගේම නීති ඇත, ඒවා අනුගමනය කිරීමෙන් ඔබට දිගු හා ධාරිතාවයෙන් යුත් ලඝුගණක ප්රකාශන සමඟ පවා පහසුවෙන් වැඩ කිරීමට ඉගෙන ගත හැකිය:
- "a" යන පාදය සෑම විටම ශුන්යයට වඩා වැඩි විය යුතු අතර 1 ට සමාන නොවිය යුතුය, එසේ නොමැතිනම් ප්‍රකාශනයට එහි අර්ථය අහිමි වනු ඇත, මන්ද "1" සහ "0" ඕනෑම මට්ටමකට සෑම විටම ඒවායේ අගයන්ට සමාන වේ;
- a > 0 නම්, b >0 නම්, එය "c" ද බිංදුවට වඩා වැඩි විය යුතු බව පෙනේ.
ලඝුගණක විසඳන්නේ කෙසේද?
උදාහරණයක් ලෙස, 10 x = 100 සමීකරණයට පිළිතුර සෙවීමට කාර්යය ලබා දී ඇත. මෙය ඉතා පහසු ය, අපට 100 ලැබෙන අංක දහය ඉහළ නැංවීමෙන් බලයක් තෝරා ගත යුතුය. මෙය ඇත්ත වශයෙන්ම 10 2 = 100
දැන් අපි මෙම ප්රකාශනය ලඝුගණක ආකාරයෙන් නිරූපණය කරමු. අපට ලඝු සටහන 10 100 = 2 ලැබේ. ලඝුගණක විසඳන විට, ලබා දී ඇති අංකයක් ලබා ගැනීම සඳහා ලඝුගණකයේ පාදයට ඇතුළු වීමට අවශ්ය බලය සොයා ගැනීමට සියලු ක්රියා ප්රායෝගිකව අභිසාරී වේ.
නොදන්නා උපාධියක වටිනාකම නිවැරදිව තීරණය කිරීම සඳහා, ඔබ උපාධි වගුවක් සමඟ වැඩ කරන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගත යුතුය. එය මෙසේ පෙනේ:
ඔබට පෙනෙන පරිදි, ඔබට තාක්ෂණික මනසක් සහ ගුණ කිරීමේ වගුව පිළිබඳ දැනුමක් තිබේ නම්, සමහර ඝාතකයන් බුද්ධිමත්ව අනුමාන කළ හැකිය. කෙසේ වෙතත්, විශාල අගයන් සඳහා ඔබට බල වගුවක් අවශ්ය වනු ඇත. සංකීර්ණ ගණිතමය මාතෘකා ගැන කිසිවක් නොදන්නා අයට පවා එය භාවිතා කළ හැකිය. වම් තීරුවේ සංඛ්යා (පදනම a) අඩංගු වේ, අංකවල ඉහළ පේළිය යනු a සංඛ්යාව ඉහළ නංවන c බලයේ අගයයි. ඡේදනය වන විට, සෛලවල උත්තරය වන සංඛ්යා අගයන් (a c =b) අඩංගු වේ. උදාහරණයක් ලෙස, අංක 10 සහිත පළමු කොටුව ගෙන එය වර්ග කර ඇති විට, අපට 100 අගය ලැබේ, එය අපගේ සෛල දෙකේ මංසන්ධියේ දක්වා ඇත. සෑම දෙයක්ම ඉතා සරල හා පහසු වන අතර එය වඩාත් සැබෑ මානවවාදියෙකු පවා තේරුම් ගනීවි!
සමීකරණ සහ අසමානතා
නිශ්චිත කොන්දේසි යටතේ ඝාතකය ලඝුගණකය බව පෙනී යයි. එබැවින් ඕනෑම ගණිතමය සංඛ්‍යාත්මක ප්රකාශනයක් ලඝුගණක සමානතාවයක් ලෙස ලිවිය හැක. උදාහරණයක් ලෙස, 3 4 =81 හතරට සමාන 81 හි 3 ලඝුගණකය ලෙස ලිවිය හැක (ලොග් 3 81 = 4). සෘණ බල සඳහා නීති සමාන වේ: 2 -5 = 1/32 අපි එය ලඝුගණකයක් ලෙස ලියන්නෙමු, අපට ලොග් 2 (1/32) = -5 ලැබේ. ගණිතයේ වඩාත් ආකර්ෂණීය අංශයක් වන්නේ "ලඝුගණක" යන මාතෘකාවයි. ඒවායේ ගුණාංග අධ්‍යයනය කිරීමෙන් පසු අපි පහත සමීකරණවල උදාහරණ සහ විසඳුම් දෙස බලමු. දැන් අපි බලමු අසමානතා මොන වගේද සහ ඒවා සමීකරණ වලින් වෙන්කර හඳුනා ගන්නේ කෙසේද කියා.
පහත ප්රකාශනය ලබා දී ඇත: log 2 (x-1) > 3 - එය ලඝුගණක අසමානතාවයකි, නොදන්නා අගය “x” ලඝුගණක ලකුණ යටතේ ඇති බැවින්. තවද ප්‍රකාශනයේ ප්‍රමාණ දෙකක් සංසන්දනය කර ඇත: පාද දෙකට අපේක්ෂිත සංඛ්‍යාවේ ලඝුගණකය අංක තුනට වඩා වැඩිය.
ලඝුගණක සමීකරණ සහ අසමානතා අතර ඇති වැදගත්ම වෙනස නම් ලඝුගණක සමඟ සමීකරණ (උදාහරණයක් ලෙස, ලඝුගණකය 2 x = √9) පිළිතුරෙහි නිශ්චිත සංඛ්‍යාත්මක අගයන් එකක් හෝ කිහිපයක් ඇඟවුම් කරන අතර අසමානතාවයක් විසඳීමේදී පිළිගත හැකි පරාසය දෙකම අගයන් සහ ලක්ෂ්‍ය තීරණය වන්නේ මෙම ශ්රිතය බිඳ දමමිනි. එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස, පිළිතුර සමීකරණයකට පිළිතුරක් මෙන් සරල තනි සංඛ්යා සමූහයක් නොව අඛණ්ඩ ශ්‍රේණියක් හෝ සංඛ්යා සමූහයක් වේ.
ලඝුගණක පිළිබඳ මූලික සිද්ධාන්ත
ලඝුගණකයේ අගයන් සෙවීමේ ප්‍රාථමික කාර්යයන් විසඳන විට, එහි ගුණාංග නොදැන සිටිය හැක. කෙසේ වෙතත්, ලඝුගණක සමීකරණ හෝ අසමානතා සම්බන්ධයෙන්, පළමුවෙන්ම, ලඝුගණකවල ඇති සියලුම මූලික ගුණාංග පැහැදිලිව අවබෝධ කර ගැනීම සහ ප්රායෝගිකව යෙදීම අවශ්ය වේ. අපි පසුව සමීකරණ උදාහරණ දෙස බලමු; පළමුව අපි එක් එක් දේපල වඩාත් විස්තරාත්මකව බලමු.
- ප්රධාන අනන්‍යතාවය මෙසේ දිස්වේ: a logaB =B. එය අදාළ වන්නේ a 0 ට වඩා වැඩි වූ විට, එකකට සමාන නොවන විට සහ B බිංදුවට වඩා වැඩි වූ විට පමණි.
- නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකය පහත සූත්‍රයෙන් නිරූපණය කළ හැක: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අනිවාර්ය කොන්දේසිය වන්නේ: d, s 1 සහ s 2 > 0; a≠1. ඔබට මෙම ලඝුගණක සූත්රය සඳහා සාධනයක්, උදාහරණ සහ විසඳුම සමඟ ලබා දිය හැක. a s 1 = f 1 ලොග් කර a s 2 = f 2 ලොග් කරමු, පසුව a f1 = s 1, a f2 = s 2. අපි s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ගුණාංග අංශක ), සහ පසුව නිර්වචනය අනුව: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, එය ඔප්පු කිරීමට අවශ්ය වේ.
- ප්‍රාග්ධනයේ ලඝුගණකය මෙලෙස දිස්වේ: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- සූත්‍රයක ස්වරූපයෙන් ඇති ප්රමේයය පහත ස්වරූපය ගනී: log a q b n = n/q log a b.
මෙම සූත්රය "ලඝුගණක උපාධියේ ගුණය" ලෙස හැඳින්වේ. එය සාමාන්ය උපාධිවල ගුණාංගවලට සමාන වන අතර, එය පුදුමයට කරුණක් නොවේ, මන්ද සියලු ගණිතය ස්වභාවික උපකල්පන මත පදනම් වේ. අපි බලමු සාක්ෂි.
a b = t ලොග් කරමු, එය t =b බවට හැරේ. අපි කොටස් දෙකම බලයට ඔසවන්නේ නම් m: a tn = b n ;
නමුත් a tn = (a q) nt/q = b n බැවින්, a q b n = (n*t)/t log කරන්න, ඉන්පසු a q b n = n/q log a b ලොග් කරන්න. ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
ගැටළු සහ අසමානතා පිළිබඳ උදාහරණ
ලඝුගණකවල ඇති වඩාත් පොදු ගැටළු සමීකරණ සහ අසමානතා සඳහා උදාහරණ වේ. ඒවා සියලුම ගැටලු පොත්වල පාහේ දක්නට ලැබෙන අතර, ගණිත විභාගවල අවශ්ය කොටසද වේ. විශ්ව විද්‍යාලයකට ඇතුළු වීමට හෝ ගණිතයේ ප්‍රවේශ විභාග සමත් වීමට, එවැනි කාර්යයන් නිවැරදිව විසඳන්නේ කෙසේදැයි ඔබ දැනගත යුතුය.
අවාසනාවකට මෙන්, ලඝුගණකයේ නොදන්නා අගය විසඳීම සහ තීරණය කිරීම සඳහා තනි සැලැස්මක් හෝ යෝජනා ක්‍රමයක් නොමැත, නමුත් එක් එක් ගණිතමය අසමානතාවයට හෝ ලඝුගණක සමීකරණයට ඇතැම් නීති යෙදිය හැක. පළමුවෙන්ම, ප්රකාශනය සරල කළ හැකිද නැතහොත් සාමාන්ය ස්වරූපයකට අඩු කළ හැකිද යන්න ඔබ සොයා බැලිය යුතුය. ඔබ ඒවායේ ගුණාංග නිවැරදිව භාවිතා කරන්නේ නම් ඔබට දිගු ලඝුගණක ප්රකාශන සරල කළ හැකිය. අපි ඉක්මනින් ඔවුන්ව දැන හඳුනා ගනිමු.
ලඝුගණක සමීකරණ විසඳන විට, අප සතුව ඇති ලඝුගණක වර්ගය තීරණය කළ යුතුය: උදාහරණ ප්‍රකාශනයක ස්වභාවික ලඝුගණකයක් හෝ දශමයක් අඩංගු විය හැක.
මෙන්න උදාහරණ ln100, ln1026. 10 පාදය පිළිවෙලින් 100 සහ 1026 ට සමාන වන බලය තීරණය කිරීමට අවශ්ය බව ඔවුන්ගේ විසඳුම පහළට වැටේ. ස්වාභාවික ලඝුගණක විසඳීමට, ඔබ ලඝුගණක අනන්‍යතා හෝ ඒවායේ ගුණාංග යෙදිය යුතුය. විවිධ වර්ගවල ලඝුගණක ගැටළු විසඳීමේ උදාහරණ දෙස බලමු.
ලඝුගණක සූත්ර භාවිතා කරන්නේ කෙසේද: උදාහරණ සහ විසඳුම් සමඟ
එබැවින්, ලඝුගණක පිළිබඳ මූලික සිද්ධාන්ත භාවිතා කිරීමේ උදාහරණ බලමු.
- නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකයේ ගුණය b අංකයේ විශාල අගයක් සරල සාධක බවට වියෝජනය කිරීමට අවශ්ය කාර්යයන් වලදී භාවිතා කළ හැක. උදාහරණයක් ලෙස, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. පිළිතුර 9 වේ.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - ඔබට පෙනෙන පරිදි, ලඝුගණක බලයේ සිව්වන ගුණය භාවිතා කරමින්, පෙනෙන පරිදි සංකීර්ණ සහ විසඳිය නොහැකි ප්රකාශනයක් විසඳීමට අපි සමත් විය. ඔබට අවශ්ය වන්නේ පාදය සාධක කර ඉන්පසු ලඝුගණකයේ ලකුණෙන් ඝාතීය අගයන් ලබා ගැනීමයි.
ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයෙන් පැවරුම්
ලඝුගණක බොහෝ විට ප්‍රවේශ විභාගවල දක්නට ලැබේ, විශේෂයෙන් ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයේ බොහෝ ලඝුගණක ගැටළු (සියලු පාසල් උපාධිධාරීන් සඳහා වන රාජ්ය විභාගය). සාමාන්‍යයෙන්, මෙම කාර්යයන් A කොටසේ (විභාගයේ පහසුම පරීක්ෂණ කොටස) පමණක් නොව, C කොටසෙහි (වඩාත් සංකීර්ණ හා විශාල කාර්යයන්) ද පවතී. විභාගයට "ස්වාභාවික ලඝුගණක" යන මාතෘකාව පිළිබඳ නිවැරදි හා පරිපූර්ණ දැනුමක් අවශ්ය වේ.
ගැටළු සඳහා උදාහරණ සහ විසඳුම් එක්සත් රාජ්ය විභාගයේ නිල අනුවාද වලින් ලබා ගනී. එවැනි කාර්යයන් විසඳන්නේ කෙසේදැයි බලමු.
ලබා දී ඇති ලඝු-සටහන 2 (2x-1) = 4. විසඳුම:
අපි ප්රකාශනය නැවත ලියමු, එය කුඩා ලඝු 2 (2x-1) = 2 2 සරල කරමින්, ලඝුගණකයේ අර්ථ දැක්වීම අනුව අපට ලැබෙන්නේ 2x-1 = 2 4, එබැවින් 2x = 17; x = 8.5.
- විසඳුම අවුල් සහගත සහ ව්යාකූල නොවන පරිදි සියලුම ලඝුගණක එකම පදනමකට අඩු කිරීම වඩාත් සුදුසුය.
- ලඝුගණක ලකුණ යටතේ ඇති සියලුම ප්රකාශන ධන ලෙස දක්වා ඇත, එබැවින් ලඝුගණක ලකුණ යටතේ ඇති සහ එහි පාදය ලෙස ඇති ප්‍රකාශනයක ඝාතකය ගුණකයක් ලෙස ගත් විට, ලඝුගණකය යටතේ ඉතිරිව ඇති ප්රකාශනය ධන විය යුතුය.
