Graf funkcie y sin x. Funkčné grafy

>>Matematika: Funkcie y = sin x, y = cos x, ich vlastnosti a grafy

Funkcie y = sin x, y = cos x, ich vlastnosti a grafy

V tejto časti rozoberieme niektoré vlastnosti funkcií y = sin x, y = cos x a zostrojíme ich grafy.

1. Funkcia y = sin X.

Vyššie sme v § 20 sformulovali pravidlo, ktoré umožňuje, aby každé číslo t bolo spojené s číslom cos t, t.j. charakterizoval funkciu y = sin t. Všimnime si niektoré jeho vlastnosti.

Vlastnosti funkcie u = sin t.

Definičný obor je množina K reálnych čísel.
Vyplýva to zo skutočnosti, že ľubovoľné číslo 2 zodpovedá bodu M(1) na číselnom kruhu, ktorý má presne určenú ordinátu; táto ordináta je cos t.

u = sin t je nepárna funkcia.

Vyplýva to z toho, že ako bolo preukázané v § 19, pre každú t rovnosť
To znamená, že graf funkcie u = sin t, podobne ako graf ktorejkoľvek nepárnej funkcie, je symetrický vzhľadom na počiatok v pravouhlom súradnicovom systéme tOi.

Funkcia u = sin t na intervale rastie
Vyplýva to zo skutočnosti, že pri pohybe bodu pozdĺž prvej štvrtiny číselného kruhu sa ordináta postupne zvyšuje (od 0 do 1 - pozri obr. 115) a keď sa bod pohybuje po druhej štvrtine číselného kruhu, ordináta postupne klesá (z 1 na 0 - pozri obr. 116).

Funkcia u = sint je ohraničená dole aj hore. Vyplýva to z toho, že ako sme videli v § 19, pre každé t nerovnosť platí

(funkcia dosiahne túto hodnotu v ktoromkoľvek bode formulára (funkcia dosiahne túto hodnotu v ktoromkoľvek bode formulára
Pomocou získaných vlastností zostrojíme graf funkcie, ktorá nás zaujíma. Ale (pozor!) namiesto u - sin t budeme písať y = sin x (predsa len sme zvyknutí skôr písať y = f(x), a nie u = f(t)). To znamená, že graf zostavíme v bežnom súradnicovom systéme xOy (a nie tOy).

Urobme si tabuľku hodnôt funkcie y - sin x:

Komentujte.

Uveďme jednu z verzií pôvodu pojmu „sínus“. V latinčine znamená sinus ohyb (tetiva luku).

Zostrojený graf do určitej miery odôvodňuje túto terminológiu.

Čiara, ktorá slúži ako graf funkcie y = sin x, sa nazýva sínusoida. Tá časť sínusoidy, ktorá je znázornená na obr. 118 alebo 119 sa nazýva sínusová vlna a tá časť sínusovej vlny, ktorá je znázornená na obr. 117, sa nazýva polvlna alebo oblúk sínusovej vlny.

2. Funkcia y = cos x.

Štúdium funkcie y = cos x by sa mohlo uskutočniť približne podľa rovnakej schémy, ktorá bola použitá vyššie pre funkciu y = sin x. My si ale rýchlejšie vyberieme cestu, ktorá vedie k cieľu. Najprv si dokážeme dva vzorce, ktoré sú samy osebe dôležité (uvidíte to na strednej škole), ale zatiaľ majú pre naše účely len pomocný význam.

Pre akúkoľvek hodnotu t platia nasledujúce rovnosti:

Dôkaz. Číslo t nech zodpovedá bodu M číselného kruhu n a číslo * + - bod P (obr. 124; pre zjednodušenie sme v prvej štvrtine zobrali bod M). Oblúky AM a BP sú rovnaké a pravouhlé trojuholníky OKM a OLBP sú si zodpovedajúco rovnaké. To znamená O K = Ob, MK = Pb. Z týchto rovníc a z umiestnenia trojuholníkov OCM a OBP v súradnicovom systéme vyvodíme dva závery:

1) ordináta bodu P sa zhoduje v absolútnej hodnote a znamienko s osou bodu M; znamená to, že

2) úsečka bodu P sa v absolútnej hodnote rovná zvislej osi bodu M, ale líši sa od nej znamienkom; znamená to, že

Približne rovnaké odôvodnenie sa vykonáva v prípadoch, keď bod M nepatrí do prvého štvrťroka.
Použime vzorec (toto je vzorec osvedčený vyššie, ale namiesto premennej t použijeme premennú x). Čo nám dáva tento vzorec? Umožňuje nám to tvrdiť, že funkcie

sú identické, čo znamená, že ich grafy sa zhodujú.
Nakreslíme funkciu Aby sme to urobili, prejdime k pomocnému súradnicovému systému s počiatkom v bode (bodkovaná čiara je nakreslená na obr. 125). Naviažme funkciu y = sin x na nový súradnicový systém - toto bude graf funkcie (obr. 125), t.j. graf funkcie y - cos x. Rovnako ako graf funkcie y = sin x sa nazýva sínusoida (čo je celkom prirodzené).

Vlastnosti funkcie y = cos x.

y = cos x je párna funkcia.

Fázy výstavby sú znázornené na obr. 126:

1) zostavte graf funkcie y = cos x (presnejšie jedna polvlna);
2) natiahnutím zostrojeného grafu od osi x koeficientom 0,5 získame jednu polvlnu požadovaného grafu;
3) pomocou výslednej polvlny zostrojíme celý graf funkcie y = 0,5 cos x.

Funkciar = hriechX

Grafom funkcie je sínusoida.

Kompletná neopakujúca sa časť sínusovej vlny sa nazýva sínusoida.

Polovičná sínusová vlna sa nazýva polovičná sínusová vlna (alebo oblúk).

Vlastnosti funkcier = hriechX:

Graf funkcie r= hriech X Je vhodné použiť nasledujúce váhy:

Na hárku papiera so štvorcom berieme dĺžku dvoch štvorcov ako jednotku segmentu.

Na osi X Zmeriame dĺžku π. Zároveň pre pohodlie uvádzame 3,14 v tvare 3 - teda bez zlomku. Potom na hárku papiera v bunke π bude 6 buniek (trikrát 2 bunky). A každá bunka dostane svoje vlastné prirodzené meno (od prvej do šiestej): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Toto sú významy X.

Na osi y označíme 1, ktorá obsahuje dve bunky.

Vytvorme tabuľku funkčných hodnôt pomocou našich hodnôt X:

Ďalej vytvoríme rozvrh. Výsledkom je polvlna, ktorej najvyšší bod je (π/2; 1). Toto je graf funkcie r= hriech X na segmente. Do zostrojeného grafu pridajme symetrickú polvlnu (symetrickú voči počiatku, teda na segmente -π). Hrebeň tejto polvlny je pod osou x so súradnicami (-1; -1). Výsledkom bude vlna. Toto je graf funkcie r= hriech X na segmente [-π; π].

Vo vlne môžete pokračovať tak, že ju zostrojíte na segmente [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] atď. Na všetkých týchto segmentoch bude graf funkcie vyzerať rovnako ako na segmente [-π; π]. Vznikne vám súvislá vlnovka s identickými vlnami.

Funkciar = cosX.

Graf funkcie je sínusová vlna (niekedy nazývaná aj kosínusová vlna).

Vlastnosti funkcier = cosX:

Funkciar = mf(X).

Zoberme si predchádzajúcu funkciu r=cos X. Ako už viete, jeho graf je sínusoida. Ak vynásobíme kosínus tejto funkcie určitým číslom m, vlna sa bude rozširovať od osi X(alebo sa zmenší, v závislosti od hodnoty m).
Táto nová vlna bude grafom funkcie y = mf(x), kde m je ľubovoľné reálne číslo.

Funkcia y = mf(x) je teda známa funkcia y = f(x) vynásobená m.

Akm< 1, то синусоида сжимается к оси X koeficientomm. Akm > 1, potom sa sínusoida natiahne od osiX koeficientomm.

Pri vykonávaní strečingu alebo kompresie môžete najskôr vykresliť iba jednu polvlnu sínusovej vlny a potom dokončiť celý graf.

Funkciay = f(kx).

Ak funkcia y =mf(X) vedie k natiahnutiu sínusoidy z os X alebo stlačenie smerom k osi X, potom funkcia y = f(kx) vedie k naťahovaniu od osi r alebo stlačenie smerom k osi r.

Navyše k je akékoľvek reálne číslo.

O 0< k< 1 синусоида растягивается от оси r koeficientomk. Akk > 1, potom je sínusoida stlačená smerom k osir koeficientomk.

Pri vytváraní grafu tejto funkcie môžete najskôr zostaviť jednu polvlnu sínusoidy a potom ju použiť na dokončenie celého grafu.

Funkciar = tgX.

Funkčný graf r= tg X je dotyčnica.

Stačí zostrojiť časť grafu v intervale od 0 do π/2 a potom v ňom symetricky pokračovať v intervale od 0 do 3π/2.

Vlastnosti funkcier = tgX:

Funkciar = ctgX

Funkčný graf r=ctg X je tiež tangentoid (niekedy sa nazýva kotangentoid).

Vlastnosti funkcier = ctgX:

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Železo hrdzavie bez použitia,
stojatá voda hnije alebo zamŕza v chlade,
a ľudská myseľ, ktorá pre seba nenachádza žiadne využitie, chradne.
Leonardo da Vinci

Použité technológie: problémové učenie, kritické myslenie, komunikatívna komunikácia.

Ciele:

• Rozvoj kognitívneho záujmu o učenie.
• Štúdium vlastností funkcie y = sin x.
• Formovanie praktických zručností pri zostrojovaní grafu funkcie y = sin x na základe preštudovaného teoretického materiálu.

Úlohy:

1. Využite existujúci potenciál vedomostí o vlastnostiach funkcie y = sin x v konkrétnych situáciách.

2. Aplikujte vedomé vytváranie súvislostí medzi analytickým a geometrickým modelom funkcie y = sin x.

Rozvíjať iniciatívu, určitú ochotu a záujem nájsť riešenie; schopnosť robiť rozhodnutia, nezastavovať sa tam a brániť svoj názor.

Rozvíjať u žiakov kognitívnu aktivitu, zmysel pre zodpovednosť, rešpekt jeden k druhému, vzájomné porozumenie, vzájomnú podporu a sebadôveru; kultúra komunikácie.

Počas vyučovania

1. fáza Aktualizácia základných vedomostí, motivácia učiť sa nový materiál

"Vstupujem do lekcie."

Na tabuli sú napísané 3 tvrdenia:

1. Goniometrická rovnica sin t = a má vždy riešenia.
2. Graf nepárnej funkcie možno zostrojiť pomocou transformácie symetrie okolo osi Oy.
3. Goniometrickú funkciu je možné vykresliť pomocou jednej hlavnej polvlny.

Žiaci diskutujú vo dvojiciach: sú tvrdenia pravdivé? (1 minúta). Výsledky úvodnej diskusie (áno, nie) sa potom zapíšu do tabuľky v stĺpci „Pred“.

Učiteľ stanovuje ciele a zámery vyučovacej hodiny.

2. Aktualizácia vedomostí (frontálne na modeli trigonometrickej kružnice).

S funkciou s = sin t sme sa už zoznámili.

1) Aké hodnoty môže mať premenná t. Aký je rozsah tejto funkcie?

2) V akom intervale sa nachádzajú hodnoty výrazu sin t? Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie s = sin t.

3) Vyriešte rovnicu sin t = 0.

4) Čo sa stane s ordinátou bodu, keď sa pohybuje pozdĺž prvej štvrtiny? (ordináta sa zvyšuje). Čo sa stane s ordinátou bodu, keď sa pohybuje v druhej štvrtine? (ordináta postupne klesá). Ako to súvisí s monotónnosťou funkcie? (funkcia s = sin t na segmente rastie a na segmente klesá ).

5) Napíšme funkciu s = sin t v nám známom tvare y = sin x (zostrojíme ju v bežnom súradnicovom systéme xOy) a zostavíme tabuľku hodnôt tejto funkcie.

2. fáza Vnímanie, porozumenie, primárne upevnenie, mimovoľné zapamätanie

4. fáza Primárna systematizácia vedomostí a metód činnosti, ich prenos a aplikácia v nových situáciách

6. č. 10.18 (b, c)

5. fáza. Záverečná kontrola, náprava, hodnotenie a sebahodnotenie

7. Vrátime sa k tvrdeniam (začiatok hodiny), diskutujeme o vlastnostiach goniometrickej funkcie y = sin x a vyplníme stĺpec „Po“ v tabuľke.

8. D/z: odsek 10, č. 10.7 písm. a), 10.8 písm. b), 10.11 písm. b), 10.16 písm.

Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet Google a prihláste sa doň: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Funkcie y = sin x a y = cos x a ich grafy (sprievodná prezentácia k hodine) KORPUSOVA TATYANA SERGEEVNA učiteľka matematiky MBOU LSOSH č. 2 pomenovaná po. N.F.Struchenkova Brjanská oblasť.

DEFINÍCIA Numerické funkcie definované vzorcami y = sin x a y = cos x sa nazývajú sínus a kosínus. 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

Funkcia y=sin x, graf a vlastnosti. 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

Sínusová vlna 1 - π/2 π 2 π 3 π x -3 π/2 - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

y = sin(x+a) PRÍKLAD y 1 -1 π 2 π - π 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

y = sin x + a 1) y = sin x + 1; y 1 x - π 0 π 2 π x -1 x 2) y = hriech x - 1 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

Vykresľovanie grafov y=sin(x+m)+l y 1 - π 0 π 2 π 3 π x -1 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

Funkcia y = cos x, jej vlastnosti a graf. 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

y = cos x y 1 - π/2 π 2 π 3 π x - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 Graf funkcie y= cos x sme získali posunutím sínusoidy doľava o π/2 11.10.2013 KORPUSOVA T.S.

Vynášanie grafov y = cos (x+m)+l 1)y =- cos x; y 2 y x 0 x -1 2)y= cos (x- π/4)+2 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

Vykresľovanie grafov y=k · sin x y 2,5 1 x -1 -2,5 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

Nájdenie periódy goniometrických funkcií Ak y=f(x) je periodické a má najmenšiu kladnú periódu T₁, potom funkcia y=A· f(kx+b), kde A, k a b sú konštantné a k ≠ 0 , je periodický aj s periódou Príklady : 10.11.2013 KORPUSOVA T.S. 1) y=sin 6 x +2, Т₁=2 π T₁=2 π

Vykresľovanie grafov periodických funkcií 10.11.2013 KORPUSOVA T.S. y x 1 1 y x 1 1 1)T= 4 2)T= 4 Daná funkcia y= f(x) . Zostrojte jeho graf, ak je perióda známa. y x 1 1 3) T = 3

Nakreslite graf funkcie: y=2cos(2x- π/3)-0,5 a nájdite definičný obor a rozsah hodnôt funkcie 10.11.2013 KORPUSOVA T.S. y x 1 -1 π - π 2 π -2 π T= π

Lekcia a prezentácia na tému: "Funkcia y=sin(x). Definície a vlastnosti"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Návody a simulátory v internetovom obchode Integral pre ročník 10 od 1C
Riešime úlohy v geometrii. Interaktívne konštrukčné úlohy pre ročníky 7-10
Softvérové ​​prostredie "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Čo budeme študovať:

• Vlastnosti funkcie Y=sin(X).
• Funkčný graf.
• Ako zostaviť graf a jeho mierku.
• Príklady.

Vlastnosti sínusu. Y=sin(X)

Chlapci, už sme sa oboznámili s goniometrickými funkciami číselného argumentu. pamätáte si ich?

Pozrime sa bližšie na funkciu Y=sin(X)

Zapíšme si niektoré vlastnosti tejto funkcie:
1) Definičný obor je množina reálnych čísel.
2) Funkcia je nepárna. Spomeňme si na definíciu nepárnej funkcie. Funkcia sa nazýva nepárna, ak platí rovnosť: y(-x)=-y(x). Ako si pamätáme z duchovných vzorcov: sin(-x)=-sin(x). Definícia je splnená, čo znamená, že Y=sin(X) je nepárna funkcia.
3) Funkcia Y=sin(X) na segmente rastie a na segmente klesá [π/2; π]. Keď sa pohybujeme pozdĺž prvej štvrtiny (proti smeru hodinových ručičiek), ordináta sa zvyšuje a keď sa pohybujeme cez druhú štvrtinu, klesá.

4) Funkcia Y=sin(X) je obmedzená zdola aj zhora. Táto vlastnosť vyplýva zo skutočnosti, že
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Najmenšia hodnota funkcie je -1 (pri x = - π/2+ πk). Najväčšia hodnota funkcie je 1 (pri x = π/2+ πk).

Použime vlastnosti 1-5 na vykreslenie funkcie Y=sin(X). Náš graf vytvoríme postupne, pričom použijeme naše vlastnosti. Začnime vytvárať graf na segmente.

Osobitná pozornosť by sa mala venovať mierke. Na zvislej osi je vhodnejšie vziať jednotkový segment rovný 2 bunkám a na osi x je vhodnejšie vziať jednotkový segment (dve bunky) rovný π/3 (pozri obrázok).

Vykreslenie funkcie sínus x, y=sin(x)

Vypočítajme hodnoty funkcie v našom segmente:

Zostavme graf pomocou našich bodov, berúc do úvahy tretiu vlastnosť.

Konverzná tabuľka pre duchovné vzorce

Využime druhú vlastnosť, ktorá hovorí, že naša funkcia je nepárna, čo znamená, že sa môže prejaviť symetricky vzhľadom na pôvod:

Vieme, že sin(x+ 2π) = sin(x). To znamená, že na intervale [- π; π] graf vyzerá rovnako ako na segmente [π; 3π] alebo alebo [-3π; - π] a tak ďalej. Stačí nám pozorne prekresliť graf na predchádzajúcom obrázku pozdĺž celej osi x.

Graf funkcie Y=sin(X) sa nazýva sínusoida.

Napíšme ešte niekoľko vlastností podľa zostrojeného grafu:
6) Funkcia Y=sin(X) narastá na ľubovoľnom segmente tvaru: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k je celé číslo a klesá na ľubovoľnom segmente tvaru: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – celé číslo.
7) Funkcia Y=sin(X) je spojitá funkcia. Pozrime sa na graf funkcie a presvedčíme sa, že naša funkcia nemá žiadne zlomy, to znamená spojitosť.
8) Rozsah hodnôt: segment [- 1; 1]. To je jasne viditeľné aj z grafu funkcie.
9) Funkcia Y=sin(X) - periodická funkcia. Pozrime sa znova na graf a uvidíme, že funkcia nadobúda rovnaké hodnoty v určitých intervaloch.

Príklady problémov so sínusom

1. Vyriešte rovnicu sin(x)= x-π

Riešenie: Zostavme 2 grafy funkcie: y=sin(x) a y=x-π (pozri obrázok).
Naše grafy sa pretínajú v jednom bode A(π;0), toto je odpoveď: x = π

2. Nakreslite graf funkcie y=sin(π/6+x)-1

Riešenie: Požadovaný graf získame posunutím grafu funkcie y=sin(x) π/6 jednotiek doľava a o 1 jednotku nadol.

Riešenie: Nakreslite funkciu a uvažujme náš segment [π/2; 5π/4].
Graf funkcie ukazuje, že najväčšie a najmenšie hodnoty sa dosahujú na koncoch segmentu, v bodoch π/2 a 5π/4.
Odpoveď: sin(π/2) = 1 – najväčšia hodnota, sin(5π/4) = najmenšia hodnota.

Sínusové problémy pre nezávislé riešenie

• Vyriešte rovnicu: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Nakreslite graf funkcie y=sin(π/3+x)-2
• Nakreslite graf funkcie y=sin(-2π/3+x)+1
• Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie y=sin(x) na segmente
• Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie y=sin(x) na intervale [- π/3; 5π/6]