Graf funkcie sinx x. Funkcie y=sin x a y=cos x a ich grafová prezentácia na hodine algebry (10. ročník) na danú tému

Lekcia a prezentácia na tému: "Funkcia y=sin(x). Definície a vlastnosti"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Návody a simulátory v internetovom obchode Integral pre ročník 10 od 1C
Riešime úlohy v geometrii. Interaktívne konštrukčné úlohy pre ročníky 7-10
Softvérové ​​prostredie "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Čo budeme študovať:

• Vlastnosti funkcie Y=sin(X).
• Funkčný graf.
• Ako zostaviť graf a jeho mierku.
• Príklady.

Vlastnosti sínusu. Y=sin(X)

Chlapci, už sme sa oboznámili s goniometrickými funkciami číselného argumentu. pamätáte si ich?

Pozrime sa bližšie na funkciu Y=sin(X)

Zapíšme si niektoré vlastnosti tejto funkcie:
1) Definičný obor je množina reálnych čísel.
2) Funkcia je nepárna. Spomeňme si na definíciu nepárnej funkcie. Funkcia sa nazýva nepárna, ak platí rovnosť: y(-x)=-y(x). Ako si pamätáme z duchovných vzorcov: sin(-x)=-sin(x). Definícia je splnená, čo znamená, že Y=sin(X) je nepárna funkcia.
3) Funkcia Y=sin(X) na segmente rastie a na segmente klesá [π/2; π]. Keď sa pohybujeme pozdĺž prvej štvrtiny (proti smeru hodinových ručičiek), ordináta sa zvyšuje a keď sa pohybujeme cez druhú štvrtinu, klesá.

4) Funkcia Y=sin(X) je obmedzená zdola aj zhora. Táto vlastnosť vyplýva zo skutočnosti, že
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Najmenšia hodnota funkcie je -1 (pri x = - π/2+ πk). Najväčšia hodnota funkcie je 1 (pri x = π/2+ πk).

Použime vlastnosti 1-5 na vykreslenie funkcie Y=sin(X). Náš graf vytvoríme postupne, pričom použijeme naše vlastnosti. Začnime vytvárať graf na segmente.

Osobitná pozornosť by sa mala venovať mierke. Na zvislej osi je vhodnejšie vziať jednotkový segment rovný 2 bunkám a na osi x je vhodnejšie vziať jednotkový segment (dve bunky) rovný π/3 (pozri obrázok).

Vykreslenie funkcie sínus x, y=sin(x)

Vypočítajme hodnoty funkcie v našom segmente:

Zostavme graf pomocou našich bodov, berúc do úvahy tretiu vlastnosť.

Konverzná tabuľka pre duchovné vzorce

Využime druhú vlastnosť, ktorá hovorí, že naša funkcia je nepárna, čo znamená, že sa môže prejaviť symetricky vzhľadom na pôvod:

Vieme, že sin(x+ 2π) = sin(x). To znamená, že na intervale [- π; π] graf vyzerá rovnako ako na segmente [π; 3π] alebo alebo [-3π; - π] a tak ďalej. Stačí nám pozorne prekresliť graf na predchádzajúcom obrázku pozdĺž celej osi x.

Graf funkcie Y=sin(X) sa nazýva sínusoida.

Napíšme ešte niekoľko vlastností podľa zostrojeného grafu:
6) Funkcia Y=sin(X) narastá na ľubovoľnom segmente tvaru: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k je celé číslo a klesá na ľubovoľnom segmente tvaru: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – celé číslo.
7) Funkcia Y=sin(X) je spojitá funkcia. Pozrime sa na graf funkcie a presvedčíme sa, že naša funkcia nemá žiadne zlomy, to znamená spojitosť.
8) Rozsah hodnôt: segment [- 1; 1]. To je jasne viditeľné aj z grafu funkcie.
9) Funkcia Y=sin(X) - periodická funkcia. Pozrime sa znova na graf a uvidíme, že funkcia nadobúda rovnaké hodnoty v určitých intervaloch.

Príklady problémov so sínusom

1. Vyriešte rovnicu sin(x)= x-π

Riešenie: Zostavme 2 grafy funkcie: y=sin(x) a y=x-π (pozri obrázok).
Naše grafy sa pretínajú v jednom bode A(π;0), toto je odpoveď: x = π

2. Nakreslite graf funkcie y=sin(π/6+x)-1

Riešenie: Požadovaný graf získame posunutím grafu funkcie y=sin(x) π/6 jednotiek doľava a o 1 jednotku nadol.

Riešenie: Nakreslite funkciu a uvažujme náš segment [π/2; 5π/4].
Graf funkcie ukazuje, že najväčšie a najmenšie hodnoty sa dosahujú na koncoch segmentu, v bodoch π/2 a 5π/4.
Odpoveď: sin(π/2) = 1 – najväčšia hodnota, sin(5π/4) = najmenšia hodnota.

Sínusové problémy pre nezávislé riešenie

• Vyriešte rovnicu: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Nakreslite graf funkcie y=sin(π/3+x)-2
• Nakreslite graf funkcie y=sin(-2π/3+x)+1
• Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie y=sin(x) na segmente
• Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie y=sin(x) na intervale [- π/3; 5π/6]

Vycentrované v bode A.
α - uhol vyjadrený v radiánoch.

Definícia
sínus (sin α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorá sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku prepony |AC|.

Kosínus (cos α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku prepony |AC|.

Akceptované notácie

;
;
.

;
;
.

Graf funkcie sínus, y = sin x

Graf funkcie kosínus, y = cos x

Vlastnosti sínusu a kosínusu

Periodicita

Funkcie y = hriech x a y = cos x periodický s bodkou 2π.

Parita

Funkcia sínus je nepárna. Kosínusová funkcia je párna.

Oblasť definície a hodnôt, extrémy, nárast, pokles

Funkcie sínus a kosínus sú spojité vo svojej oblasti definície, to znamená pre všetky x (pozri dôkaz spojitosti). Ich hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke (n - celé číslo).

Základné vzorce

Súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu

Vzorce pre sínus a kosínus zo súčtu a rozdielu

;
;

Vzorce na súčin sínusov a kosínusov

Vzorce súčtu a rozdielu

Vyjadrenie sínusu cez kosínus

;
;
;
.

Vyjadrenie kosínusu cez sínus

;
;
;
.

Vyjadrenie prostredníctvom dotyčnice

; .

Kedy máme:
; .

na :
; .

Tabuľka sínusov a kosínusov, tangens a kotangens

Táto tabuľka zobrazuje hodnoty sínusov a kosínusov pre určité hodnoty argumentu.

Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných

;

Eulerov vzorec

Vyjadrenia prostredníctvom hyperbolických funkcií

;
;

Deriváty

; . Odvodzovanie vzorcov >> >

Deriváty n-tého rádu:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Inverzné funkcie

Inverzné funkcie sínusu a kosínusu sú arczín a arkkozín.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.

FUNKČNÁ GRAFIKA

Funkcia sínus

- kopa R všetky reálne čísla.

Viacnásobné funkčné hodnoty— segment [-1; 1], t.j. sínusová funkcia - obmedzené.

Neobvyklá funkcia: sin(−x)=−sin x pre všetky x ∈ R.

Funkcia je periodická

sin(x+2π k) = sin x, kde k ∈ Z pre všetky x ∈ R.

hriech x = 0 pre x = π·k, k ∈ Z.

hriech x > 0(kladné) pre všetky x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.

hriech x< 0 (záporné) pre všetky x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), k ∈ Z.

Kosínusová funkcia

Funkčná doména- kopa R všetky reálne čísla.

Viacnásobné funkčné hodnoty— segment [-1; 1], t.j. kosínusová funkcia - obmedzené.

Rovnomerná funkcia: cos(−x)=cos x pre všetky x ∈ R.

Funkcia je periodická s najmenšou kladnou periódou 2π:

cos(x+2π k) = cos x, kde k ∈ Z pre všetky x ∈ R.

cos x = 0 pri
cos x > 0 pre všetkých
cos x< 0 pre všetkých
Funkcia sa zvyšuje od -1 do 1 v intervaloch:
Funkcia sa znižuje od -1 do 1 v intervaloch:
Najväčšia hodnota funkcie sin x = 1 v bodoch:
Najmenšia hodnota funkcie sin x = −1 v bodoch:

Funkcia dotyčnice

Viacnásobné funkčné hodnoty— celý číselný rad, t.j. dotyčnica – funkcia neobmedzené.

Neobvyklá funkcia: tg(−x)=−tg x
Graf funkcie je symetrický okolo osi OY.

Funkcia je periodická s najmenšou kladnou periódou π, t.j. tg(x+π k) = tan x, k ∈ Z pre všetky x z oblasti definície.

Funkcia kotangens

Viacnásobné funkčné hodnoty— celý číselný rad, t.j. kotangens - funkcia neobmedzené.

Funkcia je periodická s najmenšou kladnou periódou π, t.j. cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z pre všetky x z oblasti definície.

Funkcia Arcsine

Funkčná doména— segment [-1; 1]

Viacnásobné funkčné hodnoty- segment -π /2 arcsin x π /2, t.j. arcsínus – funkcia obmedzené.

Neobvyklá funkcia: arcsin(−x)=−arcsin x pre všetky x ∈ R.
Graf funkcie je symetrický podľa počiatku.

V celej oblasti definície.

Arc cosine funkcia

Funkčná doména— segment [-1; 1]

Viacnásobné funkčné hodnoty— segment 0 arccos x π, t.j. arkozín – funkcia obmedzené.

Funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície.

Arctangens funkcia

Funkčná doména- kopa R všetky reálne čísla.

Viacnásobné funkčné hodnoty— segment 0 π, t.j. arkustangens – funkcia obmedzené.

Neobvyklá funkcia: arctg(−x)=−arctg x pre všetky x ∈ R.
Graf funkcie je symetrický podľa počiatku.

Funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície.

Funkcia oblúkovej tangenty

Funkčná doména- kopa R všetky reálne čísla.

Viacnásobné funkčné hodnoty— segment 0 π, t.j. arkkotangens - funkcia obmedzené.

Funkcia nie je párna ani nepárna.
Graf funkcie nie je asymetrický ani vzhľadom na počiatok, ani vzhľadom na os Oy.

Funkcia sa znižuje v celej oblasti definície.

V tejto lekcii sa podrobne pozrieme na funkciu y = sin x, jej základné vlastnosti a graf. Na začiatku hodiny uvedieme definíciu goniometrickej funkcie y = sin t na kružnici súradníc a zvážime graf funkcie na kružnici a priamke. Ukážme si na grafe periodicitu tejto funkcie a zvážme hlavné vlastnosti funkcie. Na konci hodiny vyriešime niekoľko jednoduchých úloh pomocou grafu funkcie a jej vlastností.

Téma: Goniometrické funkcie

Lekcia: Funkcia y=sinx, jej základné vlastnosti a graf

Pri zvažovaní funkcie je dôležité priradiť každú hodnotu argumentu k jednej hodnote funkcie. Toto korešpondenčný zákon a nazýva sa funkcia.

Definujme korešpondenčný zákon pre .

Každému reálnemu číslu zodpovedá jeden bod na jednotkovej kružnici Bod má jednu ordinátu, ktorá sa nazýva sínus čísla (obr. 1).

Každá hodnota argumentu je spojená s jednou funkčnou hodnotou.

Z definície sínusu vyplývajú zrejmé vlastnosti.

Obrázok to ukazuje pretože je ordináta bodu na jednotkovej kružnici.

Zvážte graf funkcie. Pripomeňme si geometrickú interpretáciu argumentu. Argumentom je stredový uhol meraný v radiánoch. Pozdĺž osi vykreslíme reálne čísla alebo uhly v radiánoch, pozdĺž osi zodpovedajúce hodnoty funkcie.

Napríklad uhol na jednotkovej kružnici zodpovedá bodu na grafe (obr. 2)

Získali sme graf funkcie v oblasti, ale ak poznáme periódu sínusu, môžeme zobraziť graf funkcie cez celý definičný obor (obr. 3).

Hlavná perióda funkcie je To znamená, že graf možno získať na segmente a potom pokračovať v celej oblasti definície.

Zvážte vlastnosti funkcie:

1) Rozsah definície:

2) Rozsah hodnôt:

3) Nepárna funkcia:

4) Najmenšie kladné obdobie:

5) Súradnice priesečníkov grafu s osou x:

6) Súradnice priesečníka grafu so zvislou osou:

7) Intervaly, v ktorých funkcia nadobúda kladné hodnoty:

8) Intervaly, v ktorých funkcia nadobúda záporné hodnoty:

9) Predlžovanie intervalov:

10) Intervaly znižovania:

11) Minimálny počet bodov:

12) Minimálne funkcie:

13) Maximálny počet bodov:

14) Maximálne funkcie:

Pozreli sme sa na vlastnosti funkcie a jej graf. Vlastnosti sa budú opakovane využívať pri riešení problémov.

Bibliografia

1. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie (profilová úroveň), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Kniha problémov pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartburd S.I. Algebra a matematická analýza pre 10. ročník (učebnica pre študentov škôl a tried s hĺbkovým štúdiom matematiky) - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Hĺbkové štúdium algebry a matematickej analýzy.-M.: Education, 1997.

5. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na vysokých školách (spracoval M.I. Skanavi).- M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraický simulátor.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problémy algebry a princípov analýzy (príručka pre študentov 10. až 11. ročníka všeobecných vzdelávacích inštitúcií) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Zbierka úloh z algebry a princípov analýzy: učebnica. príspevok pre 10-11 ročníkov. s hĺbkou študoval Matematika.-M.: Vzdelávanie, 2006.

Domáca úloha

Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Kniha problémov pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Ďalšie webové zdroje

3. Vzdelávací portál na prípravu na skúšky ().

V tejto lekcii sa podrobne pozrieme na funkciu y = sin x, jej základné vlastnosti a graf. Na začiatku hodiny uvedieme definíciu goniometrickej funkcie y = sin t na kružnici súradníc a zvážime graf funkcie na kružnici a priamke. Ukážme si na grafe periodicitu tejto funkcie a zvážme hlavné vlastnosti funkcie. Na konci hodiny vyriešime niekoľko jednoduchých úloh pomocou grafu funkcie a jej vlastností.

Téma: Goniometrické funkcie

Lekcia: Funkcia y=sinx, jej základné vlastnosti a graf

Pri zvažovaní funkcie je dôležité priradiť každú hodnotu argumentu k jednej hodnote funkcie. Toto korešpondenčný zákon a nazýva sa funkcia.

Definujme korešpondenčný zákon pre .

Každému reálnemu číslu zodpovedá jeden bod na jednotkovej kružnici Bod má jednu ordinátu, ktorá sa nazýva sínus čísla (obr. 1).

Každá hodnota argumentu je spojená s jednou funkčnou hodnotou.

Z definície sínusu vyplývajú zrejmé vlastnosti.

Obrázok to ukazuje pretože je ordináta bodu na jednotkovej kružnici.

Zvážte graf funkcie. Pripomeňme si geometrickú interpretáciu argumentu. Argumentom je stredový uhol meraný v radiánoch. Pozdĺž osi vykreslíme reálne čísla alebo uhly v radiánoch, pozdĺž osi zodpovedajúce hodnoty funkcie.

Napríklad uhol na jednotkovej kružnici zodpovedá bodu na grafe (obr. 2)

Získali sme graf funkcie v oblasti, ale ak poznáme periódu sínusu, môžeme zobraziť graf funkcie cez celý definičný obor (obr. 3).

Hlavná perióda funkcie je To znamená, že graf možno získať na segmente a potom pokračovať v celej oblasti definície.

Zvážte vlastnosti funkcie:

1) Rozsah definície:

2) Rozsah hodnôt:

3) Nepárna funkcia:

4) Najmenšie kladné obdobie:

5) Súradnice priesečníkov grafu s osou x:

6) Súradnice priesečníka grafu so zvislou osou:

7) Intervaly, v ktorých funkcia nadobúda kladné hodnoty:

8) Intervaly, v ktorých funkcia nadobúda záporné hodnoty:

9) Predlžovanie intervalov:

10) Intervaly znižovania:

11) Minimálny počet bodov:

12) Minimálne funkcie:

13) Maximálny počet bodov:

14) Maximálne funkcie:

Pozreli sme sa na vlastnosti funkcie a jej graf. Vlastnosti sa budú opakovane využívať pri riešení problémov.

Bibliografia

1. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie (profilová úroveň), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Kniha problémov pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartburd S.I. Algebra a matematická analýza pre 10. ročník (učebnica pre študentov škôl a tried s hĺbkovým štúdiom matematiky) - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Hĺbkové štúdium algebry a matematickej analýzy.-M.: Education, 1997.

5. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na vysokých školách (spracoval M.I. Skanavi).- M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraický simulátor.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problémy algebry a princípov analýzy (príručka pre študentov 10. až 11. ročníka všeobecných vzdelávacích inštitúcií) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Zbierka úloh z algebry a princípov analýzy: učebnica. príspevok pre 10-11 ročníkov. s hĺbkou študoval Matematika.-M.: Vzdelávanie, 2006.

Domáca úloha

Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Kniha problémov pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Ďalšie webové zdroje

3. Vzdelávací portál na prípravu na skúšky ().