Rozklad polynómu na faktory podľa Hornerovej schémy. Rovnice vo vyššej matematike Racionálne korene polynómov

Atď. má všeobecný vzdelávací charakter a má veľký význam pre štúdium CELÉHO kurzu vyššej matematiky. Dnes si zopakujeme "školské" rovnice, ale nielen tie "školské" - ale tie, ktoré sa nachádzajú všade v rôznych úlohách vysmatu. Ako už býva zvykom, príbeh pôjde aplikovaným spôsobom, t.j. Nebudem sa venovať definíciám, klasifikáciám, ale podelím sa s vami o moju osobnú skúsenosť s riešením. Informácie sú určené predovšetkým pre začiatočníkov, ale aj pripravenejší čitatelia si pre seba nájdu veľa zaujímavých bodov. A, samozrejme, pribudne nový materiál, ktorý presahuje strednú školu.

Takže rovnica... Mnoho ľudí si toto slovo s otrasom pamätá. Čo sú to za "vymyslené" rovnice s koreňmi... ...zabudnite na ne! Pretože ďalej stretnete tých najneškodnejších „zástupcov“ tohto druhu. Alebo nudné goniometrické rovnice s desiatkami metód na riešenie. Úprimne povedané, ani sa mi nepáčili... Žiadna panika! - vtedy vás očakávajú hlavne "púpavy" so samozrejmým riešením v 1-2 krokoch. Aj keď sa „lopúch“ samozrejme drží – tu treba byť objektívny.

Napodiv, vo vyššej matematike je oveľa bežnejšie zaoberať sa veľmi primitívnymi rovnicami ako napr lineárne rovnice.

Čo znamená vyriešiť túto rovnicu? To znamená - nájsť TAKÚ hodnotu "x" (koreň), ktorá ho premení na skutočnú rovnosť. Otočme „trojku“ doprava so zmenou znamienka:

a pustite „dvojku“ na pravú stranu (alebo to isté - vynásobte obe časti číslom) :

Pre kontrolu dosadíme získanú trofej do pôvodnej rovnice:

Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že nájdená hodnota je skutočne koreňom tejto rovnice. Alebo, ako sa hovorí, spĺňa túto rovnicu.

Všimnite si, že koreň možno zapísať aj ako desatinný zlomok:
A snažte sa nedržať tohto škaredého štýlu! Dôvod som opakoval mnohokrát, najmä hneď na prvej lekcii vyššia algebra.

Mimochodom, rovnica sa dá vyriešiť aj „v arabčine“:

A čo je najzaujímavejšie - tento záznam je úplne legálny! Ale ak nie si učiteľ, tak to radšej nerob, lebo originalita sa tu trestá =)

A teraz trochu o

grafická metóda riešenia

Rovnica má tvar a jej koreň je "x" súradnica priesečníky graf lineárnej funkcie s grafom lineárnej funkcie (os úsečky):

Zdalo by sa, že príklad je taký elementárny, že tu už nie je čo analyzovať, ale dá sa z neho „vyžmýkať“ ešte jedna nečakaná nuansa: rovnakú rovnicu znázorníme vo forme a nakreslíme grafy funkcií:

pričom prosím nezamieňajte si tieto dve veci: rovnica je rovnica a funkciu je funkcia! Funkcie len pomoc nájsť korene rovnice. Z ktorých môžu byť dve, tri, štyri a dokonca nekonečne veľa. Najbližší príklad v tomto zmysle je známy každému kvadratická rovnica, ktorej algoritmus riešenia bol ocenený samostatnou položkou „horúce“ školské formulky. A to nie je náhoda! Ak viete vyriešiť kvadratickú rovnicu a viete Pytagorova veta, potom by sa dalo povedať „podlahu vyššej matematiky už máte vo vrecku“ =) Prehnané, samozrejme, ale nie až tak ďaleko od pravdy!

A preto nie sme príliš leniví a vyriešime nejakú kvadratickú rovnicu podľa štandardný algoritmus:

, takže rovnica má dve rôzne platné koreň:

Je ľahké overiť, že obe nájdené hodnoty skutočne spĺňajú túto rovnicu:

Čo robiť, ak ste náhle zabudli algoritmus riešenia a po ruke nie sú žiadne nástroje / pomocné ruky? Takáto situácia môže nastať napríklad pri teste alebo skúške. Používame grafickú metódu! A existujú dva spôsoby: môžete bodovo stavať parabola , čím sa zistí, kde pretína os (ak sa to vôbec skríži). Je však lepšie konať prefíkanejšie: uvádzame rovnicu vo forme, kreslíme grafy jednoduchších funkcií - a "x" súradnice ich priesečníky, na prvý pohľad!


Ak sa ukáže, že priamka sa dotýka paraboly, potom rovnica má dva zhodné (viacnásobné) korene. Ak sa ukáže, že priamka nepretína parabolu, potom neexistujú žiadne skutočné korene.

K tomu, samozrejme, musíte vedieť stavať grafy elementárnych funkcií, no na druhej strane, tieto schopnosti má v silách aj školák.

A opäť - rovnica je rovnica a funkcie sú funkcie, ktoré len pomohol vyriešiť rovnicu!

A tu, mimochodom, by bolo vhodné pripomenúť ešte jednu vec: ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobené nenulovým číslom, potom sa jej korene nezmenia.

Takže napríklad rovnica má rovnaké korene. Ako najjednoduchší „dôkaz“ vyberiem konštantu zo zátvoriek:
a bezbolestne ho odstráňte (obe časti rozdelím na „mínus dve“):

ALE! Ak vezmeme do úvahy funkciu , tak tu už nie je možné zbaviť sa konštanty! Násobiteľ je možné vybrať len zo zátvoriek: .

Mnohí spôsob grafického riešenia podceňujú, považujú ho za niečo „nedôstojné“ a niektorí na túto možnosť dokonca úplne zabúdajú. A to je zásadne nesprávne, pretože sprisahanie niekedy len zachráni situáciu!

Ďalší príklad: Predpokladajme, že si nepamätáte korene najjednoduchšej goniometrickej rovnice:. Všeobecný vzorec je v školských učebniciach, vo všetkých príručkách o elementárnej matematike, ale nie sú vám k dispozícii. Riešenie rovnice je však kritické (inak „dva“). Existuje východ! - vytvárame grafy funkcií:


potom si pokojne zapíšeme súradnice "X" ich priesečníkov:

Existuje nekonečne veľa koreňov a ich zložený zápis je akceptovaný v algebre:
, Kde ( – množina celých čísel) .

A bez „odchodu od pokladne“ pár slov o grafickej metóde riešenia nerovností s jednou premennou. Princíp je rovnaký. Takže napríklad akékoľvek "x" je riešením nerovnosti, pretože sínusoida leží takmer celá pod priamkou. Riešením nerovnosti je množina intervalov, na ktorých časti sínusoidy ležia presne nad priamkou (úsečka):

alebo v skratke:

A tu je súbor riešení nerovnosti - prázdny, keďže žiadny bod sínusoidy neleží nad priamkou.

Nie je niečo jasné? Naliehavo si preštudujte lekcie o súpravy A funkčné grafy!

Zahriať sa:

Cvičenie 1

Vyriešte graficky nasledujúce trigonometrické rovnice:

Odpovede na konci hodiny

Ako vidíte, na štúdium presných vied nie je vôbec potrebné napchať vzorce a referenčné knihy! Navyše ide o zásadne zlý prístup.

Ako som vás už na začiatku hodiny ubezpečil, zložité goniometrické rovnice sa v štandardnom kurze vyššej matematiky musia riešiť veľmi zriedkavo. Všetka zložitosť spravidla končí rovnicami ako , ktorých riešením sú dve skupiny koreňov odvodené z najjednoduchších rovníc a . S riešením druhého sa príliš netrápte - pozrite sa do knihy alebo si to nájdite na internete =)

V menej triviálnych prípadoch môže pomôcť aj grafický spôsob riešenia. Zvážte napríklad nasledujúcu „pestrú“ rovnicu:

Vyhliadky na jej riešenie vyzerajú ... vôbec nevyzerajú, ale stačí rovnicu prezentovať vo forme , zostrojiť funkčné grafy a všetko bude neuveriteľne jednoduché. Kresba je v strede článku o nekonečne malé funkcie (otvorí sa na ďalšej karte).

Pomocou rovnakej grafickej metódy môžete zistiť, že rovnica už má dva korene a jeden z nich sa rovná nule a druhý, zdá sa, iracionálny a patrí do segmentu . Tento koreň možno vypočítať približne napr. tangentová metóda. Mimochodom, pri niektorých úlohách sa stáva, že nie je potrebné nájsť korene, ale zistiť či vôbec existujú. A aj tu môže pomôcť kresba – ak sa grafy nepretínajú, tak tam nie sú korene.

Racionálne korene polynómov s celočíselnými koeficientmi.
Hornerova schéma

A teraz vám navrhujem obrátiť oči do stredoveku a pocítiť jedinečnú atmosféru klasickej algebry. Pre lepšie pochopenie látky odporúčam aspoň malé zoznámenie sa s komplexné čísla.

Sú to najviac. Polynómy.

Objektom nášho záujmu budú najčastejšie polynómy tvaru s celý koeficienty . Prirodzené číslo sa volá polynomický stupeň, číslo - koeficient na najvyššom stupni (alebo len najvyšší koeficient), a koeficient je voľný člen.

Tento polynóm označím poskladaný .

Polynomické korene nazývané korene rovnice

Milujem železnú logiku =)

Pre príklady ideme na úplný začiatok článku:

S hľadaním koreňov polynómov 1. a 2. stupňa nie sú žiadne problémy, ale s pribúdajúcimi úlohami je táto úloha čoraz ťažšia. Ale na druhej strane je všetko zaujímavejšie! A práve tomu bude venovaná druhá časť lekcie.

Najprv doslova pol obrazovky teórie:

1) Podľa dôsledkov základná veta algebry, stupeň polynóm má presne integrovaný korene. Niektoré korene (alebo dokonca všetky) môžu byť konkrétne platné. Okrem toho medzi skutočnými koreňmi môžu byť rovnaké (viaceré) korene (minimálne dva, maximálne kusy).

Ak je nejaké komplexné číslo koreňom polynómu, potom konjugovať jeho číslo je tiež nevyhnutne koreňom tohto polynómu (korene konjugovaného komplexu majú tvar ).

Najjednoduchším príkladom je kvadratická rovnica, s ktorou sme sa prvýkrát stretli v 8 (Páči sa mi to) triedy, a ktoré sme nakoniec v téme „dopracovali“. komplexné čísla. Pripomínam vám: kvadratická rovnica má buď dva rôzne skutočné korene, viac koreňov, alebo združené komplexné korene.

2) Od Bezoutove vety z toho vyplýva, že ak je číslo koreňom rovnice, potom príslušný polynóm možno faktorizovať:
, kde je polynóm stupňa .

A opäť náš starý príklad: keďže je koreňom rovnice , potom . Potom je ľahké získať známy "školský" rozklad.

Dôsledok Bezoutovej vety má veľkú praktickú hodnotu: ak poznáme koreň rovnice 3. stupňa, môžeme ho znázorniť v tvare a z kvadratickej rovnice je ľahké zistiť zostávajúce korene. Ak poznáme koreň rovnice 4. stupňa, potom je možné ľavú stranu rozšíriť na súčin atď.

A tu sú dve otázky:

Otázka jedna. Ako nájsť tento koreň? Najprv si definujme jeho povahu: v mnohých problémoch vyššej matematiky sa vyžaduje nájsť racionálny, najmä celý korene polynómov a v tomto smere nás ďalej budú zaujímať hlavne tie .... ...sú také dobré, také nadýchané, že ich jednoducho chcete nájsť! =)

Prvá vec, ktorá sa navrhuje, je metóda výberu. Zoberme si napríklad rovnicu . Háčik je tu vo voľnom termíne - ak by sa rovnal nule, všetko by bolo v prelamovaní - dáme "x" zo zátvoriek a samotné korene "vypadnú" na povrch:

Ale náš voľný člen sa rovná „trom“, a preto začneme do rovnice dosadzovať rôzne čísla, ktoré tvrdia, že sa nazývajú „koreň“. V prvom rade sa navrhuje nahradenie jednotlivých hodnôt. Náhradník:

Prijaté nesprávne rovnosť, teda jednotka „nesadla“. Dobre, vložíme to:

Prijaté správne rovnosť! To znamená, že hodnota je koreňom tejto rovnice.

Na nájdenie koreňov polynómu 3. stupňa existuje analytická metóda (takzvané Cardanoove vzorce), no teraz nás zaujíma trochu iný problém.

Keďže - je koreňom nášho polynómu, potom môže byť polynóm reprezentovaný v tvare a vzniká Druhá otázka: ako nájsť „mladšieho brata“?

Najjednoduchšie algebraické úvahy naznačujú, že na to musíte deliť. Ako rozdeliť polynóm polynómom? Rovnaká školská metóda, ktorá delí obyčajné čísla – „stĺpec“! Túto metódu som podrobne rozobral v prvých príkladoch lekcie. Komplexné limity, a teraz zvážime ďalšiu metódu, ktorá sa nazýva Hornerova schéma.

Najprv napíšeme „starší“ polynóm so všetkými vrátane nulových koeficientov:
, po ktorom zadáme tieto koeficienty (presne v poradí) do horného riadku tabuľky:

Na ľavej strane píšeme koreň:

Okamžite urobím rezerváciu, že Hornerova schéma funguje aj v prípade „červeného“ čísla nie je koreňom polynómu. Neponáhľajme však veci.

Zhora vezmeme seniorský koeficient:

Proces vypĺňania spodných buniek trochu pripomína vyšívanie, kde „mínus jedna“ je druh „ihly“, ktorá preniká do nasledujúcich krokov. „Zbúrané“ číslo vynásobíme (-1) a k produktu pridáme číslo z hornej bunky:

Nájdenú hodnotu vynásobíme „červenou ihlou“ a k produktu pridáme nasledujúci koeficient rovnice:

A nakoniec sa výsledná hodnota opäť „spracuje“ s „ihlou“ a horným koeficientom:

Nula v poslednej bunke nám hovorí, že sa polynóm rozdelil na bez stopy (ako má byť), pričom koeficienty expanzie sú „odstránené“ priamo zo spodného riadku tabuľky:

Prešli sme teda od rovnice k ekvivalentnej rovnici a s dvoma zostávajúcimi koreňmi je všetko jasné (v tomto prípade sa získajú korene konjugovaného komplexu).

Rovnica, mimochodom, sa dá vyriešiť aj graficky: stavať "zips" a uvidíte, že graf pretína os x () v bode . Alebo rovnaký "prefíkaný" trik - prepíšeme rovnicu do tvaru , nakreslíme elementárne grafy a zistíme súradnicu "x" ich priesečníka.

Mimochodom, graf ľubovoľnej polynómovej funkcie 3. stupňa pretína os aspoň raz, čo znamená, že zodpovedajúca rovnica má najmenej jeden platné koreň. Táto skutočnosť platí pre akúkoľvek polynómovú funkciu nepárneho stupňa.

A tu sa chcem tiež zastaviť dôležitý bodčo sa týka terminológie: polynóm A polynomiálna funkcia – nie je to to isté! V praxi sa však často hovorí napríklad o „polynomiálnom grafe“, ktorý je, samozrejme, nedbanlivý.

Ale vráťme sa k Hornerovej schéme. Ako som nedávno spomenul, táto schéma funguje aj pre iné čísla, ale ak číslo nie je koreň rovnice, potom sa v našom vzorci objaví nenulová prísada (zvyšok):

„Neúspešnú“ hodnotu „zajazdime“ podľa Hornerovej schémy. Zároveň je vhodné použiť rovnakú tabuľku - vľavo zapíšeme novú „ihlu“, zhora zničíme najvyšší koeficient (zelená šípka doľava) a ideme preč:

Pre kontrolu otvárame zátvorky a dávame podobné výrazy:
, OK.

Je ľahké vidieť, že zvyšok („šesť“) je presne hodnota polynómu v . A v skutočnosti - čo to je:
a ešte krajšie - takto:

Z vyššie uvedených výpočtov je ľahké pochopiť, že Hornerova schéma umožňuje nielen faktorizovať polynóm, ale aj vykonať "civilizovaný" výber koreňa. Navrhujem, aby ste nezávisle opravili výpočtový algoritmus malou úlohou:

Úloha 2

Pomocou Hornerovej schémy nájdite celý koreň rovnice a faktorizujte príslušný polynóm

Inými slovami, tu musíte postupne kontrolovať čísla 1, -1, 2, -2, ... -, kým sa v poslednom stĺpci „nevykreslí“ nulový zvyšok. To bude znamenať, že "ihla" tejto čiary je koreňom polynómu

Výpočty sú pohodlne usporiadané v jednej tabuľke. Podrobné riešenie a odpoveď na konci lekcie.

Metóda výberu koreňov je dobrá pre relatívne jednoduché prípady, ale ak sú koeficienty a / alebo stupeň polynómu veľké, proces sa môže oneskoriť. Alebo možno niektoré hodnoty z toho istého zoznamu 1, -1, 2, -2 a nemá zmysel uvažovať? A okrem toho sa korene môžu ukázať ako zlomkové, čo povedie k úplne nevedeckému popichovaniu.

Našťastie existujú dve silné teorémy, ktoré môžu výrazne znížiť počet „kandidátskych“ hodnôt pre racionálne korene:

Veta 1 Zvážte neredukovateľný zlomok , kde . Ak je číslo koreňom rovnice, potom je voľný člen deliteľný a vodiaci koeficient je deliteľný číslom.

Najmä, ak je vodiaci koeficient , potom tento racionálny koreň je celé číslo:

A začneme využívať vetu práve z tohto chutného konkrétneho:

Vráťme sa k rovnici. Keďže jeho vodiaci koeficient je , potom môžu byť hypotetické racionálne korene výlučne celé číslo a voľný člen musí byť nevyhnutne delený týmito koreňmi bezo zvyšku. A "trojku" možno rozdeliť len na 1, -1, 3 a -3. To znamená, že máme len 4 „kandidátov na korene“. A podľa toho Veta 1, iné racionálne čísla nemôžu byť PRINCÍPY koreňmi tejto rovnice.

V rovnici je o niečo viac „žiadateľov“: voľný termín je rozdelený na 1, -1, 2, -2, 4 a -4.

Upozorňujeme, že čísla 1, -1 sú "bežné" v zozname možných koreňov (zrejmý dôsledok vety) a najlepšia voľba pre prvú kontrolu.

Prejdime k zmysluplnejším príkladom:

Úloha 3

Riešenie: keďže vedúci koeficient , potom môžu byť hypotetické racionálne korene iba celé čísla, pričom musia byť nevyhnutne deliteľmi voľného člena. "Mínus štyridsať" je rozdelené do nasledujúcich dvojíc čísel:
– spolu 16 „kandidátov“.

A tu sa okamžite objaví lákavá myšlienka: je možné odstrániť všetky negatívne alebo všetky pozitívne korene? V niektorých prípadoch môžete! Sformulujem dva znaky:

1) Ak Všetky koeficienty polynómu sú nezáporné alebo všetky sú kladné, potom nemôže mať kladné korene. Žiaľ, toto nie je náš prípad (Teraz, ak by sme dostali rovnicu - potom áno, keď je akákoľvek hodnota polynómu striktne kladná, čo znamená, že všetky kladné čísla (a aj iracionálne) nemôžu byť koreňmi rovnice.

2) Ak sú koeficienty pre nepárne mocniny nezáporné a pre všetky párne mocniny (vrátane bezplatného člena) sú záporné, potom polynóm nemôže mať záporné korene. Alebo „zrkadlo“: koeficienty pre nepárne stupne sú nekladné a pre všetky párne sú kladné.

Toto je náš prípad! Pri bližšom pohľade môžete vidieť, že keď sa do rovnice nahradí akékoľvek záporné „x“, ľavá strana bude striktne záporná, čo znamená, že záporné korene zmiznú.

Na výskum teda zostáva 8 čísel:

Dôsledne ich „nabíjajte“ podľa Hornerovej schémy. Dúfam, že ste už zvládli mentálne výpočty:

Pri testovaní „dvojky“ nás čakalo šťastie. Je teda koreňom uvažovanej rovnice a

Zostáva preskúmať rovnicu . Je ľahké to urobiť pomocou diskriminantu, ale rovnakým spôsobom vykonám exponenciálny test. Najprv si všimnite, že voľný termín sa rovná 20, čo znamená, že podľa Veta 1čísla 8 a 40 vypadnú zo zoznamu možných koreňov a hodnoty zostávajú na výskum (jeden bol eliminovaný podľa Hornerovej schémy).

Koeficienty trojčlenky zapíšeme do horného riadku novej tabuľky a začneme kontrolovať s rovnakými "dvojkami". prečo? A pretože korene môžu byť násobky, prosím: - táto rovnica má 10 rovnakých koreňov. Ale neodbočujme:

A tu som bol, samozrejme, trochu prefíkaný, vediac, že ​​korene sú racionálne. Ak by totiž boli iracionálne alebo komplexné, tak by som mal neúspešnú kontrolu všetkých zvyšných čísel. Preto sa v praxi riaďte diskriminujúcim.

Odpoveď: racionálne korene: 2, 4, 5

V analyzovanom probléme sme mali šťastie, pretože: a) záporné hodnoty okamžite klesli a b) koreň sme našli veľmi rýchlo (a teoreticky sme mohli skontrolovať celý zoznam).

V skutočnosti je však situácia oveľa horšia. Pozývam vás sledovať vzrušujúcu hru s názvom „Posledný hrdina“:

Úloha 4

Nájdite racionálne korene rovnice

Riešenie: Podľa Veta 1čitatelia hypotetických racionálnych koreňov musia spĺňať podmienku (čítaj „dvanásť je deliteľných pivom“) a menovateľov podmienky . Na základe toho dostaneme dva zoznamy:

"zoznam el":
a "zoznam ich": (našťastie, tu sú čísla prirodzené).

Teraz urobme zoznam všetkých možných koreňov. Najprv rozdelíme „zoznam piva“ podľa . Je úplne jasné, že dopadnú rovnaké čísla. Pre pohodlie si ich dajme do tabuľky:

Mnohé zlomky boli znížené, výsledkom čoho sú hodnoty, ktoré sú už v „zozname hrdinov“. Pridávame iba "nováčikov":

Podobne rozdeľujeme rovnaký „zoznam piva“ podľa:

a nakoniec ďalej

Tím účastníkov našej hry je teda obsadený:


Žiaľ, polynóm tohto problému nespĺňa „kladné“ alebo „negatívne“ kritérium, a preto nemôžeme zahodiť horný alebo dolný riadok. Musíte pracovať so všetkými číslami.

Aká je tvoja nálada? No tak, otočte nos - existuje ďalšia veta, ktorú možno obrazne nazvať „zabijácka veta“ .... ... "kandidáti", samozrejme =)

Najprv si však musíte prelistovať Hornerov diagram aspoň pre jeden celáčísla. Tradične berieme jeden. V hornom riadku napíšeme koeficienty polynómu a všetko je ako obvykle:

Keďže štyri zjavne nie je nula, hodnota nie je koreňom príslušného polynómu. Ale ona nám veľmi pomôže.

Veta 2 Ak pre niektorých všeobecne hodnota polynómu je nenulová: , potom jeho racionálne korene (ak sú) splniť podmienku

V našom prípade a teda všetky možné korene musia spĺňať podmienku (nazvime to podmienka #1). Táto štvorica bude „zabijakom“ mnohých „kandidátov“. Ako ukážku sa pozriem na niekoľko kontrol:

Preverme kandidáta. Aby sme to dosiahli, umelo ho reprezentujeme ako zlomok , z čoho je jasne vidieť, že . Vypočítajme kontrolný rozdiel: . Štyri sú delené "mínus dva": čo znamená, že možný koreň prešiel testom.

Skontrolujeme hodnotu. Tu je rozdiel v teste: . Samozrejme, a preto v zozname zostáva aj druhý „testovaný subjekt“.

V tomto článku si povieme o vhodnej schéme na riešenie príkladov delenia polynómov. Ak potrebujeme vypočítať podiel P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 a zvyšok delenia polynómu lineárnym binómom x - s , potom bude vhodné použiť Hornerovu schému (metódu).

Spočíva vo vytvorení špeciálnej tabuľky a zadaní počiatočných údajov do nej:

Čísla b n , b n - 1 , b n - 2 , . . . , b 1 a budú to koeficienty, ktoré potrebujeme z delenia P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 až x - s . Zvyšok je tu označený ako b 0 . V opačnom prípade môžete riešenie napísať takto:

Teraz si ukážeme, ako túto schému aplikovať v praxi.

Príklad 1

podmienka: Rozdeľte polynóm 2 x 4 - 3 x 3 - x 2 + 4 x + 13 lineárnym binómom x - 1 pomocou Hornerovej schémy.

Riešenie

Doplňme tabuľku. Máme s rovné jednej a koeficienty a 4 = 2 , a 3 = - 3 , a 2 = - 1 , a 1 = 4 , a 0 = 13 .

odpoveď: dostal kvocient rovný b 4 x 3 + b 3 x 2 + b 2 x + b 1 = 2 x 3 - x 2 - 2 x + 2 a zvyšok b 0 = 15.

V druhom probléme sa zaobídeme bez podrobných komentárov.

Príklad 2

podmienka: určiť, či polynóm 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 možno bezo zvyšku rozdeliť na dvojčlen x + 1 2. Vypočítajte kvocient.

Riešenie

Doplňte tabuľku podľa Hornerovej schémy.

V poslednej bunke vidíme nulový zvyšok, preto je možné pôvodný polynóm rozdeliť na binóm.

odpoveď: kvocient bude polynóm 2 x 2 - 12 x + 18.

Ak b 0 = 0, potom môžeme hovoriť o deliteľnosti polynómu P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 binómom x - s a koreň pôvodného polynómu máme rovný s . Pomocou výsledku Bezoutovej vety môžeme tento polynóm reprezentovať ako súčin:

Pn (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = = x - s (b n x n + 1 + b n - 1 x n - 2 + . . . + b 1)

Z tohto dôvodu je Hornerova schéma vhodná pre prípady, keď je potrebné nájsť celočíselné korene rovníc vyšších stupňov s celočíselnými koeficientmi, alebo rozložiť polynóm na prvočísla.

Príklad 3

podmienka: vyriešiť rovnicu x 3 - 7 x - 6 = 0 . Rozložte polynóm vľavo na samostatné faktory.

Riešenie

Vieme, že celočíselné korene rovnice (ak nejaké existujú) treba hľadať medzi deliteľmi voľného člena. Napíšme ich samostatne 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , 6 , - 6 a skontrolujme pomocou Hornerovej schémy.

Z údajov v tabuľke je vidieť, že jednotka nebude medzi koreňmi tejto rovnice.

Pridajme do tabuľky ďalší možný koreň.

Ale - 1 je vhodné, čo znamená, že pôvodný polynóm môžeme reprezentovať ako x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) .

Z toho vyplýva, že - 1 nebude viacnásobný (opakujúci sa) koreň. Vyberieme nasledujúcu možnosť a vypočítame:

Číslo 2 nepatrí medzi korene rovnice. Doplníme Hornerovu tabuľku pre x = - 2:

Mínus dva bude koreň pôvodnej rovnice. Polynóm môžeme zapísať takto:

x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) = = (x + 1) (x + 2) (x - 3)

Tretí a posledný koreň rovnice bude tri. Dokončite vyplnenie tabuľky tým, že vezmeme hodnoty posledného prijatého riadku ako koeficienty:

Z toho môžeme usúdiť, že posledná získaná tabuľka, vyplnená podľa Hornerovej metódy, bude riešením nášho príkladu. Tento problém by sa dal vyriešiť aj delením polynómu lineárnym binómom stĺpcom, avšak tu zobrazený diagram je prehľadnejší a jednoduchší.

odpoveď: x \u003d - 1, x \u003d - 2, x \u003d 3, x 3 - 7 x - 6 \u003d (x + 1) (x + 2) (x - 3) .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Predtým bol pojem polynóm definovaný ako algebraický súčet monomov. Ak sú všetky podobné monoméry polynómu dané a usporiadané v zostupnom poradí podľa stupňa premennej, potom sa výsledný zápis nazýva kanonický zápis polynóm.

Definícia. Vyjadrenie formy

Kde X je nejaká premenná, reálne čísla a , sa nazýva polynóm stupňa n z premennej X . Titul polynóm je najväčší stupeň premennej v jej kanonickom zápise. Ak sa premenná nevyskytuje v mnohočlennom zápise, t.j. polynóm sa rovná konštante, jeho stupeň sa považuje za rovný 0. Prípad, keď sa polynóm musí posudzovať samostatne. V tomto prípade sa má za to, že jeho stupeň nie je definovaný.

Príklady. polynóm druhého stupňa,

polynóm piateho stupňa.

Definícia. Dva polynómy rovný vtedy a len vtedy, ak majú rovnaké koeficienty v kánonických formách s rovnakými právomocami.

Definícia. Číslo sa volá polynómový koreň, ak pri nastavovaní tohto čísla namiesto X polynóm nadobúda hodnotu 0, t.j. Inými slovami, bude koreňom rovnice

Úloha nájsť všetky korene polynómu a korene racionálnej rovnice je teda jedna a tá istá úloha.

Racionálne rovnice prvého a druhého stupňa sú riešené známymi algoritmami. Existujú aj vzorce na hľadanie koreňov polynómov tretieho a štvrtého stupňa (Cardanove a Ferrariho vzorce), ktoré však pre svoju ťažkopádnosť nie sú zahrnuté do kurzu elementárnej matematiky.

Všeobecnou myšlienkou hľadania koreňov polynómov vyšších stupňov je faktorizovať polynóm a nahradiť rovnicu ekvivalentnou sadou rovníc nižšieho stupňa.

V predchádzajúcich témach boli uvedené hlavné spôsoby faktorizácie polynómov: vyňatie spoločného faktora; zoskupovanie; skrátené vzorce násobenia.

Metóda zoskupovania však nemá algoritmickú povahu, takže je ťažké ju aplikovať na polynómy veľkých stupňov. Uvažujme o niektorých ďalších teorémoch a metódach, ktoré umožňujú faktorizovať polynómy vyšších stupňov.

Deliaca veta so zvyškom. Nech sú dané polynómy a stupeň je iný ako 0 a stupeň je väčší ako stupeň. Potom existujú polynómy také, že rovnosť

Navyše, stupeň je menší ako stupeň Polynóm sa nazýva deliteľné, polynóm delič, polynóm neúplné súkromné a polynóm zvyšok .

Ak je zvyšok delenia 0, hovoríme to je rozdelený na úplne, pričom rovnosť má podobu:

Algoritmus delenia polynómu polynómom je podobný algoritmu delenia čísla číslom stĺpcom alebo rohom. Poďme popísať kroky algoritmu.

Dividendu zapíšte do riadku vrátane všetkých mocnín premennej (tie, ktoré chýbajú, zapíšte koeficientom 0).

Napíšte do „rohu“ dividendu vrátane všetkých mocnín premennej.

Ak chcete nájsť prvý člen (monomial) v neúplnom kvociente, musíte vydeliť počiatočný monomial dividendy počiatočným monomom deliteľa.

Vynásobte výsledný prvý člen kvocientu celým deliteľom a výsledok zapíšte pod delenec a pod seba zapíšte rovnaké stupne premennej.

Odpočítajte výsledný produkt od dividendy.

Aplikujte algoritmus na výsledný zvyšok, začnite od bodu 1).

Algoritmus sa ukončí, keď má výsledný rozdiel stupeň menší ako stupeň deliteľa. Toto je zvyšok.

Príklad. Vydeľte polynóm číslom .

Napíšte dividendu a deliteľa

Postup opakujeme

Stupeň je menší ako stupeň deliteľa. Takže toto je zvyšok. Výsledok delenia sa zapíše takto:

Hornerova schéma. Ak je deliteľ polynóm prvého stupňa, potom je možné postup delenia zjednodušiť. Zvážte algoritmus na delenie polynómu binómom.

Príklad. Rozdeľte polynóm podľa Hornerovej schémy. V tomto prípade A=2. Postupne si zapíšme výsledky vykonania algoritmu.

Výsledok delenia teda zapíšeme nasledovne

Komentujte. Ak potrebujete deliť dvojčlenkou

Potom sa transformuje do podoby potom . To ukazuje, že delením podľa Hornerovej schémy číslom nájdeme Potom požadovaný kvocient získame vydelením nájdeného číslom A. Zvyšok zostáva rovnaký.

Bezoutova veta. Zvyšok delenia polynómu číslom sa rovná hodnote polynómu v bode X = A, t.j. . Polynóm je deliteľný bezo zvyšku vtedy a len vtedy X = A je koreňom polynómu.

Teda nájdenie jedného koreňa polynómu A môžeme faktorizovať výberom faktora, ktorý má o jeden stupeň menej ako stupeň. Tento multiplikátor nájdete buď podľa Hornerovej schémy, alebo vydelením „rohom“.

Otázka nájdenia koreňa sa rieši buď výberom, alebo použitím vety o racionálnych koreňoch polynómu.

Veta. Nech je polynóm má celočíselné koeficienty. Ak je neredukovateľný zlomok koreňom polynómu, potom jeho čitateľom p je deliteľ voľného termínu a menovateľ q je deliteľ vedúceho koeficientu .

Táto veta je základom Algoritmus na hľadanie racionálnych koreňov polynóm (ak existuje).

Rozklad algebraického zlomku na súčet jednoduchých zlomkov

Definícia Zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ sú polynómy, sa nazýva algebraický zlomok .

Uvažujme algebraické zlomky v jednej premennej. Vo všeobecnosti ich možno zapísať takto: , kde čitateľ je polynóm stupňa n, menovateľom je polynóm stupňa k. Ak , potom sa zlomok nazýva správne .

TO najjednoduchšie algebraické zlomky Existujú dva typy správnych zlomkov:

Veta. Akýkoľvek algebraický zlomok môže byť reprezentovaný ako súčet jednoduchých algebraických zlomkov.

Algoritmus na rozšírenie algebraického zlomku na súčet jednoduchých zlomkov.

Faktorizujte menovateľa.

Určte počet vlastných zlomkov a typ ich menovateľov.

Napíšte rovnicu, na ľavej strane ktorej je pôvodný zlomok, na pravej strane súčet jednoduchých zlomkov s neurčitými koeficientmi.

Prineste zlomky na pravej strane k spoločnému menovateľovi.

Prirovnajte polynómy v čitateloch zlomkov. Pomocou definície rovnosti polynómov zostavte sústavu lineárnych rovníc a vyriešte ju hľadaním neurčitých koeficientov.

Stránka „odborný tútor z matematiky“ pokračuje v sérii metodických článkov o vyučovaní. Uverejňujem popisy metód mojej práce s najzložitejšími a najproblematickejšími témami školského kurikula. Tento materiál bude užitočný pre učiteľov a tútorov matematiky, ktorí pracujú so žiakmi 8. – 11. ročníka tak v bežnom programe, ako aj v programe matematických tried.

Doučovateľ matematiky nemôže vždy vysvetliť látku, ktorá je v učebnici zle prezentovaná. Žiaľ, takýchto tém je čoraz viac a chyby v prezentácii podľa autorov príručiek sa robia masovo. Týka sa to nielen začínajúcich lektorov matematiky a lektorov na čiastočný úväzok (tutori - študenti a vysokoškolskí lektori), ale aj skúsených pedagógov, lektorov - profesionálov, lektorov s praxou a kvalifikáciou. Zďaleka nie všetci učitelia matematiky majú talent kompetentného korektora hrubosti školských učebníc. Nie každý tiež chápe, že tieto opravy (alebo doplnenia) sú potrebné. Len málokto sa zaoberá prispôsobovaním materiálu pre jeho kvalitatívne vnímanie deťmi. Žiaľ, pominula doba, keď učitelia matematiky spolu s metodikmi a autormi publikácií masívne diskutovali o každom písmenku učebnice. V minulosti, pred zavedením učebnice do škôl, sa robili seriózne analýzy a štúdie výsledkov vzdelávania. Nastal čas pre diletantov, ktorí sa usilujú o to, aby boli príručky univerzálne a prispôsobili ich štandardom silných matematických tried.

Závod o zvyšovanie množstva informácií vedie len k zníženiu kvality ich asimilácie a v dôsledku toho k zníženiu úrovne skutočných vedomostí v matematike. Tomu však nikto nevenuje pozornosť. A naše deti sú nútené študovať už v 8. ročníku to, čím sme si prešli na ústave: teóriu pravdepodobnosti, riešenie rovníc vysokých stupňov a ešte niečo. Prispôsobenie látky v knihách tak, aby ju dieťa plne vnímalo, ponecháva veľa požiadaviek a učiteľ matematiky je nútený sa s tým nejako vysporiadať.

Povedzme si niečo o metodike výučby tak špecifickej témy, akou je „delenie rohu polynómu polynómom“, v matematike pre dospelých známejšie ako „Bezoutova veta a Hornerova schéma“. Len pred pár rokmi nebola táto otázka pre učiteľa matematiky taká akútna, pretože nebol zaradený do osnov základnej školy. Teraz uznávaní autori učebnice, ktorú redigoval Teljakovskij, urobili zmeny v najnovšom vydaní najlepšej, podľa môjho názoru, učebnice, a keď ju úplne pokazili, pridali lektorovi iba zbytočné starosti. Učitelia škôl a tried, ktoré nemajú štatút matematiky, so zameraním na inovácie autorov, začali častejšie zaraďovať do svojich hodín ďalšie odseky a zvedavé deti, ktoré si prezerajú krásne stránky svojej učebnice matematiky, sa čoraz častejšie pýtajú, učiteľ: „Čo je to za roh? Prechádzame týmto? Ako zdieľať kútik? Pred takýmito priamymi otázkami sa nedá skryť. Doučovateľ bude musieť dieťaťu niečo povedať.

Ale ako? Pravdepodobne by som neopisoval spôsob práce s témou, ak by bola správne prezentovaná v učebniciach. Ako sa to všetko u nás deje? Učebnice treba tlačiť a predávať. A preto je potrebné ich pravidelne aktualizovať. Sťažujú sa vysokoškolskí učitelia, že k nim prichádzajú deti s prázdnymi hlavami, bez vedomostí a zručností? Rastú požiadavky na matematické znalosti? Skvelé! Odstránime niektoré cvičenia a namiesto nich vložíme témy, ktoré sa študujú v iných programoch. Prečo je naša učebnica horšia? Zahrnieme niekoľko ďalších kapitol. Školáci nepoznajú pravidlo delenia rohom? Toto je elementárna matematika. Takýto odsek by sme mali urobiť ako nepovinný s nadpisom „pre tých, ktorí chcú vedieť viac“. Doučovatelia proti? A čo nás na lektoroch všeobecne zaujíma? Aj metodici a učitelia škôl sú proti? Nebudeme komplikovať materiál a zvážime jeho najjednoduchšiu časť.

A tu to začína. Jednoduchosť témy a kvalita jej asimilácie spočíva predovšetkým v pochopení jej logiky, a nie v tom, že podľa predpisu autorov učebnice vykonávať určitý súbor operácií, ktoré spolu jasne nesúvisia. V opačnom prípade bude zabezpečená hmla v hlave študenta. Ak autori rátajú s relatívne silnými študentmi (avšak študujúcimi podľa bežného programu), tak by ste tému nemali zadávať v tímovej forme. Čo vidíme v učebnici? Deti, je potrebné rozdeliť podľa tohto pravidla. Získajte polynóm v rohu. Pôvodný polynóm bude teda faktorizovaný. Nie je však jasné, prečo sú výrazy pod rohom zvolené týmto spôsobom, prečo je potrebné ich vynásobiť polynómom nad rohom a potom odpočítať od aktuálneho zvyšku - nie je jasné. A čo je najdôležitejšie, nie je jasné, prečo musia byť zvolené monoméry nakoniec sčítané a prečo budú výsledné zátvorky rozšírením pôvodného polynómu. Každý kompetentný matematik dá nad vysvetlenia, ktoré sú uvedené v učebnici, tučný otáznik.

Do pozornosti tútorov a učiteľov matematiky dávam svoje riešenie úlohy, ktoré prakticky študentovi ozrejmí všetko, čo je v učebnici uvedené. V skutočnosti dokážeme Bezoutovu vetu: ak je číslo a koreňom polynómu, potom tento polynóm možno rozložiť na faktory, z ktorých jeden je x-a a druhý sa získa z pôvodného jedným z troch spôsobov: extrakciou lineárneho činiteľa pomocou transformácií, delením rohom alebo podľa Hornerovej schémy. Práve s takouto formuláciou sa bude učiteľom matematiky pracovať ľahšie.

Čo je metodika výučby? V prvom rade je to jasné poradie v postupnosti vysvetlení a príkladov, na základe ktorých sa vyvodzujú matematické závery. Táto téma nie je výnimkou. Pre učiteľa matematiky je veľmi dôležité oboznámiť dieťa s Bezoutovou vetou pred vykonaním rohového delenia. Je to veľmi dôležité! Najlepšie to pochopíte na konkrétnom príklade. Zoberme si polynóm s vybraným koreňom a ukážme techniku ​​jeho rozkladu metódou identických transformácií, ktorú pozná žiak zo 7. ročníka. S príslušnými sprievodnými vysvetleniami, prízvukmi a tipmi od učiteľa matematiky je celkom možné sprostredkovať materiál bez akýchkoľvek všeobecných matematických výpočtov, ľubovoľných koeficientov a stupňov.

Dôležité tipy pre učiteľov matematiky- postupujte podľa pokynov od začiatku do konca a nemeňte túto postupnosť.

Povedzme teda, že máme polynóm. Ak namiesto jeho x dosadíme číslo 1, potom bude hodnota polynómu nulová. Preto x=1 je jeho koreň. Skúsme sa rozložiť na dva členy tak, že jeden z nich je súčinom lineárneho výrazu a nejakého monomilu a druhý by mal o jeden stupeň menej ako . To znamená, že ho reprezentujeme vo forme

Jednočlen pre červené pole volíme tak, že pri jeho vynásobení vedúcim členom sa úplne zhoduje s vedúcim členom pôvodného mnohočlenu. Ak študent nie je najslabší, potom bude celkom schopný dať učiteľovi matematiky požadovaný výraz:. Tútor by mal byť okamžite požiadaný, aby ho vložil do červeného poľa a ukázal, čo sa stane, keď sa otvoria. Tento virtuálny dočasný polynóm je najlepšie podpísať pod šípkami (pod fotografiou) a zvýrazniť ho nejakou farbou, napríklad modrou. To vám pomôže vybrať sčítanec pre červené pole, nazývaný zvyšok z výberu. Odporúčam tútorom, aby tu poukázali na to, že tento zvyšok možno nájsť odčítaním. Vykonaním tejto operácie dostaneme:



Doučovateľ matematiky by mal upozorniť študenta na skutočnosť, že dosadením jednotky v tejto rovnosti zaručene dostaneme nulu na jej ľavej strane (keďže 1 je koreň pôvodného polynómu) a na pravej strane samozrejme tiež nastaví prvý člen na nulu. Bez akéhokoľvek overenia teda môžeme povedať, že jednotka je koreňom „zeleného zvyšku“.

Vyrovnajme sa s tým rovnakým spôsobom ako s pôvodným polynómom, pričom z neho vyberieme rovnaký lineárny faktor . Učiteľ matematiky nakreslí pred študenta dve políčka a požiada ich, aby ich vyplnili zľava doprava.



Študent vyberie pre tútora jednočlen pre červené pole tak, aby po vynásobení najvyšším členom lineárneho výrazu dostal najvyšší člen rozšíreného mnohočlenu. Zadáme ho do rámčeka, hneď otvoríme zátvorku a modrou zvýrazníme výraz, ktorý treba odčítať od rozbaleného. Vykonaním tejto operácie dostaneme



A nakoniec urobte to isté s posledným zvyškom



konečne dostať



Teraz vyberieme výraz zo zátvorky a budeme čeliť rozkladu pôvodného polynómu na faktory, z ktorých jeden je „x mínus zvolený koreň“.

Aby si študent nemyslel, že posledný „zelený zvyšok“ je náhodne rozložený na potrebné faktory, musí učiteľ matematiky upozorniť na dôležitú vlastnosť všetkých zelených zvyškov – každý z nich má koreň 1. Keďže stupne týchto zvyšky klesajú, potom bez ohľadu na to, aký počiatočný stupeň nám žiadny polynóm nebol daný, skôr či neskôr dostaneme lineárny „zelený zvyšok“ s odmocninou 1, a preto ho treba rozložiť na súčin určitého čísla a výraz.

Po takýchto prípravných prácach nebude pre učiteľa matematiky ťažké vysvetliť študentovi, čo sa deje pri delení rohu. Ide o rovnaký proces, len v kratšej a kompaktnejšej forme, bez rovnosti a bez prepisovania rovnakých vybraných pojmov. Polynóm, z ktorého sa extrahuje lineárny multiplikátor, napíšeme naľavo od rohu, zbierame vybrané červené monomály pod uhlom (teraz je jasné, prečo by sa mali sčítať), aby ste získali „modré polynómy“, musíte ich vynásobiť „červenú“ x-1 a potom odčítajte od zvoleného prúdu, ako sa to robí pri obvyklom delení čísel v stĺpci (tu je to analógia s predtým študovanou). Výsledné "zelené zvyšky" sa podrobia novej selekcii a selekcii "červených monomilov". A tak ďalej, kým sa nezíska nulový "zelený zvyšok". Najdôležitejšie je, aby bol študentovi jasný ďalší osud zapísaných mnohočlenov nad a pod rohom. Je zrejmé, že ide o zátvorky, ktorých súčin sa rovná pôvodnému polynómu.

Ďalšou etapou v práci tútora matematiky je formulácia Bezoutovej vety. V skutočnosti je jeho formulácia s týmto prístupom tútora zrejmá: ak je číslo a koreňom polynómu, potom ho možno rozložiť na faktory, z ktorých jeden a druhý sa získa z pôvodného v jednom z troch faktorov. spôsoby:

• priamy rozklad (podobne ako pri metóde zoskupovania)
• delenie rohom (v stĺpci)
• cez Hornerovu schému

Musím povedať, že zďaleka nie všetci učitelia matematiky ukazujú študentom hornerovu schému a nie všetci učitelia škôl (našťastie pre samotných tútorov) idú na hodinách tak hlboko do témy. Pre študenta matematickej triedy však nevidím dôvod, aby sa zastavil pri dlhom delení. Navyše, najpohodlnejšie a rýchlo Technika rozkladu je založená práve na Hornerovej schéme. Aby sme dieťaťu vysvetlili, odkiaľ pochádza, stačí vysledovať výskyt vyšších koeficientov v zelených zvyškoch na príklade delenia rohom. Je zrejmé, že najvyšší koeficient počiatočného polynómu sa zbúra na koeficient prvého „červeného monomizmu“ a ďalej od druhého koeficientu súčasného horného polynómu. odpočítané výsledok vynásobenia súčasného koeficientu "červeného monomiálu" koeficientom . Preto môžete pridať výsledok násobenia . Po zameraní pozornosti študenta na špecifiká akcií s koeficientmi môže učiteľ matematiky ukázať, ako sa tieto akcie zvyčajne vykonávajú, bez toho, aby zapisoval samotné premenné. Na tento účel je vhodné zadať koreň a koeficienty pôvodného polynómu v poradí priority do nasledujúcej tabuľky:



Ak v polynóme chýba niektorý stupeň, tak sa do tabuľky násilne zapíše jeho nulový koeficient. Koeficienty „červených polynómov“ sa striedavo zadávajú do spodného riadku podľa pravidla „háčika“:


Odmocnina sa vynásobí posledným zbúraným „červeným koeficientom“, pripočíta sa k ďalšiemu koeficientu horného riadku a výsledok sa zloží na spodný riadok. V poslednom stĺpci zaručene dostaneme najvyšší koeficient posledného „zeleného zostatku“, teda nulu. Po dokončení procesu čísla vložené medzi zhodný koreň a nulový zvyšok sa ukážu ako koeficienty druhého (nelineárneho) faktora.



Pretože koreň a dáva na konci spodného riadku nulu, potom Hornerovu schému možno použiť na kontrolu čísel pre poradie koreňa polynómu. Ak špeciálna veta o výbere racionálneho koreňa. Všetci s jeho pomocou získaní kandidáti na tento titul sa jednoducho postupne zľava vkladajú do Hornerovej schémy. Akonáhle dostaneme nulu, testované číslo bude koreňom a zároveň dostaneme koeficienty rozšírenia pôvodného polynómu na faktory. Veľmi pohodlne.

Na záver by som rád poznamenal, že pre presné zavedenie Hornerovej schémy, ako aj pre praktické upevnenie témy, musí mať tútor matematiky k dispozícii dostatočný počet hodín. Tútor pracujúci v režime „raz za týždeň“ by sa nemal zaoberať delením rohu. Na Jednotnej štátnej skúške z matematiky a na GIA z matematiky je nepravdepodobné, že v prvej časti bude niekedy takto vyriešená rovnica tretieho stupňa. Ak učiteľ pripraví dieťa na skúšku z matematiky na Moskovskej štátnej univerzite, štúdium témy sa stáva povinným. Vysokoškolskí učitelia veľmi radi, na rozdiel od zostavovateľov Jednotnej štátnej skúšky, preverujú hĺbku vedomostí uchádzača.

Kolpakov Alexander Nikolaevič, učiteľ matematiky Moskva, Strogino

Druhový polynóm
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
možno znásobiť podľa Hornerovej schémy, ak je známy aspoň 1 jeho koreň.

Analyzujme rozdelenie podľa Hornerovej schémy na príklade:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10

Najprv musíte použiť metódu výberu na nájdenie jedného koreňa. Zvyčajne je to deliteľ voľného termínu. V tomto prípade deliteľmi čísla -10 sú ±1, ±2, ±5, ±10. Začnime ich postupne nahrádzať:

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ číslo 1

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ číslo -1 je koreňom polynómu

Našli sme 1 z koreňov polynómu. Koreňom polynómu je -1, čo znamená, že pôvodný polynóm musí byť deliteľný x+1. Na delenie polynómov používame Hornerovu schému:

	2	9	-10	-27	-10
-1

Horný riadok obsahuje koeficienty pôvodného polynómu. Do prvej bunky druhého riadku vložíme koreň, ktorý sme našli -1. Druhý riadok obsahuje koeficienty polynómu, ktoré získame ako výsledok delenia. Počítajú sa takto:

2 9 -10 -27 -10 -1 2	Do druhej bunky druhého riadku napíšte číslo 2, jednoducho presunutím z príslušnej bunky prvého riadku.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7	-1 ∙ 2 + 9 = 7
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17	-1 ∙ 7 - 10 = -17
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10	-1 ∙ (-17) - 27 = -10
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0	-1 ∙ (-10) - 10 = 0

Posledné číslo je zvyšok delenia. Ak sa rovná 0, tak sme všetko spočítali správne.

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1) (2x 3 + 7x 2 - 17x - 10)

To však nie je koniec. Rovnakým spôsobom sa môžete pokúsiť rozšíriť polynóm 2x 3 + 7x 2 - 17x - 10.

Opäť hľadáme koreň medzi deliteľmi voľného termínu. Ako sme už zistili, deliče čísla -10 sú ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ číslo 1 nie je koreňom polynómu

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ číslo -1 nie je koreňom polynómu

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ číslo 2 je koreňom polynómu

Nájdený koreň zapíšeme do našej Hornerovej schémy a začneme vypĺňať prázdne bunky:

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2	Do druhej bunky tretieho riadku napíšte číslo 2, jednoducho presunutím z príslušnej bunky druhého riadku.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11	2 ∙ 2 + 7 = 11
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5	2 ∙ 11 - 17 = 5
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0	2 ∙ 5 - 10 = 0

Pôvodný polynóm sme teda zohľadnili:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1) (x - 2) (2x 2 + 11x + 5)

Polynóm 2x2+11x+5 možno aj faktorizovať. Ak to chcete urobiť, môžete vyriešiť kvadratickú rovnicu cez diskriminant alebo môžete hľadať koreň medzi deliteľmi čísla 5. Tak či onak prídeme na to, že koreňom tohto polynómu je číslo -5

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2	Do druhej bunky štvrtého riadku napíšte číslo 2, jednoducho prenesením z príslušnej bunky tretieho riadku.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1	-5 ∙ 2 + 11 = 1
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1 0	-5 ∙ 1 + 5 = 0

Pôvodný polynóm sme teda rozložili na lineárne faktory.