teoretický materiál. Čo sú extrémy funkcie: kritické body maxima a minima Extrémy maxima a minima funkcie
význam
Najväčší
význam
Najmenej
Maximálny bod
Nízky bod
Úlohy hľadania extrémnych bodov funkcie sa riešia podľa štandardnej schémy v 3 krokoch.
Krok 1. Nájdite deriváciu funkcie
- Zapamätajte si vzorce pre deriváciu elementárnych funkcií a základné pravidlá diferenciácie, aby ste našli deriváciu.
y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.
Krok 2. Nájdite nuly derivácie
- Vyriešte výslednú rovnicu a nájdite nuly derivácie.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
Krok 3. Nájdite extrémne body
- Na určenie znamienka derivácie použite metódu medzier;
- V minimálnom bode je derivácia nula a mení znamienko z mínus na plus a v maximálnom bode z plus na mínus.
Aplikujme tento prístup na vyriešenie nasledujúceho problému:
Nájdite maximálny bod funkcie y=x3−243x+19.
1) Nájdite deriváciu: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) Riešte rovnicu y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) Derivácia je kladná pre x>9 a x<−9 и отрицательная при −9 Ako nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie Vyriešiť problém hľadania najväčších a najmenších hodnôt funkcie nevyhnutné: Pomáha pri mnohých úlohách teorém: Ak je na segmente iba jeden extrémny bod, a to je minimálny bod, potom sa v ňom dosiahne najmenšia hodnota funkcie. Ak je toto maximálny bod, potom sa v ňom dosiahne maximálna hodnota. 14. Pojem a základné vlastnosti neurčitého integrálu. Ak je funkcia f(X X, A k- teda číslo Stručne povedané: konštanta môže byť vyňatá zo znamienka integrálu. Ak funkcie f(X) A g(X) majú primitívne deriváty na intervale X, To Stručne povedané: integrál súčtu sa rovná súčtu integrálov. Ak je funkcia f(X) má priradený prvok na intervale X, potom pre vnútorné body tohto intervalu: Stručne povedané: derivácia integrálu sa rovná integrandu. Ak je funkcia f(X) je na intervale spojitá X a je diferencovateľný vo vnútorných bodoch tohto intervalu, potom: Stručne povedané: integrál diferenciálu funkcie sa rovná tejto funkcii plus integračná konštanta. Uveďme prísnu matematickú definíciu pojmy neurčitého integrálu. Laskavý výraz je tzv integrál funkcie f(x)
, Kde f(x)
- integrandová funkcia, ktorá je daná (známa), dx
- diferenciál X
, pričom symbol je vždy prítomný dx
. Definícia. Neurčitý integrál nazývaná funkcia F(x) + C
, obsahujúci ľubovoľnú konštantu C
, ktorého diferenciál sa rovná integrand výraz f(x)dx
, t.j. Pripomeň si, že - funkčný diferenciál a je definovaný takto: Hľadanie problému neurčitý integrál je nájsť funkciu derivát ktorý sa rovná integrandu. Táto funkcia je určená až do konštanty, pretože derivácia konštanty je nula. Napríklad je známe, že , potom sa ukáže, že Hľadanie úlohy neurčitý integrál z funkcií nie je také jednoduché a ľahké, ako sa na prvý pohľad zdá. V mnohých prípadoch musí existovať zručnosť pri práci s neurčité integrály, mala by to byť skúsenosť, ktorá prichádza s praxou a neustála riešenie príkladov na neurčité integrály. Stojí za to zvážiť skutočnosť, že neurčité integrály z niektorých funkcií (je ich pomerne veľa) sa v elementárnych funkciách nepreberajú. 15. Tabuľka základných neurčitých integrálov. Základné vzorce 16. Určitý integrál ako limita integrálneho súčtu. Geometrický a fyzikálny význam integrálu. Nech je funkcia y=ƒ(x) definovaná na segmente [a; b] a< b. Выполним следующие действия. 1. Pomocou bodov x 0 \u003d a, x 1, x 2, ..., x n \u003d B (x 0 2. V každom parciálnom segmente i = 1,2,...,n zvolíme ľubovoľný bod s i є a vypočítame hodnotu funkcie v ňom, t. j. hodnotu ƒ(s i). 3. Nájdenú hodnotu funkcie ƒ (z i) vynásobte dĺžkou ∆x i =x i -x i-1 príslušného čiastkového segmentu: ƒ (z i) ∆х i. 4. Zostavte súčet S n všetkých takýchto súčinov: Súčet tvaru (35.1) sa nazýva integrálny súčet funkcie y \u003d ƒ (x) na segmente [a; b]. Označme λ dĺžku najväčšieho čiastkového úseku: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. Nájdite limitu integrálneho súčtu (35.1) ako n → ∞ tak, aby λ→0. Ak má navyše integrálny súčet S n limitu I, ktorá nezávisí od spôsobu rozdelenia segmentu [a; b] na čiastkové úsečky, alebo z výberu bodov v nich, potom číslo I nazývame určitým integrálom funkcie y = ƒ(x) na úsečke [a; b] a označuje sa takto, Čísla a a b sa nazývajú dolná a horná hranica integrácie, ƒ(x) - integrand, ƒ(x) dx - integrand, x - integračná premenná, segment [a; b] - oblasť (segment) integrácie. Funkcia y \u003d ƒ (x), pre ktorú na segmente [a; b] na tomto intervale existuje určitý integrál nazývaný integrovateľný. Sformulujme teraz existenčnú vetu pre určitý integrál. Veta 35.1 (Cauchy). Ak je funkcia y = ƒ(x) spojitá na segmente [a; b], potom určitý integrál Všimnite si, že kontinuita funkcie je dostatočnou podmienkou pre jej integrovateľnosť. Určitý integrál však môže existovať aj pre niektoré nespojité funkcie, najmä pre akúkoľvek funkciu, ktorá je ohraničená intervalom a má na sebe konečný počet bodov nespojitosti. Uveďme niektoré vlastnosti určitého integrálu, ktoré vyplývajú priamo z jeho definície (35.2). 1. Určitý integrál je nezávislý od zápisu integračnej premennej: Vyplýva to zo skutočnosti, že integrálny súčet (35.1) a následne jeho limita (35.2) nezávisia od toho, aké písmeno označuje argument tejto funkcie. 2. Určitý integrál s rovnakými hranicami integrácie sa rovná nule: 3. Pre ľubovoľné reálne číslo c. 17. Newtonov-Leibnizov vzorec. Základné vlastnosti určitého integrálu. Nechajte funkciu y = f(x) kontinuálne na segmente
A F(x) je teda jedným z primitívnych prvkov funkcie na tomto segmente Newtonov-Leibnizov vzorec: Newtonov-Leibnizov vzorec je tzv základný vzorec integrálneho počtu. Na dôkaz Newtonovho-Leibnizovho vzorca potrebujeme pojem integrálu s premenlivou hornou hranicou. Ak je funkcia y = f(x) kontinuálne na segmente
, potom je integrál tvaru pre argument funkciou hornej hranice. Túto funkciu označujeme V skutočnosti napíšme prírastok funkcie zodpovedajúci prírastku argumentu a použijeme piatu vlastnosť určitého integrálu a dôsledok desiatej vlastnosti: Prepíšme túto rovnosť do formulára Vypočítať F(a) pomocou prvej vlastnosti určitého integrálu: Prírastok funkcie sa zvyčajne označuje ako Na aplikáciu Newtonovho-Leibnizovho vzorca nám stačí poznať jeden z primitívnych derivátov y=F(x) integrand y=f(x) na segmente
a vypočítajte prírastok tohto primitívneho derivátu na tomto segmente. V článku sú integračné metódy analyzované hlavné spôsoby hľadania primitívneho derivátu. Na objasnenie uveďme niekoľko príkladov výpočtu určitých integrálov pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca. Príklad. Vypočítajte hodnotu určitého integrálu pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca. Riešenie. Najprv si všimnite, že integrand je na intervale spojitý
, teda je naň integrovateľný. (O integrovateľných funkciách sme hovorili v časti o funkciách, pre ktoré existuje určitý integrál). Z tabuľky neurčitých integrálov je možné vidieť, že pre funkciu je množina priradení pre všetky reálne hodnoty argumentu (teda pre ) zapísaná ako Teraz zostáva použiť vzorec Newton-Leibniz na výpočet určitého integrálu: 18. Geometrické aplikácie určitého integrálu. GEOMETRICKÉ APLIKÁCIE URČITÉHO INTEGRÁLU Výpočet objemu tela Výpočet objemu tela zo známych oblastí paralelných rezov: Objem rotačného telesa: ; . Príklad 1. Nájdite oblasť postavy ohraničenú krivkou y=sinx, rovné čiary Riešenie: Nájdenie oblasti obrázku: Príklad 2. Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami Riešenie: Nájdite úsečky priesečníkov grafov týchto funkcií. Aby sme to dosiahli, riešime sústavu rovníc Odtiaľto nájdeme x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2.5. 19. Koncepcia diferenciálneho riadenia. Diferenciálne rovnice prvého rádu. Diferenciálnej rovnice- rovnica, ktorá spája hodnotu derivácie funkcie so samotnou funkciou, hodnotami nezávislej premennej, číslami (parametrami). Poradie derivácií zahrnutých v rovnici môže byť rôzne (formálne nie je ničím obmedzené). Deriváty, funkcie, nezávislé premenné a parametre môžu byť zahrnuté v rovnici v rôznych kombináciách, alebo všetky, okrem aspoň jednej, môžu úplne chýbať. Žiadna rovnica obsahujúca derivácie neznámej funkcie nie je diferenciálnou rovnicou. Napríklad, Parciálne diferenciálne rovnice(URCHP) sú rovnice obsahujúce neznáme funkcie viacerých premenných a ich parciálne derivácie. Všeobecná forma takýchto rovníc môže byť reprezentovaná ako: kde sú nezávislé premenné a je funkciou týchto premenných. Poradie parciálnych diferenciálnych rovníc možno určiť rovnakým spôsobom ako pre obyčajné diferenciálne rovnice. Ďalšou dôležitou klasifikáciou parciálnych diferenciálnych rovníc je ich rozdelenie na rovnice eliptického, parabolického a hyperbolického typu, najmä pre rovnice druhého rádu. Obidve bežné diferenciálne rovnice a parciálne diferenciálne rovnice možno rozdeliť na lineárne A nelineárne. Diferenciálna rovnica je lineárna, ak neznáma funkcia a jej derivácie vstupujú do rovnice iba s prvou mocninou (a navzájom sa nenásobia). Pre takéto rovnice riešenia tvoria afinný podpriestor priestoru funkcií. Teória lineárnych diferenciálnych rovníc bola rozvinutá oveľa hlbšie ako teória nelineárnych rovníc. Všeobecný tvar lineárnej diferenciálnej rovnice n- poradie: Kde pi(X) sú známe funkcie nezávislej premennej, nazývané koeficienty rovnice. Funkcia r(X) na pravej strane je tzv voľný člen(jediný výraz, ktorý nezávisí od neznámej funkcie) Dôležitou osobitnou triedou lineárnych rovníc sú lineárne diferenciálne rovnice s konštantné koeficienty. Podtriedou lineárnych rovníc sú homogénne diferenciálne rovnice - rovnice, ktoré neobsahujú voľný člen: r(X) = 0. Pre homogénne diferenciálne rovnice platí princíp superpozície: jej riešením bude aj lineárna kombinácia partikulárnych riešení takejto rovnice. Všetky ostatné lineárne diferenciálne rovnice sú tzv heterogénne diferenciálne rovnice. Nelineárne diferenciálne rovnice vo všeobecnom prípade nemajú vyvinuté metódy riešenia, s výnimkou niektorých konkrétnych tried. V niektorých prípadoch (s použitím určitých aproximácií) môžu byť redukované na lineárne. Napríklad lineárna rovnica harmonického oscilátora · je homogénna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Riešením je rodina funkcií , kde a sú ľubovoľné konštanty, ktoré sú pre konkrétne riešenie určené zo samostatne zadaných počiatočných podmienok. Táto rovnica popisuje najmä pohyb harmonického oscilátora s cyklickou frekvenciou 3. · Druhý Newtonov zákon možno zapísať vo forme diferenciálnej rovnice kde m- telesná hmotnosť, X- jeho súradnice, F(X, t) je sila pôsobiaca na teleso so súradnicou X v tom čase t. Jeho riešením je dráha telesa pri pôsobení zadanej sily. · Besselova diferenciálna rovnica je obyčajná lineárna homogénna rovnica druhého rádu s premenlivými koeficientmi: Jej riešeniami sú Besselove funkcie. Príklad nehomogénnej nelineárnej obyčajnej diferenciálnej rovnice 1. rádu: V nasledujúcej skupine príkladov neznáma funkcia u závisí od dvoch premenných X A t alebo X A r. Homogénna lineárna parciálna diferenciálna rovnica prvého rádu: Jednorozmerná vlnová rovnica - homogénna lineárna rovnica v parciálnych deriváciách hyperbolického typu druhého rádu s konštantnými koeficientmi, popisuje kmitanie struny, ak - odchýlka struny v bode so súradnicou X v tom čase t a parameter a nastavuje vlastnosti reťazca: Laplaceova rovnica v dvojrozmernom priestore je homogénna lineárna parciálna diferenciálna rovnica druhého rádu eliptického typu s konštantnými koeficientmi, ktorá vzniká v mnohých fyzikálnych problémoch mechaniky, vedenia tepla, elektrostatiky, hydrauliky: Korteweg-de Vriesova rovnica, nelineárna parciálna diferenciálna rovnica tretieho rádu popisujúca stacionárne nelineárne vlny vrátane solitónov: 20. Diferenciálne rovnice so separovateľnou použiteľnosťou. Lineárne rovnice a Bernoulliho metóda. Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica, ktorá je lineárna vzhľadom na neznámu funkciu a jej deriváciu. Má tvar celočíselného stupňa. Ak totiž nájdeme a dosadíme do rovníc uvažovaných typov, dostaneme správnu rovnosť. Ako je uvedené v článku o homogénne rovnice, ak sa podľa podmienky vyžaduje nájsť iba konkrétne riešenie, potom nám funkcia zo zrejmých dôvodov nevadí, ale keď sa vyžaduje nájsť všeobecné riešenie / integrál, potom je potrebné zabezpečiť, aby táto funkcia bola nie stratené! Priniesol som všetky obľúbené odrody Bernoulliho rovnice vo veľkej taške s darčekmi a pokračoval som v distribúcii. Zaveste si ponožky pod stromček. Príklad 1 Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke. Pravdepodobne boli mnohí prekvapení, že prvý darček bol okamžite vytiahnutý z tašky spolu s Cauchy problém. Toto nie je nehoda. Keď sa na riešenie navrhuje Bernoulliho rovnica, z nejakého dôvodu je často potrebné nájsť konkrétne riešenie. Vo svojej zbierke som vykonal náhodnú vzorku 10 Bernoulliho rovníc a všeobecné riešenie (bez konkrétneho riešenia) je potrebné nájsť iba v 2 rovniciach. Ale v skutočnosti je to maličkosť, pretože v každom prípade bude potrebné hľadať všeobecné riešenie. Riešenie: Tento difúr má tvar , a preto ide o Bernoulliho rovnicu Funkcia a štúdium jej vlastností je jednou z kľúčových kapitol modernej matematiky. Hlavnou súčasťou každej funkcie sú grafy zobrazujúce nielen jej vlastnosti, ale aj parametre derivácie tejto funkcie. Poďme sa pozrieť na túto ošemetnú tému. Aký je teda najlepší spôsob, ako nájsť maximálny a minimálny bod funkcie? Každá premenná, ktorá nejakým spôsobom závisí od hodnôt inej veličiny, sa môže nazývať funkciou. Napríklad funkcia f(x 2) je kvadratická a určuje hodnoty pre celú množinu x. Povedzme, že x = 9, potom sa hodnota našej funkcie bude rovnať 9 2 = 81. Funkcie prichádzajú v rôznych typoch: logické, vektorové, logaritmické, trigonometrické, numerické a iné. Do ich štúdia sa zapojili také vynikajúce mysle ako Lacroix, Lagrange, Leibniz a Bernoulli. Ich spisy slúžia ako opora v moderných spôsoboch štúdia funkcií. Pred nájdením minimálneho počtu bodov je veľmi dôležité pochopiť samotný význam funkcie a jej derivácie. Všetky funkcie sú závislé na svojich premenných, čo znamená, že svoju hodnotu môžu kedykoľvek zmeniť. Na grafe to bude znázornené ako krivka, ktorá buď klesá alebo stúpa pozdĺž osi y (toto je celá množina čísel "y" pozdĺž vertikály grafu). A tak s týmito „osciláciami“ súvisí práve definícia bodu maxima a minima funkcie. Vysvetlíme si, aký je tento vzťah. Derivácia ľubovoľnej funkcie sa nakreslí do grafu, aby sa študovali jej hlavné charakteristiky a vypočítalo sa, ako rýchlo sa funkcia mení (tj mení svoju hodnotu v závislosti od premennej "x"). V momente, keď sa funkcia zväčší, zväčší sa aj graf jej derivácie, ale každú sekundu sa funkcia môže začať zmenšovať a potom sa graf derivácie zmenší. Tie body, pri ktorých derivácia prechádza z mínusu do plusu, sa nazývajú minimálne body. Aby ste vedeli, ako nájsť minimálny počet bodov, mali by ste tomu lepšie rozumieť Z definície a funkcií vyplýva niekoľko pojmov z roku Vo všeobecnosti možno samotnú definíciu derivácie vyjadriť takto: ide o hodnotu, ktorá ukazuje rýchlosť zmeny funkcie. Matematický spôsob jeho definovania sa pre mnohých študentov zdá komplikovaný, no v skutočnosti je všetko oveľa jednoduchšie. Je len potrebné postupovať podľa štandardného plánu na nájdenie derivácie ľubovoľnej funkcie. Nasledujúci text popisuje, ako môžete nájsť minimálny bod funkcie bez použitia pravidiel diferenciácie a bez zapamätania si tabuľky derivácií. V školských osnovách matematiky je možné nájsť minimálny bod funkcie dvoma spôsobmi. Prvú metódu sme už analyzovali pomocou grafu, ale ako určiť číselnú hodnotu derivácie? Aby ste to dosiahli, budete sa musieť naučiť niekoľko vzorcov, ktoré popisujú vlastnosti derivácie a pomáhajú konvertovať premenné ako „x“ na čísla. Nasledujúca metóda je univerzálna, takže ju možno použiť na takmer všetky druhy funkcií (geometrických aj logaritmických). Najzákladnejšou zložkou pri štúdiu funkcie a jej derivácie je znalosť pravidiel diferenciácie. Len s ich pomocou je možné transformovať ťažkopádne výrazy a veľké zložité funkcie. Poďme sa s nimi zoznámiť, je ich veľa, ale všetky sú veľmi jednoduché vďaka pravidelným vlastnostiam mocninných aj logaritmických funkcií. Už sme diskutovali o tom, ako nájsť minimum bodov, existuje však koncept maximálnych bodov funkcie. Ak minimum označuje tie body, v ktorých funkcia prechádza z mínusu do plusu, potom maximálne body sú tie body na osi x, v ktorých sa derivácia funkcie mení z plusu na opačný – mínus. Môžete to nájsť pomocou vyššie opísanej metódy, len je potrebné vziať do úvahy, že označujú tie oblasti, kde funkcia začína klesať, to znamená, že derivácia bude menšia ako nula. V matematike je zvykom zovšeobecňovať oba pojmy a nahrádzať ich slovným spojením „body extrémov“. Keď úloha požaduje určiť tieto body, znamená to, že je potrebné vypočítať deriváciu tejto funkcie a nájsť minimum a maximum bodov. Najväčšia hodnota funkcie Najmenšia hodnota funkcie Ako povedal krstný otec: "Nič osobné." Len deriváty! Úloha 12 v štatistike sa považuje za dosť ťažkú a to všetko preto, že chlapci nečítali tento článok (vtip). Vo väčšine prípadov je na vine neopatrnosť. 12 úloh je dvoch typov: Úlohy so skúškou: Nájdite maximálny bod funkcie Nájdite minimálny bod funkcie Úlohy so skúškou: Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie na intervale [−4; −1] Odpoveď: -6 Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie na segmente odpoveď: 11 Závery: Veta.
(nevyhnutná podmienka pre existenciu extrému) Ak je funkcia f (x) diferencovateľná v bode x \u003d x 1 a bod x 1 je extrémny bod, potom derivácia funkcie v tomto bode zaniká. Dôkaz.
Predpokladajme, že funkcia f(x) má maximum v bode x = x 1. Potom pre dostatočne malé kladné Dх>0 platí nasledujúca nerovnosť: A-priorita: Tie. ak Dх®0, ale Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, potom f¢(x 1) £ 0. A to je možné len vtedy, ak pri Dх®0 f¢(x 1) = 0. Pre prípad, že funkcia f(x) má minimum v bode x 2, je veta dokázaná podobne. Veta bola dokázaná. Dôsledok.
Opak nie je pravdou. Ak sa derivácia funkcie v určitom bode rovná nule, potom to neznamená, že funkcia má v tomto bode extrém. Výrečným príkladom je funkcia y \u003d x 3, ktorej derivácia v bode x \u003d 0 sa rovná nule, ale v tomto bode má funkcia iba inflexiu a nie maximum alebo minimum. Definícia. kritických bodov Funkcie sú body, v ktorých derivácia funkcie neexistuje alebo sa rovná nule. Vyššie uvedená veta nám dáva potrebné podmienky na existenciu extrému, ale to nestačí. Príklad: f(x) = ôxô Príklad: f(x) = V bode x = 0 má funkcia minimum, ale v bode x = 0 funkcia nemá ani jedno nemá derivát. maximum, žiadne minimum, nie Všeobecne povedané, funkcia f(x) môže mať extrém v bodoch, kde derivácia neexistuje alebo sa rovná nule. Veta.
(Dostatočné podmienky pre existenciu extrému) Nech je funkcia f(x) spojitá v intervale (a, b), ktorý obsahuje kritický bod x 1 , a je diferencovateľná vo všetkých bodoch tohto intervalu (snáď okrem samotného bodu x 1). Ak pri prechode bodom x 1 zľava doprava derivácia funkcie f¢(x) zmení znamienko z „+“ na „-“, potom v bode x = x 1 má funkcia f(x) maximum a ak derivácia zmení znamienko z „- “ na „+“ - potom má funkcia minimum. Dôkaz.
Nechaj Podľa Lagrangeovej vety: f(x) - f(x 1) = f¢(e)(x - x 1), kde x< e < x 1 . Potom: 1) Ak x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). 2) Ak x > x 1, potom e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). Keďže odpovede sú rovnaké, môžeme povedať, že f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума. Dôkaz vety pre bod minima je podobný. Veta bola dokázaná. Na základe vyššie uvedeného je možné vyvinúť jednotný postup na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie na segmente: 1) Nájdite kritické body funkcie. 2) Nájdite hodnoty funkcie v kritických bodoch. 3) Nájdite hodnoty funkcie na koncoch segmentu. 4) Vyberte zo získaných hodnôt najväčšiu a najmenšiu. Skúmanie funkcie do extrému pomocou deriváty vyšších rádov. Nech f¢(x 1) = 0 v bode x = x 1 a nech f¢¢(x 1) existuje a je spojité v niektorom okolí bodu x 1 . Veta.
Ak f¢(x 1) = 0, potom funkcia f(x) v bode x = x 1 má maximum, ak f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
Dôkaz.
Nech f¢(x 1) = 0 a f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 . Pretože f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 na x Pre prípad minima funkcie je veta dokázaná podobne. Ak f¢¢(x) = 0, potom povaha kritického bodu nie je známa. Na jeho určenie je potrebný ďalší výskum. Konvexnosť a konkávnosť krivky. Inflexné body. Definícia.
Krivka je konvexná hore na intervale (a, b), ak všetky jeho body ležia pod niektorou z jeho dotyčníc na tomto intervale. Krivka s konvexným bodom nahor sa nazýva konvexné a krivka konvexná smerom nadol sa nazýva konkávne. Obrázok znázorňuje ilustráciu vyššie uvedenej definície. Veta 1.
Ak je vo všetkých bodoch intervalu (a, b) druhá derivácia funkcie f(x) záporná, potom krivka y = f(x) je konvexná nahor (konvexná). Dôkaz.
Nech x 0 О (a, b). V tomto bode nakreslite dotyčnicu ku krivke. Rovnica krivky: y = f(x); Tangentová rovnica: To sa musí dokázať. Podľa Lagrangeovej vety pre f(x) – f(x 0): , x 0< c < x. Podľa Lagrangeovej vety pre Nech x > x 0, potom x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 a c - x 0 > 0 a navyše podľa podmienok Preto, . Nech x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то Podobne sa dá dokázať, že ak f¢¢(x) > 0 na intervale (a, b), potom krivka y=f(x) je na intervale (a, b) konkávna. Veta bola dokázaná. Definícia.
Bod oddeľujúci konvexnú časť krivky od konkávnej časti sa nazýva inflexný bod. Je zrejmé, že v inflexnom bode dotyčnica pretína krivku. Veta 2.
Nech je krivka definovaná rovnicou y = f(x). Ak druhá derivácia f¢¢(a) = 0 alebo f¢¢(a) neexistuje a pri prechode bodom x = a f¢¢(x) sa zmení znamienko, potom bod krivky s os x = a je inflexný bod. Dôkaz.
1) Nech f¢¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 pre x > a. Potom o X< a кривая выпукла, а при x >krivka je konkávna, t.j. bod x = a je inflexný bod. 2) Nech f¢¢(x) > 0 pre x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >b - vydutie. Potom x = b je inflexný bod. Veta bola dokázaná. Asymptoty. Pri štúdiu funkcií sa často stáva, že keď sa x-ová súradnica bodu krivky odoberie do nekonečna, krivka sa neurčito približuje k určitej priamke. Definícia.
Priamy hovor asymptota krivka, ak má vzdialenosť od premenlivého bodu krivky k tejto priamke tendenciu k nule, keď je bod vzdialený do nekonečna. Treba poznamenať, že nie každá krivka má asymptotu. Asymptoty môžu byť priame alebo šikmé. Štúdium funkcií na prítomnosť asymptot má veľký význam a umožňuje presnejšie určiť povahu funkcie a správanie krivkového grafu. Všeobecne povedané, krivka, ktorá sa neurčito približuje k svojej asymptote, ju môže pretínať, a nie v jednom bode, ako je znázornené na grafe funkcie nižšie Pozrime sa podrobnejšie na metódy hľadania asymptot kriviek. Vertikálne asymptoty. Z definície asymptoty vyplýva, že ak alebo alebo , potom priamka x = a je asymptotou krivky y = f(x). Napríklad pre funkciu je priamka x = 5 vertikálna asymptota. Šikmé asymptoty. Predpokladajme, že krivka y = f(x) má šikmú asymptotu y = kx + b. Označme priesečník krivky a kolmice k asymptote - M, P - priesečník tejto kolmice s asymptotou. Uhol medzi asymptotou a osou x budeme označovať j. Kolmica MQ na os x pretína asymptotu v bode N. Potom MQ = y je ordináta bodu krivky, NQ = je ordináta bodu N na asymptote. Podľa podmienky: , РNMP = j, . Uhol j je teda konštantný a nerovná sa 90 0 Potom Čiara y = kx + b je asymptota krivky. Na presné určenie tejto čiary je potrebné nájsť spôsob výpočtu koeficientov k a b. Vo výslednom výraze vyberieme x zo zátvoriek: Pretože x®¥ teda Potom Pretože Všimnite si, že horizontálne asymptoty sú špeciálnym prípadom šikmých asymptot pre k =0. Príklad. 1) Vertikálne asymptoty: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, teda x = 0 je vertikálna asymptota. 2) Šikmé asymptoty: Priamka y = x + 2 je teda šikmá asymptota. Nakreslíme funkciu: Príklad. Nájdite asymptoty a nakreslite graf funkcie. Čiary x=3 a x=-3 sú zvislé asymptoty krivky. Nájdite šikmé asymptoty: y = 0 je horizontálna asymptota. Príklad. Nájdite asymptoty a nakreslite graf funkcie Priamka x = -2 je vertikálna asymptota krivky. Nájdite šikmé asymptoty. Celkovo je priamka y = x - 4 šikmá asymptota. Funkčná študijná schéma Proces skúmania funkcie pozostáva z niekoľkých etáp. Pre čo najúplnejšiu predstavu o správaní funkcie a povahe jej grafu je potrebné nájsť: 1) Rozsah funkcie. Tento koncept zahŕňa doménu hodnôt aj rozsah funkcie. 2) Body zlomu. (Ak sú k dispozícii). 3) Intervaly nárastu a poklesu. 4) Maximálne a minimálne body. 5) Maximálna a minimálna hodnota funkcie v jej definičnej oblasti. 6) Oblasti konvexnosti a konkávnosti. 7) Inflexné body (ak existujú). 8) Asymptoty (ak nejaké sú). 9) Zostavenie grafu. Použime túto schému na príklade. Príklad. Preskúmajte funkciu a nakreslite jej graf. Nájdite oblasť existencie funkcie. To je zrejmé doména definície funkcia je plocha (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Na druhej strane je možné vidieť, že čiary x = 1, x = -1 sú vertikálne asymptoty nepoctivý. Oblasť hodnoty tejto funkcie je interval (-¥; ¥). body zlomu funkcie sú body x=1, x=-1. nachádzame kritických bodov. Poďme nájsť deriváciu funkcie Kritické body: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1. Nájdite druhú deriváciu funkcie Určme konvexnosť a konkávnosť krivky v intervaloch. -¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < 0, y¢¢ >0, krivka konkávna 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ >0, krivka konkávna < x < ¥, y¢¢ >0, krivka konkávna Hľadanie medzier zvyšujúci sa A zostupne funkcie. Na to určíme znamienka derivácie funkcie na intervaloch. -¥ < x < - , y¢ >0, funkcia sa zvyšuje - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ >0, funkcia sa zvyšuje Je vidieť, že bod x = - je bod maximálne a bod x = je bod minimálne. Funkčné hodnoty v týchto bodoch sú -3/2 a 3/2. O vertikále asymptoty už bolo povedané vyššie. Teraz poďme nájsť šikmé asymptoty. Takže šikmá asymptotová rovnica je y = x. Poďme stavať harmonogram Vlastnosti: Funkcie viacerých premenných
Pri zvažovaní funkcií viacerých premenných sa obmedzíme na podrobný popis funkcií dvoch premenných, od r všetky získané výsledky budú platné pre funkcie ľubovoľného počtu premenných. Definícia: Ak je každej dvojici nezávislých čísel (x, y) z určitej množiny priradená jedna alebo viac hodnôt premennej z podľa nejakého pravidla, potom sa premenná z nazýva funkcia dvoch premenných. Definícia:
Ak dvojica čísel (x, y) zodpovedá jednej hodnote z, potom sa zavolá funkcia jednoznačné, a ak viac ako jeden, potom - nejednoznačný. Definícia: Rozsah definície funkcia z je množina párov (x, y), pre ktoré funkcia z existuje. Definícia: Susedský bod M 0 (x 0, y 0) polomeru r je súbor všetkých bodov (x, y), ktoré spĺňajú podmienku Definícia:
Volá sa číslo A limit funkcia f(x, y) ako bod M(x, y) smeruje k bodu M 0 (x 0, y 0), ak pre každé číslo e > 0 existuje také číslo r > 0, že pre ľubovoľný bod M (x, y), pre ktoré je podmienka podmienka je tiež pravdivá Zapíšte si: Definícia:
Nech bod M 0 (x 0, y 0) patrí do definičného oboru funkcie f(x, y). Potom sa zavolá funkcia z = f(x, y). nepretržitý v bode M 0 (x 0, y 0), ak navyše bod M(x, y) smeruje k bodu M 0 (x 0, y 0) ľubovoľným spôsobom. Ak podmienka (1) nie je splnená v žiadnom bode, potom sa volá tento bod bod zlomu funkcie f(x, y). Môže to byť v nasledujúcich prípadoch: 1) Funkcia z \u003d f (x, y) nie je definovaná v bode M 0 (x 0, y 0). 2) Neexistuje žiadny limit. 3) Táto limita existuje, ale nerovná sa f(x 0 , y 0). Nehnuteľnosť.
Ak je funkcia f(x, y, …) definovaná a spojitá v uzavretom a ohraničená oblasť D, potom sa v tejto oblasti nachádza aspoň jeden bod N(x 0 , y 0 , …) také, že nerovnosť f(x 0, y 0, ...) ³ f(x, y, ...) ako aj bod N 1 (x 01 , y 01 , ...), takže pre všetky ostatné body platí nerovnosť f(x 01, y 01, ...) £ f(x, y, ...) potom f(x 0, y 0, …) = M – najvyššia hodnota funkcie a f(x 01 , y 01 , ...) = m - najmenšia hodnota funkcie f(x, y, ...) v doméne D. Spojitá funkcia v uzavretej a ohraničenej oblasti D dosiahne aspoň raz svoju maximálnu hodnotu a raz minimálnu hodnotu. Nehnuteľnosť.
Ak je funkcia f(x, y, …) definovaná a spojitá v uzavretej ohraničenej oblasti D a M a m sú najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v tejto oblasti, potom pre ľubovoľný bod m О existuje je bod N° (x 0, yo, ...) tak, že f(x0, yo, ...) = m. Jednoducho povedané, spojitá funkcia preberá v doméne D všetky stredné hodnoty medzi M a m. Dôsledkom tejto vlastnosti môže byť záver, že ak čísla M a m majú rôzne znamienka, tak v obore D funkcia aspoň raz zanikne. Nehnuteľnosť.
Funkcia f(x, y, …), spojitá v uzavretej ohraničenej oblasti D, obmedzené v tejto oblasti, ak existuje také číslo K, že pre všetky body oblasti platí nerovnosť Nehnuteľnosť.
Ak je funkcia f(x, y, …) definovaná a spojitá v uzavretej ohraničenej oblasti D, potom je rovnomerne súvislé v tejto oblasti, t.j. pre každé kladné číslo e existuje také číslo D > 0, že pre ľubovoľné dva body (x 1 , y 1) a (x 2 , y 2) plochy nachádzajúcej sa vo vzdialenosti menšej ako D je nerovnosť Vyššie uvedené vlastnosti sú podobné vlastnostiam funkcií jednej premennej, ktoré sú spojité na intervale. Pozrite si Vlastnosti funkcií spojitých v intervale. Derivácie a diferenciály funkcií viac premenných. Definícia.
Nech je v nejakom obore daná funkcia z = f(x, y). Vezmite ľubovoľný bod M(x, y) a nastavte prírastok Dx na premennú x. Potom sa volá veličina D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y). čiastočný prírastok funkcie v x. Dá sa napísať Potom zavolal čiastočná derivácia funkcie z = f(x, y) v x. Označenie: Parciálna derivácia funkcie vzhľadom na y je definovaná podobne. geometrický zmysel parciálna derivácia (povedzme) je dotyčnica sklonu dotyčnice nakreslenej v bode N 0 (x 0, y 0, z 0) k rezu povrchu rovinou y \u003d y 0. Plný prírastok a plný diferenciál.
dotyková rovina Nech N a N 0 sú body daného povrchu. Nakreslíme priamku NN 0 . Rovina, ktorá prechádza bodom N 0 sa nazýva dotyková rovina k povrchu, ak uhol medzi sečnicou NN 0 a touto rovinou smeruje k nule, keď sa vzdialenosť NN 0 blíži k nule. Definícia. normálne k ploche v bode N 0 sa nazýva priamka prechádzajúca bodom N 0 kolmá na dotykovú rovinu k tejto ploche. V určitom bode má povrch buď iba jednu dotykovú rovinu, alebo ju nemá vôbec. Ak je plocha daná rovnicou z \u003d f (x, y), kde f (x, y) je funkcia diferencovateľná v bode M 0 (x 0, y 0), dotyková rovina v bode N 0 (x 0, y 0, ( x 0, y 0)) existuje a má rovnicu: Rovnica pre normálu k povrchu v tomto bode je: geometrický zmysel celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných f (x, y) v bode (x 0, y 0) je prírastok aplikácie (súradnice z) dotykovej roviny k povrchu pri prechode z bodu. (x 0, y 0) do bodu (x 0 + Dx, y 0 + Dy). Ako vidíte, geometrický význam totálneho diferenciálu funkcie dvoch premenných je priestorovou analógiou geometrického významu diferenciálu funkcie jednej premennej. Príklad. Nájdite rovnice dotykovej roviny a normály k povrchu v bode M(1, 1, 1). Rovnica dotykovej roviny: Normálna rovnica: Približné výpočty pomocou celkového diferenciálu.
Celkový diferenciál funkcie u je: Presná hodnota tohto výrazu je 1,049275225687319176. Parciálne deriváty vyšších rádov. Ak je funkcia f(x, y) definovaná v nejakej oblasti D, potom jej parciálne derivácie a budú tiež definované v tej istej oblasti alebo jej časti. Tieto deriváty budeme nazývať parciálne deriváty prvého rádu. Deriváty týchto funkcií budú parciálne deriváty druhého rádu. Pokračujúc v diferencovaní získaných rovníc získame parciálne derivácie vyšších rádov. Uvažujme funkciu y = f(x), ktorá sa uvažuje na intervale (a, b). Ak je možné určiť také b-okolie bodu x1 patriaceho do intervalu (a, b), aby pre všetky x (x1, b) bola splnená nerovnosť f(x1) > f(x), potom y1 = volá sa f1(x1). maximálna funkcia y = f(x) pozri obr. Maximum funkcie y = f(x) označíme max f(x). Ak je možné určiť 6-okolie bodu x2 patriaceho do intervalu (a, b) tak, že pre všetky x patrí do O(x2, 6), x sa nerovná x2, nerovnosť f(x2)< f(x)
, potom y2= f(x2) sa nazýva minimum funkcie y-f(x) (pozri obr.). Príklad nájdenia maxima nájdete v nasledujúcom videu Minimum funkcie y = f(x) označíme min f(x). Inými slovami, maximum alebo minimum funkcie y = f(x) volal jeho hodnota, ktorá je väčšia (menšia) ako všetky ostatné hodnoty namerané v bodoch dostatočne blízkych danej hodnote a odlišných od nej. Poznámka 1. Maximum funkcií, určená nerovnosťou sa nazýva prísne maximum; nestriktné maximum je definované nerovnosťou f(x1) > = f(x2) Poznámka 2. majú lokálny charakter (sú to najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v dostatočne malom okolí zodpovedajúceho bodu); jednotlivé minimá niektorej funkcie môžu byť väčšie ako maximá tej istej funkcie Maximum a minimum funkcie sa nazýva extrém.
. Extrémy vo vyhľadávaní pre funkcie vykresľovania latinčina extrém znamená "extrémny"
význam. Hodnota argumentu x, pri ktorej sa dosiahne extrém, sa nazýva bod extrému. Nevyhnutnú podmienku pre extrém vyjadruje nasledujúca veta. Veta. V bode extrému diferencovateľnej funkcie a jej derivácie sa rovná nule. Veta má jednoduchý geometrický význam: dotyčnica ku grafu diferencovateľnej funkcie v zodpovedajúcom bode je rovnobežná s osou x
alebo sa volá funkcia primitívna funkcia. Primitívna derivácia funkcie sa určuje až do konštantnej hodnoty.
, tu je ľubovoľná konštanta.
.
a táto funkcia je spojitá a rovnosť 
.
Kde .
. Ak si spomenieme na definíciu derivácie funkcie a prejdeme na limitu v , dostaneme . To znamená, že je jedným z primitívnych prvkov funkcie y = f(x) na segmente
. Teda množina všetkých primitív F(x) možno napísať ako 
, Kde S je ľubovoľná konštanta.
, teda, . Tento výsledok použijeme na výpočet F(b): , teda 
. Táto rovnosť dáva dokázateľný Newton-Leibnizov vzorec .
. Použitím tohto zápisu má Newtonov-Leibnizov vzorec formu 
.
. Zoberme si primitíva C=0: .
.Obdĺžnikové S.K. Funkcia definovaná parametricky Polyarnaya S.K.
Výpočet plochy rovinných postáv
Výpočet dĺžky oblúka rovinnej krivky
Výpočet plochy povrchu revolúcie
nie je diferenciálna rovnica.
možno považovať za aproximáciu nelineárnej rovnice matematického kyvadla 
pre prípad malých amplitúd, kedy r≈ hriech r.
, Funkcia: definícia
Derivát a jeho úloha
Ako vypočítať deriváciu?
Metódy skúmania funkcie
Pravidlá diferenciácie
extrémne body
Funkčné hodnoty a maximálne a minimálne body
Ako postupovať v týchto prípadoch? Nájsť vysoký/nízky bod
Správne, najprv sa funkcia zvyšuje, potom klesá - to je maximálny bod!
Odpoveď: -15 
odpoveď: -2 Nájdite najväčšiu / najmenšiu hodnotu funkcie
y y
pri
. Jeho šikmá asymptota y = x.
.
, pretože b = konšt 
.
, teda,
.
, To 
, teda,
.
.
.
.
(1)
.
.
Minimálna funkcia
V dôsledku toho sa volá maximum (minimum) funkcie miestne maximum(lokálne minimum) na rozdiel od absolútneho maxima (minimum) - najväčšia (najmenšia) hodnota v obore funkcie.
