Diferencovateľnosť funkcií. spojitosť diferencovateľnej funkcie

Domov / Hádka

Veta. Ak funkcia v určitom okamihu x = x 0 má (konecnú) deriváciu , To

1) prírastok funkcie môže byť reprezentovaný ako

alebo v skratke , Kde a je množstvo závislé od D X a inklinovať k nule spolu s tým, t.j. ;

2) funkcia je v tomto bode nevyhnutne spojitá.

Dôkaz. 1) Podľa definície derivátu, . Pomocou vety o reprezentácii funkcie, ktorá má limitu ako súčet tejto limity a infinitezimálnej limity, píšeme

, Kde .

Odtiaľ sa určuje D r, dospejeme k vzorcu (3.6).

2) Na dôkaz spojitosti funkcie uvažujme výraz (3.6). V D X®0 súčet na pravej strane (3.6) zmizne. teda , alebo , čo znamená, že funkcia v bode X 0 je spojitá.

Z dokázanej vety vyplýva, že funkcia, ktorá má v danom bode deriváciu, bude v tomto bode spojitá. Funkcia spojitá v danom bode však nie vždy má v tomto bode deriváciu. Áno, v tomto bode X 0 = 1 vlastnosť y=|X– 1| je spojitá, ale v tomto bode nemá žiadnu deriváciu. To znamená, že táto podmienka je len nevyhnutná.

Derivácia zloženej funkcie

Veta. Nech 1) funkcia v=j(X) má v určitom okamihu X derivácia , 2) funkcia y=f(v) má v príslušnom bode v derivácia Potom komplexná funkcia y = f(j(X)) v uvedenom bode X bude mať aj deriváciu rovnú súčinu derivačných funkcií f(v) A j(X): [f(j(X)) ]" = alebo kratšie

Dôkaz. Dajme si Xľubovoľný prírastok Δ X; nech Δ v je zodpovedajúci prírastok funkcie v=j(X) a nakoniec Δ pri– prírastok funkcie y=f(v) spôsobené prírastkom Δ v. Použime vzťah (3.6), ktorý nahradením X na v, prepíšte do formulára (a závisí od Δ v a inklinuje k nule s ním. Rozdelenie podľa výrazov na D X, dostaneme

Ak D X tendenciu k nule, potom podľa (3.6) (za predpokladu, že y = v), bude mať tendenciu k nule a Δ v a potom, ako vieme, Δ-závislý v rozsah a. Preto existuje limit

čo je požadovaný derivát.

teda derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie vonkajšej funkcie a derivácie vnútornej funkcie.

Prípad komplexnej funkcie získanej ako výsledok niekoľkých superpozícií je vyčerpaný postupnou aplikáciou pravidla (3.7). Ak teda y = f(u), u = j(v), v = y(X), To

Príklady. 1. Nechajte y= log a hriech X,inými slovami, y= log v, Kde v= hriech X. Podľa pravidla (3.7)

2. t.j. r = EÚ,u=v 2 , v= hriech X. Podľa pravidla (3.8)

1.7. Derivácia je exponenciálna– výkonová funkcia

Nechaj u = u(X) > 0 a v=v(X) sú funkcie, ktoré majú derivácie v pevnom bode X. Poďme nájsť deriváciu funkcie y = u v. Ak vezmeme logaritmus tejto rovnosti, dostaneme: ln y=v ln u.

Rozlišujme obe strany tejto rovnosti vzhľadom na X:

Odtiaľto, resp

Derivácia funkcie exponenciálnej mocniny teda pozostáva z dvoch členov: prvý člen získame, ak pri derivovaní predpokladáme, že A existuje funkcia od X, A v je konštanta (t.j u v ako mocenská funkcia); Druhý člen sa získa za predpokladu, že v existuje funkcia od X, A u = konšt(t.j. zvážiť u v ako exponenciálna funkcia).

Príklady. 1. Ak y = x tg x, teda za predpokladu u=x,v = tg x, podľa (3.9) máme

= tg x x tg x – 1 + x tg x ln X sek 2 X.

Technika použitá v tomto prípade na nájdenie derivácie a spočívajúca v prvom nájdení derivácie logaritmu uvažovanej funkcie sa široko používa pri diferenciácii funkcií: pri hľadaní derivácie funkcie sa tieto funkcie najprv logaritmizujú a potom sa z rovnosti získanej po derivácii logaritmu funkcie, určte derivačné funkcie. Takáto operácia je tzv logaritmická diferenciácia.

2. Je potrebné nájsť deriváciu funkcie

Logaritmovaním zistíme:

ln y= 2ln( x + 1) + ln( X– 1) – 3 ln( x + 4) – X.

Rozlišujeme obe časti poslednej rovnosti:

Násobenie podľa pri a nahrádzanie namiesto pri, dostaneme.

Funkcia y = f(x) volal diferencovateľné v určitom okamihu X 0, ak má v tomto bode určitú deriváciu, t.j. ak limita vzťahu existuje a je konečná.

Ak je funkcia diferencovateľná v každom bode niektorého segmentu [ A; b] alebo interval ( A; b), potom hovoria, že to diferencovateľné na segmente [ A; b] alebo v intervale ( A; b).

Platí nasledujúca veta, ktorá vytvára spojenie medzi diferencovateľnými a spojitými funkciami.

Veta. Ak je funkcia y = f(x) v určitom bode rozlíšiteľné x0, potom je v tomto bode spojitá.

Diferencovateľnosť funkcie teda znamená jej kontinuitu.

Dôkaz . Ak potom

kde α je nekonečne malá hodnota, t.j. množstvo inklinujúce k nule pri Δ X→0. Ale potom

Δ r=f "(x0) Δ X+αΔ X=> Δ r→0 pri Δ X→0, t.j. f(x) - f(x0)→0 o hod X→X 0 , čo znamená, že funkcia f(x) kontinuálne v bode X 0 Q.E.D.

V bodoch diskontinuity teda funkcia nemôže mať deriváciu. Opačné tvrdenie nie je pravdivé: existujú spojité funkcie, ktoré nie sú v niektorých bodoch diferencovateľné (to znamená, že v týchto bodoch nemajú deriváciu).

Zvážte body na obrázku a, b, c.

Na mieste a pri Δ X→0 vzťah nemá limitu (pretože jednostranné limity sú pre Δ iné X→0-0 a ∆ X→0+0). Na mieste A graf nemá definovanú dotyčnicu, ale existujú dve rôzne jednostranné dotyčnice so sklonmi Komu 1 a Komu 2. Tento typ bodu sa nazýva rohový bod.

Na mieste b pri Δ X→0 pomer má konštantné znamienko nekonečne veľkú hodnotu . Funkcia má nekonečnú deriváciu. V tomto bode má graf vertikálnu dotyčnicu. Typ bodu - "inflexný bod" s vertikálnou dotyčnicou.

Na mieste c jednostranné deriváty sú nekonečne veľké množstvá rôznych znakov. V tomto bode má graf dve zlúčené vertikálne dotyčnice. Typ - "hrot" s vertikálnou dotyčnicou - špeciálny prípad rohového bodu.

Príklady.

1. Zvážte funkciu y=|x|. Táto funkcia je v bode nepretržitá X= 0, pretože .

Ukážme, že v tomto bode nemá žiadnu deriváciu.

f(0+Δ X) = f(Δ X) = |Δ X|. Preto Δ r = f(Δ X) - f(0) = |Δ X|

Ale potom pre Δ X< 0 (т.е. при ΔX sklon k 0 zľava)

A na Δ X > 0

Teda pomer pri Δ X→ 0 vpravo a vľavo má rôzne limity, čo znamená, že vzťah nemá limitu, t.j. derivácia funkcie y=|x| v bode X= 0 neexistuje. Geometricky to znamená, že v bode X= 0 táto "krivka" nemá žiadnu konkrétnu dotyčnicu (v tomto bode sú dve).

2. Funkcia je definovaná a spojitá na celej reálnej čiare. Poďme zistiť, či táto funkcia má deriváciu at X= 0.

Preto uvažovaná funkcia nie je v tomto bode diferencovaná X= 0. Dotyčnica ku krivke v tomto bode zviera s osou x uhol p/2, t.j. sa zhoduje s osou Oj.

Deriváty elementárnych funkcií.

1.
y = x n. Ak n je kladné celé číslo, potom pomocou Newtonovho binomického vzorca:

(a + b) n = a n+ n a n-1 b + 1/2?n(n-1)a n-2? b 2 + 1/(2?3)?n(n - 1)(n - 2)a n-3 b 3 +…+ b n,

dá sa to dokázať

Ak teda X dostane prírastok Δ X, To f(x+Δ x) = (x + Δ x)n, a preto

Vzorce 3 a 5 sa osvedčia.

Ak je funkcia r = f(X) je v určitom bode rozlíšiteľné X = X 0, potom je v tomto bode spojitá.

V bodoch diskontinuity teda funkcia nemôže mať deriváciu. Opačný záver je nepravdivý, t.j. zo skutočnosti, že v určitom okamihu X = X Funkcia 0 r = f(X) je spojitý, z toho nevyplýva, že je na tomto mieste diferencovateľný. Napríklad funkcia r = |X| nepretržite pre všetkých X (–< X < ), но в точке X= 0 nemá žiadnu deriváciu. V tomto bode neexistuje žiadna dotyčnica ku grafu. Existuje pravá dotyčnica a ľavá dotyčnica, ale nezhodujú sa.

21 Hľadanie pravidiel. výroby sumy

Pravidlo 1 Ak funkcie y \u003d f (x) a y \u003d g (x) majú deriváciu v bode x, potom ich súčet má deriváciu aj v bode x a derivácia súčtu sa rovná súčtu deriváty:
(f (x) + 8 (x))" \u003d f (x) + (x).
V praxi je toto pravidlo formulované kratšie: derivácia súčtu sa rovná súčtu derivátov.
Napríklad,
Pravidlo 2 Ak má funkcia y \u003d f (x) deriváciu v bode x, potom funkcia y \u003d kf (x) má deriváciu v bode x a:

V praxi je toto pravidlo formulované kratšie: konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie. Napríklad,

Pravidlo 3 Ak funkcie y \u003d f (x) a y \u003d g (x) majú deriváciu v bode x, potom ich súčin má deriváciu aj v bode x a:

V praxi je toto pravidlo formulované nasledovne: derivácia súčinu dvoch funkcií sa rovná súčtu dvoch členov. Prvý člen je súčinom derivácie prvej funkcie a druhej funkcie a druhý člen je súčinom prvej funkcie a derivácie druhej funkcie.
Napríklad:
Pravidlo 4 Ak funkcie y \u003d f (x) a y \u003d g (x) majú potom deriváciu a kvocient má deriváciu v bode x, navyše:

Tabuľka komplexných derivátov

22 Rozdiel. funkt. v bode

Funkcia r=f(X) sa nazýva diferencovateľné v bode X 0, ak je jeho prírastok Δ r(X 0,Δ X) môže byť reprezentovaný ako

Δ r(X 0,Δ X)=AΔ X+o(Δ X).

Hlavná lineárna časť AΔ X prírastky Δ r sa nazýva diferenciál tejto funkcie v bode X 0 zodpovedajúca prírastku Δ X, a je označený symbolom D Y(X 0,Δ X).

Aby bola funkcia r=f(X) bolo v tomto bode rozlíšiteľné X 0, je potrebné a postačujúce, aby derivácia f′( X 0), zatiaľ čo rovnosť A=f′( X 0).

Výraz pre diferenciál má tvar

D Y(X 0,dx)=f′( X 0)dx,

Kde dx=Δ X.

23 Prod. Dif. Funkcie

Derivácia komplexnej funkcie. Derivácia funkcie definovanej parametricky

Nechaj r - komplexná funkcia X, t.j. r = f(u), u = g(X), alebo

Ak g(X) A f(u) sú diferencovateľné funkcie ich argumentov, respektíve v bodoch X A u = g(X), potom je v bode diferencovateľná aj komplexná funkcia X a nachádza sa podľa vzorca

Derivácia funkcie zadanej parametricky.

24 Výroba a rozdiel Vyššia moc

Nech je teraz derivácia 3. rádu definovaná v nejakom okolí bodu a je diferencovateľná. Potom

Ak má funkcia parciálnu deriváciu vzhľadom na jednu z premenných v nejakej oblasti D, potom pomenovaná derivácia, ktorá je sama o sebe funkciou , môže mať v určitom bode parciálne derivácie vzhľadom na rovnakú alebo akúkoľvek inú premennú. Pre pôvodnú funkciu budú tieto derivácie parciálnymi deriváciami druhého rádu (alebo parciálnymi deriváciami druhého rádu).

Parciálna derivácia druhého alebo vyššieho rádu vzhľadom na rôzne premenné sa nazýva zmiešaná parciálna derivácia. Napríklad,

rozdiel objednávok n, Kde n > 1, funkcie v určitom bode sa nazýva diferenciál v tomto bode rádového diferenciálu (n - 1), teda

Pre funkciu, ktorá závisí od jednej premennej, vyzerá druhý a tretí diferenciál takto:

Z toho môžeme odvodiť všeobecný tvar diferenciálu n- poradie z funkcie:

25 Fermatove, Rolleove, Langrageove vety

v Fermatova veta: Nech je funkcia definovaná na a dosiahne svoje maximálne a minimálne hodnoty ( M A m) v niektorých z . Ak existuje derivácia v , potom sa nevyhnutne rovná 0.

Dôkaz: Existuje. Možné sú dva prípady:

1) , => , => .

2) , => , => .

Z 1) a 2) vyplýva, že

v Rolleova veta (o koreňoch derivácie): Nech je funkcia nepretržitá a diferencovateľná a na koncoch segmentu má rovnaké hodnoty: . Potom existuje aspoň jeden bod v , ktorého derivácia je .

v Dôkaz: Nepretržitý dosah je zapnutý M A m. Potom sú možné dva prípady:

2) najväčšia hodnota sa dosiahne v rámci intervalu podľa Fermatovej vety.

v Langrageho veta (o konečných prírastkoch): Nech je funkcia spojitá na a diferencovateľná na . Potom existuje aspoň jeden z nich, pre ktorý platí nasledujúca rovnosť: .

Dôkaz: Predstavme si funkciu . (súvislé na a diferencovateľné na ).

Funkcia spĺňa Rolleovu vetu, pre ktorú existuje: , , , .

Funkcia sa volá prísne zvyšovať na ak

Funkcia sa volá klesajúci na ak

Funkcia sa volá prísne klesá na ak

Obsah článku

DERIVÁT-derivát funkcie r = f(X) definovaný na nejakom intervale ( a, b) v bode X tento interval sa nazýva limit, ku ktorému smeruje pomer prírastku funkcie f v tomto bode k zodpovedajúcemu prírastku argumentu, keď sa prírastok argumentu blíži k nule.

Derivát sa zvyčajne označuje takto:

Iné zápisy sú tiež široko používané:

Okamžitá rýchlosť.

Nechajte bod M sa pohybuje v priamom smere. Vzdialenosť s pohyblivý bod, počítaný od nejakej počiatočnej polohy M 0 , závisí od času t, t.j. s je funkciou času t: s= f(t). Nech v určitom okamihu t pohyblivý bod M bol na diaľku s z východiskovej pozície M 0 a v ďalšom okamihu t+ D t bol v pozícii M 1 - na diaľku s+ D s z počiatočnej polohy ( pozri obr.).

Takže na určitý čas D t vzdialenosť s zmenené o hodnotu D s. V tomto prípade hovoríme, že počas časového intervalu D t rozsah s dostal prírastok D s.

Priemerná rýchlosť nemôže vo všetkých prípadoch presne charakterizovať rýchlosť pohybu bodu. M v tom čase t. Ak napríklad teleso na začiatku intervalu D t pohyboval sa veľmi rýchlo a na konci veľmi pomaly, potom priemerná rýchlosť nebude schopná odrážať uvedené vlastnosti pohybu bodu a poskytnúť predstavu o skutočnej rýchlosti jeho pohybu v súčasnosti t. Ak chcete presnejšie vyjadriť skutočnú rýchlosť pomocou priemernej rýchlosti, musíte použiť kratší časový úsek D t. Najplnšie charakterizuje rýchlosť pohybu bodu v danom okamihu t limit, ku ktorému sa priemerná rýchlosť približuje pri D t® 0. Táto hranica sa nazýva rýchlosť pohybu v danom momente:

Rýchlosť pohybu v danom momente je teda limitom pomeru prírastku dráhy D s do časového prírastku D t keď má časový prírastok tendenciu k nule. Pretože

Geometrická hodnota derivácie. Tangenta ku grafu funkcie.

Konštrukcia dotyčníc je jedným z problémov, ktoré viedli k zrodu diferenciálneho počtu. Prvá publikovaná práca o diferenciálnom počte, ktorú napísal Leibniz, mala názov Nová metóda maxím a miním, ako aj tangens, pre ktoré nie sú prekážkou ani zlomkové ani iracionálne veličiny, a na to špeciálny druh kalkulu.

Nech krivka je grafom funkcie r =f(X) v pravouhlom súradnicovom systéme ( cm. ryža.).

Za nejakú hodnotu X na funkcii záleží r =f(X). Tieto hodnoty X A r bod na krivke M 0(X, r). Ak argument X dať prírastok D X, potom nová hodnota argumentu X+ D X zodpovedá novej hodnote funkcie y+ D r = f(X + D X). Zodpovedajúci bod krivky bude bod M 1(X+ D X,r+ D r). Ak nakreslíme seč M 0M 1 a označíme j uhol tvorený sečnicou s kladným smerom osi Vôl z obrázku je priamo vidieť, že .

Ak teraz D X má tendenciu k nule, potom bod M 1 sa pohybuje po krivke a približuje sa k bodu M 0 a uhol j mení sa zmenou D X. O Dx® 0 uhol j smeruje k nejakej hranici a a priamka prechádzajúca bodom M 0 a komponent s kladným smerom osi x, uhol a, bude požadovaná dotyčnica. Jeho sklon:

teda f´( X) = tga

tie. derivátová hodnota f´( X) pre danú hodnotu argumentu X sa rovná dotyčnici uhla, ktorý tvorí dotyčnica ku grafu funkcie f(X) v príslušnom bode M 0(X,r) s kladným smerom osi Vôl.

Diferencovateľnosť funkcií.

Definícia. Ak je funkcia r = f(X) má v bode deriváciu X = X 0, potom je funkcia v tomto bode diferencovateľná.

Spojitosť funkcie, ktorá má deriváciu. Veta.

Ak je funkcia r = f(X) je v určitom bode rozlíšiteľné X = X 0, potom je v tomto bode spojitá.

V bodoch diskontinuity teda funkcia nemôže mať deriváciu. Opačný záver je nepravdivý, t.j. zo skutočnosti, že v určitom okamihu X = X Funkcia 0 r = f(X) je spojitý, z toho nevyplýva, že je na tomto mieste diferencovateľný. Napríklad funkcia r = |X| nepretržite pre všetkých X(–Ґ x x = 0 nemá žiadnu deriváciu. V tomto bode nie je ku grafu žiadna dotyčnica. Existuje pravá dotyčnica a ľavá dotyčnica, ktoré sa však nezhodujú.

Niektoré vety o diferencovateľných funkciách. Veta o koreňoch derivácie (Rollova veta). Ak je funkcia f(X) je na segmente súvislá [a,b], je diferencovateľná vo všetkých vnútorných bodoch tohto segmentu a na koncoch X = a A X = b zmizne ( f(a) = f(b) = 0), potom vnútri segmentu [ a,b] je tam aspoň jeden bod X= s, a c b, v ktorom je derivát fў( X) zaniká, t.j. fў( c) = 0.

Veta o konečnom prírastku (Lagrangeova veta). Ak je funkcia f(X) je spojitý na intervale [ a, b] a je diferencovateľná vo všetkých vnútorných bodoch tohto segmentu, potom vo vnútri segmentu [ a, b] je tam aspoň jeden bod s, a c b to

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Veta o pomere prírastkov dvoch funkcií (Cauchyho veta). Ak f(X) A g(X) sú dve funkcie súvislé na segmente [a, b] a diferencovateľné vo všetkých vnútorných bodoch tohto segmentu, a gў( X) nezmizne nikde v tomto segmente, potom vo vnútri segmentu [ a, b] je taký bod X = s, a c b to

Deriváty rôznych rádov.

Nechajte funkciu r =f(X) je diferencovateľný na určitom intervale [ a, b]. Odvodené hodnoty f ў( X), všeobecne povedané, závisí od X, t.j. derivát f ў( X) je tiež funkciou X. Pri derivácii tejto funkcie sa získa takzvaná druhá derivácia funkcie f(X), ktorý je označený f ўў ( X).

derivát n- poradie funkcie f(X) sa nazýva derivát (prvého rádu) derivátu n- 1- a je označený symbolom r(n) = (r(n– 1))ў.

Diferenciály rôznych rádov.

Funkčný diferenciál r = f(X), Kde X je nezávislá premenná, je D Y = f ў( X)dx, nejaká funkcia z X, ale od X môže závisieť iba prvý faktor f ў( X), zatiaľ čo druhý faktor ( dx) je prírastok nezávislej premennej X a nezávisí od hodnoty tejto premennej. Pretože D Y existuje funkcia od X, potom môžeme určiť diferenciál tejto funkcie. Diferenciál diferenciálu funkcie sa nazýva diferenciál druhého alebo druhého rádu tejto funkcie a označuje sa d 2r:

d(dx) = d 2r = f ўў( X)(dx) 2 .

Diferenciál n- rádu sa nazýva prvý diferenciál diferenciálu n- 1- objednať:

d n y = d(d n–1r) = f(n)(X)dx(n).

Súkromný derivát.

Ak funkcia nezávisí od jedného, ale od viacerých argumentov x i(i sa mení z 1 na n,i= 1, 2,… n),f(X 1,X 2,… x n), potom sa v diferenciálnom počte zavedie pojem parciálna derivácia, ktorá charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie viacerých premenných, keď sa zmení len jeden argument, napr. x i. Parciálna derivácia 1. rádu vzhľadom na x i je definovaný ako obyčajný derivát, predpokladá sa, že všetky argumenty okrem x i, udržujte konštantné hodnoty. Pre parciálne derivácie zavádzame zápis

Takto definované parciálne derivácie 1. rádu (ako funkcie tých istých argumentov) môžu mať zasa aj parciálne derivácie, ide o parciálne derivácie 2. rádu atď. Vzhľadom na rôzne argumenty sa takéto deriváty nazývajú zmiešané. Spojité zmiešané deriváty rovnakého rádu nezávisia od rádu diferenciácie a sú si navzájom rovné.

Anna Chugainová

Problém rýchlosti pohybu bodu

Nech je zákon priamočiareho pohybu hmotného bodu. Označte dráhou prejdenú bodom v čase a cestou prejdenou časom. Potom po čase bod pokryje cestu rovnajúcu sa: . Pomer sa nazýva priemerná rýchlosť bodu za čas od do . Čím menej t.j. čím kratší je časový interval od do, tým lepšie priemerná rýchlosť charakterizuje pohyb bodu v danom čase. Preto je prirodzené zaviesť pojem rýchlosť v danom momente a definovať ho ako hranicu priemernej rýchlosti za interval od do kedy:

Hodnota sa nazýva okamžitá rýchlosť bodu v danom okamihu.

Problém dotyčnice k danej krivke

Nech je na rovine daná rovnicou súvislá krivka . V bode je potrebné nakresliť nevertikálnu dotyčnicu k danej krivke . Keďže je daný dotyčnicový bod, na vyriešenie problému je potrebné nájsť sklon dotyčnice. Z geometrie je známe, že , kde je uhol sklonu dotyčnice ku kladnému smeru osi (pozri obr.). cez bodky A nakreslite sečnicu , kde je uhol tvorený sečnicou s kladným smerom osi . Z obrázku je vidieť, že kde . Sklon dotyčnice k danej krivke v bode možno nájsť na základe nasledujúcej definície.

Dotyčnica ku krivke v bode je hraničnou polohou sečny, keď bod smeruje k bodu . Z toho teda vyplýva .

Definícia derivátu

Matematická operácia potrebná na vyriešenie vyššie uvedených problémov je rovnaká. Objasnime analytickú podstatu tejto operácie, abstrahujeme od konkrétnych otázok, ktoré ju spôsobili.

Nech je funkcia definovaná na nejakom intervale. Zoberme si hodnotu z tohto intervalu. Dajme nejaký prírastok (kladný alebo záporný). Táto nová hodnota argumentu zodpovedá novej hodnote funkcie , Kde .

Urobme vzťah , je to funkcia .

Derivácia funkcie vzhľadom na premennú v bode je limitom pomeru prírastku funkcie v tomto bode k prírastku argumentu, ktorý ju spôsobil, keď ľubovoľne:

Komentujte. Predpokladá sa, že derivácia funkcie v bode existuje, ak limita na pravej strane vzorca existuje a je konečná a nezávisí od toho, ako prírastok premennej smeruje k 0 (doľava alebo doprava).

Proces hľadania derivácie funkcie sa nazýva jej diferenciácia.

Hľadanie derivácií niektorých funkcií podľa definície

a) Derivácia konštanty.

Nech , kde je konštanta, pretože hodnoty tejto funkcie sú pre všetkých rovnaké, potom je jej prírastok nula, a preto

Derivácia konštanty sa teda rovná nule, t.j. .

b) Derivácia funkcie.

Urobme prírastok funkcie:

Pri hľadaní derivácie sa využívala vlastnosť limity súčinu funkcií, prvá pozoruhodná limita a spojitosť funkcie.

teda .

Vzťah medzi diferencovateľnosťou funkcie a jej spojitosťou

Funkcia, ktorá má v bode deriváciu, sa v tomto bode nazýva diferencovateľná. Funkcia, ktorá má deriváciu vo všetkých bodoch nejakého intervalu, sa nazýva diferencovateľná na tomto intervale.

Veta. Ak je funkcia v bode diferencovateľná, potom je v tomto bode spojitá.

Dôkaz. Dajme argumentu ľubovoľný prírastok . Potom sa funkcia zvýši. Zapíšme si rovnosť a prejdeme k limitu na ľavej a pravej strane pri:

Keďže pre spojitú funkciu nekonečne malý prírastok argumentu zodpovedá infinitezimálnemu prírastku funkcie, vetu možno považovať za preukázanú.

Komentujte. Neobstojí opačné tvrdenie, t.j. kontinuita funkcie v bode vo všeobecnosti neznamená diferenciovateľnosť v tomto bode. Napríklad funkcia je spojitá pre všetkých , ale nie je diferencovateľná pri . naozaj:

Limita je nekonečná, čo znamená, že funkcia nie je diferencovateľná v bode .

Tabuľka derivácií elementárnych funkcií

Komentujte. Pripomeňme si vlastnosti mocnín a koreňov používaných pri diferenciácii funkcií:

Uveďme príklady hľadania derivátov.

1) .

Derivácia zloženej funkcie

Nechaj . Potom bude funkcia komplexnou funkciou z X.

Ak je funkcia v bode diferencovateľná X a funkcia je v bode diferencovateľná u, potom je diferencovateľná aj v bode X, a

Tak hádame. Preto

S dostatočnou zručnosťou, stredná premenná u nepíš, zadávaj to len mentálne.

Diferenciál

Nakreslite dotyčnicu ku grafu spojitej funkcie v bode MT, označujúci cez j jeho uhol sklonu k kladnému smeru osi Oh. Od , teda z trojuholníka MEF z toho vyplýva

Zavádzame notáciu

Tento výraz sa nazýva diferenciál funkcie . Takže

Všímajúc si, že t.j. že diferenciál nezávislej premennej sa rovná jej prírastku, dostaneme

Diferenciál funkcie sa teda rovná súčinu jej derivácie a diferenciálu (alebo prírastku) nezávislej premennej.

Z posledného vzorca vyplýva, že , t.j. derivácia funkcie sa rovná pomeru diferenciálu tejto funkcie k diferenciálu argumentu.

Funkčný diferenciál D Y geometricky predstavuje prírastok súradnice dotyčnice zodpovedajúcej prírastku argumentu D X.

Z obrázku je vidieť, že pre dostatočne malý D X v absolútnej hodnote možno brať prírastok funkcie približne rovný jej diferenciálu, t.j.

Zvážte komplexnú funkciu , kde , a je diferencovateľné vzhľadom na u, a - podľa X. Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie

Vynásobme túto rovnicu dx:

Keďže (podľa definície diferenciálu), potom

Diferenciál komplexnej funkcie má teda rovnaký tvar ako premenná u nebola prechodným argumentom, ale nezávislou premennou.

Táto vlastnosť diferenciálu sa nazýva invariantnosť(nemennosť) formy diferenciálu.

Príklad. .

Všetky pravidlá diferenciácie môžu byť napísané pre diferenciály.

Nechaj sú v určitom bode diferencovateľné X. Potom

Dokážme druhé pravidlo.

Derivácia implicitnej funkcie

Nech je daná rovnica tvaru, vzťahujúca sa na premenné a . Ak nie je možné explicitne vyjadriť prostredníctvom , (relatívne vyriešiť ), potom sa takáto funkcia zavolá implicitne dané. Ak chcete nájsť deriváciu takejto funkcie, obe strany rovnice musia byť diferencované vzhľadom na , pričom sa uvažuje ako funkcia . Z výslednej novej rovnice nájdite .