Grafu ya utendaji y dhambi x. Grafu za kazi

>> Hisabati: Kazi y = sin x, y = cos x, sifa zao na grafu.

Kazi y = dhambi x, y = cos x, mali zao na grafu

Katika sehemu hii tutajadili baadhi ya sifa za kazi y = sin x, y = cos x na kuunda grafu zao.

1. Kazi y = dhambi X.

Hapo juu, katika § 20, tulitengeneza sheria ambayo inaruhusu kila nambari t kuhusishwa na nambari ya cos t, i.e. sifa tendaji y = dhambi t. Hebu tuangalie baadhi ya sifa zake.

Sifa za kazi u = sin t.

Kikoa cha ufafanuzi ni seti ya K ya nambari halisi.
Hii inafuata kutokana na ukweli kwamba nambari yoyote ya 2 inalingana na hatua M (1) kwenye mduara wa nambari, ambayo ina uratibu uliofafanuliwa vizuri; mratibu huu ni cos t.

u = sin t ni kazi isiyo ya kawaida.

Hii inafuatia ukweli kwamba, kama ilivyothibitishwa katika § 19, kwa t yoyote usawa
Hii ina maana kwamba grafu ya chaguo za kukokotoa u = sin t, kama vile grafu ya chaguo za kukokotoa zisizo za kawaida, ina ulinganifu kuhusiana na asili katika mfumo wa kuratibu wa mstatili tOi.

Kazi u = sin t huongezeka kwa muda
Hii inafuatia ukweli kwamba wakati hatua inaposonga kwenye robo ya kwanza ya mduara wa nambari, kuratibu huongezeka hatua kwa hatua (kutoka 0 hadi 1 - tazama Mchoro 115), na wakati hatua inakwenda kwenye robo ya pili ya mzunguko wa nambari, kuratibu hupungua kwa hatua (kutoka 1 hadi 0 - tazama Mchoro 116).

Kazi u = sint imefungwa chini na juu. Hii inafuatia ukweli kwamba, kama tulivyoona katika § 19, kwa t yoyote usawa unashikilia

(tendakazi hufikia thamani hii katika hatua yoyote ya fomu (tendakazi hufikia thamani hii katika hatua yoyote ya fomu
Kwa kutumia mali zilizopatikana, tutajenga grafu ya kazi ya maslahi kwetu. Lakini (makini!) badala ya u - sin t tutaandika y = dhambi x (baada ya yote, tumezoea zaidi kuandika y = f (x), na sio u = f (t)). Hii inamaanisha kuwa tutaunda grafu katika mfumo wa kawaida wa kuratibu wa xOy (na sio tOy).

Wacha tufanye jedwali la maadili ya kazi y - sin x:

Maoni.

Wacha tutoe moja ya matoleo ya asili ya neno "sine". Kwa Kilatini, sinus ina maana ya bend (kamba ya upinde).

Grafu iliyoundwa kwa kiasi fulani inahalalisha istilahi hii.

Mstari unaotumika kama grafu ya kazi y = sin x inaitwa sine wimbi. Sehemu hiyo ya sinusoid inayoonyeshwa kwenye Mtini. 118 au 119 inaitwa wimbi la sine, na sehemu hiyo ya wimbi la sine ambayo imeonyeshwa kwenye Mtini. 117, inaitwa nusu-wimbi au safu ya wimbi la sine.

2. Kazi y = cos x.

Utafiti wa kazi y = cos x unaweza kufanywa takriban kulingana na mpango sawa ambao ulitumiwa hapo juu kwa kazi y = sin x. Lakini tutachagua njia inayoongoza kwenye lengo kwa kasi zaidi. Kwanza, tutathibitisha fomula mbili ambazo ni muhimu kwao wenyewe (utaona hii katika shule ya upili), lakini kwa sasa ina umuhimu msaidizi tu kwa madhumuni yetu.

Kwa thamani yoyote ya t usawa zifuatazo ni halali:

Ushahidi. Hebu nambari t inafanana na hatua M ya mzunguko wa nambari n, na nambari * + - hatua P (Mchoro 124; kwa ajili ya unyenyekevu, tulichukua hatua M katika robo ya kwanza). Arcs AM na BP ni sawa, na pembetatu sahihi OKM na OLBP ni sawa sawa. Hii ina maana O K = Ob, MK = Pb. Kutoka kwa usawa huu na kutoka kwa eneo la pembetatu OCM na OBP katika mfumo wa kuratibu, tunatoa hitimisho mbili:

1) uratibu wa hatua P inalingana kwa thamani kamili na saini na abscissa ya uhakika M; ina maana kwamba

2) abscissa ya uhakika P ni sawa kwa thamani kamili kwa kuratibu ya hatua M, lakini inatofautiana kwa ishara kutoka kwayo; ina maana kwamba

Takriban hoja sawa inafanywa katika hali ambapo uhakika M sio wa robo ya kwanza.
Hebu tumia fomula (hii ndio fomula iliyothibitishwa hapo juu, lakini badala ya kutofautisha t tunatumia kutofautisha x). Je! formula hii inatupa nini? Inaturuhusu kudai kwamba vitendaji

zinafanana, ambayo inamaanisha kuwa grafu zao zinalingana.
Wacha tupange kazi Ili kufanya hivyo, hebu tuendelee kwenye mfumo wa kuratibu msaidizi na asili kwa uhakika (mstari wa dotted umechorwa kwenye Mchoro 125). Wacha tufunge kazi y = sin x kwa mfumo mpya wa kuratibu - hii itakuwa grafu ya kazi. (Mchoro 125), i.e. grafu ya kazi y - cos x. Ni, kama grafu ya kazi y = sin x, inaitwa sine wimbi (ambalo ni la asili kabisa).

Sifa za chaguo za kukokotoa y = cos x.

y = cos x ni kazi sawa.

Hatua za ujenzi zinaonyeshwa kwenye Mtini. 126:

1) jenga grafu ya kazi y = cos x (kwa usahihi, nusu ya wimbi);
2) kwa kunyoosha grafu iliyojengwa kutoka kwa mhimili wa x na kipengele cha 0.5, tunapata nusu ya wimbi la grafu inayohitajika;
3) kwa kutumia wimbi la nusu linalosababisha, tunajenga grafu nzima ya kazi y = 0.5 cos x.

Kaziy = dhambix

Grafu ya kazi ni sinusoid.

Sehemu kamili isiyojirudia ya wimbi la sine inaitwa wimbi la sine.

Nusu ya wimbi la sine inaitwa nusu sine wimbi (au arc).

Tabia za kaziy = dhambix:

Kuchora chaguo za kukokotoa y= dhambi x Ni rahisi kutumia mizani ifuatayo:

Kwenye karatasi iliyo na mraba, tunachukua urefu wa mraba mbili kama sehemu ya sehemu.

Kwenye mhimili x Hebu tupime urefu π. Wakati huo huo, kwa urahisi, tunawasilisha 3.14 kwa namna ya 3 - yaani, bila sehemu. Kisha kwenye karatasi katika seli π itakuwa seli 6 (mara tatu seli 2). Na kila seli itapokea jina lake la asili (kutoka ya kwanza hadi ya sita): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Hizi ndizo maana zake x.

Kwenye mhimili wa y tunaweka alama 1, ambayo inajumuisha seli mbili.

Wacha tuunda jedwali la maadili ya kazi kwa kutumia maadili yetu x:

Ifuatayo, tutaunda ratiba. Matokeo yake ni nusu-wimbi, hatua ya juu kabisa ambayo ni (π/2; 1). Hii ni grafu ya chaguo la kukokotoa y= dhambi x kwenye sehemu. Wacha tuongeze nusu ya wimbi la ulinganifu kwenye grafu iliyojengwa (linganifu inayohusiana na asili, ambayo ni, kwenye sehemu -π). Sehemu ya nusu ya wimbi hili iko chini ya mhimili wa x wenye viwianishi (-1; -1). Matokeo yake yatakuwa wimbi. Hii ni grafu ya chaguo la kukokotoa y= dhambi x kwenye sehemu [-π; π].

Unaweza kuendelea na wimbi kwa kuijenga kwenye sehemu [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], na kadhalika. Kwenye sehemu hizi zote, grafu ya chaguo la kukokotoa itaonekana sawa na kwenye sehemu [-π; π]. Utapata mstari wa wavy unaoendelea na mawimbi yanayofanana.

Kaziy = cosx.

Grafu ya chaguo za kukokotoa ni wimbi la sine (wakati mwingine huitwa wimbi la cosine).

Tabia za kaziy = cosx:

Kaziy = mf(x).

Hebu tuchukue kazi ya awali y=cos x. Kama unavyojua tayari, grafu yake ni wimbi la sine. Ikiwa tunazidisha cosine ya kazi hii kwa nambari fulani ya m, basi wimbi litapanua kutoka kwa mhimili x(au itapungua, kulingana na thamani ya m).
Wimbi hili jipya litakuwa grafu ya chaguo za kukokotoa y = mf(x), ambapo m ni nambari yoyote halisi.

Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa y = mf(x) ni kazi inayojulikana y = f(x) inayozidishwa na m.

Kamam< 1, то синусоида сжимается к оси x kwa mgawom. Kamam > 1, basi sinusoid inanyoshwa kutoka kwa mhimilix kwa mgawom.

Wakati wa kunyoosha au kukandamiza, unaweza kwanza kupanga nusu ya wimbi la sine, na kisha ukamilishe grafu nzima.

Kaziy = f(kx).

Ikiwa kazi y =mf(x) husababisha kunyoosha kwa sinusoid kutoka kwa mhimili x au mgandamizo kuelekea mhimili x, basi kazi y = f(kx) inaongoza kwa kunyoosha kutoka kwa mhimili y au mgandamizo kuelekea mhimili y.

Zaidi ya hayo, k ni nambari yoyote halisi.

Saa 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y kwa mgawok. Kamak > 1, basi sinusoid imebanwa kuelekea mhimiliy kwa mgawok.

Unapochora chaguo hili la kukokotoa, unaweza kwanza kujenga nusu ya wimbi la sine, na kisha uitumie kukamilisha grafu nzima.

Kaziy = tgx.

Grafu ya kazi y=tg x ni tangent.

Inatosha kuunda sehemu ya grafu katika muda kutoka 0 hadi π/2, na kisha unaweza kuiendeleza kwa ulinganifu kwa muda kutoka 0 hadi 3π/2.

Tabia za kaziy = tgx:

Kaziy = ctgx

Grafu ya kazi y=ctg x pia ni tangentoid (wakati mwingine huitwa cotangentoid).

Tabia za kaziy = ctgx:

Rudi mbele

Makini! Onyesho la kuchungulia la slaidi ni kwa madhumuni ya habari pekee na huenda lisiwakilishe vipengele vyote vya wasilisho. Ikiwa una nia ya kazi hii, tafadhali pakua toleo kamili.

Chuma hutua bila kupata matumizi yoyote,
maji yaliyosimama huoza au kuganda kwenye baridi;
na akili ya mwanadamu, bila kupata manufaa yoyote kwa yenyewe, inadhoofika.
Leonardo da Vinci

Teknolojia zinazotumika: kujifunza kwa kuzingatia matatizo, kufikiri kwa makini, mawasiliano ya kimawasiliano.

Malengo:

• Ukuzaji wa shauku ya utambuzi katika kujifunza.
• Kusoma sifa za kazi y = dhambi x.
• Uundaji wa ujuzi wa vitendo katika kujenga grafu ya kazi y = dhambi x kulingana na nyenzo zilizojifunza za kinadharia.

Kazi:

1. Tumia uwezo uliopo wa ujuzi kuhusu mali ya kazi y = dhambi x katika hali maalum.

2. Tumia uanzishwaji wa ufahamu wa miunganisho kati ya mifano ya uchanganuzi na ya kijiometri ya kazi y = dhambi x.

Kuendeleza mpango, nia fulani na nia ya kutafuta suluhisho; uwezo wa kufanya maamuzi, usiishie hapo, na utetee maoni yako.

Kukuza katika shughuli za utambuzi wa wanafunzi, hisia ya uwajibikaji, heshima kwa kila mmoja, kuelewana, kusaidiana, na kujiamini; utamaduni wa mawasiliano.

Wakati wa madarasa

Hatua ya 1. Kusasisha maarifa ya kimsingi, kuhamasisha kujifunza nyenzo mpya

"Kuingia kwenye somo."

Kuna taarifa 3 zilizoandikwa kwenye ubao:

1. Mlinganyo wa trigonometric sin t = a huwa na masuluhisho.
2. Grafu ya chaguo za kukokotoa isiyo ya kawaida inaweza kujengwa kwa kutumia mageuzi ya ulinganifu kuhusu mhimili wa Oy.
3. Kitendaji cha trigonometric kinaweza kuchorwa kwa kutumia nusu-wimbi moja kuu.

Wanafunzi wanajadiliana wawili wawili: je kauli hizo ni za kweli? (dakika 1). Matokeo ya majadiliano ya awali (ndiyo, hapana) yanaingizwa kwenye jedwali katika safu ya "Kabla".

Mwalimu huweka malengo na malengo ya somo.

2. Kusasisha maarifa (mbele kwenye mfano wa duara ya trigonometric).

Tayari tumefahamiana na kazi s = sin t.

1) Ni maadili gani ambayo kutofautisha kunaweza kuchukua. Je, ni upeo gani wa kipengele hiki?

2) Ni katika muda gani maadili ya usemi si t yamo? Pata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi s = sin t.

3) Tatua dhambi ya equation t = 0.

4) Nini kinatokea kwa mpangilio wa nukta unaposogea katika robo ya kwanza? (mratibu huongezeka). Ni nini hufanyika kwa mpangilio wa nukta inaposogea katika robo ya pili? (kuratibu hupungua hatua kwa hatua). Je, hii inahusiana vipi na monotonicity ya kazi? (kazi s = sin t huongezeka kwenye sehemu na hupungua kwenye sehemu).

5) Wacha tuandike kazi s = sin t katika fomu y = dhambi x ambayo inajulikana kwetu (tutaijenga katika mfumo wa kawaida wa kuratibu xOy) na tutengeneze jedwali la maadili ya kazi hii.

Hatua ya 2. Mtazamo, ufahamu, uimarishaji wa msingi, kukariri bila hiari

Hatua ya 4. Utaratibu wa kimsingi wa maarifa na njia za shughuli, uhamishaji wao na matumizi katika hali mpya

6. Nambari 10.18 (b,c)

Hatua ya 5. Udhibiti wa mwisho, urekebishaji, tathmini na kujitathmini

7. Tunarudi kwenye taarifa (mwanzo wa somo), jadili kwa kutumia mali ya kazi ya trigonometric y = dhambi x, na ujaze safu ya "Baada" kwenye jedwali.

8. D/z: kifungu cha 10, No. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

Ili kutumia onyesho la kukagua wasilisho, fungua akaunti ya Google na uingie ndani yake: https://accounts.google.com

Manukuu ya slaidi:

Kazi y = sin x na y = cos x na grafu zao (wasilisho linaloandamana na somo) KORPUSOVA TATYANA SERGEEVNA mwalimu wa hisabati MBOU LSOSH Nambari 2 aliyepewa jina lake. N.F.Struchenkova mkoa wa Bryansk.

UFAFANUZI Utendaji wa nambari unaofafanuliwa na fomula y = sin x na y = cos x huitwa sine na cosine, mtawalia. 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Kazi y=sin x, grafu na sifa. 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Wimbi la sine 1 - π/2 π 2 π 3 π x -3 π/2 - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

y = dhambi(x+a) MFANO y 1 -1 π 2 π - π 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

y = dhambi x + a 1) y = dhambi x + 1; y 1 x - π 0 π 2 π x -1 x 2) y = dhambi x - 1 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Grafu za kupanga y=dhambi(x+m)+l y 1 - π 0 π 2 π 3 π x -1 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Kazi y = cos x, mali yake na grafu. 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

y = cos x y 1 - π/2 π 2 π 3 π x - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 Grafu ya kazi y= cos x ilipatikana kwa kuhamisha sinusoid upande wa kushoto na π/2 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Grafu za kupanga y = cos (x+m)+l 1)y =- cos x; y 2 y x 0 x -1 2)y= cos (x- π/4)+2 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Grafu za kupanga y=k · dhambi x y 2.5 1 x -1 -2.5 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Kupata muda wa vitendakazi vya trigonometriki Ikiwa y=f(x) ni ya mara kwa mara na ina kipindi chanya kidogo zaidi T₁, basi chaguo za kukokotoa y=A· f(kx+b), ambapo A, k na b ni thabiti, na k ≠ 0 , pia ni ya muda na kipindi Mifano : 11/10/2013 KORPUSOVA T.S. 1) y=dhambi 6 x +2, Т₁=2 π T₁=2 π

Kupanga grafu za kazi za mara kwa mara 11/10/2013 KORPUSOVA T.S. y x 1 1 y x 1 1 1)T= 4 2)T= 4 Kutokana na kazi y= f(x) . Jenga grafu yake ikiwa kipindi kinajulikana. y x 1 1 3)T= 3

Chora grafu ya chaguo za kukokotoa: y=2cos(2x- π/3)-0.5 na upate kikoa cha ufafanuzi na anuwai ya thamani za chaguo za kukokotoa 11/10/2013 KORPUSOVA T.S. y x 1 -1 π - π 2 π -2 π T= π

Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Kazi y=dhambi(x). Ufafanuzi na sifa"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa! Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.

Miongozo na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 10 kutoka 1C
Tunatatua matatizo katika jiometri. Kazi maingiliano ya ujenzi kwa darasa la 7-10
Mazingira ya programu "1C: Mjenzi wa Hisabati 6.1"

Tutajifunza nini:

• Sifa za chaguo za kukokotoa Y=sin(X).
• Grafu ya kazi.
• Jinsi ya kutengeneza grafu na kiwango chake.
• Mifano.

Tabia za sine. Y=dhambi(X)

Jamani, tayari tumefahamu kazi za trigonometric za hoja ya nambari. Je, unawakumbuka?

Wacha tuangalie kwa karibu kazi ya Y=sin(X)

Hebu tuandike baadhi ya sifa za kipengele hiki:
1) Kikoa cha ufafanuzi ni seti ya nambari halisi.
2) Chaguo la kukokotoa si la kawaida. Hebu tukumbuke ufafanuzi wa kazi isiyo ya kawaida. Chaguo za kukokotoa huitwa odd ikiwa usawa unashikilia: y(-x)=-y(x). Kama tunavyokumbuka kutoka kwa kanuni za roho: dhambi(-x)=-dhambi(x). Ufafanuzi umetimia, ambayo inamaanisha Y=sin(X) ni chaguo la kukokotoa lisilo la kawaida.
3) Kitendakazi Y=sin(X) huongezeka kwenye sehemu na hupungua kwenye sehemu [π/2; π]. Tunaposonga kando ya robo ya kwanza (njia ya saa), uratibu huongezeka, na tunapopitia robo ya pili hupungua.

4) Chaguo za kukokotoa Y=sin(X) ni chache kutoka chini na kutoka juu. Mali hii inafuatia ukweli kwamba
-1 ≤ dhambi(X) ≤ 1
5) Thamani ndogo zaidi ya chaguo la kukokotoa ni -1 (saa x = - π/2+ πk). Thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa ni 1 (saa x = π/2+ πk).

Wacha tutumie mali 1-5 kupanga kazi Y=sin(X). Tutaunda grafu yetu kwa mpangilio, kwa kutumia mali zetu. Wacha tuanze kuunda grafu kwenye sehemu.

Uangalifu hasa unapaswa kulipwa kwa kiwango. Kwenye mhimili wa kuratibu ni rahisi zaidi kuchukua sehemu ya kitengo sawa na seli 2, na kwenye mhimili wa abscissa ni rahisi zaidi kuchukua sehemu ya kitengo (seli mbili) sawa na π/3 (tazama takwimu).

Kupanga kitendakazi cha sine x, y=sin(x)

Wacha tuhesabu maadili ya kazi kwenye sehemu yetu:

Wacha tujenge grafu kwa kutumia vidokezo vyetu, kwa kuzingatia mali ya tatu.

Jedwali la ubadilishaji la fomula za ghost

Wacha tutumie mali ya pili, ambayo inasema kwamba kazi yetu ni isiyo ya kawaida, ambayo inamaanisha kuwa inaweza kuonyeshwa kwa ulinganifu kwa heshima na asili:

Tunajua kwamba dhambi(x+ 2π) = dhambi(x). Hii ina maana kwamba kwa muda [- π; π] grafu inaonekana sawa na kwenye sehemu [π; 3π] au au [-3π; - π] na kadhalika. Tunachopaswa kufanya ni kuchora upya grafu kwa uangalifu katika mchoro uliopita pamoja na mhimili mzima wa x.

Grafu ya chaguo za kukokotoa Y=sin(X) inaitwa sinusoid.

Wacha tuandike mali chache zaidi kulingana na grafu iliyojengwa:
6) Chaguo za kukokotoa Y=sin(X) huongezeka kwenye sehemu yoyote ya fomu: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k ni nambari kamili na hupungua kwa sehemu yoyote ya fomu: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – nambari kamili.
7) Kazi Y=dhambi(X) ni chaguo la kukokotoa lenye kuendelea. Wacha tuangalie grafu ya kazi na tuhakikishe kuwa kazi yetu haina mapumziko, hii inamaanisha mwendelezo.
8) Aina mbalimbali za maadili: sehemu [- 1; 1]. Hii pia inaonekana wazi kutoka kwa grafu ya chaguo la kukokotoa.
9) Kazi Y = dhambi (X) - kazi ya mara kwa mara. Wacha tuangalie grafu tena na tuone kwamba kazi inachukua maadili sawa kwa vipindi fulani.

Mifano ya matatizo na sine

1. Tatua equation sin(x)= x-π

Suluhisho: Wacha tujenge grafu 2 za chaguo la kukokotoa: y=sin(x) na y=x-π (tazama takwimu).
Grafu zetu hupishana katika sehemu moja A(π;0), hili ndilo jibu: x = π

2. Grafu chaguo za kukokotoa y=sin(π/6+x)-1

Suluhisho: Grafu inayotakiwa itapatikana kwa kusogeza grafu ya chaguo za kukokotoa y=sin(x) π/6 upande wa kushoto na kitengo 1 chini.

Suluhisho: Wacha tupange kazi na tuzingatie sehemu yetu [π/2; 5π/4].
Grafu ya chaguo la kukokotoa inaonyesha kuwa maadili makubwa zaidi na madogo yanapatikana katika miisho ya sehemu, kwa pointi π/2 na 5π/4, mtawaliwa.
Jibu: sin(π/2) = 1 - thamani kubwa zaidi, dhambi(5π/4) = thamani ndogo zaidi.

Shida za Sine kwa suluhisho la kujitegemea

• Tatua mlingano: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Grafu chaguo za kukokotoa y=sin(π/3+x)-2
• Grafu chaguo za kukokotoa y=sin(-2π/3+x)+1
• Tafuta thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa y=sin(x) kwenye sehemu
• Tafuta thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa y=sin(x) kwenye muda [- π/3; 5π/6]