Jumla ya sines na tanjenti zenye hoja tofauti. Jumla na tofauti ya sines na cosines: derivation ya formula, mifano

Mifumo ya jumla na tofauti ya sine na kosini kwa pembe mbili α na β huturuhusu kuhama kutoka kwa jumla ya pembe hizi hadi kwa bidhaa ya pembe α + β 2 na α - β 2. Wacha tuangalie mara moja kwamba haupaswi kuchanganya kanuni za jumla na tofauti za sines na cosines na kanuni za sines na cosines za jumla na tofauti. Hapo chini tunaorodhesha fomula hizi, toa nakala zao na uonyeshe mifano ya matumizi kwa shida maalum.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Fomula za jumla na tofauti za sine na kosini

Hebu tuandike jinsi jumla na fomula za tofauti zinavyoonekana kwa sine na kosini

Jumla na fomula tofauti za sines

dhambi α + dhambi β = 2 dhambi α + β 2 cos α - β 2 dhambi α - dhambi β = 2 dhambi α - β 2 cos α + β 2

Muhtasari na fomula tofauti za kosini

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 dhambi α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 dhambi α + β 2 · β -a2

Fomula hizi ni halali kwa pembe zozote α na β. Pembe α + β 2 na α - β 2 zinaitwa tofauti ya nusu-jumla na nusu ya alpha na beta, kwa mtiririko huo. Wacha tutoe muundo wa kila fomula.

Ufafanuzi wa fomula za hesabu na tofauti za sine na kosini

Jumla ya sines ya pembe mbili ni sawa na mara mbili ya bidhaa ya sine ya nusu-jumla ya pembe hizi na kosine ya nusu-tofauti.

Tofauti ya sines ya pembe mbili ni sawa na mara mbili ya bidhaa ya sine ya nusu-tofauti ya pembe hizi na cosine ya nusu-jumla.

Jumla ya cosines ya pembe mbili ni sawa na mara mbili ya bidhaa ya cosine ya nusu-jumla na cosine ya tofauti ya nusu ya pembe hizi.

Tofauti ya cosines ya pembe mbili ni sawa na mara mbili ya bidhaa ya sine ya nusu-jumla na cosine ya tofauti ya nusu ya pembe hizi, iliyochukuliwa na ishara mbaya.

Kutoa fomula za jumla na tofauti za sine na kosini

Ili kupata fomula za jumla na tofauti ya sine na kosine ya pembe mbili, kanuni za nyongeza hutumiwa. Hebu tuorodheshe hapa chini

dhambi (α + β) = dhambi α · cos β + cos α · dhambi β dhambi (α - β) = dhambi α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - dhambi α dhambi β cos (α - β) = cos α cos β + dhambi α dhambi β

Wacha pia tufikirie pembe zenyewe kama jumla ya nusu-jumla na nusu-tofauti.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Tunaendelea moja kwa moja kwenye upataji wa jumla na kanuni tofauti za sin na cos.

Utoaji wa fomula ya jumla ya sines

Katika jumla ya dhambi α + sin β, tunabadilisha α na β na misemo ya pembe hizi zilizotolewa hapo juu. Tunapata

dhambi α + dhambi β = dhambi α + β 2 + α - β 2 + dhambi α + β 2 - α - β 2

Sasa tunatumia fomula ya kuongeza kwa usemi wa kwanza, na kwa pili - formula ya sine ya tofauti za pembe (tazama fomula hapo juu)

dhambi α + β 2 + α - β 2 = dhambi α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 dhambi α - β 2 dhambi α + β 2 - α - β 2 = dhambi α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 dhambi α - β 2 dhambi α + β 2 + α - β 2 + dhambi α + β 2 - α - β 2 = dhambi α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 dhambi α - β 2 + dhambi α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 dhambi α - β 2 Fungua mabano, ongeza maneno sawa na upate fomula inayohitajika.

dhambi α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 dhambi α - β 2 + dhambi α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 dhambi α - β 2 = = 2 dhambi α + β 2 cos α - β2

Hatua za kupata fomula zilizobaki ni sawa.

Utoaji wa fomula ya tofauti ya sines

dhambi α - dhambi β = dhambi α + β 2 + α - β 2 - dhambi α + β 2 - α - β 2 dhambi α + β 2 + α - β 2 - dhambi α + β 2 - α - β 2 = dhambi α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 dhambi α - β 2 - dhambi α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 dhambi α - β 2 = = 2 dhambi α - β 2 cos α + β2

Utoaji wa fomula ya jumla ya cosines

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - dhambi α + β 2 dhambi α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + dhambi α + β 2 dhambi α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β2

Utoaji wa fomula ya tofauti ya cosines

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - dhambi α + β 2 dhambi α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + dhambi α + β 2 dhambi α - β 2 = = - 2 dhambi α + β 2 dhambi α - β 2

Mifano ya kutatua matatizo ya vitendo

Kwanza, hebu tuangalie moja ya fomula kwa kubadilisha maadili maalum ya pembe ndani yake. Acha α = π 2, β = π 6. Hebu tuhesabu thamani ya jumla ya sines ya pembe hizi. Kwanza, tutatumia jedwali la maadili ya msingi ya kazi za trigonometric, na kisha tutatumia formula ya jumla ya sines.

Mfano 1. Kuangalia fomula ya jumla ya sines ya pembe mbili

α = π 2, β = π 6 dhambi π 2 + dhambi π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 dhambi π 2 + dhambi π 6 = 2 dhambi π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = dhambi 2 π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Wacha sasa tuzingatie kesi wakati maadili ya pembe yanatofautiana na maadili ya kimsingi yaliyowasilishwa kwenye jedwali. Hebu α = 165 °, β = 75 °. Wacha tuhesabu tofauti kati ya sines za pembe hizi.

Mfano 2. Matumizi ya tofauti ya fomula ya sines

α = 165 °, β = 75 ° dhambi α - dhambi β = dhambi 165 ° - dhambi 75 ° dhambi 165 - dhambi 75 = 2 dhambi 165 ° - dhambi 75 ° 2 cos 165 ° + dhambi 75 ° 2 = = 2 dhambi 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Kwa kutumia fomula za jumla na tofauti za sine na kosini, unaweza kusonga kutoka kwa jumla au tofauti hadi kwa bidhaa ya kazi za trigonometric. Mara nyingi fomula hizi huitwa fomula za kuhama kutoka jumla hadi bidhaa. Fomula za jumla na tofauti za sine na kosini hutumika sana katika kutatua milinganyo ya trigonometric na katika kubadilisha usemi wa trigonometric.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Rasilimali hii ya kielektroniki ni nyenzo bora ya kufanya ujifunzaji mwingiliano katika shule za kisasa. Imeandikwa kwa usahihi, ina muundo wazi na inalingana na mtaala wa shule. Shukrani kwa maelezo ya kina, mada iliyotolewa katika somo la video itakuwa wazi kwa wanafunzi wengi darasani iwezekanavyo. Walimu lazima wakumbuke kwamba sio wanafunzi wote wana kiwango sawa cha mtazamo, kasi ya kuelewa, au msingi. Nyenzo kama hizo zitakusaidia kukabiliana na shida na kupatana na wenzako, kuboresha utendaji wako wa masomo. Kwa msaada wao, katika mazingira tulivu ya nyumbani, kwa kujitegemea au pamoja na mwalimu, mwanafunzi anaweza kuelewa mada fulani, kusoma nadharia na kuona mifano ya matumizi ya vitendo ya fomula fulani, nk.

Somo hili la video limetolewa kwa mada "Sine na cosine ya tofauti ya hoja." Inachukuliwa kuwa wanafunzi tayari wamejifunza misingi ya trigonometry, wanaofahamu kazi za msingi na mali zao, fomula za roho na meza za maadili ya trigonometric.

Pia, kabla ya kuendelea na kusoma mada hii, lazima uwe na ufahamu wa sine na cosine ya jumla ya hoja, ujue kanuni mbili za msingi na uweze kuzitumia.

Mwanzoni mwa somo la video, mtangazaji huwakumbusha wanafunzi kuhusu fomula hizi mbili. Ifuatayo, fomula ya kwanza inaonyeshwa - sine ya tofauti ya hoja. Mbali na jinsi fomula yenyewe inavyotolewa, inaonyeshwa jinsi inavyotokana na nyingine. Kwa hivyo, mwanafunzi hatalazimika kukariri fomula mpya bila kuielewa, ambayo ni makosa ya kawaida. Hii ni muhimu sana kwa wanafunzi wa darasa hili. Lazima ukumbuke kila wakati kwamba unaweza kuongeza ishara + mbele ya ishara ya kutoa, na minus kwenye ishara ya kuongeza itageuka kuwa minus. Kwa hatua hii rahisi, unaweza kutumia fomula ya sine ya jumla na kupata fomula ya sine ya tofauti ya hoja.

Fomula ya kosine ya tofauti imetolewa kwa njia sawa kutoka kwa fomula ya kosini ya jumla ya hoja.

Mzungumzaji anaelezea kila kitu hatua kwa hatua, na kwa sababu hiyo, fomula ya jumla ya cosine ya jumla na tofauti ya hoja na sine inatokana, vile vile.

Mfano wa kwanza kutoka sehemu ya vitendo ya somo hili la video unapendekeza kupata cosine ya Pi/12. Inapendekezwa kuwasilisha thamani hii kwa namna ya tofauti fulani, ambayo minuend na subtrahend itakuwa maadili ya tabular. Ifuatayo, fomula ya cosine ya tofauti ya hoja itatumika. Kwa kubadilisha usemi, unaweza kubadilisha maadili yanayotokana na kupata jibu. Mtangazaji anasoma jibu, ambalo linaonyeshwa mwishoni mwa mfano.

Mfano wa pili ni mlinganyo. Katika pande zote mbili za kulia na kushoto tunaona cosines za tofauti za hoja. Spika inafanana na fomula za kutuma, ambazo hutumiwa kuchukua nafasi na kurahisisha misemo hii. Fomula hizi zimeandikwa kwa upande wa kulia ili wanafunzi waweze kuelewa ni wapi mabadiliko fulani yanatoka.

Mfano mwingine, wa tatu, ni sehemu fulani, ambapo katika nambari na denominator tuna maneno ya trigonometric, yaani, tofauti za bidhaa.

Hapa pia, wakati wa kutatua, formula za kupunguza hutumiwa. Kwa hivyo, watoto wa shule wanaweza kuona kwamba ikiwa watakosa mada moja katika trigonometria, itakuwa ngumu zaidi kuelewa zingine.

Na mwishowe, mfano wa nne. Hii pia ni equation ambayo ni muhimu kutumia fomula mpya zilizojifunza na za zamani wakati wa kuzitatua.

Unaweza kuangalia mifano iliyotolewa katika mafunzo ya video kwa undani zaidi na jaribu kutatua mwenyewe. Wanaweza kupewa kazi ya nyumbani kwa watoto wa shule.

KUTENGENEZA MAANDIKO:

Mada ya somo ni "Sine na cosine ya tofauti ya hoja."

Katika kozi iliyotangulia, tuliletewa fomula mbili za trigonometric: sine na cosine ya jumla ya hoja.

dhambi(x + y) = dhambi x cos y + cos x dhambi y,

cos (x + y) = cos x cos y - dhambi x dhambi y.

sine ya jumla ya pembe mbili ni sawa na jumla kati ya bidhaa ya sine ya pembe ya kwanza na cosine ya pembe ya pili na bidhaa ya cosine ya pembe ya kwanza na sine ya pembe ya pili;

Cosine ya jumla ya pembe mbili ni sawa na tofauti kati ya bidhaa za cosines za pembe hizi na bidhaa ya jumla ya pembe hizi.

Kwa kutumia fomula hizi, tutapata fomula Sine na cosine za tofauti za hoja.

Sine ya tofauti ya hoja dhambi(x-y)

Njia mbili (sine ya jumla na sine ya tofauti) zinaweza kuandikwa kama:

dhambi (xy) = dhambi x cos ycos x dhambi y.

Vile vile, tunapata formula ya cosine ya tofauti:

Wacha tuandike tena kosini ya tofauti kati ya hoja kama jumla na tutumie fomula inayojulikana tayari ya kosine ya jumla: cos (x + y) = cosxcosy - sinxsiny.

kwa hoja x na -y pekee. Kubadilisha hoja hizi kwenye fomula, tunapata cosxcos(- y) - sinxsin(- y).

dhambi(- y)= - dhambi). na tunapata usemi wa mwisho cosxcosy + sinxsiny.

cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - dhambi x dhambi(- y)= cosx cos y + dhambi xsin y.

Hii ina maana cos (x - y) = cosxcos y + dhambi xsin y.

Kosine ya tofauti ya pembe mbili ni sawa na jumla kati ya bidhaa za cosines za pembe hizi na bidhaa za sines za pembe hizi.

Kuchanganya fomula mbili (cosine ya jumla na cosine ya tofauti) kuwa moja, tunaandika

maana (xy) = cosxcos y dhambi xsin y.

Tukumbuke kwamba fomula katika mazoezi zinaweza kutumika kutoka kushoto kwenda kulia na kinyume chake.

Hebu tuangalie mifano.

MFANO 1. Kokotoa cos (cosine ya pi ikigawanywa na kumi na mbili).

Suluhisho. Hebu tuandike pi ikigawanywa na kumi na mbili kama tofauti ya pi na tatu na pi ikigawanywa na nne: = - .

Wacha tubadilishe maadili katika fomula tofauti ya cosine: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny, kwa hivyo cos = cos (-) = cos cos + sin sin

Tunajua kwamba cos = , cos = sin= , sin = . Onyesha jedwali la maadili.

Tunabadilisha thamani ya sine na cosine na maadili ya nambari na kupata ∙ + ∙ wakati wa kuzidisha sehemu kwa sehemu, tunazidisha nambari na denomineta, tunapata.

cos = cos (-) = cos cos + sin sin = ∙ + ∙ = = =.

Jibu: cos =.

MFANO 2. Tatua equation cos(2π - 5x) = cos(- 5x) (kosine ya pi mbili minus tano x ni sawa na kosine ya pi kwa mbili minus tano x).

Suluhisho. Kwenye pande za kushoto na kulia za mlingano tunaweka fomula za kupunguza cos(2π - cos (cosine ya pi minus alpha ni sawa na cosine ya alpha) na cos(- = sin (cosine ya pi kwa mbili minus alpha ni sawa na sine ya alpha), tunapata cos 5x = sin 5x, tunatoa kwa fomu ya equation ya homogeneous ya shahada ya kwanza na tunapata cos 5x - sin 5x = 0. Hii ni equation ya homogeneous ya shahada ya kwanza. gawanya pande zote mbili za neno la equation kwa cos 5x. Tuna:

cos 5x: cos 5x - sin 5x: cos 5x = 0, kwa sababu cos 5x: cos 5x = 1, na sin 5x: cos 5x = tan 5x, kisha tunapata:

Kwa kuwa tayari tunajua kuwa equation tgt = a ina suluhisho t = arctga + πn, na kwa kuwa tunayo t = 5x, a = 1, tunapata.

5x = arctan 1 + πn,

na thamani ya arctg ni 1, kisha tg 1= Onyesha jedwali

Badilisha thamani kwenye equation na uitatue:

Jibu: x = +.

MFANO 3. Tafuta thamani ya sehemu. (katika nambari kuna tofauti ya bidhaa ya cosines ya digrii sabini na tano na digrii sitini na tano na bidhaa ya sines ya digrii sabini na tano na digrii sitini na tano, na katika denominator ni tofauti ya bidhaa ya sine. ya digrii themanini na tano na cosine ya digrii thelathini na tano na bidhaa ya cosine ya digrii themanini na tano na sine ya digrii thelathini na tano) .

Suluhisho. Katika nambari ya sehemu hii, tofauti inaweza "kuanguka" katika cosine ya jumla ya hoja 75 ° na 65 °, na katika denominator, tofauti inaweza "kuanguka" kwenye sine ya tofauti kati ya hoja. 85 ° na 35 °. Tunapata

Jibu: - 1.

MFANO 4. Tatua mlingano: cos(-x) + sin(-x) = 1(cosine ya tofauti ya pi kwa nne na x pamoja na sine ya tofauti ya pi kwa nne na x ni sawa na moja).

Suluhisho. Wacha tutumie tofauti za kanuni za cosine na tofauti ya sine.

Onyesha fomula ya tofauti ya jumla ya kosine

Kisha cos (-x) = cos cos x + sininх

Onyesha fomula ya jumla ya tofauti ya sine

na dhambi (-х)= sin cosх - cos sinх

Badili misemo hii kwenye equation cos(-x) + sin(-x) = 1 na upate:

cos cos x + sinin x + dhambi cos x - cos dhambi x = 1,

Kwa kuwa cos= na sin= Onyesha jedwali maana ya sine na kosine

Tunapata ∙ cos x + ∙ sinx + ∙ cos x - ∙ sinx = 1,

neno la pili na la nne ni kinyume, kwa hivyo wanafuta kila mmoja, na kuondoka:

∙ cos + ∙ cos = 1,

Wacha tusuluhishe equation hii na tupate hiyo

2∙ ∙ cos x= 1,

Kwa kuwa tayari tunajua kuwa equation cos = a ina suluhisho t = arcosa+ 2πk, na kwa kuwa tuna t=x, a =, tunapata

x = arccos + 2πn,

na kwa kuwa thamani ni arccos, basi cos =