Grafu ya chaguo za kukokotoa sinx x. Kazi y=sin x na y=cos x na uwasilishaji wao wa grafu kwa somo la aljebra (daraja la 10) kwenye mada.

Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Kazi y=dhambi(x). Ufafanuzi na sifa"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa! Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.

Miongozo na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 10 kutoka 1C
Tunatatua matatizo katika jiometri. Kazi maingiliano ya ujenzi kwa darasa la 7-10
Mazingira ya programu "1C: Mjenzi wa Hisabati 6.1"

Tutajifunza nini:

• Sifa za chaguo za kukokotoa Y=sin(X).
• Grafu ya kazi.
• Jinsi ya kutengeneza grafu na kiwango chake.
• Mifano.

Tabia za sine. Y=dhambi(X)

Jamani, tayari tumefahamu kazi za trigonometric za hoja ya nambari. Je, unawakumbuka?

Wacha tuangalie kwa karibu kazi ya Y=sin(X)

Hebu tuandike baadhi ya sifa za kipengele hiki:
1) Kikoa cha ufafanuzi ni seti ya nambari halisi.
2) Chaguo la kukokotoa si la kawaida. Hebu tukumbuke ufafanuzi wa kazi isiyo ya kawaida. Chaguo za kukokotoa huitwa odd ikiwa usawa unashikilia: y(-x)=-y(x). Kama tunavyokumbuka kutoka kwa kanuni za roho: dhambi(-x)=-dhambi(x). Ufafanuzi umetimia, ambayo inamaanisha Y=sin(X) ni chaguo la kukokotoa lisilo la kawaida.
3) Kitendakazi Y=sin(X) huongezeka kwenye sehemu na hupungua kwenye sehemu [π/2; π]. Tunaposonga kando ya robo ya kwanza (njia ya saa), uratibu huongezeka, na tunapopitia robo ya pili hupungua.

4) Chaguo za kukokotoa Y=sin(X) ni chache kutoka chini na kutoka juu. Mali hii inafuatia ukweli kwamba
-1 ≤ dhambi(X) ≤ 1
5) Thamani ndogo zaidi ya chaguo la kukokotoa ni -1 (saa x = - π/2+ πk). Thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa ni 1 (saa x = π/2+ πk).

Wacha tutumie mali 1-5 kupanga kazi Y=sin(X). Tutaunda grafu yetu kwa mpangilio, kwa kutumia mali zetu. Wacha tuanze kuunda grafu kwenye sehemu.

Uangalifu hasa unapaswa kulipwa kwa kiwango. Kwenye mhimili wa kuratibu ni rahisi zaidi kuchukua sehemu ya kitengo sawa na seli 2, na kwenye mhimili wa abscissa ni rahisi zaidi kuchukua sehemu ya kitengo (seli mbili) sawa na π/3 (tazama takwimu).

Kupanga kitendakazi cha sine x, y=sin(x)

Wacha tuhesabu maadili ya kazi kwenye sehemu yetu:

Wacha tujenge grafu kwa kutumia vidokezo vyetu, kwa kuzingatia mali ya tatu.

Jedwali la ubadilishaji la fomula za ghost

Wacha tutumie mali ya pili, ambayo inasema kwamba kazi yetu ni isiyo ya kawaida, ambayo inamaanisha kuwa inaweza kuonyeshwa kwa ulinganifu kwa heshima na asili:

Tunajua kwamba dhambi(x+ 2π) = dhambi(x). Hii ina maana kwamba kwa muda [- π; π] grafu inaonekana sawa na kwenye sehemu [π; 3π] au au [-3π; - π] na kadhalika. Tunachopaswa kufanya ni kuchora upya grafu kwa uangalifu katika mchoro uliopita pamoja na mhimili mzima wa x.

Grafu ya chaguo za kukokotoa Y=sin(X) inaitwa sinusoid.

Wacha tuandike mali chache zaidi kulingana na grafu iliyojengwa:
6) Chaguo za kukokotoa Y=sin(X) huongezeka kwenye sehemu yoyote ya fomu: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k ni nambari kamili na hupungua kwa sehemu yoyote ya fomu: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – nambari kamili.
7) Kazi Y=dhambi(X) ni chaguo la kukokotoa lenye kuendelea. Wacha tuangalie grafu ya kazi na tuhakikishe kuwa kazi yetu haina mapumziko, hii inamaanisha mwendelezo.
8) Aina mbalimbali za maadili: sehemu [- 1; 1]. Hii pia inaonekana wazi kutoka kwa grafu ya chaguo la kukokotoa.
9) Kazi Y = dhambi (X) - kazi ya mara kwa mara. Wacha tuangalie grafu tena na tuone kwamba kazi inachukua maadili sawa kwa vipindi fulani.

Mifano ya matatizo na sine

1. Tatua equation sin(x)= x-π

Suluhisho: Wacha tujenge grafu 2 za chaguo la kukokotoa: y=sin(x) na y=x-π (tazama takwimu).
Grafu zetu hupishana katika sehemu moja A(π;0), hili ndilo jibu: x = π

2. Grafu chaguo za kukokotoa y=sin(π/6+x)-1

Suluhisho: Grafu inayotakiwa itapatikana kwa kusogeza grafu ya chaguo za kukokotoa y=sin(x) π/6 upande wa kushoto na kitengo 1 chini.

Suluhisho: Wacha tupange kazi na tuzingatie sehemu yetu [π/2; 5π/4].
Grafu ya chaguo la kukokotoa inaonyesha kuwa maadili makubwa zaidi na madogo yanapatikana katika miisho ya sehemu, kwa pointi π/2 na 5π/4, mtawaliwa.
Jibu: sin(π/2) = 1 - thamani kubwa zaidi, dhambi(5π/4) = thamani ndogo zaidi.

Shida za Sine kwa suluhisho la kujitegemea

• Tatua mlingano: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Grafu chaguo za kukokotoa y=sin(π/3+x)-2
• Grafu chaguo za kukokotoa y=sin(-2π/3+x)+1
• Tafuta thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa y=sin(x) kwenye sehemu
• Tafuta thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa y=sin(x) kwenye muda [- π/3; 5π/6]

Imewekwa katikati A.
α - pembe iliyoonyeshwa kwa radians.

Ufafanuzi
Sine (dhambi α) ni kazi ya trigonometriki kutegemeana na pembe α kati ya hypotenuse na mguu wa pembetatu ya kulia, sawa na uwiano wa urefu wa mguu kinyume |BC| kwa urefu wa hypotenuse |AC|.

Kosine (cos α) ni utendaji wa trigonometriki kutegemeana na pembe α kati ya hypotenuse na mguu wa pembetatu ya kulia, sawa na uwiano wa urefu wa mguu ulio karibu |AB| kwa urefu wa hypotenuse |AC|.

Maandishi yaliyokubaliwa

;
;
.

;
;
.

Grafu ya kazi ya sine, y = dhambi x

Grafu ya kazi ya kosini, y = cos x

Tabia za sine na cosine

Muda

Kazi y = dhambi x na y = kwani x mara kwa mara na kipindi 2p.

Usawa

Kitendaji cha sine si cha kawaida. Kazi ya cosine ni sawa.

Domain ya ufafanuzi na maadili, extrema, ongezeko, kupungua

Kazi za sine na kosine zinaendelea katika kikoa chao cha ufafanuzi, yaani, kwa zote x (angalia uthibitisho wa mwendelezo). Mali zao kuu zinawasilishwa kwenye meza (n - integer).

Fomula za kimsingi

Jumla ya miraba ya sine na kosine

Fomula za sine na kosine kutoka kwa jumla na tofauti

;
;

Fomula za bidhaa za sines na cosines

Jumla na tofauti formula

Kuonyesha sine kupitia kosine

;
;
;
.

Kuonyesha cosine kupitia sine

;
;
;
.

Kujieleza kupitia tangent

; .

Wakati, tuna:
; .

Katika :
; .

Jedwali la sines na cosines, tangents na cotangents

Jedwali hili linaonyesha maadili ya sines na cosines kwa maadili fulani ya hoja.

Vielezi kupitia viambishi changamano

;

Muundo wa Euler

Vielezi kupitia vitendaji vya hyperbolic

;
;

Viingilio

; . Uundaji wa fomula >>>

Mitindo ya agizo la nth:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekanti, kosante

Vitendaji kinyume

Kazi za kinyume za sine na cosine ni arcsine na arccosine, kwa mtiririko huo.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Marejeleo:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009.

KAZI GRAPHICS

Sine kazi

- kundi la R nambari zote za kweli.

Maadili ya Kazi Nyingi- sehemu [-1; 1], i.e. kazi ya sine - mdogo.

Utendakazi usio wa kawaida: sin(−x)=−sin x kwa wote x ∈ R.

Kazi ni ya mara kwa mara

dhambi(x+2π k) = dhambi x, ambapo k ∈ Z kwa wote x ∈ R.

dhambi x = 0 kwa x = π·k, k ∈ Z.

dhambi x> 0(chanya) kwa wote x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.

dhambi x< 0 (hasi) kwa zote x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.

Kazi ya Cosine

Kikoa cha Kazi- kundi la R nambari zote za kweli.

Maadili ya Kazi Nyingi- sehemu [-1; 1], i.e. kazi ya cosine - mdogo.

Utendaji sawa: cos(−x)=cos x kwa wote x ∈ R.

Kazi ni ya mara kwa mara na kipindi chanya kidogo zaidi 2π:

cos(x+2π k) = cos x, wapi k ∈ Z kwa wote x ∈ R.

maana x = 0 katika
kwa x> 0 kwa wote
kwani x< 0 kwa wote
Kazi inaongezeka kutoka -1 hadi 1 kwa vipindi:
Kitendaji kinapungua kutoka -1 hadi 1 kwa vipindi:
Thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa sin x = 1 kwa pointi:
Thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa sin x = -1 kwa pointi:

Kazi ya tangent

Maadili ya Kazi Nyingi- mstari mzima wa nambari, i.e. tangent - kazi isiyo na kikomo.

Utendakazi usio wa kawaida: tg(−x)=−tg x
Grafu ya chaguo za kukokotoa ina ulinganifu kuhusu mhimili wa OY.

Kazi ni ya mara kwa mara na kipindi chanya kidogo zaidi π, i.e. tg(x+π k) = tan x, k ∈ Z kwa yote x kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi.

Kazi ya Cotangent

Maadili ya Kazi Nyingi- mstari mzima wa nambari, i.e. cotangent - kazi isiyo na kikomo.

Kazi ni ya mara kwa mara na kipindi chanya kidogo zaidi π, i.e. cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z kwa yote x kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi.

Kazi ya arcsine

Kikoa cha Kazi- sehemu [-1; 1]

Maadili ya Kazi Nyingi- sehemu -π /2 arcsin x π /2, i.e. arcsine - kazi mdogo.

Utendakazi usio wa kawaida: arcsin(−x)=−arcsin x kwa zote x ∈ R.
Grafu ya chaguo za kukokotoa ina ulinganifu kuhusu asili.

Katika eneo lote la ufafanuzi.

Kazi ya arc cosine

Kikoa cha Kazi- sehemu [-1; 1]

Maadili ya Kazi Nyingi- sehemu ya 0 arccos x π, i.e. arccosine - kazi mdogo.

Utendaji unaongezeka juu ya eneo lote la ufafanuzi.

Kazi ya actangent

Kikoa cha Kazi- kundi la R nambari zote za kweli.

Maadili ya Kazi Nyingi- sehemu ya 0 π, i.e. arctangent - kazi mdogo.

Utendakazi usio wa kawaida: arctg(−x)=−arctg x kwa zote x ∈ R.
Grafu ya chaguo za kukokotoa ina ulinganifu kuhusu asili.

Utendaji unaongezeka juu ya eneo lote la ufafanuzi.

Arc tangent kazi

Kikoa cha Kazi- kundi la R nambari zote za kweli.

Maadili ya Kazi Nyingi- sehemu ya 0 π, i.e. arccotangent - kazi mdogo.

Chaguo la kukokotoa si hata wala lisilo la kawaida.
Grafu ya chaguo za kukokotoa haina ulinganifu wala kuhusiana na asili wala kwa heshima ya mhimili wa Oy.

Kitendaji kinapungua juu ya eneo lote la ufafanuzi.

Katika somo hili tutaangalia kwa kina kazi y = dhambi x, sifa zake za msingi na grafu. Mwanzoni mwa somo, tutatoa ufafanuzi wa kazi ya trigonometric y = dhambi t kwenye mduara wa kuratibu na kuzingatia grafu ya kazi kwenye mduara na mstari. Hebu tuonyeshe upimaji wa kazi hii kwenye grafu na fikiria mali kuu ya kazi. Mwisho wa somo, tutasuluhisha shida kadhaa rahisi kwa kutumia grafu ya kazi na mali zake.

Mada: Vitendaji vya Trigonometric

Somo: Kazi y=sinx, sifa zake za msingi na grafu

Wakati wa kuzingatia chaguo za kukokotoa, ni muhimu kuhusisha kila thamani ya hoja na thamani moja ya chaguo za kukokotoa. Hii sheria ya mawasiliano na inaitwa kazi.

Wacha tufafanue sheria ya mawasiliano ya .

Nambari yoyote halisi inalingana na nukta moja kwenye mduara wa kitengo. Hatua ina mratibu mmoja, ambayo inaitwa sine ya nambari (Mchoro 1).

Kila thamani ya hoja inahusishwa na thamani moja ya chaguo la kukokotoa.

Sifa dhahiri hufuata kutoka kwa ufafanuzi wa sine.

Takwimu inaonyesha hivyo kwa sababu ni mratibu wa nukta kwenye duara la kitengo.

Fikiria grafu ya chaguo la kukokotoa. Wacha tukumbuke tafsiri ya kijiometri ya hoja. Hoja ni pembe ya kati, inayopimwa kwa radiani. Pamoja na mhimili tutapanga nambari halisi au pembe katika radians, kando ya mhimili maadili yanayolingana ya kazi.

Kwa mfano, pembe kwenye mduara wa kitengo inalingana na hatua kwenye grafu (Mchoro 2)

Tumepata grafu ya chaguo za kukokotoa katika eneo.Lakini kwa kujua kipindi cha sine, tunaweza kuonyesha grafu ya chaguo za kukokotoa kwenye kikoa kizima cha ufafanuzi (Mchoro 3).

Kipindi kikuu cha chaguo la kukokotoa ni Hii ina maana kwamba grafu inaweza kupatikana kwenye sehemu na kisha kuendelea katika kikoa kizima cha ufafanuzi.

Fikiria sifa za kazi:

1) Wigo wa ufafanuzi:

2) anuwai ya maadili:

3) Kazi isiyo ya kawaida:

4) Kipindi chanya kidogo zaidi:

5) Kuratibu za alama za makutano ya grafu na mhimili wa abscissa:

6) Kuratibu za hatua ya makutano ya grafu na mhimili wa kuratibu:

7) Vipindi ambapo chaguo za kukokotoa huchukua maadili chanya:

8) Vipindi ambapo chaguo za kukokotoa huchukua maadili hasi:

9) Kuongezeka kwa vipindi:

10) Kupungua kwa vipindi:

11) Alama za chini:

12) Kiwango cha chini cha utendaji:

13) Pointi za juu zaidi:

14) Upeo wa utendakazi:

Tuliangalia mali ya kazi na grafu yake. Sifa zitatumika mara kwa mara wakati wa kutatua matatizo.

Bibliografia

1. Algebra na mwanzo wa uchambuzi, daraja la 10 (katika sehemu mbili). Kitabu cha kiada kwa taasisi za elimu ya jumla (kiwango cha wasifu), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra na mwanzo wa uchambuzi, daraja la 10 (katika sehemu mbili). Kitabu cha shida kwa taasisi za elimu (kiwango cha wasifu), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Uchambuzi wa aljebra na hisabati kwa daraja la 10 (kitabu cha wanafunzi wa shule na madarasa na utafiti wa kina wa hisabati) - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Utafiti wa kina wa uchambuzi wa aljebra na hisabati.-M.: Elimu, 1997.

5. Mkusanyiko wa matatizo katika hisabati kwa waombaji kwa taasisi za elimu ya juu (iliyohaririwa na M.I. Skanavi) - M.: Shule ya Juu, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Kiigaji cha algebraic.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Matatizo juu ya aljebra na kanuni za uchambuzi (mwongozo kwa wanafunzi katika darasa la 10-11 la taasisi za elimu ya jumla) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Mkusanyiko wa shida kwenye algebra na kanuni za uchambuzi: kitabu cha maandishi. posho kwa darasa 10-11. kwa kina alisoma Hisabati.-M.: Elimu, 2006.

Kazi ya nyumbani

Algebra na mwanzo wa uchambuzi, daraja la 10 (katika sehemu mbili). Kitabu cha shida kwa taasisi za elimu (kiwango cha wasifu), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Nyenzo za ziada za wavuti

3. Lango la elimu kwa ajili ya maandalizi ya mitihani ().

Katika somo hili tutaangalia kwa kina kazi y = dhambi x, sifa zake za msingi na grafu. Mwanzoni mwa somo, tutatoa ufafanuzi wa kazi ya trigonometric y = dhambi t kwenye mduara wa kuratibu na kuzingatia grafu ya kazi kwenye mduara na mstari. Hebu tuonyeshe upimaji wa kazi hii kwenye grafu na fikiria mali kuu ya kazi. Mwisho wa somo, tutasuluhisha shida kadhaa rahisi kwa kutumia grafu ya kazi na mali zake.

Mada: Vitendaji vya Trigonometric

Somo: Kazi y=sinx, sifa zake za msingi na grafu

Wakati wa kuzingatia chaguo za kukokotoa, ni muhimu kuhusisha kila thamani ya hoja na thamani moja ya chaguo za kukokotoa. Hii sheria ya mawasiliano na inaitwa kazi.

Wacha tufafanue sheria ya mawasiliano ya .

Nambari yoyote halisi inalingana na nukta moja kwenye mduara wa kitengo. Hatua ina mratibu mmoja, ambayo inaitwa sine ya nambari (Mchoro 1).

Kila thamani ya hoja inahusishwa na thamani moja ya chaguo la kukokotoa.

Sifa dhahiri hufuata kutoka kwa ufafanuzi wa sine.

Takwimu inaonyesha hivyo kwa sababu ni mratibu wa nukta kwenye duara la kitengo.

Fikiria grafu ya chaguo la kukokotoa. Wacha tukumbuke tafsiri ya kijiometri ya hoja. Hoja ni pembe ya kati, inayopimwa kwa radiani. Pamoja na mhimili tutapanga nambari halisi au pembe katika radians, kando ya mhimili maadili yanayolingana ya kazi.

Kwa mfano, pembe kwenye mduara wa kitengo inalingana na hatua kwenye grafu (Mchoro 2)

Tumepata grafu ya chaguo za kukokotoa katika eneo.Lakini kwa kujua kipindi cha sine, tunaweza kuonyesha grafu ya chaguo za kukokotoa kwenye kikoa kizima cha ufafanuzi (Mchoro 3).

Kipindi kikuu cha chaguo la kukokotoa ni Hii ina maana kwamba grafu inaweza kupatikana kwenye sehemu na kisha kuendelea katika kikoa kizima cha ufafanuzi.

Fikiria sifa za kazi:

1) Wigo wa ufafanuzi:

2) anuwai ya maadili:

3) Kazi isiyo ya kawaida:

4) Kipindi chanya kidogo zaidi:

5) Kuratibu za alama za makutano ya grafu na mhimili wa abscissa:

6) Kuratibu za hatua ya makutano ya grafu na mhimili wa kuratibu:

7) Vipindi ambapo chaguo za kukokotoa huchukua maadili chanya:

8) Vipindi ambapo chaguo za kukokotoa huchukua maadili hasi:

9) Kuongezeka kwa vipindi:

10) Kupungua kwa vipindi:

11) Alama za chini:

12) Kiwango cha chini cha utendaji:

13) Pointi za juu zaidi:

14) Upeo wa utendakazi:

Tuliangalia mali ya kazi na grafu yake. Sifa zitatumika mara kwa mara wakati wa kutatua matatizo.

Bibliografia

1. Algebra na mwanzo wa uchambuzi, daraja la 10 (katika sehemu mbili). Kitabu cha kiada kwa taasisi za elimu ya jumla (kiwango cha wasifu), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra na mwanzo wa uchambuzi, daraja la 10 (katika sehemu mbili). Kitabu cha shida kwa taasisi za elimu (kiwango cha wasifu), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Uchambuzi wa aljebra na hisabati kwa daraja la 10 (kitabu cha wanafunzi wa shule na madarasa na utafiti wa kina wa hisabati) - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Utafiti wa kina wa uchambuzi wa aljebra na hisabati.-M.: Elimu, 1997.

5. Mkusanyiko wa matatizo katika hisabati kwa waombaji kwa taasisi za elimu ya juu (iliyohaririwa na M.I. Skanavi) - M.: Shule ya Juu, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Kiigaji cha algebraic.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Matatizo juu ya aljebra na kanuni za uchambuzi (mwongozo kwa wanafunzi katika darasa la 10-11 la taasisi za elimu ya jumla) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Mkusanyiko wa shida kwenye algebra na kanuni za uchambuzi: kitabu cha maandishi. posho kwa darasa 10-11. kwa kina alisoma Hisabati.-M.: Elimu, 2006.

Kazi ya nyumbani

Algebra na mwanzo wa uchambuzi, daraja la 10 (katika sehemu mbili). Kitabu cha shida kwa taasisi za elimu (kiwango cha wasifu), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Nyenzo za ziada za wavuti

3. Lango la elimu kwa ajili ya maandalizi ya mitihani ().