Ufafanuzi wa equations za logarithmic. Kutatua hesabu za logarithmic - somo la mwisho

Sisi sote tunafahamu equations kutoka darasa la msingi. Huko pia tulijifunza kutatua mifano rahisi, na lazima tukubali kwamba wanapata matumizi yao hata katika hesabu za hali ya juu. Na equations, kila kitu ni rahisi, pamoja na mraba. Ikiwa una shida na mada hii, tunapendekeza sana uirudie.

Labda tayari umepita logarithms. Walakini, tunaona ni muhimu kusema ni nini kwa wale ambao hawajui bado. Logarithm ni sawa na kiwango ambacho msingi lazima uinuliwe ili kupata nambari kulia kwa ishara ya logarithm. Wacha tutoe mfano, kulingana na ambayo, kila kitu kitakuwa wazi kwako.

Ikiwa unainua 3 hadi nguvu ya nne, unapata 81. Sasa badilisha nambari kwa mfano, na mwishowe utaelewa jinsi logarithms zinatatuliwa. Sasa inabaki tu kuchanganya dhana mbili zinazozingatiwa. Hapo awali, hali hiyo inaonekana kuwa ngumu sana, lakini kwa uchunguzi wa karibu, uzito huanguka mahali. Tuna hakika kwamba baada ya nakala hii fupi hautapata shida yoyote katika sehemu hii ya mtihani.

Leo, kuna njia nyingi za kutatua miundo kama hiyo. Tutakuambia juu ya kazi rahisi, bora zaidi na inayotumika zaidi ya MATUMIZI. Kutatua hesabu za mantiki inapaswa kuanza na mfano rahisi. Milinganisho rahisi zaidi ya hesabu inajumuisha kazi na ubadilishaji mmoja ndani yake.

Ni muhimu kutambua kuwa x iko ndani ya hoja. A na b lazima iwe nambari. Katika kesi hii, unaweza kuelezea tu kazi kwa suala la nambari kwa nguvu. Inaonekana kama hii.

Kwa kweli, kutatua equation ya logarithmic kwa njia hii itasababisha jibu sahihi. Shida ya idadi kubwa ya wanafunzi katika kesi hii ni kwamba hawaelewi ni nini na inatoka wapi. Kama matokeo, lazima uvumilie makosa na usipate alama zinazohitajika. Makosa ya kukera zaidi yatakuwa ikiwa unachanganya herufi mahali. Ili kutatua equation kwa njia hii, unahitaji kukariri fomula ya kawaida ya shule, kwa sababu ni ngumu kuielewa.

Ili kurahisisha, unaweza kutumia njia nyingine - fomu ya kisheria. Wazo ni rahisi sana. Zingatia shida tena. Kumbuka kwamba herufi a ni nambari, sio kazi au ubadilishaji. A si sawa na moja au kubwa kuliko sifuri. Hakuna vizuizi kwa b. Sasa tunakumbuka moja ya kanuni zote. B inaweza kuonyeshwa kama ifuatavyo.

Inafuata kutoka kwa hii kwamba hesabu zote za asili na logarithms zinaweza kuwakilishwa kama:

Sasa tunaweza kuacha logarithms. Matokeo yake ni ujenzi rahisi ambao tuliona mapema.

Urahisi wa fomula hii iko katika ukweli kwamba inaweza kutumika katika hali anuwai, na sio tu kwa miundo rahisi.

Usijali kuhusu OOF!

Wataalam wengi wa hesabu wataona kuwa hatujazingatia uwanja wa ufafanuzi. Utawala umepunguzwa kwa ukweli kwamba F (x) ni lazima zaidi ya 0. Hapana, hatukukosa wakati huu. Sasa tunazungumza juu ya faida nyingine kubwa ya fomu ya kisheria.

Hakuna mizizi isiyo ya lazima itatokea hapa. Ikiwa ubadilishaji utaonekana tu katika sehemu moja, basi wigo sio lazima. Ni anaendesha moja kwa moja. Ili kuthibitisha taarifa hii, fikiria kutatua mifano michache rahisi.

Jinsi ya kutatua hesabu za mantiki na besi tofauti

Hizi tayari ni hesabu ngumu za mantiki, na njia ya suluhisho lao inapaswa kuwa maalum. Mara chache hugeuka kuwa mdogo kwa fomu mbaya ya kanuni. Wacha tuanze hadithi yetu ya kina. Tuna muundo ufuatao.

Makini na sehemu hiyo. Ina logarithm. Ukiona hii katika mgawo, ni muhimu kukumbuka hila ya kupendeza.

Inamaanisha nini? Kila logarithm inaweza kuwakilishwa kama mgawo wa logarithms mbili zilizo na msingi unaofaa. Na fomula hii ina kesi maalum ambayo inatumika na mfano huu (maana, ikiwa c = b).

Hii ndio sehemu ambayo tunaona katika mfano wetu. Kwa hivyo.

Kwa kweli, waligeuza sehemu hiyo na kupata usemi rahisi zaidi. Kumbuka algorithm hii!

Sasa ni muhimu kwamba equation ya logarithmic haikuwa na besi tofauti. Wacha tufikirie msingi kama sehemu.

Katika hisabati, kuna sheria kulingana na ambayo unaweza kuchukua digrii kutoka kwa msingi. Ujenzi ufuatao unageuka.

Inaonekana, ni nini kinazuia sasa kugeuza usemi wetu kuwa fomu ya kisheria na kuitatua kwa njia ya msingi? Sio rahisi sana. Haipaswi kuwa na sehemu ndogo mbele ya logarithm. Tunarekebisha hali hii! Sehemu hiyo inaruhusiwa kufanywa kama digrii.

Kwa mtiririko huo.

Ikiwa besi ni sawa, tunaweza kuondoa logarithms na kulinganisha misemo yenyewe. Kwa hivyo hali itakuwa rahisi zaidi kuliko ilivyokuwa. Kutabaki equation ya msingi, ambayo kila mmoja wetu aliweza kutatua katika darasa la 8 au hata la 7. Unaweza kufanya mahesabu mwenyewe.

Tulipata mzizi wa kweli wa equation hii ya logarithmic. Mifano ya kutatua equation ya logarithm ni rahisi sana, sivyo? Sasa utaweza kujitegemea hata kazi ngumu zaidi za kuandaa na kufaulu mtihani.

Je! Msingi ni nini?

Katika kesi ya equations yoyote ya logarithmic, tunaendelea kutoka kwa sheria moja muhimu sana. Inahitajika kutenda kwa njia ambayo italeta usemi kwa fomu rahisi zaidi. Katika kesi hii, utakuwa na nafasi zaidi sio tu ya kusuluhisha kazi kwa usahihi, lakini pia kuifanya iwe rahisi na ya busara iwezekanavyo. Hivi ndivyo wanahisabati hufanya kila wakati.

Tunakukatisha tamaa sana utafute njia ngumu, haswa katika kesi hii. Kumbuka sheria chache rahisi ambazo zitakuruhusu kubadilisha usemi wowote. Kwa mfano, leta logarithms mbili au tatu kwa msingi mmoja, au pata digrii kutoka kwa msingi na ushinde kwenye hiyo.

Inafaa pia kukumbuka kuwa unahitaji kufundisha kila wakati katika kutatua hesabu za logarithmic. Hatua kwa hatua, utaendelea na muundo ngumu zaidi na ngumu, na hii itasababisha utatue kwa ujasiri anuwai zote za shida kwenye mtihani. Jitayarishe kwa mitihani yako mapema, na bahati nzuri!

Leo tutajifunza jinsi ya kutatua hesabu rahisi za logarithmic, ambapo mabadiliko ya awali na uteuzi wa mizizi hauhitajiki. Lakini ikiwa utajifunza jinsi ya kutatua hesabu kama hizo, itakuwa rahisi zaidi.

Equation rahisi zaidi ya hesabu ni equation ya logi ya fomu f (x) = b, ambapo a, b ni nambari (a> 0, a ≠ 1), f (x) ni kazi fulani.

Kipengele tofauti cha hesabu zote za logarithm ni uwepo wa variable x chini ya ishara ya logarithm. Ikiwa equation kama hiyo imepewa shida hapo awali, inaitwa rahisi zaidi. Usawa mwingine wowote wa hesabu umepunguzwa kwa njia rahisi ya mabadiliko maalum (angalia "Mali ya msingi ya logarithms"). Walakini, ni muhimu kuzingatia hila nyingi: mizizi isiyo ya lazima inaweza kutokea, kwa hivyo hesabu ngumu za mantiki zitazingatiwa kando.

Jinsi ya kutatua equations kama hizo? Inatosha kuchukua nafasi ya nambari upande wa kulia wa ishara sawa na logarithm katika msingi sawa na upande wa kushoto. Basi unaweza kuondoa ishara ya logarithm. Tunapata:

logi f (x) = b ⇒ logi f (x) = ingiza a b ⇒ f (x) = a b

Tulipata equation ya kawaida. Mizizi yake ni mizizi ya equation asili.

Kuchukua digrii

Mara nyingi, hesabu za mantiki, ambazo zinaonekana kuwa ngumu na za kutisha, hutatuliwa katika mistari michache tu bila kuhusisha kanuni ngumu. Leo tutazingatia shida kama hizo, ambapo yote ambayo inahitajika kwako ni kupunguza kwa uangalifu fomula kwa fomu ya kisheria na usichanganyike wakati wa kutafuta uwanja wa ufafanuzi wa logarithms.

Leo, kama labda tayari umebashiri kutoka kwa jina, tutasuluhisha hesabu za mantiki kwa kutumia fomula za mabadiliko ya fomu ya kanuni. "Ujanja" kuu wa somo hili la video itakuwa kufanya kazi na digrii, au tuseme, kupata kiwango kutoka kwa msingi na hoja. Wacha tuangalie sheria:

Vivyo hivyo, unaweza kuchukua kiwango kutoka kwa msingi:

Kama unavyoona, ikiwa, wakati wa kuondoa digrii kutoka kwa hoja ya logarithm, tunayo tu sababu ya ziada mbele, basi wakati wa kuondoa digrii kutoka kwa msingi, sio sababu tu, lakini sababu iliyogeuzwa. Hii lazima ikumbukwe.

Mwishowe, sehemu ya kufurahisha. Njia hizi zinaweza kuunganishwa, kisha tunapata:

Kwa kweli, wakati wa kufanya mabadiliko haya, kuna mitego fulani inayohusishwa na upanuzi unaowezekana wa eneo la ufafanuzi au, kinyume chake, kupungua kwa eneo la ufafanuzi. Jaji mwenyewe:

logi 3 x 2 = 2 ∙ logi 3 x

Ikiwa katika kesi ya kwanza, x inaweza kuwa nambari yoyote isipokuwa 0, ambayo ni hitaji x ≠ 0, basi katika kesi ya pili tutaridhika tu na x, ambazo sio tu sio sawa, lakini ni kubwa zaidi ya 0, kwa sababu uwanja wa ufafanuzi wa logarithm ni kwamba hoja ni kubwa zaidi ya 0. Kwa hivyo, wacha nikukumbushe fomula nzuri kutoka kwa mwendo wa algebra katika darasa la 8-9:

Hiyo ni, lazima tuandike fomula yetu kama ifuatavyo:

logi 3 x 2 = 2 ∙ logi 3 | x |

Basi hakuna kupungua kwa kikoa cha ufafanuzi kitatokea.

Walakini, hakutakuwa na mraba katika mafunzo ya video ya leo. Ukiangalia kazi zetu, utaona tu mizizi. Kwa hivyo, hatutatumia sheria hii, lakini bado inahitaji kuzingatiwa ili kwa wakati unaofaa, unapoona kazi ya quadratic katika hoja au msingi wa logarithm, utakumbuka sheria hii na kutekeleza mabadiliko yote kwa usahihi.

Kwa hivyo usawa wa kwanza:

Ili kutatua shida hii, ninapendekeza uangalie kwa uangalifu kila moja ya maneno yaliyopo kwenye fomula.

Wacha tuandike tena neno la kwanza kama nguvu na kielelezo cha busara:

Tunaangalia neno la pili: logi 3 (1 - x). Huna haja ya kufanya chochote hapa, kila kitu tayari ni mabadiliko.

Mwishowe, 0, 5. Kama nilivyosema katika masomo ya awali, wakati wa kusuluhisha hesabu za hesabu na fomula, ninapendekeza sana kubadili kutoka sehemu ndogo hadi sehemu za kawaida. Wacha tufanye hivi:

0,5 = 5/10 = 1/2

Wacha tuandike fomula yetu ya asili tukizingatia masharti yanayosababishwa:

logi 3 (1 - x) = 1

Sasa hebu tuendelee na fomu ya kisheria:

logi 3 (1 - x) = kumbukumbu 3 3

Tunaondoa ishara ya logarithm kwa kulinganisha hoja:

1 - x = 3

=x = 2

x = -2

Hiyo ndio, tumetatua equation. Walakini, wacha tuicheze salama na tupate uwanja wa ufafanuzi. Ili kufanya hivyo, rudi kwenye fomula ya asili na uone:

1 - x> 0

>x> −1

x< 1

Mzizi wetu x = -2 unatosheleza mahitaji haya, kwa hivyo, x = -2 ni suluhisho la usawa wa asili. Sasa tumepokea haki wazi kabisa. Hiyo ndio, shida imetatuliwa.

Wacha tuendelee na jukumu la pili:

Wacha tushughulikie kila kipindi kando.

Tunaandika ya kwanza:

Tumebadilisha muhula wa kwanza. Tunafanya kazi na kipindi cha pili:

Mwishowe, kipindi cha mwisho kulia kwa ishara sawa:

Tunabadilisha maneno yaliyopatikana badala ya maneno katika fomula inayosababisha:

logi 3 x = 1

Wacha tuendelee kwa fomu ya kisheria:

logi 3 x = logi 3 3

Tunaondoa ishara ya logarithm, kulinganisha hoja, na tunapata:

x = 3

Tena, hebu tucheze salama ikiwa tu, rudi kwenye equation ya asili uone. Katika fomula ya asili, variable x iko tu kwenye hoja, kwa hivyo,

x> 0

Katika logarithm ya pili, x iko chini ya mzizi, lakini tena katika hoja, kwa hivyo, mzizi lazima uwe mkubwa kuliko 0, ambayo ni kwamba, usemi mkali lazima uwe mkubwa kuliko 0. Angalia mzizi wetu x = 3. Kwa wazi, ni inakidhi mahitaji haya. Kwa hivyo, x = 3 ni suluhisho la equation asili ya logarithmic. Hiyo ndio, shida imetatuliwa.

Kuna mambo mawili muhimu katika mafunzo ya video ya leo:

1) usiogope kubadilisha mantiki na, haswa, usiogope kuchukua nguvu kutoka kwa ishara ya logarithm, wakati unakumbuka fomula yetu ya kimsingi: wakati wa kuondoa digrii kutoka kwa hoja, inachukuliwa tu bila kubadilika kama sababu, na wakati digrii inachukuliwa nje ya msingi, digrii hii inabadilishwa.

2) hatua ya pili inahusishwa na fomu ya kanuni yenyewe. Tulifanya mpito kwa fomu ya kikanoni mwishoni kabisa mwa mabadiliko ya fomula ya equation ya logarithmic. Wacha nikukumbushe fomula ifuatayo:

a = logi b b a

Kwa kweli, kwa usemi "nambari yoyote b", namaanisha nambari kama hizo ambazo zinakidhi mahitaji yaliyowekwa kwenye msingi wa logarithm, i.e.

1 ≠ b> 0

Kwa b kama, na kwa kuwa tayari tunajua msingi, mahitaji haya yatatimizwa kiatomati. Lakini kwa vile b - yoyote inayokidhi mahitaji haya - mpito huu unaweza kufanywa, na tunapata fomu ya kisheria ambayo tunaweza kuondoa ishara ya logarithm.

Kupanua wigo na mizizi isiyo ya lazima

Katika mchakato wa kubadilisha hesabu za logarithm, upanuzi kamili wa kikoa cha ufafanuzi unaweza kutokea. Mara nyingi, wanafunzi hawaoni hata hii, ambayo husababisha makosa na majibu yasiyo sahihi.

Wacha tuanze na miundo rahisi. Equation rahisi zaidi ya logarithm ni hii ifuatayo:

logi f (x) = b

Kumbuka kuwa x iko tu katika hoja moja ya logarithm moja. Je! Tunatatua vipi usawa? Tunatumia fomu ya kisheria. Ili kufanya hivyo, tunawakilisha nambari b = logi a b, na equation yetu itaandikwa tena kama ifuatavyo:

logi f (x) = ingiza a b

Ingizo hili linaitwa fomu ya kisheria. Ni kwake kwamba usawa wowote wa mantiki ambao hukutana sio tu katika somo la leo, lakini pia katika kazi yoyote huru na ya kudhibiti inapaswa kupunguzwa.

Jinsi ya kuja kwa fomu ya kisheria, ni mbinu gani za kutumia tayari ni suala la mazoezi. Jambo kuu kuelewa ni kwamba mara tu unapopokea rekodi kama hiyo, unaweza kudhani kuwa shida imetatuliwa. Kwa sababu hatua inayofuata ni kuandika:

f (x) = a b

Kwa maneno mengine, tunaondoa ishara ya logarithm na tu kulinganisha hoja.

Kwa nini mazungumzo haya yote? Ukweli ni kwamba fomu ya kanuni haitumiki tu kwa shida rahisi, bali pia kwa wengine wowote. Hasa, kwa wale ambao tutatatua leo. Hebu tuone.

Kazi ya kwanza:

Je! Kuna shida gani na equation hii? Ukweli kwamba kazi iko katika logarithms mbili mara moja. Shida inaweza kupunguzwa kuwa rahisi zaidi, kwa kuondoa tu logarithm moja kutoka kwa nyingine. Lakini kuna shida na wigo wa ufafanuzi: mizizi ya ziada inaweza kuonekana. Kwa hivyo wacha tu hoja moja ya logarithms kulia:

Rekodi kama hii tayari iko zaidi kama fomu ya kisheria. Lakini kuna nuance moja zaidi: katika fomu ya kisheria, hoja lazima ziwe sawa. Na tuna msingi wa logarithm 3 upande wa kushoto, na msingi 1/3 upande wa kulia. Anajua, unahitaji kuleta sababu hizi kwa nambari sawa. Kwa mfano, hebu tukumbuke ni nini nguvu hasi ni:

Na kisha tutatumia hoja ya nje "-1" logi ya nje kama sababu:

Tafadhali kumbuka: shahada ambayo ilisimama kwenye msingi inageuka na kugeuka kuwa sehemu. Tulipata notation karibu ya kisheria, tukiondoa misingi tofauti, lakini kwa kurudi tulipata sababu "-1" upande wa kulia. Wacha tuongeze jambo hili kwa hoja, na kuibadilisha kuwa nguvu:

Kwa kweli, baada ya kupokea fomu ya kisheria, kwa ujasiri tunavuka ishara ya logarithm na kulinganisha hoja. Wakati huo huo, wacha nikukumbushe kwamba wakati umeinuliwa kwa nguvu "−1", sehemu hiyo inageuka tu - idadi hiyo inapatikana.

Wacha tutumie mali kuu ya uwiano na tuzidishe kwa njia ya kupita:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x 2 - 9x + 4 = 3x 2 - 19x + 20

x 2 - 10x + 16 = 0

Mbele yetu ni hesabu iliyopewa ya quadratic, kwa hivyo tunaisuluhisha kwa kutumia fomula za Vieta:

(x - 8) (x - 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

Ni hayo tu. Je! Unafikiri equation inatatuliwa? Hapana! Kwa suluhisho kama hilo, tunapata alama 0, kwa sababu equation asili ina logarithms mbili na x inayobadilika mara moja. Kwa hivyo, inahitajika kuzingatia upeo wa ufafanuzi.

Na hapa ndipo raha huanza. Wanafunzi wengi wamechanganyikiwa: uwanja wa logarithm ni nini? Kwa kweli, hoja zote (tuna mbili) lazima ziwe kubwa kuliko sifuri:

(x - 4) / (3x - 4)> 0

(x - 5) / (2x - 1)> 0

Kila moja ya usawa huu lazima utatuliwe, uweke alama kwenye mstari ulionyooka, uvuke - na kisha tu uone ni mizizi ipi iko kwenye makutano.

Kuwa waaminifu: mbinu hii ina haki ya kuwepo, ni ya kuaminika, na utapata jibu sahihi, lakini kuna vitendo vingi visivyo vya lazima ndani yake. Basi wacha tuende kupitia suluhisho letu tena na tuone: ni wapi haswa unataka kutumia upeo? Kwa maneno mengine, unahitaji kuelewa wazi lini mizizi ya ziada inatokea.

1. Hapo awali, tulikuwa na logarithms mbili. Kisha tulihamisha mmoja wao kwenda kulia, lakini hii haikuathiri eneo la ufafanuzi.
2. Kisha tunaondoa digrii kutoka kwa msingi, lakini bado kuna logarithms mbili, na kila moja yao ina x inayobadilika.
3. Mwishowe, tunatoa ishara kwa logi na kupata hesabu ya busara ya kawaida.

Ni katika hatua ya mwisho ambayo kikoa cha ufafanuzi kinapanuka! Mara tu tulipohamia kwa equation ya busara ya busara, tukiondoa ishara za logi, mahitaji ya variable x yalibadilika sana!

Kwa hivyo, uwanja wa ufafanuzi unaweza kuzingatiwa sio mwanzoni mwa suluhisho, lakini tu kwa hatua iliyotajwa - kabla ya kulinganisha hoja moja kwa moja.

Hapa ndipo fursa ya utaftaji iko. Kwa upande mmoja, tunahitajika kuwa hoja zote mbili ni kubwa kuliko sifuri. Kwa upande mwingine, tunazilinganisha hoja hizi. Kwa hivyo, ikiwa angalau moja yao ni chanya, basi ya pili pia itakuwa chanya!

Kwa hivyo inageuka kuwa kuhitaji kutimizwa kwa usawa mbili mara moja ni overkill. Inatosha kuzingatia moja tu ya sehemu hizi. Gani? Hiyo ni rahisi zaidi. Kwa mfano, wacha tushughulike na sehemu sahihi:

(x - 5) / (2x - 1)> 0

Hii ni usawa wa kawaida wa sehemu ndogo, tunasuluhisha kwa njia ya vipindi:

Jinsi ya kuweka ishara? Wacha tuchukue nambari ambayo ni dhahiri kubwa kuliko mizizi yetu yote. Kwa mfano bilioni 1. Na badilisha sehemu yake. Tunapata nambari nzuri, i.e. kulia kwa mzizi x = 5 kutakuwa na ishara ya kuongeza.

Kisha ishara hubadilika, kwa sababu hakuna mizizi ya kuzidisha hata mahali popote. Tunavutiwa na vipindi ambapo kazi ni nzuri. Kwa hivyo, x ∈ (−∞; −1/2) ∪ (5; + ∞).

Sasa hebu tukumbuke majibu: x = 8 na x = 2. Kwa kweli, haya sio majibu bado, lakini ni watahiniwa wa jibu. Ambayo ni ya seti maalum? Kwa kweli, x = 8. Lakini x = 2 haifai sisi katika uwanja wa ufafanuzi.

Jibu la jumla la equation ya kwanza ya logarithm ni x = 8. Sasa tumepokea suluhisho linalofaa, lenye msingi mzuri, kwa kuzingatia uwanja wa ufafanuzi.

Wacha tuendelee kwa equation ya pili:

logi 5 (x - 9) = logi 0.5 4 - logi 5 (x - 5) + 3

Wacha nikukumbushe kwamba ikiwa kuna sehemu ya decimal katika equation, basi unapaswa kuiondoa. Kwa maneno mengine, wacha tuandike tena 0.5 kama sehemu ya kawaida. Mara moja tunaona kuwa logarithm iliyo na msingi huu imehesabiwa kwa urahisi:

Huu ni wakati muhimu sana! Tunapokuwa na digrii chini na kwenye hoja, tunaweza kuleta viashiria vya digrii hizi kwa fomula:

Rudi kwenye equation yetu ya asili ya logarithm na uandike tena:

logi 5 (x - 9) = 1 - logi 5 (x - 5)

Tulipata ujenzi ambao uko karibu kabisa na fomu ya kisheria. Walakini, tumechanganyikiwa na maneno na ishara ya minus kulia kwa ishara sawa. Wacha tufikirie moja kama msingi wa logarithm 5:

logi 5 (x - 9) = kumbukumbu 5 5 1 - logi 5 (x - 5)

Ondoa logarithms kutoka kulia (wakati hoja zao zinagawanyika):

logi 5 (x - 9) = kumbukumbu 5 5 / (x - 5)

Kikamilifu. Kwa hivyo tulipata fomu ya kikanoni! Piga ishara za logi na ulinganishe hoja:

(x - 9) / 1 = 5 / (x - 5)

Hii ni sehemu ambayo inaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kuzidisha njia ya kuvuka:

(x - 9) (x - 5) = 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 = 5

x 2 - 14x + 40 = 0

Kwa wazi, mbele yetu tuna hesabu iliyopewa ya quadratic. Inaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kutumia fomula za Vieta:

(x - 10) (x - 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

Tulipata mizizi miwili. Lakini haya sio majibu ya uhakika, lakini watahiniwa tu, kwa sababu equation ya logarithmic pia inahitaji uthibitisho wa uwanja wa ufafanuzi.

Nakukumbusha: hakuna haja ya kuangalia wakati kila mmoja ya hoja itakuwa kubwa kuliko sifuri. Inatosha kuhitaji kuwa hoja moja - iwe x - 9 au 5 / (x - 5) - ni kubwa kuliko sifuri. Fikiria hoja ya kwanza:

x - 9> 0

x> 9

Kwa wazi, ni x = 10 tu inayokidhi mahitaji haya.Hili ndilo jibu la mwisho. Shida yote imetatuliwa.

Kwa mara nyingine, mambo muhimu ya somo la leo ni:

1. Mara tu anuwai x inapoonekana katika logarithms kadhaa, equation huacha kuwa ya msingi, na kwa hiyo itabidi uhesabu kikoa. Vinginevyo, unaweza kuandika kwa urahisi mizizi ya ziada kwa kujibu.
2. Kufanya kazi na kikoa yenyewe kunaweza kurahisishwa sana ikiwa tunaandika ukosefu wa usawa sio mara moja, lakini haswa wakati tunapoondoa ishara za logi. Baada ya yote, wakati hoja zinafananishwa na kila mmoja, ni vya kutosha kudai kwamba mmoja tu ni mkubwa kuliko sifuri.

Kwa kweli, sisi wenyewe tunachagua kutoka kwa hoja gani ya kutunga usawa, kwa hivyo ni busara kuchagua moja rahisi. Kwa mfano, katika equation ya pili, tulichagua hoja (x - 9) - kazi ya mstari, kinyume na hoja ya pili ya busara. Kukubaliana, kutatua ukosefu wa usawa x - 9> 0 ni rahisi zaidi kuliko 5 / (x - 5)> 0. Ingawa matokeo ni sawa.

Maneno haya yanarahisisha utaftaji wa LDV, lakini kuwa mwangalifu: unaweza kutumia usawa mmoja badala ya mbili tu wakati hoja ziko haswa. sawa na kila mmoja!

Kwa kweli, mtu sasa atauliza: ni nini kinachotokea tofauti? Ndio, wakati mwingine. Kwa mfano, katika hatua yenyewe, wakati tunazidisha hoja mbili zilizo na kutofautisha, kuna hatari ya mizizi isiyo ya lazima.

Jaji mwenyewe: mwanzoni, kila hoja inahitajika kuwa kubwa kuliko sifuri, lakini baada ya kuzidisha, inatosha kuwa bidhaa yao ni kubwa kuliko sifuri. Kama matokeo, kesi inakosa wakati kila sehemu hizi ni hasi.

Kwa hivyo, ikiwa unaanza tu kushughulika na hesabu ngumu za hesabu, hakuna kesi unazidisha logarithms zilizo na x ya kutofautisha - mara nyingi hii itasababisha mizizi isiyo ya lazima. Bora kuchukua hatua moja ya ziada, songa neno moja kwenda upande mwingine, tengeneza fomu ya kanuni.

Kweli, ni nini cha kufanya ikiwa huwezi kufanya bila kuzidisha logarithms kama hizo, tutajadili katika mafunzo ya video inayofuata. :)

Mara nyingine tena juu ya digrii katika equation

Leo tutachambua mada inayoteleza inayohusiana na hesabu za mantiki, au tuseme, kuondolewa kwa nguvu kutoka kwa hoja na misingi ya logarithms.

Napenda hata kusema kwamba tutazungumza juu ya kutengeneza digrii hata, kwa sababu ni kwa digrii hata shida nyingi zinaibuka wakati wa kusuluhisha hesabu halisi za logarithm.

Wacha tuanze na fomu ya kisheria. Wacha tuseme tuna equation ya fomu logi f (x) = b. Katika kesi hii, tunaandika tena nambari b kulingana na fomula b = ingiza a b. Inageuka yafuatayo:

logi f (x) = ingiza a b

Kisha tunalinganisha hoja:

f (x) = a b

Fomula ya mwisho huitwa fomu ya kisheria. Ni kwake kwamba wanajaribu kupunguza equation yoyote ya logarithmic, bila kujali ni ngumu na ya kutisha inaweza kuonekana kwa mtazamo wa kwanza.

Basi wacha tujaribu. Wacha tuanze na jukumu la kwanza:

Ujumbe wa awali: kama nilivyosema, sehemu zote za desimali katika equation ya logarithm ni bora kubadilishwa kuwa zile za kawaida:

0,5 = 5/10 = 1/2

Wacha tuandike tena equation yetu na ukweli huu akilini. Kumbuka kuwa zote 1/1000 na 100 ni nguvu ya kumi, na kisha tunatoa nguvu kutoka popote zilipo: kutoka kwa hoja na hata kutoka kwa msingi wa logarithms:

Na hapa wanafunzi wengi wana swali: "Moduli ilitoka wapi kulia?" Kwa kweli, kwa nini usiandike tu (x - 1)? Kwa kweli, sasa tutaandika (x - 1), lakini haki ya rekodi hiyo inatupa akaunti ya uwanja wa ufafanuzi. Kwa kweli, katika logarithm nyingine tayari kuna (x - 1), na usemi huu lazima uwe mkubwa kuliko sifuri.

Lakini wakati tunatoa mraba kutoka kwa msingi wa logarithm, lazima tuache moduli kwenye msingi. Ngoja nieleze kwanini.

Ukweli ni kwamba kutoka kwa mtazamo wa hesabu, kuchukua digrii ni sawa na kuchimba mzizi. Hasa, wakati mraba unachukuliwa kutoka kwa usemi (x - 1) 2, kwa kweli tunatoa mzizi wa digrii ya pili. Lakini mzizi wa mraba sio kitu zaidi ya moduli. Hasa moduli, kwa sababu hata kama usemi x - 1 ni hasi, wakati mraba, "minus" bado itawaka. Uchimbaji zaidi wa mzizi utatupa nambari nzuri - tayari bila shida yoyote.

Kwa ujumla, ili kuzuia makosa ya kukera, kumbuka mara moja na kwa wote:

Mzizi hata wa kazi yoyote ambayo imeinuliwa kwa nguvu sawa sio sawa na kazi yenyewe, lakini kwa moduli yake:

Rudi kwenye equation yetu ya logarithmic. Akizungumza juu ya moduli, nilisema kwamba tunaweza kuiondoa bila uchungu. Hii ni kweli. Ngoja nieleze kwanini. Kusema ukweli, ilibidi tuangalie chaguzi mbili:

1. x - 1> 0 ⇒ | x - 1 | = x - 1
2. x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Kila moja ya chaguzi hizi ingebidi ishughulikiwe. Lakini kuna moja ya kukamata: fomula ya asili tayari ina kazi (x - 1) bila moduli yoyote. Na kufuata uwanja wa ufafanuzi wa logarithms, tuna haki ya kuandika mara moja kuwa x - 1> 0.

Mahitaji haya lazima yatimizwe bila kujitegemea kwa moduli yoyote na mabadiliko mengine ambayo tunafanya katika mchakato wa suluhisho. Kwa hivyo, haina maana kuzingatia chaguo la pili - halitatokea kamwe. Hata kama, wakati wa kutatua tawi hili la ukosefu wa usawa, tunapata nambari kadhaa, bado hazitajumuishwa katika jibu la mwisho.

Sasa sisi ni hatua moja mbali na fomu ya kisheria ya equation ya logarithmic. Wacha tuwakilishe kitengo kama ifuatavyo:

1 = logi x - 1 (x - 1) 1

Kwa kuongeza, tunaongeza sababu −4 upande wa kulia kwenye hoja:

logi x - 1 10 −4 = logi x - 1 (x - 1)

Mbele yetu kuna fomu ya kisheria ya equation ya logarithmic. Ondoa ishara ya logarithm:

10 −4 = x - 1

Lakini kwa kuwa msingi ulikuwa kazi (na sio nambari kuu), tunahitaji pia kwamba kazi hii iwe kubwa kuliko sifuri na sio sawa na moja. Mfumo utatokea:

Kwa kuwa mahitaji x - 1> 0 yametimizwa kiatomati (baada ya yote, x - 1 = 10 −4), moja ya usawa inaweza kufutwa kutoka kwa mfumo wetu. Hali ya pili pia inaweza kuvuka, kwa sababu x - 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0.0001 = 1.0001

Huu ndio mzizi pekee ambao hutosheleza moja kwa moja mahitaji yote ya kikoa cha ufafanuzi wa logarithm (hata hivyo, mahitaji yote yalikataliwa kama yaliyotekelezwa kwa kujua katika hali ya shida yetu).

Kwa hivyo usawa wa pili:

3 logi 3 x x = 2 logi 9 x x 2

Je! Equation hii kimsingi ni tofauti na ile ya awali? Tayari angalau na ukweli kwamba misingi ya logarithms - 3x na 9x - sio digrii za asili za kila mmoja. Kwa hivyo, mpito ambao tulitumia katika suluhisho la hapo awali hauwezekani.

Wacha angalau tuachane na digrii. Kwa upande wetu, kiwango pekee ni katika hoja ya pili:

3 logi 3 x x = 2 ∙ 2 logi 9 x | x |

Walakini, ishara ya moduli inaweza kuondolewa, kwa sababu anuwai ya x pia iko kwenye msingi, i.e. x> 0 ⇒ | x | = x. Wacha tuandike equation yetu ya logarithmic:

3 logi 3 x x = 4 logi 9 x x

Tulipata logarithms na hoja sawa, lakini misingi tofauti. Nifanye nini baadaye? Kuna chaguzi nyingi hapa, lakini tutazingatia mbili tu, ambazo ni za kimantiki zaidi, na muhimu zaidi, hizi ni mbinu za haraka na zinazoeleweka kwa wanafunzi wengi.

Tayari tumezingatia chaguo la kwanza: katika hali yoyote isiyoeleweka, tafsiri logarithms na msingi wa kutofautisha kwa msingi wa kila wakati. Kwa mfano, kwa deuce. Fomula ya mpito ni rahisi:

Kwa kweli, nambari ya kawaida inapaswa kuchukua jukumu la ubadilishaji c: 1 ≠ c> 0. Hebu kwa kesi yetu c = 2. Sasa tuna hesabu ya kawaida ya busara. Tunakusanya vitu vyote kushoto:

Kwa wazi, logi ya sababu 2 x ni bora kuchukua, kwani iko katika sehemu za kwanza na za pili.

logi 2 x = 0;

3 logi 2 9x = 4 logi 2 3x

Tunagawanya kila logi kwa maneno mawili:

logi 2 9x = kumbukumbu 2 9 + logi 2 x = 2 logi 2 3 + logi 2 x;

logi 2 3x = kumbukumbu 2 3 + logi 2 x

Wacha tuandike pande zote mbili za usawa kwa kuzingatia ukweli huu:

3 (2 logi 2 3 + logi 2 x) = 4 (ingia 2 3 + logi 2 x)

Logi 6 2 3 + 3 logi 2 x = 4 logi 2 3 + 4 logi 2 x

2 logi 2 3 = kumbukumbu 2 x

Sasa inabaki kuongeza mbili chini ya ishara ya logarithm (itageuka kuwa nguvu: 3 2 = 9):

logi 2 9 = logi 2 x

Mbele yetu kuna fomu ya kikanoni ya zamani, tunaondoa ishara ya logarithm na tunapata:

Kama inavyotarajiwa, mzizi huu uliibuka kuwa mkubwa kuliko sifuri. Inabaki kuangalia kikoa. Wacha tuangalie sababu:

Lakini mzizi x = 9 hukidhi mahitaji haya. Kwa hivyo, ni uamuzi wa mwisho.

Hitimisho kutoka kwa suluhisho hili ni rahisi: usiogope na mahesabu marefu! Ni kwamba tu mwanzoni kabisa tulichagua msingi mpya bila mpangilio - na hii ilikuwa ngumu sana kwa mchakato.

Lakini basi swali linatokea: ni msingi gani mojawapo? Nitazungumza juu ya hii kwa njia ya pili.

Wacha turudi kwenye equation yetu ya asili:

3 logi 3x x = 2 logi 9x x 2

3 logi 3x x = 2 ∙ 2 logi 9x | x |

x> 0 ⇒ | x | = x

3 logi 3 x x = 4 logi 9 x x

Sasa hebu fikiria kidogo: ni nambari gani au kazi gani itakuwa radix bora? Kwa wazi, chaguo bora itakuwa c = x - chochote kilicho tayari kwenye hoja. Katika kesi hii, fomula ingia b = logi c b / logi c itachukua fomu:

Kwa maneno mengine, usemi umegeuzwa tu. Katika kesi hii, hoja na msingi hubadilishwa.

Fomula hii ni muhimu sana na hutumiwa mara nyingi wakati wa kusuluhisha hesabu ngumu za hesabu. Walakini, kuna shida moja mbaya wakati wa kutumia fomula hii. Ikiwa badala ya msingi tunabadilisha x inayobadilika, basi vikwazo vimewekwa juu yake, ambavyo havikuzingatiwa hapo awali:

Hakukuwa na upeo kama huo katika usawa wa asili. Kwa hivyo, inahitajika kuangalia kando kando wakati x = 1. Badili dhamana hii katika equation yetu:

3 logi 3 1 = 4 logi 9 1

Tunapata usawa wa nambari sahihi. Kwa hivyo, x = 1 ni mzizi. Tulipata mzizi sawa katika njia iliyopita hapo mwanzo wa suluhisho.

Lakini sasa, wakati tulizingatia kadhia hii kando, tunadhania salama kuwa x ≠ 1. Halafu equation yetu ya logarithmic itaandikwa tena kama ifuatavyo:

3 logi x 9x = 4 logi x 3x

Panua logarithms zote mbili kwa kutumia fomula sawa na hapo awali. Kumbuka kuwa logi x x = 1:

3 (logi x 9 + log x x) = 4 (logi x 3 + log x x)

Gogo 3 x 9 + 3 = 4 logi x 3 + 4

Gogo 3 x 3 2 - 4 logi x 3 = 4 - 3

2 logi x 3 = 1

Kwa hivyo tulikuja kwa fomu ya kisheria:

logi x 9 = logi x x 1

x = 9

Tulipata mzizi wa pili. Inatosheleza mahitaji x ≠ 1. Kwa hivyo, x = 9 na x = 1 ndio jibu la mwisho.

Kama unavyoona, kiasi cha mahesabu kimepungua kidogo. Lakini wakati wa kutatua equation halisi ya logarithm, idadi ya vitendo itakuwa chini pia kwa sababu hauhitajiki kuelezea kila hatua kwa undani.

Utawala muhimu wa somo la leo ni kama ifuatavyo: ikiwa kuna kiwango hata cha shida, ambayo mzizi wa kiwango sawa hutolewa, basi kwenye pato tunapata moduli. Walakini, moduli hii inaweza kuondolewa ikiwa tutazingatia kikoa cha ufafanuzi wa logarithms.

Lakini kuwa mwangalifu: wanafunzi wengi baada ya somo hili wanafikiri wanaelewa kila kitu. Lakini wakati wa kusuluhisha shida halisi, hawawezi kuzaliana mlolongo mzima wa kimantiki. Kama matokeo, equation inakua na mizizi isiyo ya lazima, na jibu linaonekana kuwa sawa.

Maagizo

Andika usemi maalum wa mantiki. Ikiwa usemi unatumia logarithm ya 10, basi nukuu yake imepunguzwa na inaonekana kama hii: lg b ni logarithm ya decimal. Ikiwa logarithm ina nambari e kama msingi, kisha andika usemi: ln b - logarithm asili. Inaeleweka kuwa matokeo ya yoyote ni nguvu ambayo nambari ya msingi inapaswa kuinuliwa ili kupata nambari b.

Wakati wa kupata jumla ya kazi mbili, unahitaji tu kuzitofautisha kwa zamu, na ongeza matokeo: (u + v) "= u" + v ";

Wakati wa kupata kipato cha bidhaa ya kazi mbili, ni muhimu kuzidisha derivative ya kazi ya kwanza na ya pili na kuongeza kipato cha kazi ya pili, ikizidishwa na kazi ya kwanza: (u * v) "= u" * v + v "* u;

Ili kupata kipato cha mgawo wa kazi mbili, inahitajika, kutoka kwa bidhaa ya derivative ya gawio iliyozidishwa na kazi ya mgawanyiko, kutoa bidhaa ya derivative ya the divisor iliyozidishwa na kazi ya gawio, na ugawanye yote haya na kazi ya mgawanyiko mraba. (u / v) "= (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

Ikiwa kazi ngumu inapewa, basi ni muhimu kuzidisha derivative ya kazi ya ndani na inayotokana na ile ya nje. Wacha y = u (v (x)), halafu y "(x) = y" (u) * v "(x).

Kutumia zile zilizopatikana hapo juu, unaweza kutofautisha karibu kazi yoyote. Kwa hivyo, wacha tuangalie mifano michache:

y = x ^ 4, y "= 4 * x ^ (4-1) = 4 * x ^ 3;

y = 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "= 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x));
Pia kuna shida za kuhesabu derivative kwa hatua. Acha kazi y = e ^ (x ^ 2 + 6x + 5) ipewe, unahitaji kupata thamani ya kazi hiyo kwa uhakika x = 1.
1) Pata kipato cha kazi: y "= e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Hesabu thamani ya kazi katika hatua iliyopewa y "(1) = 8 * e ^ 0 = 8

Video Zinazohusiana

Ushauri wa kusaidia

Jifunze meza ya vitu vya msingi. Hii itaokoa sana wakati.

Vyanzo:

• derivative ya mara kwa mara

Kwa hivyo, ni nini tofauti kati ya equation isiyo ya kawaida na moja ya busara? Ikiwa tofauti isiyojulikana iko chini ya ishara ya mizizi ya mraba, basi equation inachukuliwa kuwa isiyo ya maana.

Maagizo

Njia kuu ya kutatua equations kama hizo ni njia ya kujenga sehemu zote mbili equations katika mraba. Walakini. hii ni ya asili, hatua ya kwanza ni kuondoa ishara. Njia hii sio ngumu kiufundi, lakini wakati mwingine inaweza kukuingiza kwenye shida. Kwa mfano, equation v (2x-5) = v (4x-7). Kwa kupiga pande zote mbili, unapata 2x-5 = 4x-7. Usawa huu sio ngumu kusuluhisha; x = 1. Lakini nambari 1 haitapewa equations... Kwa nini? Kubadilisha 1 katika equation ya x, na zote mbili kulia na kushoto zitakuwa na misemo ambayo haina maana, ambayo ni. Thamani hii sio halali kwa mizizi ya mraba. Kwa hivyo, 1 ni mzizi wa nje, na kwa hivyo equation iliyopewa haina mizizi.

Kwa hivyo, equation isiyo ya kawaida hutatuliwa kwa kutumia njia ya mraba pande zake zote. Na baada ya kumaliza equation, ni muhimu kukata mizizi ya nje. Ili kufanya hivyo, badilisha mizizi iliyopatikana kwenye usawa wa asili.

Fikiria nyingine.
2x + vx-3 = 0
Kwa kweli, equation hii inaweza kutatuliwa kwa njia sawa na ile ya awali. Sogeza mchanganyiko equations ambazo hazina mizizi ya mraba, upande wa kulia kisha utumie njia ya mraba. suluhisha usawa wa mantiki na mizizi. Lakini pia nyingine, yenye neema zaidi. Ingiza tofauti mpya; vx = y. Ipasavyo, unapata equation ya fomu 2y2 + y-3 = 0. Hiyo ni, equation ya kawaida ya quadratic. Pata mizizi yake; y1 = 1 na y2 = -3 / 2. Ifuatayo, amua mbili equations vx = 1; vx = -3 / 2. Mlinganyo wa pili hauna mizizi, kutoka kwa kwanza tunaona kuwa x = 1. Usisahau kuangalia mizizi.

Kutatua vitambulisho ni rahisi kutosha. Hii inahitaji kufanya mabadiliko yanayofanana hadi kufikia lengo. Kwa hivyo, kwa msaada wa shughuli rahisi zaidi za hesabu, kazi hiyo itatatuliwa.

Utahitaji

• - karatasi;
• - kalamu.

Maagizo

Mabadiliko rahisi zaidi ni kuzidisha kwa kifupisho cha algebra (kama mraba wa jumla (tofauti), tofauti ya mraba, jumla (tofauti), mchemraba wa jumla (tofauti)). Kwa kuongezea, kuna kanuni nyingi na trigonometric, ambazo kimsingi ni utambulisho sawa.

Kwa kweli, mraba wa jumla ya maneno mawili ni sawa na mraba wa kwanza pamoja mara mbili ya bidhaa ya kwanza na ya pili na pamoja na mraba wa pili, ambayo ni, (a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Kurahisisha zote mbili

Kanuni za jumla za suluhisho

Njia mbadala ya kubadilisha

Suluhisho la ujumuishaji wa aina ya pili

Kubadilisha mipaka ya ujumuishaji

Maandalizi ya mtihani wa mwisho katika hesabu ni pamoja na sehemu muhimu - "Logarithms". Kazi kutoka kwa mada hii lazima ziwe kwenye mtihani. Uzoefu wa miaka iliyopita unaonyesha kuwa hesabu za mantiki zimesababisha shida kwa watoto wengi wa shule. Kwa hivyo, wanafunzi walio na viwango tofauti vya mafunzo wanapaswa kuelewa jinsi ya kupata jibu sahihi, na kuhimili haraka.

Pitisha mtihani wa uthibitisho kwa mafanikio ukitumia milango ya elimu "Shkolkovo"!

Wakati wa kujiandaa kwa mtihani wa umoja wa serikali, wahitimu wa shule za upili wanahitaji chanzo cha kuaminika ambacho hutoa habari kamili zaidi na sahihi kwa suluhisho la mafanikio ya shida za mtihani. Walakini, kitabu cha kiada sio kila wakati, na kupata sheria na fomula muhimu kwenye mtandao mara nyingi huchukua muda.

Mlango wa elimu "Shkolkovo" hukuruhusu kujiandaa kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja mahali popote wakati wowote. Tovuti yetu inatoa njia rahisi zaidi ya kurudia na kufahamisha idadi kubwa ya habari juu ya logarithms, na pia kwa moja na haijulikani kadhaa. Anza na equations rahisi. Ikiwa uliwashughulikia kwa urahisi, nenda kwa ngumu zaidi. Ikiwa una shida kusuluhisha usawa fulani, unaweza kuiongeza kwa Vipendwa vyako ili urudi baadaye.

Unaweza kupata fomula zinazohitajika kumaliza kazi, kurudia kesi na njia maalum za kuhesabu mzizi wa equation ya kawaida ya logarithmic kwa kutazama sehemu ya "Rejea ya Kinadharia". Walimu wa Shkolkovo wamekusanya, kuweka mifumo na kuwasilisha vifaa vyote muhimu kwa kufanikiwa kwa utoaji kwa njia rahisi na inayoeleweka.

Ili kukabiliana kwa urahisi na kazi za ugumu wowote, kwenye lango letu unaweza kujitambulisha na suluhisho la hesabu zingine za kawaida za logarithm. Ili kufanya hivyo, nenda kwenye sehemu ya "Saraka". Tumewasilisha idadi kubwa ya mifano, pamoja na hesabu za kiwango cha wasifu wa mtihani katika hesabu.

Wanafunzi kutoka shule kote Urusi wanaweza kutumia bandari yetu. Ili kuanza, sajili tu kwenye mfumo na anza kutatua milinganyo. Ili kuimarisha matokeo, tunakushauri kurudi kwenye wavuti ya Shkolkovo kila siku.

Kutatua hesabu za logarithmic. Sehemu 1.

Usawa wa logarithmic ni equation ambayo haijulikani iko chini ya ishara ya logarithm (haswa, kwenye msingi wa logarithm).

Rahisi zaidi equation ya logarithmic inaonekana kama:

Suluhisho la equation yoyote ya logarithmic inajumuisha mabadiliko kutoka kwa logarithms kwenda kwa misemo chini ya ishara ya logarithms. Walakini, hatua hii inapanua anuwai ya maadili yanayokubalika ya equation na inaweza kusababisha kuonekana kwa mizizi ya nje. Ili kuzuia kuonekana kwa mizizi ya nje, unaweza kufanya moja ya njia tatu:

1. Fanya mpito sawa kutoka usawa wa asili kwa mfumo ikiwa ni pamoja na

kulingana na usawa gani ni rahisi au rahisi.

Ikiwa equation ina haijulikani chini ya logarithm:

kisha tunaenda kwenye mfumo:

2. Pata kando anuwai anuwai ya maadili yanayokubalika ya equation, kisha suluhisha equation na angalia ikiwa suluhisho zilizopatikana zinakidhi equation.

3. Tatua equation, na kisha angalia: badilisha suluhisho zilizopatikana katika usawa wa asili, na angalia ikiwa tunapata usawa sahihi.

Equation ya logarithmic ya kiwango chochote cha utata mwishowe kila wakati hupunguza kwa equation rahisi ya logarithmic.

Usawa wote wa mantiki unaweza kugawanywa katika aina nne:

1 ... Mlinganyo ambayo yana tu logarithms kwa kiwango cha kwanza. Kwa msaada wa mabadiliko na matumizi, hupunguzwa kwa fomu

Mfano... Wacha tusuluhishe equation:

Wacha tulinganishe maneno chini ya ishara ya logarithm:

Wacha tuangalie ikiwa mizizi yetu inakidhi equation:

Ndiyo inafanya.

Jibu: x = 5

2 ... Mlinganyo ambayo yana logarithms kwa kiwango kingine zaidi ya 1 (haswa, katika dhehebu la sehemu). Hesabu hizo hutatuliwa kwa kutumia kuanzisha mabadiliko yanayobadilika.

Mfano. Wacha tusuluhishe equation:

Wacha tupate ODZ ya equation:

Equation ina logarithms mraba, kwa hivyo hutatuliwa kwa kubadilisha tofauti.

Muhimu! Kabla ya kuanzisha uingizwaji, ni muhimu "kuvunja" logarithms zilizojumuishwa kwenye equation kuwa "matofali" kwa kutumia mali ya logarithms.

Wakati wa "kuvuta" logarithms, ni muhimu kutumia kwa uangalifu sana mali ya logarithms:

Kwa kuongezea, kuna hatua moja ya hila hapa, na ili kuepusha kosa la kawaida, tutatumia usawa wa kati: tunaandika kiwango cha logarithm katika fomu hii:

Vivyo hivyo,

Badilisha maneno yaliyosababishwa na usawa wa asili. Tunapata:

Sasa tunaona kwamba haijulikani iko katika equation katika muundo. Wacha tuanzishe uingizwaji:. Kwa kuwa inaweza kuchukua thamani yoyote halisi, hatuwekei vizuizi vyovyote kwa ubadilishaji.