Fomula ya eneo ni mstatili. Jinsi ya kuhesabu na kuteua eneo hilo

Kuanzia darasa la 5, wanafunzi wanaanza kufahamiana na dhana ya maeneo ya maumbo tofauti. Jukumu maalum limepewa eneo la mstatili, kwani takwimu hii ni moja wapo ya rahisi kusoma.

Dhana za eneo

Takwimu yoyote ina eneo lake mwenyewe, na hesabu ya eneo hilo hutenguliwa kutoka kwa mraba wa kitengo, ambayo ni kutoka mraba na upande mrefu wa 1 mm, au 1 cm, 1 dm, na kadhalika. Eneo la takwimu kama hiyo ni $ 1 * 1 = 1mm ^ 2 $, au $ 1cm ^ 2 $, nk eneo kawaida huonyeshwa na herufi S.

Eneo linaonyesha saizi ya sehemu ya ndege ambayo takwimu iliyoainishwa na sehemu za laini inachukua.

Mstatili ni pande zote ambazo pembe zote zina kipimo sawa cha digrii na ni sawa na digrii 90, na pande zilizo kinyume ni sawa na sawa.

Zingatia hasa vitengo vya urefu na upana. Lazima zilingane. Ikiwa vitengo havilingani, vinatafsiriwa. Kama sheria, hutafsiri kitengo kikubwa kuwa ndogo, kwa mfano, ikiwa urefu umepewa dm na upana uko katika cm, basi dm inabadilishwa kuwa cm, na matokeo yatakuwa $ cm ^ 2 $.

Mfumo wa eneo la mstatili

Ili kupata eneo la mstatili bila fomula, unahitaji kuhesabu idadi ya mraba wa kitengo ambacho takwimu imegawanywa.

Mchele. 1. Mstatili umegawanywa katika viwanja vya vitengo

Mstatili umegawanywa katika mraba 15, ambayo ni kwamba eneo lake ni 15 cm2. Ikumbukwe kwamba takwimu inachukua mraba 3 kwa upana, na 5 kwa urefu, kwa sababu ili kuhesabu idadi ya mraba wa kitengo, ni muhimu kuzidisha urefu na upana. Upande mdogo wa pembetatu ni upana, urefu ni mkubwa zaidi. Kwa hivyo, tunaweza kupata fomula ya eneo la mstatili:

S = a b, ambapo a, b ni upana na urefu wa takwimu.

Kwa mfano, ikiwa urefu wa mstatili ni 5 cm na upana ni 4 cm, basi eneo litakuwa 4 * 5 = 20 cm 2.

Kuhesabu eneo la mstatili kwa kutumia ulalo wake

Ili kuhesabu eneo la mstatili kwenye ulalo, lazima utumie fomula:

$ $ S = (1 \ juu (2)) ⋅ d ^ 2 ⋅ dhambi (α) $$

Ikiwa kazi inatoa maadili ya pembe kati ya diagonals, na vile vile thamani ya ulalo yenyewe, basi unaweza kuhesabu eneo la mstatili ukitumia fomula ya jumla ya miraba ya kiholela ya kiholela.

Ulalo ni sehemu ya mstari ambayo inaunganisha alama tofauti za umbo. Diagonals ya mstatili ni sawa na sehemu ya makutano ni nusu.

Mchele. 2. Mstatili na diagonals zilizochorwa

Mifano ya

Kuunganisha mada, fikiria mifano ya majukumu:

# 1. Pata eneo la shamba la bustani, la sura sawa na kwenye picha.

Mchele. 3. Kuchora kwa kazi hiyo

Suluhisho:

Ili kutoa eneo hilo, unahitaji kugawanya kielelezo katika mstatili mbili. Mmoja wao atakuwa na vipimo vya 10 m na 3 m, mwingine 5 m na 7. m Tofauti, tunapata maeneo yao:

$ S_1 = 3 * 10 = 30 m ^ 2 $;

Hili litakuwa eneo la shamba njama $ S = 65 m ^ 2 $.

Nambari 2. Ondoa eneo la mstatili ikiwa umepewa diagonal d = 6 cm na pembe kati ya diagonals α = 30 0.

Suluhisho:

Thamani $ dhambi 30 = (1 \ juu (2)) $,

$ S = (1 \ juu (2)) ⋅ d ^ 2 ⋅ sincy $

$ S = (1 \ juu (2)) * 6 ^ 2 * (1 \ juu (2)) = 9 cm ^ 2 $

Kwa hivyo $ S = 9 cm ^ 2 $.

Diagonals hugawanya mstatili katika maumbo 4 - pembetatu 4. Katika kesi hii, pembetatu ni sawa kwa jozi. Ikiwa unachora ulalo katika mstatili, basi hugawanya kielelezo katika pembetatu mbili zilizo sawa za kulia. Ukadiriaji wa wastani: 4.4. Jumla ya ukadiriaji uliopokelewa: 214.

Ujuzi wa jinsi ya kupima Dunia ulianza zamani na hatua kwa hatua ilibadilika kuwa sayansi ya jiometri. Neno hili limetafsiriwa kutoka kwa lugha ya Kiyunani - "uchunguzi".

Kipimo cha urefu na upana wa eneo bapa la Dunia ni eneo. Katika hisabati, kawaida huonyeshwa na herufi ya Kilatini S (kutoka Kiingereza "mraba" - "eneo", "mraba") au herufi ya Uigiriki σ (sigma). S inaashiria eneo la kielelezo kwenye ndege au eneo la uso wa mwili, na σ ni eneo lenye msalaba wa waya katika fizikia. Hizi ndio alama kuu, ingawa kunaweza kuwa na zingine, kwa mfano, katika uwanja wa nguvu ya vifaa, A ni eneo la sehemu ya wasifu.

Njia za hesabu

Kujua maeneo ya maumbo rahisi, unaweza kupata vigezo vya ngumu zaidi... Wataalam wa hesabu wa zamani walitengeneza fomula ambazo zinaweza kuhesabiwa kwa urahisi. Takwimu hizo ni pembetatu, pembe nne, poligoni, duara.

Ili kupata eneo la sura tata ya sayari, imegawanywa katika takwimu nyingi rahisi kama pembetatu, trapezoids, au mstatili. Halafu, kwa njia za kihesabu, fomula ya eneo la takwimu hii imechukuliwa. Njia kama hiyo haitumiwi tu katika jiometri, bali pia katika uchambuzi wa hesabu kuhesabu maeneo ya takwimu zilizofungwa na curves.

Pembetatu

Wacha tuanze na sura rahisi - pembetatu. Wao ni mstatili, isosceles na usawa. Chukua pembetatu yoyote ABC na pande AB = a, BC = b na AC = c (∆ ABC). Ili kupata eneo lake, wacha tukumbuke nadharia za dhambi na vipodozi vinavyojulikana kutoka kozi ya hisabati ya shule. Kutoa mahesabu yote, tunakuja kwa fomula zifuatazo:

• S = √ ni fomula inayojulikana ya Heron, ambapo p = (a + b + c) / 2 ni nusu-mzunguko wa pembetatu;
• S = a h / 2, ambapo h urefu umeshushwa kwa upande a;
• S = a b (dhambi γ) / 2, ambapo γ ni pembe kati ya pande a na b;
• S = a b / 2, ikiwa ∆ ABC ni mstatili (hapa a na b ni miguu);
• S = b² (dhambi (2 β)) / 2, ikiwa ∆ ABC ni isosceles (hapa b ni moja ya "viuno", β ni pembe kati ya "viuno" vya pembetatu);
• S = a² √¾ ikiwa ∆ ABC ni sawa (hapa kuna upande wa pembetatu).

Quadrilateral

Wacha kuwe na ABCD ya pande zote na AB = a, BC = b, CD = c, AD = d. Ili kupata eneo S la 4-gon holela, unahitaji kuigawanya kwa upeo katika pembetatu mbili, maeneo ambayo S1 na S2 kwa ujumla si sawa.

Kisha, ukitumia fomula, zihesabu na uziongeze, ambayo ni, S = S1 + S2. Walakini, ikiwa 4-gon ni ya darasa fulani, basi eneo lake linaweza kupatikana kwa kutumia fomula zilizojulikana hapo awali:

• S = (a + c) h / 2 = eh, ikiwa 4-gon ni trapezoid (hapa a na c ndio besi, e ni mstari wa kati wa trapezoid, h ni urefu umeshushwa hadi moja ya besi za trapezoid;
• S = a h = a b dhambi φ = d1 d2 (dhambi φ) / 2, ikiwa ABCD ni parallelogram (hapa φ ni pembe kati ya pande a na b, h urefu umeanguka upande a, d1 na d2 ni diagonals);
• S = a b = d² / 2, ikiwa ABCD ni mstatili (d ni diagonal);
• S = a² dhambi φ = P² (dhambi φ) / 16 = d1 d2 / 2, ikiwa ABCD ni rhombus (a ni upande wa rhombus, φ ni moja ya pembe zake, P ni mzunguko);
• S = a² = P² / 16 = d² / 2 ikiwa ABCD ni mraba.

Polygon

Ili kupata eneo la n-gon, wataalam wa hesabu huiingiza kwenye pembetatu rahisi kabisa, tafuta eneo la kila mmoja wao, kisha uwaongeze. Lakini ikiwa polygon ni ya darasa la kawaida, basi tumia fomula:

S = anh / 2 = a² n / = P² /, ambapo n ni idadi ya vipeo (au pande) za poligoni, a ni upande wa n-gon, P ni mzunguko wake, h ni apothem, ambayo ni , sehemu inayotolewa kutoka katikati ya poligoni hadi moja ya pande zake kwa pembe ya 90 °.

Mzunguko

Mduara ni poligoni kubwa na idadi kubwa ya pande.... Tunahitaji kuhesabu kikomo cha usemi upande wa kulia katika fomula ya eneo la poligoni na idadi ya pande n inayoelekea kutokuwa na mwisho. Katika kesi hii, mzunguko wa poligoni utageuka kuwa urefu wa duara ya R, ambayo itakuwa mpaka wa duara yetu, na itakuwa sawa na P = 2 π R. Badili usemi huu kwa fomula iliyo hapo juu. Tutapata:

S = (π² R² cos (180 ° / n)) / (n dhambi (180 ° / n)).

Wacha tupate kikomo cha usemi huu kama n → ∞. Ili kufanya hivyo, zingatia kwamba lim (cos (180 ° / n)) kama n → ∞ ni sawa na cos 0 ° = 1 (lim ni ishara ya kikomo), na lim = lim kama n → ∞ ni sawa na 1 / π (tulitafsiri kipimo cha digrii kwa mionzi, kwa kutumia uwiano π rad = 180 °, na tukatumia kikomo cha kwanza cha kushangaza (sin x) / x = 1 kama x → ∞). Kubadilisha maadili yaliyopatikana katika usemi wa mwisho wa S, tunafika kwenye fomula inayojulikana:

S = π² R² 1 (1 / π) = π R².

Vitengo

Vitengo vya mfumo na visivyo vya mfumo hutumiwa... Vitengo vya mfumo hurejelea SI (Mfumo wa Kimataifa). Ni mita ya mraba (mita ya mraba, m²) na vitengo vilivyotokana nayo: mm², cm², km².

Katika milimita za mraba (mm²), kwa mfano, wanapima eneo lenye waya katika uhandisi wa umeme, kwa sentimita za mraba (cm²) - sehemu za msalaba wa boriti katika fundi wa muundo, katika mita za mraba (m²) - vyumba au nyumba, katika kilomita za mraba (km²) - wilaya katika jiografia ..

Walakini, wakati mwingine vitengo vya kipimo visivyo vya kimfumo pia hutumiwa, kama vile: kusuka, ar (a), hekta (ha) na ekari (ac). Hapa kuna uhusiano ufuatao:

• Mita za mraba 1 = 1 a = 100 m² = hekta 0.01;
• Hekta 1 = 100 a = 100 ares = 10000 m² = 0.01 km² = 2.471 ac;
• 1 ac = 4046.856 m2 = 40.47 a = 40.47 ares = hekta 0.405.

Eneo la umbo la kijiometri- tabia ya nambari ya kielelezo cha kijiometri inayoonyesha saizi ya takwimu hii (sehemu ya uso iliyofungwa na contour iliyofungwa ya takwimu hii). Ukubwa wa eneo huonyeshwa na idadi ya vitengo vya mraba vilivyomo.

Njia za eneo la pembetatu

1. Mfumo wa eneo la pembetatu kwa kando na urefu
   Eneo la pembetatu sawa na nusu ya bidhaa ya urefu wa upande wa pembetatu kwa urefu wa urefu uliovutwa upande huu
   
2. Fomula ya eneo la pembetatu pande tatu na eneo la mduara uliozunguka
   
3. Fomula ya eneo la pembetatu pande tatu na eneo la mduara ulioandikwa
   Eneo la pembetatu ni sawa na bidhaa ya nusu-mzunguko wa pembetatu na eneo la mduara ulioandikwa.
   
ambapo S ni eneo la pembetatu,
- urefu wa pande za pembetatu,
- urefu wa pembetatu,
- pembe kati ya pande na,
- eneo la mduara ulioandikwa,
R ni eneo la duara iliyozungushwa,

Eneo la fomula za mraba

1. Mfumo wa eneo la mraba kwa urefu wa upande
   Eneo la mraba ni sawa na mraba wa urefu wa upande wake.
2. Mfumo wa eneo la mraba kwa urefu wa ulalo
   Eneo la mraba ni sawa na nusu ya mraba wa urefu wa ulalo wake.
   

   S =	1	2
   	2

ambapo S ni eneo la mraba,
- urefu wa upande wa mraba,
- urefu wa ulalo wa mraba.

Mfumo wa eneo la mstatili

Mstatili eneo sawa na bidhaa ya urefu wa pande zake mbili zilizo karibu

ambapo S ni eneo la mstatili,
- urefu wa pande za mstatili.

Njia za eneo la Parallelogram

1. Mfumo wa eneo la parallelogram kwa urefu na urefu wa upande
   Eneo la parallelogram
2. Mfumo wa eneo la parallelogram pande mbili na pembe kati yao
   Eneo la parallelogram sawa na bidhaa ya urefu wa pande zake zilizozidishwa na sine ya pembe kati yao.
   

   a b dhambi α

ambapo S ni eneo la parallelogram,
- urefu wa pande za parallelogram,
- urefu wa urefu wa parallelogram,
- pembe kati ya pande za parallelogram.

Njia za eneo la Rhombus

1. Mfumo wa eneo la rhombus kwa urefu wa urefu na urefu
   Eneo la Rhombus ni sawa na bidhaa ya urefu wa upande wake na urefu wa urefu umeshushwa kwa upande huu.
2. Mfumo wa eneo la rhombus kwa urefu wa upande na pembe
   Eneo la Rhombus ni sawa na bidhaa ya mraba wa urefu wa upande wake na sine ya pembe kati ya pande za rhombus.
3. Mfumo wa eneo la rhombus na urefu wa diagonals zake
   Eneo la Rhombus ni sawa na nusu ya bidhaa ya urefu wa diagonals zake.
ambapo S ni eneo la rhombus,
- urefu wa upande wa rhombus,
- urefu wa urefu wa rhombus,
- pembe kati ya pande za rhombus,
1, 2 - urefu wa diagonals.

Njia za eneo la trapezoid

1. Njia ya Heron ya trapezoid

   Ambapo S ni eneo la trapezoid,
   - urefu wa besi za trapezoid,
   - urefu wa pande zote za trapezoid,
   

Je! Eneo ni nini na mstatili ni nini

Eneo ni idadi ya kijiometri ambayo inaweza kutumika kuamua saizi ya uso wowote wa takwimu ya jiometri.

Kwa karne nyingi, ilitokea kwamba hesabu ya eneo hilo iliitwa quadrature. Hiyo ni, ili kujua eneo la maumbo rahisi ya kijiometri, ilitosha kuhesabu idadi ya mraba wa vitengo ambavyo vilifunikwa kwa hali na takwimu. Na sura ambayo ilikuwa na eneo iliitwa mraba.

Kwa hivyo, tunaweza kufupisha kuwa eneo hilo ni thamani ambayo inatuonyesha saizi ya sehemu ya ndege iliyounganishwa na sehemu.

Mstatili ni mstatili na pembe zake zote sawa. Hiyo ni, sura ya pande nne ambayo ina pembe nne za kulia na pande zake tofauti ni sawa inaitwa mstatili.

Jinsi ya kupata eneo la mstatili

Njia rahisi zaidi ya kupata eneo la mstatili ni kuchukua karatasi ya uwazi, kwa mfano kutafuta karatasi, au kitambaa cha mafuta na kuichora katika mraba sawa wa 1 cm, kisha unganisha mstatili kwenye picha. Idadi ya mraba iliyojaa itakuwa eneo katika sentimita za mraba. Kwa mfano, katika takwimu unaweza kuona kwamba mstatili huanguka katika mraba 12, ambayo inamaanisha kuwa eneo lake ni - mita 12 za mraba. sentimita.

Lakini kupata eneo la vitu vikubwa, kwa mfano ghorofa, njia ya ulimwengu inahitajika, kwa hivyo fomula imethibitishwa, ili kupata eneo la mstatili, inahitajika kuzidisha urefu wake kwa upana.

Sasa wacha tujaribu kuandika sheria ya kutafuta eneo la mstatili kwa njia ya fomula. Wacha tuonyeshe eneo la takwimu yetu na herufi S, herufi a - itaashiria urefu wake, na herufi b - upana wake.

Kama matokeo, tunapata fomula ifuatayo:

S = a * b.

Ikiwa unasimamisha fomula hii kwenye mchoro wa mstatili hapo juu, basi tunapata sawa 12 sq. Cm, kwa sababu a = 4 cm, b = 3 cm, na S = 4 * 3 = 12 sq. cm.

Ikiwa utachukua takwimu mbili zinazofanana, na kuziweka moja juu ya nyingine, basi zitafanana, na zitaitwa sawa. Takwimu sawa pia zitakuwa na maeneo sawa na mzunguko.

Kwanini uweze kupata eneo

Kwanza, ikiwa unajua jinsi ya kupata eneo la umbo, basi kwa kutumia fomula yake unaweza kutatua shida zozote katika jiometri na trigonometry.
Pili, baada ya kujifunza jinsi ya kupata eneo la mstatili, kwanza utaweza kutatua shida rahisi, na baada ya muda utaendelea kutatua ngumu zaidi, na ujifunze jinsi ya kupata maeneo ya takwimu zilizoandikwa ndani au karibu na mstatili.
Tatu, ukijua fomula rahisi kama S = a * b, unapata fursa ya kusuluhisha kwa urahisi kazi zozote rahisi za kila siku (kwa mfano, pata vyumba vya S au nyumba), na kwa muda unaweza kuzitumia kusuluhisha miradi tata ya usanifu.

Hiyo ni, ikiwa tutarahisisha kabisa fomula ya kutafuta eneo hilo, basi itaonekana kama hii:

P = L x W,

Nini P inasimama ni eneo linalohitajika, D ni urefu wake, W ni upana wake, na x ni ishara ya kuzidisha.

Je! Unajua kwamba eneo la poligoni yoyote inaweza kugawanywa kwa idadi fulani ya vitalu vya mraba vilivyo ndani ya poligoni hii? Je! Ni tofauti gani kati ya eneo na mzunguko

Wacha tujaribu kuelewa tofauti kati ya mzunguko na eneo kwa kutumia mfano. Kwa mfano, shule yetu iko kwenye eneo ambalo limezungushiwa uzio - urefu wa jumla wa uzio huu utakuwa mzunguko, na nafasi iliyo ndani ya uzio ni eneo hilo.

Sehemu za eneo

Ikiwa mzunguko wa pande moja unapimwa kwa vitengo vya laini, ambavyo ni inchi, miguu na mita, basi S inahusu mahesabu ya pande mbili na ina urefu na upana wake.

Na S hupimwa kwa vitengo vya mraba, kama vile:

Milimita moja ya mraba, ambapo S ya mraba ina upande sawa na millimeter moja;
Sentimita ya mraba ina S ya mraba kama huo ambao upande wake ni sentimita moja;
Decimeter ya mraba ni sawa na S ya mraba huu na upande wa decimeter moja;
Mita ya mraba ina mraba S, ambayo upande wake ni mita moja;
Mwishowe, kilomita ya mraba ina mraba S na upande sawa na kilomita moja.

Kupima maeneo ya maeneo makubwa kwenye uso wa Dunia, vitengo kama vile:

Ar moja au kusuka - ikiwa S ya mraba ina upande wa mita kumi;
Hekta moja ni sawa na S ya mraba, ambayo upande wake ni mita mia moja.

Kazi na mazoezi

Sasa wacha tuangalie mifano michache.

Kielelezo 62 kinaonyesha takwimu ambayo ina mraba nane na kila upande wa mraba huu ni sawa na sentimita moja. Kwa hivyo, S ya mraba kama hiyo itakuwa sentimita ya mraba.

Ikiwa utaiandika, itaonekana kama hii:

1 cm2. Na S takwimu hii yote, iliyo na mraba nane, itakuwa sawa na cm 8 za mraba.

Ikiwa utachukua takwimu yoyote na kuigawanya katika mraba "p" na upande sawa na sentimita moja, basi eneo lake litakuwa sawa na:

P cm2.

Wacha tuchunguze mstatili, picha kwenye Mchoro 63. Mstatili huu una milia mitatu, na kila ukanda kama huo umegawanywa katika viwanja vitano sawa na upande wa 1 cm.

Wacha tujaribu kupata eneo lake. Na kwa hivyo tunachukua mraba tano, na kuzidisha kwa vipande vitatu na kupata eneo sawa na 15 sq. Cm:

Fikiria mfano ufuatao. Kielelezo 64 kinaonyesha mstatili ABCD, ambayo imegawanywa katika sehemu mbili na mstari uliovunjika KLMN. Sehemu yake ya kwanza ni sawa na eneo la cm 122, na ya pili ina eneo la 9 cm2. Sasa wacha tupate eneo la mstatili mzima:

Kwa hivyo, tunachukua tatu na kuzidisha kwa saba na kupata 21 cm2:

3 7 = 21 sq. Cm. Katika kesi hii, 21 = 12 + 9.

Na tunafikia hitimisho kwamba eneo la takwimu yetu yote ni sawa na jumla ya maeneo ya sehemu zake za kibinafsi.

Wacha tuchukue mfano mwingine. Na kwa hivyo kwenye Mchoro 65, mstatili umeonyeshwa, ambayo, kwa kutumia sehemu ya AC, imegawanywa katika pembetatu mbili sawa ABC na ADC

Na kwa kuwa tayari tunajua kuwa mraba ni mstatili ule ule, una pande sawa tu, basi eneo la kila pembetatu litakuwa sawa na nusu ya eneo la mstatili mzima.

Fikiria kwamba upande wa mraba ni sawa na a, basi:

S = a = a2.

Tunahitimisha kuwa fomula ya eneo la mraba itaonekana kama hii:

Na nukuu a2 inaitwa mraba wa nambari a.

Na kwa hivyo, ikiwa upande wa mraba wetu ni sentimita nne, basi eneo lake litakuwa:

4 4, ambayo ni, 4 * 2 = 16 sq. Cm.

Maswali na majukumu

Pata eneo la sura ambayo imegawanywa katika mraba kumi na sita na upande sawa na sentimita moja.
Kumbuka fomula ya mstatili na uiandike.
Je! Ni vipimo gani unahitaji kuchukua ili kujua eneo la mstatili?
Fafanua maumbo sawa.
Je! Maeneo tofauti yanaweza kuwa na maumbo sawa? Je! Juu ya mzunguko?
Ikiwa unajua maeneo ya sehemu za kibinafsi za takwimu, unajuaje eneo lake jumla?
Tengeneza na andika eneo la mraba ni nini.

Rejea ya kihistoria

Je! Unajua kwamba watu wa zamani huko Babeli walijua jinsi ya kuhesabu eneo la mstatili? Wamisri wa zamani pia walifanya mahesabu ya takwimu anuwai, lakini kwa kuwa hawakujua fomula halisi, mahesabu yalikuwa na makosa madogo.

Katika kitabu chake "Mwanzo", mtaalam mashuhuri wa kale wa Uigiriki Euclid anaelezea njia anuwai za kuhesabu maeneo ya maumbo tofauti ya kijiometri.

Ufafanuzi.

Mstatili hutofautiana kutoka kwa kila mmoja tu kwa uwiano wa upande mrefu na mfupi, lakini pembe zote nne ni sawa, ambayo ni, digrii 90.

Upande mrefu wa mstatili unaitwa urefu wa mstatili, na ile fupi - upana wa mstatili.

Pande za mstatili pia ni urefu wake.

Mali ya msingi ya mstatili

Mstatili unaweza kuwa parallelogram, mraba, au rhombus.

1. Pande tofauti za mstatili zina urefu sawa, ambayo ni sawa:

AB = CD, BC = BK

2. Pande za kinyume za mstatili ni sawa:

3. Pande za karibu za mstatili kila wakati ni za kipekee:

AB-BC, BC-CD, CD-AD, AD-AB

4. Pembe zote nne za mstatili ni sawa:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90 °

5. Jumla ya pembe za mstatili ni digrii 360:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360 °

6. Ulalo wa mstatili una urefu sawa:

7. Jumla ya mraba wa ulalo wa mstatili ni sawa na jumla ya mraba wa pande:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Kila diagonal ya mstatili hugawanya mstatili katika maumbo mawili yanayofanana, ambayo ni, pembetatu zenye pembe-kulia.

9. diagonals ya mstatili huvuka na hupunguzwa nusu kwenye makutano:

10. Sehemu ya makutano ya diagonals inaitwa katikati ya mstatili na pia ni kituo cha duara iliyozungushwa

11. Ulalo wa mstatili ni kipenyo cha duara iliyozungushwa

12. Karibu na mstatili, unaweza kuelezea duara kila wakati, kwani jumla ya pembe tofauti ni digrii 180:

∠ABC = ∠CDA = 180 ° ∠BCD = ∠DAB = 180 °

13. Mduara hauwezi kuandikishwa kwenye mstatili ambao urefu wake sio sawa na upana wake, kwani hesabu za pande tofauti hazilingani na kila mmoja (duara inaweza kuandikwa tu katika hali maalum ya mstatili - mraba).

Pande za mstatili

Ufafanuzi.

Njia za kuamua urefu wa pande za mstatili

1. Mfumo wa upande wa mstatili (urefu na upana wa mstatili) kupitia ulalo na upande mwingine:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - 2

Mfumo wa upande wa mstatili (urefu na upana wa mstatili) kupitia eneo hilo na upande wa pili:

Ulalo wa mstatili

Ufafanuzi.

Njia za kuamua urefu wa ulalo wa mstatili

Fomula ya ulalo wa mstatili kupitia pande mbili za mstatili (kupitia nadharia ya Pythagorean):

d = √ 2 + b 2

Mfumo wa ulalo wa mstatili kulingana na eneo na upande wowote:

4. Mfumo wa ulalo wa mstatili kulingana na eneo la duara iliyozungushwa:

d = 2R

5. Mfumo wa ulalo wa mstatili kupitia kipenyo cha duara iliyozungushwa:

d = D kuhusu

6. Mfumo wa ulalo wa mstatili kulingana na sine ya pembe iliyo karibu na ulalo, na urefu wa upande ulio mkabala na pembe hii:

Mfumo wa ulalo wa mstatili kulingana na sine ya pembe kali kati ya diagonals na eneo la mstatili

d = -2S: dhambi β

Mzunguko wa mstatili

Ufafanuzi.

Njia za kuamua urefu wa mzunguko wa mstatili

1. Mfumo wa mzunguko wa mstatili kupitia pande mbili za mstatili:

P = 2a + 2b

P = 2 (a + b)

Mfumo wa mzunguko wa mstatili kulingana na eneo na upande wowote:

3. Mfumo wa mzunguko wa mstatili kupitia ulalo na upande wowote:

P = 2 (a + √ d 2 - 2= = 2 (b + √ d 2 - b 2)

4. Mfumo wa mzunguko wa mstatili kulingana na eneo la duara iliyozungushwa na upande wowote:

P = 2 (a + √4R 2 - 2= = 2 (b + -4R 2 - b 2)

5. Mfumo wa mzunguko wa mstatili kulingana na kipenyo cha duara iliyozungushwa na upande wowote:

P = 2 (a + √D o 2 - 2= = 2 (b + √D o 2 - b 2)

Mstatili eneo

Ufafanuzi.

Njia za kuamua eneo la mstatili

1. Mfumo wa eneo la mstatili pande mbili:

S = a b

Mfumo wa eneo la mstatili kulingana na mzunguko na upande wowote:

5. Mfumo wa eneo la mstatili kulingana na eneo la duara iliyozungukwa na upande wowote:

S = √4R 2 - 2= b √4R 2 - b 2

Mfumo wa eneo la mstatili kulingana na kipenyo cha duara iliyozungushwa na upande wowote:

S = a o 2 - 2= b √D o 2 - b 2

Mduara umezungukwa karibu na mstatili

Ufafanuzi.

Njia za kuamua eneo la duara lililozungushwa karibu na mstatili

1. Mfumo wa eneo la duara lililozungushwa karibu na mstatili kupitia pande mbili: