Nambari ya Modulo nambari hii yenyewe inaitwa, ikiwa sio hasi, au nambari sawa na ishara iliyo kinyume, ikiwa ni hasi.

Kwa mfano, moduli ya 6 ni 6, moduli ya -6 pia ni 6.

Hiyo ni, thamani kamili ya nambari inaeleweka kama dhamana kamili, thamani kamili ya nambari hii bila kuzingatia ishara yake.

Imeteuliwa kama ifuatavyo: | 6 |, | x|, |na| na kadhalika.

(Kwa maelezo zaidi, angalia sehemu "Nambari ya moduli").

Mlinganyo na moduli.

Mfano 1 ... Tatua equation|10 x - 5| = 15.

Uamuzi.

Kulingana na sheria, equation ni sawa na mchanganyiko wa equations mbili:

10x - 5 = 15
10x - 5 = -15

Tunaamua:

10x = 15 + 5 = 20
10x = -15 + 5 = -10

x = 20: 10
x = -10: 10

x = 2
x = -1

Jibu: x 1 = 2, x 2 = -1.

Mfano 2 ... Tatua equation|2 x + 1| = x + 2.

Uamuzi.

Kwa kuwa moduli ni nambari isiyo hasi, basi x + 2 ≥ 0. Ipasavyo:

x ≥ -2.

Tunatunga hesabu mbili:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -(x + 2)

Tunaamua:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -x - 2

2x - x = 2 - 1
2x + x = -2 - 1

x = 1
x = -1

Nambari zote mbili ni kubwa kuliko -2. Kwa hivyo, zote mbili ni mizizi ya mlingano.

Jibu: x 1 = -1, x 2 = 1.

Mfano 3 ... Tatua equation

|x + 3| - 1
————— = 4
x - 1

Uamuzi.

Mlingano una maana ikiwa dhehebu sio sifuri - inamaanisha ikiwa x Let's 1. Wacha tuzingatie hali hii. Kitendo chetu cha kwanza ni rahisi - sio tu kuondoa sehemu, lakini ibadilishe kwa njia ya kupata moduli katika hali yake safi:

|x + 3 | - 1 \u003d 4 ( x - 1),

|x + 3| - 1 = 4x - 4,

|x + 3| = 4x - 4 + 1,

|x + 3| = 4x - 3.

Sasa tuna usemi chini ya moduli upande wa kushoto wa equation. Endelea.
Moduli ya nambari ni nambari isiyo hasi - ambayo ni lazima iwe kubwa kuliko au sawa na sifuri. Ipasavyo, tunasuluhisha ukosefu wa usawa:

4x - 3 ≥ 0

4x ≥ 3

x ≥ 3/4

Kwa hivyo, tuna hali ya pili: mzizi wa equation lazima iwe angalau 3/4.

Kwa mujibu wa sheria, tunaunda seti ya equations mbili na kuzitatua:

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -(4x - 3)

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -4x + 3

x - 4x = -3 - 3
x + 4x = 3 - 3

x = 2
x = 0

Tulipokea majibu mawili. Wacha tuangalie ikiwa ndio mizizi ya equation asili.

Tulikuwa na hali mbili: mzizi wa equation hauwezi kuwa sawa na 1, na lazima iwe angalau 3/4. Yaani x ≠ 1, x ≥ 3/4. Jibu moja tu kati ya mawili yaliyopokelewa ndio yanayokutana na hali hizi zote mbili - nambari 2. Hii inamaanisha kuwa ni mzizi tu wa usawa wa asili.

Jibu: x = 2.

Ukosefu wa usawa na moduli.

Mfano 1 ... Tatua usawa| x - 3| < 4

Uamuzi.

Sheria ya moduli inasema:

|na| = na, ikiwa na ≥ 0.

|na| = -na, ikiwa na < 0.

Moduli inaweza kuwa na nambari zisizo hasi na hasi. Kwa hivyo, lazima izingatie kesi zote mbili: x - 3 ≥ 0 na x - 3 < 0.

1) Wakati x - 3 ≥ 0, usawa wetu wa asili unabaki kama ilivyo, tu bila ishara ya moduli:
x - 3 < 4.

2) Wakati x - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(x - 3) < 4.

Kupanua mabano, tunapata:

-x + 3 < 4.

Kwa hivyo, kutokana na hali hizi mbili, tulikuja kwenye umoja wa mifumo miwili ya usawa:

x - 3 ≥ 0
x - 3 < 4

x - 3 < 0
-x + 3 < 4

Wacha tuwasuluhishe:

x ≥ 3
x < 7

x < 3
x > -1

Kwa hivyo, katika jibu letu tuna umoja wa seti mbili:

3 ≤ x < 7 U -1 < x < 3.

Tambua maadili madogo na makubwa. Hizi ni -1 na 7. Wakati huo huo x kubwa kuliko -1, lakini chini ya 7.
Mbali na hilo, x Hence 3. Kwa hivyo, suluhisho la ukosefu wa usawa ni seti nzima ya nambari kutoka -1 hadi 7, ukiondoa nambari hizi kali.

Jibu: -1 < x < 7.

Au: x ∈ (-1; 7).

Vidonge.

1) Kuna njia rahisi na fupi ya kutatua ukosefu wetu wa usawa - kielelezo. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuteka mhimili usawa (Mtini. 1).

Kujieleza | x - 3| < 4 означает, что расстояние от точки x kumweka 3 ni chini ya vitengo vinne. Tunatia alama nambari 3 kwenye mhimili na tunahesabu mgawanyiko 4 kushoto na kulia kutoka kwake. Upande wa kushoto tutakuja kumweka -1, upande wa kulia - kuelekeza 7. Kwa hivyo, nukta x tuliona tu bila kuvihesabu.

Kwa kuongezea, kulingana na hali ya kutokuwa na usawa, -1 na 7 wenyewe hazijumuishwa katika seti ya suluhisho. Kwa hivyo, tunapata jibu:

1 < x < 7.

2) Lakini kuna suluhisho moja zaidi ambalo ni rahisi hata kwa kielelezo. Ili kufanya hivyo, usawa wetu lazima uwakilishwe katika fomu ifuatayo:

4 < x - 3 < 4.

Baada ya yote, hii ndivyo ilivyo kulingana na kanuni ya moduli. Nambari isiyo hasi ya 4 na nambari hasi sawa -4 ndio mipaka ya kutatua ukosefu wa usawa.

4 + 3 < x < 4 + 3

1 < x < 7.

Mfano 2 ... Tatua usawa| x - 2| ≥ 5

Uamuzi.

Mfano huu ni tofauti sana na ile ya awali. Upande wa kushoto ni zaidi ya 5 au sawa na 5. Kutoka kwa mtazamo wa kijiometri, suluhisho la usawa ni nambari zote ambazo ziko umbali wa vitengo 5 au zaidi kutoka nambari 2 (Mtini. 2). Grafu inaonyesha kuwa hizi ni nambari ambazo ni chini ya au sawa na -3 na kubwa kuliko au sawa na 7. Kwa hivyo, tayari tumepokea jibu.

Jibu: -3 ≥ x ≥ 7.

Njiani, tunasuluhisha usawa huo huo kwa kuruhusu muda wa bure kushoto na kulia na ishara iliyo kinyume:

5 ≥ x - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ x ≥ 5 + 2

Jibu ni sawa: -3 ≥ x ≥ 7.

Au: x ∈ [-3; 7]

Mfano umetatuliwa.

Mfano 3 ... Tatua usawa6 x 2 - | x| - 2 ≤ 0

Uamuzi.

Nambari x inaweza kuwa chanya, hasi, au sifuri. Kwa hivyo, tunahitaji kuzingatia hali zote tatu. Kama unavyojua, wanazingatiwa katika usawa mbili: x And 0 na x < 0. При x We 0 tunaandika tu usawa wetu wa asili kama ilivyo, tu bila ishara ya moduli:

6x 2 - x - 2 ≤ 0.

Sasa kuhusu kesi ya pili: ikiwa x < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6x 2 - (-x) - 2 ≤ 0.

Panua mabano:

6x 2 + x - 2 ≤ 0.

Kwa hivyo, tulipata mifumo miwili ya equations:

6x 2 - x - 2 ≤ 0
x ≥ 0

6x 2 + x - 2 ≤ 0
x < 0

Inahitajika kutatua ukosefu wa usawa katika mifumo - ambayo inamaanisha, ni muhimu kupata mizizi ya hesabu mbili za quadratic. Ili kufanya hivyo, tunalinganisha pande za kushoto za usawa na sifuri.

Wacha tuanze na ya kwanza:

6x 2 - x - 2 = 0.

Jinsi equation ya quadratic inasuluhishwa - angalia sehemu "equation Quadratic". Mara moja tutataja jibu:

x 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

Kutoka kwa mfumo wa kwanza wa ukosefu wa usawa, tunaona kuwa suluhisho la usawa wa asili ni seti nzima ya nambari kutoka -1/2 hadi 2/3. Tunaandika umoja wa suluhisho kwa x ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Sasa wacha tutatue hesabu ya pili ya nambari:

6x 2 + x - 2 = 0.

Mizizi yake:

x 1 = -2/3, x 2 = 1/2.

Hitimisho: saa x < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Wacha tuunganishe majibu mawili na kupata jibu la mwisho: suluhisho ni seti nzima ya nambari kutoka -2/3 hadi 2/3, pamoja na nambari hizi kali.

Jibu: -2/3 ≤ x ≤ 2/3.

Au: x ∈ [-2/3; 2/3].

Njia (sheria) za kufunua usawa na moduli zinajumuisha kufunua kwa moduli, wakati wa kutumia vipindi vya uthabiti wa ishara ya kazi ndogo ndogo. Katika toleo la mwisho, usawa kadhaa hupatikana kutoka kwa vipindi au vipindi ambavyo vinaridhisha hali ya shida.

Wacha tuendelee kutatua mifano ya kawaida katika mazoezi.

Ukosefu wa usawa na moduli

Kwa mstari tunamaanisha equations ambayo kutofautisha huingia kwa usawa sawa.

Mfano 1. Tafuta suluhisho la ukosefu wa usawa

Uamuzi:
Inafuata kutoka kwa taarifa ya shida kwamba moduli zinageuka kuwa sifuri kwa x \u003d -1 na x \u003d -2. Pointi hizi hugawanya mhimili wa nambari katika vipindi

Katika kila moja ya vipindi hivi, tunasuluhisha usawa uliopewa. Ili kufanya hivyo, kwanza kabisa, tunachora michoro za picha za maeneo ya uthabiti wa kazi ndogo ndogo. Wao huonyeshwa kama maeneo yenye ishara za kila moja ya kazi

au vipindi na ishara za kazi zote.

Katika kipindi cha kwanza, fungua moduli

Tunazidisha pande zote mbili kwa kuondoa moja, na ishara katika ukosefu wa usawa itabadilika kuwa kinyume. Ikiwa unapata shida kuzoea sheria hii, unaweza kusonga kila sehemu na ishara ili kuondoa minus. Katika toleo la mwisho, utapokea

Makutano ya seti x\u003e -3 na eneo ambalo hesabu zilitatuliwa itakuwa muda (-3; -2). Kwa wale ambao ni rahisi kutafuta suluhisho, unaweza kuchora kielelezo makutano ya maeneo haya

Makutano ya kawaida ya maeneo yatakuwa suluhisho. Kwa kutofautiana kali, kingo hazijumuishwa. Ikiwa sio kali, angalia kwa kubadilisha.

Kwenye kipindi cha pili, tunapata

Sehemu hiyo itakuwa muda (-2; -5/3). Kwa kielelezo, suluhisho litaonekana kama

Katika kipindi cha tatu, tunapata

Hali hii haitoi suluhisho katika eneo linalohitajika.

Kwa kuwa suluhisho mbili zilipatikana (-3; -2) na (-2; -5/3) inapakana na hatua x \u003d -2, basi tunaiangalia pia.

Kwa hivyo uhakika x \u003d -2 ni suluhisho. Kwa kuzingatia hii, suluhisho la jumla litaonekana kama (-3; 5/3).

Mfano 2. Tafuta suluhisho la ukosefu wa usawa
| x-2 | - | x-3 |\u003e \u003d | x-4 |

Uamuzi:
Pointi x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4 ni sifuri za kazi ndogo. Kwa hoja chini ya vidokezo hivi, kazi za manukuu ni hasi, na kwa kubwa, ni chanya.

Pointi hugawanya mhimili halisi katika vipindi vinne. Tunafungua moduli kulingana na vipindi vya uthabiti na tunatatua usawa.

1) Katika kipindi cha kwanza, kazi zote ndogo ndogo ni hasi, kwa hivyo, wakati wa kupanua moduli, tunabadilisha ishara kuwa kinyume.

Makutano ya maadili yaliyopatikana ya x na muda unaozingatiwa itakuwa seti ya alama

2) Kwa muda kati ya alama x \u003d 2 na x \u003d 3, kazi ya kwanza ya manowari ni chanya, ya pili na ya tatu ni hasi. Kupanua moduli, tunapata

ukosefu wa usawa ambao, kwenye makutano na muda ambao tunasuluhisha, inatoa suluhisho moja - x \u003d 3.

3) Kwenye kipindi kati ya alama x \u003d 3 na x \u003d 4, kazi ya manukuu ya kwanza na ya pili ni chanya, na ya tatu ni hasi. Kulingana na hii, tunapata

Hali hii inaonyesha kuwa muda wote utatosheleza usawa wa moduli.

4) Kwa x\u003e 4, kazi zote ni chanya. Wakati wa kupanua moduli, hatubadilishi ishara yao.

Hali iliyopatikana kwenye makutano na muda hutoa suluhisho zifuatazo

Kwa kuwa usawa unatatuliwa kila wakati, inabaki kupata kawaida ya maadili yote ya x. Suluhisho litakuwa vipindi viwili

Mfano huu umetatuliwa.

Mfano 3. Tafuta suluhisho la ukosefu wa usawa
|| x-1 | -5 |\u003e 3-2x

Uamuzi:
Tuna ukosefu wa usawa na moduli ya moduli. Ukosefu kama huo unafunuliwa kama moduli zimewekwa kijijini, kuanzia na zile ambazo ziko ndani zaidi.

Kazi ndogo ndogo ya x-1 hubadilika kuwa sifuri kwa x \u003d 1. Kwa maadili madogo kwa 1, ni hasi na chanya kwa x\u003e 1. Kulingana na hii, tunapanua moduli ya ndani na tunazingatia ukosefu wa usawa kwa kila vipindi.

Kwanza, fikiria muda kutoka kwa kutokuwa na mwisho hadi moja

Kazi ndogo ndogo ni sawa na sifuri kwa uhakika x \u003d -4. Kwa maadili ya chini ni chanya, kwa maadili ya juu ni hasi. Panua moduli kwa x<-4:

Kwenye makutano na kikoa ambacho tunazingatia tunapata suluhisho

Hatua inayofuata ni kufungua moduli kwenye muda (-4; 1)

Kuzingatia eneo la kufunua moduli, tunapata muda wa suluhisho

KUMBUKA: ikiwa unapata vipindi viwili vinavyopakana na hatua ya kawaida katika kasoro kama hizo na moduli, basi, kama sheria, pia ni suluhisho.

Ili kufanya hivyo, unahitaji tu kuangalia.

Katika kesi hii, badilisha hatua x \u003d -4.

Kwa hivyo x \u003d -4 ndio suluhisho.
Wacha tufungue moduli ya ndani ya x\u003e 1

Submodule kazi hasi kwa x<6.
Kupanua moduli, tunapata

Hali hii katika sehemu na muda (1; 6) inatoa suluhisho tupu.

Kwa x\u003e 6 tunapata usawa

Pia, utatuzi ulipata seti tupu.
Kuzingatia yote yaliyotajwa hapo juu, suluhisho pekee la ukosefu wa usawa na moduli ni muda unaofuata.

Ukosefu wa usawa na Moduli Zenye Usawa wa Quadratic

Mfano 4. Tafuta suluhisho la ukosefu wa usawa
| x ^ 2 + 3x |\u003e \u003d 2-x ^ 2

Uamuzi:
Kazi ya submodule hupotea kwenye alama x \u003d 0, x \u003d -3. Kubadilisha rahisi kwa zile za chini

tunahakikisha kuwa ni chini ya sifuri kwa muda (-3; 0) na chanya nje yake.
Panua moduli katika maeneo ambayo kazi ndogo ndogo ni nzuri

Inabakia kuamua maeneo ambayo kazi ya mraba ni nzuri. Ili kufanya hivyo, tunaamua mizizi ya equation ya quadratic

Kwa urahisi, tunabadilisha hatua x \u003d 0, ambayo ni ya muda (-2; 1/2). Kazi ni hasi katika kipindi hiki, ambayo inamaanisha kuwa zifuatazo zinaweka x

Hapa mabano yanaonyesha kando ya maeneo na suluhisho, hii ilifanywa kwa makusudi, kwa kuzingatia sheria ifuatayo.

KUMBUKA: Ikiwa ukosefu wa usawa na moduli, au usawa rahisi ni mkali, basi kingo za maeneo yaliyopatikana sio suluhisho, ikiwa usawa sio mkali (), basi kingo ni suluhisho (zilizoonyeshwa na mabano ya mraba).

Sheria hii hutumiwa na waalimu wengi: ikiwa ukosefu wa usawa mkali umeainishwa, na wakati wa mahesabu unaandika bracket mraba [[,]) katika suluhisho, wataihesabu kama jibu lisilo sawa. Pia, wakati wa kujaribu, ikiwa kutokuwepo kwa usawa na moduli imeainishwa, basi kati ya suluhisho, tafuta maeneo yaliyo na mabano mraba.

Kwenye muda (-3; 0), kufungua moduli, tunabadilisha ishara ya kazi kwenda kinyume

Kuzingatia eneo la kufunuliwa kwa usawa, suluhisho litakuwa na fomu

Pamoja na eneo lililopita, hii itatoa vipindi viwili vya nusu

Mfano 5. Tafuta suluhisho la ukosefu wa usawa
9x ^ 2- | x-3 |\u003e \u003d 9x-2

Uamuzi:
Ukosefu wa usawa unapewa, kazi ndogo ambayo ni sawa na sifuri kwa uhakika x \u003d 3. Kwa maadili ya chini, ni hasi, kwa maadili ya juu, ni chanya. Panua moduli kwenye muda x<3.

Pata ubaguzi wa equation

na mizizi

Kubadilisha hatua ya sifuri, tunaona kwamba kazi ya quadratic ni hasi kwenye muda [-1/9; 1], kwa hivyo muda ni suluhisho. Ifuatayo, panua moduli kwa x\u003e 3

Kikokotoo hiki cha hesabu mkondoni kitakusaidia suluhisha usawa au usawa na moduli... Programu ya suluhisho za equations na usawa na moduli haitoi tu jibu kwa shida, inatoa suluhisho la kina na maelezo, i.e. inaonyesha mchakato wa kupata matokeo.

Mpango huu unaweza kuwa muhimu kwa wanafunzi waandamizi wa shule za upili kujiandaa kwa vipimo na mitihani, wakati wa kuangalia maarifa kabla ya mtihani, kwa wazazi kudhibiti suluhisho la shida nyingi katika hisabati na algebra. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mkufunzi au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kupata hesabu yako ya hesabu au algebra ifanyike haraka iwezekanavyo? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na suluhisho la kina.

Kwa njia hii, unaweza kufanya mafundisho yako mwenyewe na / au kufundisha kwa kaka au dada zako, wakati kiwango cha elimu katika uwanja wa shida zinazotatuliwa kinaongezeka.

Ingiza equation au usawa na moduli

Ilibainika kuwa hati zingine zinahitajika kusuluhisha shida hii hazikupakiwa, na programu hiyo inaweza isifanye kazi.
Labda una AdBlock imewezeshwa.
Katika kesi hii, imaze na uburudishe ukurasa.

Kwa sababu Kuna watu wengi ambao wanataka kutatua shida, ombi lako limepangwa.
Baada ya sekunde chache, suluhisho litaonekana hapa chini.
Subiri tafadhali sec ...

Ikiwa wewe niliona kosa katika uamuzi, basi unaweza kuandika juu ya hii katika Fomu ya Maoni.
Usisahau onyesha ni kazi gani unaamua na nini ingia mashambani.

Michezo yetu, puzzles, emulators:

Nadharia kidogo.

Usawa na usawa na moduli

Katika kozi ya algebra ya shule ya msingi, unaweza kukutana na equations rahisi na usawa na moduli. Ili kuzitatua, unaweza kutumia njia ya kijiometri kulingana na ukweli kwamba \\ (| xa | \\) ni umbali kwenye laini ya nambari kati ya alama x na a: ((xa | \u003d \\ rho (x; \\; a) ) \\). Kwa mfano, kusuluhisha equation \\ (| x-3 | \u003d 2 \\), unahitaji kupata alama kwenye laini ya nambari ambazo ziko umbali wa 2 kutoka nambari 3. Kuna alama mbili kama hizo: \\ (x_1 \u003d 1 \\) na \\ (x_2 \u003d 5 \\) ...

Kutatua ukosefu wa usawa \\ (| 2x + 7 |

Lakini njia kuu ya kutatua usawa na usawa na moduli inahusishwa na kile kinachoitwa "upanuzi wa moduli kwa ufafanuzi":
ikiwa \\ (a \\ geq 0 \\), basi \\ (| a | \u003d a \\);
ikiwa \\ (a Kama sheria, equation (usawa) na moduli imepunguzwa kuwa seti ya equations (usawa) ambazo hazina ishara ya moduli.

Mbali na ufafanuzi huu, taarifa zifuatazo zinatumika:
1) Ikiwa \\ (c\u003e 0 \\), basi equation \\ (| f (x) | \u003d c \\) ni sawa na seti ya equations: \\ (\\ kushoto [\\ anza (safu) (l) f (x) \u003d c \\\\ f (x) \u003d - c \\ mwisho (safu) \\ sawa. \\)
2) Ikiwa \\ (c\u003e 0 \\), basi usawa \\ (| f (x) | 3) Ikiwa \\ (c \\ geq 0 \\), basi usawa \\ (| f (x) |\u003e c \\) ni sawa na seti ya usawa: \\ (\\ kushoto [\\ anza (safu) (l) f (x) c \\ end (safu) \\ kulia. \\)
4) Ikiwa pande zote mbili za ukosefu wa usawa \\ (f (x) MFANO 1. Tatua equation \\ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 \u003d 0 \\).

Ikiwa \\ (x-1 \\ geq 0 \\), basi \\ (| x-1 | \u003d x-1 \\) na equation iliyopewa inachukua fomu
\\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Rightarrow x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\).
Ikiwa \\ (x-1 \\ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Rightarrow x ^ 2 -2x -4 \u003d 0 \\).
Kwa hivyo, equation iliyopewa inapaswa kuzingatiwa kando katika kila kesi mbili zilizoonyeshwa.
1) Wacha \\ (x-1 \\ geq 0 \\), i.e. \\ (x \\ geq 1 \\). Kutoka kwa equation \\ (x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\) tunapata \\ (x_1 \u003d 2, \\; x_2 \u003d -4 \\). Sharti \\ (x \\ geq 1 \\) limeridhika tu na thamani \\ (x_1 \u003d 2 \\).
2) Wacha \\ (x-1 Jibu: \\ (2; \\; \\; 1- \\ sqrt (5) \\)

MFANO 2. Suluhisha equation \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\).

Njia ya kwanza (upanuzi wa moduli kwa ufafanuzi).
Kuteta kama kwa mfano 1, tunafikia hitimisho kwamba equation iliyopewa inapaswa kuzingatiwa kando ikiwa hali mbili zinatimizwa: (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) au \\ (x ^ 2-6x + 7

1) Ikiwa \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\), basi \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d x ^ 2-6x + 7 \\) na equation iliyopewa inachukua fomu \\ (x ^ 2 -6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\ Rightarrow 3x ^ 2-23x + 30 \u003d 0 \\). Kutatua equation hii ya quadratic, tunapata: (x_1 \u003d 6, \\; x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\).
Wacha tujue ikiwa thamani \\ (x_1 \u003d 6 \\) inatosheleza hali \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\). Ili kufanya hivyo, tunabadilisha thamani maalum katika usawa wa mraba. Tunapata: \\ (6 ^ 2-6 \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), i.e. \\ (7 \\ geq 0 \\) ni usawa wa kweli. Kwa hivyo, \\ (x_1 \u003d 6 \\) ni mzizi wa equation iliyopewa.
Wacha tujue ikiwa thamani \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) inatosheleza hali \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\). Ili kufanya hivyo, tunabadilisha thamani maalum katika usawa wa mraba. Tunapata: \\ (\\ kushoto (\\ frac (5) (3) \\ kulia) ^ 2 - \\ frac (5) (3) \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), i.e. \\ (\\ frac (25) (9) -3 \\ geq 0 \\) - usawa usio sawa. Kwa hivyo, \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) sio mzizi wa equation iliyopewa.

2) Ikiwa \\ (x ^ 2-6x + 7 Thamani \\ (x_3 \u003d 3 \\) inatosheleza hali \\ (x ^ 2-6x + 7 Thamani \\ (x_4 \u003d \\ frac (4) (3) \\) hairidhishi hali \\ (x ^ 2-6x + 7 Kwa hivyo, equation iliyopewa ina mizizi miwili: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\).

Njia ya pili. Ikiwa equation \\ (| f (x) | \u003d h (x) \\) imepewa, basi kwa \\ (h (x) \\ (\\ kushoto [\\ anza (safu) (l) x ^ 2-6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\\\ x ^ 2-6x + 7 \u003d - \\ frac (5x-9) (3) \\ mwisho (safu) \\ kulia. \\)
Usawa wote huo ulitatuliwa hapo juu (kwa njia ya kwanza ya kutatua equation iliyopewa), mizizi yao ni kama ifuatavyo: \\ (6, \\; \\ frac (5) (3), \\; 3, \\; \\ frac (4 (3) \\). Sharti \\ (\\ frac (5x-9) (3) \\ geq 0 \\) ya maadili haya manne yameridhishwa na mbili tu: 6 na 3. Kwa hivyo, equation iliyopewa ina mizizi miwili: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\).

Njia ya tatu (picha).
1) Wacha tupange kazi \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\). Kwanza, jenga parabola \\ (y \u003d x ^ 2-6x + 7 \\). Tunayo \\ (x ^ 2-6x + 7 \u003d (x-3) ^ 2-2 \\). Grafu ya kazi \\ (y \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) inaweza kupatikana kutoka kwa grafu ya kazi \\ (y \u003d x ^ 2 \\) kwa kuibadilisha vitengo 3 kwa upande wa kulia (kando ya x mhimili) na vipande 2 vya kiwango chini (kwenye mhimili y). Mstari wa moja kwa moja x \u003d 3 ni mhimili wa parabola tunayovutiwa nayo. Kama vidokezo vya upangaji sahihi zaidi, ni rahisi kuchukua hatua (3; -2) - vertex ya parabola, point (0; 7) na point (6; 7) symmetric to it relative to the parabola axis .
Ili kupanga sasa grafu ya kazi \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\), unahitaji kuondoka bila kubadilisha sehemu hizo za parabola iliyojengwa ambayo haiko chini ya mhimili wa x, na uangalie sehemu ya parabola ambayo iko chini ya mhimili x kuhusu mhimili x.
2) Jenga grafu ya kazi ya mstari \\ y \u003d frac (5x-9) (3). Ni rahisi kuchukua alama (0; -3) na (3; 2) kama vidhibiti.

Ni muhimu kwamba hatua x \u003d 1.8 makutano ya mstari wa moja kwa moja na mhimili wa abscissa iko upande wa kulia wa sehemu ya kushoto ya makutano ya parabola na mhimili wa abscissa - hii ndio hatua \\ (x \u003d 3- \\ sqrt ( 2) \\) (kwa kuwa \\ (3- \\ sqrt (2) 3) Kwa kuangalia mchoro, grafu zinavuka kwa alama mbili - A (3; 2) na B (6; 7) Kubadilisha alama za alama hizi x \u003d 3 na x \u003d 6 katika equation iliyopewa, tunahakikisha kuwa kwa thamani nyingine zote hutoa usawa wa nambari sahihi, ambayo inamaanisha kwamba nadharia yetu ilithibitishwa - equation ina mizizi miwili: x \u003d 3 na x \u003d 6. Jibu: 3; 6.

Maoni... Njia ya picha, kwa neema yake yote, haiaminiki sana. Katika mfano hapo juu, ilifanya kazi tu kwa sababu mizizi ya equation ni nambari kamili.

MFANO 3. Tatua equation \\ (| 2x-4 | + | x + 3 | \u003d 8 \\)

Njia ya kwanza
Usemi 2x - 4 unakuwa 0 kwa x \u003d 2, na usemi x + 3 kwa x \u003d -3. Pointi hizi mbili hugawanya laini ya nambari katika vipindi vitatu: \\ (x

Fikiria kipindi cha kwanza: \\ ((- - infty; \\; -3) \\).
Ikiwa x Fikiria kipindi cha pili: \\ ([- - 3; \\; 2) \\).
Ikiwa \\ (- 3 \\ leq x Fikiria kipindi cha tatu: \\ (U

Mfano 2.

Suluhisha ukosefu wa usawa || x + 2 | - 3 | ≤ 2.

Uamuzi.

Ukosefu huu wa usawa ni sawa na mfumo ufuatao.

(| x + 2 | - 3 ≥ -2
(| x + 2 | - 3 ≤ 2,
(| x + 2 | ≥ 1
(| x + 2 | ≤ 5.

Wacha tutatue usawa wa kwanza wa mfumo kando. Ni sawa na jumla yafuatayo:

U [-1; 3].

2) Kutatua usawa kwa kutumia ufafanuzi wa moduli.

Ngoja nikukumbushe kwanza ufafanuzi wa moduli.

| a | \u003d a ikiwa a ≥ 0 na | a | \u003d -a ikiwa a< 0.

Kwa mfano, | 34 | \u003d 34, | -21 | \u003d - (- 21) \u003d 21.

Mfano 1.

Suluhisha usawa 3 | x - 1 | ≤ x + 3.

Uamuzi.

Kutumia ufafanuzi wa moduli, tunapata mifumo miwili:

(x - 1 ≥ 0
(3 (x - 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3 (x - 1) ≤ x + 3.

Kutatua mfumo wa kwanza wa pili kando, tunapata:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

Suluhisho la ukosefu wa usawa wa asili litakuwa suluhisho zote za mfumo wa kwanza na suluhisho zote za mfumo wa pili.

Jibu: x €.

3) Kutatua usawa kwa mraba.

Mfano 1.

Suluhisha usawa | x 2 - 1 |< | x 2 – x + 1|.

Uamuzi.

Wacha tuweke mraba pande zote mbili za usawa. Kumbuka kuwa unaweza kuweka mraba pande zote mbili za ukosefu wa usawa ikiwa zote ni chanya. Katika kesi hii, tuna moduli upande wa kushoto na kulia, kwa hivyo tunaweza kufanya hivyo.

(| x 2 - 1 |) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Sasa tutatumia mali ifuatayo ya moduli: (| x |) 2 \u003d x 2.

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x (x - 2) (2x - 1)< 0.

Tunatatua kwa njia ya vipindi.

Jibu: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Suluhisho la usawa kwa kubadilisha anuwai.

Mfano.

Suluhisha usawa (2x + 3) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Uamuzi.

Kumbuka kuwa (2x + 3) 2 \u003d (| 2x + 3 |) 2. Kisha tunapata usawa

(| 2x + 3 |) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Wacha tufanye mabadiliko y \u003d | 2x + 3 |.

Wacha tuandike usawa wetu kwa kuzingatia uingizwaji.

y 2 - y ≤ 30,

y 2 - y - 30 ≤ 0.

Wacha tuangalie mraba wa mraba kushoto.

y1 \u003d (1 + 11) / 2,

y2 \u003d (1 - 11) / 2,

(y - 6) (y + 5) ≤ 0.

Wacha tutatue kwa njia ya vipindi na upate:

Wacha turudi kwa mbadala:

5 ≤ | 2x + 3 | ≤ 6.

Ukosefu wa usawa mara mbili ni sawa na mfumo wa usawa:

(| 2x + 3 | ≤ 6
(| 2x + 3 | ≥ -5.

Wacha tusuluhishe tofauti zote tofauti.

Ya kwanza ni sawa na mfumo

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Wacha tuisuluhishe.

(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.

Ukosefu wa pili ni dhahiri unashikilia x zote, kwani moduli ni chanya kwa ufafanuzi. Kwa kuwa suluhisho la mfumo ni x yote ambayo wakati huo huo inakidhi usawa wa kwanza na wa pili wa mfumo, suluhisho la mfumo wa asili litakuwa suluhisho la usawa wake wa kwanza mara mbili (baada ya yote, ya pili ni kweli kwa wote x).

Jibu: x € [-4.5; 1.5].

tovuti, na kunakili kamili au sehemu ya nyenzo, kiunga kwa chanzo kinahitajika.