Sehemu za nambari, vipindi, vipindi vya nusu na mionzi huitwa vipindi vya nambari. Kazi ya vipindi vya nambari. Grafu ya chaguo za kukokotoa

B) Mstari wa nambari

Fikiria mstari wa nambari (Mchoro 6):

Fikiria seti ya nambari za busara

Kila nambari ya busara inawakilishwa na sehemu fulani kwenye mhimili wa nambari. Kwa hivyo, nambari zimewekwa alama kwenye takwimu.

Hebu thibitisha hilo.

Ushahidi. Hebu kuwe na sehemu:. Tuna haki ya kuzingatia kuwa sehemu hii haiwezi kupunguzwa. Kwa kuwa , basi - nambari ni sawa: - isiyo ya kawaida. Kubadilisha usemi wake, tunapata: , ambayo inamaanisha hiyo ni nambari sawa. Tumepata ukinzani unaothibitisha kauli hiyo.

Kwa hivyo, sio alama zote kwenye mhimili wa nambari zinawakilisha nambari za busara. Pointi hizo ambazo haziwakilishi nambari za busara zinawakilisha nambari zinazoitwa isiyo na mantiki.

Nambari yoyote ya fomu , , ni nambari kamili au nambari isiyo na mantiki.

Vipindi vya nambari

Sehemu za nambari, vipindi, vipindi vya nusu na mionzi huitwa vipindi vya nambari.

Wacha tuwakilishe nambari kwenye mstari wa kuratibu a Na b, pamoja na nambari x kati yao.

Seti ya nambari zote zinazotimiza masharti a ≤ x ≤ b, kuitwa sehemu ya nambari au sehemu tu. Imeteuliwa kama ifuatavyo: [ a; b] - Inasomeka hivi: sehemu kutoka a hadi b.

Seti ya nambari zinazokidhi masharti a< x < b , kuitwa muda. Imeteuliwa kama ifuatavyo: ( a; b)

Inasomeka hivi: muda kutoka a hadi b.

Seti za nambari zinazokidhi masharti a ≤ x< b или a<x ≤ b, zinaitwa vipindi vya nusu. Uteuzi:

Weka ≤ x< b обозначается так:[a; b), inasomeka hivi: nusu ya muda kutoka a kabla b, ikiwa ni pamoja na a.

Kundi la a<x ≤ b imeonyeshwa kama ifuatavyo:( a; b], inasomeka hivi: nusu ya muda kutoka a kabla b, ikiwa ni pamoja na b.

Sasa hebu tuwazie Ray yenye nukta a, kulia na kushoto ambayo kuna seti ya nambari.

a, kutimiza masharti x ≥ a, kuitwa boriti ya nambari.

Imeteuliwa kama ifuatavyo: [ a; +∞)-Husoma kama hii: miale ya nambari kutoka a kwa pamoja na infinity.

Seti ya nambari upande wa kulia wa nukta a, sambamba na ukosefu wa usawa x>a, kuitwa boriti ya nambari wazi.

Imeteuliwa kama ifuatavyo: ( a; +∞)-Husoma kama hii: miale ya nambari iliyo wazi kutoka a kwa pamoja na infinity.

a, kutimiza masharti x ≤ a, kuitwa mionzi ya nambari kutoka minus infinity hadia .

Imeteuliwa kama ifuatavyo:( - ∞; a]-Husoma kama hii: miale ya nambari kutoka minus infinity hadi a.

Seti ya nambari upande wa kushoto wa nukta a, sambamba na ukosefu wa usawa x< a , kuitwa fungua miale ya nambari kutoka minus infinity hadia .

Imeteuliwa kama ifuatavyo: ( - ∞; a)-Husoma kama hii: miale ya nambari iliyo wazi kutoka minus infinity hadi a.

Seti ya nambari halisi inawakilishwa na mstari mzima wa kuratibu. Anaitwa mstari wa nambari. Imeteuliwa kama ifuatavyo: ( - ∞; + ∞ )

3) Milinganyo ya mstari na usawa na tofauti moja, suluhisho zao:

Mlinganyo ulio na kigezo huitwa mlinganyo wenye kigezo kimoja, au mlingano na kisichojulikana. Kwa mfano, mlinganyo wenye kigezo kimoja ni 3(2x+7)=4x-1.

Mzizi au suluhisho la mlinganyo ni thamani ya kigezo ambapo mlinganyo unakuwa usawa wa kweli wa nambari. Kwa mfano, nambari 1 ni suluhisho la mlinganyo 2x+5=8x-1. Equation x2+1=0 haina suluhu, kwa sababu upande wa kushoto wa equation daima ni kubwa kuliko sifuri. Mlinganyo (x+3)(x-4) =0 ina mizizi miwili: x1= -3, x2=4.

Kutatua mlinganyo kunamaanisha kutafuta mizizi yake yote au kuthibitisha kwamba hakuna mizizi.

Milinganyo huitwa sawa ikiwa mizizi yote ya mlingano wa kwanza ni mizizi ya mlingano wa pili na kinyume chake, mizizi yote ya mlingano wa pili ni mizizi ya mlingano wa kwanza au ikiwa milinganyo yote miwili haina mizizi. Kwa mfano, milinganyo x-8=2 na x+10=20 ni sawa, kwa sababu mzizi wa mlingano wa kwanza x=10 pia ni mzizi wa mlinganyo wa pili, na milinganyo yote miwili ina mzizi sawa.

Wakati wa kutatua equations, mali zifuatazo hutumiwa:

Ikiwa utahamisha neno katika equation kutoka sehemu moja hadi nyingine, kubadilisha ishara yake, utapata equation sawa na ile iliyotolewa.

Ikiwa pande zote mbili za equation zimezidishwa au kugawanywa kwa nambari sawa isiyo ya sifuri, utapata mlinganyo sawa na uliyopewa.

Equation ax=b, ambapo x ni variable na a na b ni baadhi ya namba, inaitwa equation linear na variable moja.

Ikiwa a¹0, basi mlinganyo una suluhisho la kipekee.

Ikiwa a=0, b=0, basi mlinganyo huo unatoshelezwa na thamani yoyote ya x.

Ikiwa a=0, b¹0, basi equation haina suluhu, kwa sababu 0x=b haijatekelezwa kwa thamani yoyote ya kutofautisha.
Mfano 1. Tatua mlingano: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Wacha tufungue mabano pande zote mbili za equation, sogeza masharti yote na x hadi upande wa kushoto wa equation, na maneno ambayo hayana x kwa upande wa kulia, tunapata:

16x-15x=88-40-12

Mfano 2. Tatua milinganyo:

x3-2x2-98x+18=0;

Milinganyo hii sio ya mstari, lakini tutaonyesha jinsi milinganyo kama hii inaweza kutatuliwa.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Bidhaa ni sawa na sifuri, ikiwa moja ya vipengele ni sawa na sifuri, tunapata x1=0; x2= .

Jibu: 0; .

Eleza upande wa kushoto wa equation:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), yaani. (x-2)(x-3)(x+3)=0. Hii inaonyesha kuwa masuluhisho ya mlinganyo huu ni nambari x1=2, x2=3, x3=-3.

c) Fikiria 7x kama 3x+4x, kisha tuna: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, kwa hivyo x1=-3, x2=- 4.

Jibu: -3; - 4.
Mfano 3. Tatua mlingano: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Wacha tukumbuke ufafanuzi wa moduli ya nambari:

Kwa mfano: ½3½=3, ½0½=0, ½-4½=4.

Katika mlingano huu, chini ya ishara ya moduli kuna nambari x-1 na x+1. Ikiwa x ni chini ya -1, basi nambari x+1 ni hasi, kisha ½x+1½=-x-1. Na kama x>-1, basi ½x+1½=x+1. Kwa x=-1 ½x+1½=0.

Hivyo,

Vivyo hivyo

a) Zingatia equation hii½x+1½+½x-1½=3 kwa x £-1, ni sawa na mlinganyo -x-1-x+1=3, -2x=3, x=, nambari hii ni ya seti. x £-1.

b) Acha -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) Zingatia kisa x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Nambari hii ni ya seti x>1.

Jibu: x1=-1.5; x2=1.5.
Mfano 4. Tatua mlingano:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Wacha tuonyeshe rekodi fupi ya suluhisho la equation, tukifunua ishara ya moduli "zaidi ya vipindi".

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

Jibu: [-2; 0]
Mfano 5. Tatua mlingano: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), kwa thamani zote za kigezo a.

Kwa kweli kuna anuwai mbili katika mlingano huu, lakini fikiria x kuwa haijulikani na a kuwa kigezo. Inahitajika kutatua mlinganyo wa kigezo cha x kwa thamani yoyote ya parameta a.

Ikiwa a=1, basi equation ina fomu 0×x=0; nambari yoyote inatosheleza mlingano huu.

Ikiwa a=-1, basi equation inaonekana kama 0×x=-2; hakuna nambari moja inayokidhi mlinganyo huu.

Ikiwa a¹1, a¹-1, basi mlingano una suluhu la kipekee.

Jibu: ikiwa a=1, basi x ni nambari yoyote;

ikiwa a=-1, basi hakuna masuluhisho;

ikiwa a¹±1, basi .

B) Kukosekana kwa usawa kwa mstari na kigezo kimoja.

Ikiwa mabadiliko ya x yatapewa thamani yoyote ya nambari, basi tunapata usawa wa nambari unaoonyesha taarifa ya kweli au ya uwongo. Hebu, kwa mfano, ukosefu wa usawa 5x-1>3x+2 itolewe. Kwa x=2 tunapata 5·2-1>3·2+2 – taarifa ya kweli (taarifa ya kweli ya nambari); kwa x=0 tunapata 5·0-1>3·0+2 – taarifa ya uwongo. Thamani yoyote ya kigeu ambacho usawa fulani ulio na kigezo hubadilika na kuwa ukosefu wa usawa wa nambari huitwa suluhu la ukosefu wa usawa. Kutatua kukosekana kwa usawa na kutofautisha kunamaanisha kupata seti ya suluhisho zake zote.

Kukosekana kwa usawa mbili kwa x sawa kunasemekana kuwa sawa ikiwa seti za suluhu za ukosefu huu wa usawa zinalingana.

Wazo kuu la kutatua usawa ni kama ifuatavyo: tunabadilisha usawa uliopewa na mwingine, rahisi, lakini sawa na uliyopewa; tunabadilisha tena usawa unaosababishwa na usawa rahisi sawa na hayo, nk.

Uingizwaji kama huo hufanywa kwa msingi wa taarifa zifuatazo.

Nadharia ya 1. Ikiwa neno lolote la kutofautiana na kutofautiana moja linahamishwa kutoka sehemu moja ya usawa hadi nyingine na ishara kinyume, huku ikiacha ishara ya kutofautiana bila kubadilika, basi usawa sawa na uliopewa utapatikana.

Nadharia 2. Ikiwa pande zote mbili za kutofautiana na kutofautiana moja zinazidishwa au kugawanywa na nambari sawa chanya, na kuacha ishara ya kutofautiana bila kubadilika, basi usawa sawa na moja utapatikana.

Nadharia ya 3. Ikiwa pande zote mbili za kutofautiana na kutofautiana moja zinazidishwa au kugawanywa na namba hasi sawa, wakati kubadilisha ishara ya kutofautiana kwa kinyume chake, basi usawa sawa na moja utapatikana.

Ukosefu wa usawa wa fomu ax+b>0 inaitwa linear (mtawalia, ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Mfano 1. Tatua ukosefu wa usawa: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).

Kufungua mabano, tunapata 2x-6+5-5x³6x-15,

"Majedwali ya Algebra ya Daraja la 7" - Tofauti ya mraba. Maneno. Maudhui. Karatasi za kazi za Algebra.

"Utendaji wa nambari" - Seti ya X inaitwa kikoa cha kazi au kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa f na inaashiria D (f). Grafu ya kazi. Walakini, sio kila mstari ni grafu ya kazi fulani. Mfano 1. Askari wa miamvuli anaruka kutoka kwenye helikopta inayoelea. Nambari moja tu. Uainishaji wa vipengele vya vipengele. Matukio ya asili yanahusiana kwa karibu.

"Mlolongo wa nambari" - Kongamano la somo. "Mlolongo wa nambari". Maendeleo ya kijiometri. Mbinu za ugawaji. Maendeleo ya hesabu. Mlolongo wa nambari.

"Kikomo cha mlolongo wa nambari" - Suluhisho: Mbinu za kubainisha mfuatano. Mlolongo mdogo wa nambari. Kiasi уn inaitwa neno la kawaida la mfuatano. Kikomo cha mlolongo wa nambari. Mwendelezo wa chaguo za kukokotoa katika hatua moja. Mfano: 1, 4, 9, 16, ..., n2, ... - mdogo kutoka chini na 1. Kwa kubainisha formula ya uchambuzi. Mali ya mipaka.

"Mfuatano wa nambari" - Mfuatano wa nambari (mfululizo wa nambari): nambari zinazoandikwa kwa mpangilio fulani. 2. Mbinu za kubainisha mlolongo. 1. Ufafanuzi. Uteuzi wa mlolongo. Mifuatano. 1. Mfumo wa mshiriki wa nth wa mfuatano: - hukuruhusu kupata mwanachama yeyote wa mfuatano. 3. Grafu ya mlolongo wa nambari.

"Majedwali" - Uzalishaji wa mafuta na gesi. Jedwali 2. Jedwali 5. Mifano ya taarifa za tabular. Utaratibu wa kuunda meza ya aina ya OS. Jedwali 4. Makadirio ya mwaka. Nambari ya jedwali. Majedwali ya aina ya "Vitu - vitu". Wanafunzi wa darasa 10 "B". Muundo wa meza. Majedwali ya aina ya kitu-mali. Jozi za vitu zimeelezewa; Kuna mali moja tu.

Miongoni mwa seti za nambari, kuna seti ambapo vitu ni vipindi vya nambari. Wakati wa kuonyesha seti, ni rahisi kuamua kwa muda. Kwa hiyo, tunaandika seti za ufumbuzi kwa kutumia vipindi vya nambari.

Nakala hii inatoa majibu kwa maswali kuhusu vipindi vya nambari, majina, nukuu, picha za vipindi kwenye mstari wa kuratibu, na mawasiliano ya usawa. Hatimaye, meza ya pengo itajadiliwa.

Kila muda wa nambari una sifa ya:

• jina;
• uwepo wa usawa wa kawaida au mara mbili;
• uteuzi;
• picha ya kijiometri kwenye mstari wa moja kwa moja kuratibu.

Muda wa nambari umebainishwa kwa kutumia mbinu zozote 3 kutoka kwenye orodha iliyo hapo juu. Hiyo ni, wakati wa kutumia usawa, nukuu, picha kwenye mstari wa kuratibu. Njia hii ndiyo inayotumika zaidi.

Wacha tueleze vipindi vya nambari na pande zilizotajwa hapo juu:

Ufafanuzi 2

• Fungua boriti ya nambari. Jina linatokana na ukweli kwamba limeachwa, na kuacha wazi.

Muda huu una usawa unaolingana x< a или x >a , ambapo a ni nambari halisi. Hiyo ni, kwenye miale kama hiyo kuna nambari zote halisi ambazo ni chini ya - (x< a) или больше a - (x >a) .

Seti ya nambari ambazo zitatosheleza usawa wa fomu x< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a kama (a , + ∞) .

Maana ya kijiometri ya ray wazi inazingatia uwepo wa muda wa nambari. Kuna mawasiliano kati ya alama za mstari wa kuratibu na nambari zake, kwa sababu ambayo mstari unaitwa mstari wa kuratibu. Ikiwa unahitaji kulinganisha nambari, basi kwenye mstari wa kuratibu nambari kubwa iko kulia. Kisha usawa wa fomu x< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >a - pointi ambazo ziko upande wa kulia. Nambari yenyewe haifai kwa suluhisho, kwa hiyo inaonyeshwa kwenye kuchora kwa dot iliyopigwa. Pengo linalohitajika linaonyeshwa kwa kutumia kivuli. Fikiria takwimu hapa chini.

Kutoka kwa takwimu hapo juu ni wazi kwamba vipindi vya nambari vinahusiana na sehemu za mstari, yaani, mionzi yenye mwanzo kwa a. Kwa maneno mengine, huitwa miale bila mwanzo. Ndio maana ilipata jina la boriti ya nambari iliyo wazi.

Hebu tuangalie mifano michache.

Mfano 1

Kwa ukosefu mkali wa usawa x > - 3, boriti iliyo wazi imebainishwa. Ingizo hili linaweza kuwakilishwa kwa namna ya kuratibu (- 3, ∞). Hiyo ni, haya yote ni pointi ziko kulia kuliko - 3.

Mfano 2

Ikiwa tuna usawa wa fomu x< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Ufafanuzi 3

• Boriti ya nambari. Maana ya kijiometri ni kwamba mwanzo haujatupwa, kwa maneno mengine, ray huhifadhi manufaa yake.

Kazi yake inafanywa kwa kutumia usawa usio mkali wa fomu x ≤ a au x ≥ a. Kwa aina hii, maelezo maalum ya fomu (- ∞, a ] na [ a , + ∞) yanakubaliwa, na uwepo wa mabano ya mraba inamaanisha kuwa hatua hiyo imejumuishwa katika suluhisho au katika seti. Fikiria takwimu hapa chini.

Kwa mfano wazi, hebu tufafanue ray ya nambari.

Mfano 3

Ukosefu wa usawa wa fomu x ≥ 5 inalingana na nukuu [5, + ∞), kisha tunapata ray ya fomu ifuatayo:

Ufafanuzi 4

• Muda. Taarifa kwa kutumia vipindi imeandikwa kwa kutumia usawa maradufu a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Fikiria takwimu hapa chini.

Mfano 4

Mfano wa muda - 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

Ufafanuzi wa 5

• Sehemu ya nambari. Kipindi hiki kinatofautiana kwa kuwa kinajumuisha pointi za mipaka, basi ina fomu ≤ x ≤ b. Ukosefu huo usio na usawa unaonyesha kwamba wakati wa kuandika kwa namna ya sehemu ya nambari, mabano ya mraba [a, b] hutumiwa, ambayo ina maana kwamba pointi zimejumuishwa kwenye seti na zinaonyeshwa kama kivuli.

Mfano 5

Baada ya kuchunguza sehemu hiyo, tunaona kwamba ufafanuzi wake unawezekana kwa kutumia usawa mara mbili 2 ≤ x ≤ 3, ambayo tunawakilisha katika fomu 2, 3. Kwenye mstari wa kuratibu, pointi zilizopewa zitajumuishwa katika suluhisho na kivuli.

Ufafanuzi 6 Mfano 6

Ikiwa kuna muda wa nusu (1, 3], basi jina lake linaweza kuwa katika mfumo wa usawa mara mbili 1.< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Vipindi vinaweza kuonyeshwa kama:

• boriti ya nambari ya wazi;
• boriti ya nambari;
• muda;
• mstari wa nambari;
• nusu ya muda

Ili kurahisisha mchakato wa kuhesabu, unahitaji kutumia jedwali maalum ambalo lina miadi ya kila aina ya vipindi vya nambari za mstari.

Jina	Kutokuwa na usawa	Uteuzi	Picha
Fungua boriti ya nambari	x< a	- ∞ , a
	x>a	a , + ∞
Boriti ya nambari	x ≤ a	(- ∞ , a ]
	x ≥ a	[a, + ∞)
Muda	a< x < b	a, b
Sehemu ya nambari	a ≤ x ≤ b	a, b
Nusu ya muda

Vipindi vya nambari ni pamoja na miale, sehemu, vipindi na vipindi vya nusu.

Aina za vipindi vya nambari

Katika meza a Na b ni pointi za mipaka, na x- kigezo ambacho kinaweza kuchukua uratibu wa nukta yoyote inayomilikiwa na muda wa nambari.

Sehemu ya mpaka- hii ndiyo hatua inayofafanua mpaka wa muda wa nambari. Sehemu ya mpaka inaweza au isiwe ya muda wa nambari. Katika michoro, alama za mipaka ambazo sio za muda wa nambari zinazozingatiwa zinaonyeshwa na mduara wazi, na zile ambazo ni zao zinaonyeshwa na mduara uliojazwa.

Boriti iliyofunguliwa na iliyofungwa

Fungua boriti ni seti ya pointi kwenye mstari ulio upande mmoja wa sehemu ya mpaka ambayo haijajumuishwa katika seti hii. Mionzi inaitwa wazi kwa usahihi kwa sababu ya hatua ya mpaka ambayo sio yake.

Wacha tuchunguze seti ya vidokezo kwenye mstari wa kuratibu ambao una kuratibu zaidi ya 2, na, kwa hivyo, iko upande wa kulia wa nukta 2:

Seti kama hiyo inaweza kufafanuliwa na usawa x> 2. Miale wazi inaashiria kwa kutumia mabano - (2; +∞), ingizo hili linasomeka hivi: fungua miale ya nambari kutoka mbili hadi pamoja na infinity.

Seti ambayo usawa inalingana x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

Boriti iliyofungwa ni seti ya pointi kwenye mstari ulio upande mmoja wa sehemu ya mpaka inayomilikiwa na seti fulani. Katika michoro, alama za mipaka za seti inayozingatiwa zinaonyeshwa na mduara uliojaa.

Mionzi ya nambari iliyofungwa inafafanuliwa na kutofautiana kwa usawa. Kwa mfano, usawa x 2 na x 2 inaweza kuonyeshwa kama hii:

Miale hii iliyofungwa imeteuliwa kama ifuatavyo: , inasomwa hivi: miale ya nambari kutoka kwa mbili hadi pamoja na infinity na miale ya nambari kutoka kwa minus infinity hadi mbili. Mabano ya mraba katika nukuu yanaonyesha kuwa nukta 2 ni ya muda wa nambari.

Sehemu ya mstari

Sehemu ya mstari ni seti ya pointi kwenye mstari ulio kati ya pointi mbili za mpaka zinazomilikiwa na seti fulani. Seti kama hizo zinafafanuliwa na usawa mara mbili usio mkali.

Fikiria sehemu ya mstari wa kuratibu na ncha kwa pointi -2 na 3:

Seti ya alama zinazounda sehemu fulani inaweza kubainishwa na usawa mara mbili -2 x 3 au mteule [-2; 3], rekodi kama hii inasomeka hivi: sehemu kutoka minus mbili hadi tatu.

Muda na nusu ya muda

Muda- hii ni seti ya pointi kwenye mstari ulio kati ya pointi mbili za mpaka ambazo si za seti hii. Seti kama hizo zinafafanuliwa na usawa mkali mara mbili.

Fikiria sehemu ya mstari wa kuratibu na ncha kwa pointi -2 na 3:

Seti ya pointi zinazounda muda fulani zinaweza kutajwa na usawa mara mbili -2< x < 3 или обозначить (-2; 3). Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Nusu ya muda ni seti ya pointi kwenye mstari ulio kati ya pointi mbili za mpaka, moja ambayo ni ya seti na nyingine sio. Seti kama hizo zinafafanuliwa na usawa mara mbili:

Vipindi hivi vya nusu vimeteuliwa kama ifuatavyo: (-2; 3] na [-2; 3]. Inasomeka hivi: muda wa nusu kutoka minus mbili hadi tatu, ikiwa ni pamoja na 3, na nusu ya muda kutoka minus mbili hadi tatu, ikiwa ni pamoja na minus mbili.