Kupata eneo la parallelogram kupitia diagonals. Parallelogram na sifa zake
Parallelogram Ni pembe nne, ambayo pande zake ziko sambamba.
Katika takwimu hii, pande tofauti na pembe ni sawa kwa kila mmoja. Ulalo wa parallelogram huingiliana kwa hatua moja na hupunguzwa kwa nusu. Michanganyiko ya eneo la parallelogramu hukuruhusu kupata thamani kulingana na pande, urefu, na diagonal. Parallelogram pia inaweza kuwasilishwa katika kesi maalum. Wanachukuliwa kuwa mstatili, mraba na rhombus.
Kuanza, fikiria mfano wa kuhesabu eneo la parallelogram kwa urefu na upande ambao umeshushwa.
Kesi hii inachukuliwa kuwa ya kawaida na hauitaji uchunguzi wa ziada. Ni bora kuzingatia formula ya kuhesabu eneo kupitia pande mbili na pembe kati yao. Njia sawa hutumiwa katika hesabu. Ikiwa pande na pembe kati yao zimepewa, basi eneo hilo linahesabiwa kama ifuatavyo: 
Tuseme parallelogram inatolewa kwa pande a = 4 cm, b = cm 6. Pembe kati yao ni α = 30 °. Wacha tupate eneo: 
Eneo la parallelogram kupitia diagonal
Njia ya eneo la parallelogram kwa suala la diagonals hukuruhusu kupata thamani haraka.
Kwa mahesabu, unahitaji thamani ya pembe kati ya diagonals.
Hebu fikiria mfano wa kuhesabu eneo la parallelogram kupitia diagonals. Hebu parallelogram itolewe kwa diagonals D = 7 cm, d = cm 5. Pembe kati yao ni α = 30 °. Wacha tubadilishe data kwenye fomula: 
Mfano wa kuhesabu eneo la parallelogram kupitia diagonal ilitupa matokeo bora - 8.75.
Kujua formula ya eneo la parallelogram kupitia diagonal, unaweza kutatua shida nyingi za kupendeza. Hebu tuangalie mmoja wao.
Kazi: Unapewa parallelogram yenye eneo la 92 sq. tazama Point F iko katikati ya upande wake BC. Wacha tupate eneo la trapezoid ya ADFB ambayo italala kwenye sanjari yetu. Kuanza, wacha tuchore kila kitu tulichopokea kulingana na masharti.
Wacha tuanze kutatua: 
Kulingana na hali zetu, ah = 92, na ipasavyo, eneo la trapezoid yetu litakuwa sawa. 
Kumbuka... Hii ni sehemu ya somo na matatizo ya jiometri (sehemu ya parallelogram). Ikiwa unahitaji kutatua shida ya jiometri ambayo haipo hapa, andika juu yake kwenye jukwaa. Ili kuashiria kitendo cha kuchimba mzizi wa mraba katika suluhisho la shida, ishara √ au sqrt () hutumiwa, na usemi mkali unaonyeshwa kwenye mabano.
Nyenzo za kinadharia
Maelezo ya fomula za kupata eneo la parallelogram:
- Eneo la parallelogram ni sawa na bidhaa ya urefu wa moja ya pande zake kwa urefu uliopunguzwa upande huu.
- Eneo la parallelogram ni sawa na bidhaa ya pande zake mbili zilizo karibu na sine ya pembe kati yao.
- Eneo la parallelogram ni nusu ya bidhaa za diagonal zake na sine ya pembe kati yao
Kazi za kutafuta eneo la parallelogram
Kazi.Katika parallelogram, urefu mdogo na upande mdogo ni sawa na 9 cm na mzizi wa 82, kwa mtiririko huo, diagonal kubwa ni cm 15. Tafuta eneo la parallelogram.
Suluhisho.
Wacha tuonyeshe urefu wa chini wa parallelogramu ABCD, iliyoshushwa kutoka kwa uhakika B hadi msingi mkubwa wa AD, kama BK.
Pata thamani ya mguu wa pembetatu ya kulia ya ABK, iliyoundwa na urefu mdogo, upande mdogo na sehemu ya msingi mkubwa. Kulingana na nadharia ya Pythagorean:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1
Hebu tupanue msingi wa juu wa parallelogram BC na kupunguza urefu wa AN kutoka chini yake hadi chini. AN = BK kama pande za mstatili ANBK. Tafuta NC ya mguu wa pembetatu inayosababisha yenye pembe ya kulia ANC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC = 12
Sasa tafuta msingi mkubwa zaidi wa BC wa parallelogram ABCD.
BC = NC - NB
Tunazingatia kwamba NB = AK kama pande za mstatili, basi
KK = 12 - 1 = 11
Eneo la parallelogram ni sawa na bidhaa ya msingi na urefu wa msingi huu.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99
Jibu: 99 cm 2.
Kazi
Katika sanjari ya AVSD, VO ya pembeni inashushwa kwenye diagonal ya AC. Pata eneo la parallelogram ikiwa AO = 8, OC = 6 na BO = 4.
Suluhisho.
Hebu tuache DK moja zaidi ya perpendicular kwenye diagonal АС.
Ipasavyo, pembetatu AOB na DKC, COB na AKD ni sawa katika jozi. Moja ya pande ni upande wa kinyume wa parallelogram, moja ya pembe ni sawa, kwa kuwa ni perpendicular kwa diagonal, na moja ya pembe iliyobaki ni msalaba wa ndani unaolala kwa pande zinazofanana za parallelogram na diagonal ya secant.
Kwa hivyo, eneo la parallelogram ni sawa na eneo la pembetatu zilizoonyeshwa. Hiyo ni
Sambamba = 2S AOB + 2S BOC
Eneo la pembetatu ya kulia ni nusu ya bidhaa za miguu. Wapi
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Jibu: 56 cm 2.
Wakati wa kutatua matatizo juu ya mada hii, kwa kuongeza mali ya msingi parallelogram na kanuni zinazolingana, unaweza kukumbuka na kutumia zifuatazo:
- Sehemu mbili za pembe ya ndani ya parallelogramu hukata pembetatu ya isosceles kutoka kwayo
- Sehemu mbili za pembe za ndani zilizo karibu na moja ya pande za parallelogramu zina usawa wa pande zote.
- Vipimo viwili vinavyojitokeza kutoka kwa pembe za ndani za parallelogramu ziko sambamba au kulala kwenye mstari mmoja ulionyooka.
- Jumla ya miraba ya diagonal ya parallelogram ni sawa na jumla ya miraba ya pande zake.
- Eneo la parallelogram ni nusu ya bidhaa ya diagonal na sine ya pembe kati yao
Hebu fikiria kazi katika suluhisho ambalo mali hizi hutumiwa.
Lengo 1.
Sehemu ya pili ya angle C ya parallelogram ABCD inapita upande wa AD kwa uhakika M na kuendelea kwa upande AB zaidi ya hatua A kwenye hatua E. Pata mzunguko wa parallelogram ikiwa AE = 4, DМ = 3.
Suluhisho.
1. Triangle CMD ni isosceles. (Mali 1). Kwa hiyo, CD = MD = 3 cm.
2. Pembetatu ya EAM ni isosceles.
Kwa hiyo, AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Mzunguko ABCD = 20 cm.
Jibu. 20 cm.
Lengo 2.
Milalo huchorwa kwenye ABCD ya pembe nne ya mbonyeo. Inajulikana kuwa maeneo ya pembetatu ABD, ACD, BCD ni sawa. Thibitisha kuwa pembe nne uliyopewa ni parallelogram.
Suluhisho.
1. Hebu BE - urefu wa pembetatu ABD, CF - urefu wa pembetatu ACD. Kwa kuwa, kwa mujibu wa hali ya tatizo, maeneo ya pembetatu ni sawa na yana msingi wa kawaida wa AD, urefu wa pembetatu hizi ni sawa. BE = CF.
2. BE, CF ni perpendicular kwa AD. Pointi B na C ziko upande mmoja wa mstari wa AD. BE = CF. Kwa hiyo, mstari wa moja kwa moja ВС || AD. (*)
3. Hebu АL iwe urefu wa pembetatu АСD, BK - urefu wa pembetatu BCD. Kwa kuwa, kwa mujibu wa hali ya tatizo, maeneo ya pembetatu ni sawa na yana CD ya kawaida ya msingi, urefu wa pembetatu hizi ni sawa. AL = BK.
4. AL na BK ni perpendicular kwa CD. Pointi B na A ziko upande mmoja wa CD ya mstari wa moja kwa moja. AL = BK. Kwa hivyo, mstari wa moja kwa moja AB || CD (**)
5. Kutoka kwa hali (*), (**) ifuatavyo - ABCD parallelogram.
Jibu. Imethibitishwa. ABCD - parallelogram.
Lengo 3.
Kwa pande za BC na CD ya ABCD ya parallelogram, pointi M na H zimewekwa alama, kwa mtiririko huo, ili sehemu za BM na HD ziingie kwenye hatua O;<ВМD = 95 о,
Suluhisho.
1. Katika pembetatu DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Katika DHC yenye pembe ya kulia Kisha<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Lakini CD = AB. Kisha AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Jibu: AB: НD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Jukumu la 4. Moja ya diagonals ya parallelogram, 4√6 kwa muda mrefu, hufanya angle ya 60 ° na msingi, na diagonal ya pili hufanya angle ya 45 ° na msingi sawa. Pata diagonal ya pili. Suluhisho.
1. AO = 2√6. 2. Tunatumia theorem ya sines kwa pembetatu AOD. AO / dhambi D = OD / dhambi A. 2√6 / dhambi 45 о = OD / dhambi 60 о. ОD = (2√6dhambi 60 о) / dhambi 45 о = (2√6 √3 / 2) / (√2 / 2) = 2√18 / √2 = 6. Jibu: 12.
Jukumu la 5. Sambamba na pande 5√2 na 7√2 ina pembe ndogo kati ya diagonal sawa na pembe ndogo ya parallelogramu. Pata jumla ya urefu wa diagonals. Suluhisho.
Hebu d 1, d 2 iwe diagonals ya parallelogram, na angle kati ya diagonals na angle ndogo ya parallelogram ni sawa na φ. 1. Hebu tuhesabu mbili tofauti S ABCD = AB AD dhambi A = 5√2 7√2 dhambi φ, S ABCD = 1/2 AС ВD dhambi AОВ = 1/2 d 1 d 2 dhambi ф. Tunapata usawa 5√2 7√2 dhambi ф = 1 / 2d 1 d 2 dhambi ф au 2 5√2 7√2 = d 1 d 2; 2. Kutumia uwiano kati ya pande na diagonals ya parallelogram, tunaandika usawa. (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Wacha tuunde mfumo: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Tunazidisha equation ya pili ya mfumo na 2 na kuiongeza kwa ya kwanza. Tunapata (d 1 + d 2) 2 = 576. Kwa hiyo Id 1 + d 2 I = 24. Kwa kuwa d 1, d 2 ni urefu wa diagonals ya parallelogram, kisha d 1 + d 2 = 24. Jibu: 24.
Kazi ya 6. Pande za parallelogram ni 4 na 6. Pembe ya papo hapo kati ya diagonals ni 45 °. Pata eneo la parallelogram. Suluhisho.
1. Kutoka kwa pembetatu ya AOB, kwa kutumia theorem ya cosine, tunaandika uhusiano kati ya upande wa parallelogram na diagonals. AB 2 = AO 2 + BO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2) √2 / 2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. Vile vile, tunaandika uhusiano kwa pembetatu AOD. Hebu tuzingatie hilo<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Tunapata equation d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Tuna mfumo Kuondoa ya kwanza kutoka kwa equation ya pili, tunapata 2d 1 d 2 √2 = 80 au d 1 d 2 = 80 / (2√2) = 20√2 4.S ABCD = 1/2 AC · ВD · dhambi AОВ = 1/2 · d 1 d 2 dhambi α = 1/2 · 20√2 · √2 / 2 = 10. Kumbuka: Katika hili na katika tatizo la awali, hakuna haja ya kutatua kabisa mfumo, kwa kuona kwamba katika tatizo hili, kuhesabu eneo hilo, tunahitaji bidhaa za diagonals. Jibu: 10. Jukumu la 7. Eneo la parallelogram ni 96, na pande zake ni 8 na 15. Pata mraba wa diagonal ndogo. Suluhisho.
1.S ABCD = AB · AD · dhambi MBAYA. Wacha tufanye mbadala katika fomula. Tunapata 96 = 8 15 dhambi MBAYA. Kwa hivyo dhambi ВAD = 4/5. 2. Tafuta cos BAD. dhambi 2 MBAYA + cos 2 MBAYA = 1. (4/5) 2 + cos 2 BAD = 1.cos 2 MBAYA = 9/25. Kwa mujibu wa taarifa ya tatizo, tunapata urefu wa diagonal ndogo. Ulalo wa BD utakuwa mdogo ikiwa angle ya BAD ni kali. Kisha cos BAD = 3/5. 3. Kutoka kwa pembetatu ABD na theorem ya cosine tunapata mraba wa BD ya diagonal. BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 = 145. Jibu: 145.
Bado una maswali? Hujui jinsi ya kutatua tatizo la kijiometri? tovuti, na kunakili kamili au sehemu ya nyenzo, kiunga cha chanzo kinahitajika. Eneo la parallelogram. Katika shida nyingi sana za jiometri zinazohusiana na hesabu ya maeneo, pamoja na kazi za mitihani, fomula za eneo la parallelogram na pembetatu hutumiwa. Kuna kadhaa yao, hapa tutazingatia. Itakuwa rahisi sana kuorodhesha fomula hizi; aina hii ya vitu tayari inatosha katika vitabu vya kumbukumbu na kwenye tovuti mbalimbali. Ningependa kufikisha kiini - ili usiwachanganye, lakini uelewe na unaweza kukumbuka kwa urahisi wakati wowote. Baada ya kusoma nyenzo za kifungu hicho, utaelewa kuwa hauitaji kujifunza fomula hizi hata kidogo. Kuzungumza kwa kusudi, ni kawaida sana katika maamuzi ambayo hukaririwa kwa muda mrefu. 1.
Basi hebu tuangalie parallelogram. Ufafanuzi unasomeka: Kwanini hivyo? Ni rahisi hivyo! Ili kuonyesha wazi maana ya formula, tutafanya ujenzi wa ziada, yaani, tutapanga urefu: Eneo la pembetatu (2) ni sawa na eneo la pembetatu (1) - ishara ya pili ya usawa wa pembetatu za kulia "kando ya mguu na hypotenuse." Sasa kiakili "tunakata" ya pili na kuihamisha kwa kuiweka juu ya kwanza - tunapata mstatili, eneo ambalo litakuwa sawa na eneo la parallelogram ya asili: Eneo la mstatili linajulikana kuwa sawa na bidhaa ya pande zake zilizo karibu. Kama unaweza kuona kutoka kwa mchoro, upande mmoja wa mstatili unaosababishwa ni sawa na upande wa parallelogram, na nyingine ni sawa na urefu wa parallelogram. Kwa hivyo, tunapata fomula ya eneo la parallelogram S = a ∙ h a 2. Hebu tuendelee, formula moja zaidi ya eneo lake. Tuna: Wacha tuangazie pande kama a na b, pembe kati yao ni γ "gamma", urefu ni h a. Fikiria pembetatu yenye pembe ya kulia:
(
(Kwa kuwa katika pembetatu ya kulia mguu, ambayo iko kinyume na angle ya 30 °, ni sawa na nusu ya hypotenuse).
njia za eneo lake.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
Ili kupata msaada kutoka kwa mwalimu - kujiandikisha.
Somo la kwanza ni bure!
Eneo la formula ya parallelogram
