Kuunda polynomial kwa kutumia mpango wa Horner. Milinganyo katika hisabati ya juu zaidi. Mizizi ya busara ya polynomia

Na kadhalika. ni ya elimu ya jumla na ni ya umuhimu mkubwa kwa kusoma kozi YOTE ya hisabati ya juu. Leo tutarudia hesabu za "shule", lakini sio "shule" tu - lakini zile ambazo zinapatikana kila mahali katika shida mbali mbali za vyshmat. Kama kawaida, hadithi itaambiwa kwa njia iliyotumiwa, i.e. Sitazingatia ufafanuzi na uainishaji, lakini nitashiriki nawe uzoefu wangu wa kibinafsi wa kuitatua. Taarifa hiyo inalenga hasa kwa Kompyuta, lakini wasomaji wa juu zaidi watapata pointi nyingi za kuvutia kwao wenyewe. Na, bila shaka, kutakuwa na nyenzo mpya ambazo huenda zaidi ya shule ya sekondari.

Kwa hivyo equation…. Wengi hukumbuka neno hili kwa kutetemeka. Je, ni milinganyo "ya kisasa" yenye thamani ya mizizi... ...sahau kuihusu! Kwa sababu basi utakutana na "wawakilishi" wasio na madhara zaidi wa aina hii. Au milinganyo ya trigonometriki ya kuchosha na njia kadhaa za suluhisho. Kwa kusema ukweli, mimi mwenyewe sikuwapenda ... Usiwe na wasiwasi! - basi wengi "dandelions" wanakungoja na suluhisho la wazi katika hatua 1-2. Ingawa "burdock" hakika inashikilia, unahitaji kuwa na lengo hapa.

Ajabu ya kutosha, katika hisabati ya juu ni kawaida zaidi kushughulika na hesabu za zamani kama vile. mstari milinganyo

Inamaanisha nini kutatua equation hii? Hii inamaanisha kupata thamani HIYO ya "x" (mizizi) ambayo inaigeuza kuwa usawa wa kweli. Wacha tutupe "tatu" kulia na mabadiliko ya ishara:

na kuacha "mbili" kwa upande wa kulia (au, kitu kimoja - zidisha pande zote mbili kwa) :

Ili kuangalia, hebu tubadilishe kombe lililoshinda kwenye mlinganyo wa asili:

Usawa sahihi unapatikana, ambayo ina maana kwamba thamani iliyopatikana ndiyo mzizi wa mlinganyo huu. Au, kama wanasema, inakidhi equation hii.

Tafadhali kumbuka kuwa mzizi unaweza pia kuandikwa kama sehemu ya decimal:
Na usijaribu kushikamana na mtindo huu mbaya! Nilirudia sababu zaidi ya mara moja, haswa, kwenye somo la kwanza algebra ya juu.

Kwa njia, equation pia inaweza kutatuliwa "kwa Kiarabu":

Na kinachovutia zaidi ni kwamba rekodi hii ni halali kabisa! Lakini ikiwa wewe sio mwalimu, basi ni bora kutofanya hivi, kwa sababu uhalisi unaadhibiwa hapa =)

Na sasa kidogo kuhusu

njia ya suluhisho la picha

Equation ina fomu na mzizi wake ni "X" kuratibu pointi za makutano grafu ya utendakazi ya mstari na grafu ya kitendakazi cha mstari (mhimili x):

Inaweza kuonekana kuwa mfano huo ni wa msingi sana hivi kwamba hakuna kitu zaidi cha kuchambua hapa, lakini nuance moja zaidi isiyotarajiwa inaweza "kufinya" kutoka kwake: wacha tuwasilishe equation sawa katika fomu na tuunda grafu za kazi:

Ambapo, tafadhali usichanganye dhana hizi mbili: mlinganyo ni mlinganyo, na kazi- hii ni kazi! Kazi msaada tu kupata mizizi ya equation. Ambayo kunaweza kuwa na mbili, tatu, nne, au hata nyingi sana. Mfano wa karibu zaidi katika maana hii ni unaojulikana sana mlinganyo wa quadratic, algorithm ya suluhisho ambayo ilipata aya tofauti fomula za shule "moto".. Na hii sio bahati mbaya! Ikiwa unaweza kutatua equation ya quadratic na ujue Nadharia ya Pythagorean, basi, mtu anaweza kusema, "nusu ya hisabati ya juu tayari iko katika mfuko wako" =) Inazidi, bila shaka, lakini si mbali na ukweli!

Kwa hivyo, tusiwe wavivu na kutatua equation ya quadratic kwa kutumia algorithm ya kawaida:

, ambayo ina maana kwamba equation ina mbili tofauti halali mzizi:

Ni rahisi kuthibitisha kuwa maadili yote mawili yaliyopatikana yanakidhi mlinganyo huu:

Nini cha kufanya ikiwa umesahau ghafla algorithm ya suluhisho, na hakuna njia / mikono ya kusaidia iliyo karibu? Hali hii inaweza kutokea, kwa mfano, wakati wa mtihani au mtihani. Tunatumia njia ya picha! Na kuna njia mbili: unaweza jenga nukta kwa nukta parabola , na hivyo kujua mahali inapokatiza mhimili (ikiwa itavuka kabisa). Lakini ni bora kufanya kitu cha ujanja zaidi: fikiria equation katika fomu, chora grafu za kazi rahisi - na "X" inaratibu maeneo yao ya makutano yanaonekana waziwazi!


Ikiwa inageuka kuwa mstari wa moja kwa moja unagusa parabola, basi equation ina mizizi miwili inayofanana (nyingi). Ikiwa inageuka kuwa mstari wa moja kwa moja hauingii parabola, basi hakuna mizizi halisi.

Ili kufanya hivyo, bila shaka, unahitaji kuwa na uwezo wa kujenga grafu za kazi za msingi, lakini kwa upande mwingine, hata mtoto wa shule anaweza kufanya ujuzi huu.

Na tena - equation ni equation, na kazi , ni kazi ambazo ilisaidia tu kutatua equation!

Na hapa, kwa njia, itakuwa sahihi kukumbuka jambo moja zaidi: ikiwa coefficients zote za equation zinazidishwa na nambari isiyo ya sifuri, basi mizizi yake haitabadilika..

Kwa hivyo, kwa mfano, equation ina mizizi sawa. Kama "ushahidi" rahisi, nitatoa mara kwa mara kwenye mabano:
na nitaiondoa bila maumivu (Nitagawanya sehemu zote mbili kwa "minus mbili"):

LAKINI! Ikiwa tunazingatia kazi, basi hapa hatuwezi kuondokana na mara kwa mara! Inaruhusiwa tu kutoa kizidishi kutoka kwenye mabano: .

Watu wengi hupuuza njia ya ufumbuzi wa kielelezo, kwa kuzingatia kuwa ni kitu "isiyo na heshima," na wengine hata kusahau kabisa juu ya uwezekano huu. Na hii kimsingi sio sawa, kwani kupanga njama wakati mwingine huokoa tu hali hiyo!

Mfano mwingine: tuseme hukumbuki mizizi ya equation rahisi zaidi ya trigonometric:. Fomula ya jumla iko katika vitabu vya kiada vya shule, katika vitabu vyote vya kumbukumbu juu ya hisabati ya msingi, lakini hazipatikani kwako. Walakini, kutatua equation ni muhimu (aka "mbili"). Kuna njia ya kutoka! - tengeneza grafu za kazi:


baada ya hapo tunaandika kwa utulivu viwianishi vya "X" vya sehemu zao za makutano:

Kuna mizizi mingi sana, na katika aljebra nukuu yao iliyofupishwa inakubaliwa:
, Wapi ( – seti ya nambari kamili) .

Na, bila "kwenda", maneno machache kuhusu njia ya graphical ya kutatua kutofautiana na kutofautiana moja. Kanuni ni sawa. Kwa hiyo, kwa mfano, suluhisho la usawa ni "x" yoyote, kwa sababu Sinusoid iko karibu kabisa chini ya mstari wa moja kwa moja. Suluhisho la kukosekana kwa usawa ni seti ya vipindi ambavyo vipande vya sinusoid viko juu ya mstari wa moja kwa moja. (mhimili wa x):

au, kwa kifupi:

Lakini hapa kuna suluhisho nyingi za ukosefu wa usawa: tupu, kwa kuwa hakuna hatua ya sinusoid iko juu ya mstari wa moja kwa moja.

Je, kuna kitu ambacho huelewi? Jifunze kwa haraka masomo kuhusu seti Na kazi grafu!

Wacha tupate joto:

Zoezi 1

Tatua milinganyo ya trigonometriki ifuatayo kwa mchoro:

Majibu mwishoni mwa somo

Kama unaweza kuona, kusoma sayansi halisi sio lazima hata kidogo kulazimisha formula na vitabu vya kumbukumbu! Aidha, hii ni mbinu ya kimsingi yenye kasoro.

Kama vile nilivyokuhakikishia mwanzoni kabisa mwa somo, milinganyo changamano ya trigonometric katika kozi ya kawaida ya hisabati ya juu inabidi kutatuliwa mara chache sana. Ugumu wote, kama sheria, huisha na hesabu kama , suluhisho ambalo ni vikundi viwili vya mizizi inayotokana na hesabu rahisi na. . Usijali sana juu ya kutatua mwisho - angalia kwenye kitabu au uipate kwenye Mtandao =)

Mbinu ya suluhu la picha inaweza pia kusaidia katika hali ndogo. Fikiria, kwa mfano, mlinganyo ufuatao wa "ragtag":

Matarajio ya suluhisho lake yanaonekana ... haionekani kama kitu chochote, lakini lazima tu ufikirie equation katika fomu, jenga. kazi grafu na kila kitu kitageuka kuwa rahisi sana. Kuna mchoro katikati ya kifungu kuhusu kazi zisizo na kikomo (itafungua kwenye kichupo kifuatacho).

Kutumia njia sawa ya picha, unaweza kujua kwamba equation tayari ina mizizi miwili, na moja yao ni sawa na sifuri, na nyingine, inaonekana, isiyo na mantiki na ni ya sehemu. Mzizi huu unaweza kuhesabiwa takriban, kwa mfano, mbinu tangent. Kwa njia, katika matatizo fulani, hutokea kwamba huna haja ya kupata mizizi, lakini ujue zipo kabisa?. Na hapa, pia, kuchora inaweza kusaidia - ikiwa grafu haziingiliani, basi hakuna mizizi.

Mizizi ya busara ya polynomials na coefficients integer.
Mpango wa pembe

Na sasa ninakualika uelekeze macho yako kwa Enzi za Kati na uhisi hali ya kipekee ya algebra ya kawaida. Kwa ufahamu bora wa nyenzo, napendekeza usome angalau kidogo nambari ngumu.

Wao ni bora zaidi. Polynomials.

Kitu cha maslahi yetu kitakuwa polynomials ya kawaida ya fomu na mzima mgawo Nambari ya asili inaitwa shahada ya polynomial, nambari - mgawo wa shahada ya juu (au mgawo wa juu zaidi), na mgawo ni mwanachama huru.

Nitaashiria kwa kifupi hii polynomial na .

Mizizi ya polynomial piga mizizi ya equation

Ninapenda mantiki ya chuma =)

Kwa mifano, nenda mwanzoni mwa kifungu:

Hakuna matatizo na kutafuta mizizi ya polynomials ya digrii 1 na 2, lakini unapoongeza kazi hii inakuwa ngumu zaidi na zaidi. Ingawa kwa upande mwingine, kila kitu kinavutia zaidi! Na hivi ndivyo sehemu ya pili ya somo itakavyotolewa.

Kwanza, nusu ya skrini ya nadharia:

1) Kulingana na muhtasari nadharia ya msingi ya algebra, shahada ya polynomial ina haswa changamano mizizi. Baadhi ya mizizi (au hata yote) inaweza kuwa hasa halali. Aidha, kati ya mizizi halisi kunaweza kuwa na mizizi inayofanana (nyingi). (chini mbili, vipande vya juu).

Ikiwa nambari changamano ndio mzizi wa polynomial, basi kuunganisha idadi yake pia ni lazima mzizi wa polynomial hii (kuunganisha mizizi tata ina fomu).

Mfano rahisi zaidi ni mlinganyo wa quadratic, ambao ulipatikana kwa mara ya kwanza mnamo 8 (kama) darasa, na ambalo hatimaye "tulimaliza" katika mada nambari ngumu. Acha nikukumbushe: equation ya quadratic ina mizizi miwili tofauti, au mizizi mingi, au kuunganisha mizizi changamano.

2) Kutoka Nadharia ya Bezout inafuata kwamba ikiwa nambari ndio mzizi wa equation, basi polynomial inayolingana inaweza kuzingatiwa:
, ambapo ni polynomial ya shahada.

Na tena, mfano wetu wa zamani: kwani ndio mzizi wa equation, basi. Baada ya hapo si vigumu kupata upanuzi unaojulikana wa "shule".

Mfuatano wa nadharia ya Bezout ina thamani kubwa ya vitendo: ikiwa tunajua mzizi wa equation ya digrii ya 3, basi tunaweza kuiwakilisha kwa fomu. na kutoka kwa equation ya quadratic ni rahisi kujua mizizi iliyobaki. Ikiwa tunajua mzizi wa equation ya shahada ya 4, basi inawezekana kupanua upande wa kushoto katika bidhaa, nk.

Na kuna maswali mawili hapa:

Swali moja. Jinsi ya kupata mzizi huu sana? Kwanza kabisa, hebu tufafanue asili yake: katika matatizo mengi ya hisabati ya juu ni muhimu kupata busara, hasa mzima mizizi ya polynomials, na katika suala hili, zaidi tutavutiwa nao .... ...ni wazuri sana, ni wepesi sana hivi kwamba unataka tu kuwapata! =)

Jambo la kwanza linalokuja akilini ni njia ya uteuzi. Fikiria, kwa mfano, equation. Kukamata hapa ni kwa neno la bure - ikiwa ingekuwa sawa na sifuri, basi kila kitu kingekuwa sawa - tunachukua "x" nje ya mabano na mizizi yenyewe "huanguka" juu ya uso:

Lakini neno letu la bure ni sawa na "tatu", na kwa hiyo tunaanza kubadilisha nambari mbalimbali katika equation inayodai kuwa "mizizi". Kwanza kabisa, uingizwaji wa maadili moja unajipendekeza yenyewe. Hebu tubadilishe:

Imepokelewa si sahihi usawa, kwa hivyo, kitengo "hakikufaa." Kweli, sawa, wacha tubadilishe:

Imepokelewa kweli usawa! Hiyo ni, thamani ni mzizi wa equation hii.

Ili kupata mizizi ya polynomial ya shahada ya 3, kuna njia ya uchambuzi (kinachojulikana formula za Cardano), lakini sasa tunavutiwa na kazi tofauti kidogo.

Kwa kuwa - ndio mzizi wa polynomial yetu, polynomial inaweza kuwakilishwa kwa fomu na kutokea Swali la pili: jinsi ya kupata "ndugu mdogo"?

Mazingatio rahisi zaidi ya aljebra yanapendekeza kwamba ili kufanya hivi tunahitaji kugawanya kwa . Jinsi ya kugawanya polynomial na polynomial? Njia sawa ya shule ambayo inagawanya nambari za kawaida - "safu"! Nilijadili njia hii kwa undani katika mifano ya kwanza ya somo. Mipaka Changamano, na sasa tutaangalia njia nyingine, ambayo inaitwa Mpango wa pembe.

Kwanza tunaandika polynomial "ya juu zaidi". na kila mtu , ikiwa ni pamoja na coefficients sifuri:
, baada ya hapo tunaingiza coefficients hizi (madhubuti kwa mpangilio) kwenye safu ya juu ya jedwali:

Tunaandika mzizi upande wa kushoto:

Mara moja nitafanya uhifadhi kwamba mpango wa Horner pia hufanya kazi ikiwa nambari "nyekundu". Sivyo ndio mzizi wa polynomial. Hata hivyo, tusikimbilie mambo.

Tunaondoa mgawo unaoongoza kutoka juu:

Mchakato wa kujaza seli za chini ni ukumbusho wa embroidery, ambapo "minus moja" ni aina ya "sindano" ambayo huingia katika hatua zinazofuata. Tunazidisha nambari "iliyobebwa" kwa (-1) na kuongeza nambari kutoka seli ya juu hadi kwa bidhaa:

Tunazidisha thamani iliyopatikana na "sindano nyekundu" na kuongeza mgawo wa equation ufuatao kwa bidhaa:

Na mwishowe, thamani inayosababishwa "inasindika" tena na "sindano" na mgawo wa juu:

Sufuri katika seli ya mwisho inatuambia kwamba polynomia imegawanywa katika bila kuwaeleza (kama inavyopaswa kuwa), ilhali migawo ya upanuzi "imeondolewa" moja kwa moja kutoka kwenye mstari wa chini wa jedwali:

Kwa hivyo, tulihama kutoka kwa equation kwenda kwa equation sawa na kila kitu kiko wazi na mizizi miwili iliyobaki. (katika kesi hii tunapata mizizi ngumu ya kuunganisha).

Equation, kwa njia, inaweza pia kutatuliwa graphically: njama "umeme" na uone kwamba grafu inavuka mhimili wa x () kwa uhakika. Au hila ile ile ya "ujanja" - tunaandika tena equation katika fomu, kuchora grafu za msingi na kugundua uratibu wa "X" wa sehemu yao ya makutano.

Kwa njia, grafu ya kazi-polynomial yoyote ya digrii ya 3 inapita mhimili angalau mara moja, ambayo inamaanisha kuwa equation inayolingana ina. angalau moja halali mzizi. Ukweli huu ni kweli kwa utendaji wowote wa polinomia wa digrii isiyo ya kawaida.

Na hapa ningependa pia kukaa hatua muhimu ambayo inahusu istilahi: polynomial Na kazi ya polynomial – si kitu kimoja! Lakini katika mazoezi mara nyingi huzungumza, kwa mfano, kuhusu "graph ya polynomial," ambayo, bila shaka, ni uzembe.

Walakini, wacha turudi kwenye mpango wa Horner. Kama nilivyosema hivi majuzi, mpango huu unafanya kazi kwa nambari zingine, lakini ikiwa nambari Sivyo ndio mzizi wa equation, kisha nyongeza isiyo ya sifuri (salio) inaonekana kwenye fomula yetu:

Hebu "tuendeshe" thamani "isiyofanikiwa" kulingana na mpango wa Horner. Katika kesi hii, ni rahisi kutumia meza sawa - andika "sindano" mpya upande wa kushoto, songa mgawo unaoongoza kutoka juu. (mshale wa kijani wa kushoto), na tunaondoka:

Ili kuangalia, hebu tufungue mabano na tuwasilishe maneno sawa:
, SAWA.

Ni rahisi kuona kwamba salio (“sita”) ndiyo thamani kamili ya nambari nyingi katika . Na kwa kweli - ni kama nini:
, na hata nzuri zaidi - kama hii:

Kutoka kwa mahesabu hapo juu ni rahisi kuelewa kwamba mpango wa Horner hauruhusu tu kuzingatia polynomial, lakini pia kutekeleza uteuzi "wa kistaarabu" wa mizizi. Ninapendekeza uunganishe algorithm ya hesabu mwenyewe na kazi ndogo:

Jukumu la 2

Kwa kutumia mpango wa Horner, tafuta mzizi kamili wa mlingano na ugeuze polimanomia inayolingana

Kwa maneno mengine, hapa unahitaji kuangalia kwa mpangilio nambari 1, -1, 2, -2, ... - hadi salio la sifuri "linachorwa" kwenye safu wima ya mwisho. Hii itamaanisha kwamba "sindano" ya mstari huu ni mzizi wa polynomial

Ni rahisi kupanga mahesabu katika meza moja. Suluhisho la kina na jibu mwishoni mwa somo.

Njia ya kuchagua mizizi ni nzuri kwa kesi rahisi, lakini ikiwa coefficients na / au shahada ya polynomial ni kubwa, basi mchakato unaweza kuchukua muda mrefu. Au labda kuna maadili kutoka kwa orodha sawa 1, -1, 2, -2 na hakuna maana ya kuzingatia? Na, zaidi ya hayo, mizizi inaweza kugeuka kuwa ya sehemu, ambayo itasababisha poking isiyo ya kisayansi kabisa.

Kwa bahati nzuri, kuna nadharia mbili zenye nguvu ambazo zinaweza kupunguza sana utaftaji wa maadili ya "mgombea" kwa mizizi ya busara:

Nadharia 1 Hebu tuzingatie isiyoweza kupunguzwa sehemu, wapi. Ikiwa nambari ni mzizi wa equation, basi neno la bure linagawanywa na mgawo unaoongoza umegawanywa na.

Hasa, ikiwa mgawo unaoongoza ni , basi mzizi huu wa busara ni nambari kamili:

Na tunaanza kutumia nadharia kwa maelezo haya ya kitamu tu:

Wacha turudi kwenye equation. Kwa kuwa mgawo wake unaoongoza ni , basi mizizi ya kimantiki ya dhahania inaweza kuwa kamili pekee, na neno huria lazima lazima ligawanywe katika mizizi hii bila salio. Na "tatu" inaweza tu kugawanywa katika 1, -1, 3 na -3. Hiyo ni, tuna "wagombea wa mizizi" 4 tu. Na, kulingana na Nadharia 1, nambari zingine za busara haziwezi kuwa mizizi ya mlingano huu KATIKA KANUNI.

Kuna "washindani" zaidi katika equation: neno la bure limegawanywa katika 1, -1, 2, - 2, 4 na -4.

Tafadhali kumbuka kuwa nambari 1, -1 ni "kawaida" ya orodha ya mizizi inayowezekana (matokeo dhahiri ya nadharia) na chaguo bora kwa majaribio ya kipaumbele.

Wacha tuendelee kwenye mifano yenye maana zaidi:

Tatizo 3

Suluhisho: kwa kuwa mgawo unaoongoza ni , basi mizizi ya kimantiki ya dhahania inaweza tu kuwa kamili, na lazima lazima iwe vigawanyiko vya neno huru. "Minus arobaini" imegawanywa katika jozi zifuatazo za nambari:
- jumla ya "wagombea" 16.

Na hapa mawazo ya kumjaribu yanaonekana mara moja: inawezekana kupalilia hasi au mizizi yote nzuri? Katika baadhi ya matukio inawezekana! Nitaunda ishara mbili:

1) Kama Wote Ikiwa mgawo wa polynomial sio hasi au zote sio chanya, basi haiwezi kuwa na mizizi chanya. Kwa bahati mbaya, hii sio kesi yetu (Sasa, ikiwa tulipewa equation - basi ndio, wakati wa kubadilisha thamani yoyote ya polynomial, thamani ya polynomial ni chanya kabisa, ambayo inamaanisha kuwa nambari zote chanya. (na wasio na akili pia) haiwezi kuwa mizizi ya equation.

2) Ikiwa mgawo wa nguvu zisizo za kawaida sio hasi, na kwa nguvu zote hata (pamoja na mwanachama huru) ni hasi, basi polynomial haiwezi kuwa na mizizi hasi. Au "kioo": mgawo wa nguvu zisizo za kawaida sio chanya, na kwa nguvu zote ni chanya.

Hii ni kesi yetu! Ukiangalia kwa karibu, unaweza kuona kwamba wakati wa kubadilisha "X" yoyote hasi kwenye equation, upande wa kushoto utakuwa hasi kabisa, ambayo inamaanisha kuwa mizizi hasi hupotea.

Kwa hivyo, kuna nambari 8 zilizobaki kwa utafiti:

"Tunawatoza" kwa mlolongo kulingana na mpango wa Horner. Natumai tayari umejua mahesabu ya kiakili:

Bahati ilingojea wakati wa kujaribu "mbili". Hivyo, ni mzizi wa equation inayozingatiwa, na

Inabakia kusoma equation . Hii ni rahisi kufanya kupitia kibaguzi, lakini nitafanya jaribio la kielelezo kwa kutumia mpango huo huo. Kwanza, hebu tukumbuke kwamba neno la bure ni sawa na 20, ambayo ina maana Nadharia 1 nambari 8 na 40 zinatoka kwenye orodha ya mizizi inayowezekana, na kuacha maadili ya utafiti (moja iliondolewa kulingana na mpango wa Horner).

Tunaandika coefficients ya trinomial katika safu ya juu ya meza mpya na Tunaanza kuangalia na "mbili" sawa. Kwa nini? Na kwa sababu mizizi inaweza kuwa nyingi, tafadhali: - equation hii ina mizizi 10 inayofanana. Lakini tusikengeushwe:

Na hapa, bila shaka, nilikuwa nikilala kidogo, nikijua kwamba mizizi ni ya busara. Baada ya yote, ikiwa hawakuwa na maana au ngumu, basi ningekabiliwa na hundi isiyofanikiwa ya nambari zote zilizobaki. Kwa hiyo, katika mazoezi, uongozwe na kibaguzi.

Jibu: mizizi ya busara: 2, 4, 5

Katika shida tuliyochambua, tulikuwa na bahati, kwa sababu: a) maadili hasi yalianguka mara moja, na b) tulipata mzizi haraka sana (na kinadharia tunaweza kuangalia orodha nzima).

Lakini kwa kweli hali ni mbaya zaidi. Ninakualika kutazama mchezo wa kusisimua unaoitwa "Shujaa wa Mwisho":

Tatizo 4

Pata mizizi ya busara ya equation

Suluhisho: Kwa Nadharia 1 vihesabu vya mizizi dhahania ya busara lazima vikidhi hali hiyo (tunasoma "kumi na mbili imegawanywa na el"), na madhehebu yanalingana na hali. Kulingana na hili, tunapata orodha mbili:

"orodha el":
na "orodha um": (kwa bahati nzuri, nambari hapa ni za asili).

Sasa hebu tufanye orodha ya mizizi yote inayowezekana. Kwanza, tunagawanya "el list" na. Ni wazi kabisa kwamba nambari sawa zitapatikana. Kwa urahisi, wacha tuwaweke kwenye meza:

Sehemu nyingi zimepunguzwa, na kusababisha maadili ambayo tayari yapo kwenye "orodha ya mashujaa". Tunaongeza tu "wapya":

Vile vile, tunagawanya "orodha" sawa na:

na hatimaye

Kwa hivyo, timu ya washiriki katika mchezo wetu imekamilika:


Kwa bahati mbaya, polynomial katika tatizo hili haikidhi kigezo cha "chanya" au "hasi", na kwa hiyo hatuwezi kutupa safu ya juu au ya chini. Utalazimika kufanya kazi na nambari zote.

Unajisikiaje? Njoo, inua kichwa chako - kuna nadharia nyingine ambayo inaweza kuitwa kwa mfano "nadharia ya muuaji". ...“wagombea”, bila shaka =)

Lakini kwanza unahitaji kuvinjari mchoro wa Horner kwa angalau moja yote nambari. Kijadi, wacha tuchukue moja. Kwenye mstari wa juu tunaandika coefficients ya polynomial na kila kitu ni kama kawaida:

Kwa kuwa nne ni wazi si sifuri, thamani sio mzizi wa polynomial katika swali. Lakini atatusaidia sana.

Nadharia 2 Ikiwa kwa baadhi kwa ujumla thamani ya polynomial ni nonzero: , basi mizizi yake ya busara (kama wapo) kukidhi hali

Kwa upande wetu na kwa hiyo mizizi yote inayowezekana lazima ikidhi hali hiyo (wacha tuiite Condition No. 1). Wanne hawa watakuwa "muuaji" wa "wagombea" wengi. Kama onyesho, nitaangalia hundi chache:

Wacha tuangalie "mgombea". Ili kufanya hivyo, hebu tuwakilishe bandia kwa namna ya sehemu, ambayo inaonekana wazi kuwa. Wacha tuhesabu tofauti ya mtihani: . Nne imegawanywa na "minus mbili":, ambayo ina maana kwamba mzizi unaowezekana umepita mtihani.

Hebu tuangalie thamani. Hapa kuna tofauti ya mtihani: . Kwa kweli, na kwa hivyo "somo" la pili pia linabaki kwenye orodha.

Katika makala hii tutazungumza juu ya mpango rahisi wa kutatua mifano ya kugawanya polynomials. Ikiwa tunahitaji kuhesabu mgawo wa mgawo P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na salio la kugawanya polynomial na linear binomial x - s, basi itakuwa rahisi kutumia mpango wa Horner (mbinu).

Inajumuisha kuunda meza maalum na kuingiza data ya awali ndani yake:

Nambari b n, b n - 1, b n - 2,. . . , b 1 na itakuwa coefficients ya mgawanyiko tunayohitaji P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 kwa x - s . Salio limeteuliwa hapa kama b 0 . Vinginevyo, unaweza kuandika suluhisho kama hii:

Sasa tutaonyesha jinsi ya kutumia mpango huu kwa vitendo.

Mfano 1

Hali: gawanya polynomial 2 x 4 - 3 x 3 - x 2 + 4 x + 13 kwa laini ya binomial x - 1 kwa kutumia mpango wa Horner.

Suluhisho

Hebu tujaze meza. Tuna s sawa na moja, na coefficients 4 = 2, a 3 = - 3, a 2 = - 1, 1 = 4, 0 = 13.

Jibu: tulipata mgawo sawa na b 4 x 3 + b 3 x 2 + b 2 x + b 1 = 2 x 3 - x 2 - 2 x + 2, na iliyobaki b 0 = 15.

Katika kazi ya pili tutafanya bila maoni ya kina.

Mfano 2

Hali: Amua ikiwa polynomial 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 inaweza kugawanywa na binomial x + 1 2 bila salio. Kuhesabu mgawo.

Suluhisho

Wacha tujaze meza kulingana na mpango wa Horner.

Katika seli ya mwisho tunaona salio la sifuri, kwa hivyo, tunaweza kugawanya polynomial asili na binomial.

Jibu: mgawo utakuwa polynomial 2 x 2 - 12 x + 18.

Ikiwa b 0 = 0, basi tunaweza kuzungumza juu ya mgawanyiko wa polynomial P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 kwa binomial x - s, na tuna mzizi wa polima asilia sawa na s. Kwa kutumia muhtasari wa nadharia ya Bezout, tunaweza kuwakilisha polynomial hii kama bidhaa:

P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = = x - s (b n x n + 1 + b n - 1 x n - 2 + . . . + b 1)

Shukrani kwa hili, mpango wa Horner unafaa kwa kesi hizo wakati unahitaji kupata mizizi kamili ya milinganyo ya digrii za juu ambazo zina coefficients kamili, au kutenganisha polynomial katika vipengele rahisi.

Mfano 3

Hali: suluhisha mlinganyo x 3 - 7 x - 6 = 0. Weka alama nyingi upande wa kushoto katika vipengele vyake binafsi.

Suluhisho

Tunajua kwamba mizizi yote ya mlingano (ikiwa ipo) lazima itafutwe miongoni mwa vigawanyo vya neno huru. Wacha tuandike tofauti 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6 na tuangalie kwa kutumia mpango wa Horner.

Kutoka kwa data ya meza ni wazi kwamba umoja hautakuwa mojawapo ya mizizi ya equation hii.

Wacha tuongeze mzizi mwingine unaowezekana kwenye meza.

Lakini - 1 inafaa, ambayo inamaanisha tunaweza kuwakilisha polima asilia kama x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) .

Inafuata kutoka kwa hii kwamba - 1 haitakuwa mzizi mwingi (unaorudiwa). Tunachukua chaguo zifuatazo na kuhesabu:

Nambari 2 sio moja ya mizizi ya equation. Wacha tuongeze jedwali la Horner kwa x = - 2:

Toa mbili itakuwa mzizi wa mlinganyo wa asili. Tunaweza kuandika polynomial kama hii:

x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) = = (x + 1) (x + 2) (x - 3)

Mzizi wa tatu na wa mwisho wa equation utakuwa sawa na tatu. Wacha tumalize kujaza jedwali kwa kuchukua maadili ya safu ya mwisho iliyopokelewa kama mgawo:

Kutokana na hili tunaweza kuhitimisha kwamba meza ya mwisho iliyopatikana, iliyojaa kwa kutumia njia ya Horner, itakuwa suluhisho kwa mfano wetu. Tatizo hili pia linaweza kutatuliwa kwa kugawanya polynomial na binomial ya mstari na safu, lakini mchoro ulioonyeshwa hapa ni wazi na rahisi zaidi.

Jibu: x = - 1 , x = - 2 , x = 3 , x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x + 2) (x - 3) .

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Hapo awali, dhana ya polynomial ilifafanuliwa kama jumla ya aljebra ya monomia. Ikiwa monomia zote zinazofanana za polynomial zimetolewa na kupangwa kwa mpangilio wa kushuka wa kiwango cha kutofautisha, basi rekodi inayotokana inaitwa. nukuu ya kanuni polynomial.

Ufafanuzi. Udhihirisho wa fomu

Wapi x– baadhi ya nambari zinazobadilika, halisi, na , huitwa polynomial ya shahada n kutoka kwa kutofautiana x . Shahada ya polinomia ndiyo nguvu kubwa zaidi ya kigezo katika nukuu yake ya kisheria. Ikiwa kutofautiana haionekani katika nukuu ya polynomial, i.e. polynomial ni sawa na mara kwa mara, shahada yake inachukuliwa kuwa sawa na 0. Kesi wakati polynomial lazima izingatiwe tofauti. Katika kesi hii, inakubaliwa kwa ujumla kuwa shahada yake haijafafanuliwa.

Mifano. polynomial ya shahada ya pili,

polynomial ya shahada ya tano.

Ufafanuzi. Polynomia mbili sawa ikiwa na tu ikiwa wana coefficients sawa katika fomu zao za kisheria kwa mamlaka sawa.

Ufafanuzi. Nambari inaitwa mzizi wa polynomial, ikiwa wakati wa kuweka nambari hii badala yake x Polynomial inachukua thamani 0, i.e. Kwa maneno mengine, itakuwa mzizi wa equation

Kwa hivyo, tatizo la kupata mizizi yote ya polynomial na mizizi ya equation ya busara ni tatizo moja na sawa.

Milinganyo ya kimantiki ya digrii za kwanza na za pili hutatuliwa kwa kutumia algorithms inayojulikana. Pia kuna fomula za kupata mizizi ya polynomials ya digrii ya tatu na ya nne (fomula za Cardano na Ferrari), lakini kwa sababu ya ugumu wao hazijumuishwa katika somo la hisabati ya msingi.

Wazo la jumla la kupata mizizi ya polimanomia za digrii za juu ni kuangazia polimanomia na kuchukua nafasi ya mlinganyo kwa seti sawa ya milinganyo ya shahada ya chini.

Katika mada zilizopita, njia kuu za uundaji wa polynomials zilibainishwa: kuchukua jambo la kawaida; kupanga vikundi; fomula zilizofupishwa za kuzidisha.

Walakini, njia ya kikundi sio ya asili ya algorithmic, kwa hivyo ni ngumu kuitumia kwa polynomials za digrii kubwa. Wacha tuzingatie nadharia na mbinu za ziada zinazoturuhusu kuangazia polima za digrii za juu.

Nadharia juu ya mgawanyiko na salio. Wacha polynomials itolewe, na digrii ni tofauti na 0, na digrii ni kubwa kuliko digrii. Kisha kuna polynomials kama kwamba usawa

Zaidi ya hayo, shahada chini ya shahada inaitwa polynomial kugawanyika, polynomial mgawanyiko, polynomial faragha isiyo kamili, na polynomial iliyobaki .

Ikiwa salio la mgawanyiko ni 0, basi tunasema hivyo hisa juu kabisa, na usawa unachukua fomu:

Algorithm ya kugawanya polynomial na polynomial ni sawa na algoriti ya kugawanya nambari kwa nambari kwa safu au kona. Hebu tueleze hatua za algorithm.

Andika gawio kwenye mstari, ikijumuisha nguvu zote za kutofautisha (andika zile ambazo hazipo na mgawo wa 0).

Andika mgao katika "kona", ikiwa ni pamoja na nguvu zote za kutofautiana.

Ili kupata muhula wa kwanza (monomial) katika mgawo usio kamili, unahitaji kugawanya monomia inayoongoza ya gawio na monomia inayoongoza ya kigawanyiko.

Zidisha muhula wa kwanza unaotokana wa mgawo na kigawanyaji kizima na uandike matokeo chini ya mgao, na uandike nguvu sawa za kutofautisha chini ya kila mmoja.

Ondoa bidhaa inayotokana na gawio.

Tumia algorithm kwa salio linalosababisha, kuanzia hatua ya 1).

Algorithm imekamilika wakati tofauti inayosababisha ina digrii chini ya kiwango cha mgawanyiko. Hii ndiyo iliyobaki.

Mfano. Gawanya polynomial kwa .

Kuandika gawio na mgawanyiko

Rudia utaratibu

Shahada ni chini ya kiwango cha mgawanyiko. Kwa hivyo hii ndio iliyobaki. Matokeo ya mgawanyiko yataandikwa kama hii:

Mpango wa Horner. Ikiwa mgawanyiko ni polynomial ya shahada ya kwanza, basi utaratibu wa mgawanyiko unaweza kurahisishwa. Fikiria algorithm ya kugawanya polynomial na binomial.

Mfano. Gawanya polynomial kwa mpango wa Horner. Kwa kesi hii A=2. Hebu tuandike matokeo ya utekelezaji wa algorithm hatua kwa hatua.

Kwa hivyo, tunaandika matokeo ya mgawanyiko kama ifuatavyo

Maoni. Ikiwa unahitaji kugawanya na binomial

Kisha inabadilishwa kuwa fomu basi. Kutokana na hili ni wazi kwamba, kugawanya kwa mpango wa Horner kwa tutapata. Kisha mgawo unaohitajika utapatikana kwa kugawanya kile kilichopatikana na. A. Mengine yanabaki kuwa yale yale.

Nadharia ya Bezout. Salio wakati wa kugawanya polinomia kwa ni sawa na thamani ya polinomia katika uhakika x = A, i.e. . Polynomia inaweza kugawanywa bila salio ikiwa na ikiwa tu x = A ndio mzizi wa polynomial.

Kwa hivyo, baada ya kupata mzizi mmoja wa polynomial A , tunaweza kuirekebisha kwa kuchagua kipengele ambacho kina shahada moja chini ya shahada. Sababu hii inaweza kupatikana ama kwa kutumia mpango wa Horner au kwa kugawanya na kona.

Swali la kupata mzizi hutatuliwa ama kwa uteuzi au kwa kutumia nadharia juu ya mizizi ya busara ya polynomial.

Nadharia. Wacha ya polynomial ina coefficients kamili. Ikiwa sehemu isiyoweza kupunguzwa ni mzizi wa polynomial, basi nambari yake uk ni kigawanyo cha istilahi huru, na dhehebu q ni kigawanyo cha mgawo unaoongoza.

Nadharia hii ni msingi algorithm ya kupata mizizi ya busara polynomial (kama ipo).

Mtengano wa sehemu ya aljebra kuwa jumla ya sehemu rahisi

Ufafanuzi Sehemu ambayo nambari yake na denominata ina polimanomia inaitwa sehemu ya algebra .

Hebu tuzingatie sehemu za aljebra za kigezo kimoja. Zinaweza kuandikwa kwa njia ya jumla kama ifuatavyo: , ambapo nambari ina polynomial ya shahada n, denominator ni polynomial ya shahada k. Ikiwa , basi sehemu inaitwa sahihi .

KWA sehemu rahisi za algebra Kuna aina mbili za sehemu zinazofaa:

Nadharia. Sehemu yoyote ya aljebra inaweza kuwakilishwa kama jumla ya sehemu rahisi zaidi za aljebra.

Algorithm ya kuoza sehemu ya aljebra katika jumla ya sehemu rahisi.

Factor the denominator.

Amua idadi ya sehemu zinazofaa na aina ya madhehebu yao.

Andika usawa, upande wa kushoto ambao ni sehemu ya asili, upande wa kulia ni jumla ya sehemu rahisi na coefficients isiyojulikana.

Punguza sehemu za upande wa kulia hadi dhehebu la kawaida.

Sawazisha polinomia katika nambari za sehemu. Kwa kutumia ufafanuzi wa usawa wa polynomials, tengeneza mfumo wa milinganyo ya mstari na usuluhishe kwa kutafuta mgawo ambao haujabainishwa.

Tovuti ya “Mkufunzi Mtaalamu wa Hisabati” inaendelea na mfululizo wa makala za mbinu kuhusu ufundishaji. Ninachapisha maelezo ya mbinu za kazi yangu na mada ngumu zaidi na yenye shida ya mtaala wa shule. Nyenzo hii itakuwa muhimu kwa walimu na wakufunzi katika hisabati kufanya kazi na wanafunzi katika darasa la 8-11 katika mpango wa kawaida na katika mpango wa madarasa ya hisabati.

Mkufunzi wa hesabu hawezi kueleza kila wakati nyenzo ambazo hazijawasilishwa vizuri kwenye kitabu cha kiada. Kwa bahati mbaya, mada kama hizi zinazidi kuwa nyingi, na makosa ya uwasilishaji kufuatia waandishi wa miongozo yanafanywa kwa wingi. Hii inatumika sio tu kwa wakufunzi wanaoanza hesabu na wakufunzi wa muda (wakufunzi ni wanafunzi na wakufunzi wa vyuo vikuu), lakini pia kwa waalimu wenye uzoefu, wakufunzi wa kitaalamu, wakufunzi wenye uzoefu na sifa. Sio wakufunzi wote wa hisabati walio na talanta ya kusahihisha kingo mbaya katika vitabu vya shule. Sio kila mtu pia anaelewa kuwa marekebisho haya (au nyongeza) ni muhimu. Watoto wachache wanahusika katika kurekebisha nyenzo kwa mtazamo wake wa ubora na watoto. Kwa bahati mbaya, wakati umepita ambapo walimu wa hisabati, pamoja na wataalamu wa mbinu na waandishi wa machapisho, walijadili kwa wingi kila herufi ya kitabu cha kiada. Hapo awali, kabla ya kutoa kitabu cha kiada shuleni, uchambuzi wa kina na masomo ya matokeo ya kujifunza yalifanywa. Wakati umefika kwa wasomi ambao hujitahidi kufanya vitabu vya kiada kuwa vya ulimwengu wote, kuvirekebisha kwa viwango vya madarasa yenye nguvu ya hisabati.

Mbio za kuongeza idadi ya habari husababisha tu kupungua kwa ubora wa uigaji wake na, kwa sababu hiyo, kupungua kwa kiwango cha maarifa halisi katika hisabati. Lakini hakuna mtu anayezingatia hii. Na watoto wetu wanalazimishwa, tayari katika daraja la 8, kusoma kile tulichosoma katika taasisi hiyo: nadharia ya uwezekano, kutatua hesabu za kiwango cha juu na kitu kingine. Urekebishaji wa nyenzo katika vitabu kwa mtazamo kamili wa mtoto huacha kuhitajika, na mwalimu wa hesabu analazimika kushughulikia hii kwa njia fulani.

Wacha tuzungumze juu ya mbinu ya kufundisha mada mahususi kama "kugawanya polynomial kwa polynomial kwa kona," inayojulikana zaidi katika hisabati ya watu wazima kama "nadharia ya Bezout na mpango wa Horner." Miaka michache tu iliyopita, swali halikuwa kubwa sana kwa mwalimu wa hesabu, kwa sababu halikuwa sehemu ya mtaala mkuu wa shule. Sasa waandishi wanaoheshimiwa wa kitabu cha kiada, kilichohaririwa na Telyakovsky, wamefanya mabadiliko kwa toleo la hivi karibuni la kile, kwa maoni yangu, kitabu bora zaidi, na, baada ya kukiharibu kabisa, aliongeza tu wasiwasi usio wa lazima kwa mwalimu. Waalimu wa shule na madarasa ambayo hayana hadhi ya hisabati, kwa kuzingatia uvumbuzi wa waandishi, walianza mara nyingi zaidi kujumuisha aya za ziada katika masomo yao, na watoto wanaouliza, wakiangalia kurasa nzuri za kitabu chao cha hesabu, wanazidi kuuliza. mwalimu: "Hii mgawanyiko wa kona ni nini? Je, tutapitia hili? Jinsi ya kushiriki kona? Hakuna kujificha kutoka kwa maswali ya moja kwa moja tena. Mkufunzi atalazimika kumwambia mtoto kitu.

Lakini kama? Labda nisingeelezea njia ya kufanya kazi na mada ikiwa ingewasilishwa kwa ustadi katika vitabu vya kiada. Kila kitu kinaendeleaje na sisi? Vitabu vya kiada vinahitaji kuchapishwa na kuuzwa. Na kwa hili wanahitaji kusasishwa mara kwa mara. Je, walimu wa vyuo vikuu wanalalamika kwamba watoto wanawajia wakiwa watupu, bila maarifa na ujuzi? Je, mahitaji ya maarifa ya hisabati yanaongezeka? Kubwa! Wacha tuondoe mazoezi kadhaa na badala yake tuweke mada ambazo zinasomwa katika programu zingine. Kwa nini kitabu chetu cha kiada ni kibaya zaidi? Tutajumuisha sura zingine za ziada. Watoto wa shule hawajui sheria ya kugawanya kona? Hii ni hisabati ya msingi. Fungu hili linapaswa kuwa la hiari, lenye kichwa “kwa wale wanaotaka kujua zaidi.” Wakufunzi dhidi yake? Kwa nini tunajali waalimu kwa ujumla? Wataalamu wa mbinu na walimu wa shule pia wanapinga hilo? Hatutachanganya nyenzo na tutazingatia sehemu yake rahisi.

Na hapa ndipo inapoanzia. Urahisi wa mada na ubora wa uigaji wake upo, kwanza kabisa, katika kuelewa mantiki yake, na sio katika kutekeleza, kulingana na maagizo ya waandishi wa vitabu, seti fulani ya shughuli ambazo hazihusiani wazi na kila mmoja. . Vinginevyo, kutakuwa na ukungu katika kichwa cha mwanafunzi. Ikiwa waandishi wanalenga wanafunzi wenye nguvu (lakini wanasoma katika programu ya kawaida), basi hupaswi kuwasilisha mada katika fomu ya amri. Tunaona nini katika kitabu cha maandishi? Watoto, lazima tugawanye kulingana na sheria hii. Pata polynomial chini ya pembe. Kwa hivyo, polynomial ya awali itakuwa factorized. Hata hivyo, si wazi kuelewa kwa nini masharti chini ya kona yanachaguliwa hasa kwa njia hii, kwa nini lazima iongezwe na polynomial juu ya kona, na kisha kuondolewa kutoka salio la sasa. Na muhimu zaidi, haijulikani kwa nini monomia zilizochaguliwa lazima ziongezwe na kwa nini mabano yanayotokana yatakuwa upanuzi wa polynomial ya awali. Mwanahisabati yeyote anayestahiki ataweka alama ya swali nzito juu ya maelezo yaliyotolewa kwenye kitabu cha kiada.

Ninawaletea wakufunzi na waalimu wa hesabu suluhisho langu kwa shida, ambayo kwa kweli hufanya kila kitu kilichosemwa kwenye kitabu kionekane wazi kwa mwanafunzi. Kwa kweli, tutathibitisha nadharia ya Bezout: ikiwa nambari a ndio mzizi wa polynomial, basi polynomial hii inaweza kugawanywa katika sababu, moja ambayo ni x-a, na ya pili inapatikana kutoka kwa ile ya asili kwa moja ya njia tatu: kwa kutenga sababu ya mstari kupitia mabadiliko, kwa kugawanya kwa kona, au kwa mpango wa Horner. Ni kwa uundaji huu kwamba itakuwa rahisi kwa mwalimu wa hesabu kufanya kazi.

Mbinu ya ufundishaji ni nini? Kwanza kabisa, hii ni utaratibu wazi katika mlolongo wa maelezo na mifano kwa misingi ambayo hitimisho la hisabati hutolewa. Mada hii sio ubaguzi. Ni muhimu sana kwa mkufunzi wa hisabati kumtambulisha mtoto kwa nadharia ya Bezout kabla ya kugawanyika kwa kona. Ni muhimu sana! Ni bora kupata uelewa kwa kutumia mfano maalum. Wacha tuchukue polynomial na mzizi uliochaguliwa na tuonyeshe mbinu ya kuiweka kwa sababu kwa kutumia njia ya mabadiliko ya kitambulisho, ambayo inajulikana kwa watoto wa shule kutoka darasa la 7. Kwa maelezo yanayoambatana, msisitizo na vidokezo kutoka kwa mwalimu wa hisabati, inawezekana kabisa kuwasilisha nyenzo bila hesabu za jumla za hisabati, mgawo wa kiholela na digrii.

Ushauri muhimu kwa mwalimu wa hisabati- fuata maagizo kutoka mwanzo hadi mwisho na usibadilishe mlolongo huu.

Kwa hivyo, wacha tuseme kwamba tunayo polynomial. Ikiwa tutabadilisha nambari 1 badala ya X yake, basi thamani ya polynomial itakuwa sawa na sifuri. Kwa hivyo x=1 ndio mzizi wake. Wacha tujaribu kuitenganisha kwa maneno mawili ili moja wao ni bidhaa ya usemi wa mstari na fulani wa monomial, na ya pili iwe na digrii moja chini ya . Hiyo ni, hebu tuwakilishe kwa fomu

Tunachagua monomial kwa sehemu nyekundu ili ikizidishwa na neno linaloongoza, inalingana kabisa na neno kuu la polynomial asili. Ikiwa mwanafunzi si dhaifu zaidi, basi atakuwa na uwezo kabisa wa kumwambia mwalimu wa hesabu usemi unaohitajika: . Mkufunzi anapaswa kuulizwa mara moja kuiingiza kwenye uwanja nyekundu na kuonyesha nini kitatokea wakati watafunguliwa. Ni bora kusaini polynomial hii ya muda ya kawaida chini ya mishale (chini ya picha ndogo), ikionyesha kwa rangi fulani, kwa mfano, bluu. Hii itakusaidia kuchagua neno kwa sehemu nyekundu, inayoitwa salio la uteuzi. Ningeshauri wakufunzi waeleze hapa kwamba salio hili linaweza kupatikana kwa kutoa. Kufanya operesheni hii tunapata:



Mkufunzi wa hesabu anapaswa kuvuta usikivu wa mwanafunzi kwa ukweli kwamba kwa kubadilisha moja katika usawa huu, tunahakikishiwa kupata sifuri upande wake wa kushoto (kwani 1 ndio mzizi wa polynomial asili), na kwa upande wa kulia, ni wazi, sisi. pia itaondoa muhula wa kwanza. Hii ina maana kwamba bila uthibitisho wowote tunaweza kusema kwamba moja ni mzizi wa "salio la kijani".

Wacha tushughulikie kwa njia ile ile kama tulivyofanya na polynomial asili, tukitenga kutoka kwake sababu sawa ya mstari. Mkufunzi wa hesabu huchora fremu mbili mbele ya mwanafunzi na kuwataka wajaze kutoka kushoto kwenda kulia.



Mwanafunzi humchagulia mwalimu monomia moja kwa sehemu nyekundu ili, inapozidishwa na neno kuu la usemi wa mstari, itoe muhula kuu wa polynomial inayopanuka. Tunaiweka kwenye sura, fungua mara moja mabano na uangaze kwa bluu usemi ambao unahitaji kupunguzwa kutoka kwa kukunja. Kufanya operesheni hii tunapata



Na hatimaye, kufanya vivyo hivyo na salio la mwisho



tutaipata hatimaye



Sasa hebu tutoe usemi kutoka kwenye mabano na tutaona mtengano wa polynomial asili katika vipengele, mojawapo ni "x minus mzizi uliochaguliwa."

Ili mwanafunzi asifikirie kuwa "salio la kijani" la mwisho liliharibiwa kwa sababu zinazohitajika, mwalimu wa hisabati anapaswa kuonyesha mali muhimu ya mabaki yote ya kijani - kila mmoja wao ana mzizi wa 1. Tangu digrii za masalio haya hupungua, basi kiwango chochote cha awali haijalishi ni kiasi gani cha polynomial tumepewa, mapema au baadaye tutapata "salio la kijani" la mstari na mzizi 1, na kwa hivyo itatengana na kuwa bidhaa ya kitu fulani. nambari na usemi.

Baada ya kazi hiyo ya maandalizi, haitakuwa vigumu kwa mwalimu wa hisabati kueleza mwanafunzi kile kinachotokea wakati wa kugawanya kwa kona. Huu ni mchakato sawa, tu kwa fomu fupi na ngumu zaidi, bila ishara sawa na bila kuandika tena maneno sawa yaliyoangaziwa. Polynomial ambayo sababu ya mstari hutolewa imeandikwa upande wa kushoto wa kona, monomia nyekundu zilizochaguliwa hukusanywa kwa pembe (sasa inakuwa wazi kwa nini wanapaswa kuongeza), ili kupata "polynomia za bluu", "nyekundu". ” lazima ziongezwe na x-1, na kisha ziondolewe kutoka kwa zilizochaguliwa kwa sasa jinsi hii inafanywa katika mgawanyiko wa kawaida wa nambari kwenye safu (hapa kuna mlinganisho na kile kilichosomwa hapo awali). "Mabaki ya kijani" yanayotokana yanakabiliwa na kutengwa mpya na uteuzi wa "monomials nyekundu". Na kadhalika mpaka kupata sifuri "usawa wa kijani". Jambo muhimu zaidi ni kwamba mwanafunzi anaelewa hatima zaidi ya polynomia zilizoandikwa hapo juu na chini ya pembe. Kwa wazi, haya ni mabano ambayo bidhaa ni sawa na polynomial asili.

Hatua inayofuata ya kazi ya mwalimu wa hisabati ni uundaji wa nadharia ya Bezout. Kwa kweli, uundaji wake na njia hii ya mkufunzi inakuwa dhahiri: ikiwa nambari a ndio mzizi wa polynomial, basi inaweza kuzingatiwa, moja ambayo ni , na nyingine inapatikana kutoka kwa ile ya asili kwa moja ya njia tatu. :

• mtengano wa moja kwa moja (sawa na njia ya kikundi)
• kugawanya kwa kona (katika safu)
• kupitia mzunguko wa Horner

Inapaswa kusema kuwa sio wakufunzi wote wa hisabati wanaoonyesha wanafunzi mchoro wa pembe, na sio walimu wote wa shule (kwa bahati nzuri kwa waalimu wenyewe) huenda kwa undani katika mada wakati wa masomo. Walakini, kwa mwanafunzi wa darasa la hesabu, sioni sababu ya kuacha katika mgawanyiko mrefu. Aidha, rahisi zaidi na haraka Mbinu ya mtengano inategemea kwa usahihi mpango wa Horner. Ili kuelezea mtoto ambako inatoka, inatosha kufuatilia, kwa kutumia mfano wa mgawanyiko na kona, kuonekana kwa coefficients ya juu katika mabaki ya kijani. Inakuwa wazi kwamba mgawo unaoongoza wa polynomial ya awali inachukuliwa ndani ya mgawo wa "monomia nyekundu" ya kwanza, na zaidi kutoka kwa mgawo wa pili wa polynomial ya juu ya sasa. kukatwa matokeo ya kuzidisha mgawo wa sasa wa "monomia nyekundu" kwa. Kwa hiyo inawezekana ongeza matokeo ya kuzidisha kwa . Baada ya kulenga usikivu wa mwanafunzi kwenye ubainifu wa vitendo vilivyo na mgawo, mkufunzi wa hesabu anaweza kuonyesha jinsi vitendo hivi kwa kawaida hufanywa bila kurekodi viambajengo vyenyewe. Ili kufanya hivyo, ni rahisi kuingiza mzizi na mgawo wa polynomial asili kwa mpangilio wa utangulizi katika jedwali lifuatalo:



Ikiwa digrii yoyote haipo katika polynomial, mgawo wake wa sifuri unalazimishwa kwenye jedwali. Coefficients ya "polynomials nyekundu" imeandikwa kwa zamu katika mstari wa chini kulingana na sheria ya "ndoano":


Mzizi huzidishwa na mgawo wa mwisho nyekundu, ulioongezwa kwa mgawo unaofuata kwenye mstari wa juu, na matokeo yameandikwa chini ya mstari wa chini. Katika safu ya mwisho tumehakikishiwa kupata mgawo wa juu zaidi wa "salio la kijani" la mwisho, yaani, sifuri. Baada ya mchakato kukamilika, nambari iliyowekwa kati ya mzizi uliolingana na salio la sifuri kugeuka kuwa coefficients ya sababu ya pili (isiyo ya mstari).



Kwa kuwa mzizi a hutoa sifuri mwishoni mwa mstari wa chini, mpango wa Horner unaweza kutumika kuangalia nambari kwa kichwa cha mzizi wa polynomial. Ikiwa nadharia maalum juu ya uteuzi wa mzizi wa busara. Wagombea wote wa jina hili waliopatikana kwa usaidizi wake wanaingizwa kwa zamu kutoka upande wa kushoto hadi kwenye mchoro wa Horner. Mara tu tunapopata sifuri, nambari iliyojaribiwa itakuwa mzizi, na wakati huo huo tutapata coefficients ya factorization ya awali ya polynomial kwenye mstari wake. Raha sana.

Kwa kumalizia, ningependa kutambua kwamba ili kuanzisha mpango wa Horner kwa usahihi, na pia kuunganisha mada hiyo, mwalimu wa hisabati lazima awe na idadi ya kutosha ya saa zake. Mkufunzi anayefanya kazi na serikali ya "mara moja kwa wiki" haipaswi kujihusisha na mgawanyiko wa kona. Juu ya Mtihani wa Jimbo Pamoja katika Hisabati na Chuo cha Jimbo la Hisabati katika Hisabati, hakuna uwezekano kwamba katika sehemu ya kwanza utawahi kukutana na mlinganyo wa shahada ya tatu ambayo inaweza kutatuliwa kwa njia kama hizo. Ikiwa mkufunzi anamtayarisha mtoto kwa mtihani wa hisabati katika Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow, kusoma mada hiyo inakuwa ya lazima. Walimu wa vyuo vikuu, tofauti na wakusanyaji wa Mtihani wa Jimbo la Umoja, wanapenda sana kujaribu kina cha maarifa ya mwombaji.

Kolpakov Alexander Nikolaevich, mwalimu wa hisabati Moscow, Strogino

Polynomial ya fomu
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
inaweza kuwa factorized kulingana na mpango wa Horner, ikiwa angalau 1 ya mizizi yake inajulikana.

Wacha tuangalie mgawanyiko kulingana na mpango wa Horner kwa kutumia mfano:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10

Kwanza unahitaji kupata mzizi mmoja kwa kutumia njia ya uteuzi. Kawaida ni kigawanyo cha neno huru. Katika kesi hii, wagawanyaji wa nambari -10 ni ±1, ±2, ±5, ±10. Wacha tuanze kuzibadilisha moja baada ya nyingine:

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ nambari 1

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ nambari -1 ndio mzizi wa polynomial

Tumepata 1 ya mizizi ya polynomial. Mzizi wa polynomial ni -1, ambayo ina maana kwamba polynomial asili lazima igawanywe kwa x+1. Ili kutekeleza mgawanyiko wa polynomials, tunatumia mpango wa Horner:

	2	9	-10	-27	-10
-1

Coefficients ya polynomial asili huonyeshwa kwenye mstari wa juu. Mzizi tuliopata umewekwa kwenye seli ya kwanza ya safu ya pili -1. Mstari wa pili una coefficients ya polynomial inayotokana na mgawanyiko. Wanahesabiwa kama hii:

2 9 -10 -27 -10 -1 2	Katika kiini cha pili cha safu ya pili tunaandika nambari 2, kwa kuisogeza tu kutoka kwa seli inayolingana ya safu ya kwanza.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7	-1 ∙ 2 + 9 = 7
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17	-1 ∙ 7 - 10 = -17
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10	-1 ∙ (-17) - 27 = -10
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0	-1 ∙ (-10) - 10 = 0

Nambari ya mwisho ni salio la mgawanyiko. Ikiwa ni sawa na 0, basi tumehesabu kila kitu kwa usahihi.

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1) (2x 3 + 7x 2 - 17x - 10)

Lakini huu sio mwisho. Unaweza kujaribu kupanua polynomial kwa njia ile ile 2x 3 + 7x 2 - 17x - 10.

Tena tunatafuta mzizi kati ya vigawanyiko vya istilahi huria. Kama tulivyokwishagundua, wagawanyaji wa nambari -10 ni ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ nambari 1 sio mzizi wa polynomial

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ nambari -1 sio mzizi wa polynomial

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ nambari 2 ndio mzizi wa polynomial

Wacha tuandike mzizi uliopatikana kwenye mpango wetu wa Horner na tuanze kujaza seli tupu:

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2	Katika kiini cha pili cha safu ya tatu tunaandika nambari 2, kwa kuihamisha tu kutoka kwa seli inayolingana ya safu ya pili.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11	2 ∙ 2 + 7 = 11
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5	2 ∙ 11 - 17 = 5
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0	2 ∙ 5 - 10 = 0

Kwa hivyo, tulizingatia polynomial asili:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1) (x - 2) (2x 2 + 11x + 5)

Polynomial 2x 2 + 11x + 5 inaweza pia kuwa factorized. Ili kufanya hivyo, unaweza kutatua equation ya quadratic kupitia kibaguzi, au unaweza kutafuta mzizi kati ya vigawanyiko vya nambari. 5. Kwa njia moja au nyingine, tutafikia hitimisho kwamba mzizi wa polynomial hii ni nambari -5

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2	Katika kiini cha pili cha safu ya nne tunaandika nambari 2, kwa kuisogeza tu kutoka kwa seli inayolingana ya safu ya tatu.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1	-5 ∙ 2 + 11 = 1
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1 0	-5 ∙ 1 + 5 = 0

Kwa hivyo, tulitenganisha polynomial asili kuwa sababu za mstari.