Kutatua hesabu za logarithmic kwa dummies. Kutatua hesabu za logarithmic

Sisi sote tunafahamu equations kutoka darasa la msingi. Huko pia tulijifunza kutatua mifano rahisi zaidi, na lazima tukubali kwamba wanapata matumizi yao hata katika hesabu za hali ya juu. Na equations, kila kitu ni rahisi, pamoja na mraba. Ikiwa una shida na mada hii, tunapendekeza sana uirudie.

Labda tayari umepita logarithms. Walakini, tunaona ni muhimu kusema ni nini kwa wale ambao hawajui bado. Logarithm imehesabiwa kwa kiwango ambacho msingi lazima uinuliwe ili kupata nambari kulia kwa ishara ya logarithm. Wacha tutoe mfano, kulingana na ambayo, kila kitu kitakuwa wazi kwako.

Ikiwa utaongeza 3 hadi nguvu ya nne, unapata 81. Sasa badilisha nambari kwa mfano, na mwishowe utaelewa jinsi logarithms zinatatuliwa. Sasa inabaki tu kuchanganya dhana mbili zinazozingatiwa. Hapo awali, hali hiyo inaonekana kuwa ngumu sana, lakini kwa uchunguzi wa karibu, uzito huanguka mahali. Tuna hakika kwamba baada ya kifungu hiki kifupi hautakuwa na shida yoyote katika sehemu hii ya mtihani.

Leo, kuna njia nyingi za kutatua miundo kama hiyo. Tutakuambia juu ya kazi rahisi, bora zaidi na inayotumika zaidi ya MATUMIZI. Kutatua hesabu za mantiki inapaswa kuanza na mfano rahisi. Milinganisho rahisi zaidi ya hesabu inajumuisha kazi na ubadilishaji mmoja ndani yake.

Ni muhimu kutambua kuwa x iko ndani ya hoja. A na b lazima iwe nambari. Katika kesi hii, unaweza kuelezea tu kazi kwa suala la nambari kwa nguvu. Inaonekana kama hii.

Kwa kweli, kutatua equation ya logarithmic kwa njia hii itasababisha jibu sahihi. Shida ya idadi kubwa ya wanafunzi katika kesi hii ni kwamba hawaelewi ni nini na inatoka wapi. Kama matokeo, lazima uvumilie makosa na usipate alama zinazohitajika. Kosa la kukera zaidi litakuwa ikiwa unachanganya herufi mahali. Ili kutatua equation kwa njia hii, unahitaji kukariri fomula ya kawaida ya shule, kwa sababu ni ngumu kuielewa.

Ili kurahisisha, unaweza kutumia njia nyingine - fomu ya kisheria. Wazo ni rahisi sana. Zingatia shida tena. Kumbuka kwamba herufi a ni nambari, sio kazi au ubadilishaji. A si sawa na moja au kubwa kuliko sifuri. Hakuna vizuizi kwa b. Sasa tunakumbuka moja ya fomula zote. B inaweza kuonyeshwa kama ifuatavyo.

Inafuata kutoka kwa hii kwamba hesabu zote za asili na logarithms zinaweza kuwakilishwa kama:

Sasa tunaweza kuacha logarithms. Matokeo yake ni ujenzi rahisi ambao tuliona mapema.

Urahisi wa fomula hii iko katika ukweli kwamba inaweza kutumika katika hali anuwai, na sio tu kwa miundo rahisi.

Usijali kuhusu OOF!

Wataalamu wengi wa hesabu wataona kuwa hatujazingatia uwanja wa ufafanuzi. Utawala umepunguzwa kwa ukweli kwamba F (x) ni lazima zaidi ya 0. Hapana, hatukukosa wakati huu. Sasa tunazungumza juu ya faida nyingine kubwa ya fomu ya kisheria.

Hakuna mizizi isiyo ya lazima itatokea hapa. Ikiwa ubadilishaji utaonekana tu katika sehemu moja, basi wigo sio lazima. Ni anaendesha moja kwa moja. Ili kudhibitisha taarifa hii, fikiria kutatua mifano michache rahisi.

Jinsi ya kutatua hesabu za mantiki na besi tofauti

Hizi tayari ni hesabu ngumu za mantiki, na njia ya suluhisho lao inapaswa kuwa maalum. Mara chache hugeuka kuwa mdogo kwa fomu mbaya ya kanuni. Wacha tuanze hadithi yetu ya kina. Tuna muundo ufuatao.

Makini na sehemu hiyo. Ina logarithm. Ukiona hii katika mgawo, ni muhimu kukumbuka hila moja ya kupendeza.

Inamaanisha nini? Kila logarithm inaweza kuwakilishwa kama mgawo wa logarithms mbili zilizo na msingi unaofaa. Na fomula hii ina kesi maalum ambayo inatumika na mfano huu (maana, ikiwa c \u003d b).

Hii ndio sehemu ambayo tunaona katika mfano wetu. Kwa hivyo.

Kwa kweli, waligeuza sehemu hiyo na kupata usemi rahisi zaidi. Kumbuka algorithm hii!

Sasa ni muhimu kwamba equation ya logarithmic haikuwa na besi tofauti. Wacha tufikirie msingi kama sehemu.

Katika hisabati, kuna sheria kulingana na ambayo unaweza kupata digrii kutoka kwa msingi. Ujenzi ufuatao unageuka.

Inaonekana, ni nini kinazuia sasa kugeuza usemi wetu kuwa fomu ya kisheria na kuitatua kwa njia ya msingi? Sio rahisi sana. Haipaswi kuwa na sehemu ndogo mbele ya logarithm. Tunarekebisha hali hii! Sehemu hiyo inaruhusiwa kufanywa kama digrii.

Kwa mtiririko huo.

Ikiwa besi ni sawa, tunaweza kuondoa logarithms na kulinganisha misemo yenyewe. Kwa hivyo hali itakuwa rahisi mara nyingi kuliko ilivyokuwa. Kutabaki equation ya msingi, ambayo kila mmoja wetu aliweza kutatua katika darasa la 8 au hata la 7. Unaweza kufanya mahesabu mwenyewe.

Tulipata mzizi wa kweli wa equation hii ya logarithmic. Mifano ya kutatua equation ya logarithm ni rahisi sana, sivyo? Sasa utaweza kujitegemea hata kazi ngumu zaidi za kuandaa na kufaulu mtihani.

Je! Msingi ni nini?

Katika kesi ya hesabu zozote za hesabu, tunaendelea kutoka kwa sheria moja muhimu sana. Inahitajika kutenda kwa njia ambayo italeta usemi kwa fomu rahisi zaidi. Katika kesi hii, utakuwa na nafasi zaidi sio tu ya kutatua kazi hiyo kwa usahihi, lakini pia kuifanya iwe rahisi na ya busara iwezekanavyo. Hivi ndivyo wanahisabati hufanya kila wakati.

Tunakukatisha tamaa sana utafute njia ngumu, haswa katika kesi hii. Kumbuka sheria chache rahisi ambazo zitakuruhusu kubadilisha usemi wowote. Kwa mfano, leta logarithms mbili au tatu kwa msingi mmoja, au pata digrii kutoka kwa msingi na ushinde kwenye hiyo.

Inafaa pia kukumbuka kuwa unahitaji kufundisha kila wakati katika kutatua hesabu za logarithmic. Hatua kwa hatua, utaendelea na miundo ngumu zaidi na ngumu, na hii itasababisha utatue kwa ujasiri anuwai zote za shida kwenye mtihani. Jitayarishe kwa mitihani yako mapema, na bahati nzuri!

Kutatua hesabu za logarithmic. Sehemu 1.

Usawa wa logarithmic ni equation ambayo haijulikani iko chini ya ishara ya logarithm (haswa, kwenye msingi wa logarithm).

Rahisi zaidi equation ya logarithmic inaonekana kama:

Suluhisho la equation yoyote ya logarithmic inajumuisha mabadiliko kutoka kwa logarithms kwenda kwa misemo chini ya ishara ya logarithms. Walakini, hatua hii inapanua anuwai ya maadili yanayokubalika ya equation na inaweza kusababisha kuonekana kwa mizizi ya nje. Ili kuzuia kuonekana kwa mizizi ya nje, unaweza kufanya moja ya njia tatu:

1. Fanya mpito sawa kutoka usawa wa asili kwa mfumo ikiwa ni pamoja na

kulingana na usawa gani ni au ni rahisi.

Ikiwa equation ina haijulikani chini ya logarithm:

kisha tunaenda kwenye mfumo:

2. Tofauti pata anuwai ya maadili yanayokubalika ya equation, kisha suluhisha equation na angalia ikiwa suluhisho zilizopatikana zinakidhi equation.

3. Tatua equation, na kisha angalia:badilisha suluhisho zilizopatikana katika usawa wa asili, na angalia ikiwa tunapata usawa sahihi.

Equation ya logarithmic ya kiwango chochote cha ugumu mwishowe kila wakati hupunguza kwa equation rahisi ya logarithmic.

Usawa wote wa mantiki unaweza kugawanywa katika aina nne:

1 ... Mlinganyo ambayo yana tu logarithms kwa kiwango cha kwanza. Kwa msaada wa mabadiliko na matumizi hupunguzwa kwa fomu

Mfano... Wacha tusuluhishe equation:

Wacha tulinganishe maneno chini ya ishara ya logarithm:

Wacha tuangalie ikiwa mizizi yetu inakidhi equation:

Ndiyo inafanya.

Jibu: x \u003d 5

2 ... Mlinganyo ambayo yana logarithms kwa kiwango kingine zaidi ya 1 (haswa, katika sehemu ya sehemu). Hesabu hizo hutatuliwa kwa kutumia kuanzisha mabadiliko yanayobadilika.

Mfano. Wacha tusuluhishe equation:

Wacha tupate ODZ ya equation:

Equation ina logarithms mraba, kwa hivyo hutatuliwa kwa kubadilisha tofauti.

Muhimu! Kabla ya kuanzisha uingizwaji, ni muhimu "kuvunja" logarithms zilizojumuishwa katika equation ndani ya "matofali" kwa kutumia mali ya logarithms.

Wakati wa "kuvuta" logarithms, ni muhimu kutumia kwa uangalifu sana mali ya logarithms:

Kwa kuongezea, kuna hatua nyingine ya hila hapa, na ili kuepusha kosa la kawaida, tutatumia usawa wa kati: tunaandika kiwango cha logarithm katika fomu hii:

Vivyo hivyo,

Badilisha maneno yanayosababishwa na equation asili. Tunapata:

Sasa tunaona kuwa haijulikani iko katika equation katika muundo. Wacha tuanzishe uingizwaji:. Kwa kuwa inaweza kuchukua thamani yoyote halisi, hatuwekei vizuizi vyovyote kwa ubadilishaji.

Katika somo hili, tutakagua ukweli wa kimsingi wa nadharia juu ya logarithms na tuzingatie kutatua hesabu rahisi zaidi za logarithm.

Wacha tukumbuke ufafanuzi wa kati - ufafanuzi wa logarithm. Inahusishwa na suluhisho la equation ya kielelezo. Mlinganyo huu una shina moja, inaitwa logarithm ya b kuweka msingi:

Ufafanuzi:

Logarithm ya nambari b kwa msingi a ni kielelezo ambacho msingi lazima uinuliwe ili kupata nambari b.

Kumbuka kitambulisho cha msingi cha mantiki.

Kielelezo (usemi 1) ni mzizi wa mlingano (usemi 2). Badili thamani x kutoka usemi 1 badala ya x kuwa usemi 2 na upate kitambulisho cha msingi cha logarithmic:

Kwa hivyo tunaona kwamba kila thamani imepewa dhamana. Tunaashiria b kwa x (), c na y, na kwa hivyo tunapata kazi ya logarithmic:

Kwa mfano:

Wacha tukumbuke mali kuu ya kazi ya logarithmic.

Wacha tuangalie tena, hapa, kwa sababu chini ya logariti kunaweza kuwa na usemi mzuri, kama msingi wa logarithm.

Mtini. 1. Grafu ya kazi ya logarithmic katika besi anuwai

Grafu ya kazi imeonyeshwa kwa rangi nyeusi. Mtini. 1. Ikiwa hoja inaongezeka kutoka sifuri hadi infinity, kazi huongezeka kutoka minus hadi infinity.

Grafu ya kazi imeonyeshwa kwa nyekundu. Mtini. moja.

Mali ya kazi hii:

Kikoa :;

Aina ya maadili :;

Kazi ni monotonic katika uwanja wake wote wa ufafanuzi. Wakati monotonically (kali) inapoongezeka, thamani kubwa ya hoja inalingana na dhamana kubwa ya kazi. Wakati monotonically (kali) inapungua, thamani kubwa ya hoja inalingana na dhamana ndogo ya kazi.

Mali ya kazi ya logarithmic ni ufunguo wa kutatua anuwai anuwai ya logarithmic.

Fikiria equation rahisi zaidi ya hesabu, hesabu zingine zote za hesabu, kama sheria, zimepunguzwa kwa fomu hii.

Kwa kuwa misingi ya logarithms na logarithms yenyewe ni sawa, kazi chini ya logarithm pia ni sawa, lakini hatupaswi kukosa uwanja wa ufafanuzi. Nambari nzuri tu inaweza kusimama chini ya logarithm, tuna:

Tuligundua kuwa kazi f na g ni sawa, kwa hivyo inatosha kuchagua usawa wowote ili kufuata DHS.

Kwa hivyo, tulipata mfumo mchanganyiko ambao kuna usawa na usawa:

Kama sheria, sio lazima kutatua ukosefu wa usawa, inatosha kutatua equation na kubadilisha mizizi iliyopatikana katika usawa, na hivyo kukagua.

Wacha tuunde njia ya kutatua hesabu rahisi zaidi za logarithmic:

Sawa misingi ya logarithms;

Sawa kazi ndogo za logarithmic;

Angalia.

Wacha tuangalie mifano maalum.

Mfano 1 - Tatua mlingano:

Msingi wa logarithms hapo awali ni sawa, tuna haki ya kulinganisha misemo ya logarithmic ndogo, usisahau kuhusu ODZ, tutachagua logarithm ya kwanza kutunga usawa:

Mfano 2 - Tatua mlingano:

Usawa huu unatofautiana na ule wa awali kwa kuwa misingi ya logarithms ni chini ya moja, lakini hii haiathiri suluhisho kwa njia yoyote:

Pata mzizi na ubadilishe usawa:

Tulipata usawa usiofaa, ambayo inamaanisha kuwa mzizi uliopatikana hauridhishi ODV.

Mfano 3 - Tatua mlingano:

Msingi wa logarithms hapo awali ni sawa, tuna haki ya kulinganisha misemo ya logarithmic ndogo, usisahau kuhusu ODZ, tutachagua logarithm ya pili kutunga usawa:

Pata mzizi na ubadilishe usawa:

Kwa wazi, mzizi wa kwanza tu ndio unaridhisha ODV.

Maneno ya logarithmic, suluhisho la mifano. Katika nakala hii tutaangalia shida zinazohusiana na utatuzi wa logarithms. Katika majukumu, swali linafufuliwa juu ya kupata maana ya usemi. Ikumbukwe kwamba dhana ya logarithm hutumiwa katika majukumu mengi na ni muhimu kuelewa maana yake. Kama kwa mtihani, logarithm hutumiwa wakati wa kutatua hesabu, katika shida zinazotumika, na pia katika majukumu yanayohusiana na utafiti wa kazi.

Hapa kuna mifano ya kuelewa maana ya logarithm:

Utambulisho wa kimsingi wa mantiki:

Mali ya logarithms ambayo lazima ikumbukwe kila wakati:

* Logarithm ya bidhaa ni jumla ya logarithms ya sababu.

* * *

* Logarithm ya quotient (sehemu) ni sawa na tofauti kati ya logarithms ya sababu.

* * *

* Logarithm ya nguvu ni sawa na bidhaa ya kionyeshi na logarithm ya msingi wake.

* * *

* Mpito kwa msingi mpya

* * *

Mali zaidi:

* * *

Hesabu ya logarithms inahusiana sana na matumizi ya mali ya watoaji.

Wacha tuorodhe baadhi yao:

Kiini cha mali hii ni kwamba wakati nambari inahamishiwa kwa dhehebu na kinyume chake, ishara ya kiboreshaji hubadilika kwenda kinyume. Kwa mfano:

Matokeo ya mali hii:

* * *

Wakati wa kuinua nguvu kwa nguvu, msingi unabaki sawa, na viashiria vinaongezeka.

* * *

Kama ulivyoona, dhana ya logarithm ni rahisi. Jambo kuu ni kwamba unahitaji mazoezi mazuri, ambayo hutoa ustadi fulani. Kwa kweli, ujuzi wa fomula unahitajika. Ikiwa ustadi wa kubadilisha logarithms za kimsingi haujatengenezwa, basi wakati wa kutatua kazi rahisi, unaweza kufanya makosa kwa urahisi.

Jizoeze, suluhisha mifano rahisi zaidi kutoka kwa kozi ya hesabu kwanza, kisha nenda kwa ngumu zaidi. Katika siku zijazo, hakika nitakuonyesha jinsi logarithms "mbaya" zinatatuliwa, hakutakuwa na logarithms kama hizo kwenye mtihani, lakini zinavutia, usikose!

Ni hayo tu! Mafanikio kwako!

Kwa heri, Alexander Krutitskikh

P.S: Ningefurahi ikiwa ungeweza kutuambia juu ya wavuti hiyo kwenye mitandao ya kijamii.

Maandalizi ya mtihani wa mwisho katika hesabu ni pamoja na sehemu muhimu - "Logarithms". Kazi kutoka kwa mada hii lazima ziwe kwenye mtihani. Uzoefu wa miaka iliyopita unaonyesha kuwa hesabu za mantiki zimesababisha shida kwa watoto wengi wa shule. Kwa hivyo, wanafunzi walio na viwango tofauti vya mafunzo wanapaswa kuelewa jinsi ya kupata jibu sahihi, na kuhimili haraka.

Pitisha mtihani wa uthibitisho kwa mafanikio ukitumia milango ya elimu "Shkolkovo"!

Wakati wa kujiandaa kwa mtihani wa umoja wa serikali, wahitimu wa shule za upili wanahitaji chanzo cha kuaminika ambacho hutoa habari kamili zaidi na sahihi kwa suluhisho la mafanikio ya shida za mtihani. Walakini, kitabu cha kiada sio kila wakati, na kupata sheria na fomula zinazohitajika kwenye mtandao mara nyingi huchukua muda.

Mlango wa elimu "Shkolkovo" hukuruhusu kujiandaa kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja mahali popote wakati wowote. Tovuti yetu inatoa njia rahisi zaidi ya kurudia na kufahamisha idadi kubwa ya habari juu ya logarithms, na pia kwa moja na haijulikani kadhaa. Anza na equations rahisi. Ikiwa uliwashughulikia kwa urahisi, nenda kwa ngumu zaidi. Ikiwa una shida kusuluhisha usawa fulani, unaweza kuiongeza kwenye Vipendwa vyako ili uweze kurudi baadaye.

Unaweza kupata fomula zinazohitajika kukamilisha kazi, kurudia kesi na njia maalum za kuhesabu mzizi wa equation ya kawaida ya logarithmic kwa kuangalia sehemu ya "Rejea ya Kinadharia". Walimu wa Shkolkovo wamekusanya, wameweka utaratibu na kuwasilisha vifaa vyote muhimu kwa kufanikiwa kwa utoaji kwa njia rahisi na inayoeleweka.

Ili kukabiliana kwa urahisi na kazi za ugumu wowote, kwenye lango letu unaweza kujitambulisha na suluhisho la hesabu zingine za kawaida za logarithm. Ili kufanya hivyo, nenda kwenye sehemu ya "Saraka". Tumewasilisha idadi kubwa ya mifano, pamoja na hesabu za kiwango cha wasifu wa mtihani katika hesabu.

Wanafunzi kutoka shule kote Urusi wanaweza kutumia bandari yetu. Ili kuanza, sajili tu kwenye mfumo na anza kutatua milinganyo. Ili kuimarisha matokeo, tunakushauri kurudi kwenye wavuti ya Shkolkovo kila siku.