Ulinganifu wa takwimu kuhusu mhimili. Ulinganifu wa kati na axial

Mimi ... Ulinganifu katika hesabu :

Dhana za msingi na ufafanuzi.

Ulinganifu wa axial (ufafanuzi, mpango wa ujenzi, mifano)

Ulinganifu wa kati (ufafanuzi, mpango wa ujenzi, kwavipimo)

Jedwali la muhtasari (mali yote, huduma)

II ... Maombi ya ulinganifu:

1) katika hisabati

2) katika kemia

3) katika biolojia, botani na zoolojia

4) katika sanaa, fasihi na usanifu

/ amri / bse / makala / 00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/ sim / sim.ht

/index.html

1. Dhana za kimsingi za ulinganifu na aina zake.

Dhana ya ulinganifu n rhupitia historia nzima ya wanadamu. Inapatikana tayari kwenye chimbuko la maarifa ya wanadamu. Iliibuka kuhusiana na utafiti wa kiumbe hai, yaani mtu. Na ilitumiwa na wachongaji mapema karne ya 5 KK. e. Neno "ulinganifu" ni Kigiriki, inamaanisha "uwiano, uwiano, usawa katika mpangilio wa sehemu." Inatumiwa sana na maeneo yote ya sayansi ya kisasa bila ubaguzi. Watu wengi wakubwa walifikiria juu ya muundo huu. Kwa mfano, LN Tolstoy alisema: "Nikisimama mbele ya ubao mweusi na kuchora takwimu tofauti juu yake na chaki, ghafla niliguswa na wazo hilo: kwa nini ulinganifu uko wazi kwa macho? Ulinganifu ni nini? Hii ni hisia ya kuzaliwa, nilijibu mwenyewe. Inategemea nini? " Ulinganifu unapendeza macho. Nani ambaye hajapendeza ulinganifu wa uumbaji wa maumbile: majani, maua, ndege, wanyama; au ubunifu wa wanadamu: majengo, teknolojia, - kila kitu kinachotuzunguka kutoka utoto, wale ambao wanajitahidi kwa uzuri na maelewano. Hermann Weil alisema: "Ulinganifu ni wazo ambalo kwa njia ya mwanadamu amekuwa akijaribu kwa karne nyingi kuelewa na kuunda utulivu, uzuri na ukamilifu." Hermann Weil ni mtaalam wa hesabu wa Ujerumani. Shughuli yake iko kwenye nusu ya kwanza ya karne ya ishirini. Ni yeye aliyeunda ufafanuzi wa ulinganifu, ulioanzishwa na vigezo gani vya kujua uwepo au, kinyume chake, kutokuwepo kwa ulinganifu katika kesi moja au nyingine. Kwa hivyo, dhana kali ya hesabu iliundwa hivi karibuni - mwanzoni mwa karne ya 20. Ni ngumu sana. Tutageuka na kukumbuka tena ufafanuzi tuliopewa katika kitabu cha maandishi.

2. Ulinganifu wa axial.

2.1 Ufafanuzi wa kimsingi

Ufafanuzi. Pointi mbili A na A 1 huitwa ulinganifu kwa heshima na mstari wa moja kwa moja ikiwa mstari huu wa moja kwa moja unapita katikati ya sehemu ya AA 1 na ni sawa nayo. Kila hatua ya mstari wa moja kwa moja inachukuliwa kuwa sawa na yenyewe.

Ufafanuzi. Takwimu inaitwa ulinganifu juu ya laini moja kwa moja. naikiwa kwa kila nukta ya takwimu hatua inayolingana nayo kwa heshima na laini iliyonyooka na pia ni ya takwimu hii. Sawa na inaitwa mhimili wa ulinganifu wa takwimu. Takwimu hiyo pia inasemekana ina ulinganifu wa axial.

2.2 Mpango wa ujenzi

Na kwa hivyo, ili kujenga takwimu ya ulinganifu inayohusiana na laini moja kwa moja kutoka kila nukta, tunachora moja kwa moja kwa mstari huu wa moja kwa moja na kuipanua kwa umbali huo huo, weka alama kwa hatua inayosababisha. Tunafanya hivyo kwa kila nukta, tunapata vipeo vya ulinganifu wa takwimu mpya. Kisha tunawaunganisha katika safu na kupata takwimu ya ulinganifu wa mhimili huu wa jamaa.

2.3 Mifano ya takwimu za ulinganifu wa axial.

3. Ulinganifu wa kati

3.1 Ufafanuzi wa kimsingi

Ufafanuzi. Pointi mbili A na A 1 huitwa ulinganifu kuhusiana na kumweka O ikiwa O ni katikati ya sehemu AA 1. Point O inachukuliwa kuwa ya ulinganifu yenyewe.

Ufafanuzi. Takwimu inaitwa ulinganifu juu ya hatua O ikiwa kwa kila nukta ya takwimu hatua inayolingana nayo juu ya nukta O pia ni ya takwimu hii.

3.2 Mpango wa ujenzi

Ujenzi wa pembetatu ulinganifu kwa uliopewa kuhusu kituo cha O.

Ili kuchora hatua inayolingana kwa uhakika NAjamaa na uhakika KUHUSU, inatosha kuchora laini moja kwa moja OA(Mtini. 46 ) na upande wa pili wa hoja KUHUSUahirisha sehemu sawa na sehemu OA. Kwa maneno mengine , inaashiria A na ; Ndani na ; Na na ni ulinganifu kwa heshima na hatua fulani O. Katika Mtini. 46 iliunda pembetatu ulinganifu na pembetatu ABC jamaa na uhakika KUHUSU.Pembetatu hizi ni sawa.

Huchora vidokezo vya ulinganifu kuhusu kituo hicho.

Katika kielelezo, alama M na M 1, N na N 1 zina ulinganifu juu ya hatua O, na alama P na Q hazilingani juu ya hatua hii.

Kwa ujumla, takwimu zina ulinganifu juu ya hatua fulani ni sawa .

3.3 Mifano

Hapa kuna mifano ya takwimu zilizo na ulinganifu wa kati. Takwimu rahisi zaidi na ulinganifu wa kati ni duara na parallelogram.

Point O inaitwa kituo cha ulinganifu wa takwimu. Katika hali kama hizo, takwimu ina ulinganifu wa kati. Katikati ya ulinganifu wa duara ndio kitovu cha duara, na katikati ya ulinganifu wa parallelogram ndio hatua ya makutano ya diagonal zake.

Mstari wa moja kwa moja pia una ulinganifu wa kati, hata hivyo, tofauti na duara na parallelogram, ambayo ina kituo kimoja tu cha ulinganifu (onyesha O katika kielelezo), mstari ulionyooka una mengi yao - hatua yoyote ya mstari ulionyooka ni kituo chake ya ulinganifu.

Takwimu zinaonyesha ulinganifu wa pembe juu ya vertex, sehemu yenye ulinganifu kwa sehemu nyingine kuhusu kituo hicho NA na ulinganifu wa pande zote kuhusu vertex yake M.

Mfano wa sura ambayo haina katikati ya ulinganifu ni pembetatu.

4. Muhtasari wa somo

Wacha tufupishe ujuzi uliopatikana. Leo katika somo tulifahamiana na aina kuu mbili za ulinganifu: kati na axial. Wacha tuangalie skrini na tupange maarifa yaliyopatikana.

Jedwali la muhtasari

	Ulinganifu wa axial	Ulinganifu wa kati
Makala	Pointi zote za takwimu lazima zilingane juu ya laini moja kwa moja.	Pointi zote za takwimu lazima zilingane juu ya hatua iliyochaguliwa kama kituo cha ulinganifu.
Mali	1. Vipimo vya ulinganifu viko kwenye perpendiculars kwa mstari ulio sawa. 3. Mistari iliyonyooka hubadilika kuwa mistari iliyonyooka, pembe kwa pembe sawa. 4. Ukubwa na maumbo ya takwimu zimehifadhiwa.	1. Vipimo vya ulinganifu viko kwenye mstari wa moja kwa moja kupita katikati na hatua iliyopewa ya takwimu. 2. Umbali kutoka hatua hadi mstari ulionyooka ni sawa na umbali kutoka kwa mstari ulionyooka hadi hatua ya ulinganifu. 3. Ukubwa na maumbo ya takwimu zimehifadhiwa.

II. Kutumia ulinganifu

© Sukhacheva Elena Vladimirovna, 2008-2009.

Fikiria ulinganifu wa axial na kati kama mali ya maumbo ya kijiometri; Fikiria ulinganifu wa axial na kati kama mali ya maumbo ya kijiometri; Kuwa na uwezo wa kujenga sehemu zenye ulinganifu na kuweza kutambua maumbo ambayo ni ya ulinganifu juu ya nukta au mstari; Kuwa na uwezo wa kujenga sehemu zenye ulinganifu na kuweza kutambua maumbo ambayo ni ya ulinganifu juu ya nukta au mstari; Kuboresha ujuzi wa kutatua matatizo; Kuboresha ujuzi wa kutatua matatizo; Endelea kufanya kazi kwa usahihi wa kurekodi na kukamilisha kuchora kijiometri; Endelea kufanya kazi kwa usahihi wa kurekodi na kukamilisha kuchora kijiometri;

Kazi ya mdomo "Utafiti mpole" Kazi ya mdomo "Utafiti mpole" Ni hatua gani inayoitwa katikati ya sehemu? Je! Ni pembetatu gani inayoitwa isosceles? Je! Diagonals za rhombus zina mali gani? Tengeneza mali ya bisector ya pembetatu ya isosceles. Je! Ni mistari ipi iliyonyooka inayoitwa perpendicular? Je! Ni pembetatu ipi inayoitwa usawa? Je! Diagonals za mraba zina mali gani? Takwimu gani zinaitwa sawa?

Je! Umekutana na dhana gani mpya katika somo? Je! Umekutana na dhana gani mpya katika somo? Nini mpya kuhusu maumbo ya kijiometri? Nini mpya kuhusu maumbo ya kijiometri? Toa mifano ya maumbo ya kijiometri yenye ulinganifu. Toa mifano ya maumbo ya kijiometri yenye ulinganifu. Toa mfano wa maumbo na ulinganifu wa kati. Toa mfano wa maumbo na ulinganifu wa kati. Toa mifano ya vitu kutoka kwa maisha ya karibu ambayo yana aina moja au mbili za ulinganifu. Toa mifano ya vitu kutoka kwa maisha ya karibu ambayo yana aina moja au mbili za ulinganifu.

Malengo:

• elimu:
  • toa wazo la ulinganifu;
  • kufahamiana na aina za kimsingi za ulinganifu kwenye ndege na angani;
  • kukuza ujuzi mkubwa katika kujenga takwimu za ulinganifu;
  • panua uelewa wa maumbo inayojulikana, ukiwaanzisha kwa mali zinazohusiana na ulinganifu;
  • onyesha uwezekano wa kutumia ulinganifu katika kutatua shida anuwai;
  • jumuisha ujuzi uliopatikana;
• elimu ya jumla:
  • jifunze mwenyewe kujiwekea kazi;
  • fundisha kujidhibiti mwenyewe na jirani yako kwenye dawati lako;
  • kufundisha kujitathmini mwenyewe na deskmate yako;
• zinazoendelea:
  • kuimarisha shughuli za kujitegemea;
  • kuendeleza shughuli za utambuzi;
  • jifunze kujumlisha na kupanga habari uliyopokea;
• elimu:
  • kukuza "hisia ya bega" kwa wanafunzi;
  • mawasiliano ya kukuza;
  • panda utamaduni wa mawasiliano.

WAKATI WA MADARASA

Mbele ya kila mmoja kuna mkasi na karatasi.

Zoezi 1(Dak. 3).

“Wacha tuchukue karatasi, tukunje katikati na tukate picha fulani. Sasa panua karatasi na angalia laini ya zizi.

Swali: Je! Kazi ya mstari huu ni nini?

Jibu linalodhaniwa: Mstari huu hugawanya takwimu kwa nusu.

Swali: Je! Alama zote za takwimu ziko kwenye nusu mbili zinapatikanaje?

Jibu linalodhaniwa: Pointi zote za nusu ziko umbali sawa kutoka kwa laini ya zizi na kwa kiwango sawa.

- Hii inamaanisha kuwa safu ya zizi hugawanya takwimu kwa nusu ili nusu 1 ni nakala ya nusu 2, i.e. laini hii sio rahisi, ina mali ya kushangaza (alama zote ziko umbali sawa na hiyo), mstari huu ni mhimili wa ulinganifu.

Kazi 2 (Dakika 2).

- Kata theluji la theluji, pata mhimili wa ulinganifu, sifa yake.

Kazi 3 (Dakika 5).

- Chora duara kwenye daftari.

Swali: Tambua jinsi mhimili wa ulinganifu unavyoendesha?

Jibu linalodhaniwa: Tofauti.

Swali: Kwa hivyo mduara una ulinganifu wangapi?

Jibu linalodhaniwa: Wengi.

- Hiyo ni kweli, mduara una shoka nyingi za ulinganifu. Sura hiyo ya kushangaza ni mpira (takwimu ya anga)

Swali: Je! Ni takwimu gani nyingine zilizo na mhimili zaidi ya moja ya ulinganifu?

Jibu linalodhaniwa: Mraba, mstatili, isosceles na pembetatu za usawa.

- Fikiria takwimu za volumetric: mchemraba, piramidi, koni, silinda, nk. Takwimu hizi pia zina mhimili wa ulinganifu. Tambua ni shoka ngapi za ulinganifu mraba, mstatili, pembetatu ya usawa na takwimu zilizopendekezwa za volumetric zina?

Ninawasambaza kwa wanafunzi nusu ya takwimu za plastiki.

Kazi 4 (Dak. 3).

- Kutumia habari iliyopokelewa, jaza sehemu iliyokosekana ya takwimu.

Kumbuka: takwimu inaweza kuwa gorofa na volumetric. Ni muhimu kwamba wanafunzi waamue jinsi mhimili wa ulinganifu unavyokwenda na kumaliza kipande kilichokosekana. Usahihi wa utekelezaji umedhamiriwa na jirani kwenye dawati, hutathmini jinsi kazi imefanywa kwa usahihi.

Mstari umewekwa nje ya kamba ya rangi sawa kwenye desktop (imefungwa, wazi, na makutano ya kibinafsi, bila makutano ya kibinafsi).

Kazi 5 (kazi ya kikundi 5 min).

- Tambua mwonekano mhimili wa ulinganifu na ujenge sehemu ya pili kutoka kwa kamba ya rangi tofauti inayohusiana nayo.

Usahihi wa kazi iliyofanywa imedhamiriwa na wanafunzi wenyewe.

Vipengele vya michoro vinawasilishwa kwa wanafunzi

Kazi 6 (Dakika 2).

Pata sehemu zenye ulinganifu wa mifumo hii.

Kuunganisha nyenzo zilizofunikwa, napendekeza kazi zifuatazo, zinazotolewa kwa dakika 15:

Taja vitu vyote sawa vya pembetatu KOR na KOM. Je! Ni nini kuonekana kwa pembetatu hizi?

2. Chora kwenye daftari pembetatu kadhaa za isosceles zilizo na msingi wa kawaida sawa na 6 cm.

3. Chora sehemu ya laini AB. Jenga laini moja kwa moja kwa sehemu ya mstari AB na kupita katikati yake. Alama ya alama C na D juu yake ili ACBD ya pembe nne iwe ya ulinganifu juu ya laini ya AB.

- Mawazo yetu ya asili juu ya fomu hiyo yalirudi enzi za mbali sana za Zama za kale za Jiwe - Paleolithic. Kwa mamia ya milenia ya kipindi hiki, watu waliishi kwenye mapango, katika hali ambazo hazikuwa tofauti sana na maisha ya wanyama. Wanadamu walitengeneza zana za uwindaji na uvuvi, lugha zilizoendelea ili kuwasiliana na kila mmoja, na mwishoni mwa enzi ya Paleolithic ilipamba uwepo wao, ikitengeneza kazi za sanaa, sanamu na michoro ambayo hisia nzuri ya fomu inapatikana.
Wakati kulikuwa na mabadiliko kutoka kwa mkusanyiko rahisi wa chakula kwenda kwa uzalishaji wake wa kazi, kutoka uwindaji na uvuvi hadi kilimo, ubinadamu huingia katika Umri mpya wa Jiwe, Neolithic.
Mtu wa Neolithic alikuwa na hisia nzuri ya sura ya kijiometri. Uchoraji na uchoraji wa vyombo vya udongo, utengenezaji wa mikeka ya mwanzi, vikapu, vitambaa, na baadaye - usindikaji wa metali uliendeleza maoni juu ya takwimu za sayari na anga. Mapambo ya Neolithic yalipendeza machoni, ikifunua usawa na ulinganifu.
- Ulinganifu unatokea wapi katika maumbile?

Jibu linalodhaniwa: mabawa ya vipepeo, mende, majani ya miti ...

- Ulinganifu unaweza kuzingatiwa katika usanifu pia. Wakati wa kujenga majengo, wajenzi hufuata ulinganifu.

Ndio maana majengo ni mazuri sana. Pia, mfano wa ulinganifu ni mtu, wanyama.

Kazi ya nyumbani:

1. Njoo na mapambo yako mwenyewe, onyesha kwenye karatasi ya A4 (unaweza kuichora kwa njia ya zulia).
2. Chora vipepeo, weka alama mahali ambapo vipengee vya ulinganifu vipo.

Dhana ya mwendo

Wacha kwanza tuchambue dhana kama harakati.

Ufafanuzi 1

Ramani ya ndege inaitwa mwendo wa ndege ikiwa ramani inaendelea umbali.

Kuna nadharia kadhaa zinazohusiana na dhana hii.

Nadharia 2

Pembetatu, wakati wa kusonga, huenda kwenye pembetatu sawa.

Nadharia 3

Takwimu yoyote, wakati wa kusonga, hupita kwenye takwimu sawa nayo.

Ulinganifu wa kati na katikati ni mifano ya mwendo. Wacha tuwazingatie kwa undani zaidi.

Ulinganifu wa axial

Ufafanuzi 2

Pointi $ A $ na $ A_1 $ huitwa ulinganifu kwa heshima na mstari $ a $ ikiwa mstari huu ni sawa na sehemu ya $ (AA) _1 $ na hupita katikati yake (Mtini. 1).

Picha 1.

Fikiria ulinganifu wa axial ukitumia mfano wa shida.

Mfano 1

Jenga pembetatu inayolingana kwa pembetatu hii ikilinganishwa na pande zake zozote.

Uamuzi.

Wacha tupewe pembetatu $ ABC $. Tutaunda ulinganifu wake kwa upande wa $ BC $. Upande wa $ BC $ chini ya ulinganifu wa axial utabadilika kuwa yenyewe (ifuatavyo kutoka kwa ufafanuzi). Elekeza $ A $ itahamia kwa kumweka $ A_1 $ kama ifuatavyo: $ (AA) _1 \\ bot BC $, $ (AH \u003d HA) _1 $. Pembetatu ya $ ABC $ itaenda kwa pembetatu ya $ A_1BC $ (Kielelezo 2).

Kielelezo 2.

Ufafanuzi 3

Takwimu inaitwa ulinganifu kwa heshima na mstari wa moja kwa moja $ $ ikiwa kila hatua ya ulinganifu wa takwimu hii iko kwenye takwimu hiyo hiyo (Kielelezo 3).

Kielelezo 3.

Kielelezo $ 3 $ inaonyesha mstatili. Ina ulinganifu wa axial juu ya kila kipenyo chake, na vile vile juu ya mistari miwili iliyonyooka inayopita katikati ya pande tofauti za mstatili huu.

Ulinganifu wa kati

Ufafanuzi 4

Pointi $ X $ na $ X_1 $ huitwa ulinganifu kwa heshima na $ O $ ikiwa nukta $ O $ ndio kitovu cha sehemu $ (XX) _1 $ (Mtini. 4).

Kielelezo 4.

Wacha tuchunguze ulinganifu wa kati kwenye mfano wa shida.

Mfano 2

Jenga pembetatu ya ulinganifu kwa pembetatu iliyopewa kwa wima yake yoyote.

Uamuzi.

Wacha tupewe pembetatu $ ABC $. Tutaunda ulinganifu wake kwa heshima ya vertex $ A $. Vertex $ A $ chini ya ulinganifu wa kati huenda yenyewe (ifuatavyo kutoka kwa ufafanuzi). Eleza $ B $ itaelekeza $ B_1 $ kama ifuatavyo $ (BA \u003d AB) _1 $, na uelekeze $ C $ itaelekeza $ C_1 $ kama ifuatavyo: $ (CA \u003d AC) _1 $. Pembetatu ya $ ABC $ itaenda kwa pembetatu ya $ (AB) _1C_1 $ (Kielelezo 5).

Kielelezo 5.

Ufafanuzi 5

Takwimu ni ya ulinganifu juu ya kiwango cha $ O $ ikiwa kila hatua ya ulinganifu ya takwimu hii iko katika takwimu hiyo hiyo (Mtini. 6).

Kielelezo 6.

Kielelezo $ 6 $ inaonyesha parallelogram. Ina ulinganifu wa kati juu ya makutano ya diagonal zake.

Mfano kazi.

Mfano 3

Wacha tupewe sehemu $ AB $. Jenga ulinganifu wake kwa heshima na laini ya $ l $ ambayo haiingii sehemu hii na kwa heshima ya $ C $ iliyolala kwenye mstari wa moja kwa moja $ l $.

Uamuzi.

Wacha tuchora hali ya shida.

Kielelezo 7.

Wacha kwanza tuchike ulinganifu wa axial kwa heshima na mstari wa moja kwa moja $ l $. Kwa kuwa ulinganifu wa axial ni mwendo, basi na Theorem $ 1 $, sehemu ya $ AB $ itapangwa kwenye sehemu ya $ A "B" $ sawa nayo. Ili kuijenga, tutafanya yafuatayo: chora mistari $ m \\ na \\ n $ kupitia alama $ A \\ na \\ B $, inayohusiana na mstari $ l $. Wacha $ m \\ cap l \u003d X, \\ n \\ cap l \u003d Y $. Kisha tunachora sehemu $ A "X \u003d AX $ na $ B" Y \u003d BY $.

Kielelezo 8.

Wacha tuonyeshe ulinganifu wa kati juu ya uhakika $ C $. Kwa kuwa ulinganifu wa kati ni mwendo, basi na Theorem $ 1 $, sehemu hiyo $ AB $ itapangwa kwa sehemu sawa na $ A "" B "" $. Ili kuijenga, tutafanya yafuatayo: chora mistari $ AC \\ na \\ BC $. Kisha tunachora sehemu $ A ^ ("") C \u003d AC $ na $ B ^ ("") C \u003d BC $.

Kielelezo 9.

Kwa hivyo, kwa kuzingatia jiometri: kuna aina kuu tatu za ulinganifu.

Mwanzoni, ulinganifu wa kati (au ulinganifu wa uhakika) - haya ni mabadiliko ya ndege (au nafasi), ambayo mahali pekee (nambari O ni kituo cha ulinganifu) inabaki mahali hapo, vidokezo vyote vinabadilisha msimamo wao: badala ya hatua A, tunapata alama A1 hatua hiyo O ni katikati ya sehemu AA1. Ili kujenga kielelezo F1, ulinganifu wa takwimu Ф ukilinganisha na kumweka O, unahitaji kuteka miale kupitia kila nukta ya takwimu - kupita kwenye hatua O (katikati ya ulinganifu), na kwenye miale hii weka alama ya ulinganifu kwa ile iliyochaguliwa na heshima kwa kumweka O. Seti ya alama zilizojengwa kwa njia hii zitatoa takwimu F1.

Takwimu zilizo na kituo cha ulinganifu zinavutia sana: na ulinganifu juu ya hatua O, hatua yoyote ya takwimu Φ inabadilishwa tena kuwa hatua fulani ya takwimu F. Kuna takwimu nyingi katika jiometri. Kwa mfano: sehemu (katikati ya sehemu ni kitovu cha ulinganifu), laini moja kwa moja (sehemu zake zote ni katikati ya ulinganifu wake), duara (katikati ya duara ni katikati ya ulinganifu), a mstatili (hatua ya makutano ya diagonals yake ni kituo cha ulinganifu). Kuna vitu vingi vya ulinganifu katikati katika hali ya uhai na isiyo na uhai (ujumbe wa wanafunzi). Mara nyingi watu wenyewe huunda vitu ambavyo vina kituo cha ulinganifu.rii (mifano kutoka kwa kazi za mikono, mifano kutoka kwa uhandisi wa mitambo, mifano kutoka kwa usanifu na mifano mingine mingi).

Pili, ulinganifu wa axial (au ulinganifu kuhusu laini moja kwa moja) - haya ni mabadiliko ya ndege (au nafasi), ambayo tu alama za mstari wa moja kwa moja p zinabaki mahali hapo (mstari huu wa moja kwa moja ni mhimili wa ulinganifu), wakati sehemu zingine zinabadilisha msimamo wao: badala ya alama B tunapata hatua kama hiyo B1 kwamba mstari wa moja kwa moja p ni alama ya katikati inayofanana na sehemu ya BB1 .. Ili kujenga kielelezo F1, ulinganifu wa takwimu F, ukilinganisha na laini ya moja kwa moja p, unahitaji kwa kila nukta ya takwimu F kujenga ulinganifu wa uhakika nayo kwa kuzingatia mstari wa moja kwa moja p. Seti ya alama hizi zote zilizojengwa hutoa takwimu inayotarajiwa F1. Kuna maumbo mengi ya kijiometri ambayo yana mhimili wa ulinganifu.

Mstatili una mbili, mraba una nne, na mduara una laini yoyote ya moja kwa moja inayopita katikati yake. Ikiwa unatazama kwa karibu herufi za alfabeti, basi kati yao unaweza kupata zile zilizo na usawa au wima, na wakati mwingine shoka zote mbili za ulinganifu. Vitu vyenye shoka za ulinganifu mara nyingi hupatikana katika hali ya kuishi na isiyo na uhai (ripoti za wanafunzi). Katika shughuli zake, mtu huunda vitu vingi (kwa mfano, mapambo) na shoka kadhaa za ulinganifu.

______________________________________________________________________________________________________

Tatu, ulinganifu wa planar (kioo) (au ulinganifu kuhusu ndege) - hii ni mabadiliko ya nafasi, ambayo sehemu tu za ndege moja huhifadhi eneo lao (α-ndege ya ulinganifu), vidokezo vingine vya nafasi hubadilisha msimamo wao: badala ya kumweka C, hatua C1 inapatikana kama kwamba ndege α hupita katikati ya sehemu CC1, inayofanana nayo.

Ili kujenga takwimu F1, ulinganifu wa takwimu F ikilinganishwa na ndege α, ni muhimu kwa kila nukta ya takwimu F kujenga alama za ulinganifu kwa heshima na α, wao katika seti yao huunda takwimu F1.

Mara nyingi, katika ulimwengu wa vitu na vitu karibu nasi, tunakutana na miili ya pande tatu. Na baadhi ya miili hii ina ndege za ulinganifu, wakati mwingine hata kadhaa. Na mtu mwenyewe katika shughuli zake (ujenzi, kazi za mikono, uundaji, ...) huunda vitu na ndege za ulinganifu.

Ikumbukwe kwamba pamoja na aina tatu zilizoorodheshwa za ulinganifu, kuna (katika usanifu)inayobebeka na inayozunguka, ambayo katika jiometri ni nyimbo za harakati kadhaa.