ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்குதல். பகுதி 1

காரணியாக்கம்சிக்கலான சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு பல்துறை தந்திரம். வலது பக்கத்தில் பூஜ்ஜியம் இருக்கும் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்கும் போது மனதில் வர வேண்டிய முதல் எண்ணம் இடது பக்கத்தை காரணியாக்க முயற்சிப்பதாகும்.

முக்கிய பட்டியலிடுவோம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்கும் முறைகள்:

• ஒரு பொதுவான காரணியின் அடைப்புக்குறி
• சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துதல்
• சதுர முக்கோணத்தின் காரணியாக்கல் சூத்திரத்தால்
• குழு முறை
• ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை இருசொல் மூலம் பிரித்தல்
• வரையறுக்கப்படாத குணக முறை

இந்த கட்டுரையில், முதல் மூன்று முறைகளில் நாம் வாழ்வோம், மீதமுள்ளவற்றை பின்வரும் கட்டுரைகளில் கருத்தில் கொள்வோம்.

1. அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்துக்கொள்வது.

பொதுவான காரணியைக் கணக்கிட, நீங்கள் முதலில் அதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். பொதுவான காரணிஅனைத்து குணகங்களின் மிகப்பெரிய பொதுவான வகுப்பிக்கு சமம்.

கடிதத்தின் பகுதிபொதுவான காரணியானது ஒவ்வொரு காலத்திலும் சிறிய அடுக்குடன் சேர்க்கப்பட்டுள்ள வெளிப்பாடுகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.

பொதுவான காரணியைப் பெறுவதற்கான திட்டம் இதுபோல் தெரிகிறது:

கவனம்!
அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள சொற்களின் எண்ணிக்கை அசல் வெளிப்பாட்டில் உள்ள சொற்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். விதிமுறைகளில் ஒன்று பொதுவான காரணியுடன் ஒத்துப்போனால், அதை பொதுவான காரணியால் பிரிக்கும்போது, ​​​​நாம் ஒற்றுமையைப் பெறுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.

காரணி ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை:

பொதுவான காரணியை வெளியேற்றவும். இதைச் செய்ய, முதலில் அதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

1. பல்லுறுப்புக்கோவையின் அனைத்து குணகங்களின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியைக் கண்டறியவும், அதாவது. எண்கள் 20, 35 மற்றும் 15. இது 5 க்கு சமம்.

2. மாறி அனைத்து சொற்களிலும் அடங்கியுள்ளது, மேலும் அதன் அடுக்குகளில் சிறியது 2. மாறி அனைத்து சொற்களிலும் அடங்கியுள்ளது, மேலும் அதன் அடுக்குகளில் சிறியது 3 ஆகும்.

மாறி இரண்டாவது வார்த்தையில் மட்டுமே உள்ளது, எனவே இது பொதுவான காரணியில் சேர்க்கப்படவில்லை.

எனவே பொதுவான காரணி

3. மேலே கொடுக்கப்பட்ட திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து காரணியை வெளியே எடுக்கிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு. சமன்பாட்டின் இடது பக்க காரணி. அடைப்புக்குறிக்குள் காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம்:

எனவே, எங்களுக்கு சமன்பாடு கிடைத்தது

ஒவ்வொரு காரணியையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்:

நாம் பெறுகிறோம் - முதல் சமன்பாட்டின் வேர்.

வேர்கள்:

பதில்: -1, 2, 4

2. சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காரணியாக்கம்.

நாம் காரணியாக்கப் போகும் பல்லுறுப்புக்கோவையில் உள்ள சொற்களின் எண்ணிக்கை மூன்றை விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருந்தால், சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த முயற்சிக்கிறோம்.

1. பல்லுறுப்புக்கோவை என்றால்இரண்டு சொற்களின் வேறுபாடு, பின்னர் நாங்கள் விண்ணப்பிக்க முயற்சிக்கிறோம் சதுர சூத்திரத்தின் வேறுபாடு:

அல்லது கனசதுர வேறுபாடு சூத்திரம்:

இங்கே கடிதங்கள் எண் அல்லது இயற்கணித வெளிப்பாட்டைக் குறிக்கவும்.

2. பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாக இருந்தால், ஒருவேளை அதைப் பயன்படுத்தி காரணியாக்கப்படலாம் க்யூப்ஸ் கூட்டு சூத்திரங்கள்:

3. பல்லுறுப்புக்கோவை மூன்று சொற்களைக் கொண்டிருந்தால், நாங்கள் விண்ணப்பிக்க முயற்சிக்கிறோம் சதுர தொகை சூத்திரம்:

அல்லது வர்க்க வேறுபாடு சூத்திரம்:

அல்லது நாங்கள் காரணியாக முயற்சிக்கிறோம் சதுர முக்கோண காரணியாக்கல் சூத்திரம்:

இங்கே மற்றும் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள்

உதாரணம் 3.காரணி வெளிப்பாடு:

தீர்வு. நமக்கு முன் இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகை உள்ளது. க்யூப்ஸ் தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த முயற்சிப்போம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் முதலில் ஒவ்வொரு சொல்லையும் சில வெளிப்பாடுகளின் கனசதுர வடிவில் குறிப்பிட வேண்டும், பின்னர் க்யூப்ஸின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

எடுத்துக்காட்டு 4.காரணி வெளிப்பாடு:

அறிவிப்பு. இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் சதுரங்களின் வித்தியாசம் நமக்கு முன்னால் உள்ளது. முதல் வெளிப்பாடு:, இரண்டாவது வெளிப்பாடு:

சதுரங்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, ஒத்த சொற்களைக் கொடுப்போம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

ஆன்லைன் கால்குலேட்டர்.
ஒரு இருபக்கத்தின் சதுரத்தின் தேர்வு மற்றும் சதுர முக்கோணத்தின் காரணியாக்கம்.

அந்த. \ (p, q \) மற்றும் \ (n, m \) எண்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல்கள் குறைக்கப்படுகின்றன.

நிரல் சிக்கலுக்கான பதிலை வழங்குவது மட்டுமல்லாமல், தீர்வு செயல்முறையையும் காட்டுகிறது.

இந்த திட்டம் இடைநிலைப் பள்ளிகளின் மூத்த மாணவர்களுக்கு சோதனைகள் மற்றும் தேர்வுகளுக்குத் தயாராகும் போது, ​​தேர்வுக்கு முன் அறிவைச் சரிபார்க்கும்போது, ​​கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதைக் கட்டுப்படுத்த பெற்றோருக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். அல்லது ஒரு ஆசிரியரை நியமிப்பது அல்லது புதிய பாடப்புத்தகங்களை வாங்குவது மிகவும் விலை உயர்ந்ததா? அல்லது உங்களது கணிதம் அல்லது அல்ஜீப்ரா வீட்டுப்பாடத்தை கூடிய விரைவில் முடிக்க வேண்டுமா? இந்த வழக்கில், விரிவான தீர்வுடன் எங்கள் நிரல்களையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

இந்த வழியில், நீங்கள் உங்கள் சொந்த கற்பித்தல் மற்றும் / அல்லது உங்கள் இளைய உடன்பிறப்புகளின் கற்பித்தலை நடத்தலாம், அதே நேரத்தில் பிரச்சினைகள் தீர்க்கப்படும் துறையில் கல்வியின் நிலை அதிகரிக்கிறது.

சதுர டிரினோமியலை உள்ளிடுவதற்கான விதிகளை நீங்கள் அறிந்திருக்கவில்லை என்றால், அவற்றை நீங்கள் நன்கு அறிந்திருக்குமாறு பரிந்துரைக்கிறோம்.

ஒரு சதுர பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்

எந்த லத்தீன் எழுத்தையும் மாறியாகப் பயன்படுத்தலாம்.
எடுத்துக்காட்டாக: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) போன்றவை.

எண்களை முழு அல்லது பின்ன எண்களாக உள்ளிடலாம்.
மேலும், பின்ன எண்களை ஒரு தசம வடிவில் மட்டுமல்ல, ஒரு சாதாரண பின்னத்தின் வடிவத்திலும் உள்ளிடலாம்.

தசம பின்னங்களை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்.
தசமப் பின்னங்களில், முழுப் பகுதியிலிருந்தும் பின்னப் பகுதியை ஒரு புள்ளி அல்லது கமாவால் பிரிக்கலாம்.
எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் இது போன்ற தசம பின்னங்களை உள்ளிடலாம்: 2.5x - 3.5x ^ 2

சாதாரண பின்னங்களை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்.
ஒரு முழு எண்ணை மட்டுமே எண், வகுப்பி மற்றும் ஒரு பகுதியின் முழுப் பகுதியாகப் பயன்படுத்த முடியும்.

வகுத்தல் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது.

ஒரு எண் பின்னத்தை உள்ளிடும்போது, ​​எண் வகுப்பிலிருந்து ஒரு பிரிவு அடையாளத்தால் பிரிக்கப்படுகிறது: /
முழு பகுதியும் பின்னத்திலிருந்து ஒரு ஆம்பர்சண்ட் மூலம் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது: &
உள்ளீடு: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5x + 1 / 7x ^ 2
முடிவு: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) x + \ frac (1) (7) x ^ 2 \)

வெளிப்பாடு உள்ளிடும்போது அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தலாம்... இந்த வழக்கில், தீர்க்கும் போது, ​​உள்ளிடப்பட்ட வெளிப்பாடு முதலில் எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டாக: 1/2 (x-1) (x + 1) - (5x-10 & 1/2)

விரிவான தீர்வு உதாரணம்

இருபக்கத்தின் சதுரத்தின் தேர்வு.$$ ax ^ 2 + bx + c \ rightarrow a (x + p) ^ 2 + q $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 = $$ $$ 2x ^ 2 + 2 \ cdot 2 \ cdot \ இடது ( \ frac (1) (2) \ வலது) \ cdot x + 2 \ cdot \ இடது (\ frac (1) (2) \ வலது) ^ 2- \ frac (9) (2) = $$ $$ 2 \ இடது (x ^ 2 + 2 \ cdot \ இடது (\ frac (1) (2) \ வலது) \ cdot x + \ இடது (\ frac (1) (2) \ வலது) ^ 2 \ வலது) - \ frac ( 9 ) (2) = $$ $$ 2 \ இடது (x + \ frac (1) (2) \ right) ^ 2- \ frac (9) (2) $$ பதில்:$$ 2x ^ 2 + 2x-4 = 2 \ இடது (x + \ frac (1) (2) \ வலது) ^ 2- \ frac (9) (2) $$ காரணியாக்கம்.$$ ax ^ 2 + bx + c \ rightarrow a (x + n) (x + m) $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 = $$
$$ 2 \ இடது (x ^ 2 + x-2 \ வலது) = $$
$$ 2 \ இடது (x ^ 2 + 2x-1x-1 \ cdot 2 \ வலது) = $$ $ 2 \ இடது (x \ இடது (x +2 \ வலது) -1 \ இடது (x +2 \ வலது ) \ வலது) = $$ $$ 2 \ இடது (x -1 \ வலது) \ இடது (x +2 \ வலது) $$ பதில்:$$ 2x ^ 2 + 2x-4 = 2 \ இடது (x -1 \ வலது) \ இடது (x +2 \ வலது) $$

இந்த சிக்கலை தீர்க்க தேவையான சில ஸ்கிரிப்ட்கள் ஏற்றப்படவில்லை, மேலும் நிரல் வேலை செய்யாமல் போகலாம்.
ஒருவேளை நீங்கள் AdBlock இயக்கப்பட்டிருக்கலாம்.
இந்த வழக்கில், அதை முடக்கி, பக்கத்தைப் புதுப்பிக்கவும்.

ஏனெனில் பிரச்சனையை தீர்க்க வேண்டும் என்று நிறைய பேர் இருக்கிறார்கள், உங்கள் கோரிக்கை வரிசையில் உள்ளது.
சில வினாடிகளுக்குப் பிறகு, தீர்வு கீழே தோன்றும்.
தயவு செய்து காத்திருக்கவும் நொடி...

நீங்கள் என்றால் தீர்மானத்தில் பிழை இருப்பதை கவனித்தார், பிறகு இதைப் பற்றி பின்னூட்டப் படிவத்தில் எழுதலாம்.
மறந்து விடாதீர்கள் எந்த பணியைக் குறிக்கவும்நீங்கள் என்ன முடிவு செய்யுங்கள் துறைகளில் நுழையுங்கள்.

எங்கள் விளையாட்டுகள், புதிர்கள், முன்மாதிரிகள்:

கொஞ்சம் கோட்பாடு.

ஒரு சதுர டிரினோமியலில் இருந்து ஒரு சதுர இருபக்கத்தை பிரித்தெடுத்தல்

சதுர டிரினோமியல் கோடாரி 2 + bx + c ஆனது a (x + p) 2 + q வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்டால், p மற்றும் q ஆகியவை உண்மையான எண்களாக இருந்தால், அவர்கள் அதைச் சொல்கிறார்கள் ஒரு சதுர முக்கோணத்தின், ஒரு இருபக்கத்தின் வர்க்கம்.

டிரினோமியலில் இருந்து 2x 2 + 12x + 14 இருபக்கத்தின் சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

\ (2x ^ 2 + 12x + 14 = 2 (x ^ 2 + 6x + 7) \)

இதைச் செய்ய, 6x ஐ 2 * 3 * x இன் பலனாகக் குறிப்பிடுகிறோம், பின்னர் 3 2 ஐக் கூட்டி கழிக்கிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:
$$ 2 (x ^ 2 + 2 \ cdot 3 \ cdot x + 3 ^ 2-3 ^ 2 + 7) = 2 ((x + 3) ^ 2-3 ^ 2 + 7) = $$ $$ = 2 ((x + 3) ^ 2-2) = 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

அந்த. நாங்கள் சதுர ட்ரினோமியலில் இருந்து சதுர பைனோமியலை தனிமைப்படுத்தியது, மற்றும் அதைக் காட்டு:
$$ 2x ^ 2 + 12x + 14 = 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

ஒரு சதுர முக்கோணத்தை காரணியாக்குதல்

சதுர டிரினோமியல் கோடாரி 2 + bx + c ஆனது a (x + n) (x + m) வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்டால், n மற்றும் m ஆகியவை உண்மையான எண்களாக இருந்தால், அறுவை சிகிச்சை செய்யப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது. சதுர முக்கோண காரணியாக்கம்.

இந்த மாற்றம் எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதை ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் காண்பிப்போம்.

சதுர ட்ரினோமியல் 2x 2 + 4x-6 காரணி.

அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து குணகம் a ஐ எடுப்போம், அதாவது. 2:
\ (2x ^ 2 + 4x-6 = 2 (x ^ 2 + 2x-3) \)

அடைப்புக்குறிக்குள் வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்.
இதைச் செய்ய, நாம் 2x ஐ 3x-1x என்றும், -3 ஐ -1 * 3 என்றும் குறிப்பிடுகிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:
$$ = 2 (x ^ 2 + 3 \ cdot x -1 \ cdot x -1 \ cdot 3) = 2 (x (x + 3) -1 \ cdot (x + 3)) = $$
$$ = 2 (x-1) (x + 3) $$

அந்த. நாங்கள் சதுர முக்கோணத்தை காரணியாக்கியது, மற்றும் அதைக் காட்டு:
$$ 2x ^ 2 + 4x-6 = 2 (x-1) (x + 3) $$

இந்த டிரினோமியலுடன் தொடர்புடைய இருபடி சமன்பாடு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்போது மட்டுமே ஒரு இருபடி முக்கோணத்தின் காரணியாக்கம் சாத்தியமாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க.
அந்த. எங்கள் விஷயத்தில், இருபடிச் சமன்பாடு 2x 2 + 4x-6 = 0 வேர்களைக் கொண்டிருந்தால், 2x 2 + 4x-6 என்ற முக்கோணத்தை காரணியாக்குவது சாத்தியமாகும். காரணியாக்கும் செயல்பாட்டில், 2x 2 + 4x-6 = 0 சமன்பாடு 1 மற்றும் -3 ஆகிய இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருப்பதைக் கண்டறிந்தோம். இந்த மதிப்புகளுக்கு, சமன்பாடு 2 (x-1) (x + 3) = 0 ஒரு உண்மையான சமத்துவமாக மாறும்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் காரணியாக்கம் என்பது ஒரு அடையாள மாற்றமாகும், இதன் விளைவாக ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை பல காரணிகளின் உற்பத்தியாக மாற்றப்படுகிறது - பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அல்லது மோனோமியல்கள்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளை காரணியாக்க பல வழிகள் உள்ளன.

முறை 1. அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்துக்கொள்வது.

இந்த மாற்றம் பரவலான பெருக்கல் விதியை அடிப்படையாகக் கொண்டது: ac + bc = c (a + b). மாற்றத்தின் சாராம்சம், பரிசீலனையில் உள்ள இரண்டு கூறுகளில் உள்ள பொதுவான காரணியைத் தேர்ந்தெடுத்து அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து "எடுப்பது" ஆகும்.

பல்லுறுப்புக்கோவை 28x 3 - 35x 4 காரணி.

தீர்வு.

1. 28x 3 மற்றும் 35x 4 தனிமங்களுக்கான பொதுவான வகுப்பியைக் கண்டறியவும். 28 மற்றும் 35க்கு இது 7 ஆக இருக்கும்; x 3 மற்றும் x 4 - x 3 க்கு. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எங்கள் பொதுவான காரணி 7x 3 ஆகும்.

2. உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் காரணிகளின் விளைபொருளாகக் குறிப்பிடப்படுகின்றன, அவற்றில் ஒன்று
7x 3: 28x 3 - 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. பொதுவான காரணியை வெளியேற்றவும்
7x 3: 28x 3 - 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 - 5x).

முறை 2. சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துதல். இந்த முறையில் தேர்ச்சி பெறுவதற்கான "திறன்" என்பது சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான சூத்திரங்களில் ஒன்றை வெளிப்பாட்டில் கவனிக்க வேண்டும்.

பல்லுறுப்புக்கோவை x 6 - 1 காரணி.

தீர்வு.

1. இந்த வெளிப்பாட்டிற்கு, சதுரங்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம். இதைச் செய்ய, x 6 ஐ (x 3) 2 ஆகவும், 1 ஐ 1 2 ஆகவும் குறிப்பிடுகிறோம், அதாவது. 1. வெளிப்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:
(x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. விளைந்த வெளிப்பாட்டிற்கு, க்யூப்ஸின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

அதனால்,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

முறை 3. குழுவாக்கம். குழுவாக்கும் முறையானது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் கூறுகளை ஒருங்கிணைத்து, அவற்றில் செயல்களைச் செய்வது எளிது (கூடுதல், கழித்தல், பொதுவான காரணியை அகற்றுதல்).

பல்லுறுப்புக்கோவை x 3 - 3x 2 + 5x - 15 காரணி.

தீர்வு.

1. கூறுகளை இவ்வாறு தொகுக்கலாம்: 1வது 2வது மற்றும் 3வது 4வது
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. விளைவாக வெளிப்பாட்டில், அடைப்புக்குறிகளுக்கு வெளியே பொதுவான காரணிகளை வைக்கவும்: முதல் வழக்கில் x 2 மற்றும் இரண்டாவது வழக்கில் 5.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. x - 3 என்ற பொதுவான காரணியைக் காட்டி, பெறவும்:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) (x 2 + 5).

அதனால்,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 = (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) ∙ (x 2 + 5 )

பொருளை சரி செய்வோம்.

பல்லுறுப்புக்கோவை a 2 - 7ab + 12b 2 காரணி.

தீர்வு.

1. 7ab என்ற மோனோமியலை கூட்டுத்தொகை 3ab + 4ab எனக் குறிப்பிடுவோம். வெளிப்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2.

அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து பெறுவோம்:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2.

2. பல்லுறுப்புக்கோவையின் கூறுகளை பின்வருமாறு தொகுக்கலாம்: 1வது 2வது மற்றும் 3வது 4வது. நாங்கள் பெறுகிறோம்:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணிகளை எடுத்துக் கொள்வோம்:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) = a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. பொதுவான காரணியை வெளியேற்று (a - 3b):
a (a - 3b) - 4b (a - 3b) = (a - 3 b) ∙ (a - 4b).

அதனால்,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a (a - 3b) - 4b (a - 3b) =
= (a - 3 b) ∙ (a - 4b).

வலைப்பதிவு தளம், பொருளின் முழு அல்லது பகுதி நகலுடன், மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

இயற்கணிதத்தில் "பல்லினவியல்" மற்றும் "பல்கோல் காரணியாக்கம்" என்ற கருத்துக்கள் மிகவும் பொதுவானவை, ஏனென்றால் பெரிய பல இலக்க எண்களுடன் கணக்கீடுகளை எளிதாகச் செய்ய நீங்கள் அவற்றை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இந்த கட்டுரை சிதைவின் பல வழிகளை விவரிக்கும். அவை அனைத்தும் பயன்படுத்த மிகவும் எளிமையானவை, ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட விஷயத்திலும் நீங்கள் சரியான ஒன்றைத் தேர்வு செய்ய வேண்டும்.

பல்லுறுப்புக்கோவை கருத்து

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது மோனோமியல்களின் கூட்டுத்தொகை, அதாவது பெருக்கல் செயல்பாட்டை மட்டுமே கொண்ட வெளிப்பாடுகள்.

எடுத்துக்காட்டாக, 2 * x * y என்பது ஒரு மோனோமியல், ஆனால் 2 * x * y + 25 என்பது 2 மோனோமியல்களைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்: 2 * x * y மற்றும் 25. இத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பைனோமியல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

சில நேரங்களில், பன்முக மதிப்புகளுடன் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வசதிக்காக, வெளிப்பாடு மாற்றப்பட வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான காரணிகளாக சிதைக்கப்பட வேண்டும், அதாவது எண்கள் அல்லது வெளிப்பாடுகளுக்கு இடையில் பெருக்கல் செயல் செய்யப்படுகிறது. ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக பல வழிகள் உள்ளன. அவை மிகவும் பழமையானவற்றிலிருந்து தொடங்குவதைக் கருத்தில் கொள்வது மதிப்பு, இது ஆரம்ப தரங்களில் கூட பயன்படுத்தப்படுகிறது.

குழுவாக்கம் (பொது பதிவு)

பொதுவாக குழுவாக்கும் முறையின் மூலம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை காரணிகளாக சிதைப்பதற்கான சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

ஒவ்வொரு குழுவிலும் ஒரு பொதுவான காரணி தோன்றும் வகையில் மோனோமியல்களை குழுவாக்குவது அவசியம். முதல் அடைப்புக்குறியில் இது காரணி c, மற்றும் இரண்டாவது அது d. அதை அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே வைப்பதற்காக இது செய்யப்பட வேண்டும், அதன் மூலம் கணக்கீடுகளை எளிதாக்குகிறது.

ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்திற்கான சிதைவு அல்காரிதம்

குழுவாக்கும் முறையின் அடிப்படையில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்குவதற்கான எளிய எடுத்துக்காட்டு கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

முதல் அடைப்புக்குறியில், நீங்கள் காரணி a உடன் விதிமுறைகளை எடுக்க வேண்டும், இது பொதுவானதாக இருக்கும், மற்றும் இரண்டாவது - காரணி b உடன். முடிக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டில் + மற்றும் - குறிகளைக் கவனியுங்கள். ஆரம்ப வெளிப்பாட்டில் இருந்த அடையாளத்தை மோனோமியலின் முன் வைக்கிறோம். அதாவது, நீங்கள் 25a வெளிப்பாட்டுடன் அல்ல, ஆனால் -25 என்ற வெளிப்பாட்டுடன் வேலை செய்ய வேண்டும். கழித்தல் அடையாளம் அதன் பின்னால் உள்ள வெளிப்பாட்டிற்கு "ஒட்டுவது" போன்றது மற்றும் கணக்கீடுகளில் அதை எப்போதும் கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

அடுத்த கட்டத்தில், அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே பொதுவான காரணியை நீங்கள் எடுக்க வேண்டும். இதற்குத்தான் குழுவாக்கம். அடைப்புக்குறியிலிருந்து வெளியே வைப்பது என்பது அடைப்புக்குறிக்குள் இருக்கும் அனைத்து சொற்களிலும் துல்லியமாக மீண்டும் மீண்டும் வரும் அனைத்து காரணிகளையும் அடைப்புக்குறிக்கு முன்னால் (பெருக்கல் குறியைத் தவிர்த்து) எழுதுவதாகும். அடைப்புக்குறிக்குள் 2 இல்லை, ஆனால் 3 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சொற்கள் இருந்தால், அவை ஒவ்வொன்றிலும் பொதுவான காரணி இருக்க வேண்டும், இல்லையெனில் அதை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்க முடியாது.

எங்கள் விஷயத்தில் - அடைப்புக்குறிக்குள் 2 சொற்கள் மட்டுமே. பொதுவான காரணி உடனடியாகத் தெரியும். முதல் அடைப்புக்குறி a, இரண்டாவது b. இங்கே நீங்கள் டிஜிட்டல் குணகங்களுக்கு கவனம் செலுத்த வேண்டும். முதல் அடைப்புக்குறியில், இரண்டு குணகங்களும் (10 மற்றும் 25) 5 இன் பெருக்கல்களாகும். இதன் பொருள் a மட்டுமல்ல, 5a ஐயும் அடைப்புக்குறியிலிருந்து எடுக்கலாம். அடைப்புக்குறிக்கு முன் 5a ஐ எழுதவும், பின்னர் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள ஒவ்வொரு சொற்களையும் வெளியே எடுக்கப்பட்ட பொதுவான காரணியால் வகுக்கவும், மேலும் அடைப்புக்குறிக்குள் குறிப்பை எழுதவும், குறிகளை மறக்காமல் + மற்றும் - இரண்டாவது அடைப்புக்குறிக்குள் அதையே செய்யவும், 7b ஐ அகற்றவும். , அத்துடன் 7 இன் 14 மற்றும் 35 பெருக்கல்.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

இது 2 சொற்களாக மாறியது: 5a (2c - 5) மற்றும் 7b (2c - 5). அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு பொதுவான காரணியைக் கொண்டுள்ளது (அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள அனைத்து வெளிப்பாடுகளும் இங்கே ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், அதாவது இது ஒரு பொதுவான காரணி): 2c - 5. இது அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்கப்பட வேண்டும், அதாவது 5a மற்றும் 7b இரண்டாவது அடைப்புக்குறிக்குள் இருக்கவும்:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

எனவே முழுமையான வெளிப்பாடு:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

இவ்வாறு, பல்லுறுப்புக்கோவை 10ac + 14bc - 25a - 35b 2 காரணிகளாக சிதைகிறது: (2c - 5) மற்றும் (5a + 7b). எழுதும் போது அவற்றுக்கிடையே உள்ள பெருக்கல் குறியைத் தவிர்க்கலாம்

சில நேரங்களில் இந்த வகை வெளிப்பாடுகள் உள்ளன: 5a 2 + 50a 3, இங்கே நீங்கள் அடைப்புக்குறியிலிருந்து a அல்லது 5a மட்டுமல்ல, 5a 2 ஐயும் கூட வைக்கலாம். நீங்கள் எப்போதும் சாத்தியமான மிகப்பெரிய பொதுவான காரணியைக் கணக்கிட முயற்சிக்க வேண்டும். எங்கள் விஷயத்தில், ஒவ்வொரு சொல்லையும் ஒரு பொதுவான காரணியால் வகுத்தால், நாம் பெறுவோம்:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(சமமான அடிப்படைகளுடன் பல டிகிரிகளின் பகுதியைக் கணக்கிடும் போது, ​​அடிப்படை தக்கவைக்கப்படுகிறது, மேலும் அடுக்கு கழிக்கப்படுகிறது). எனவே, அலகு அடைப்புக்குறிக்குள் இருக்கும் (எந்த சந்தர்ப்பத்திலும், அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள சொற்களில் ஒன்றை நீங்கள் எடுத்தால், அலகு எழுத மறக்காதீர்கள்) மற்றும் பிரிவின் அளவு: 10A. அது மாறிவிடும் என்று:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

சதுர சூத்திரங்கள்

கணக்கீடுகளின் வசதிக்காக, பல சூத்திரங்கள் பெறப்பட்டுள்ளன. அவை சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன மற்றும் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த சூத்திரங்கள் டிகிரிகளைக் கொண்ட காரணி பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு உதவுகின்றன. இது மற்றொரு சக்திவாய்ந்த காரணியாக்க நுட்பமாகும். எனவே, அவை இங்கே:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -"தொகையின் வர்க்கம்" என்று அழைக்கப்படும் சூத்திரம், ஒரு சதுரமாக விரிவாக்கத்தின் விளைவாக, அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்ட எண்களின் கூட்டுத்தொகை எடுக்கப்படுகிறது, அதாவது, இந்த தொகையின் மதிப்பு 2 மடங்கு பெருக்கப்படுகிறது, அதாவது அது ஒரு பெருக்கி.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - வித்தியாசத்தின் சதுரத்திற்கான சூத்திரம், இது முந்தையதைப் போன்றது. இதன் விளைவாக, சதுர சக்தியில் உள்ள அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வேறுபாடு.
• a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)- இது சதுரங்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரமாகும், ஏனெனில் ஆரம்பத்தில் பல்லுறுப்புக்கோவை எண்கள் அல்லது வெளிப்பாடுகளின் 2 சதுரங்களைக் கொண்டுள்ளது, அவற்றுக்கு இடையே கழித்தல் செய்யப்படுகிறது. ஒருவேளை, பெயரிடப்பட்ட மூன்றில், இது பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சதுர சூத்திரங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

அவர்களுக்கான கணக்கீடுகள் மிகவும் எளிமையானவை. உதாரணத்திற்கு:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - "தொகையின் சதுரம்" என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
2. 25x 2 என்பது 5x இன் சதுரம். 20xy என்பது 2 * (5x * 2y) இன் இரட்டிப்புப் பெருக்கமாகும், மேலும் 4y 2 என்பது 2y இன் வர்க்கமாகும்.
3. எனவே 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y).இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை 2 காரணிகளாக சிதைகிறது (காரணிகள் ஒரே மாதிரியானவை, எனவே, இது ஒரு சதுர சக்தியுடன் வெளிப்பாடாக எழுதப்பட்டுள்ளது).

வித்தியாசத்தின் சதுரத்தின் சூத்திரத்தின் படி செயல்கள் அதே வழியில் செய்யப்படுகின்றன. சூத்திரம் சதுரங்களின் வித்தியாசமாகவே உள்ளது. இந்த சூத்திரத்திற்கான எடுத்துக்காட்டுகளை வரையறுப்பது மற்றும் பிற வெளிப்பாடுகளில் கண்டுபிடிக்க மிகவும் எளிதானது. உதாரணத்திற்கு:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20) (5a + 20). 25a 2 = (5a) 2, மற்றும் 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). 36x 2 = (6x) 2, மற்றும் 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b) (c + 13b). 169b 2 = (13b) 2 முதல்

ஒவ்வொரு சொற்களும் சில வெளிப்பாட்டின் சதுரமாக இருப்பது முக்கியம். இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை சதுரங்களின் வேறுபாட்டின் சூத்திரத்தால் காரணியாக்கத்திற்கு உட்பட்டது. இதற்கு, இரண்டாவது பட்டம் எண்ணுக்கு மேல் இருக்க வேண்டும் என்பது அவசியமில்லை. பெரிய டிகிரிகளைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உள்ளன, ஆனால் இன்னும் இந்த சூத்திரங்களுக்கு பொருந்தும்.

a 8 + 10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2 * a 4 * 5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

இந்த எடுத்துக்காட்டில், ஒரு 8 ஐ (a 4) 2 ஆக குறிப்பிடலாம், அதாவது சில வெளிப்பாட்டின் வர்க்கம். 25 என்பது 5 2, மற்றும் 10a 4 - இது 2 * a 4 * 5 என்ற விதிமுறைகளின் இரட்டிப்பான தயாரிப்பு ஆகும். அதாவது, இந்த வெளிப்பாடு, பெரிய அடுக்குகளைக் கொண்ட டிகிரிகள் இருந்தபோதிலும், பின்னர் அவர்களுடன் வேலை செய்ய 2 காரணிகளாக சிதைக்கப்படலாம்.

கனசதுர சூத்திரங்கள்

க்யூப்ஸ் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளை காரணியாக்குவதற்கும் இதே சூத்திரங்கள் உள்ளன. அவை சதுரங்களைக் காட்டிலும் சற்று சிக்கலானவை:

• a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)- இந்த சூத்திரம் கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் ஆரம்ப வடிவத்தில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது ஒரு கனசதுரத்தில் இணைக்கப்பட்ட இரண்டு வெளிப்பாடுகள் அல்லது எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்.
• a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2) -முந்தையதை ஒத்த சூத்திரம் க்யூப்ஸ் வித்தியாசமாக குறிப்பிடப்படுகிறது.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - தொகையின் கனசதுரம், கணக்கீடுகளின் விளைவாக, எண்கள் அல்லது வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை பெறப்படுகிறது, அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்டு 3 மடங்கு பெருக்கப்படுகிறது, அதாவது ஒரு கனசதுரத்தில் அமைந்துள்ளது.
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -கணித செயல்பாடுகளின் சில அறிகுறிகளை (பிளஸ் மற்றும் மைனஸ்) மாற்றுவதன் மூலம் முந்தையவற்றுடன் ஒப்புமை மூலம் வரையப்பட்ட சூத்திரம் "வேறுபாடு கன சதுரம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது.

கடைசி இரண்டு சூத்திரங்கள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை காரணிகளாக மாற்றும் நோக்கத்திற்காக நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படவில்லை, ஏனெனில் அவை சிக்கலானவை, மேலும் அத்தகைய கட்டமைப்பிற்கு முற்றிலும் ஒத்திருக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மிகவும் அரிதானவை, எனவே அவை இந்த சூத்திரங்களின்படி சிதைக்கப்படலாம். ஆனால் நீங்கள் இன்னும் அவற்றை அறிந்து கொள்ள வேண்டும், ஏனென்றால் எதிர் திசையில் விஷயங்களைச் செய்யும்போது - அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்தும்போது அவை தேவைப்படும்.

கனசதுர சூத்திரங்களுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

ஒரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்: 64a 3 - 8b 3 = (4a) 3 - (2b) 3 = (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a * 2b + (2b) 2) = (4a - 2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2 )

இங்கே நாங்கள் மிகவும் எளிமையான எண்களை எடுத்துள்ளோம், எனவே 64a 3 (4a) 3 மற்றும் 8b 3 (2b) 3 என்பதை நீங்கள் உடனடியாகக் காணலாம். இவ்வாறு, இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை 2 காரணிகளால் க்யூப்ஸின் சூத்திர வேறுபாட்டால் சிதைக்கப்படுகிறது. க்யூப்ஸ் தொகைக்கான சூத்திரத்தின் படி செயல்கள் ஒப்புமை மூலம் செய்யப்படுகின்றன.

அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளையும் குறைந்தது ஒரு வழியிலாவது சிதைக்க முடியாது என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டியது அவசியம். ஆனால் ஒரு சதுரம் அல்லது கனசதுரத்தை விட அதிக டிகிரி கொண்டிருக்கும் வெளிப்பாடுகள் உள்ளன, ஆனால் அவை சுருக்கமான பெருக்கல் வடிவங்களிலும் சிதைக்கப்படலாம். உதாரணமாக: x 12 + 125y 3 = (x 4) 3 + (5y) 3 = (x 4 + 5y) * ((x 4) 2 - x 4 * 5y + (5y) 2) = (x 4 + 5y ) ( x 8 - 5x 4 y + 25y 2).

இந்த எடுத்துக்காட்டில் 12 டிகிரி உள்ளது. ஆனால் அது கூட க்யூப்ஸ் தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காரணியாக்கப்படலாம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் x 12 ஐ (x 4) 3 ஆகக் குறிப்பிட வேண்டும், அதாவது சில வெளிப்பாடுகளின் கனசதுரமாக. இப்போது, ​​a க்கு பதிலாக, நீங்கள் அதை சூத்திரத்தில் மாற்ற வேண்டும். சரி, 125y 3 என்ற வெளிப்பாடு கனசதுர 5y ஆகும். அடுத்து, நீங்கள் சூத்திரத்தின்படி ஒரு தயாரிப்பை உருவாக்கி கணக்கீடுகளை செய்ய வேண்டும்.

முதலில், அல்லது சந்தேகம் ஏற்பட்டால், நீங்கள் எப்போதும் பின் பெருக்கல் மூலம் சரிபார்க்கலாம். நீங்கள் பெறப்பட்ட வெளிப்பாட்டின் அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்தி, அத்தகைய சொற்களுடன் செயல்களைச் செய்ய வேண்டும். இந்த முறை மேலே உள்ள அனைத்து குறைப்பு முறைகளுக்கும் பொருந்தும்: இரண்டும் ஒரு பொதுவான காரணி மற்றும் குழுவுடன் வேலை செய்ய, அதே போல் க்யூப்ஸ் மற்றும் சதுர டிகிரிகளின் சூத்திரங்களின் மீதான செயல்களுக்கு.

இந்தப் பாடத்தில், பல்லுறுப்புக்கோவையை காரணிகளாக மாற்றுவதற்கு முன்னர் படித்த அனைத்து முறைகளையும் நினைவு கூர்வோம் மற்றும் அவற்றின் பயன்பாட்டின் உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம், கூடுதலாக, ஒரு புதிய முறையைப் படிப்போம் - ஒரு முழுமையான சதுரத்தை பிரித்தெடுக்கும் முறை மற்றும் அதை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். பல்வேறு பிரச்சனைகள்.

தீம்:காரணியாக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்

பாடம்:காரணியாக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள். முழு சதுர தேர்வு முறை. முறைகளின் சேர்க்கை

முன்னர் ஆய்வு செய்யப்பட்ட காரணிகளாக ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்குவதற்கான முக்கிய முறைகளை நினைவுபடுத்துவோம்:

அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுக்கும் முறை, அதாவது, பல்லுறுப்புக்கோவையின் அனைத்து விதிமுறைகளிலும் இருக்கும் அத்தகைய காரணி. ஒரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

ஒரு மோனோமியல் என்பது டிகிரி மற்றும் எண்களின் தயாரிப்பு என்பதை நினைவில் கொள்க. எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இரு உறுப்பினர்களும் சில பொதுவான, ஒரே மாதிரியான கூறுகளைக் கொண்டுள்ளனர்.

எனவே, அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம்:

;

ஒரு அடைப்புக்குறி மூலம் பெருக்கியை பெருக்குவதன் மூலம், கழித்தலின் சரியான தன்மையை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க.

தொகுத்தல் முறை. ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையில் பொதுவான காரணியை எடுப்பது எப்போதும் சாத்தியமில்லை. இந்த வழக்கில், நீங்கள் அதன் உறுப்பினர்களை குழுக்களாகப் பிரிக்க வேண்டும், இதனால் ஒவ்வொரு குழுவிலும் நீங்கள் ஒரு பொதுவான காரணியை எடுத்து அதை உடைக்க முயற்சி செய்யலாம், இதனால் குழுக்களில் உள்ள காரணிகளை எடுத்த பிறகு, முழு வெளிப்பாட்டிற்கும் ஒரு பொதுவான காரணி தோன்றும், மேலும் விரிவாக்கம் தொடரலாம். ஒரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

முதல் வார்த்தையை நான்காவது, இரண்டாவது ஐந்தாவது மற்றும் மூன்றாவது, முறையே, ஆறாவதுடன் தொகுக்கலாம்:

குழுக்களில் பொதுவான காரணிகளை எடுத்துக் கொள்வோம்:

வெளிப்பாடு ஒரு பொதுவான காரணியைக் கொண்டுள்ளது. அதை வெளியே எடுப்போம்:

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துதல். ஒரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

;

வெளிப்பாட்டை விரிவாக எழுதுவோம்:

வெளிப்படையாக, இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை இருப்பதால், அவற்றின் இரட்டிப்பான தயாரிப்பு அதிலிருந்து கழிக்கப்படுவதால், வேறுபாட்டின் வர்க்கத்திற்கான சூத்திரம் நமக்கு முன் உள்ளது. சூத்திரத்தின் மூலம் சுருக்கலாம்:

இன்று நாம் மற்றொரு முறையைக் கற்றுக்கொள்வோம் - முழு சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறை. இது கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டின் வர்க்கத்திற்கான சூத்திரங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது. அவற்றை நினைவு கூர்வோம்:

கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கத்திற்கான சூத்திரம் (வேறுபாடு);

இந்த சூத்திரங்களின் தனித்தன்மை என்னவென்றால், அவை இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் சதுரங்களையும் அவற்றின் இரட்டிப்பான தயாரிப்புகளையும் கொண்டிருக்கின்றன. ஒரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

வெளிப்பாட்டை எழுதுவோம்:

எனவே முதல் வெளிப்பாடு இது, மற்றும் இரண்டாவது.

கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் வர்க்கத்திற்கான சூத்திரத்தை உருவாக்க, வெளிப்பாடுகளின் இரட்டைப் பெருக்கல் போதாது. அதை கூட்டி கழிக்க வேண்டும்:

கூட்டுத்தொகையின் முழு சதுரத்தையும் சுருக்குவோம்:

இதன் விளைவாக வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்:

சதுரங்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் சதுரங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு அவற்றின் வேறுபாட்டின் மூலம் தயாரிப்பு மற்றும் கூட்டுத்தொகை என்பதை நினைவில் கொள்க:

எனவே, இந்த முறையானது, முதலில், சதுரத்தில் இருக்கும் a மற்றும் b வெளிப்பாடுகளை அடையாளம் காண வேண்டியது அவசியம், அதாவது, இந்த எடுத்துக்காட்டில் வெளிப்பாடுகளின் எந்த சதுரங்கள் உள்ளன என்பதை தீர்மானிக்க வேண்டும். அதன் பிறகு, இரட்டிப்பான தயாரிப்பு இருப்பதை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும், அது இல்லை என்றால், அதைச் சேர்த்து, கழிக்கவும், உதாரணத்தின் பொருள் இதிலிருந்து மாறாது, ஆனால் சதுரத்திற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்கப்படலாம். அத்தகைய வாய்ப்பு இருந்தால், கூட்டுத்தொகை அல்லது சதுரங்களின் வேறுபாடு மற்றும் வேறுபாடு.

எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்குச் செல்லலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 - காரணியாக்கு:

ஸ்கொயர் செய்யப்பட்ட வெளிப்பாடுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

அவற்றின் இரட்டிப்பான தயாரிப்பு என்னவாக இருக்க வேண்டும் என்பதை எழுதுவோம்:

தயாரிப்பை இரண்டு மடங்கு கூட்டி கழிக்கவும்:

கூட்டுத்தொகையின் முழு சதுரத்தையும் சுருக்கி, ஒத்தவற்றைக் கொடுப்போம்:

சதுரங்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தை எழுதுவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2 - சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்:

;

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் ஒரு முக்கோணம் உள்ளது. நாம் அதை காரணிப்படுத்த வேண்டும். வித்தியாசத்தின் சதுரத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எங்களிடம் முதல் வெளிப்பாட்டின் சதுரம் மற்றும் இரட்டிப்பான தயாரிப்பு உள்ளது, இரண்டாவது வெளிப்பாட்டின் வர்க்கம் இல்லை, அதைச் சேர்த்துக் கழிக்கவும்:

ஒரு முழு சதுரத்தை மடித்து இதே போன்ற சொற்களைக் கொடுப்போம்:

சதுரங்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

எனவே, எங்களிடம் சமன்பாடு உள்ளது

காரணிகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும் என்பதை நாம் அறிவோம். இந்த அடிப்படையில், நாங்கள் சமன்பாடுகளை உருவாக்குகிறோம்:

முதல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

இரண்டாவது சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

பதில்: அல்லது

;

முந்தைய உதாரணத்தைப் போலவே நாங்கள் தொடர்கிறோம் - வித்தியாசத்தின் சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.