முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள் சிறப்பு நிகழ்வுகள். முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

தலைப்பில் பாடம் மற்றும் விளக்கக்காட்சி: "எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது"

கூடுதல் பொருட்கள்
அன்பான பயனர்களே, உங்கள் கருத்துகள், மதிப்புரைகள், விருப்பங்களை மறக்க வேண்டாம்! அனைத்து பொருட்களும் வைரஸ் தடுப்பு நிரலால் சரிபார்க்கப்பட்டன.

1C இலிருந்து கிரேடு 10க்கான ஒருங்கிணைந்த ஆன்லைன் ஸ்டோரில் கையேடுகள் மற்றும் சிமுலேட்டர்கள்
வடிவவியலில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கிறோம். விண்வெளியில் கட்டுமானத்திற்கான ஊடாடும் பணிகள்
மென்பொருள் சூழல் "1C: கணிதக் கட்டமைப்பாளர் 6.1"

நாம் என்ன படிப்போம்:
1. முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் என்றால் என்ன?

3. முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான இரண்டு முக்கிய முறைகள்.
4. ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்.
5. எடுத்துக்காட்டுகள்.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் என்றால் என்ன?

நண்பர்களே, நாம் ஏற்கனவே ஆர்க்சைன், ஆர்க்கோசின், ஆர்க்டேன்ஜென்ட் மற்றும் ஆர்க்கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றைப் படித்திருக்கிறோம். இப்போது பொதுவாக முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம்.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் என்பது முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு மாறி கொண்டிருக்கும் சமன்பாடுகள் ஆகும்.

எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வடிவத்தை மீண்டும் செய்வோம்:

1) |a|≤ 1 எனில், cos(x) = a சமன்பாடு ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது:

X= ± ஆர்க்கோஸ்(a) + 2πk

2) |a|≤ 1 எனில், sin(x) = a சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு உள்ளது:

3) என்றால் |a| > 1, பின்னர் சமன்பாடு sin(x) = a மற்றும் cos(x) = a தீர்வுகள் இல்லை 4) tg(x)=a சமன்பாடு ஒரு தீர்வு உள்ளது: x=arctg(a)+ πk

5) சமன்பாடு ctg(x)=a ஒரு தீர்வு உள்ளது: x=arcctg(a)+ πk

அனைத்து சூத்திரங்களுக்கும் k என்பது ஒரு முழு எண்

எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன: T(kx+m)=a, T என்பது சில முக்கோணவியல் செயல்பாடு.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்: a) sin(3x)= √3/2

தீர்வு:

A) 3x=t ஐக் குறிப்போம், பின்னர் நமது சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்:

இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

மதிப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து நாம் பெறுகிறோம்: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

நமது மாறிக்கு வருவோம்: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

பிறகு x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

பதில்: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, இங்கு n என்பது ஒரு முழு எண். (-1)^n – n இன் சக்தியிலிருந்து ஒன்றைக் கழித்தல்.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் கூடுதல் எடுத்துக்காட்டுகள்.

தீர்வு:

A) இந்த முறை சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிடுவதற்கு நேரடியாகச் செல்வோம்:

X/5= ± ஆர்க்கோஸ்(1) + 2πk. பிறகு x/5= πk => x=5πk

பதில்: x=5πk, k என்பது ஒரு முழு எண்.

B) நாம் அதை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. நமக்குத் தெரியும்: ஆர்க்டான்(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

பதில்: x=2π/9 + πk/3, இங்கு k என்பது ஒரு முழு எண்.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்: cos(4x)= √2/2. மற்றும் பிரிவில் உள்ள அனைத்து வேர்களையும் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

நமது சமன்பாட்டை பொதுவான வடிவத்தில் தீர்ப்போம்: 4x= ± ஆர்க்கோஸ்(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

இப்போது நமது பிரிவில் என்ன வேர்கள் விழுகின்றன என்று பார்ப்போம். k இல் k=0, x= π/16 இல், நாம் கொடுக்கப்பட்ட பிரிவில் இருக்கிறோம்.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 உடன், மீண்டும் அடித்தோம்.
k=2க்கு, x= π/16+ π=17π/16, ஆனால் இங்கே நாம் அடிக்கவில்லை, அதாவது பெரிய k க்கு நாமும் அடிக்க மாட்டோம்.

பதில்: x= π/16, x= 9π/16

இரண்டு முக்கிய தீர்வு முறைகள்.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

தீர்வு:
எங்கள் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்தும் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்: t=tg(x).

மாற்றீட்டின் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்: t 2 + 2t -1 = 0

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்: t=-1 மற்றும் t=1/3

பின்னர் tg(x)=-1 மற்றும் tg(x)=1/3, நாம் எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், அதன் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

பதில்: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

தீர்வு:

அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

எங்கள் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x) மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: 2t 2 -3t - 2 = 0

எங்கள் இருபடி சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு வேர்கள்: t=2 மற்றும் t=-1/2

பின்னர் cos(x)=2 மற்றும் cos(x)=-1/2.

ஏனெனில் cosine ஒன்றுக்கு மேல் மதிப்புகளை எடுக்க முடியாது, பிறகு cos(x)=2க்கு வேர்கள் இல்லை.

cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

பதில்: x= ±2π/3 + 2πk

ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்.

படிவத்தின் சமன்பாடுகள்

இரண்டாம் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்.

முதல் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, அதை cos(x) ஆல் வகுக்கவும்: கோசைன் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால் அதை நீங்கள் வகுக்க முடியாது, இது அவ்வாறு இல்லை என்பதை உறுதி செய்வோம்:
cos(x)=0, பிறகு asin(x)+0=0 => sin(x)=0 என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஆனால் சைனும் கொசைனும் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, நமக்கு ஒரு முரண்பாடு கிடைக்கிறது, எனவே நாம் பாதுகாப்பாக பிரிக்கலாம். பூஜ்ஜியத்தால்.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:
எடுத்துக்காட்டு: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

தீர்வு:

பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம்: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

பின்னர் நாம் இரண்டு சமன்பாடுகளை தீர்க்க வேண்டும்:

Cos(x)=0 மற்றும் cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 இல் x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 சமன்பாட்டை கருத்தில் கொள்ளுங்கள், cos(x) மூலம் நமது சமன்பாட்டை வகுக்கவும்:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

பதில்: x= π/2 + πk மற்றும் x= -π/4+πk

இரண்டாம் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?
நண்பர்களே, இந்த விதிகளை எப்போதும் பின்பற்றுங்கள்!

1. குணகம் எதற்குச் சமம் என்பதைப் பார்க்கவும், a=0 எனில், நமது சமன்பாடு cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) வடிவத்தை எடுக்கும், இதற்கு முந்தைய ஸ்லைடில் உள்ள தீர்வுக்கான உதாரணம்

2. ஒரு

t=tg(x) என்ற மாறியை மாற்றி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

தீர்வு உதாரணம் எண்:3

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் கொசைன் சதுரத்தால் வகுப்போம்:

t=tg(x) மாறியை மாற்றுகிறோம்: t 2 + 2 t - 3 = 0

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்: t=-3 மற்றும் t=1

பிறகு: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

பதில்: x=-arctg(3) + πk மற்றும் x= π/4+ πk

தீர்வு உதாரணம் எண்:4

தீர்வு:
நமது வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்:

அத்தகைய சமன்பாடுகளை நாம் தீர்க்கலாம்: x= - π/4 + 2πk மற்றும் x=5π/4 + 2πk

பதில்: x= - π/4 + 2πk மற்றும் x=5π/4 + 2πk

தீர்வு உதாரணம் எண்: 5

தீர்வு:
நமது வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்:

tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்

எங்கள் இருபடி சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு வேர்களாக இருக்கும்: t=-2 மற்றும் t=1/2

பின்னர் நாம் பெறுவோம்: tg(2x)=-2 மற்றும் tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

பதில்: x=-arctg(2)/2 + πk/2 மற்றும் x=arctg(1/2)/2+ πk/2

சுயாதீன தீர்வுக்கான சிக்கல்கள்.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்: sin(3x)= √3/2. மற்றும் பிரிவில் உள்ள அனைத்து வேர்களையும் கண்டறியவும் [π/2; π].

3) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: கட்டில் 2 (x) + 2 கட்டில் (x) + 1 =0

4) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

உங்கள் பிரச்சனைக்கு விரிவான தீர்வை ஆர்டர் செய்யலாம்!!!

முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் (`sin x, cos x, tan x` அல்லது `ctg x`) அடையாளத்தின் கீழ் அறியப்படாத ஒரு சமத்துவம் ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அவற்றின் சூத்திரங்களை நாம் மேலும் கருத்தில் கொள்வோம்.

எளிமையான சமன்பாடுகள் `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, இங்கு `x` என்பது கண்டுபிடிக்க வேண்டிய கோணம், `a` என்பது எந்த எண்ணாகும். அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் ரூட் ஃபார்முலாக்களை எழுதுவோம்.

1. சமன்பாடு `sin x=a`.

`|a|>1` க்கு தீர்வுகள் இல்லை.

எப்போது `|அ| \leq 1` எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

ரூட் சூத்திரம்: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. சமன்பாடு `cos x=a`

`|a|>1` -க்கு - சைன் விஷயத்தில், உண்மையான எண்களுக்கு இடையே தீர்வுகள் இல்லை.

எப்போது `|அ| \leq 1` எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

ரூட் சூத்திரம்: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

வரைபடங்களில் சைன் மற்றும் கொசைனுக்கான சிறப்பு வழக்குகள்.

3. சமன்பாடு `tg x=a`

`a` இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.

ரூட் சூத்திரம்: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. சமன்பாடு `ctg x=a`

`a` இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.

ரூட் சூத்திரம்: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

அட்டவணையில் உள்ள முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்கள்

சைனுக்காக:
கொசைனுக்கு:
தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்டுக்கு:
தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள்:

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

எந்த முக்கோணவியல் சமன்பாட்டையும் தீர்ப்பது இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது:

• எளிமையானதாக மாற்றும் உதவியுடன்;
• மேலே எழுதப்பட்ட ரூட் சூத்திரங்கள் மற்றும் அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி பெறப்பட்ட எளிய சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி முக்கிய தீர்வு முறைகளைப் பார்ப்போம்.

இயற்கணித முறை.

இந்த முறை ஒரு மாறியை மாற்றி சமத்துவமாக மாற்றுவதை உள்ளடக்குகிறது.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

மாற்றீடு செய்யுங்கள்: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, பிறகு `2y^2-3y+1=0`,

நாம் வேர்களைக் கண்டறிகிறோம்: `y_1=1, y_2=1/2`, அதில் இருந்து இரண்டு நிகழ்வுகள் பின்பற்றப்படுகின்றன:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

பதில்: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

காரணியாக்கம்.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `sin x+cos x=1`.

தீர்வு. சமத்துவத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் இடது பக்கம் நகர்த்துவோம்: `sin x+cos x-1=0`. பயன்படுத்தி, இடது பக்கத்தை மாற்றி, காரணியாக்குகிறோம்:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

பதில்: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு குறைப்பு

முதலில், இந்த முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை இரண்டு வடிவங்களில் ஒன்றாகக் குறைக்க வேண்டும்:

`a sin x+b cos x=0` (முதல் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு) அல்லது `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (இரண்டாம் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு).

பின்னர் இரண்டு பகுதிகளையும் `cos x \ne 0` - முதல் வழக்கில், மற்றும் `cos^2 x \ne 0` - இரண்டாவதாகப் பிரிக்கவும். `tg x`க்கான சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்: `a tg x+b=0` மற்றும் `a tg^2 x + b tg x +c =0`, இவை அறியப்பட்ட முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்பட வேண்டும்.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

தீர்வு. வலது பக்கத்தை `1=sin^2 x+cos^2 x` என எழுதுவோம்:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

இது இரண்டாவது பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடு ஆகும், அதன் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை `cos^2 x \ne 0` ஆல் வகுக்கிறோம், நாம் பெறுகிறோம்:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. மாற்றாக `tg x=t` ஐ அறிமுகப்படுத்துவோம், இதன் விளைவாக `t^2 + t - 2=0`. இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் `t_1=-2` மற்றும் `t_2=1` ஆகும். பிறகு:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

பதில். `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

அரை கோணத்திற்கு நகரும்

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

தீர்வு. இரட்டை கோண சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம், இதன் விளைவாக: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

மேலே விவரிக்கப்பட்ட இயற்கணித முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

பதில். `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

துணை கோணத்தின் அறிமுகம்

முக்கோணவியல் சமன்பாட்டில் `a sin x + b cos x =c`, இதில் a,b,c குணகங்கள் மற்றும் x என்பது மாறி, இரு பக்கங்களையும் `sqrt (a^2+b^2)` ஆல் வகுக்கவும்:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =``\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

இடதுபுறத்தில் உள்ள குணகங்கள் சைன் மற்றும் கொசைன் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது அவற்றின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை 1 க்கு சமம் மற்றும் அவற்றின் தொகுதிகள் 1 ஐ விட அதிகமாக இல்லை. அவற்றைப் பின்வருமாறு குறிப்பிடுவோம்: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, பின்னர்:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

பின்வரும் உதாரணத்தை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்:

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `3 sin x+4 cos x=2`.

தீர்வு. சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் `sqrt (3^2+4^2)` ​​ஆல் வகுத்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 பாவம் x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` என்பதைக் குறிப்போம். `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` என்பதால், `\varphi=arcsin 4/5`ஐ துணைக் கோணமாக எடுத்துக்கொள்வோம். பின்னர் எங்கள் சமத்துவத்தை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

சைனுக்கான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், பின்வரும் வடிவத்தில் நமது சமத்துவத்தை எழுதுகிறோம்:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

பதில். `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

பின்னம் பகுத்தறிவு முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்

இவை பின்னங்களுடனான சமத்துவங்களாகும், அதன் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கின்றன.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

தீர்வு. சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தை `(1+cos x)` ஆல் பெருக்கி வகுக்கவும். இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்க முடியாது என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன் செய்வோம்: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. பிறகு `sin x=0` அல்லது `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, தீர்வுகள் `x=2\pi n, n \in Z` மற்றும் `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

பதில். `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

முக்கோணவியல், மற்றும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள், வடிவியல், இயற்பியல் மற்றும் பொறியியலின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து பகுதிகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. 10 ஆம் வகுப்பில் படிப்பது தொடங்குகிறது, ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான பணிகள் எப்போதும் உள்ளன, எனவே முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் அனைத்து சூத்திரங்களையும் நினைவில் வைக்க முயற்சிக்கவும் - அவை நிச்சயமாக உங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்!

இருப்பினும், நீங்கள் அவற்றை மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை, முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், சாரத்தை புரிந்துகொண்டு அதைப் பெற முடியும். இது தோன்றுவது போல் கடினம் அல்ல. வீடியோவைப் பார்த்து நீங்களே பாருங்கள்.

முக்கோணவியலின் அடிப்படை சூத்திரங்கள் பற்றிய அறிவு தேவை - சைன் மற்றும் கொசைனின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை, சைன் மற்றும் கொசைன் மற்றும் பிறவற்றின் மூலம் தொடுகோடு வெளிப்பாடு. அவற்றை மறந்துவிட்டவர்கள் அல்லது அவர்களை அறியாதவர்கள், "" கட்டுரையைப் படிக்க பரிந்துரைக்கிறோம்.
எனவே, அடிப்படை முக்கோணவியல் சூத்திரங்களை நாங்கள் அறிவோம், அவற்றை நடைமுறையில் பயன்படுத்த வேண்டிய நேரம் இது. முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதுசரியான அணுகுமுறையுடன், இது ஒரு அற்புதமான செயலாகும், எடுத்துக்காட்டாக, ரூபிக் கனசதுரத்தைத் தீர்ப்பது போன்றது.

பெயரின் அடிப்படையில், முக்கோணவியல் சமன்பாடு என்பது முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் தெரியாத ஒரு சமன்பாடு என்பது தெளிவாகிறது.
எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுபவை உள்ளன. அவை எப்படி இருக்கும் என்பது இங்கே: sinx = a, cos x = a, tan x = a. கருத்தில் கொள்வோம் அத்தகைய முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது, தெளிவுக்காக நாம் ஏற்கனவே தெரிந்த முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

sinx = a

cos x = a

டான் x = a

கட்டில் x = a

எந்த முக்கோணவியல் சமன்பாடும் இரண்டு நிலைகளில் தீர்க்கப்படுகிறது: நாம் சமன்பாட்டை அதன் எளிய வடிவத்திற்குக் குறைத்து, அதை ஒரு எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாடாக தீர்க்கிறோம்.
முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படும் 7 முக்கிய முறைகள் உள்ளன.

1. மாறி மாற்று மற்றும் மாற்று முறை

2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

குறைப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

cos(x + /6) ஐ y ஆல் மாற்றவும், எளிமைப்படுத்தவும் வழக்கமான இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறவும்:

2y 2 – 3y + 1 + 0

இதன் வேர்கள் y 1 = 1, y 2 = 1/2

இப்போது தலைகீழ் வரிசையில் செல்லலாம்

y இன் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை நாங்கள் மாற்றுகிறோம் மற்றும் இரண்டு பதில் விருப்பங்களைப் பெறுகிறோம்:

2. காரணியாக்கம் மூலம் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

sin x + cos x = 1 சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

எல்லாவற்றையும் இடதுபுறமாக நகர்த்துவோம், இதனால் 0 வலதுபுறத்தில் இருக்கும்:

sin x + cos x – 1 = 0

சமன்பாட்டை எளிதாக்க மேலே விவாதிக்கப்பட்ட அடையாளங்களைப் பயன்படுத்துவோம்:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

காரணியாக்குவோம்:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

நாம் இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்

3. ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு குறைப்பு

ஒரு சமன்பாடு சைன் மற்றும் கோசைனைப் பொறுத்து ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், அதன் அனைத்து விதிமுறைகளும் ஒரே கோணத்தின் ஒரே சக்தியின் சைன் மற்றும் கொசைனுடன் தொடர்புடையதாக இருந்தால். ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, பின்வருமாறு தொடரவும்:

a) அதன் அனைத்து உறுப்பினர்களையும் இடது பக்கத்திற்கு மாற்றவும்;

b) அனைத்து பொதுவான காரணிகளையும் அடைப்புக்குறிக்குள் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்;

c) அனைத்து காரணிகளையும் அடைப்புக்குறிகளையும் 0க்கு சமன்;

ஈ) குறைந்த பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு அடைப்புக்குறிக்குள் பெறப்படுகிறது, இது அதிக அளவு சைன் அல்லது கொசைனாக பிரிக்கப்படுகிறது;

e) tgக்கான சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

sin 2 x + cos 2 x = 1 என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வலதுபுறத்தில் திறந்த இரண்டை அகற்றுவோம்:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x ஆல் வகுக்க:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x ஐ y உடன் மாற்றி இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறவும்:

y 2 + 4y +3 = 0, இதன் வேர்கள் y 1 =1, y 2 = 3

இங்கிருந்து அசல் சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு தீர்வுகளைக் காணலாம்:

x 2 = ஆர்க்டான் 3 + கே

4. அரை கோணத்திற்கு மாற்றுவதன் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

3sin x – 5cos x = 7 சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

x/2 க்கு செல்லலாம்:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

எல்லாவற்றையும் இடது பக்கம் நகர்த்துவோம்:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos (x/2) ஆல் வகுக்கவும்:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. துணை கோணத்தின் அறிமுகம்

கருத்தில் கொள்ள, படிவத்தின் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம்: a sin x + b cos x = c,

இதில் a, b, c என்பது சில தன்னிச்சையான குணகங்கள், மற்றும் x என்பது தெரியவில்லை.

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பிரிப்போம்:



இப்போது சமன்பாட்டின் குணகங்கள், முக்கோணவியல் சூத்திரங்களின்படி, சின் மற்றும் காஸ் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது: அவற்றின் மாடுலஸ் 1 க்கு மேல் இல்லை மற்றும் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை = 1. அவற்றை முறையே காஸ் மற்றும் சின் எனக் குறிப்பிடுவோம், எங்கே - இது துணை கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:

cos * sin x + sin * cos x = C

அல்லது sin(x + ) = C

இந்த எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு

x = (-1) k * arcsin C - + k, எங்கே



காஸ் மற்றும் சின் குறியீடுகள் ஒன்றுக்கொன்று மாறக்கூடியவை என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

sin 3x – cos 3x = 1 சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

இந்த சமன்பாட்டில் உள்ள குணகங்கள்:

a = , b = -1, எனவே இரு பக்கங்களையும் = 2 ஆல் வகுக்கவும்

பலவற்றை தீர்க்கும் போது கணித சிக்கல்கள், குறிப்பாக 10 ஆம் வகுப்புக்கு முன் நிகழும் செயல்கள், இலக்கை அடைய வழிவகுக்கும் செயல்களின் வரிசை தெளிவாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. அத்தகைய சிக்கல்களில், எடுத்துக்காட்டாக, நேரியல் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகள், நேரியல் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகள், பகுதி சமன்பாடுகள் மற்றும் இருபடிக்கு குறைக்கும் சமன்பாடுகள் ஆகியவை அடங்கும். குறிப்பிடப்பட்ட ஒவ்வொரு சிக்கலையும் வெற்றிகரமாக தீர்ப்பதற்கான கொள்கை பின்வருமாறு: நீங்கள் எந்த வகையான சிக்கலை தீர்க்கிறீர்கள் என்பதை நீங்கள் நிறுவ வேண்டும், விரும்பிய முடிவுக்கு வழிவகுக்கும் செயல்களின் தேவையான வரிசையை நினைவில் கொள்ளுங்கள், அதாவது. பதில் மற்றும் இந்த வழிமுறைகளை பின்பற்றவும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட சிக்கலைத் தீர்ப்பதில் வெற்றி அல்லது தோல்வி முக்கியமாக தீர்க்கப்படும் சமன்பாட்டின் வகை எவ்வளவு சரியாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது, அதன் தீர்வின் அனைத்து நிலைகளின் வரிசையும் எவ்வளவு சரியாக மீண்டும் உருவாக்கப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்தது என்பது வெளிப்படையானது. நிச்சயமாக, இந்த விஷயத்தில் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்கள் மற்றும் கணக்கீடுகளைச் செய்வதற்கான திறன்கள் அவசியம்.

உடன் நிலைமை வேறு முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்.சமன்பாடு முக்கோணவியல் என்பதை நிறுவுவது கடினம் அல்ல. சரியான பதிலுக்கு வழிவகுக்கும் செயல்களின் வரிசையை தீர்மானிக்கும்போது சிரமங்கள் எழுகின்றன.

சமன்பாட்டின் தோற்றத்தின் அடிப்படையில் அதன் வகையைத் தீர்மானிப்பது சில நேரங்களில் கடினம். சமன்பாட்டின் வகையை அறியாமல், பல டஜன் முக்கோணவியல் சூத்திரங்களிலிருந்து சரியான ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்பது கிட்டத்தட்ட சாத்தியமற்றது.

முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, நீங்கள் முயற்சிக்க வேண்டும்:

1. சமன்பாட்டில் உள்ள அனைத்து செயல்பாடுகளையும் "ஒரே கோணங்களுக்கு" கொண்டு வரவும்;
2. சமன்பாட்டை "ஒரே மாதிரியான செயல்பாடுகளுக்கு" கொண்டு வாருங்கள்;
3. சமன்பாட்டின் இடது பக்க காரணி, முதலியன.

கருத்தில் கொள்வோம் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை முறைகள்.

I. எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளுக்கான குறைப்பு

தீர்வு வரைபடம்

படி 1.அறியப்பட்ட கூறுகளின் அடிப்படையில் ஒரு முக்கோணவியல் செயல்பாட்டை வெளிப்படுத்தவும்.

படி 2.சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி செயல்பாட்டு வாதத்தைக் கண்டறியவும்:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

பாவம் x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

டான் x = a; x = ஆர்க்டான் a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

படி 3.தெரியாத மாறியைக் கண்டறியவும்.

உதாரணமாக.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

தீர்வு.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

பதில்: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. மாறி மாற்று

தீர்வு வரைபடம்

படி 1.முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளில் ஒன்றைப் பொறுத்து சமன்பாட்டை இயற்கணித வடிவத்திற்குக் குறைக்கவும்.

படி 2.இதன் விளைவாக வரும் செயல்பாட்டை t மாறியால் குறிக்கவும் (தேவைப்பட்டால், t மீது கட்டுப்பாடுகளை அறிமுகப்படுத்தவும்).

படி 3.இதன் விளைவாக வரும் இயற்கணித சமன்பாட்டை எழுதி தீர்க்கவும்.

படி 4.தலைகீழ் மாற்றீடு செய்யுங்கள்.

படி 5.எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

உதாரணமாக.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

தீர்வு.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) பாவம் (x/2) = t, எங்கே |t| ≤ 1.

3) 2டி 2 + 5டி + 3 = 0;

t = 1 அல்லது e = -3/2, நிபந்தனையை |t| பூர்த்தி செய்யவில்லை ≤ 1.

4) பாவம்(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

பதில்: x = π + 4πn, n Є Z.

III. சமன்பாடு வரிசை குறைப்பு முறை

தீர்வு வரைபடம்

படி 1.பட்டத்தைக் குறைப்பதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, இந்த சமன்பாட்டை நேரியல் ஒன்றுடன் மாற்றவும்:

பாவம் 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

படி 2. I மற்றும் II முறைகளைப் பயன்படுத்தி விளைவாக சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

உதாரணமாக.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

தீர்வு.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 காஸ் 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

பதில்: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்

தீர்வு வரைபடம்

படி 1.இந்த சமன்பாட்டை படிவத்தில் குறைக்கவும்

a) a sin x + b cos x = 0 (முதல் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு)

அல்லது பார்வைக்கு

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (இரண்டாம் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு).

படி 2.சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் வகுக்கவும்

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

டான் xக்கான சமன்பாட்டைப் பெறவும்:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

படி 3.அறியப்பட்ட முறைகளைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

உதாரணமாக.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

தீர்வு.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) tg x = t, பிறகு

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 அல்லது t = -4, அதாவது

tg x = 1 அல்லது tg x = -4.

முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து x = π/4 + πn, n Є Z; இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

பதில்: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

வி. முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு சமன்பாட்டை மாற்றும் முறை

தீர்வு வரைபடம்

படி 1.சாத்தியமான அனைத்து முக்கோணவியல் சூத்திரங்களையும் பயன்படுத்தி, இந்த சமன்பாட்டை I, II, III, IV முறைகள் மூலம் தீர்க்கப்படும் சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கவும்.

படி 2.அறியப்பட்ட முறைகளைப் பயன்படுத்தி பெறப்பட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

உதாரணமாக.

பாவம் x + பாவம் 2x + பாவம் 3x = 0.

தீர்வு.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

பாவம் 2x = 0 அல்லது 2cos x + 1 = 0;

முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து 2x = π/2 + πn, n Є Z; இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து cos x = -1/2.

எங்களிடம் x = π/4 + πn/2, n Є Z; இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

இதன் விளைவாக, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

பதில்: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் திறனும் திறமையும் மிக அதிகம் முக்கியமானது, அவர்களின் வளர்ச்சிக்கு மாணவர் மற்றும் ஆசிரியரின் தரப்பில் குறிப்பிடத்தக்க முயற்சி தேவைப்படுகிறது.

ஸ்டீரியோமெட்ரி, இயற்பியல் போன்றவற்றின் பல சிக்கல்கள் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வோடு தொடர்புடையவை.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் பொதுவாக கணிதம் மற்றும் தனிப்பட்ட வளர்ச்சியைக் கற்கும் செயல்பாட்டில் முக்கிய இடத்தைப் பெறுகின்றன.

இன்னும் கேள்விகள் உள்ளதா? முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்று தெரியவில்லையா?
ஆசிரியரின் உதவியைப் பெற, பதிவு செய்யவும்.
முதல் பாடம் இலவசம்!

இணையதளம், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​அசல் மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

"Get an A" என்ற வீடியோ பாடத்தில் 60-65 புள்ளிகளுடன் கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெற தேவையான அனைத்து தலைப்புகளும் அடங்கும். கணிதத்தில் சுயவிவர ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் 1-13 அனைத்து பணிகளும் முழுமையாக. கணிதத்தில் அடிப்படை ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தேர்ச்சி பெறவும் ஏற்றது. நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் 90-100 புள்ளிகளுடன் தேர்ச்சி பெற விரும்பினால், நீங்கள் பகுதி 1 ஐ 30 நிமிடங்களில் மற்றும் தவறுகள் இல்லாமல் தீர்க்க வேண்டும்!

10-11 வகுப்புகளுக்கான ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான தயாரிப்பு பாடநெறி, அத்துடன் ஆசிரியர்களுக்கும். கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பகுதி 1 (முதல் 12 சிக்கல்கள்) மற்றும் சிக்கல் 13 (முக்கோணவியல்) ஆகியவற்றில் நீங்கள் தீர்க்க வேண்டிய அனைத்தும். இது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் 70 புள்ளிகளுக்கு மேல் உள்ளது, மேலும் 100-புள்ளி மாணவரோ அல்லது மனிதநேய மாணவரோ அவர்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது.

தேவையான அனைத்து கோட்பாடு. ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் விரைவான தீர்வுகள், ஆபத்துகள் மற்றும் ரகசியங்கள். FIPI பணி வங்கியின் பகுதி 1 இன் அனைத்து தற்போதைய பணிகளும் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2018 இன் தேவைகளுடன் பாடநெறி முழுமையாக இணங்குகிறது.

பாடநெறி 5 பெரிய தலைப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றும் 2.5 மணிநேரம். ஒவ்வொரு தலைப்பும் புதிதாக, எளிமையாகவும் தெளிவாகவும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

நூற்றுக்கணக்கான ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகள். வார்த்தை சிக்கல்கள் மற்றும் நிகழ்தகவு கோட்பாடு. சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய மற்றும் எளிதாக நினைவில் கொள்ளக்கூடிய அல்காரிதம்கள். வடிவியல். கோட்பாடு, குறிப்பு பொருள், அனைத்து வகையான ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகளின் பகுப்பாய்வு. ஸ்டீரியோமெட்ரி. தந்திரமான தீர்வுகள், பயனுள்ள ஏமாற்றுத் தாள்கள், இடஞ்சார்ந்த கற்பனையின் வளர்ச்சி. முக்கோணவியல் முதல் பிரச்சனை வரை 13. சிக்கலுக்கு பதிலாக புரிந்து கொள்ளுதல். சிக்கலான கருத்துகளின் தெளிவான விளக்கங்கள். இயற்கணிதம். வேர்கள், சக்திகள் மற்றும் மடக்கைகள், செயல்பாடு மற்றும் வழித்தோன்றல். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பகுதி 2 இன் சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை.