முக்கோணவியல் கோட்டான்ஜென்ட் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை முறைகள்

முக்கோணவியலின் அடிப்படை சூத்திரங்கள் பற்றிய அறிவு தேவை - சைன் மற்றும் கொசைனின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை, சைன் மற்றும் கொசைன் மற்றும் பிறவற்றின் மூலம் தொடுகோடு வெளிப்பாடு. அவற்றை மறந்துவிட்டவர்கள் அல்லது அவர்களை அறியாதவர்கள், "" கட்டுரையைப் படிக்க பரிந்துரைக்கிறோம்.
எனவே, அடிப்படை முக்கோணவியல் சூத்திரங்களை நாங்கள் அறிவோம், அவற்றை நடைமுறையில் பயன்படுத்த வேண்டிய நேரம் இது. முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதுசரியான அணுகுமுறையுடன், இது ஒரு அற்புதமான செயலாகும், எடுத்துக்காட்டாக, ரூபிக் கனசதுரத்தைத் தீர்ப்பது போன்றது.

பெயரின் அடிப்படையில், முக்கோணவியல் சமன்பாடு என்பது முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் தெரியாத ஒரு சமன்பாடு என்பது தெளிவாகிறது.
எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுபவை உள்ளன. அவை எப்படி இருக்கும் என்பது இங்கே: sinx = a, cos x = a, tan x = a. கருத்தில் கொள்வோம் அத்தகைய முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது, தெளிவுக்காக நாம் ஏற்கனவே தெரிந்த முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

sinx = a

cos x = a

டான் x = a

கட்டில் x = a

எந்த முக்கோணவியல் சமன்பாடும் இரண்டு நிலைகளில் தீர்க்கப்படுகிறது: நாம் சமன்பாட்டை அதன் எளிய வடிவத்திற்குக் குறைத்து, அதை ஒரு எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாடாக தீர்க்கிறோம்.
முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படும் 7 முக்கிய முறைகள் உள்ளன.

1. மாறி மாற்று மற்றும் மாற்று முறை

2cos 2 (x + /6) – 3sin(/3 – x) +1 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

குறைப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

cos(x + /6) ஐ y ஆல் மாற்றவும், எளிமைப்படுத்தவும் வழக்கமான இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறவும்:

2y 2 – 3y + 1 + 0

இதன் வேர்கள் y 1 = 1, y 2 = 1/2

இப்போது தலைகீழ் வரிசையில் செல்லலாம்

y இன் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை நாங்கள் மாற்றுகிறோம் மற்றும் இரண்டு பதில் விருப்பங்களைப் பெறுகிறோம்:

2. காரணியாக்கம் மூலம் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

sin x + cos x = 1 சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

எல்லாவற்றையும் இடதுபுறமாக நகர்த்துவோம், இதனால் 0 வலதுபுறத்தில் இருக்கும்:

sin x + cos x – 1 = 0

சமன்பாட்டை எளிதாக்க மேலே விவாதிக்கப்பட்ட அடையாளங்களைப் பயன்படுத்துவோம்:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

காரணியாக்குவோம்:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

நாம் இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்

3. ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு குறைப்பு

ஒரு சமன்பாடு சைன் மற்றும் கோசைனைப் பொறுத்து ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், அதன் அனைத்து விதிமுறைகளும் ஒரே கோணத்தின் ஒரே சக்தியின் சைன் மற்றும் கொசைனுடன் தொடர்புடையதாக இருந்தால். ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, பின்வருமாறு தொடரவும்:

a) அதன் அனைத்து உறுப்பினர்களையும் இடது பக்கத்திற்கு மாற்றவும்;

b) அனைத்து பொதுவான காரணிகளையும் அடைப்புக்குறிக்குள் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்;

c) அனைத்து காரணிகளையும் அடைப்புக்குறிகளையும் 0க்கு சமன்;

ஈ) குறைந்த பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு அடைப்புக்குறிக்குள் பெறப்படுகிறது, இது அதிக அளவு சைன் அல்லது கொசைனாக பிரிக்கப்படுகிறது;

e) tgக்கான சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

sin 2 x + cos 2 x = 1 என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வலதுபுறத்தில் திறந்த இரண்டை அகற்றுவோம்:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x ஆல் வகுக்க:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x ஐ y உடன் மாற்றி இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறவும்:

y 2 + 4y +3 = 0, இதன் வேர்கள் y 1 =1, y 2 = 3

இங்கிருந்து அசல் சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு தீர்வுகளைக் காணலாம்:

x 2 = ஆர்க்டான் 3 + கே

4. அரை கோணத்திற்கு மாற்றுவதன் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

3sin x – 5cos x = 7 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

x/2 க்கு செல்லலாம்:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

எல்லாவற்றையும் இடது பக்கம் நகர்த்துவோம்:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos (x/2) ஆல் வகுக்கவும்:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. துணை கோணத்தின் அறிமுகம்

கருத்தில் கொள்ள, படிவத்தின் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம்: a sin x + b cos x = c,

இதில் a, b, c என்பது சில தன்னிச்சையான குணகங்கள், மற்றும் x என்பது தெரியவில்லை.

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பிரிப்போம்:



இப்போது சமன்பாட்டின் குணகங்கள், முக்கோணவியல் சூத்திரங்களின்படி, சின் மற்றும் காஸ் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது: அவற்றின் மாடுலஸ் 1 க்கு மேல் இல்லை மற்றும் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை = 1. அவற்றை முறையே காஸ் மற்றும் சின் எனக் குறிப்பிடுவோம், எங்கே - இது துணை கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:

cos * sin x + sin * cos x = C

அல்லது sin(x + ) = C

இந்த எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு

x = (-1) k * arcsin C - + k, எங்கே



காஸ் மற்றும் சின் குறியீடுகள் ஒன்றுக்கொன்று மாறக்கூடியவை என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

sin 3x – cos 3x = 1 சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

இந்த சமன்பாட்டில் உள்ள குணகங்கள்:

a = , b = -1, எனவே இரு பக்கங்களையும் = 2 ஆல் வகுக்கவும்

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய முறைகள்: சமன்பாடுகளை எளிமையானதாகக் குறைத்தல் (முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி), புதிய மாறிகளை அறிமுகப்படுத்துதல் மற்றும் காரணியாக்குதல். எடுத்துக்காட்டுகளுடன் அவற்றின் பயன்பாட்டைப் பார்ப்போம். முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளை எழுதும் வடிவமைப்பில் கவனம் செலுத்துங்கள்.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை வெற்றிகரமாகத் தீர்ப்பதற்கு அவசியமான நிபந்தனை முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பற்றிய அறிவு (வேலை 6 இன் தலைப்பு 13).

எடுத்துக்காட்டுகள்.

1. சமன்பாடுகள் எளிமையானதாகக் குறைக்கப்பட்டது.

1) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு:

பதில்:

2) சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, பிரிவைச் சேர்ந்தது.

தீர்வு:

பதில்:

2. இருபடிக்கு குறைக்கும் சமன்பாடுகள்.

1) சமன்பாடு 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 ஐ தீர்க்கவும்.

தீர்வு: sin 2 x = 1 – cos 2 x என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்

பதில்:

2) cos 2x = 1 + 4 cosx என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு: cos 2x = 2 cos 2 x – 1 என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்

பதில்:

3) tgx – 2ctgx + 1 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு:

பதில்:

3. ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்

1) 2sinx – 3cosx = 0 சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

தீர்வு: cosx = 0, பின்னர் 2sinx = 0 மற்றும் sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 என்பதற்கு ஒரு முரண்பாடு. இதன் பொருள் cosx ≠ 0 மற்றும் சமன்பாட்டை cosx ஆல் வகுக்க முடியும். நாம் பெறுகிறோம்

பதில்:

2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு:

1 = sin 2 x + cos 2 x மற்றும் sin 2x = 2 sinxcosx சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

cosx = 0, பின்னர் sin 2 x = 0 மற்றும் sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 என்ற உண்மையுடன் முரண்பாடு.
இதன் பொருள் cosx ≠ 0 மற்றும் நாம் சமன்பாட்டை cos 2 x ஆல் வகுக்க முடியும் . நாம் பெறுகிறோம்

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
tgx = y ஐக் குறிப்போம்
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 கே, கே
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 கே, கே .

பதில்: arctg4 + 2 கே, arctan2 + 2 கே, கே

4. படிவத்தின் சமன்பாடுகள் அ sinx + பி cosx = s, s≠ 0.

1) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு:

பதில்:

5. காரணியாக்கத்தால் தீர்க்கப்படும் சமன்பாடுகள்.

1) sin2x – sinx = 0 சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

சமன்பாட்டின் வேர் f (எக்ஸ்) = φ ( எக்ஸ்) எண் 0 ஆக மட்டுமே செயல்பட முடியும். இதைப் பார்ப்போம்:

cos 0 = 0 + 1 - சமத்துவம் உண்மை.

இந்த சமன்பாட்டின் ஒரே வேர் எண் 0 ஆகும்.

பதில்: 0.

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

• நீங்கள் தளத்தில் விண்ணப்பத்தை சமர்ப்பிக்கும் போது, ​​உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், மின்னஞ்சல் முகவரி போன்ற பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம்.

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

• நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவல்கள், தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகளுடன் உங்களைத் தொடர்புகொள்ள அனுமதிக்கிறது.
• அவ்வப்போது, ​​முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
• நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.
• பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

• தேவைப்பட்டால் - சட்டம், நீதித்துறை நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகளில், மற்றும்/அல்லது ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் பிரதேசத்தில் உள்ள அரசாங்க அதிகாரிகளிடமிருந்து பொது கோரிக்கைகள் அல்லது கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்த. பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக அத்தகைய வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.
• மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, ​​நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறாகப் பயன்படுத்துதல், அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் போன்றவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உள்ளிட்ட முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்கிறோம்.

நிறுவன அளவில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பானது என்பதை உறுதிப்படுத்த, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.

உங்கள் பிரச்சனைக்கு விரிவான தீர்வை ஆர்டர் செய்யலாம்!!!

முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் (`sin x, cos x, tan x` அல்லது `ctg x`) அடையாளத்தின் கீழ் அறியப்படாத ஒரு சமத்துவம் ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அவற்றின் சூத்திரங்களை நாம் மேலும் கருத்தில் கொள்வோம்.

எளிமையான சமன்பாடுகள் `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, இங்கு `x` என்பது கண்டுபிடிக்க வேண்டிய கோணம், `a` என்பது எந்த எண்ணாகும். அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் ரூட் ஃபார்முலாக்களை எழுதுவோம்.

1. சமன்பாடு `sin x=a`.

`|a|>1` க்கு தீர்வுகள் இல்லை.

எப்போது `|அ| \leq 1` எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

ரூட் சூத்திரம்: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. சமன்பாடு `cos x=a`

`|a|>1` -க்கு - சைன் விஷயத்தில், உண்மையான எண்களுக்கு இடையே தீர்வுகள் இல்லை.

எப்போது `|அ| \leq 1` எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

ரூட் சூத்திரம்: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

வரைபடங்களில் சைன் மற்றும் கொசைனுக்கான சிறப்பு வழக்குகள்.

3. சமன்பாடு `tg x=a`

`a` இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.

ரூட் சூத்திரம்: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. சமன்பாடு `ctg x=a`

`a` இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.

ரூட் சூத்திரம்: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

அட்டவணையில் உள்ள முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்கள்

சைனுக்காக:
கொசைனுக்கு:
தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்டுக்கு:
தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள்:

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

எந்த முக்கோணவியல் சமன்பாட்டையும் தீர்ப்பது இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது:

• எளிமையானதாக மாற்றும் உதவியுடன்;
• மேலே எழுதப்பட்ட ரூட் சூத்திரங்கள் மற்றும் அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி பெறப்பட்ட எளிய சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி முக்கிய தீர்வு முறைகளைப் பார்ப்போம்.

இயற்கணித முறை.

இந்த முறையானது ஒரு மாறியை மாற்றி சமத்துவமாக மாற்றுவதை உள்ளடக்குகிறது.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

மாற்றீடு செய்யுங்கள்: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, பிறகு `2y^2-3y+1=0`,

நாம் வேர்களைக் கண்டறிகிறோம்: `y_1=1, y_2=1/2`, அதில் இருந்து இரண்டு நிகழ்வுகள் பின்பற்றப்படுகின்றன:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

பதில்: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

காரணியாக்கம்.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `sin x+cos x=1`.

தீர்வு. சமத்துவத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் இடது பக்கம் நகர்த்துவோம்: `sin x+cos x-1=0`. பயன்படுத்தி, இடது பக்கத்தை மாற்றி, காரணியாக்குகிறோம்:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

பதில்: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு குறைப்பு

முதலில், இந்த முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை இரண்டு வடிவங்களில் ஒன்றாகக் குறைக்க வேண்டும்:

`a sin x+b cos x=0` (முதல் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு) அல்லது `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (இரண்டாம் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு).

இரண்டு பகுதிகளையும் முதல் வழக்கில் `cos x \ne 0` ஆல் வகுக்கவும், இரண்டாவதாக `cos^2 x \ne 0` ஆகவும். `tg x`க்கான சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்: `a tg x+b=0` மற்றும் `a tg^2 x + b tg x +c =0`, இவை அறியப்பட்ட முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்பட வேண்டும்.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

தீர்வு. வலது பக்கத்தை `1=sin^2 x+cos^2 x` என எழுதுவோம்:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

இது இரண்டாவது பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடு ஆகும், அதன் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை `cos^2 x \ne 0` ஆல் வகுக்கிறோம், நாம் பெறுகிறோம்:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. மாற்றாக `tg x=t` ஐ அறிமுகப்படுத்துவோம், இதன் விளைவாக `t^2 + t - 2=0`. இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் `t_1=-2` மற்றும் `t_2=1` ஆகும். பிறகு:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

பதில். `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

அரை கோணத்திற்கு நகரும்

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

தீர்வு. இரட்டை கோண சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம், இதன் விளைவாக: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

மேலே விவரிக்கப்பட்ட இயற்கணித முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

பதில். `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

துணை கோணத்தின் அறிமுகம்

முக்கோணவியல் சமன்பாட்டில் `a sin x + b cos x =c`, இதில் a,b,c குணகங்கள் மற்றும் x என்பது மாறி, இரு பக்கங்களையும் `sqrt (a^2+b^2)` ஆல் வகுக்கவும்:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =``\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

இடதுபுறத்தில் உள்ள குணகங்கள் சைன் மற்றும் கொசைன் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது அவற்றின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை 1 க்கு சமம் மற்றும் அவற்றின் தொகுதிகள் 1 ஐ விட அதிகமாக இல்லை. அவற்றைப் பின்வருமாறு குறிப்பிடுவோம்: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, பின்னர்:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

பின்வரும் உதாரணத்தை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்:

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `3 sin x+4 cos x=2`.

தீர்வு. சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் `sqrt (3^2+4^2)` ​​ஆல் வகுத்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 பாவம் x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` என்பதைக் குறிப்போம். `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` என்பதால், `\varphi=arcsin 4/5`ஐ துணைக் கோணமாக எடுத்துக்கொள்வோம். பின்னர் எங்கள் சமத்துவத்தை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

சைனுக்கான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், பின்வரும் வடிவத்தில் நமது சமத்துவத்தை எழுதுகிறோம்:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

பதில். `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

பின்னம் பகுத்தறிவு முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்

இவை பின்னங்களுடனான சமத்துவங்களாகும், அதன் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கின்றன.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

தீர்வு. சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தை `(1+cos x)` ஆல் பெருக்கி வகுக்கவும். இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்க முடியாது என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன் செய்வோம்: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. பிறகு `sin x=0` அல்லது `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, தீர்வுகள் `x=2\pi n, n \in Z` மற்றும் `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

பதில். `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

முக்கோணவியல், மற்றும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள், வடிவியல், இயற்பியல் மற்றும் பொறியியலின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து பகுதிகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. 10 ஆம் வகுப்பில் படிப்பது தொடங்குகிறது, ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான பணிகள் எப்போதும் உள்ளன, எனவே முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் அனைத்து சூத்திரங்களையும் நினைவில் வைக்க முயற்சிக்கவும் - அவை நிச்சயமாக உங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்!

இருப்பினும், நீங்கள் அவற்றை மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை, முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், சாரத்தை புரிந்துகொண்டு அதைப் பெற முடியும். இது தோன்றுவது போல் கடினம் அல்ல. வீடியோவைப் பார்த்து நீங்களே பாருங்கள்.

அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான உறவுகள் - சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் - கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள். முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு இடையே நிறைய தொடர்புகள் இருப்பதால், இது முக்கோணவியல் சூத்திரங்களின் மிகுதியை விளக்குகிறது. சில சூத்திரங்கள் ஒரே கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை இணைக்கின்றன, மற்றவை - பல கோணத்தின் செயல்பாடுகள், மற்றவை - பட்டத்தை குறைக்க உங்களை அனுமதிக்கின்றன, நான்காவது - அரை கோணத்தின் தொடுகோடு மூலம் அனைத்து செயல்பாடுகளையும் வெளிப்படுத்துகின்றன.

இந்த கட்டுரையில், பெரும்பாலான முக்கோணவியல் சிக்கல்களைத் தீர்க்க போதுமான அனைத்து அடிப்படை முக்கோணவியல் சூத்திரங்களையும் பட்டியலிடுவோம். மனப்பாடம் செய்வதற்கும் பயன்படுத்துவதற்கும் எளிதாக, நாங்கள் அவற்றை நோக்கத்தின் அடிப்படையில் தொகுத்து அட்டவணையில் உள்ளிடுவோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்

அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான உறவை வரையறுக்கவும். அவை சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வரையறையிலிருந்தும், அதே போல் அலகு வட்டத்தின் கருத்தாக்கத்திலிருந்தும் பின்பற்றப்படுகின்றன. ஒரு முக்கோணவியல் செயல்பாட்டை மற்றவற்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த அவை உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

இந்த முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள், அவற்றின் வழித்தோன்றல் மற்றும் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றிய விரிவான விளக்கத்திற்கு, கட்டுரையைப் பார்க்கவும்.

குறைப்பு சூத்திரங்கள்

குறைப்பு சூத்திரங்கள்சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் பண்புகளைப் பின்பற்றவும், அதாவது, அவை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் கால இடைவெளியின் பண்பு, சமச்சீர் பண்பு மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட கோணத்தில் மாற்றத்தின் பண்பு ஆகியவற்றை பிரதிபலிக்கின்றன. இந்த முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள் தன்னிச்சையான கோணங்களில் வேலை செய்வதிலிருந்து பூஜ்ஜியத்திலிருந்து 90 டிகிரி வரையிலான கோணங்களில் வேலை செய்ய உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

இந்த சூத்திரங்களுக்கான பகுத்தறிவு, அவற்றை மனப்பாடம் செய்வதற்கான நினைவூட்டல் விதி மற்றும் அவற்றின் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகளை கட்டுரையில் படிக்கலாம்.

கூட்டல் சூத்திரங்கள்

முக்கோணவியல் கூட்டல் சூத்திரங்கள்இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் அந்தக் கோணங்களின் முக்கோணவியல் சார்புகளின் அடிப்படையில் எவ்வாறு வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதைக் காட்டுகின்றன. இந்த சூத்திரங்கள் பின்வரும் முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பெறுவதற்கான அடிப்படையாக செயல்படுகின்றன.

இரட்டை, மூன்று போன்றவற்றுக்கான சூத்திரங்கள். கோணம்

இரட்டை, மூன்று போன்றவற்றுக்கான சூத்திரங்கள். கோணம் (அவை பல கோண சூத்திரங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன) இரட்டை, மூன்று போன்றவற்றின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் எப்படி என்பதைக் காட்டுகின்றன. கோணங்கள் () ஒற்றை கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. அவற்றின் வழித்தோன்றல் கூட்டல் சூத்திரங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

இரட்டை, மூன்று போன்றவற்றிற்கான கட்டுரை சூத்திரங்களில் மேலும் விரிவான தகவல்கள் சேகரிக்கப்பட்டுள்ளன. கோணம்

அரை கோண சூத்திரங்கள்

அரை கோண சூத்திரங்கள்அரைக் கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் முழுக் கோணத்தின் கோசைனின் அடிப்படையில் எவ்வாறு வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதைக் காட்டுகின்றன. இந்த முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள் இரட்டை கோண சூத்திரங்களிலிருந்து பின்பற்றப்படுகின்றன.

அவர்களின் முடிவு மற்றும் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகள் கட்டுரையில் காணலாம்.

பட்டம் குறைப்பு சூத்திரங்கள்

டிகிரிகளைக் குறைப்பதற்கான முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள்முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் இயற்கையான சக்திகளிலிருந்து சைன்கள் மற்றும் கோசைன்களுக்கு முதல் நிலை, ஆனால் பல கோணங்களில் மாறுவதற்கு வசதியாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் சக்திகளை முதலில் குறைக்க அவை உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

முக்கோணவியல் சார்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்கள்

முக்கிய நோக்கம் முக்கோணவியல் சார்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்கள்முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கும் போது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் செயல்பாடுகளின் தயாரிப்புக்கு செல்ல வேண்டும். இந்த சூத்திரங்கள் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதிலும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஏனெனில் அவை சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டைக் கணக்கிட அனுமதிக்கின்றன.

சைன்கள், கொசைன்கள் மற்றும் சைன் பை கொசைன் ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கான சூத்திரங்கள்

முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெருக்கத்திலிருந்து ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டிற்கு மாறுவது சைன்கள், கொசைன்கள் மற்றும் சைன் பை கோசைன் ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று

முக்கோணவியலின் அடிப்படை சூத்திரங்களின் மதிப்பாய்வை அரை கோணத்தின் தொடுகோணத்தின் அடிப்படையில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரங்களுடன் நிறைவு செய்கிறோம். இந்த மாற்று என்று அழைக்கப்பட்டது உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று. அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளும் வேர்கள் இல்லாமல் பகுத்தறிவுடன் அரை கோணத்தின் தொடுகோணத்தின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதில் அதன் வசதி உள்ளது.

நூல் பட்டியல்.

• இயற்கணிதம்:பாடநூல் 9 ஆம் வகுப்புக்கு. சராசரி பள்ளி/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. சுவோரோவா; எட். S. A. Telyakovsky - M.: Education, 1990. - 272 pp.: ill - ISBN 5-09-002727-7
• பாஷ்மகோவ் எம். ஐ.இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: பாடநூல். 10-11 தரங்களுக்கு. சராசரி பள்ளி - 3வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 1993. - 351 பக்.: நோய். - ISBN 5-09-004617-4.
• இயற்கணிதம்மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: Proc. 10-11 தரங்களுக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / A. N. Kolmogorov, A. M. அப்ரமோவ், யு. பி. டட்னிட்சின் மற்றும் பலர்; எட். A. N. Kolmogorov - 14th ed.: Education, 384 pp.: ill - ISBN 5-09-013651-3
• குசெவ் வி. ஏ., மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.கணிதம் (தொழில்நுட்ப பள்ளிகளுக்கு விண்ணப்பிப்பவர்களுக்கான கையேடு): Proc. கொடுப்பனவு.- எம்.; உயர்ந்தது பள்ளி, 1984.-351 ப., நோய்.

புத்திசாலி மாணவர்களின் பதிப்புரிமை

அனைத்து உரிமைகளும் பாதுகாக்கப்பட்டவை.
பதிப்புரிமை சட்டத்தால் பாதுகாக்கப்படுகிறது. உள் பொருட்கள் மற்றும் தோற்றம் உட்பட தளத்தின் எந்தப் பகுதியும், பதிப்புரிமைதாரரின் முன் எழுத்துப்பூர்வ அனுமதியின்றி, எந்த வடிவத்திலும் மீண்டும் உருவாக்கப்படக்கூடாது அல்லது பயன்படுத்தப்படக்கூடாது.