வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஒரு பிரிவை எப்படி கண்டுபிடிப்பது? வடிவியல் முன்னேற்றம்

வடிவியல் முன்னேற்றம் கணிதத்தில் ஒப்பிடும்போது கணிதத்தில் முக்கியத்துவம் இல்லை. வடிவியல் முன்னேற்றம் எண்களின் B1, B2, B2, B2, B2, B [N] என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது வளர்ச்சியின் விகிதம் அல்லது முன்னேற்றத்தின் விகிதம் குறிக்கும் ஒரு எண் ஆகும் பிரிவு வடிவியல் முன்னேற்றம் மற்றும் குறிக்கவும்

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஒரு முழுமையான பணிக்காக, வகுக்கும் கூடுதலாக, அதன் முதல் காலத்தை தெரிந்து அல்லது வரையறுக்க வேண்டியது அவசியம். நிலப்பகுதியின் நேர்மறையான மதிப்பிற்கு, முன்னேற்றம் ஒரு சலிப்பான காட்சியாகும், மேலும் எண்களின் வரிசைமுறையானது ஒற்றுமையாக குறைந்து, ஒற்றுமையாக அதிகரித்து வருகிறது. ஒரு ஒற்றை நடைமுறைக்கு சமமாக இருக்கும் போது, \u200b\u200bநாம் ஒத்த எண்களின் வரிசையை வைத்திருப்பதால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை நடைமுறை ஆர்வத்தை ஏற்படுத்தாது.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பொதுவான உறுப்பினர் ஃபார்முலா மூலம் கணக்கிடுங்கள்

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் உறுப்பினர்கள் சூத்திரத்தை தீர்மானிக்கவும்

வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கான பாரம்பரிய பணிகளுக்கு தீர்வுகளை கருத்தில் கொள்ளுங்கள். எளிமையான புரிந்து கொள்ள ஆரம்பிக்கலாம்.

உதாரணம் 1. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் உறுப்பினர் 27 ஆகிறது, அதன் வகுப்பு 1/3 ஆகும். ஆறு முதல் வடிவியல் முன்னேற்ற உறுப்பினர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: படிவத்தில் சிக்கலின் நிலைமையை எழுதுங்கள்

கணக்கீடுகளுக்கு, நாம் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் N- வது உறுப்பினரின் சூத்திரத்தை பயன்படுத்துகிறோம்

அதின் அடிப்படையில் நாம் முன்னேற்றத்தின் தெரியாத உறுப்பினர்களைக் காண்கிறோம்

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் கணக்கீடுகள் எளிமையானவை என்பதை நீங்கள் உறுதிப்படுத்தலாம். முன்னேற்றம் இதுபோல் இருக்கும்

உதாரணம் 2. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் மூன்று முதல் உறுப்பினர்: 6; -12; 24. அடித்தளமாகவும், அவளுடைய டிக்ஸும் ஏழாவது இடத்தைக் கண்டுபிடி.

தீர்வு: அதன் வரையறையின் அடிப்படையில் ஜியோமிட்ரிக் முன்னேற்றத்தின் வகையை கணக்கிடுங்கள்

-2 இன் வகையின் ஒரு மாற்று வடிவியல் முன்னேற்றத்தை பெற்றது. ஏழாவது உறுப்பினர் சூத்திரத்தை கணக்கிடுங்கள்

இந்த சிக்கலில் தீர்க்கப்படுகிறது.

உதாரணம் 3. வடிவியல் முன்னேற்றம் இரண்டு உறுப்பினர்களால் அமைக்கப்படுகிறது . முன்னேற்றத்தின் பத்தாவது உறுப்பினரைக் கண்டறியவும்.

முடிவு:

சூத்திரங்கள் மூலம் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளை எழுதுகிறோம்

விதிகள் படி அது ஒரு வகுக்கும் கண்டுபிடிக்க அவசியம், பின்னர் தேவையான மதிப்பு பார்க்க, ஆனால் நாம் பத்தாவது உறுப்பினர் வேண்டும்

அதே சூத்திரம் உள்ளீடு தரவு அல்லாத கடின கையாளுதல் அடிப்படையில் பெற முடியும். நாம் வரிசையில் ஆறாவது உறுப்பினரை இன்னொரு இடத்திற்கு பிரிக்கிறோம், இதன் விளைவாக நாம் கிடைக்கும்

ஆறாவது உறுப்பினருடன் மாறுபட்டிருந்தால், பத்தாவது கிடைக்கும்

இதனால், எளிய மாற்றங்களுடன் ஒத்த பணிகளுக்கு, ஒரு சரியான தீர்வு ஒரு விரைவான வழியில் காணலாம்.

உதாரணம் 4. மீண்டும் வடிவமைக்கப்பட்ட சூத்திரங்களால் வடிவமைக்கப்பட்ட முன்னேற்றம் வழங்கப்படுகிறது

ஒரு வகையிலான வடிவியல் வளர்ச்சியைக் கண்டறிந்து முதல் ஆறு உறுப்பினர்களின் தொகை.

முடிவு:

சமன்பாடுகளின் ஒரு அமைப்பின் வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்ட தரவை எழுதுகிறோம்

முதலாவதாக இரண்டாவது சமன்பாட்டை வழங்கும் வகையை வெளிப்படுத்துங்கள்

முதல் சமன்பாட்டின் முன்னேற்றத்தின் முதல் காலத்தைக் கண்டறியவும்

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அளவு கண்டுபிடிக்க பின்வரும் ஐந்து உறுப்பினர்களை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்

சில வரிசைகளை கவனியுங்கள்.

7 28 112 448 1792...

அதன் உறுப்பு எந்த அர்த்தமும் முந்தைய ஒரு நான்கு முறை விட அதிகமாக உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது. எனவே, இந்த தொடர் முன்னேற்றம்.

வடிவியல் முற்போக்கானது எண்களின் முடிவிலா காட்சியாகும், இதில் முக்கிய அம்சமாகும், இது முந்தைய எண்ணிக்கையில் சில குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான பெருக்குவதன் மூலம் முந்தைய எண் பெறப்படுகிறது. இது பின்வரும் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

ஒரு z +1 \u003d a Z · q, z தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட உருப்படியின் எண்ணிக்கை எங்கே.

அதன்படி, Z ∈ N.

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் பள்ளியில் ஆய்வு செய்யப்படும் காலம் - தரம் 9. எடுத்துக்காட்டுகள் கருத்தை கண்டுபிடிக்க உதவும்:

0.25 0.125 0.0625...

இந்த சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், முன்னேற்றம் வகுப்பு பின்வருமாறு கண்டுபிடிக்க முடியும்:

கே, அல்லது பி Z முடியாது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது. மேலும், முன்னேற்றத்தின் கூறுகள் ஒவ்வொன்றும் பூஜ்யமாக இருக்கக்கூடாது.

அதன்படி, அடுத்த எண்ணிக்கையிலான வரிசைகளை கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் கடைசியாக Q இல் பெருக்க வேண்டும்.

இந்த முன்னேற்றத்தை அமைக்க, நீங்கள் அதன் முதல் உறுப்பு மற்றும் வகுக்கும் குறிப்பிட வேண்டும். அதற்குப் பிறகு, அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களையும் அவற்றின் தொகையையும் கண்டுபிடிக்க முடியும்.

வகைகள்

Q மற்றும் 1 ஐ பொறுத்து, இந்த முன்னேற்றம் பல வகைகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது:

• ஒரு 1, மற்றும் q மேலும் quits என்றால், அத்தகைய வரிசை ஒவ்வொரு மற்ற உறுப்பு வடிவியல் முன்னேற்றமும் அதிகரித்து வருகிறது. உதாரணம் கீழே வழங்கப்படுகிறது.

உதாரணம்: ஒரு 1 \u003d 3, q \u200b\u200b\u003d 2 - இரண்டு அளவுருக்கள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டவை.

பின்னர் எண் வரிசை பின்வருமாறு பதிவு செய்யப்படலாம்:

3 6 12 24 48 ...

• Q | q | குறைவான ஒன்று, அதாவது, பெருக்கம் என்பது பிரிவுக்கு சமமானதாகும், இத்தகைய நிலைமைகளுடன் முன்னேற்றத்தை பூகோள அளவிடுகிறது. உதாரணம் கீழே வழங்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு: 1 \u003d 6, q \u003d 1/3 - 1 மேலும் அலகுகள், கே குறைவாக உள்ளது.

பின்னர் எண் வரிசை இந்த வழியில் எழுதப்படலாம்:

6 2 2/3 ... - எந்த உறுப்பு அதை தொடர்ந்து உறுப்பு விட அதிகமாக உள்ளது, 3 முறை.

• அடையாளம். கே.<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

உதாரணம்: ஒரு 1 \u003d -3, q \u003d -2 - இரு அளவுருக்கள் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்கும்.

பின்னர் எண் வரிசை எழுதப்படலாம்:

3, 6, -12, 24,...

சூத்திரங்கள்

வடிவியல் முன்னேற்றங்களின் வசதியான பயன்பாட்டிற்கு, பல சூத்திரங்கள் உள்ளன:

• ஃபார்முலா Z- வது உறுப்பினர். முந்தைய எண்களின் கணக்கீடு இல்லாமல் குறிப்பிட்ட எண்ணின் கீழ் உறுப்பு கணக்கிட அனுமதிக்கிறது.

உதாரணமாக:கே = 3, ஏ 1 \u003d 4. முன்னேற்றத்தின் நான்காவது உறுப்பு தேவைப்படுகிறது.

முடிவு:ஏ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• அதன் எண் சமமாக இருக்கும் முதல் உறுப்புகளின் தொகை z.. நீங்கள் அனைத்து வரிசை கூறுகளின் தொகையை கணக்கிட அனுமதிக்கிறதுஒரு z. உள்ளடக்கியது.

(1-கே) (1 - q) என்ற பெயரில் நிற்கிறது≠ 0, எனவே, q 1 சமமாக இல்லை.

குறிப்பு: q \u003d 1 என்றால், முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் தொடர்ச்சியான எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அளவு, எடுத்துக்காட்டுகள்:ஏ 1 = 2, கே \u003d -2. S ஐ கணக்கிடுங்கள்.

முடிவு:எஸ். 5 = 22 - சூத்திரம் மூலம் கணக்கீடு.

• தொகை என்றால் |கே| < 1 и если z стремится к бесконечности.

உதாரணமாக:ஏ 1 = 2 , கே \u003d 0.5. அளவு கண்டுபிடிக்க.

முடிவு:எஸ் Z. = 2 · = 4

எஸ் Z. = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

சில பண்புகள்:

• பண்பு சொத்து. பின்வரும் நிபந்தனை என்றால் எந்த செய்யப்படுகிறதுz., பின்னர் ஒரு எண் வரிசை - வடிவியல் முன்னேற்றம்:

ஒரு z. 2 = ஒரு z. -1 · ஏ Z + 1.

• மேலும், ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றத்தின் சதுரத்தின் சதுர, இந்த உருப்படியை சமமாக இருந்தால், ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் உள்ள எண்களின் எந்த எண்களும் கூடுதலாக கூடுதலாக அமைந்துள்ளது.

ஒரு z. 2 = ஒரு z. - டி 2 + ஒரு z. + டி 2 எங்கேடி - இந்த எண்களுக்கு இடையில் உள்ள தூரம்.

• கூறுகள் கே.நேரம்.
• முன்னேற்றத்தின் உறுப்புகளின் மடக்குகள் ஒரு முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன, ஆனால் ஏற்கனவே எண்கணிதமானவை, அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்காக முந்தைய ஒன்றைக் காட்டிலும் அதிகமாகும்.

சில கிளாசிக் பணிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

வடிவியல் முன்னேற்றத்தை நன்றாக புரிந்து கொள்ள, ஒரு 9-வகுப்பு தீர்வுடன் உதாரணங்கள் உதவ முடியும்.

• நிபந்தனைகள்:ஏ 1 = 3, ஏ 3 \u003d 48. கண்டுபிடிக்கவும்கே.

தீர்வு: ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த உறுப்பு முந்தைய விட அதிகமாக உள்ளதுகே நேரம்.பகுதியினரைப் பயன்படுத்தி மற்றவர்களிடமிருந்து சில கூறுகளை வெளிப்படுத்த வேண்டும்.

எனவே,ஏ 3 = கே 2 · ஏ 1

பதிலீடு போதுகே= 4

• நிபந்தனைகள்:ஏ 2 = 6, ஏ 3 \u003d 12. கணக்கை கணக்கிடுங்கள்.

முடிவு:இதை செய்ய, Q, முதல் உறுப்பு மற்றும் சூத்திரத்தில் மாற்றும் போதும் போதும்.

ஏ 3 = கே· ஏ 2 , எனவே,கே= 2

ஒரு 2 \u003d கே · ஒரு 1,அதனால் ஒரு 1 \u003d. 3

S 6 \u003d. 189

• · ஏ 1 = 10, கே \u003d -2. முன்னேற்றத்தின் நான்காவது உறுப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: இதை செய்ய, நான்காவது உறுப்பு மூலம் முதல் மற்றும் வகுக்கும் மூலம் நான்காவது உறுப்பு வெளிப்படுத்த போதும்.

ஒரு 4 \u003d Q 3.· ஒரு 1 \u003d -80.

விண்ணப்பத்தின் ஒரு உதாரணம்:

• வங்கியின் வாடிக்கையாளர் 10,000 ரூபிள் அளவுக்கு பங்களிப்பு செய்தார், ஒவ்வொரு வருடமும் வாடிக்கையாளர் முக்கிய தொகைக்கு வாடிக்கையாளர் 6% சேர்க்கப்படும். 4 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு எத்தனை நிதிகள் கணக்கில் இருக்கும்?

தீர்வு: ஆரம்ப தொகை 10 ஆயிரம் ரூபிள் சமமாக உள்ளது. எனவே, கணக்கில் முதலீடு செய்வதற்கு ஒரு வருடம் 10,000 + 10,000 க்கு சமமாக இருக்கும் · 0.06 \u003d 10000 · 1.06.

அதன்படி, மற்றொரு வருடத்திற்குப் பிறகு கணக்கில் உள்ள தொகை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படும்:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 \u003d 1.06 · 1.06 · 10,000

அதாவது, ஒவ்வொரு ஆண்டும் 1.06 முறை அளவு அதிகரிக்கிறது. இது 4 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு கணக்கில் உள்ள நிதிகளின் அளவு கண்டுபிடிக்க போதுமானதாக இருப்பதால், முன்னேற்றத்தின் நான்காவது உறுப்பைக் கண்டுபிடிக்க போதுமானதாகும், இது 10 ஆயிரம் சமமாக இருக்கும் முதல் உறுப்புகளால் அமைக்கப்பட்டுள்ளது, இது 1.06 க்கு சமமாக இருக்கும் .

S \u003d 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 \u003d 12625

தொகையை கணக்கிடுவதற்கான பணிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

பல்வேறு பணிகளில், வடிவியல் முன்னேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. தொகையை கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு உதாரணம் பின்வருமாறு குறிப்பிடப்படலாம்:

ஏ 1 = 4, கே \u003d 2, கணக்கிடகள் 5..

தீர்வு: கணக்கீடு தேவையான அனைத்து தரவு அறியப்படுகிறது அறியப்படுகிறது, நீங்கள் சூத்திரத்தில் அவற்றை மாற்ற வேண்டும்.

எஸ். 5 = 124

• ஏ 2 = 6, ஏ 3 \u003d 18. முதல் ஆறு உறுப்புகளின் அளவு கணக்கிட.

முடிவு:

ஜியோமில். முன்னேற்றம் ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்பு Q முறை முந்தைய விட அதிகமாக உள்ளது, அதாவது, நீங்கள் உறுப்பு தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய தொகையை கணக்கிட வேண்டும்ஏ 1 மற்றும் வகுக்கும்கே.

ஏ 2 · கே = ஏ 3

கே = 3

இதேபோல், நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்ஏ 1 , தெரிந்தும்ஏ 2 மற்றும்கே.

ஏ 1 · கே = ஏ 2

ஒரு 1 \u003d.2

எஸ். 6 = 728.

ஒவ்வொரு இயற்கை எண் என் ஒரு செல்லுபடியாகும் ஒரு. , பின்னர் அவர்கள் என்ன அமைக்க வேண்டும் என்று எண் வரிசை :

ஏ 1 , ஏ 2 , ஏ 3 , . . . , ஒரு. , . . . .

எனவே, எண் வரிசை இயற்கை வாதத்தின் செயல்பாடு ஆகும்.

எண் ஏ 1 அழைப்பு வரிசை முதல் உறுப்பினர் , எண் ஏ 2 — வரிசை இரண்டாவது உறுப்பினர் , எண் ஏ 3 — மூன்றாவது முதலியன எண் ஒரு. அழைப்பு n-m வரிசை உறுப்பினர் மற்றும் இயற்கை எண் என் — அவரது எண் .

இரண்டு அண்டை உறுப்பினர்களிடமிருந்து ஒரு. மற்றும் ஒரு. +1 உறுப்பினர் காட்சிகள் ஒரு. +1 அழைப்பு பின்தொடர் (நோக்கி ஒரு. ), ஆனாலும் ஒரு. — முந்தைய (நோக்கி ஒரு. +1 ).

ஒரு வரிசை அமைக்க, நீங்கள் எந்த எண் ஒரு வரிசை உறுப்பினர் கண்டுபிடிக்க அனுமதிக்கும் ஒரு முறை குறிப்பிட வேண்டும்.

பெரும்பாலும் வரிசை பயன்படுத்தி குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது சூத்திரங்கள் N- வது உறுப்பினர் , அதாவது, அதன் எண்ணின் வரிசையைத் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கும் சூத்திரம்.

உதாரணத்திற்கு,

நேர்மறை ஒற்றைப்படை எண்களின் வரிசை சூத்திரத்தால் அமைக்கப்படலாம்

ஒரு.= 2n -1,

மற்றும் மாறும் வரிசை 1 மற்றும் -1 - ஃபார்முலா

பி என் = (-1) என் +1 . ◄

வரிசை வரையறுக்கப்படுகிறது மீண்டும் மீண்டும் சூத்திரம், அதாவது, வரிசையின் எந்த உறுப்பினரும் வெளிப்படுத்தும் ஒரு சூத்திரம், முந்தைய (ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) உறுப்பினர்களால் சிலவற்றை தொடங்கும்.

உதாரணத்திற்கு,

ஏ ஏ 1 = 1 , ஆனாலும் ஒரு. +1 = ஒரு. + 5

ஏ 1 = 1,

ஏ 2 = ஏ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ஏ 3 = ஏ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ஏ 4 = ஏ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ஏ 5 = ஏ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

ஏ ஒரு 1.= 1, ஒரு 2. = 1, ஒரு. +2 = ஒரு. + ஒரு. +1 , எண் வரிசையின் முதல் ஏழு உறுப்பினர்கள் பின்வருமாறு அமைக்கப்பட்டுள்ளனர்:

ஒரு 1. = 1,

ஒரு 2. = 1,

ஒரு 3. = ஒரு 1. + ஒரு 2. = 1 + 1 = 2,

ஒரு 4. = ஒரு 2. + ஒரு 3. = 1 + 2 = 3,

ஒரு 5. = ஒரு 3. + ஒரு 4. = 2 + 3 = 5,

ஏ 6 = ஏ 4 + ஏ 5 = 3 + 5 = 8,

ஏ 7 = ஏ 5 + ஏ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

காட்சிகள் இருக்க முடியும் முடிவு மற்றும் எல்லையற்ற .

வரிசை அழைக்கப்படுகிறது வரையறுக்கப்பட்ட அது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பினர்கள் இருந்தால். வரிசை அழைக்கப்படுகிறது எல்லையற்ற அது எல்லையற்ற பல உறுப்பினர்களைக் கொண்டிருந்தால்.

உதாரணத்திற்கு,

இரண்டு-இலக்க இயற்கை எண்களின் வரிசை:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

வரையறுக்கப்பட்ட.

பிரதான எண்களின் வரிசை:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

எல்லையற்ற. ◄

வரிசை அழைக்கப்படுகிறது அதிகரித்து வருகிறது அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் இரண்டாவது முதல் தொடங்கி இருந்தால், முந்தையதை விட அதிகமாக இருந்தால்.

வரிசை அழைக்கப்படுகிறது இறங்கும் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் இரண்டாவது இருந்து, முந்தைய விட குறைவாக இருந்தால்.

உதாரணத்திற்கு,

2, 4, 6, 8, . . . , 2என், . . . - அதிகரித்துவரும் வரிசை;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / என், . . . - வரிசை குறைப்பு. ◄

வரிசை, அதன் கூறுகள் அதிகரித்து கொண்ட எண், குறைக்க வேண்டாம், அல்லது, மாறாக, அதிகரிக்க வேண்டாம், அழைக்கப்படுகிறது சலனமான வரிசை .

குறிப்பாக, சலிப்பான காட்சிகள், குறிப்பாக தொடர்ச்சியான காட்சிகளை அதிகரித்து வருகின்றன.

கணித முன்னேற்றம்

கணித முன்னேற்றம் இந்த வரிசை அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் இரண்டாவது இருந்து தொடங்கி, முந்தைய ஒரு, அதே எண் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.

ஏ 1 , ஏ 2 , ஏ 3 , . . . , ஒரு., . . .

எந்த இயற்கை எண் என்றால் ஒரு கணித முன்னேற்றம் ஆகும் என் நிபந்தனை திருப்தி:

ஒரு. +1 = ஒரு. + டி,

எங்கே டி - சில எண்.

இதனால், இந்த கணித முன்னேற்றத்தின் அடுத்தடுத்த மற்றும் முந்தைய உறுப்பினர்களுக்கிடையேயான வித்தியாசம் எப்போதும் மாறிலி:

ஒரு 2. - ஏ 1 = மற்றும் 3. - ஏ 2 = . . . = ஒரு. +1 - ஒரு. = டி.

எண் டி அழைப்பு கணித முன்னேற்றத்திற்கான வித்தியாசம்.

ஒரு கணித முன்னேற்றத்தை அமைப்பதற்கு, அதன் முதல் காலத்தையும் ஒரு வித்தியாசத்தையும் குறிப்பிடுவது போதும்.

உதாரணத்திற்கு,

ஏ ஏ 1 = 3, டி = 4 , தொடர்ச்சியின் முதல் ஐந்து காட்சிகள் பின்வருமாறு காணலாம்:

ஒரு 1. =3,

ஒரு 2. = ஒரு 1. + டி = 3 + 4 = 7,

ஒரு 3. = ஒரு 2. + டி= 7 + 4 = 11,

ஒரு 4. = ஒரு 3. + டி= 11 + 4 = 15,

ஏ 5 = ஏ 4 + டி= 15 + 4 = 19. ◄

முதல் உறுப்பினருடன் கணித முன்னேற்றத்திற்காக ஏ 1 மற்றும் வேறுபாடு டி அவளுக்கு என்

ஒரு. = ஒரு 1. + (என்- 1)ஈ

உதாரணத்திற்கு,

கணித முன்னேற்றத்தின் ஒரு முப்பர்டெத் உறுப்பினரைக் கண்டறியவும்

1, 4, 7, 10, . . .

ஒரு 1. =1, டி = 3,

ஒரு 30. = ஒரு 1. + (30 - 1)d \u003d.1 + 29· 3 = 88. ◄

ஒரு N-1. = ஒரு 1. + (என்- 2)டி,

ஒரு.= ஒரு 1. + (என்- 1)டி,

ஒரு. +1 = ஏ 1 + nd.,

பின்னர் வெளிப்படையாக

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது இருந்து தொடங்கி, சராசரி கணித முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களுக்கு சமமாக உள்ளது.

எண்கள் A, B மற்றும் C ஆகியவை சில கணித முன்னேற்றத்தின் தொடர்ச்சியான உறுப்பினர்களாக இருந்தால், அவர்களில் ஒருவர் சராசரியாக எண்கணித இரண்டு பேருக்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே.

உதாரணத்திற்கு,

ஒரு. = 2என்- 7 ஒரு கணித முன்னேற்றம் ஆகும்.

மேலே கூறப்பட்ட அறிக்கையைப் பயன்படுத்துகிறோம். எங்களுக்கு:

ஒரு. = 2என்- 7,

ஒரு N-1. = 2(n -1) - 7 = 2என்- 9,

ஒரு n + 1. = 2(n +.1) - 7 = 2என்- 5.

எனவே,

◄

குறிப்பு என்று என் -என் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினராக மட்டுமே காணப்படலாம் ஏ 1 ஆனால் முந்தைய முந்தைய ஒரு கே

ஒரு. = ஒரு கே + (என்- கே)டி.

உதாரணத்திற்கு,

ஐந்து ஏ 5 பதிவு செய்யலாம்

ஒரு 5. = ஒரு 1. + 4டி,

ஒரு 5. = ஒரு 2. + 3டி,

ஒரு 5. = ஒரு 3. + 2டி,

ஒரு 5. = ஒரு 4. + டி. ◄

ஒரு. = ஒரு N-K. + kd.,

ஒரு. = ஒரு N + K. - kd.,

பின்னர் வெளிப்படையாக

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எந்தவொரு உறுப்பினரும், இந்த எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களில் பாதிக்கும் இரண்டாவது பகுதியிலிருந்து தொடங்கி இது சமமாக இருக்கும்.

கூடுதலாக, எந்தவொரு கணித முன்னேற்றத்திற்கும் சமத்துவம் என்பது உண்மைதான்:

ஒரு m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

உதாரணத்திற்கு,

கணித முன்னேற்றத்தில்

1) ஏ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ஏ 9 + ஏ 11 )/2;

2) 28 = ஒரு 10. = ஒரு 3. + 7டி\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) ஒரு 10.= 28 = (19 + 37)/2 = (ஒரு 7 + ஒரு 13.)/2;

4) ஒரு 2 + ஒரு 12 \u003d ஒரு 5 + ஒரு 9, உடன்

ஒரு 2 + ஒரு 12.= 4 + 34 = 38,

ஒரு 5 + ஒரு 9. = 13 + 25 = 38. ◄

எஸ்= ஒரு 1 + ஒரு 2 + ஒரு 3 +. . .+ ஒரு.,

முதல் என் கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் விதிகளின் எண்ணிக்கையின் தீவிர மாற்று விதிகளின் வேலைக்கு சமமாக உள்ளனர்:

இங்கிருந்து, குறிப்பாக, உறுப்பினர் சுருக்கமாக இருந்தால் அது பின்வருமாறு

ஒரு கே, ஒரு கே +1 , . . . , ஒரு.,

முந்தைய சூத்திரம் அதன் அமைப்பை வைத்திருக்கிறது:

உதாரணத்திற்கு,

கணித முன்னேற்றத்தில் 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

எஸ். 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = எஸ். 10 - எஸ். 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

கணித முன்னேற்றம் வழங்கப்பட்டால், மதிப்புகள் ஏ 1 , ஒரு., டி, என் மற்றும்எஸ். என் இரண்டு சூத்திரங்கள் மூலம் பிணைக்கப்பட்டுள்ளன:

எனவே, இந்த மதிப்புகள் மூன்று மதிப்புகள் வழங்கப்பட்டால், இரண்டு மீதமுள்ள மதிப்புகளின் தொடர்புடைய மதிப்புகள் இரண்டு அறியப்படாதவர்களுடன் இரண்டு சமன்பாடுகளின் ஒரு அமைப்பில் இணைந்து இந்த சூத்திரங்களிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

கணித முன்னேற்றம் ஒரு சலிப்பான காட்சியாகும். இதில்:

• ஏ டி > 0 , அது அதிகரித்து வருகிறது;
• ஏ டி < 0 , அது இறங்குகிறது;
• ஏ டி = 0 வரிசை நிலையானதாக இருக்கும்.

வடிவியல் முன்னேற்றம்

வடிவியல் முன்னேற்றம் இந்த வரிசை அழைக்கப்படுகிறது, ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் இரண்டாவது இருந்து தொடங்கி, முந்தைய ஒரு, அதே எண் பெருக்கப்படுகிறது.

பி 1 , பி 2 , பி 3 , . . . , b n., . . .

எந்த இயற்கை எண்ணிற்கும் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாகும் என் நிபந்தனை திருப்தி:

b n. +1 = b n. · கே,

எங்கே கே ≠ 0 - சில எண்.

இதனால், முந்தைய ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடுத்தடுத்த உறுப்பினரின் விகிதம் நிரந்தரமாக உள்ளது:

பி 2 / பி 1 = பி 3 / பி 2 = . . . = b n. +1 / b n. = கே.

எண் கே அழைப்பு பிரிவு வடிவியல் முன்னேற்றம்.

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தை அமைக்க, அதன் முதல் காலத்தையும் வகுக்கும் குறிப்பிடுவதற்கும் போதும்.

உதாரணத்திற்கு,

ஏ பி 1 = 1, கே = -3 , தொடர்ச்சியின் முதல் ஐந்து காட்சிகள் பின்வருமாறு காணலாம்:

b 1. = 1,

b 2. = b 1. · கே = 1 · (-3) = -3,

b 3. = b 2. · கே= -3 · (-3) = 9,

b 4. = b 3. · கே= 9 · (-3) = -27,

பி 5 = பி 4 · கே= -27 · (-3) = 81. ◄

பி 1 மற்றும் வகுக்கும் கே அவளுக்கு என் - நான் சூத்திரத்தால் காணலாம்:

b n. = பி 1 · கே -1 .

உதாரணத்திற்கு,

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஏழாவது உறுப்பினரைக் கண்டறியவும் 1, 2, 4, . . .

பி 1 = 1, கே = 2,

பி 7 = பி 1 · கே 6 = 1 · 2 6 \u003d 64.. ◄

b n-1. = b 1. · கே -2 ,

b n. = b 1. · கே -1 ,

b n. +1 = பி 1 · கே,

பின்னர் வெளிப்படையாக

b n. 2 = b n. -1 · b n. +1 ,

ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது இருந்து தொடங்கி சராசரியாக வடிவியல் (விகிதாசார) முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்கள் சமமாக உள்ளது.

எதிர் அறிக்கை உண்மையாக இருப்பதால், பின்வரும் அறிக்கை நடைபெறுகிறது:

எண்கள் A, B மற்றும் C ஆகியவை சில வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் நிலையான உறுப்பினர்களாக இருந்தால், அவற்றில் ஒன்றின் சதுரங்கள் மற்ற இரண்டு வேலைக்கு சமமாக இருந்தால், அதாவது எண்களில் ஒன்று சராசரியாக வடிவியல் இரண்டு ஆகும்.

உதாரணத்திற்கு,

சூத்திரத்தால் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள வரிசை என்பதை நாங்கள் நிரூபிக்கிறோம் b n. \u003d -3 · 2. என் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம். மேலே கூறப்பட்ட அறிக்கையைப் பயன்படுத்துகிறோம். எங்களுக்கு:

b n. \u003d -3 · 2. என்,

b n. -1 \u003d -3 · 2. என் -1 ,

b n. +1 \u003d -3 · 2. என் +1 .

எனவே,

b n. 2 \u003d (-3 · 2. என்) 2 \u003d (-3 · 2. என் -1 ) · (-3 · 2. என் +1 ) = b n. -1 · b n. +1 ,

இது தேவையான அறிக்கையை நிரூபிக்கிறது. ◄

குறிப்பு என்று என் -பிரோமெட்ரிக் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர் மட்டுமே காணப்படலாம் பி 1 , ஆனால் முந்தைய உறுப்பினர் பி கே. ஃபார்முலா பயன்படுத்த ஏன் போதும்

b n. = பி கே. · கே - கே.

உதாரணத்திற்கு,

ஐந்து பி 5 பதிவு செய்யலாம்

b 5. = b 1. · கே 4 ,

b 5. = b 2. · கே 3.,

b 5. = b 3. · கே 2.,

b 5. = b 4. · கே. ◄

b n. = பி கே. · கே - கே,

b n. = b n. - கே · கே கே,

பின்னர் வெளிப்படையாக

b n. 2 = b n. - கே· b n. + கே

ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரின் சதுர, இந்த முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் பணிக்கு சமமானதாகத் தொடங்கும்.

கூடுதலாக, எந்தவொரு வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கும் சமத்துவம் என்பது உண்மைதான்:

பி எம்.· b n.= பி கே.· பி எல்,

எம்.+ என்= கே+ எல்.

உதாரணத்திற்கு,

வடிவியல் முன்னேற்றத்தில்

1) பி 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = பி 5 · பி 7 ;

2) 1024 = பி 11 = பி 6 · கே 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) பி 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = பி 4 · பி 8 ;

4) பி 2 · பி 7 = பி 4 · பி 5 , உடன்

பி 2 · பி 7 = 2 · 64 = 128,

பி 4 · பி 5 = 8 · 16 = 128. ◄

எஸ்= பி 1 + பி 2 + பி 3 + . . . + b n.

முதல் என் வகைகளுடன் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் கே ≠ 0 சூத்திரம் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது:

மற்றும் ஐந்து கே = 1 - சூத்திரத்தின் படி

எஸ்= nb. 1

நீங்கள் உறுப்பினர்களை முடிக்க வேண்டும் என்றால்

பி கே., பி கே. +1 , . . . , b n.,

சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

உதாரணத்திற்கு,

வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

எஸ். 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = எஸ். 10 - எஸ். 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

வடிவியல் முன்னேற்றம் வழங்கப்பட்டால், மதிப்புகள் பி 1 , b n., கே, என் மற்றும் எஸ் இரண்டு சூத்திரங்கள் மூலம் பிணைக்கப்பட்டுள்ளன:

எனவே, இந்த மதிப்புகள் எந்த மூன்று மதிப்புகளும் கொடுக்கப்பட்டால், இரண்டு மீதமுள்ள மதிப்புகளின் தொடர்புடைய மதிப்புகள் இரண்டு சமன்பாடுகளுடன் இரண்டு சமன்பாடுகளின் ஒரு அமைப்பில் இணைந்து இந்த சூத்திரங்களிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

முதல் உறுப்பினருடன் வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்காக பி 1 மற்றும் வகுக்கும் கே பின்வரும் உள்ளன ஒற்றுமை பண்புகள் :

• பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று நிகழ்த்தப்பட்டால் முன்னேற்றம் அதிகரித்து வருகிறது:

பி 1 > 0 மற்றும் கே> 1;

பி 1 < 0 மற்றும் 0 < கே< 1;

• பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று நிகழ்த்தப்பட்டால் முன்னேற்றம் இறங்குகிறது:

பி 1 > 0 மற்றும் 0 < கே< 1;

பி 1 < 0 மற்றும் கே> 1.

ஏ கே< 0 , பின்னர் வடிவியல் முன்னேற்றம் ஒரு அடையாளம் ஆகும்): ஒற்றைப்படை எண்களின் உறுப்பினர்கள் அதன் முதல் உறுப்பினராக அதே அடையாளம், மற்றும் எண்களைக் கொண்ட உறுப்பினர்களைக் கொண்டுள்ளனர் - எதிர் அடையாளம். மாற்று வடிவியல் முன்னேற்றம் சலிப்பற்றதாக இல்லை என்பது தெளிவாகிறது.

முதல் வேலை என் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படலாம்:

ப= b 1. · B 2. · B 3. · . . . · B n. = (b 1. · b n.) என் / 2 .

உதாரணத்திற்கு,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

எண்ணற்ற வடிவியல் முன்னேற்றம் குறைகிறது

எண்ணற்ற வடிவியல் முன்னேற்றம் குறைகிறது முடிவிலா வடிவியல் முன்னேற்றத்தை அழைக்கவும், அதன் வகுப்பு தொகுதி குறைவாக உள்ளது 1 , i.e.

|கே| < 1 .

பெரிதும் குறைகிறது புவியியல் முன்னேற்றத்தை குறைத்து மதிப்பிட முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்க. இது வழக்குடன் தொடர்புடையது

1 < கே< 0 .

இந்த வகையுடன், வரிசை மாறும். உதாரணத்திற்கு,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

இனிமையானது வடிவியல் முன்னேற்றத்தை குறைத்தல் முதல் தொகை வரம்பற்ற எந்த எண்ணை அழைக்கவும் என் எண் வரம்பற்ற அதிகரிப்புடன் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் என் . இந்த எண் எப்போதும் நிச்சயமாக மற்றும் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

உதாரணத்திற்கு,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

கணித மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றங்களின் தொடர்பு

கணித மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றங்கள் ஒருவருக்கொருவர் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை. இரண்டு உதாரணங்கள் மட்டுமே கருதுகின்றன.

ஏ 1 , ஏ 2 , ஏ 3 , . . . டி டி

பி ஏ. 1 , பி ஏ. 2 , பி ஏ. 3 , . . . பி டி. .

உதாரணத்திற்கு,

1, 3, 5, . . . - ஒரு வித்தியாசத்துடன் கணித முன்னேற்றம் 2 மற்றும்

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - வகுக்களுடன் வடிவியல் முன்னேற்றம் 7 2 . ◄

பி 1 , பி 2 , பி 3 , . . . - வகுக்களுடன் வடிவியல் முன்னேற்றம் கே டி

ஒரு பி 1 ஐ பதிவு செய்யவும்., a b 2 ஐப் பயன்படுத்தவும், ஒரு B 3 ஐப் பதிவு செய்யவும், . . . - ஒரு வித்தியாசத்துடன் கணித முன்னேற்றம் பதிவு ஏ.கே .

உதாரணத்திற்கு,

2, 12, 72, . . . - வகுக்களுடன் வடிவியல் முன்னேற்றம் 6 மற்றும்

எல்ஜி 2, எல்ஜி 12, எல்ஜி 72, . . . - ஒரு வித்தியாசத்துடன் கணித முன்னேற்றம் எல்ஜி 6 . ◄

தலைப்பில் பாடம் மற்றும் வழங்கல்: "எண் காட்சிகள். வடிவியல் முன்னேற்றம்"

கூடுதல் பொருட்கள்
அன்புள்ள பயனர்கள், உங்கள் கருத்துகள், விமர்சனங்களை, விருப்பங்களை விட்டு மறக்க வேண்டாம்! எல்லா பொருட்களும் வைரஸ் தடுப்பு திட்டத்தால் சோதிக்கப்படுகின்றன.

பயிற்சி கையேடுகள் மற்றும் ஆன்லைன் ஸ்டோர் உள்ள "ஒருங்கிணைந்த" தரம் 9
டிகிரி மற்றும் வேர்கள் செயல்பாடுகளை மற்றும் கிராபிக்ஸ்

தோழர்களே, இன்று நாம் மற்றொரு வகை முன்னேற்றத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம்.
இன்றைய பாடம் தீம் வடிவியல் முன்னேற்றமாகும்.

வடிவியல் முன்னேற்றம்

உதாரணமாக. 1,2,4,8,16 ... வடிவியல் முன்னேற்றம், இதில் முதல் காலத்திற்கு ஒன்று, மற்றும் $ q \u003d $ 2.

உதாரணமாக. 8,88,88 ... வடிவியல் முன்னேற்றம், எட்டு சமமாக இருக்கும்,
ஒரு $ q \u003d 1 $.

உதாரணமாக. 3, -3.3, -3.3 ... வடிவியல் முன்னேற்றம், முதல் உறுப்பினர் மூன்று சமமாக இருக்கும்,
ஒரு $ q \u003d -1 $.

வடிவியல் முன்னேற்றம் ஒற்றுமை பண்புகள் கொண்டுள்ளது.
$ B_ (1)\u003e 0 $, $ q\u003e $ 1 என்றால்,
பின்னர் வரிசை அதிகரித்து வருகிறது.
$ B_ (1)\u003e 0 $, $ 0 என்றால் இந்த வரிசை வடிவத்தில் குறிக்கப்பட வேண்டும்: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $

மேலும் கணித முன்னேற்றத்தில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் நிச்சயமாக கூறுகளின் எண்ணிக்கை இருந்தால், முன்னேற்றம் இறுதி வடிவியல் முன்னேற்றமாக அழைக்கப்படுகிறது.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), b_ (n - 2), b_ (n - 1), b_ (n - 1), B_ (n) $.
குறிப்பு ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாக இருந்தால், உறுப்பினர்களின் சதுரங்களின் வரிசை ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாகும். இரண்டாவது வரிசையில், முதல் கால $ b_ (1) ^ 2 $, மற்றும் வகுக்கும் $ Q ^ 2 $ ஆகும்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் n-bous உறுப்பினரின் சூத்திரம்

நம் உதாரணங்கள் மீண்டும் செல்லலாம்.

உதாரணமாக. 1,2,4,8,16 ... வடிவியல் முன்னேற்றம், இதில் முதல் காலத்திற்கு ஒன்று சமமாக இருக்கும்,
ஒரு $ q \u003d $ 2.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (N - 1) $.

உதாரணமாக. 16,84,2,11/2 ... வடிவியல் முன்னேற்றம், இதில் முதல் கால பதினாறு மற்றும் $ q \u003d \\ frac (1) (2) $ ஆகும்.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n - 1) $.

உதாரணமாக. 8,88,88 ... புவியியல் முன்னேற்றம், இதில் முதல் கால எட்டு, மற்றும் $ q \u003d 1 $.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n - 1) \u003d $ 8.

உதாரணமாக. 3, -3.3, -3.3 ... வடிவியல் முன்னேற்றம், இதில் முதல் கால மூன்று சமமாக இருக்கும், மற்றும் $ q \u003d -1 $ ஆகும்.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n - 1) $.

உதாரணமாக. $ B_ (1), b_ (2) என்ற வடிவியல் முன்னேற்றம் ..., b_ (n), ... $ ...
a) இது $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d $ 3 என்று அறியப்படுகிறது. $ B_ (5) $ கண்டுபிடிக்க.
b) இது $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d $ 768 என்று அறியப்படுகிறது. என் கண்டுபிடிக்க
சி) இது $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d $ 96 என்று அறியப்படுகிறது. $ B_ (1) $ கண்டுபிடிக்க.
ஈ) இது $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d $ 4096 என்று அறியப்படுகிறது. கே.

முடிவு.
ஒரு) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d $ 486.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n - 1) \u003d 6 * 2 ^ (n - 1) \u003d $ 768.
$ 2 ^ (n - 1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $, $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n - 1 \u003d 7; N \u003d $ 8.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - $ 3.
ஈ) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * Q ^ (11) \u003d - 2 * Q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e Q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

உதாரணமாக. ஜெனரல் மற்றும் ஐந்தாவது உறுப்பினர்களிடையே உள்ள வேறுபாடு 192 ஆகும், இது ஐந்தாவது மற்றும் ஆறாவது அங்கத்தினரின் அளவு 192 ஆகும். இந்த முன்னேற்றத்தின் பத்தாவது உறுப்பினரைக் கண்டறியவும்.

முடிவு.
நாம் அறிவோம்: $ b_ (7) -B_ (5) \u003d 192 $ மற்றும் $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
நாங்கள் அறிவோம்: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
பிறகு:
$ B_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ B_ (1) * Q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
சமன்பாடுகளின் ஒரு முறை கிடைத்தது:
$ \\ தொடக்கம் (வழக்குகள்) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ 192 \\ enm (வழக்குகள்) $.
தயாரிப்பு, எங்கள் சமன்பாடுகள் பெறப்படும்:
$ B_ (1) * Q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ q ^ 4 (1 + q) $.
$ Q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ Q ^ 2-q-2 \u003d 0 $.
இரண்டு தீர்வுகள் Q: $ q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $.
நாங்கள் இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்காக மாற்றுவோம்:
$ B_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d $ 4.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ எதுவும் தீர்வுகள்.
கிடைத்தது: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d $ 2.
நாங்கள் பத்தாம் உறுப்பினர் கண்டுபிடிக்க: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d $ 2048.

வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அளவு

கொடுக்கப்பட்ட இறுதி வடிவியல் முன்னேற்றம்: $ b_ (1), b_ (2), ..., b_ (n - 1), b_ (n) $.
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n) $ $ அதன் உறுப்பினர்களின் தொகையை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்துகிறோம்.
வழக்கில் $ q \u003d 1 $. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அனைத்து உறுப்பினர்களும் முதல் உறுப்பினருக்கு சமமாக இருப்பதால், அது $ s_ (n) \u003d n * b_ (1) $ என்று தெளிவாக உள்ளது.
$ Q ≠ $ 1 இப்போது கருத்தில் கொள்ளுங்கள்.
மேலே மேலே மேலே அளவு பெருக்க.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * Q + ⋯ + b_ (n - 1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * Q $.
குறிப்பு:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) + b_ (n) * Q $.

$ S_ (n) * q-s_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2 ) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n - 1) * q-b_ (1) (Q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அளவின் சூத்திரத்தை நாங்கள் பெற்றோம்.

முடிவு.
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d $ 4372.

உதாரணமாக.
$ B_ (1) \u003d - $ 3; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - $ 4095.

முடிவு.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n - 1) \u003d - $ 3072.
$ Q ^ (n - 1) \u003d 1024 $.
$ Q ^ (n) \u003d 1024q $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (q ^ (q ^ (n) -1)) (q-1) \u003d - $ 4095.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $ $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (1024Q-1) $.
$ 1365Q-1365 \u003d 1024Q-1 $.
$ 341Q \u003d $ 1364.
$ Q \u003d $ 4.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பண்பு சொத்து

எண் வரிசைமுறை என்பது வடிவியல் முன்னேற்றம் ஆகும், ஒவ்வொரு உறுப்பினரின் சதுரமும் அதனுடன் இரண்டு அருகில் உள்ள முன்னேற்றத்தின் உற்பத்திக்கு சமமாக இருக்கும் போது மட்டுமே. இறுதி முன்னேற்றத்திற்காக, இந்த நிலை முதல் மற்றும் கடைசி உறுப்பினருக்கு செய்யப்படவில்லை என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரின் தொகுதி அதன் அருகில் இருக்கும் சராசரியான வடிவியல் இரண்டு உறுப்பினர்களுக்கு சமமாக உள்ளது.

முடிவு.
நாங்கள் பண்பு சொத்துக்களை பயன்படுத்துகிறோம்:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + $ 6.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ மற்றும் $ x_ (2) \u003d - 1 $.
அசல் வெளிப்பாட்டில் தொடர்ந்து மாற்றாக, எங்கள் தீர்வுகள்:
$ X \u003d $ 2 இல், வரிசை பெறப்பட்டது: 4; 6; 9 - வடிவியல் முன்னேற்றம், இதில் $ q \u003d $ 1.5 $.
$ X \u003d -1 $ க்கு, வரிசை கிடைத்தது: 1; 0; 0.
பதில்: $ x \u003d 2. $

சுய தீர்வுக்கான பணிகள்

வடிவியல் முன்னேற்றம், எண்கணிதத்துடன் இணைந்து, ஒரு முக்கிய எண்ணிக்கையிலான அருகில் உள்ளது, இது Grad again again age again again again இந்த கட்டுரையில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகையை கருத்தில் கொண்டு, அதன் மதிப்பு அதன் பண்புகளை எவ்வாறு பாதிக்கிறது என்பதைப் பரிசீலிக்கவும்.

முன்னேற்றம் ஜியோமெட்ரிக் வரையறை

தொடங்குவதற்கு, இந்த எண் தொடரின் வரையறையை நாம் கொடுக்கிறோம். வடிவியல் முன்னேற்றம் போன்ற பல பகுத்தறிவு எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு தொடர்ச்சியான எண்ணிக்கையிலான அதன் முதல் உறுப்புக்கான நிலையான பெருக்கத்தால் உருவாகிறது.

உதாரணமாக, ஒரு வரிசையில் எண்கள் 3, 6, 12, 24, ... ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் ஆகும், ஏனென்றால் நீங்கள் 3 (முதல் உறுப்பு) 2 மூலம் பெருக்கினால், நாம் 6. கிடைக்கும் 6. 6 பெருக்கினால், நாம் பெறுவோம் 12, மற்றும் பல.

கருத்தின் கீழ் வரிசையின் உறுப்பினர்கள் AI குறியீட்டை குறிக்க வழக்கமாக இருக்கின்றனர், அங்கு வரிசையில் உள்ள உறுப்பு எண்ணை குறிக்கும் ஒரு முழு எண்.

முன்னேற்றம் பற்றிய மேற்கூறிய வரையறை பின்வருமாறு கணித மொழியில் எழுதப்படலாம்: A \u003d BN-1 * A1, B வகையாகும். எளிதாக இந்த சூத்திரத்தை பாருங்கள்: N \u003d 1 என்றால், பின்னர் B1-1 \u003d 1, மற்றும் நாம் A1 \u003d A1 ஐ பெறுகிறோம். N \u003d 2, பின்னர் ஒரு \u003d b * a1, மற்றும் நாம் மீண்டும் கருத்தில் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கையை வரையறைக்கு வருகிறோம். N. இன் பெரிய மதிப்புகளுக்கு ஒத்த வாதங்கள் தொடரும்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகைக்கு

எண் B முழுமையாக எந்த எண் தொடர்ச்சியான தொடராக இருக்கும் என்பதை முழுமையாக தீர்மானிக்கிறது. பகுதியினர் B நேர்மறை, எதிர்மறை, மற்றும் ஒன்று அல்லது அதற்கு குறைவாக ஒரு மதிப்பு உள்ளது. அனைத்து பட்டியலிடப்பட்ட விருப்பங்கள் வெவ்வேறு காட்சிகளுக்கு வழிவகுக்கும்:

• b\u003e 1. அதிகரித்து வரும் பகுத்தறிவு எண்கள் எண்ணிக்கை உள்ளது. உதாரணமாக, 1, 2, 4, 8, ... உறுப்பு A1 எதிர்மறையாக இருந்தால், முழு வரிசை மட்டுமே தொகுதி மூலம் அதிகரிக்கும், ஆனால் எண்களின் அறிகுறி குறைக்க.
• b \u003d 1. பெரும்பாலும் இந்த வழக்கு முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படவில்லை, ஏனெனில் ஒரு சாதாரண எண்ணிக்கையிலான எண்ணிக்கையிலான எண்ணிக்கையிலான எண்ணிக்கையிலான எண்ணிக்கையிலான எண்ணிக்கை. உதாரணமாக, -4, -4, -4.

SUM க்கான சூத்திரம்

குறிப்பிட்ட பணிகளை கருத்தில் கொண்டு குறிப்பிட்ட பணிகளை கருத்தில் கொண்டு, பரிசீலனையின் கீழ் முன்னேற்றத்தை வகைப்படுத்துவதன் மூலம், அதன் முதல் n உறுப்புகளின் அளவுக்கு ஒரு முக்கியமான சூத்திரத்தை கொண்டு வர வேண்டியது அவசியம். சூத்திரம் வடிவம்: SN \u003d (BN - 1) * A1 / (B - 1).

முன்னேற்ற உறுப்பினர்களின் சுழல்நிலை வரிசையை நீங்கள் கருத்தில் கொண்டால், இந்த வெளிப்பாட்டை நீங்கள் பெறலாம். மேலே உள்ள சூத்திரத்தில், முதல் உறுப்பு மற்றும் பகுதியினர் மட்டுமே உறுப்பினர்களின் ஒரு தன்னிச்சையான எண்ணிக்கையிலான எண்ணிக்கையைக் கண்டுபிடிக்க மட்டுமே போதும் என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்.

எண்ணற்ற குறைப்பு வரிசை

மேலே பிரதிபலிக்கும் ஒரு விளக்கம் கொடுக்கப்பட்டது. இப்போது, \u200b\u200bSN க்கான சூத்திரத்தை அறிந்துகொள்வது, இந்த எண் வரிசையில் நாம் அதைப் பயன்படுத்துகிறோம். எந்த எண் இருந்து, இது தொகுதி 1 க்கு மேல் இல்லை, அமைக்கப்பட்ட போது, \u200b\u200bஅது பூஜ்யம் முற்படுகிறது, அது, b∞ \u003d\u003e 0, என்றால் -1

வேறுபாடு (1 - B) எப்பொழுதும் நேர்மறையாக இருக்கும் என்பதால், வகையின் மதிப்புகள் பொருட்படுத்தாமல், புவியியல் எஸ்.ஐ.யின் எண்ணற்ற வளர்ச்சியைக் குறைப்பதற்கான அளவு அடையாளம் அதன் முதல் உறுப்பு A1 இன் அடையாளம் மூலம் தனித்தனியாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

இப்போது குறிப்பிட்ட எண்களில் பெற்ற அறிவைப் பயன்படுத்துவது எப்படி என்பதைக் காட்டும் பல பணிகளை இப்போது கருதுகிறோம்.

பணி எண் 1. முன்னேற்றம் மற்றும் அளவு தெரியாத கூறுகள் கணக்கிட

முன்னேற்றத்தின் வளர்ச்சியின் முன்னேற்றம் 2, மற்றும் அதன் முதல் உறுப்பு 3 மற்றும் அதன் முதல் உறுப்பு 3 அதன் 7 வது மற்றும் 10 வது உறுப்பினர்களுக்கு சமமாக உள்ளது, அதன் ஏழு ஆரம்ப கூறுகளின் தொகை என்ன?

சிக்கலின் நிலை மிகவும் எளிமையானது மற்றும் மேலே உள்ள சூத்திரங்களின் நேரடி பயன்பாட்டைக் குறிக்கிறது. எனவே, எண் n உடன் உறுப்பு கணக்கிட, நாம் ஒரு \u003d bn-1 * A1 வெளிப்பாட்டை பயன்படுத்துகிறோம். 7 வது உறுப்பு, எங்களுக்கு: A7 \u003d B6 * A1, அறியப்பட்ட தரவை மாற்றுக, நாங்கள் பெறுகிறோம்: A7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. அதே வழியில் 10 வது உறுப்பினருக்கு செய்யப்படுகிறது: A10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.

தொகைக்கு நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தை நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் தொடரின் 7 வது முதல் கூறுகளுக்கு இந்த மதிப்பை தீர்மானிக்கிறோம். எங்களுக்கு: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

பணி எண் 2. முன்னேற்றத்தின் தன்னிச்சையான கூறுகளின் அளவு தீர்மானித்தல்

BN-1 * 4 இன் வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் முன்னேற்றத்தின் ஒரு வகைக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அங்கு n ஒரு முழு எண் ஆகும். இந்த தொடரின் 10 வது உறுப்புக்கு 5 வது பகுதியிலிருந்து தொகையை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

பிரச்சனை அறியப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நேரடியாக தீர்க்கப்படாது. இது 2 வெவ்வேறு முறைகள் மூலம் தீர்க்கப்பட முடியும். தலைப்பின் விளக்கக்காட்சியின் முழுமைக்காக, நாங்கள் இருவரும் கொண்டுவருகிறோம்.

முறை 1. இது யோசனை எளிது: நீங்கள் முதல் உறுப்பினர்கள் இரண்டு தொடர்புடைய தொகைகளை கணக்கிட வேண்டும், பின்னர் ஒரு மற்ற இருந்து கழித்து. ஒரு சிறிய அளவு கணக்கிட: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. இப்போது நாம் ஒரு பெரிய அளவு கணக்கிட: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. பிந்தைய வெளிப்பாடுகளில் 4 விதிமுறைகள் சுருக்கப்பட்டன என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், 5 வது ஏற்கனவே நீங்கள் சிக்கலின் சிக்கலின் கீழ் கணக்கிட வேண்டும் என்ற அளவில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. இறுதியாக, நாம் வேறுபாடு எடுத்து: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

முறை 2. எண்கள் மற்றும் எண்ணை மாற்றுவதற்கு முன், உறுப்பினர்கள் M மற்றும் N க்கு இடையேயான தொடர்ச்சியான தொகைக்கு ஒரு சூத்திரத்தை பெற முடியும். நாம் முறையாக 1-ல் இருப்பதைப் போலவே செய்வோம், நாங்கள் முதலில் தொகையை வழங்குவதன் மூலம் முதலில் வேலை செய்கிறோம். நாம்: SNM \u003d (BN - 1) * A1 / (B - 1) - (BM-1 - 1) * A1 / (B - 1) \u003d A1 * (BN - BM-1) / (b - 1) . இதன் விளைவாக வெளிப்பாடுகளில், நீங்கள் அறியப்பட்ட எண்களை மாற்றலாம் மற்றும் இறுதி முடிவை கணக்கிடலாம்: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d \u003d -1344.

பணி # 3. வகுக்கும் என்ன?

A1 \u003d 2, ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றத்தின் வகையை கண்டுபிடித்து விடுங்கள், அதன் முடிவிலா அளவு 3 ஆகும், மேலும் இது எண்களின் குறையும் எண் என்று அறியப்படுகிறது.

பணியின் நிலைமையால், அதைத் தீர்ப்பதற்கு எந்த சூத்திரத்தை பயன்படுத்த வேண்டும் என்று யூகிக்க கடினமாக இல்லை. நிச்சயமாக, எண்ணற்ற குறைவு முன்னேற்றத்தின் தொகைக்கு. நாம்: S∞ \u003d A1 / (1 - பி). ஸ்தாபனத்தை எக்ஸ்பைனோமீட்டர் எங்கு தெரிவிக்கிறார்: B \u003d 1 - A1 / S∞. இது அறியப்பட்ட மதிப்புகள் பதிலாக மற்றும் விரும்பிய எண் பெற உள்ளது: B \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 அல்லது -0.333 (3). நீங்கள் இந்த வகை வரிசையில் இந்த வகையை நினைவில் வைத்துக் கொள்ளலாம், தொகுதி B க்கு அப்பால் செல்லக்கூடாது என்பதை நினைவில் வைத்துக் கொள்ளலாம். காணலாம் 1. பார்க்க முடியும், | -1 / 3 |

பணி எண் 4. எண்ணிக்கையிலான எண்களின் மறுசீரமைப்பு

உதாரணமாக, எண் தொடரின் 2 கூறுகள், 60 முதல் 10 வரை சமமாக இருக்கும். இந்தத் தரவின் படி மொத்த வரம்பை மீட்டெடுக்க வேண்டியது அவசியம். இது ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றத்தின் பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறது.

பணி தீர்க்க, ஒவ்வொரு நன்கு அறியப்பட்ட உறுப்பினர் ஒரு தொடர்புடைய வெளிப்பாடு தொடங்க வேண்டும். நாம்: A5 \u003d B4 * A1 மற்றும் A10 \u003d B9 * A1. இப்போது நாம் முதலில் இரண்டாவது வெளிப்பாட்டை பிரிக்கிறோம், நாங்கள் பெறுகிறோம்: A10 / A5 \u003d B9 * A1 / (B4 * A1) \u003d B5. இங்கிருந்து, நாங்கள் பிரிவினையை நிர்ணயிக்கிறோம், உறுப்பினர்களின் பணியின் விதிமுறைகளிலிருந்து அறியப்பட்ட உறவு இருந்து ஐந்தாவது பட்டம் ரூட் எடுத்து, B \u003d 1,148698. இதன் விளைவாக எண் அறியப்பட்ட உறுப்புக்கான வெளிப்பாடுகளில் ஒன்றில் மாற்றப்பட்டுள்ளது, நாங்கள் பெறுகிறோம்: A1 \u003d A5 / B4 \u003d 30 / (1,148698) 4 \u003d 17,2304966.

இதனால், பிஎன் இன் முன்னேற்றத்தின் வகைக்கு சமமானதாகும், பிஎன்-1 * 17,2304966 \u003d ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தை பி.என்-1 * 17,2304966 \u003d ஒரு, பி \u003d 1,148698.

வடிவியல் முன்னேற்றம் எங்கே?

நடைமுறையில் இந்த எண்ணியல் தொடரின் பயன்பாட்டிற்கு இது இல்லையென்றால், அவருடைய ஆய்வு முற்றிலும் தத்துவார்த்த ஆர்வத்திற்கு குறைக்கப்படும். ஆனால் இந்த பயன்பாடு உள்ளது.

பின்வரும் 3 மிக பிரபலமான எடுத்துக்காட்டுகள்:

• Zeno முரண்பாடு, இதில் திறமையான குதிகால் ஒரு மெதுவான ஆமை பிடிக்க முடியாது, இதில் எண்களின் எண்ணற்ற காட்சிகளை குறைப்பதற்கான கருத்தை பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகிறது.
• செஸ்ஸ்போர்டின் ஒவ்வொரு கலத்திலும் கோதுமை தானியங்கள் இருந்தால், 1 வது உயிரணுக்களில் 2 வது இடத்தில், 2 வது - 3 இல், 3 வது - 3 மற்றும் அதற்கு மேல், பின்னர் போர்டின் அனைத்து உயிரணுக்களையும் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும் 18446744073709551615 தானியங்கள்!
• விளையாட்டு "ஹனோய் கோபுரம்" ஒரு கம்பி இருந்து மற்றொரு ஐந்து டிஸ்க்குகளை மறுசீரமைக்க, அது 2n - 1 செயல்பாடுகளை செய்ய வேண்டும், அதாவது, பயன்படுத்தப்படும் வட்டுகளின் எண்ணிக்கையில் வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் அவர்களின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும்.