தங்க விகிதத்தைக் கண்டுபிடித்தவர். தங்க விகிதம் எவ்வாறு செயல்படுகிறது

வீடு / முன்னாள்

கோல்டன் ரேஷியோ என்பது ஒரு எளிய கொள்கையாகும், இது வடிவமைப்புகளை பார்வைக்கு மகிழ்விக்க உதவும். இந்த கட்டுரையில், அதை எப்படி, ஏன் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதை விரிவாக விளக்குவோம்.

கோல்டன் ரேஷியோ அல்லது கோல்டன் மீன் எனப்படும் இயற்கையான கணித விகிதாச்சாரம், ஃபைபோனச்சி வரிசையை அடிப்படையாகக் கொண்டது (பள்ளியில் நீங்கள் கேள்விப்பட்டிருக்கலாம் அல்லது டான் பிரவுனின் புத்தகமான தி டா வின்சி கோட்) 1.61.

இத்தகைய விகிதம் பெரும்பாலும் நம் வாழ்வில் (மருந்துகள், அன்னாசிப்பழங்கள், பூக்கள் போன்றவை) காணப்படுகிறது, எனவே ஒரு நபரால் இயற்கையானது, கண்ணுக்கு மகிழ்ச்சி அளிக்கிறது.

→ தங்க விகிதம் என்பது ஃபைபோனச்சி வரிசையில் இரண்டு எண்களுக்கு இடையிலான உறவாகும்
→ இந்த வரிசையை அளவிடுவது இயற்கையில் காணக்கூடிய சுருள்களை உருவாக்குகிறது.

பண்டைய எகிப்தியர்கள் பிரமிடுகளை நிர்மாணிப்பதில் இந்த கொள்கையைப் பயன்படுத்தியதாகக் கூறும் விஞ்ஞானிகளை நீங்கள் நம்பினால், கோல்டன் ரேஷியோ 4 ஆயிரம் ஆண்டுகளுக்கும் மேலாக கலை மற்றும் வடிவமைப்பில் மனிதகுலத்தால் பயன்படுத்தப்படுகிறது என்று நம்பப்படுகிறது.

பிரபலமான உதாரணங்கள்

நாங்கள் கூறியது போல், கலை மற்றும் கட்டிடக்கலை வரலாறு முழுவதும் தங்க விகிதத்தைக் காணலாம். இந்தக் கொள்கையைப் பயன்படுத்துவதன் செல்லுபடியை மட்டுமே உறுதிப்படுத்தும் சில எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:

கட்டிடக்கலை: பார்த்தீனான்

பண்டைய கிரேக்க கட்டிடக்கலையில், கோல்டன் ரேஷியோ ஒரு கட்டிடத்தின் உயரம் மற்றும் அகலம், போர்டிகோவின் அளவு மற்றும் நெடுவரிசைகளுக்கு இடையிலான தூரம் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான சிறந்த விகிதத்தை கணக்கிட பயன்படுத்தப்பட்டது. பின்னர், இந்த கொள்கை நியோகிளாசிசத்தின் கட்டிடக்கலை மூலம் மரபுரிமை பெற்றது.

கலை: கடைசி இரவு உணவு

கலைஞர்களுக்கு இசையமைப்பே அடித்தளம். லியோனார்டோ டா வின்சி, பல கலைஞர்களைப் போலவே, கோல்டன் விகிதத்தின் கொள்கையால் வழிநடத்தப்பட்டார்: எடுத்துக்காட்டாக, கடைசி இரவு உணவில், சீடர்களின் புள்ளிவிவரங்கள் மூன்றில் இரண்டு பங்குகளில் அமைந்துள்ளன (தங்க விகிதத்தின் இரண்டு பகுதிகளில் பெரியது. ), மற்றும் இயேசு இரண்டு செவ்வகங்களுக்கு நடுவில் கண்டிப்பாக வைக்கப்படுகிறார்.

வலை வடிவமைப்பு: ட்விட்டர் 2010 இல் மறுவடிவமைப்பு செய்யப்பட்டது

ட்விட்டர் கிரியேட்டிவ் டைரக்டர் டக் போமன் தனது ஃபிளிக்கர் கணக்கில் 2010 மறுவடிவமைப்புக்கான கோல்டன் ரேஷியோவைப் பயன்படுத்துவதை விளக்கி ஒரு ஸ்கிரீன் ஷாட்டை வெளியிட்டார். "#NewTwitter விகிதத்தில் ஆர்வமுள்ள எவரும் - உங்களுக்குத் தெரியும், இது சும்மா செய்யப்படவில்லை," என்று அவர் கூறினார்.

ஆப்பிள் iCloud

iCloud சேவை ஐகான் ஒரு சீரற்ற ஓவியம் அல்ல. Takamasa Matsumoto தனது வலைப்பதிவில் (அசல் ஜப்பானிய பதிப்பு) விளக்கியது போல், அனைத்தும் கோல்டன் ரேஷியோவின் கணிதத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது, அதன் உடற்கூறியல் வலதுபுறத்தில் உள்ள படத்தில் காணலாம்.

கோல்டன் விகிதத்தை எவ்வாறு உருவாக்குவது?

கட்டுமானம் மிகவும் நேரடியானது மற்றும் பிரதான சதுரத்துடன் தொடங்குகிறது:

ஒரு சதுரத்தை வரையவும். இது செவ்வகத்தின் "குறுகிய பக்கத்தின்" நீளத்தை உருவாக்கும்.

செங்குத்து கோட்டுடன் சதுரத்தை பாதியாகப் பிரிக்கவும், இதனால் நீங்கள் இரண்டு செவ்வகங்களைப் பெறுவீர்கள்.

ஒரு செவ்வகத்தில், எதிரெதிர் மூலைகளை இணைத்து ஒரு கோட்டை வரையவும்.

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி இந்த வரியை கிடைமட்டமாக விரிவாக்கவும்.

முந்தைய படிகளில் நீங்கள் வரைந்த கிடைமட்ட கோட்டை அடிப்படையாக பயன்படுத்தி மற்றொரு செவ்வகத்தை உருவாக்கவும். தயார்!

"கோல்டன்" கருவிகள்

சதி மற்றும் அளவிடுதல் உங்களுக்கு பிடித்த பொழுது போக்கு இல்லை என்றால், இதற்காக பிரத்யேகமாக வடிவமைக்கப்பட்ட கருவிகளுக்கு அனைத்து அழுக்கு வேலைகளையும் விட்டு விடுங்கள். கீழே உள்ள 4 எடிட்டர்கள் மூலம் கோல்டன் ரேஷியோவை எளிதாகக் கண்டறியவும்!

GoldenRATIO ஆப்ஸ், கோல்டன் ரேஷியோவிற்கு ஏற்ப இணையதளங்கள், இடைமுகங்கள் மற்றும் தளவமைப்புகளை வடிவமைக்க உதவுகிறது. Mac App Store இல் $2.99க்கு கிடைக்கிறது, இது காட்சி பின்னூட்டத்துடன் உள்ளமைக்கப்பட்ட கால்குலேட்டரையும், திரும்பத் திரும்பச் செய்யும் பணிகளுக்கான விருப்பங்களைச் சேமிக்கும் வசதியான விருப்பமான அம்சத்தையும் கொண்டுள்ளது. Adobe Photoshop உடன் இணக்கமானது.

கோல்டன் ரேஷியோவின் கொள்கைகளின்படி உங்கள் இணையதளத்திற்கான சரியான அச்சுக்கலை உருவாக்க உதவும் கால்குலேட்டர் இது. தளத்தில் உள்ள புலத்தில் எழுத்துரு அளவு, உள்ளடக்க அகலத்தை உள்ளிட்டு, "எனது வகையை அமை" என்பதைக் கிளிக் செய்யவும்!

இது Mac மற்றும் PC க்கான எளிய மற்றும் இலவச பயன்பாடாகும். ஒரு எண்ணை உள்ளிடவும், அது கோல்டன் ரேஷியோ விதியின்படி அதற்கான விகிதத்தைக் கணக்கிடும்.

கட்டங்களைக் கணக்கிடுதல் மற்றும் வரைதல் ஆகியவற்றின் தொந்தரவைச் சேமிக்கும் ஒரு எளிமையான நிரல். சரியான விகிதாச்சாரத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது! ஃபோட்டோஷாப் உட்பட அனைத்து கிராஃபிக் எடிட்டர்களுடனும் வேலை செய்கிறது. கருவி செலுத்தப்பட்ட போதிலும் - $ 49, சோதனை பதிப்பை 30 நாட்களுக்கு சோதிக்க முடியும்.

தங்க விகிதம் எளிமையானது, எல்லாவற்றையும் போல புத்திசாலித்தனம். AB பிரிவை கற்பனை செய்து பாருங்கள், ஒரு புள்ளி C ஆல் பிரிக்கப்பட்டது. நீங்கள் புள்ளி C ஐ மட்டும் போட வேண்டும், அதனால் நீங்கள் CB / AC = AC / AB = 0.618 என்ற சமநிலையை உருவாக்க முடியும். அதாவது, சிறிய பிரிவு CB ஐ நடுத்தர பிரிவு AC இன் நீளத்தால் வகுப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட எண், நடுத்தர பிரிவு AC ஐ பெரிய பிரிவு AB இன் நீளத்தால் வகுப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட எண்ணுடன் ஒத்துப்போக வேண்டும். இந்த எண் 0.618 ஆக இருக்கும். இது தங்கம், அல்லது, அவர்கள் பழங்காலத்தில் சொன்னது போல், தெய்வீக விகிதம் - f(கிரேக்கம் "ஃபை"). சிறப்பான குறியீடு.

இந்த விகிதத்தைப் பின்பற்றுவது நல்லிணக்க உணர்வைத் தருகிறது என்பதை எப்போது, யாரால் கவனிக்கப்பட்டது என்று சரியாகச் சொல்வது கடினம். ஆனால் மக்கள் தங்கள் கைகளால் ஏதாவது ஒன்றை உருவாக்கத் தொடங்கியவுடன், அவர்கள் உள்ளுணர்வாக இந்த விகிதத்திற்கு இணங்க முயன்றனர். கணக்கில் கொண்டு கட்டிடங்கள் கட்டப்பட்டுள்ளன f, தங்க விகிதத்தின் விகிதங்கள் மீறப்பட்டவற்றுடன் ஒப்பிடும்போது எப்போதும் மிகவும் இணக்கமாகத் தெரிகிறது. இது பல்வேறு சோதனைகள் மூலம் பலமுறை சரிபார்க்கப்பட்டது.

வடிவவியலில் பிரிக்கமுடியாத வகையில் இணைக்கப்பட்ட இரண்டு பொருள்கள் உள்ளன f: வழக்கமான பென்டகன் (பென்டாகிராம்) மற்றும் மடக்கை சுழல். ஒரு பென்டாகிராமில், ஒவ்வொரு வரியும், அருகில் உள்ள ஒன்றோடு வெட்டப்பட்டு, அதை தங்க விகிதத்தில் பிரிக்கிறது, மேலும் மடக்கைச் சுழலில், அருகிலுள்ள சுழல்களின் விட்டம் நமது வரி AB இல் உள்ள AC மற்றும் CB பிரிவுகளைப் போலவே ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையது. ஆனாலும் fவடிவவியலில் மட்டும் வேலை செய்கிறது. எந்தவொரு அமைப்பின் பகுதிகளும் (உதாரணமாக, ஒரு அணுவின் கருவில் உள்ள புரோட்டான்கள் மற்றும் நியூட்ரான்கள்) தங்க எண்ணுடன் தொடர்புடைய விகிதத்தில் இருக்கலாம் என்று நம்பப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், விஞ்ஞானிகள் நம்புகின்றனர், அமைப்பு உகந்ததாக மாறிவிடும். உண்மை, கருதுகோளின் அறிவியல் உறுதிப்படுத்தலுக்கு ஒரு டஜன் ஆண்டுகளுக்கும் மேலான ஆராய்ச்சி தேவைப்படுகிறது. எங்கே fகருவி முறையால் அளவிட முடியாது, ஃபைபோனச்சி எண் தொடர் என அழைக்கப்படுவது பயன்படுத்தப்படுகிறது, இதில் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த எண்ணும் முந்தைய இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, முதலியன இந்தத் தொடரின் தனித்தன்மை என்னவென்றால், அதன் எண்களில் ஏதேனும் ஒன்றை அடுத்த ஒன்றால் வகுக்கும் போது, முடிவு முடிந்தவரை 0.618 க்கு அருகில் பெறப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 2.3 மற்றும் 5 எண்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். 2/3 = 0.666 மற்றும் 3/5 = 0.6. உண்மையில், எங்கள் பிரிவு AB இன் கூறுகளுக்கு இடையே உள்ள அதே விகிதம் உள்ளது. எனவே, ஒரு பொருள் அல்லது நிகழ்வின் அளவிடும் பண்புகளை ஃபைபோனச்சி எண் வரிசையில் உள்ளிட முடியுமானால், அவற்றின் அமைப்பு தங்க விகிதத்தில் உள்ளது என்று அர்த்தம். மேலும் இதுபோன்ற எண்ணற்ற பொருள்கள் மற்றும் அமைப்புகள் உள்ளன, மேலும் நவீன விஞ்ஞானம் மேலும் மேலும் புதியவற்றைக் கண்டுபிடித்து வருகிறது. எனவே கேள்வி, இல்லையா fநம் உலகம் தங்கியிருக்கும் உண்மையான தெய்வீக விகிதம் சொல்லாட்சிக்குரியது அல்ல.

இயற்கையில் தங்க விகிதம்

தங்க விகிதாச்சாரம் இயற்கையிலும், எளிமையான மட்டங்களிலும் கூட காணப்படுகிறது. உதாரணமாக, அனைத்து உயிரினங்களின் திசுக்களை உருவாக்கும் புரத மூலக்கூறுகளை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். மூலக்கூறுகள் எடையில் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன, இது அவற்றில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அமினோ அமிலங்களின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது. வெகு காலத்திற்கு முன்பு, மிகவும் பொதுவான புரதங்கள் 31 நிறை கொண்டவை என்று கண்டறியப்பட்டது; 81.2; 140.6; 231; 319 ஆயிரம் அலகுகள். இந்த தொடர் ஃபிபோனச்சி தொடருக்கு கிட்டத்தட்ட ஒத்ததாக விஞ்ஞானிகள் குறிப்பிடுகின்றனர் - 3, 8,13, 21, 34 (இங்கே விஞ்ஞானிகள் இந்த தொடரின் தசம வேறுபாட்டை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளவில்லை).

நிச்சயமாக, மேலும் ஆராய்ச்சி ஒரு புரதத்தைக் கண்டுபிடிக்கும், அதன் நிறை 5 உடன் தொடர்புபடுத்தும். இந்த நம்பிக்கையானது புரோட்டோசோவாவின் கட்டமைப்பால் கூட வழங்கப்படுகிறது - பல வைரஸ்கள் ஐங்கோண அமைப்பைக் கொண்டுள்ளன. முனைகின்றன fமற்றும் இரசாயன கூறுகளின் விகிதங்கள். அதற்கு மிக நெருக்கமானது புளூட்டோனியம்: அதன் கருவில் உள்ள புரோட்டான்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் நியூட்ரான்களின் விகிதம் 0.627 ஆகும். தொலைவில் ஹைட்ரஜன் உள்ளது. இதையொட்டி, இரசாயன சேர்மங்களில் உள்ள அணுக்களின் எண்ணிக்கை வியக்கத்தக்க வகையில் பெரும்பாலும் ஃபைபோனச்சி எண்களின் பல மடங்கு ஆகும். யுரேனியம் ஆக்சைடுகள் மற்றும் உலோக கலவைகளுக்கு இது குறிப்பாக உண்மை.

நீங்கள் ஒரு மரத்தின் மொட்டை வெட்டினால், எதிர் திசையில் இரண்டு சுருள்கள் இருப்பதைக் காணலாம். இவை இலைகளின் அடிப்படைகள். இந்த இரண்டு சுழல்களுக்கு இடையே உள்ள திருப்பங்களின் எண்ணிக்கையின் விகிதம் எப்போதும் 2/3, அல்லது 3/5, அல்லது 5/8, முதலியனவாக இருக்கும். அதாவது மீண்டும் ஃபிபோனச்சியின் கூற்றுப்படி. மூலம், சூரியகாந்தி விதைகளின் ஏற்பாட்டிலும், ஊசியிலையுள்ள மரங்களின் கூம்புகளின் கட்டமைப்பிலும் அதே மாதிரியைப் பார்க்கிறோம். ஆனால் மீண்டும் இலைகளுக்கு. அவர்கள் திறக்கும்போது, அவர்கள் தங்கள் தொடர்பை இழக்க மாட்டார்கள் f, ஏனெனில் அவை ஒரு தண்டு அல்லது கிளையில் மடக்கைச் சுழலில் அமைந்திருக்கும். ஆனால் அதெல்லாம் இல்லை. "இலைகளின் வேறுபாட்டின் கோணம்" என்ற கருத்து உள்ளது - இது இலைகள் ஒருவருக்கொருவர் தொடர்புடைய கோணம். இந்த கோணத்தை கணக்கிடுவது கடினம் அல்ல. ஐங்கோண அடித்தளத்துடன் கூடிய ஒரு ப்ரிஸம் தண்டில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். இப்போது தண்டு கீழே சுழல் தொடங்க. சுழல் ப்ரிஸம் முகங்களைத் தொடும் புள்ளிகள் இலைகள் வளரும் புள்ளிகளுக்கு ஒத்திருக்கும். இப்போது முதல் இலையிலிருந்து ஒரு நேர் கோட்டை வரைந்து, இந்த வரியில் எத்தனை இலைகள் இருக்கும் என்பதைப் பாருங்கள். உயிரியலில் அவற்றின் எண்ணிக்கை n என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது (எங்கள் விஷயத்தில், இவை இரண்டு தாள்கள்). இப்போது தண்டைச் சுற்றி சுழலும் திருப்பங்களின் எண்ணிக்கையை எண்ணுங்கள். இதன் விளைவாக வரும் எண் இலை சுழற்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் p என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது (எங்கள் விஷயத்தில், இது 5 ஆகும்). இப்போது நாம் அதிகபட்ச கோணத்தை பெருக்குகிறோம் - 360 டிகிரி 2 (n) மற்றும் 5 (p) ஆல் வகுக்கிறோம். இலைகளின் மாறுபட்ட கோணத்தை நாம் பெறுகிறோம் - 144 டிகிரி. ஒவ்வொரு செடி அல்லது மரத்தின் விருந்துக்கும் n மற்றும் p இன் விகிதம் வேறுபட்டது, ஆனால் அவை அனைத்தும் Fibonacci தொடரிலிருந்து வெளியேறாது: 1/2; 2/5; 3/8; 5/13, முதலியன. உயிரியலாளர்கள் முடிவிலியில் இந்த விகிதாச்சாரத்தின்படி உருவாகும் கோணங்கள் 137 டிகிரிக்கு முனைகின்றன - சூரிய ஒளி கிளைகள் மற்றும் இலைகள் மீது சமமாக விநியோகிக்கப்படும் உகந்த மாறுபட்ட கோணம். மற்றும் இலைகளிலேயே, தங்க விகிதத்தைக் கடைப்பிடிப்பதை நாம் கவனிக்க முடியும், உண்மையில், பூக்களில் - பென்டாகிராம் வடிவத்தைக் கொண்டவர்களில் அதைக் கவனிப்பது எளிது.

fவிலங்கு உலகத்தை கடந்து செல்லவில்லை. விஞ்ஞானிகளின் கூற்றுப்படி, உயிரினங்களின் எலும்புக்கூட்டின் கட்டமைப்பில் தங்க விகிதம் இருப்பது மிக முக்கியமான சிக்கலை தீர்க்கிறது. இந்த வழியில், எலும்புக்கூட்டின் அதிகபட்ச சாத்தியமான வலிமை குறைந்தபட்ச சாத்தியமான எடையுடன் அடையப்படுகிறது, இதையொட்டி, உடல் பாகங்கள் மீது விஷயத்தை பகுத்தறிவுடன் விநியோகிக்க அனுமதிக்கிறது. விலங்கினங்களின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து பிரதிநிதிகளுக்கும் இது பொருந்தும். எனவே, நட்சத்திரமீன்கள் சரியான பென்டகன்கள், மேலும் பல மொல்லஸ்க்களின் ஓடுகள் மடக்கைச் சுழல்களாகும். ஒரு டிராகன்ஃபிளையின் வால் நீளத்தின் விகிதமும் அதன் உடலுக்கும் சமமாக இருக்கும் f... மற்றும் கொசு எளிதானது அல்ல: அதற்கு மூன்று ஜோடி கால்கள் உள்ளன, வயிறு எட்டு பிரிவுகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, மற்றும் தலையில் ஐந்து ஆண்டெனா-ஆன்டெனாக்கள் உள்ளன - அனைத்தும் ஒரே ஃபைபோனச்சி வரிசை. பல விலங்குகளின் முதுகெலும்புகளின் எண்ணிக்கை, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு திமிங்கலம் அல்லது குதிரை, 55. விலா எலும்புகளின் எண்ணிக்கை 13, மற்றும் மூட்டுகளில் உள்ள எலும்புகளின் எண்ணிக்கை 89. மேலும் மூட்டுகள் மூன்று பகுதி அமைப்பைக் கொண்டுள்ளன. இந்த விலங்குகளின் மொத்த எலும்புகள், பற்கள் (இதில் 21 ஜோடிகள் உள்ளன) மற்றும் செவிப்புலன் கருவியின் எலும்புகள் உட்பட, 233 (ஃபைபோனச்சி எண்) ஆகும். ஒரு முட்டை கூட, பல மக்கள் நம்புவது போல், எல்லாம் நடந்தது, தங்க விகிதத்தில் ஒரு செவ்வகத்தில் பொறிக்கப்படலாம் - அத்தகைய செவ்வகத்தின் நீளம் அதன் அகலத்தை விட 1.618 மடங்கு அதிகம்.

04/18/2011 A.F. Afanasiev 06.16.12 அன்று புதுப்பிக்கப்பட்டது

பிளாஸ்டிக் கலையின் எந்தவொரு படைப்பின் கலைப் படத்தையும் தேடுவதில் அளவுகள் மற்றும் விகிதாச்சாரங்கள் முக்கிய பணிகளில் ஒன்றாகும். அது அமைந்துள்ள அறை மற்றும் அதைச் சுற்றியுள்ள பொருள்களை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் அளவு பிரச்சினை தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பது தெளிவாகிறது.

விகிதாச்சாரத்தைப் பற்றி பேசுகையில் (பரிமாண மதிப்புகளின் விகிதம்), ஒரு தட்டையான படத்தின் வடிவத்தில் (படம், மார்க்வெட்ரி), ஒரு அளவீட்டு பொருளின் ஒட்டுமொத்த பரிமாணங்களின் (நீளம், உயரம், அகலம்) விகிதத்தில் அவற்றை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறோம். உயரம் அல்லது நீளம் ஆகியவற்றில் வேறுபட்ட ஒரு குழுமத்தின் இரண்டு பொருட்களின் விகிதம், அதே பொருளின் இரண்டு தெளிவாகக் காணக்கூடிய பகுதிகளின் அளவு போன்ற விகிதத்தில்.

பல நூற்றாண்டுகளாக, நுண்கலையின் கிளாசிக்ஸ் விகிதாச்சாரத்தை உருவாக்குவதற்கான ஒரு நுட்பத்தைக் கண்டறிந்துள்ளது, இது தங்க விகிதம் அல்லது தங்க எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது (இந்த சொல் லியோனார்டோ டா வின்சியால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது). தங்க விகிதம் அல்லது டைனமிக் சமச்சீரின் கொள்கை என்னவென்றால், "ஒற்றை முழுமையின் இரண்டு பகுதிகளுக்கு இடையிலான விகிதம் அதன் பெரும்பகுதியின் விகிதத்திற்கு சமம்" (அல்லது அதன்படி, முழுமையும் பெரும் பகுதிக்கு) ஆகும். கணித ரீதியாக அது

எண் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது - 1 ± 2? 5 - இது 1.6180339 ... அல்லது 0.6180339 கொடுக்கிறது ... கலையில், 1.62 தங்க எண்ணாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது, அதாவது, விகிதத்தில் ஒரு பெரிய மதிப்பின் விகிதத்தின் தோராயமான வெளிப்பாடு அதன் சிறிய மதிப்பு...
தோராயமாக இருந்து துல்லியமாக, இந்த விகிதம் வெளிப்படுத்தப்படலாம்: முதலியன, எங்கே: 5 + 3 = 8, 8 + 5 = 13, முதலியன அல்லது: 2.2: 3.3: 5.5: 8 , 8, முதலியன, 2.2 + 3.3 -5.5, முதலியன

வரைபட ரீதியாக, வெவ்வேறு கட்டுமானங்களால் பெறப்பட்ட பிரிவுகளின் விகிதத்தால் தங்க விகிதத்தை வெளிப்படுத்தலாம். மிகவும் வசதியானது, எங்கள் கருத்துப்படி, படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள கட்டுமானம். 169: அரை-சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தில் அதன் குறுகிய பக்கத்தைச் சேர்த்தால், அதன் நீண்ட பக்கத்திற்கான தங்க எண்ணுடன் தொடர்புடைய மதிப்பைப் பெறுவீர்கள்.

அரிசி. 169. தங்கப் பிரிவில் ஒரு செவ்வகத்தின் வடிவியல் கட்டுமானம் 1.62: 1. பிரிவுகளுடன் (a மற்றும் b) பொன் எண் 1.62

அரிசி. 170. தங்க விகிதத்தின் செயல்பாட்டின் வரைகலை கட்டுமானம் 1.12: 1

தங்க விகிதத்தின் இரண்டு மதிப்புகளின் விகிதம்

நல்லிணக்கம் மற்றும் சமநிலையின் காட்சி உணர்வை உருவாக்குகிறது. 1.12 என்ற எண்ணால் வெளிப்படுத்தப்படும் இரண்டு அருகிலுள்ள அளவுகளுக்கு இடையே மற்றொரு இணக்கமான உறவு உள்ளது. இது தங்க எண்ணின் செயல்பாடு: தங்க விகிதத்தின் இரண்டு மதிப்புகளுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசத்தை நீங்கள் எடுத்துக் கொண்டால், அதையும் தங்க விகிதத்தில் பிரித்து, அசல் தங்க விகிதத்தின் சிறிய மதிப்பில் ஒவ்வொரு பின்னத்தையும் சேர்த்தால், நீங்கள் ஒரு விகிதத்தைப் பெறுவீர்கள். 1.12 (படம் 170). இந்த வகையில், எடுத்துக்காட்டாக, நடுத்தர உறுப்பு (அலமாரி) சில எழுத்துருக்களில் H, P, Z போன்ற எழுத்துக்களில் வரையப்பட்டுள்ளது, உயரம் மற்றும் அகலத்தின் விகிதங்கள் பரந்த எழுத்துக்களுக்கு எடுக்கப்படுகின்றன, மேலும் இந்த விகிதம் இயற்கையிலும் காணப்படுகிறது. .

ஒரு இணக்கமாக வளர்ந்த நபரின் விகிதாச்சாரத்தில் தங்க எண் அனுசரிக்கப்படுகிறது (படம் 171): தலையின் நீளம் தங்கப் பிரிவில் இடுப்பில் இருந்து கிரீடம் வரை உள்ள தூரத்தை பிரிக்கிறது; பட்டெல்லா இடுப்பிலிருந்து உள்ளங்கால் வரையிலான தூரத்தையும் பிரிக்கிறது; நீட்டப்பட்ட கையின் நடுவிரலின் நுனி ஒரு நபரின் முழு உயரத்தையும் தங்க விகிதத்தில் பிரிக்கிறது; விரல்களின் ஃபாலாங்க்களின் விகிதமும் ஒரு தங்க எண்ணாகும். இதே நிகழ்வு இயற்கையின் பிற கட்டமைப்புகளிலும் காணப்படுகிறது: மொல்லஸ்களின் சுருள்களில், பூக்களின் கொரோலாவில், முதலியன.

அரிசி. 172. செதுக்கப்பட்ட ஜெரனியம் (பெலர்கோனியம்) இலையின் தங்க விகிதங்கள். கட்டுமானம்: 1) ஒரு அளவிலான வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி (படம் 171 ஐப் பார்க்கவும்), நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்? ஏபிசி,	அரிசி. 173. ஐந்து இலை மற்றும் மூன்று இலை திராட்சை இலை. நீளம் மற்றும் அகல விகிதம் 1.12. தங்க விகிதம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

அத்திப்பழத்தில். 172 மற்றும் 173 தங்க எண்கள் 1.62 மற்றும் 1.12 ஆகியவற்றின் விகிதத்தில் ஜெரனியம் இலை (பெலர்கோனியம்) மற்றும் ஒரு திராட்சை இலை ஆகியவற்றின் வரைபடத்தின் கட்டுமானத்தைக் காட்டுகிறது. ஒரு ஜெரனியம் இலையில், கட்டுமானத் தளம் இரண்டு முக்கோணங்களாகும்: ஏபிசி மற்றும் சிஇஎஃப், அவை ஒவ்வொன்றின் உயரம் மற்றும் அடிப்பகுதியின் விகிதம் 0.62 மற்றும் 1.62 எண்களால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் மூன்று ஜோடிகளுக்கு இடையிலான தூரம் மிகவும் தொலைதூர புள்ளிகள். இலை சமம்: AB = CE = SF. கட்டுமானம் வரைபடத்தில் சுட்டிக்காட்டப்பட்டுள்ளது. அத்தகைய இலையின் வடிவமைப்பு ஜெரனியங்களின் பொதுவானது, இது இதேபோல் செதுக்கப்பட்ட இலைகளைக் கொண்டுள்ளது.

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட அத்திமர இலை (படம். 173) 1.12 என்ற விகிதத்தில் திராட்சை இலையைப் போலவே விகிதாச்சாரத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் திராட்சை இலையின் பெரும்பகுதி அதன் நீளம் மற்றும் சீக்காமோர் இலையின் அகலம். 1.62 என்ற விகிதத்தில் மூன்று விகிதாச்சார அளவுகள் கொண்டவை. கட்டிடக்கலையில் இத்தகைய கடித தொடர்பு முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது (நான்கு விகிதாச்சாரங்களுக்கு - ஒரு டெட்ராட் மற்றும் மேலும்: பெக்டாட், ஹெக்ஸோட்).

அத்திப்பழத்தில். 174 தங்கப் பிரிவின் விகிதத்தில் மேப்பிள் இலையை உருவாக்கும் முறையைக் காட்டுகிறது. அகலம் மற்றும் நீளம் விகிதம் 1.12 உடன், இது 1.62 எண்ணுடன் பல விகிதாச்சாரங்களைக் கொண்டுள்ளது. கட்டுமானமானது இரண்டு ட்ரெப்சாய்டுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இதில் அடித்தளத்தின் உயரம் மற்றும் நீளத்தின் விகிதம் தங்க எண்ணால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. கட்டுமானம் வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது, மேலும் மேப்பிள் இலை வடிவத்திற்கான விருப்பங்களும் காட்டப்பட்டுள்ளன.

நுண்கலைப் படைப்புகளில், ஒரு கலைஞர் அல்லது சிற்பி, உணர்வுபூர்வமாக அல்லது ஆழ் மனதில், பயிற்சி பெற்ற கண்ணை நம்பி, பெரும்பாலும் தங்க விகிதத்தில் அளவுகளின் விகிதத்தைப் பயன்படுத்துகிறார். எனவே, கிறிஸ்துவின் தலையிலிருந்து (மைக்கேலேஞ்சலோவுக்குப் பிறகு) ஒரு நகலில் பணிபுரியும் போது, இந்த புத்தகத்தின் ஆசிரியர், முடி இழைகளில் அருகிலுள்ள சுருட்டை அளவு தங்க விகிதத்தின் விகிதத்தையும், வடிவத்தில் - ஆர்க்கிமிடீஸின் சுழல், ஒரு ஈடுபாடு. கிளாசிக்கல் கலைஞர்களின் பல ஓவியங்களில், தங்கப் பிரிவின் விகிதத்தை உருவாக்கும் தூரத்தில் மைய உருவம் வடிவமைப்பின் பக்கங்களிலிருந்து அமைந்துள்ளது என்பதை வாசகர் நம்பலாம் (எடுத்துக்காட்டாக, தலையை செங்குத்தாகவும் கிடைமட்டமாகவும் வைப்பது. MI லோபுகினா வி. போரோவிகோவ்ஸ்கியின் உருவப்படம்; ஓ. கிப்ரென்ஸ்கி மற்றும் பிறரால் A.S. புஷ்கினின் உருவப்படத்தில் தலையின் செங்குத்து மையத்தை நிலைநிறுத்துதல்). அதே சில சமயங்களில் அடிவானக் கோடு (F. Vasiliev: "வெட் புல்வெளி", I. லெவிடன்: "மார்ச்", "ஈவினிங் பெல்ஸ்") இடுவதைக் காணலாம்.

நிச்சயமாக, இந்த விதி எப்போதும் கலவையின் சிக்கலுக்கு ஒரு தீர்வாக இருக்காது, மேலும் இது கலைஞரின் வேலையில் ரிதம் மற்றும் விகிதாச்சாரத்தின் உள்ளுணர்வை மாற்றக்கூடாது. உதாரணமாக, சில கலைஞர்கள் தங்கள் பாடல்களுக்கு "இசை எண்களின்" விகிதத்தைப் பயன்படுத்தினர் என்பது அறியப்படுகிறது: மூன்றில், குவார்ட்ஸ், ஐந்தில் (2: 3, 3: 4, முதலியன). கலை விமர்சகர்கள், காரணம் இல்லாமல், எந்தவொரு கிளாசிக்கல் கட்டிடக்கலை நினைவுச்சின்னம் அல்லது சிற்பத்தின் வடிவமைப்பையும், விரும்பினால், எண்களின் எந்த விகிதத்திற்கும் சரிசெய்ய முடியும் என்பதைக் குறிப்பிடுகின்றனர். இந்த விஷயத்தில் எங்கள் பணி, குறிப்பாக ஒரு புதிய கலைஞர் அல்லது வூட்கார்வரின் பணி, சீரற்ற விகிதங்களின்படி அல்ல, ஆனால் நடைமுறையில் நிரூபிக்கப்பட்ட இணக்கமான விகிதங்களின்படி உங்கள் படைப்பின் வேண்டுமென்றே கலவையை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது. உற்பத்தியின் வடிவமைப்பு மற்றும் வடிவத்துடன் இந்த இணக்கமான விகிதாச்சாரத்தை ஒருவர் அடையாளம் கண்டு வலியுறுத்த முடியும்.

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வேலைக்கு சட்டத்தின் அளவை தீர்மானித்தல், இணக்கமான விகிதத்தைக் கண்டறிவதற்கான எடுத்துக்காட்டு. 175. அதில் வைக்கப்பட்டுள்ள படத்தின் வடிவம் தங்கப் பிரிவின் விகிதத்தில் அமைக்கப்பட்டுள்ளது. அதன் பக்கங்களின் அதே அகலத்துடன் சட்டத்தின் வெளிப்புற பரிமாணங்கள் தங்க விகிதத்தை கொடுக்காது. எனவே, அதன் நீளம் மற்றும் அகலத்தின் விகிதம் (ЗЗ0X220) தங்க எண்ணை விட சற்றே குறைவாக இருக்கும் என்று கருதப்படுகிறது, அதாவது 1.5 க்கு சமம், மேலும் பக்கவாட்டு பக்கங்களுடன் ஒப்பிடுகையில் குறுக்கு இணைப்புகளின் அகலம் அதிகரிக்கப்படுகிறது. இது ஒளியில் சட்டத்தின் அளவை அடைய முடிந்தது (படத்திற்கு), தங்கப் பிரிவின் விகிதாச்சாரத்தை அளிக்கிறது. சட்டத்தின் கீழ் இணைப்பின் அகலத்தின் விகிதம் அதன் மேல் இணைப்பின் அகலத்திற்கு மற்றொரு தங்க எண்ணுக்கு, அதாவது 1.12 ஆக சரிசெய்யப்படுகிறது. மேலும், பக்கவாட்டு இணைப்பின் அகலத்திற்கு (94:63) கீழ் இணைப்பின் அகலத்தின் விகிதம் 1.5 க்கு அருகில் உள்ளது (படத்தில் - இடதுபுறத்தில் உள்ள விருப்பம்).

இப்போது ஒரு பரிசோதனை செய்வோம்: கீழ் இணைப்பின் அகலம் (அது 130 மிமீ இருக்கும்) (படத்தில் - வலதுபுறத்தில் உள்ள விருப்பம்) காரணமாக சட்டத்தின் நீண்ட பக்கத்தை 366 மிமீ ஆக அதிகரிப்போம், இது நெருக்கமாக இல்லை. விகிதத்தில் மட்டுமே ஆனால் தங்கத்திற்கும்
எண் 1.12க்கு பதிலாக 1.62. இதன் விளைவாக வேறு எந்த தயாரிப்பிலும் பயன்படுத்தக்கூடிய ஒரு புதிய கலவை உள்ளது, ஆனால் சட்டத்திற்கு அதை குறுகியதாக மாற்றுவதற்கான விருப்பம் உள்ளது. அதன் கீழ் பகுதியை ஒரு ஆட்சியாளருடன் மூடு, இதன் விளைவாக வரும் விகிதத்தை கண் "எடுக்கிறது", அதன் நீளம் 330 மிமீ கிடைக்கும், அதாவது அசல் பதிப்பை அணுகுவோம்.

எனவே, பல்வேறு விருப்பங்களை பகுப்பாய்வு செய்தல் (இரண்டு பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டதைத் தவிர மற்றவர்கள் இருக்கலாம்), மாஸ்டர் தனது பார்வையில் இருந்து சாத்தியமான ஒரே தீர்வை நிறுத்துகிறார்.

ஒரு எளிய சாதனத்தைப் பயன்படுத்தி விரும்பிய கலவைக்கான தேடலில் தங்க விகிதத்தின் கொள்கையைப் பயன்படுத்துவது நல்லது, அதன் வடிவமைப்பின் திட்ட வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 176. இந்த சாதனத்தின் இரண்டு ஆட்சியாளர்கள், கீல் B சுற்றி சுழலும், ஒரு தன்னிச்சையான கோணத்தை உருவாக்க முடியும். எந்த கோணத் தீர்வுக்கும், தங்க விகிதத்தில் உள்ள தூரம் AC புள்ளி K ஆல் வகுக்கப்பட்டு மேலும் இரண்டு ஆட்சியாளர்கள் பொருத்தப்பட்டிருந்தால்: KM \\ BC மற்றும் KE \\ AB புள்ளிகள் K, E மற்றும் M புள்ளிகளில் கீல்கள் இருந்தால், எந்த AC தீர்வுக்கும் இந்த தூரம் தங்க விகிதத்துடன் தொடர்புடைய புள்ளி K ஆல் வகுக்கப்படும்.

கோல்டன் விகிதம் - கணிதம்

ஒரு நபர் தன்னைச் சுற்றியுள்ள பொருட்களை வடிவத்தால் வேறுபடுத்துகிறார். எந்தவொரு பொருளின் வடிவத்திலும் ஆர்வம் முக்கிய தேவையால் கட்டளையிடப்படலாம் அல்லது வடிவத்தின் அழகால் ஏற்படலாம். சமச்சீர் மற்றும் தங்க விகிதத்தின் கலவையை அடிப்படையாகக் கொண்ட வடிவம், சிறந்த காட்சி உணர்விற்கும் அழகு மற்றும் நல்லிணக்க உணர்வின் தோற்றத்திற்கும் பங்களிக்கிறது. முழு எப்போதும் பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது, வெவ்வேறு அளவுகளின் பகுதிகள் ஒருவருக்கொருவர் மற்றும் முழுமைக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட தொடர்பில் இருக்கும். தங்க விகிதத்தின் கொள்கையானது கலை, அறிவியல், தொழில்நுட்பம் மற்றும் இயற்கையின் முழுமை மற்றும் அதன் பகுதிகளின் கட்டமைப்பு மற்றும் செயல்பாட்டு முழுமையின் மிக உயர்ந்த வெளிப்பாடாகும்.

கோல்டன் விகிதம் - ஹார்மோனிக் விகிதம்

கணிதத்தில், விகிதம் (லத்தீன் விகிதாச்சாரம்) என்பது இரண்டு விகிதங்களின் சமத்துவம்: a: b = c: d.
ஒரு நேர் கோடு பிரிவு AB பின்வரும் வழிகளில் இரண்டு பகுதிகளாக பிரிக்கப்படலாம்:
இரண்டு சம பாகங்களாக - AB: AC = AB: BC;
எந்த விகிதத்திலும் இரண்டு சமமற்ற பகுதிகளாக (அத்தகைய பாகங்கள் விகிதாச்சாரத்தை உருவாக்காது);
இவ்வாறு AB: AC = AC: கி.மு.
பிந்தையது தங்கப் பிரிவு அல்லது தீவிர மற்றும் சராசரி விகிதத்தில் பிரிவின் பிரிவு ஆகும்.
கோல்டன் ரேஷியோ என்பது ஒரு பிரிவின் சமமற்ற பகுதிகளாக இருக்கும் விகிதாசாரப் பிரிவாகும், இதில் முழுப் பகுதியும் பெரிய பகுதியைக் குறிக்கிறது, அதே வழியில் பெரிய பகுதி சிறியதைக் குறிக்கிறது; அல்லது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு சிறிய பிரிவு என்பது பெரிய ஒன்றை எல்லாவற்றிற்கும் பெரியதாகக் குறிக்கிறது

a: b = b: c அல்லது c: b = b: a.

அரிசி. 1. தங்க விகிதத்தின் வடிவியல் படம்

கோல்டன் விகிதத்துடன் நடைமுறை அறிமுகம் ஒரு திசைகாட்டி மற்றும் ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்தி தங்க விகிதத்தில் ஒரு நேர்கோட்டுப் பகுதியைப் பிரிப்பதன் மூலம் தொடங்குகிறது.

அரிசி. 2. தங்க விகிதத்துடன் ஒரு நேர்கோட்டுப் பிரிவின் பிரிவு. BC = 1/2 AB; குறுவட்டு = கி.மு

புள்ளி B இலிருந்து, செங்குத்தாக அரை AB க்கு சமமாக உயர்த்தப்படுகிறது. இதன் விளைவாக வரும் புள்ளி C புள்ளி A உடன் ஒரு கோடு மூலம் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் விளைவாக வரும் வரியில், BC பிரிவு அமைக்கப்பட்டது, D புள்ளியுடன் முடிவடைகிறது. பிரிவு AD ஆனது AB நேர் கோட்டிற்கு மாற்றப்படுகிறது. இதன் விளைவாக வரும் புள்ளி E ஆனது AB பிரிவை தங்க விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.

தங்க விகிதத்தின் பகுதிகள் எல்லையற்ற பகுத்தறிவற்ற பின்னம் AE = 0.618 மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன ... AB ஐ ஒரு அலகாக எடுத்துக் கொண்டால், BE = 0.382 ... நடைமுறை நோக்கங்களுக்காக, 0.62 மற்றும் 0.38 இன் தோராயமான மதிப்புகள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. AB பிரிவை 100 பாகங்களாக எடுத்துக் கொண்டால், பிரிவின் பெரும்பகுதி 62 ஆகவும், சிறியது 38 பாகங்களாகவும் இருக்கும்.

தங்க விகிதத்தின் பண்புகள் சமன்பாட்டின் மூலம் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன:
x2 - x - 1 = 0.

இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு:

தங்க விகிதத்தின் பண்புகள் இந்த எண்ணைச் சுற்றி மர்மம் மற்றும் கிட்டத்தட்ட மாய வழிபாட்டின் காதல் ஒளிவட்டத்தை உருவாக்கியுள்ளன.

இரண்டாவது தங்க விகிதம்

பல்கேரிய இதழான Otechestvo (எண். 10, 1983) Tsvetan Tsekov-Karandash இன் "இரண்டாவது தங்க விகிதத்தில்" ஒரு கட்டுரையை வெளியிட்டது, இது முக்கிய பிரிவில் இருந்து பின்பற்றப்பட்டு 44: 56 என்ற வித்தியாசமான விகிதத்தை அளிக்கிறது.
இந்த விகிதம் கட்டிடக்கலையில் காணப்படுகிறது, மேலும் நீளமான கிடைமட்ட வடிவத்தின் படங்களின் கலவைகளை உருவாக்கும்போதும் நிகழ்கிறது.

பிரிவு பின்வருமாறு மேற்கொள்ளப்படுகிறது. AB பிரிவு தங்க விகிதத்தின் விகிதத்தில் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. புள்ளி C இலிருந்து, செங்குத்து குறுவட்டு மீட்டமைக்கப்பட்டது. புள்ளி D ஆனது ஆரம் AB உடன் அமைந்துள்ளது, இது A புள்ளியுடன் ஒரு வரியால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. வலது கோணம் ACD பாதியாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. புள்ளி C இலிருந்து, கோடு AD உடன் வெட்டும் வரை ஒரு கோடு வரையப்படுகிறது. புள்ளி Edelit பிரிவு AD 56: 44 விகிதத்தில்.

அரிசி. 3. இரண்டாவது தங்க விகிதத்தின் கட்டுமானம்

அரிசி. 4. இரண்டாவது தங்கப் பிரிவின் கோட்டுடன் செவ்வகத்தைப் பிரித்தல்

இரண்டாவது தங்க விகிதத்தின் கோட்டின் நிலையை படம் காட்டுகிறது. இது தங்கப் பிரிவுக் கோட்டிற்கும் செவ்வகத்தின் நடுக் கோட்டிற்கும் இடையில் நடுவில் அமைந்துள்ளது.

தங்க முக்கோணம்

ஏறுவரிசை மற்றும் இறங்கு தொடர்களின் தங்க விகிதத்தின் பிரிவுகளைக் கண்டறிய, நீங்கள் பென்டாகிராம் பயன்படுத்தலாம்.

அரிசி. 5. வழக்கமான பென்டகன் மற்றும் பென்டாகிராம் கட்டுமானம்

ஒரு பென்டாகிராம் உருவாக்க, நீங்கள் வழக்கமான பென்டகனை உருவாக்க வேண்டும். அதன் கட்டுமான முறையை ஜெர்மன் ஓவியர் மற்றும் கிராஃபிக் கலைஞர் ஆல்பிரெக்ட் டியூரர் (1471 ... 1528) உருவாக்கினார். O என்பது வட்டத்தின் மையமாகவும், A வட்டத்தின் ஒரு புள்ளியாகவும், E என்பது OA பிரிவின் நடுப்புள்ளியாகவும் இருக்கட்டும். ஆரம் OA க்கு செங்குத்தாக, புள்ளி O இல் மீட்டமைக்கப்பட்டது, D புள்ளியில் வட்டத்துடன் வெட்டுகிறது. திசைகாட்டியைப் பயன்படுத்தி, விட்டத்தில் CE = ED பிரிவை ஒத்திவைக்கிறோம். ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட வழக்கமான பென்டகனின் பக்க நீளம் DC ஆகும். வட்டத்தில் DC பிரிவுகளை ஒதுக்கி வைத்துவிட்டு, வழக்கமான பென்டகனை வரைவதற்கு ஐந்து புள்ளிகளைப் பெறுகிறோம். பென்டகனின் மூலைகளை ஒரு மூலைவிட்டம் மூலம் இணைத்து ஒரு பென்டாகிராம் பெறுகிறோம். பென்டகனின் அனைத்து மூலைவிட்டங்களும் தங்க விகிதத்தால் இணைக்கப்பட்ட பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன.
ஐங்கோண நட்சத்திரத்தின் ஒவ்வொரு முனையும் ஒரு தங்க முக்கோணமாகும். அதன் பக்கங்கள் மேலே 36 ° கோணத்தை உருவாக்குகின்றன, மேலும் பக்கத்தில் ஒதுக்கப்பட்ட அடித்தளம் அதை தங்க விகிதத்தின் விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.

நாம் ஒரு நேர் கோடு AB ஐ வரைகிறோம். புள்ளி A இலிருந்து, ஒரு தன்னிச்சையான மதிப்பின் ஒரு பகுதியை மூன்று முறை வைக்கிறோம், இதன் விளைவாக வரும் P புள்ளியின் மூலம் AB கோட்டிற்கு செங்குத்தாக வரைகிறோம், P புள்ளியின் வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் செங்குத்தாக நாம் O பிரிவுகளை அகற்றுகிறோம். புள்ளி A. க்கு நேர் கோடுகளுடன் d மற்றும் d1 புள்ளிகளைப் பெற்றாள், C புள்ளியைப் பெறுகிறாள். அவள் Ad1 என்ற வரியை தங்க விகிதத்தின் விகிதத்தில் வகுத்தாள். "தங்க" செவ்வகத்தை வரைவதற்கு Ad1 மற்றும் dd1 கோடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

அரிசி. 6. தங்க முக்கோணத்தின் கட்டுமானம்

தங்க விகிதத்தின் வரலாறு

பண்டைய கிரேக்க தத்துவஞானி மற்றும் கணிதவியலாளர் (கிமு VI நூற்றாண்டு) பித்தகோரஸால் தங்கப் பிரிவு பற்றிய கருத்து அறிவியல் பயன்பாட்டிற்கு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது என்று நம்பப்படுகிறது. பித்தகோரஸ் எகிப்தியர்கள் மற்றும் பாபிலோனியர்களிடமிருந்து தங்கப் பிரிவு பற்றிய தனது அறிவை கடன் வாங்கியதாக ஒரு அனுமானம் உள்ளது. உண்மையில், துட்டன்காமூனின் கல்லறையில் இருந்து Cheops பிரமிடு, கோயில்கள், அடிப்படை நிவாரணங்கள், வீட்டுப் பொருட்கள் மற்றும் ஆபரணங்களின் விகிதங்கள் எகிப்திய கைவினைஞர்கள் அவற்றை உருவாக்கும் போது தங்கப் பிரிவு விகிதங்களைப் பயன்படுத்தினர் என்பதைக் குறிக்கிறது. அபிடோஸில் உள்ள பார்வோன் செட்டி I கோவிலின் நிவாரணத்திலும், பார்வோன் ராம்செஸை சித்தரிக்கும் நிவாரணத்திலும், புள்ளிவிவரங்களின் விகிதாச்சாரங்கள் தங்கப் பிரிவின் மதிப்புகளுக்கு ஒத்திருப்பதை பிரெஞ்சு கட்டிடக் கலைஞர் லு கார்பூசியர் கண்டறிந்தார். கட்டிடக் கலைஞர் கெசிரா, அவரது பெயரின் கல்லறையிலிருந்து ஒரு மரப் பலகையின் நிவாரணத்தில் சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளது, தங்கப் பிரிவின் விகிதாச்சாரங்கள் நிர்ணயிக்கப்பட்ட அளவீட்டு கருவிகளை வைத்திருக்கிறது.
கிரேக்கர்கள் திறமையான ஜியோமீட்டர்கள். அவர்கள் தங்கள் குழந்தைகளுக்கு வடிவியல் வடிவங்களைப் பயன்படுத்தி எண்கணிதத்தைக் கற்றுக் கொடுத்தனர். பித்தகோரியன் சதுரமும் இந்த சதுரத்தின் மூலைவிட்டமும் மாறும் செவ்வகங்களை உருவாக்குவதற்கான அடிப்படையாக இருந்தது.

அரிசி. 7. டைனமிக் செவ்வகங்கள்

பிளாட்டோவும் (கிமு 427 ... 347) தங்கப் பிரிவு பற்றி அறிந்திருந்தார். அவரது உரையாடல் "டிமேயஸ்" பித்தகோரியன் பள்ளியின் கணித மற்றும் அழகியல் பார்வைகளுக்கும், குறிப்பாக, தங்கப் பிரிவின் சிக்கல்களுக்கும் அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது.
பார்த்தீனானின் பண்டைய கிரேக்க கோவிலின் முகப்பில் தங்க விகிதங்கள் உள்ளன. அதன் அகழ்வாராய்ச்சியின் போது, திசைகாட்டிகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன, அவை பண்டைய உலகின் கட்டிடக் கலைஞர்கள் மற்றும் சிற்பிகளால் பயன்படுத்தப்பட்டன. பாம்பீ திசைகாட்டியில் (நேபிள்ஸில் உள்ள ஒரு அருங்காட்சியகம்), தங்கப் பிரிவின் விகிதாச்சாரமும் போடப்பட்டுள்ளது.

அரிசி. 8. தங்க விகிதத்தின் பழங்கால திசைகாட்டிகள்

நமக்கு வந்துள்ள பண்டைய இலக்கியங்களில், தங்கப் பிரிவு முதலில் யூக்ளிட்டின் "கூறுகளில்" குறிப்பிடப்பட்டது. "ஆரம்பம்" இரண்டாவது புத்தகத்தில் தங்கப் பிரிவின் வடிவியல் கட்டுமானம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.யூக்ளிட், ஜிப்சிகல்ஸ் (கி.மு. II நூற்றாண்டு), பாப்புஸ் (கி.பி. III நூற்றாண்டு) மற்றும் பலர் தங்கப் பிரிவு பற்றிய ஆய்வில் ஈடுபட்டுள்ளனர். இடைக்கால ஐரோப்பாவில் தங்கப் பிரிவு யூக்ளிட் கூறுகளின் அரேபிய மொழிபெயர்ப்புகள் மூலம் நாங்கள் சந்தித்தோம். நவர்ராவைச் சேர்ந்த மொழிபெயர்ப்பாளர் ஜே. காம்பானோ (III நூற்றாண்டு) மொழிபெயர்ப்பு பற்றிய கருத்துக்களைத் தெரிவித்தார். தங்கப் பிரிவின் ரகசியங்கள் பொறாமையுடன் பாதுகாக்கப்பட்டன, கடுமையான இரகசியமாக வைக்கப்பட்டன. அவை ஆரம்பிப்பவர்களுக்கு மட்டுமே தெரியும்.
மறுமலர்ச்சியின் போது, விஞ்ஞானிகள் மற்றும் கலைஞர்களிடையே தங்கப் பிரிவில் ஆர்வம் அதிகரித்தது, வடிவவியலிலும் கலையிலும், குறிப்பாக கட்டிடக்கலையில், கலைஞரும் விஞ்ஞானியுமான லியோனார்டோ டா வின்சி, இத்தாலிய கலைஞர்களுக்கு அனுபவ அனுபவங்கள் அதிகம் இருப்பதைக் கண்டார். கொஞ்சம் அறிவு... அவர் கருத்தரித்து வடிவவியலில் ஒரு புத்தகத்தை எழுதத் தொடங்கினார், ஆனால் இந்த நேரத்தில் துறவி லூகா பாசியோலியின் புத்தகம் தோன்றியது, மேலும் லியோனார்டோ தனது முயற்சியை கைவிட்டார். சமகாலத்தவர்கள் மற்றும் அறிவியலின் வரலாற்றாசிரியர்களின் கூற்றுப்படி, லூகா பாசியோலி ஒரு உண்மையான வெளிச்சம், ஃபிபோனச்சி மற்றும் கலிலியோ இடையேயான காலகட்டத்தில் இத்தாலியின் சிறந்த கணிதவியலாளர் ஆவார். லூகா பாசியோலி ஓவியர் பியரோ டெல்லா ஃபிரான்செச்சியின் மாணவர் ஆவார், அவர் இரண்டு புத்தகங்களை எழுதினார், அதில் ஒன்று ஓவியத்தில் முன்னோக்கு என்ற தலைப்பில் இருந்தது. அவர் விளக்க வடிவவியலின் படைப்பாளராகக் கருதப்படுகிறார்.
கலைக்கான அறிவியலின் முக்கியத்துவத்தை லூகா பாசியோலி நன்கு அறிந்திருந்தார். 1496 ஆம் ஆண்டில், டியூக் ஆஃப் மோரோவின் அழைப்பின் பேரில், அவர் மிலனுக்கு வந்தார், அங்கு அவர் கணிதத்தில் விரிவுரை செய்தார். லியோனார்டோ டா வின்சியும் அந்த நேரத்தில் மிலனில் மோரோ நீதிமன்றத்தில் பணிபுரிந்தார். 1509 ஆம் ஆண்டில், லூகா பாசியோலியின் தெய்வீக விகிதாச்சார புத்தகம் வெனிஸில் அற்புதமாக செயல்படுத்தப்பட்ட விளக்கப்படங்களுடன் வெளியிடப்பட்டது, அதனால்தான் அவை லியோனார்டோ டா வின்சியால் செய்யப்பட்டதாக நம்பப்படுகிறது. புத்தகம் தங்க விகிதத்திற்கு ஒரு பேரானந்தமான பாடலாக இருந்தது. தங்க விகிதத்தின் பல நற்பண்புகளில், துறவி லூகா பாசியோலி அதன் "தெய்வீக சாராம்சத்தை" கடவுள் மகன், கடவுள் கடவுள் மற்றும் பரிசுத்த ஆவியின் தெய்வீக திரித்துவத்தின் வெளிப்பாடாக பெயரிடத் தவறவில்லை (சிறியது என்று புரிந்து கொள்ளப்பட்டது. பிரிவு என்பது மகனின் கடவுளின் உருவம், பெரிய பிரிவு பிதாவின் கடவுள், மற்றும் முழு பிரிவும் - பரிசுத்த ஆவியின் கடவுள்).
லியோனார்டோ டா வின்சியும் தங்கப் பிரிவு படிப்பில் அதிக கவனம் செலுத்தினார். அவர் வழக்கமான பென்டகன்களால் உருவாக்கப்பட்ட ஸ்டீரியோமெட்ரிக் திடப்பொருளின் பகுதிகளை உருவாக்கினார், மேலும் ஒவ்வொரு முறையும் அவர் தங்கப் பிரிவில் விகிதங்களுடன் செவ்வகங்களைப் பெற்றார். எனவே, அவர் இந்த பிரிவுக்கு கோல்டன் ரேஷியோ என்று பெயரிட்டார். எனவே இது இன்னும் பிரபலமாக உள்ளது.
அதே நேரத்தில், ஐரோப்பாவின் வடக்கில், ஜெர்மனியில், ஆல்பிரெக்ட் டியூரர் அதே பிரச்சினைகளில் வேலை செய்தார். விகிதாச்சாரத்தில் ஒரு கட்டுரையின் முதல் வரைவுக்கு அவர் ஒரு அறிமுகத்தை வரைந்தார். டூரர் எழுதுகிறார். “அதைத் தேவைப்படும் மற்றவர்களுக்குக் கற்பிக்கத் தெரிந்த ஒருவர் அவசியம். இதைத்தான் நான் செய்ய நினைத்தேன்."
டியூரரின் கடிதம் ஒன்றின் மூலம் ஆராயும்போது, அவர் இத்தாலியில் தங்கியிருந்தபோது லூகா பாசியோலியைச் சந்தித்தார். ஆல்பிரெக்ட் டியூரர் மனித உடலின் விகிதாச்சாரக் கோட்பாட்டை விரிவாக உருவாக்குகிறார். டியூரர் தனது விகித அமைப்பில் தங்க விகிதத்திற்கு ஒரு முக்கிய இடத்தை வழங்கினார். ஒரு நபரின் உயரம் பெல்ட் கோட்டால் தங்க விகிதத்தில் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, அதே போல் தாழ்த்தப்பட்ட கைகளின் நடுத்தர விரல்களின் நுனிகள் வழியாக வரையப்பட்ட கோடு, முகத்தின் கீழ் பகுதி வாயால் போன்றவை. டியூரரின் விகிதாசார திசைகாட்டி அறியப்படுகிறது.
XVI நூற்றாண்டின் சிறந்த வானியலாளர். ஜோஹன்னஸ் கெப்லர் தங்க விகிதத்தை வடிவவியலின் பொக்கிஷங்களில் ஒன்று என்று அழைத்தார். தாவரவியலுக்கான தங்க விகிதத்தின் முக்கியத்துவத்தை (தாவர வளர்ச்சி மற்றும் அமைப்பு) முதலில் கவனத்தை ஈர்த்தவர்.
கெப்லர் அதன் தொடர்ச்சியின் தங்க விகிதத்தை "இது இப்படி ஏற்பாடு செய்யப்பட்டுள்ளது," என்று அவர் எழுதினார், "இந்த முடிவில்லா விகிதத்தின் இரண்டு மிகக் குறைந்த சொற்கள் மூன்றாவது காலவரைக் கூட்டுகின்றன, மேலும் ஏதேனும் இரண்டு கடைசி சொற்கள் சேர்க்கப்பட்டால், அடுத்ததைக் கொடுங்கள். கால, மற்றும் அதே விகிதம் முடிவிலி வரை இருக்கும் ".
தங்க விகிதத்தின் பல பிரிவுகளின் கட்டுமானம் மேல்நோக்கி (அதிகரிக்கும் வரிசை) மற்றும் கீழ்நோக்கி (இறங்கு வரிசை) ஆகிய இரண்டிலும் செய்யப்படலாம்.
தன்னிச்சையான நீளம் கொண்ட ஒரு நேர் கோட்டில், பிரிவை ஒத்திவைத்தால், அதற்கு அடுத்ததாக, எம் பிரிவை நீக்குகிறோம். இந்த இரண்டு பிரிவுகளின் அடிப்படையில், ஏறுவரிசை மற்றும் இறங்கு தொடரின் தங்க விகிதத்தின் பிரிவுகளின் அளவை உருவாக்குகிறோம்.

அரிசி. 9. தங்க விகிதத்தின் பிரிவுகளின் அளவை உருவாக்குதல்

அடுத்த நூற்றாண்டுகளில், தங்க விகிதத்தின் விதி ஒரு கல்வி நியதியாக மாறியது, காலப்போக்கில், கல்வி வழக்கத்துடன் போராட்டம் கலையில் தொடங்கியது, போராட்டத்தின் வெப்பத்தில் "குழந்தை தண்ணீருடன் வெளியேற்றப்பட்டது" . 19 ஆம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதியில் தங்கப் பகுதி மீண்டும் "கண்டுபிடிக்கப்பட்டது". 1855 ஆம் ஆண்டில், தங்க விகிதத்தின் ஜெர்மன் ஆராய்ச்சியாளர் பேராசிரியர் ஜெய்சிங் தனது அழகியல் ஆராய்ச்சியை வெளியிட்டார். Zeising உடன், மற்ற நிகழ்வுகளுடன் எந்த தொடர்பும் இல்லாமல், ஒரு நிகழ்வை அப்படிக் கருதும் ஒரு ஆராய்ச்சியாளருக்கு தவிர்க்க முடியாமல் என்ன நடந்தது. அவர் தங்க விகிதத்தின் விகிதத்தை முழுமையாக்கினார், இயற்கை மற்றும் கலையின் அனைத்து நிகழ்வுகளுக்கும் உலகளாவியதாக அறிவித்தார். ஜெய்சிங்கிற்கு ஏராளமான பின்தொடர்பவர்கள் இருந்தனர், ஆனால் அவரது விகிதாச்சாரக் கோட்பாட்டை "கணித அழகியல்" என்று அறிவித்த எதிரிகளும் இருந்தனர்.

அரிசி. 10. மனித உடலின் பாகங்களில் தங்க விகிதங்கள்

ஜெய்சிங் ஒரு மகத்தான வேலையைச் செய்திருக்கிறார். அவர் சுமார் இரண்டாயிரம் மனித உடல்களை அளந்தார் மற்றும் தங்க விகிதம் சராசரி புள்ளியியல் சட்டத்தை வெளிப்படுத்துகிறது என்ற முடிவுக்கு வந்தார். தொப்புள் புள்ளியால் உடலைப் பிரிப்பது தங்க விகிதத்தின் மிக முக்கியமான குறிகாட்டியாகும். ஆண் உடலின் விகிதாச்சாரம் 13: 8 = 1.625 என்ற சராசரி விகிதத்திற்குள் ஏற்ற இறக்கமாக உள்ளது மற்றும் பெண் உடலின் விகிதாச்சாரத்தை விட தங்க விகிதத்திற்கு சற்றே நெருக்கமாக உள்ளது, இது தொடர்பாக விகிதத்தின் சராசரி மதிப்பு 8 என்ற விகிதத்தில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. : 5 = 1.6. புதிதாகப் பிறந்த குழந்தையில், விகிதம் 1: 1 ஆகவும், 13 வயதிற்குள் இது 1.6 ஆகவும், 21 வயதிற்குள் அது ஆணுக்கு சமமாகவும் இருக்கும். தோள்பட்டை, முன்கை மற்றும் கை, கை மற்றும் விரல்கள் போன்றவற்றின் நீளம் - உடலின் மற்ற பாகங்களுடனும் தங்க விகிதத்தின் விகிதங்கள் வெளிப்படுகின்றன.

அரிசி. 11. மனித உருவத்தில் தங்க விகிதங்கள்

ஜீசிங் கிரேக்க சிலைகள் மீதான அவரது கோட்பாட்டின் செல்லுபடியை சோதித்தார். மிக விரிவாக, அவர் அப்பல்லோ பெல்வெடெரின் விகிதாச்சாரத்தை உருவாக்கினார். கிரேக்க குவளைகள், பல்வேறு காலகட்டங்களின் கட்டடக்கலை கட்டமைப்புகள், தாவரங்கள், விலங்குகள், பறவை முட்டைகள், இசை ஒலிகள் மற்றும் கவிதை பரிமாணங்கள் ஆகியவை ஆராய்ச்சிக்கு உட்படுத்தப்பட்டன. ஜெய்சிங் தங்க விகிதத்திற்கு ஒரு வரையறையை அளித்தார், அது வரி பிரிவுகளிலும் எண்களிலும் எவ்வாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது என்பதைக் காட்டினார். பிரிவுகளின் நீளத்தை வெளிப்படுத்தும் எண்களைப் பெற்றபோது, அவை ஒரு ஃபைபோனச்சி தொடரை உருவாக்குவதை ஜெய்சிங் கண்டார், இது ஒரு திசையில் அல்லது மற்றொன்றில் காலவரையின்றி தொடரலாம். அவரது அடுத்த புத்தகம் "இயற்கை மற்றும் கலையில் அடிப்படை உருவவியல் விதியாக கோல்டன் பிரிவு" என்று பெயரிடப்பட்டது. 1876 ஆம் ஆண்டில், ஒரு சிறிய புத்தகம், கிட்டத்தட்ட ஒரு சிற்றேடு, ரஷ்யாவில் வெளியிடப்பட்டது, இது ஜீசிங்கின் இந்த படைப்பை முன்வைத்தது. ஆசிரியர் யு.எஃப்.வி என்ற இனிஷியலின் கீழ் தஞ்சம் புகுந்தார். இந்தப் பதிப்பில் ஓவியம் எதுவும் குறிப்பிடப்படவில்லை.

XIX இன் பிற்பகுதியில் - XX நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில். கலை மற்றும் கட்டிடக்கலை வேலைகளில் தங்க விகிதத்தைப் பயன்படுத்துவதில் நிறைய முறையான கோட்பாடுகள் தோன்றின. வடிவமைப்பு மற்றும் தொழில்நுட்ப அழகியல் வளர்ச்சியுடன், தங்க விகிதத்தின் சட்டம் கார்கள், தளபாடங்கள் போன்றவற்றின் வடிவமைப்பிற்கு நீட்டிக்கப்பட்டது.

ஃபைபோனச்சி தொடர்

பைசாவைச் சேர்ந்த இத்தாலிய கணிதவியலாளர் துறவி லியோனார்டோவின் பெயர், ஃபிபோனச்சி (பொனாச்சியின் மகன்) என்று நன்கு அறியப்பட்டவர், தங்க விகிதத்தின் வரலாற்றுடன் மறைமுகமாக இணைக்கப்பட்டுள்ளது. அவர் கிழக்கில் நிறைய பயணம் செய்தார், ஐரோப்பாவை இந்திய (அரபு) எண்களுக்கு அறிமுகப்படுத்தினார். 1202 ஆம் ஆண்டில், அவரது கணிதப் பணி "தி புக் ஆஃப் தி அபாகஸ்" (எண்ணும் பலகை) வெளியிடப்பட்டது, அதில் அந்த நேரத்தில் அறியப்பட்ட அனைத்து சிக்கல்களும் சேகரிக்கப்பட்டன. "ஒரு ஜோடியிலிருந்து ஒரு வருடத்தில் எத்தனை ஜோடி முயல்கள் பிறக்கும்" என்பது பணிகளில் ஒன்று. இந்த தலைப்பில் பிரதிபலிக்கும் வகையில், ஃபைபோனச்சி பின்வரும் எண்களின் தொடர்களை உருவாக்கினார்:

எண்களின் வரிசை 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, முதலியன. ஃபைபோனச்சி தொடர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எண்களின் வரிசையின் தனித்தன்மை என்னவென்றால், அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், மூன்றில் இருந்து தொடங்கி, முந்தைய இரண்டு 2 + 3 = 5 ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, முதலியன, மற்றும் தொடரில் உள்ள அடுத்தடுத்த எண்களின் விகிதம் தங்கப் பிரிவின் விகிதத்தை நெருங்குகிறது. எனவே, 21: 34 = 0.617, மற்றும் 34: 55 = 0.618. இந்த விகிதம் F குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த விகிதம் மட்டுமே - 0.618: 0.382 - தங்க விகிதத்தில் ஒரு நேர்கோட்டுப் பிரிவின் தொடர்ச்சியான பிரிவை அளிக்கிறது, அதன் அதிகரிப்பு அல்லது குறைப்பு முடிவிலிக்கு, சிறிய பகுதி பெரியது என பெரியதுடன் தொடர்புடையது. .

ஃபிபோனச்சி வர்த்தகத்தின் நடைமுறைத் தேவைகளையும் கையாண்டார்: ஒரு பண்டத்தை எடைபோடுவதற்கு மிகச்சிறிய அளவு எடைகள் என்ன? 1, 2, 4, 8, 16 ...

பொதுவான தங்க விகிதம்

தாவர மற்றும் விலங்கு உலகில் உள்ள தங்கப் பிரிவின் அனைத்து ஆராய்ச்சியாளர்களும், கலையைக் குறிப்பிடாமல், தங்கப் பிரிவின் விதியின் எண்கணித வெளிப்பாடாக இந்தத் தொடருக்கு மாறாமல் வந்திருந்தால், ஃபைபோனச்சி தொடர் ஒரு கணித சம்பவமாக மட்டுமே இருந்திருக்கும். .

ஃபைபோனச்சி எண்கள் மற்றும் தங்க விகிதத்தின் கோட்பாட்டை விஞ்ஞானிகள் தொடர்ந்து தீவிரமாக உருவாக்கினர். Yu. Matiyasevich, Fibonacci எண்களைப் பயன்படுத்தி ஹில்பர்ட்டின் 10வது பிரச்சனையைத் தீர்க்கிறார். ஃபைபோனச்சி எண்கள் மற்றும் கோல்டன் ரேஷியோவைப் பயன்படுத்தி பல சைபர்நெடிக் சிக்கல்களைத் தீர்க்க (தேடல் கோட்பாடு, விளையாட்டுகள், நிரலாக்கம்) அதிநவீன முறைகள் உள்ளன. யுனைடெட் ஸ்டேட்ஸில், கணித ஃபைபோனச்சி சங்கம் கூட உருவாக்கப்பட்டது, இது 1963 முதல் ஒரு சிறப்பு பத்திரிகையை வெளியிட்டு வருகிறது.

இந்த பகுதியில் ஏற்பட்ட முன்னேற்றங்களில் ஒன்று, பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஃபைபோனச்சி எண்கள் மற்றும் பொதுவான தங்க விகிதங்களின் கண்டுபிடிப்பு ஆகும்.

இவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஃபிபோனச்சி தொடர் (1, 1, 2, 3, 5, 8) மற்றும் "பைனரி" தொடர் எடைகள் 1, 2, 4, 8, 16 ஆகியவை முதல் பார்வையில் முற்றிலும் வேறுபட்டவை. ஆனால் அவற்றின் கட்டுமானத்திற்கான வழிமுறைகள் ஒன்றுக்கொன்று மிகவும் ஒத்தவை: முதல் வழக்கில், ஒவ்வொரு எண்ணும் முந்தைய எண்ணின் கூட்டுத்தொகை 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2…, இரண்டாவது இது இரண்டு முந்தைய எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும் 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2…. "பைனரி" தொடர்கள் மற்றும் ஃபைபோனச்சி தொடர்கள் இரண்டும் பெறப்பட்ட பொதுவான கணித சூத்திரத்தை கண்டுபிடிக்க முடியுமா? அல்லது இந்த சூத்திரம் சில புதிய தனித்துவமான பண்புகளுடன் புதிய எண் தொகுப்புகளை நமக்கு அளிக்குமா?

உண்மையில், எண் அளவுருவை அமைப்போம் எஸ், எந்த மதிப்புகளையும் எடுக்கலாம்: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... ஒரு எண் தொடரைக் கவனியுங்கள், எஸ்அதன் முதல் உறுப்பினர்களில் + 1 அலகுகளாகும், மேலும் அடுத்தடுத்த ஒவ்வொன்றும் முந்தைய உறுப்பினர்களின் இரண்டு உறுப்பினர்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் மற்றும் முந்தையவற்றிலிருந்து இடைவெளி எஸ்படிகள். என்றால் nஇந்தத் தொடரின் -வது காலத்தை நாம் φ ஆல் குறிப்பிடுகிறோம்எஸ் (n), பின்னர் நாம் பொதுவான சூத்திரம் φ ஐப் பெறுகிறோம்எஸ் ( n) = φ எஸ் ( n- 1) + φ எஸ் (n – எஸ் – 1).

வெளிப்படையாக, அதற்காக எஸ்= 0 இந்த சூத்திரத்திலிருந்து நாம் ஒரு "பைனரி" தொடரைப் பெறுகிறோம் எஸ்= 1 - Fibonacci தொடர், க்கான எஸ்= 2, 3, 4. புதிய தொடர் எண்கள், அவை பெயரிடப்பட்டன எஸ்-ஃபைபோனச்சி எண்கள்.

பொதுவாக, தங்கம் எஸ்-விகிதமானது தங்க சமன்பாட்டின் நேர்மறை மூலமாகும் எஸ்-பிரிவுகள் x S + 1 - x S - 1 = 0.

S = 0 ஆக இருக்கும் போது, பிரிவு பாதியாகப் பிரிக்கப்பட்டு, S = 1 ஆக இருக்கும் போது, நன்கு அறியப்பட்ட கிளாசிக்கல் கோல்டன் விகிதம் என்பதைக் காட்டுவது எளிது.

அண்டை நாடான ஃபிபோனச்சி எஸ்-எண்களின் விகிதங்கள், கோல்டன் எஸ்-விகிதங்களுடன் வரம்பில் முழுமையான கணிதத் துல்லியத்துடன் ஒத்துப்போகின்றன! இது போன்ற சமயங்களில் கணிதவியலாளர்கள் கோல்டன் S-விகிதங்கள் Fibonacci S-எண்களின் எண்ணியல் மாறுபாடுகள் என்று கூறுகிறார்கள்.

இயற்கையில் கோல்டன் எஸ்-பிரிவுகள் இருப்பதை உறுதிப்படுத்தும் உண்மைகள் பெலாரஷ்ய விஞ்ஞானி ஈ.எம். "அமைப்புகளின் கட்டமைப்பு இணக்கம்" (மின்ஸ்க், "அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்பம்", 1984) புத்தகத்தில் நாற்பது. எடுத்துக்காட்டாக, நன்கு ஆய்வு செய்யப்பட்ட பைனரி உலோகக்கலவைகள் சிறப்பு, உச்சரிக்கப்படும் செயல்பாட்டு பண்புகள் (வெப்பநிலை, கடினமான, உடைகள்-எதிர்ப்பு, ஆக்சிஜனேற்றம்-எதிர்ப்பு, முதலியன) ஆரம்ப கூறுகளின் குறிப்பிட்ட எடைகள் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டிருந்தால் மட்டுமே. தங்க S-விகிதங்களில் ஒன்றின் மூலம். தங்க S-பிரிவுகள் சுய-ஒழுங்குமுறை அமைப்புகளின் எண்ணியல் மாறுபாடுகள் என்று ஒரு கருதுகோளை முன்வைக்க இது ஆசிரியரை அனுமதித்தது. சோதனை ரீதியாக உறுதிப்படுத்தப்பட்ட, இந்த கருதுகோள் சினெர்ஜெடிக்ஸ் வளர்ச்சிக்கு அடிப்படை முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததாக இருக்கலாம், இது சுய-ஒழுங்குமுறை அமைப்புகளில் செயல்முறைகளை ஆய்வு செய்யும் புதிய அறிவியல் துறையாகும்.

கோல்டன் S- விகிதக் குறியீடுகள் மூலம், முழு எண் குணகங்களுடன் தங்க S- விகிதாச்சாரங்களின் டிகிரிகளின் கூட்டுத்தொகையாக நீங்கள் எந்த உண்மையான எண்ணையும் வெளிப்படுத்தலாம்.

குறியீட்டு எண்களின் இந்த முறைக்கு இடையே உள்ள அடிப்படை வேறுபாடு என்னவென்றால், S> 0 க்கான தங்க S-விகிதங்களான புதிய குறியீடுகளின் அடிப்படைகள் பகுத்தறிவற்ற எண்களாக மாறும். இவ்வாறு, பகுத்தறிவற்ற அடிப்படைகளைக் கொண்ட புதிய எண் அமைப்புகள், வரலாற்று ரீதியாக நிறுவப்பட்ட பகுத்தறிவு மற்றும் பகுத்தறிவற்ற எண்களுக்கு இடையிலான உறவுகளின் படிநிலையை "தலைகீழாக" வைக்கின்றன. உண்மை என்னவென்றால், முதலில் இயற்கை எண்கள் "கண்டுபிடிக்கப்பட்டன"; பின்னர் அவர்களின் உறவுகள் பகுத்தறிவு எண்கள். பின்னர்தான் - பித்தகோரியர்களால் அளவிட முடியாத பகுதிகளைக் கண்டுபிடித்த பிறகு - பகுத்தறிவற்ற எண்கள் தோன்றின. எடுத்துக்காட்டாக, தசம, பென்டரி, பைனரி மற்றும் பிற கிளாசிக்கல் நிலை எண் அமைப்புகளில், இயற்கை எண்கள் - 10, 5, 2 - ஒரு வகையான அடிப்படைக் கொள்கையாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டன, இதிலிருந்து மற்ற அனைத்து இயற்கை எண்களும், பகுத்தறிவு மற்றும் பகுத்தறிவற்ற எண்களும் கட்டப்பட்டன. சில விதிகளின்படி.

தற்போதுள்ள எண்ணிடல் முறைகளுக்கு ஒரு வகையான மாற்று ஒரு புதிய, பகுத்தறிவற்ற அமைப்பாகும், இது ஒரு அடிப்படைக் கொள்கையாக உள்ளது, இதன் ஆரம்பம் ஒரு பகுத்தறிவற்ற எண் (இது, தங்கப் பிரிவின் சமன்பாட்டின் வேர் என்பதை நாம் நினைவுபடுத்துகிறோம்); மற்ற உண்மையான எண்கள் ஏற்கனவே அதன் மூலம் வெளிப்படுத்தப்பட்டுள்ளன.

அத்தகைய எண் அமைப்பில், எந்தவொரு இயற்கை எண்ணும் எப்போதும் வரையறுக்கப்பட்ட வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படுகிறது - மற்றும் முன்பு நினைத்தது போல் எல்லையற்றது அல்ல! - தங்க S- விகிதாச்சாரங்களில் ஏதேனும் ஒன்றின் டிகிரிகளின் கூட்டுத்தொகை. "பகுத்தறிவற்ற" எண்கணிதம், அற்புதமான கணித எளிமை மற்றும் நேர்த்தியுடன், கிளாசிக்கல் பைனரி மற்றும் "ஃபைபோனச்சி" எண்கணிதத்தின் சிறந்த குணங்களை உள்வாங்கியதாகத் தோன்றுவதற்கான காரணங்களில் இதுவும் ஒன்றாகும்.

இயற்கையில் வடிவமைக்கும் கொள்கைகள்

ஏதோ ஒரு வடிவம் எடுத்து, உருவான, வளர்ந்த, விண்வெளியில் இடம் பிடித்து தன்னைக் காத்துக் கொள்ள முற்பட்ட அனைத்தும். இந்த முயற்சி முக்கியமாக இரண்டு பதிப்புகளில் செயல்படுத்தப்படுகிறது - மேல்நோக்கி வளரும் அல்லது பூமியின் மேற்பரப்பில் பரவுகிறது மற்றும் ஒரு சுழலில் முறுக்குகிறது.

ஷெல் ஒரு சுழலில் முறுக்கப்பட்டிருக்கிறது. நீங்கள் அதை விரித்தால், பாம்பின் நீளத்தை விட சற்று தாழ்வான நீளம் கிடைக்கும். ஒரு சிறிய பத்து சென்டிமீட்டர் ஷெல் 35 செமீ நீளமுள்ள சுழல் கொண்டது.சுழல் இயற்கையில் மிகவும் பொதுவானது. சுழல் இல்லை என்றால் தங்க விகிதம் முழுமையடையாது.

அரிசி. 12. ஆர்க்கிமிடிஸ் சுழல்

சுழல் சுருண்ட ஷெல்லின் வடிவம் ஆர்க்கிமிடிஸின் கவனத்தை ஈர்த்தது. அவர் அதைப் படித்து, சுழல் சமன்பாட்டைக் கண்டறிந்தார். இந்த சமன்பாட்டிலிருந்து வரையப்பட்ட சுழல் அவருக்கு பெயரிடப்பட்டது. அவள் படியில் அதிகரிப்பு எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். தற்போது, ஆர்க்கிமிடிஸ் சுழல் தொழில்நுட்பத்தில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

கோதே கூட இயற்கையின் சுழல் போக்கை வலியுறுத்தினார். மரக்கிளைகளில் இலைகளின் சுழல் மற்றும் சுழல் அமைப்பு நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே கவனிக்கப்பட்டது. சூரியகாந்தி விதைகள், பைன் கூம்புகள், அன்னாசிப்பழம், கற்றாழை போன்றவற்றில் சுழல் காணப்பட்டது. தாவரவியலாளர்கள் மற்றும் கணிதவியலாளர்களின் கூட்டுப் பணி இந்த அற்புதமான இயற்கை நிகழ்வுகளின் மீது வெளிச்சம் போட்டுள்ளது. ஒரு கிளை (பைலோடாக்சிஸ்), சூரியகாந்தி விதைகள், பைன் கூம்புகள் ஆகியவற்றில் இலைகளை அமைப்பதில், ஃபைபோனச்சி தொடர் தன்னை வெளிப்படுத்துகிறது, எனவே தங்கப் பிரிவின் சட்டம் தன்னை வெளிப்படுத்துகிறது. சிலந்தி சுழல் முறையில் வலை பின்னுகிறது. ஒரு சூறாவளி ஒரு சுழலில் சுழல்கிறது. பயந்துபோன கலைமான் கூட்டம் சுழலில் சிதறுகிறது. டிஎன்ஏ மூலக்கூறு இரட்டை சுருளில் முறுக்கப்படுகிறது. கோதே சுழலை "வாழ்க்கையின் வளைவு" என்று அழைத்தார்.

சாலையோர புற்கள் மத்தியில், ஒரு குறிப்பிடத்தக்க ஆலை வளரும் - சிக்கரி. அவரைக் கூர்ந்து கவனிப்போம். முக்கிய தண்டிலிருந்து ஒரு செயல்முறை உருவாகியுள்ளது. முதல் தாள் அங்கேயே அமைந்துள்ளது.

அரிசி. 13. சிக்கரி

படப்பிடிப்பு விண்வெளியில் ஒரு வலுவான வெளியேற்றத்தை உருவாக்குகிறது, நிறுத்துகிறது, ஒரு இலையை வெளியிடுகிறது, ஆனால் முதல் விட சிறியது, மீண்டும் ஒரு வெளியேற்றத்தை விண்வெளியில் செய்கிறது, ஆனால் குறைந்த சக்தியுடன், இன்னும் சிறிய அளவிலான இலையை வெளியிட்டு மீண்டும் வெளியேற்றுகிறது. முதல் உமிழ்வை 100 அலகுகளாக எடுத்துக் கொண்டால், இரண்டாவது 62 அலகுகள், மூன்றாவது 38, நான்காவது 24, முதலியன. இதழ்களின் நீளமும் தங்க விகிதத்திற்கு உட்பட்டது. வளர்ச்சியில், விண்வெளி வெற்றி, ஆலை சில விகிதாச்சாரத்தை தக்க வைத்துக் கொண்டது. அதன் வளர்ச்சியின் தூண்டுதல்கள் தங்கப் பகுதியின் விகிதத்தில் படிப்படியாகக் குறைந்துவிட்டன.

அரிசி. 15. பறவையின் முட்டை

சிறந்த கோதே, ஒரு கவிஞர், இயற்கை ஆர்வலர் மற்றும் கலைஞர் (அவர் வாட்டர்கலர்களில் வரைந்தார் மற்றும் வரைந்தார்), கரிம உடல்களின் வடிவம், உருவாக்கம் மற்றும் மாற்றம் பற்றி ஒரு ஒருங்கிணைந்த போதனையை உருவாக்க கனவு கண்டார். உருவவியல் என்ற சொல்லை அறிவியல் பயன்பாட்டில் அறிமுகப்படுத்தியவர்.

இந்த நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் பியர் கியூரி சமச்சீர் பற்றிய பல ஆழமான கருத்துக்களை வகுத்தார். சுற்றுச்சூழலின் சமச்சீரற்ற தன்மையைக் கருத்தில் கொள்ளாமல், எந்தவொரு உடலின் சமச்சீர்நிலையையும் கருத்தில் கொள்ள முடியாது என்று அவர் வாதிட்டார்.

"தங்க" சமச்சீர் வடிவங்கள் அடிப்படைத் துகள்களின் ஆற்றல் மாற்றங்களில், சில வேதியியல் சேர்மங்களின் கட்டமைப்பில், கிரகங்கள் மற்றும் விண்வெளி அமைப்புகளில், உயிரினங்களின் மரபணு அமைப்புகளில் வெளிப்படுகின்றன. இந்த வடிவங்கள், மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, ஒரு நபரின் தனிப்பட்ட உறுப்புகள் மற்றும் ஒட்டுமொத்த உடலின் கட்டமைப்பில் உள்ளன, மேலும் அவை பயோரிதம் மற்றும் மூளையின் செயல்பாடு மற்றும் காட்சி உணர்விலும் வெளிப்படுகின்றன.

கோல்டன் விகிதம் மற்றும் சமச்சீர்

கோல்டன் ரேஷியோவை சமச்சீர் தொடர்பு இல்லாமல் தனித்தனியாக கருத முடியாது. சிறந்த ரஷ்ய கிரிஸ்டலோகிராஃபர் ஜி.வி. வோல்ஃப் (1863 ... 1925) தங்க விகிதத்தை சமச்சீர் வெளிப்பாடுகளில் ஒன்றாகக் கருதினார்.

தங்கப் பிரிவு என்பது சமச்சீரற்ற தன்மையின் வெளிப்பாடு அல்ல, சமச்சீர்நிலைக்கு எதிரான ஒன்று.நவீன கருத்துகளின்படி, தங்கப் பிரிவு என்பது சமச்சீரற்ற சமச்சீராகும். சமச்சீர் அறிவியல் நிலையான மற்றும் மாறும் சமச்சீர் போன்ற கருத்துகளை உள்ளடக்கியது. நிலையான சமச்சீர் ஓய்வு, சமநிலை மற்றும் மாறும் - இயக்கம், வளர்ச்சி ஆகியவற்றைக் குறிக்கிறது. எனவே, இயற்கையில், நிலையான சமச்சீர் படிகங்களின் கட்டமைப்பால் குறிப்பிடப்படுகிறது, மேலும் கலையில் இது அமைதி, சமநிலை மற்றும் அசையாத தன்மையை வகைப்படுத்துகிறது. டைனமிக் சமச்சீர் செயல்பாட்டை வெளிப்படுத்துகிறது, இயக்கம், வளர்ச்சி, தாளம் ஆகியவற்றை வகைப்படுத்துகிறது, இது வாழ்க்கையின் சான்று. நிலையான சமச்சீர் சம பிரிவுகள், சம மதிப்புகளால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. டைனமிக் சமச்சீர் பிரிவுகளின் அதிகரிப்பு அல்லது குறைவால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் இது அதிகரிக்கும் அல்லது குறையும் தொடரின் தங்கப் பிரிவின் மதிப்புகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

நூலியல் விளக்கம்:மக்ஸிமென்கோ ஓ.வி., பாஸ்டர் வி.எஸ்., வோர்ஃபோலோமீவா பி.வி., மொசிகோவா கே.ஏ., நிகோலேவா எம்.இ., ஷ்மேலேவா ஓ.வி. கோல்டன் பிரிவின் கருத்துக்கு // இளம் விஞ்ஞானி. - 2016. - எண் 6.1. - எஸ். 35-39..02.2019).

வடிவவியலுக்கு இரண்டு பொக்கிஷங்கள் உள்ளன:

அவற்றில் ஒன்று பித்தகோரியன் தேற்றம்.

மற்றொன்று பிரிவை சராசரி மற்றும் தீவிர விகிதத்தில் பிரிக்கிறது "

ஜோஹன்னஸ் கெப்ளர்

முக்கிய வார்த்தைகள்: தங்க விகிதம், தங்க விகிதங்கள், அறிவியல் நிகழ்வு.

எங்கள் பணியின் நோக்கம், பல்வேறு அறிவுத் துறைகளில் "கோல்டன் பிரிவு" தொடர்பான தகவல்களின் ஆதாரங்களைப் படிப்பது, வடிவங்களை அடையாளம் காண்பது மற்றும் அறிவியலுக்கு இடையிலான இணைப்புகளைக் கண்டறிதல், கோல்டன் பிரிவின் நடைமுறை அர்த்தத்தை அடையாளம் காண்பது.

இந்த ஆராய்ச்சியின் பொருத்தம் கணிதம் மற்றும் கலையில் தங்க விகிதத்தைப் பயன்படுத்திய பல நூற்றாண்டுகள் பழமையான வரலாற்றால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. பழங்காலத்தவர்கள் குழப்பமடைந்தது, சமகாலத்தவர்களின் ஆர்வத்தைத் தூண்டுவதும் பொருத்தமானதுமாகும்.

எல்லா நேரங்களிலும், மக்கள் தங்களைச் சுற்றியுள்ள உலகில் வடிவங்களைக் கண்டுபிடிக்க முயன்றனர். அவர்கள் தங்கள் பார்வையில் இருந்து "சரியான" வடிவத்தின் பொருள்களால் தங்களைச் சூழ்ந்தனர். கணிதத்தின் வளர்ச்சியுடன் மட்டுமே மக்கள் "தங்க விகிதத்தை" அளவிட முடிந்தது, இது பின்னர் "கோல்டன் பிரிவு" என்று அறியப்பட்டது.

தங்க விகிதம்- ஹார்மோனிக் விகிதம்

கோல்டன் ரேஷியோ என்பது ஒரு பிரிவின் சமமற்ற பகுதிகளாக இருக்கும் விகிதாசாரப் பிரிவாகும், இதில் முழுப் பகுதியும் பெரிய பகுதியைக் குறிக்கிறது, அதே வழியில் பெரிய பகுதி சிறியதைக் குறிக்கிறது; அல்லது, வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு சிறிய பிரிவு என்பது ஒரு பெரிய பகுதியை எல்லாவற்றிற்கும் பெரியதாகக் குறிக்கிறது (படம் 1).

அ: பி = பி: c

அரிசி. 1. தங்க விகிதாச்சாரத்தால் ஒரு பிரிவின் பிரிவு

தங்க விகிதம் என்ன என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுவோம். தங்க விகிதத்தின் மிகவும் திறமையான வரையறை, சிறிய பகுதியானது பெரியதைக் குறிக்கிறது, அது முழுவதையும் பெரியதாகக் குறிக்கிறது. இதன் தோராயமான மதிப்பு 1.6180339887. வட்டமான சதவீதத்தில், ஒரு முழு பகுதியின் விகிதாச்சாரங்கள் 62% முதல் 38% வரை இருக்கும். இந்த உறவு இடம் மற்றும் நேரம் வடிவங்களில் செயல்படுகிறது.

தங்க முக்கோணம் மற்றும்செவ்வகம்

ஒரு பிரிவை சமமற்ற பகுதிகளாக (தங்க விகிதம்) பிரிப்பதைத் தவிர, ஒரு தங்க முக்கோணம் மற்றும் ஒரு தங்க செவ்வகம் ஆகியவை கருதப்படுகின்றன.

தங்க செவ்வகம் என்பது ஒரு செவ்வகமாகும், அதன் பக்க நீளம் தங்க விகிதத்தில் இருக்கும் (படம் 2).

ஐங்கோண நட்சத்திரத்தின் ஒவ்வொரு முனையும் ஒரு தங்க முக்கோணமாகும். அதன் பக்கங்கள் உச்சியில் 36 ° கோணத்தை உருவாக்குகின்றன, மேலும் அடித்தளம், பக்கத்தில் போடப்பட்டு, அதை தங்க விகிதத்தின் விகிதத்தில் பிரிக்கிறது (படம் 3).

படம் 2. தங்க செவ்வகம்

படம் 3 தங்க முக்கோணம்

பெண்டாக்கிள்

வழக்கமான ஐந்து புள்ளிகள் கொண்ட நட்சத்திரத்தில், ஒவ்வொரு பிரிவையும் தங்க விகிதத்தில் வெட்டும் ஒரு பிரிவாகப் பிரிக்கப்படுகிறது, அதாவது நீலப் பிரிவின் விகிதம் பச்சை, சிவப்பு நீலம், பச்சை மற்றும் ஊதா விகிதம் 1.618 (படம் 4).

படம் 4. பெண்டாகிராம்-ஹைகியா

பித்தகோரஸ் பென்டாகிராம், அல்லது, அவர் அழைத்தது போல், ஹைஜியா ஒரு கணித முழுமை என்று வாதிட்டார், ஏனெனில் அது தங்க விகிதத்தை மறைக்கிறது. நீலம் பச்சை, சிவப்பு நீலம், பச்சை வயலட் விகிதம் தங்க விகிதம்.

ஃபைபோனச்சி தொடர்

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 போன்ற எண்களின் தொடர் ஃபைபோனச்சி தொடர் என அழைக்கப்படுகிறது. எண்களின் வரிசையின் தனித்தன்மை என்னவென்றால், அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினர்களும் மூன்றில் இருந்து தொடங்கி, முந்தைய இரண்டின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், மற்றும் தொடரில் உள்ள அடுத்தடுத்த எண்களின் விகிதம் தங்கப் பிரிவின் விகிதத்தை நெருங்குகிறது.

எனவே, 21:34 = 0.617

34: 55 = 0,618.

தங்க விகிதத்தின் வரலாறு

தங்க விகிதாச்சாரத்தில்மனித உடலின் பாகங்கள்

1855 ஆம் ஆண்டில், தங்க விகிதத்தின் ஜெர்மன் ஆராய்ச்சியாளர் பேராசிரியர் ஜெய்சிங் தனது அழகியல் ஆராய்ச்சியை வெளியிட்டார்.

Zeising சுமார் இரண்டாயிரம் மனித உடல்களை அளந்தார் மற்றும் தங்க விகிதம் சராசரி புள்ளியியல் சட்டத்தை வெளிப்படுத்துகிறது என்ற முடிவுக்கு வந்தார் (படம் 5).

படம் 5 மனித உடலின் பாகங்களில் தங்க விகிதங்கள்

தங்க விகிதம்வனவிலங்குகள்

மனித அறிவின் பல பகுதிகளில் ஒரே ஒரு கணிதக் கருத்து எவ்வாறு நிகழ்கிறது என்பது ஆச்சரியமாக இருக்கிறது. இது உலகில் உள்ள அனைத்தையும் ஊடுருவி, நல்லிணக்கம் மற்றும் குழப்பம், கணிதம் மற்றும் கலை ஆகியவற்றை இணைக்கிறது.

உயிரியல் ஆராய்ச்சியில், வைரஸ்கள் மற்றும் தாவரங்கள் முதல் மனித உடல் வரை, எல்லா இடங்களிலும் ஒரு தங்க விகிதம் வெளிப்படுகிறது, அவற்றின் கட்டமைப்பின் விகிதாச்சாரத்தையும் இணக்கத்தையும் வகைப்படுத்துகிறது. தங்க விகிதம் வாழ்க்கை அமைப்புகளின் உலகளாவிய சட்டமாக அங்கீகரிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு பல்லியில், முதல் பார்வையில், நம் கண்களுக்கு இனிமையான விகிதாச்சாரங்கள் பிடிக்கப்படுகின்றன - அதன் வால் நீளம் உடலின் மற்ற பகுதிகளின் நீளத்துடன் 62 முதல் 38 வரை தொடர்புடையது (படம் 6).

படம் 6 பல்லியின் உடல் பாகங்களில் தங்க விகிதங்கள்

தங்க விகிதம்கட்டிடக்கலை

"தங்க விகிதம்" பற்றிய புத்தகங்களில், கட்டிடக்கலையில், ஓவியம் போலவே, அனைத்தும் பார்வையாளரின் நிலையைப் பொறுத்தது என்பதையும், ஒருபுறம் ஒரு கட்டிடத்தில் சில விகிதங்கள் "தங்க விகிதத்தை" உருவாக்குவதாகத் தோன்றினால். பின்னர் மற்ற கண்ணோட்டத்தில் இருந்து அவர்கள் வித்தியாசமாக இருக்கும். "தங்கப் பிரிவு" சில நீளங்களின் அளவுகளின் மிகவும் அமைதியான விகிதத்தை அளிக்கிறது.

பண்டைய கிரேக்க கட்டிடக்கலையின் மிக அழகான துண்டுகளில் ஒன்று பார்த்தீனான் (படம் 7). கட்டிடத்தின் உயரத்திற்கும் அதன் நீளத்திற்கும் உள்ள விகிதம் 0.618 ஆகும். "தங்க விகிதத்தின்" படி பார்த்தீனானைப் பிரித்தால், முகப்பின் சில புரோட்ரூஷன்களைப் பெறுவோம்.

பழங்கால கட்டிடக்கலையில் இருந்து மற்றொரு உதாரணம் Cheops பிரமிடு (படம் 8).

பெரிய பிரமிட்டின் விகிதங்கள் "தங்க விகிதத்தில்" வைக்கப்பட்டுள்ளன

பழங்கால கட்டிடக்காரர்கள் இந்த கம்பீரமான நினைவுச்சின்னத்தை ஏறக்குறைய சரியான பொறியியல் துல்லியம் மற்றும் சமச்சீர்மையுடன் எழுப்ப முடிந்தது.

படம் 7. பார்த்தீனான்

படம் 8. சேப்ஸ் பிரமிட்

தங்க விகிதம்சிற்பம்

"தங்கப் பிரிவின்" விகிதாச்சாரங்கள் அழகின் நல்லிணக்கத்தின் தோற்றத்தை உருவாக்குகின்றன, எனவே சிற்பிகள் தங்கள் படைப்புகளில் அவற்றைப் பயன்படுத்தினர். எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, அப்பல்லோ பெல்வெடெரின் புகழ்பெற்ற சிலை தங்க விகிதங்களின்படி பிரிக்கப்பட்ட பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது (படம் 9).

படம் 9 அப்பல்லோ பெல்வெடெரின் சிலை

தங்க விகிதம்ஓவியம்

ஓவியத்தில் "தங்க விகிதத்தின்" எடுத்துக்காட்டுகளுக்குச் செல்லும்போது, லியோனார்டோ டா வின்சியின் வேலையில் கவனம் செலுத்த முடியாது. "லா ஜியோகோண்டா" ஓவியத்தை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம். உருவப்படத்தின் கலவை தங்க முக்கோணங்களில் கட்டப்பட்டுள்ளது (படம் 10).

படம் 10 லியோனார்டோ டா வின்சி "லா ஜியோகோண்டா"

ஓவியத்தில் தங்க விகிதத்திற்கு மற்றொரு உதாரணம் ரபேலின் ஓவியம் "குழந்தைகளின் பீடிங்" (படம் 11). ரபேலின் ஆயத்த ஓவியத்தில், கலவையின் சொற்பொருள் மையத்திலிருந்து சிவப்பு கோடுகள் வரையப்பட்டுள்ளன. நீங்கள் இயற்கையாகவே இந்த துண்டுகளை வளைந்த புள்ளியிடப்பட்ட கோட்டுடன் இணைத்தால், மிக அதிக துல்லியத்துடன் நீங்கள் பெறுவீர்கள் ... ஒரு தங்க சுழல்!

படம் 11. ரபேல் "குழந்தைகளை அடிப்பது"

தங்க விகிதம்இலக்கிய படைப்புகள்

தற்காலிக கலை வடிவங்கள் அவற்றின் சொந்த வழியில் தங்கப் பிரிவின் கொள்கையை நமக்கு நிரூபிக்கின்றன. தங்கப் பிரிவின் விதி ரஷ்ய கிளாசிக் தனிப்பட்ட படைப்புகளிலும் பொருந்தும். எனவே, "தி குயின் ஆஃப் ஸ்பேட்ஸ்" கதையில் 853 வரிகள் உள்ளன, மேலும் உச்சம் வரி 535 இல் உள்ளது (853: 535 = 1.6) - இது தங்கப் பிரிவின் புள்ளி.

தங்க விகிதம்இயக்கப் படங்கள்

திரைப்பட இயக்குனர் செர்ஜி ஐசென்ஸ்டீன் வேண்டுமென்றே தனது "பேட்டில்ஷிப் பொட்டெம்கின்" படத்தின் ஸ்கிரிப்டை கோல்டன் பிரிவின் விதியுடன் ஒருங்கிணைத்து, டேப்பை ஐந்து பகுதிகளாகப் பிரித்தார்.

முடிவுரை

பண்டைய எகிப்து மற்றும் பாபிலோன், இந்தியா மற்றும் சீனாவில் கூட தங்க விகிதம் அறியப்பட்டது. பெரிய பித்தகோரஸ் ஒரு ரகசிய பள்ளியை உருவாக்கினார், அங்கு "தங்கப் பிரிவின்" மாய சாரம் படித்தது. யூக்லிட் அதைப் பயன்படுத்தினார், அவரது வடிவவியலை உருவாக்கினார், மற்றும் ஃபிடியாஸ் - அவரது அழியாத சிற்பங்கள். பிரபஞ்சம் "தங்க விகிதத்தின்" படி அமைக்கப்பட்டுள்ளது என்று பிளேட்டோ கூறினார். அரிஸ்டாட்டில் நெறிமுறைச் சட்டத்திற்கு "தங்கப் பிரிவின்" கடிதப் பரிமாற்றத்தைக் கண்டறிந்தார். "தங்க விகிதத்தின்" மிக உயர்ந்த இணக்கம் லியோனார்டோ டா வின்சி மற்றும் மைக்கேலேஞ்சலோவால் பிரசங்கிக்கப்படும், ஏனென்றால் அழகு மற்றும் "தங்க விகிதம்" ஒன்றுதான். மேலும் கிறிஸ்தவ மர்மவாதிகள் தங்கள் மடங்களின் சுவர்களில் "தங்கப் பகுதியின்" பென்டாகிராம்களை வரைவார்கள், பிசாசிடமிருந்து தப்பி ஓடுவார்கள். அதே நேரத்தில், விஞ்ஞானிகள் - பாசியோலி முதல் ஐன்ஸ்டீன் வரை - தேடுவார்கள், ஆனால் அதன் சரியான பொருளைக் கண்டுபிடிக்க மாட்டார்கள். தசம புள்ளிக்குப் பிறகு ஒரு எண்ணற்ற எண் - 1.6180339887 ... ஒரு விசித்திரமான, மர்மமான, விவரிக்க முடியாத விஷயம்: இந்த தெய்வீக விகிதாச்சாரம் மாயமாக அனைத்து உயிரினங்களுடனும் வருகிறது. உயிரற்ற இயற்கைக்கு "தங்க விகிதம்" என்னவென்று தெரியாது. ஆனால் இந்த விகிதத்தை நீங்கள் நிச்சயமாக கடல் ஓடுகளின் வளைவுகளிலும், பூக்களின் வடிவத்திலும், வண்டுகளின் வடிவத்திலும், அழகான மனித உடலிலும் காண்பீர்கள். எல்லாம் உயிருடன் மற்றும் அழகான அனைத்தும் - அனைத்தும் தெய்வீக சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகின்றன, அதன் பெயர் "தங்கப் பிரிவு". எனவே கோல்டன் விகிதம் என்றால் என்ன? இது என்ன சரியான, தெய்வீக சேர்க்கை? ஒருவேளை இது அழகு விதியா? அல்லது அவர் ஒரு மாய ரகசியமா? அறிவியல் நிகழ்வு அல்லது நெறிமுறைக் கொள்கை? பதில் இன்னும் தெரியவில்லை. இன்னும் துல்லியமாக - இல்லை, அது அறியப்படுகிறது. "தங்க விகிதம்" ஒன்று மற்றும் மற்றொன்று மற்றும் மூன்றாவது. தனித்தனியாக மட்டும் அல்ல, ஒரே நேரத்தில்... இதுவே அதன் உண்மையான மர்மம், பெரிய ரகசியம்.

இலக்கியம்:

Vilenkin N. Ya., Zhokhov V. I. et al. கணிதம் - 6. - M .: Mnemosina, 2015
கோர்பாலன் எஃப். கோல்டன் பிரிவு. அழகின் கணித மொழி. (வேர்ல்ட் ஆஃப் கணிதம் தொகுதி 1). - எம்.: டிஅகோஸ்டினி, 2014
டைமர்டிங் G.E. கோல்டன் பிரிவு. - எம்.: லிப்ரோகாம், 2009

முக்கிய வார்த்தைகள்: தங்க விகிதம், தங்க விகிதங்கள், அறிவியல் நிகழ்வு.

சிறுகுறிப்பு: கோல்டன் ரேஷியோ என்பது கட்டமைப்பு இணக்கத்தின் உலகளாவிய வெளிப்பாடாகும். இது இயற்கை, அறிவியல், கலை - ஒரு நபர் தொடர்பு கொள்ளக்கூடிய எல்லாவற்றிலும் காணப்படுகிறது. கட்டுரையின் ஆசிரியர்கள், இலக்கியத்தை ஆய்வு செய்து, தங்கப் பிரிவைப் பற்றிய அறிவியலுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பைக் கண்டறிந்து, தங்க விகிதாச்சாரத்தின் நடைமுறை அர்த்தத்தை வெளிப்படுத்துகின்றனர்.

இயற்கையில் தங்க விகிதம்

ஆசிரியர் தேர்வு