ลอการิทึมในตัวอย่างข้อสอบ ลอการิทึม: ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา

นิพจน์ลอการิทึม ตัวอย่างการแก้โจทย์ ในบทความนี้ เราจะดูปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการแก้ลอการิทึม งานถามคำถามในการค้นหาความหมายของสำนวน ควรสังเกตว่าแนวคิดของลอการิทึมถูกใช้ในงานหลายอย่างและการทำความเข้าใจความหมายของมันเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่ง สำหรับการสอบ Unified State ลอการิทึมจะใช้ในการแก้สมการในปัญหาประยุกต์และในงานที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาฟังก์ชันด้วย

ให้เรายกตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจความหมายของลอการิทึม:

ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน:

คุณสมบัติของลอการิทึมที่ต้องจำไว้เสมอ:

*ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึมของปัจจัย

* * *

*ลอการิทึมของผลหาร (เศษส่วน) เท่ากับความแตกต่างระหว่างลอการิทึมของปัจจัย

* * *

*ลอการิทึมของเลขชี้กำลังเท่ากับผลคูณของเลขชี้กำลังและลอการิทึมของฐาน

* * *

*การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

* * *

คุณสมบัติเพิ่มเติม:

* * *

การคำนวณลอการิทึมมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการใช้คุณสมบัติของเลขชี้กำลัง

เรามาแสดงรายการบางส่วนกัน:

สาระสำคัญของคุณสมบัตินี้คือเมื่อตัวเศษถูกโอนไปยังตัวส่วนและในทางกลับกัน เครื่องหมายของเลขชี้กำลังจะเปลี่ยนไปในทิศทางตรงกันข้าม ตัวอย่างเช่น:

ข้อพิสูจน์จากคุณสมบัตินี้:

* * *

เมื่อยกกำลังเป็นกำลัง ฐานจะยังคงเท่าเดิม แต่เลขยกกำลังจะถูกคูณ

* * *

อย่างที่คุณเห็น แนวคิดของลอการิทึมนั้นเรียบง่าย สิ่งสำคัญคือคุณต้องได้รับการฝึกฝนที่ดีซึ่งจะทำให้คุณมีทักษะบางอย่าง แน่นอนว่าต้องมีความรู้เรื่องสูตรด้วย หากทักษะในการแปลงลอการิทึมเบื้องต้นยังไม่ได้รับการพัฒนา เมื่อแก้ไขงานง่าย ๆ คุณก็อาจทำผิดพลาดได้ง่าย

ฝึกฝน แก้ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ก่อน จากนั้นจึงไปยังตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น ในอนาคต ฉันจะแสดงให้เห็นอย่างแน่นอนว่าลอการิทึม "น่ากลัว" ได้รับการแก้ไขอย่างไร พวกมันจะไม่ปรากฏในการสอบ Unified State แต่เป็นที่สนใจ อย่าพลาด!

นั่นคือทั้งหมด! ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ในวิดีโอสอนนี้ เราจะดูการแก้สมการลอการิทึมที่ค่อนข้างจริงจัง ซึ่งคุณไม่เพียงแต่ต้องค้นหารากเท่านั้น แต่ยังเลือกรากที่อยู่ในส่วนที่กำหนดด้วย

ปัญหา C1 แก้สมการ ค้นหารากทั้งหมดของสมการนี้ที่อยู่ในช่วงนั้น

หมายเหตุเกี่ยวกับสมการลอการิทึม

อย่างไรก็ตามในแต่ละปีนักเรียนมาหาฉันซึ่งพยายามแก้ไขปัญหานี้อย่างตรงไปตรงมา สมการที่ยากแต่ในขณะเดียวกันพวกเขาก็ไม่เข้าใจ: ควรเริ่มต้นจากตรงไหนและจะเข้าใกล้ลอการิทึมได้อย่างไร? ปัญหานี้อาจเกิดขึ้นได้แม้กระทั่งกับนักเรียนที่เข้มแข็งและเตรียมตัวมาอย่างดี

เป็นผลให้หลายคนเริ่มกลัวหัวข้อนี้หรือคิดว่าตัวเองโง่ด้วยซ้ำ ดังนั้น จำไว้ว่า: ถ้าคุณแก้สมการนี้ไม่ได้ ไม่ได้หมายความว่าคุณโง่เลย เนื่องจาก ตัวอย่างเช่น คุณสามารถจัดการสมการนี้ได้แทบจะเป็นคำพูด:

บันทึก 2 x = 4

และถ้าไม่เป็นเช่นนั้น คุณก็คงไม่ได้อ่านข้อความนี้ตอนนี้ เพราะคุณยุ่งอยู่กับงานที่เรียบง่ายและธรรมดากว่า แน่นอนว่าตอนนี้คงมีคนแย้งว่า “สมการที่ง่ายที่สุดนี้เกี่ยวอะไรกับโครงสร้างที่แข็งแรงของเรา” ฉันตอบ: สมการลอการิทึมใดๆ ไม่ว่าจะซับซ้อนแค่ไหน สุดท้ายก็ลงมาที่โครงสร้างที่ง่ายที่สุดที่สามารถแก้ไขได้ด้วยปากเปล่า

แน่นอนว่าเราต้องเปลี่ยนจากสมการลอการิทึมที่ซับซ้อนไปเป็นสมการที่ง่ายกว่าโดยไม่ผ่านการคัดเลือกหรือเต้นรำด้วยแทมบูรีน แต่ตามกฎที่ชัดเจนและกำหนดไว้ยาวนานซึ่งเรียกว่า - กฎสำหรับการแปลงนิพจน์ลอการิทึม. เมื่อรู้จักสิ่งเหล่านี้แล้ว คุณสามารถจัดการกับสมการที่ซับซ้อนที่สุดในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ได้อย่างง่ายดาย

และนี่คือกฎเหล่านี้ที่เราจะพูดถึงในบทเรียนของวันนี้ ไป!

การแก้สมการลอการิทึมในปัญหา C1

ดังนั้นเราจึงแก้สมการ:

ก่อนอื่น เมื่อพูดถึงสมการลอการิทึม เราจำกลยุทธ์พื้นฐานได้ หรือพูดง่ายๆ ก็คือกฎพื้นฐานสำหรับการแก้สมการลอการิทึม ประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้:

ทฤษฎีบทรูปแบบบัญญัติ สมการลอการิทึมใดๆ ไม่ว่าจะรวมอะไรก็ตาม ไม่ว่าจะเป็นลอการิทึมอะไร ไม่ว่าจะเป็นฐานใดก็ตาม และไม่ว่าจะประกอบด้วยอะไรก็ตาม จะต้องถูกลดทอนให้เป็นสมการในรูปแบบ:

บันทึก a f (x) = บันทึก a g (x)

ถ้าเราดูสมการของเรา เราจะสังเกตเห็นปัญหาสองประการทันที:

1. ทางด้านซ้ายเรามี ผลรวมของตัวเลขสองตัวซึ่งหนึ่งในนั้นไม่ใช่ลอการิทึมเลย
2. ทางด้านขวามีลอการิทึมค่อนข้างมาก แต่ที่ฐานมีรากอยู่ และลอการิทึมทางด้านซ้ายคือ 2 นั่นคือ ฐานของลอการิทึมทางซ้ายและขวาแตกต่างกัน

เราได้รวบรวมรายการปัญหาที่แยกสมการของเราออกจากอันนั้น สมการบัญญัติซึ่งจะต้องลดสมการลอการิทึมใดๆ ในระหว่างกระบวนการแก้ปัญหา ดังนั้น การแก้สมการของเราในขั้นตอนนี้จึงเป็นการขจัดปัญหาทั้งสองที่อธิบายไว้ข้างต้น

สมการลอการิทึมใดๆ ก็สามารถแก้ได้อย่างรวดเร็วและง่ายดายหากคุณลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

ผลรวมของลอการิทึมและลอการิทึมของผลิตภัณฑ์

มาดำเนินการตามลำดับกัน ก่อนอื่นเรามาดูโครงสร้างทางด้านซ้ายกันก่อน เราจะพูดอะไรเกี่ยวกับผลรวมของลอการิทึมสองตัว? จำสูตรที่ยอดเยี่ยมนี้:

บันทึก a f (x) + บันทึก a g (x) = บันทึก a f (x) g (x)

แต่ก็ควรพิจารณาว่าในกรณีของเรา เทอมแรกไม่ใช่ลอการิทึมเลย ซึ่งหมายความว่าเราจำเป็นต้องแสดงหน่วยเป็นลอการิทึมของฐาน 2 (แน่นอนว่าเป็น 2 เพราะลอการิทึมของฐาน 2 อยู่ทางด้านซ้าย) ทำอย่างไร? ขอให้เราจำสูตรอันมหัศจรรย์นี้อีกครั้ง:

a = บันทึก b b a

คุณต้องเข้าใจตรงนี้: เมื่อเราพูดว่า "ฐาน b ใดๆ" เราหมายความว่า b ยังไม่สามารถเป็นตัวเลขใดๆ ได้ ถ้าเราใส่ตัวเลขลงในลอการิทึม แน่นอน ข้อ จำกัดกล่าวคือ: ฐานของลอการิทึมต้องมากกว่า 0 และต้องไม่เท่ากับ 1 มิฉะนั้น ลอการิทึมก็ไม่สมเหตุสมผล มาเขียนสิ่งนี้กัน:

0 < b ≠ 1

มาดูกันว่าเกิดอะไรขึ้นในกรณีของเรา:

1 = บันทึก 2 2 1 = บันทึก 2 2

ทีนี้ ลองเขียนสมการทั้งหมดใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้ และเราใช้กฎอีกข้อหนึ่งทันที: ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลคูณของอาร์กิวเมนต์ เป็นผลให้เราได้รับ:

เรามีสมการใหม่ ดังที่เราเห็นแล้วว่าสมการทางบัญญัติที่เรามุ่งมั่นนั้นใกล้เคียงกับสมการมาตรฐานที่เรามุ่งมั่นมากขึ้นแล้ว แต่มีปัญหาอย่างหนึ่ง เราเขียนมันลงไปเป็นจุดที่สอง: ลอการิทึมของเรา ซึ่งอยู่ทางซ้ายและขวา เหตุผลที่แตกต่างกัน. เรามาดูขั้นตอนต่อไปกันดีกว่า

กฎสำหรับการลบกำลังจากลอการิทึม

ดังนั้นลอการิทึมทางด้านซ้ายมีฐานเพียง 2 และลอการิทึมทางด้านขวามีรากอยู่ที่ฐาน แต่นี่ไม่ใช่ปัญหาหากเราจำไว้ว่าฐานของอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมสามารถยกกำลังได้ มาเขียนกฎข้อใดข้อหนึ่งเหล่านี้:

ล็อก ข n = n ล็อก ข

แปลเป็นภาษามนุษย์: คุณสามารถดึงกำลังจากฐานของลอการิทึมมาวางไว้ข้างหน้าเป็นตัวคูณได้ จำนวน n "ย้าย" จากลอการิทึมออกไปด้านนอกและกลายเป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ข้างหน้า

เราก็สามารถหากำลังจากฐานของลอการิทึมได้อย่างง่ายดายเช่นเดียวกัน มันจะมีลักษณะเช่นนี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าคุณลบดีกรีออกจากอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม องศานี้จะถูกเขียนเป็นปัจจัยก่อนลอการิทึมด้วย แต่ไม่ใช่เป็นตัวเลข แต่เป็นตัวเลขกลับ 1/k

อย่างไรก็ตาม นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! เราสามารถรวมสองสูตรนี้เข้าด้วยกันและได้สูตรดังต่อไปนี้:

เมื่อกำลังปรากฏทั้งฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เราสามารถประหยัดเวลาและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นโดยนำกำลังออกจากทั้งฐานและอาร์กิวเมนต์ทันที ในกรณีนี้ สิ่งที่อยู่ในอาร์กิวเมนต์ (ในกรณีของเรา นี่คือสัมประสิทธิ์ n) จะปรากฏในตัวเศษ แล้วดีกรีที่ฐานเป็นเท่าใด k จะไปหาตัวส่วน

และนี่คือสูตรที่เราจะใช้เพื่อลดลอการิทึมของเราให้เป็นฐานเดียวกัน

ก่อนอื่นเรามาเลือกฐานที่สวยงามไม่มากก็น้อย เห็นได้ชัดว่าการทำงานกับสองคนที่ฐานเป็นเรื่องน่ายินดีมากกว่าการใช้รูท ลองลดลอการิทึมที่สองให้เหลือฐาน 2 ลองเขียนลอการิทึมนี้แยกกัน:

เราทำอะไรที่นี่ได้บ้าง? ให้เรานึกถึงสูตรยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถเขียนรากเป็นกำลังพร้อมเลขชี้กำลังตรรกยะได้ แล้วเราก็เอากำลังของ 1/2 จากทั้งอาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึม เราลดค่าสัมประสิทธิ์สองตัวในตัวเศษและส่วนโดยหันหน้าไปทางลอการิทึม:

สุดท้ายนี้ ลองเขียนสมการเดิมใหม่โดยคำนึงถึงค่าสัมประสิทธิ์ใหม่:

บันทึก 2 2(9x 2 + 5) = บันทึก 2 (8x 4 + 14)

เราได้รับสมการลอการิทึมมาตรฐาน ทั้งด้านซ้ายและด้านขวา เรามีลอการิทึมอยู่บนฐาน 2 เดียวกัน นอกเหนือจากลอการิทึมเหล่านี้แล้ว ไม่มีค่าสัมประสิทธิ์ ไม่มีพจน์ทางด้านซ้ายหรือด้านขวา

ดังนั้นเราจึงสามารถกำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมได้ แน่นอนว่าต้องคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความด้วย แต่ก่อนที่เราจะทำเช่นนั้น ย้อนกลับไปอธิบายเรื่องเศษส่วนกันก่อน.

การหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน: ข้อควรพิจารณาเพิ่มเติม

ไม่ใช่นักเรียนทุกคนที่เข้าใจว่าปัจจัยที่อยู่หน้าลอการิทึมที่ถูกต้องมาจากไหนและไปที่ไหน มาเขียนมันอีกครั้ง:

ลองหาว่าเศษส่วนคืออะไร. มาเขียนกัน:

ตอนนี้ เรามาจำกฎการหารเศษส่วนกัน: หากต้องการหารด้วย 1/2 คุณต้องคูณด้วยเศษส่วนกลับด้าน:

แน่นอน เพื่อความสะดวกในการคำนวณเพิ่มเติม เราสามารถเขียนสองเป็น 2/1 ได้ และนี่คือสิ่งที่เราสังเกตเห็นว่าเป็นสัมประสิทธิ์ที่สองในกระบวนการแก้ปัญหา

ฉันหวังว่าตอนนี้ทุกคนคงเข้าใจแล้วว่าค่าสัมประสิทธิ์ที่สองมาจากไหน ดังนั้น มาดูการแก้สมการลอการิทึมมาตรฐานของเรากันดีกว่า

การกำจัดเครื่องหมายลอการิทึม

ฉันขอเตือนคุณว่าตอนนี้เราสามารถกำจัดลอการิทึมและคงนิพจน์ต่อไปนี้ไว้ได้:

2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14

มาเปิดวงเล็บทางด้านซ้ายกัน เราได้รับ:

18x 2 + 10 = 8x 4 + 14

ย้ายทุกอย่างจากด้านซ้ายไปทางด้านขวา:

8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0

มานำสิ่งที่คล้ายกันและรับ:

8x 4 - 18x 2 + 4 = 0

เราสามารถหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2 เพื่อลดค่าสัมประสิทธิ์ และเราได้:

4x 4 − 9x 2 + 2 = 0

ต่อหน้าเราเป็นเรื่องปกติ สมการกำลังสองและรากของมันถูกคำนวณอย่างง่ายดายผ่านการแยกแยะ เรามาเขียนสิ่งที่จำแนกออกมา:

ง = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49

เยี่ยมมาก ผู้แยกแยะคือ "สวย" รากของมันคือ 7 แค่นั้นแหละ มานับ X กันดีกว่า แต่ในกรณีนี้ รากจะไม่ใช่ x แต่เป็น x 2 เพราะเรามีสมการกำลังสอง ดังนั้นทางเลือกของเรา:

โปรดทราบ: เราแยกรากออกแล้ว ดังนั้นจะมีสองคำตอบ เพราะ... สี่เหลี่ยม - แม้กระทั่งฟังก์ชั่น. และถ้าเราเขียนเฉพาะรากของทั้งสอง เราก็จะสูญเสียรากที่สองไป

ตอนนี้เราเขียนรากที่สองของสมการกำลังสองของเรา:

อีกครั้ง เราหารากที่สองทางคณิตศาสตร์ของทั้งสองข้างของสมการแล้วได้รากที่สองมา อย่างไรก็ตาม โปรดจำไว้ว่า:

การถือเอาข้อโต้แย้งของลอการิทึมในรูปแบบบัญญัติเพียงอย่างเดียวนั้นไม่เพียงพอ จำขอบเขตของคำจำกัดความ!

โดยรวมแล้วเรามีสี่ราก ทั้งหมดนี้เป็นคำตอบของสมการเดิมของเราจริงๆ ลองดู: ในสมการลอการิทึมดั้งเดิมของเรา ลอการิทึมที่อยู่ข้างในคือ 9x 2 + 5 (ฟังก์ชันนี้จะเป็นบวกเสมอ) หรือ 8x 4 + 14 - ซึ่งก็จะเป็นบวกเสมอเช่นกัน ดังนั้น ไม่ว่าในกรณีใดๆ ก็ตาม โดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึมจะเป็นที่พอใจ ไม่ว่าเราจะได้รากใดก็ตาม ซึ่งหมายความว่าทั้งสี่รากคือคำตอบของสมการของเรา

เยี่ยมมาก ตอนนี้เรามาดูส่วนที่สองของปัญหากันดีกว่า

การเลือกรากของสมการลอการิทึมบนเซ็กเมนต์

จากรากทั้งสี่ของเราเราเลือกรากที่อยู่ในส่วน [−1; 8/9]. เรากลับคืนสู่รากเหง้าของเรา และตอนนี้เราจะดำเนินการคัดเลือกของพวกเขา ขั้นแรก ฉันแนะนำให้วาดแกนพิกัดและทำเครื่องหมายจุดสิ้นสุดของส่วนนั้น:

ทั้งสองจุดจะถูกแรเงา เหล่านั้น. ตามเงื่อนไขของปัญหา เราสนใจส่วนที่แรเงา ตอนนี้เรามาดูรากกัน

รากที่ไม่ลงตัว

เริ่มจากรากที่ไม่ลงตัวกันก่อน โปรดทราบว่า 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

จากนี้ไปรากของทั้งสองไม่ตกอยู่ในส่วนที่เราสนใจ ในทำนองเดียวกัน เราจะได้โดยมีรากที่เป็นลบ: มันน้อยกว่า −1 นั่นคือมันอยู่ทางด้านซ้ายของส่วนที่เราสนใจ

รากที่มีเหตุผล

เหลืออีกสองราก: x = 1/2 และ x = −1/2 ลองสังเกตว่าปลายด้านซ้ายของส่วน (−1) เป็นลบ และปลายด้านขวา (8/9) เป็นบวก ดังนั้น จุดใดจุดหนึ่งระหว่างปลายเหล่านี้จะมีเลข 0 อยู่ ราก x = −1/2 จะอยู่ระหว่าง −1 ถึง 0 กล่าวคือ จะจบลงที่คำตอบสุดท้าย เราทำเช่นเดียวกันกับราก x = 1/2 รากนี้ยังอยู่ในส่วนที่อยู่ระหว่างการพิจารณาด้วย

คุณสามารถตรวจสอบให้แน่ใจว่า 8/9 มากกว่า 1/2. ลองลบตัวเลขเหล่านี้ออกจากกัน:

เราได้เศษส่วน 7/18 > 0 ซึ่งตามนิยามแล้วก็คือ 8/9 > 1/2

ทำเครื่องหมายรากที่เหมาะสมบนแกนพิกัด:

คำตอบสุดท้ายจะเป็นสองราก: 1/2 และ −1/2

การเปรียบเทียบจำนวนอตรรกยะ: อัลกอริธึมสากล

สรุปผมอยากจะกลับไปสู่ตัวเลขที่ไม่ลงตัวอีกครั้ง จากตัวอย่างของพวกเขา ตอนนี้เราจะดูวิธีเปรียบเทียบปริมาณตรรกยะและอตรรกยะในคณิตศาสตร์ ขั้นแรกมีเครื่องหมายระหว่างพวกเขา V - เครื่องหมาย "มากกว่า" หรือ "น้อยกว่า" แต่เรายังไม่รู้ว่ามันหันไปในทิศทางใด มาเขียนกัน:

เหตุใดเราจึงต้องมีอัลกอริธึมการเปรียบเทียบเลย? ความจริงก็คือในปัญหานี้เราโชคดีมาก: ในกระบวนการแก้ไขหมายเลข 1 เกิดขึ้นซึ่งเราสามารถพูดได้อย่างแน่นอน:

อย่างไรก็ตาม คุณจะไม่เห็นตัวเลขดังกล่าวในทันทีเสมอไป ลองเปรียบเทียบตัวเลขโดยตรงกัน

เป็นยังไงบ้าง? เราทำเช่นเดียวกับความไม่เท่าเทียมกันทั่วไป:

1. อันดับแรก ถ้าเรามีค่าสัมประสิทธิ์ลบที่ไหนสักแห่ง เราจะคูณอสมการทั้งสองข้างด้วย −1 แน่นอน เปลี่ยนเครื่องหมาย. เครื่องหมายถูก V นี้จะเปลี่ยนเป็น - Λ
2. แต่ในกรณีของเรา ทั้งสองฝ่ายมีทัศนคติเชิงบวกอยู่แล้ว ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนแปลงอะไร สิ่งที่จำเป็นจริงๆก็คือ สี่เหลี่ยมทั้งสองด้านเพื่อกำจัดความรุนแรง

หากเมื่อเปรียบเทียบจำนวนอตรรกยะไม่สามารถเลือกองค์ประกอบที่แยกได้ทันทีฉันแนะนำให้ทำการเปรียบเทียบแบบ "ตรงหน้า" โดยอธิบายว่ามันเป็นความไม่เท่าเทียมกันทั่วไป

เมื่อแก้ไขแล้วจะเป็นทางการดังนี้:

ตอนนี้มันง่ายที่จะเปรียบเทียบ ประเด็นก็คือ 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

เพียงเท่านี้ เราได้รับข้อพิสูจน์ที่เข้มงวดว่าตัวเลขทั้งหมดถูกทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน x อย่างถูกต้องและอยู่ในลำดับที่ควรจะเป็นจริงๆ จะไม่มีใครจับผิดกับวิธีแก้ปัญหานี้ ดังนั้นจำไว้ว่า: หากคุณไม่เห็นตัวหารในทันที (ในกรณีของเราคือ 1) อย่าลังเลที่จะเขียนโครงสร้างข้างต้น คูณ ยกกำลังสอง - และสุดท้ายคุณก็จะได้ ได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่สวยงาม จากความไม่เท่าเทียมกันนี้จะชัดเจนว่าจำนวนใดมากกว่าและน้อยกว่า

กลับมาที่ปัญหาของเราอีกครั้ง ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่สิ่งที่เราทำตั้งแต่เริ่มต้นในการแก้สมการของเราอีกครั้ง กล่าวคือ เราได้ดูสมการลอการิทึมดั้งเดิมของเราอย่างใกล้ชิดและพยายามลดให้เหลือ ตามบัญญัติสมการลอการิทึม ในกรณีที่มีเพียงลอการิทึมทางซ้ายและขวา - โดยไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม สัมประสิทธิ์อยู่ข้างหน้า ฯลฯ เราไม่ต้องการลอการิทึมสองตัวที่อิงจาก a หรือ b แต่ลอการิทึมหนึ่งเท่ากับลอการิทึมอื่น

นอกจากนี้ ฐานของลอการิทึมจะต้องเท่ากันด้วย ยิ่งกว่านั้นหากสมการถูกประกอบอย่างถูกต้องด้วยความช่วยเหลือของการแปลงลอการิทึมเบื้องต้น (ผลรวมของลอการิทึม, การแปลงตัวเลขเป็นลอการิทึม ฯลฯ ) เราจะลดสมการนี้เป็นสมการมาตรฐาน

ดังนั้นจากนี้ไปเมื่อเห็นสมการลอการิทึมที่ไม่สามารถแก้ได้ทันทีก็ไม่ควรหลงทางหรือพยายามหาคำตอบ สิ่งที่คุณต้องทำคือทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

1. แปลงองค์ประกอบอิสระทั้งหมดเป็นลอการิทึม
2. จากนั้นบวกลอการิทึมเหล่านี้
3. ในโครงสร้างผลลัพธ์ ให้ลดลอการิทึมทั้งหมดให้เป็นฐานเดียวกัน

เป็นผลให้คุณจะได้สมการง่ายๆ ที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้เครื่องมือพีชคณิตเบื้องต้นจากวัสดุเกรด 8-9 โดยทั่วไป ไปที่เว็บไซต์ของฉัน ฝึกแก้ลอการิทึม แก้สมการลอการิทึมเหมือนฉัน แก้ได้ดีกว่าฉัน และนั่นคือทั้งหมดสำหรับฉัน พาเวล เบอร์ดอฟอยู่กับคุณ แล้วพบกันอีก!

ลอการิทึมคืออะไร?

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

ลอการิทึมคืออะไร? วิธีการแก้ลอการิทึม? คำถามเหล่านี้ทำให้บัณฑิตหลายคนสับสน ตามเนื้อผ้า หัวข้อลอการิทึมถือว่าซับซ้อน เข้าใจยาก และน่ากลัว โดยเฉพาะสมการที่มีลอการิทึม

นี่ไม่เป็นความจริงอย่างแน่นอน อย่างแน่นอน! ไม่เชื่อฉันเหรอ? ดี. ตอนนี้ในเวลาเพียง 10 - 20 นาที คุณ:

1. คุณจะเข้าใจ ลอการิทึมคืออะไร.

2. เรียนรู้การแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลทั้งคลาส แม้ว่าคุณจะไม่ได้ยินอะไรเกี่ยวกับพวกเขาก็ตาม

3. เรียนรู้การคำนวณลอการิทึมอย่างง่าย

ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับสิ่งนี้ คุณเพียงแค่ต้องรู้ตารางสูตรคูณและวิธีบวกเลขยกกำลังเท่านั้น...

ฉันรู้สึกเหมือนคุณมีข้อสงสัย... เอาล่ะ ทำเครื่องหมายเวลาไว้! ไป!

ขั้นแรก ให้แก้สมการนี้ในหัวของคุณ:

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ดังที่คุณทราบ เมื่อคูณนิพจน์ด้วยกำลัง เลขยกกำลังจะรวมกันเสมอ (a b *a c = a b+c) กฎทางคณิตศาสตร์นี้ได้รับมาจากอาร์คิมิดีส และต่อมาในศตวรรษที่ 8 นักคณิตศาสตร์วีราเซนได้สร้างตารางเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม พวกเขาเป็นผู้ทำหน้าที่ในการค้นพบลอการิทึมเพิ่มเติม ตัวอย่างการใช้ฟังก์ชันนี้สามารถพบได้เกือบทุกที่ที่คุณต้องการลดความซับซ้อนของการคูณที่ยุ่งยากด้วยการบวกง่ายๆ หากคุณใช้เวลา 10 นาทีในการอ่านบทความนี้ เราจะอธิบายว่าลอการิทึมคืออะไรและจะทำงานร่วมกับลอการิทึมได้อย่างไร ในภาษาที่ง่ายและเข้าถึงได้

ความหมายในวิชาคณิตศาสตร์

ลอการิทึมคือนิพจน์ในรูปแบบต่อไปนี้: log a b=c นั่นคือลอการิทึมของจำนวนที่ไม่เป็นลบ (นั่นคือบวกใดๆ) “b” ไปยังฐาน “a” ถือเป็นกำลัง “c ” ซึ่งต้องยกฐาน “a” ขึ้นเพื่อให้ได้ค่า “b” ในท้ายที่สุด ลองวิเคราะห์ลอการิทึมโดยใช้ตัวอย่างสมมติว่ามีบันทึกนิพจน์ 2 8 จะหาคำตอบได้อย่างไร? ง่ายมาก คุณต้องค้นหาเลขยกกำลังตั้งแต่ 2 ถึงเลขยกกำลังที่ต้องการ คุณจะได้ 8 หลังจากคำนวณในหัวแล้ว เราก็ได้เลข 3! และนั่นก็จริง เพราะ 2 ยกกำลัง 3 ให้คำตอบเป็น 8

ประเภทของลอการิทึม

สำหรับนักเรียนและนักเรียนหลายคนหัวข้อนี้ดูซับซ้อนและเข้าใจยาก แต่จริงๆ แล้วลอการิทึมไม่ได้น่ากลัวนัก สิ่งสำคัญคือการเข้าใจความหมายทั่วไปและจดจำคุณสมบัติและกฎบางอย่าง นิพจน์ลอการิทึมมีสามประเภทแยกกัน:

1. ลอการิทึมธรรมชาติ ln a โดยที่ฐานคือเลขออยเลอร์ (e = 2.7)
2. ทศนิยม a โดยที่ฐานคือ 10
3. ลอการิทึมของจำนวนใดๆ b ถึงฐาน a>1

แต่ละรายการได้รับการแก้ไขด้วยวิธีมาตรฐาน รวมถึงการลดความซับซ้อน การลดลง และการลดลงตามมาเป็นลอการิทึมเดียวโดยใช้ทฤษฎีบทลอการิทึม เพื่อให้ได้ค่าลอการิทึมที่ถูกต้องคุณควรจำคุณสมบัติของลอการิทึมและลำดับของการกระทำเมื่อทำการแก้ไข

กฎและข้อจำกัดบางประการ

ในทางคณิตศาสตร์ มีกฎ-ข้อจำกัดหลายประการที่ได้รับการยอมรับว่าเป็นสัจพจน์ กล่าวคือ กฎเหล่านั้นไม่อยู่ภายใต้การอภิปรายและเป็นความจริง ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะหารตัวเลขด้วยศูนย์ และเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากคู่ของจำนวนลบด้วย ลอการิทึมยังมีกฎของตัวเอง ซึ่งคุณสามารถเรียนรู้การทำงานได้อย่างง่ายดาย แม้จะมีนิพจน์ลอการิทึมที่ยาวและมีความจุมาก:

• ฐาน "a" จะต้องมากกว่าศูนย์เสมอและไม่เท่ากับ 1 มิฉะนั้นนิพจน์จะสูญเสียความหมายเนื่องจาก "1" และ "0" ในระดับใดก็ตามจะเท่ากับค่าของพวกเขาเสมอ
• ถ้า a > 0 แล้วก็ b >0 ปรากฎว่า “c” ต้องมากกว่าศูนย์ด้วย

วิธีการแก้ลอการิทึม?

ตัวอย่างเช่น มอบหมายงานให้ค้นหาคำตอบของสมการ 10 x = 100 ซึ่งง่ายมาก คุณต้องเลือกยกกำลังโดยเพิ่มเลขสิบที่เราได้ 100 ซึ่งแน่นอนว่าคือ 10 2 = 100.

ทีนี้ลองแสดงนิพจน์นี้ในรูปแบบลอการิทึม เราได้บันทึก 10 100 = 2 เมื่อแก้ลอการิทึม การกระทำทั้งหมดจะมาบรรจบกันจริงเพื่อค้นหาพลังที่จำเป็นในการเข้าสู่ฐานของลอการิทึมเพื่อให้ได้ตัวเลขที่กำหนด

ในการกำหนดค่าของระดับที่ไม่รู้จักอย่างแม่นยำ คุณต้องเรียนรู้วิธีทำงานกับตารางองศา ดูเหมือนว่านี้:

อย่างที่คุณเห็น เลขยกกำลังบางตัวสามารถเดาได้โดยสังหรณ์ใจ หากคุณมีความคิดทางเทคนิคและความรู้เกี่ยวกับตารางสูตรคูณ อย่างไรก็ตามสำหรับค่าที่มากขึ้นคุณจะต้องมีตารางกำลัง สามารถใช้งานได้แม้กับผู้ที่ไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนเลย คอลัมน์ด้านซ้ายมีตัวเลข (ฐาน a) แถวบนสุดของตัวเลขคือค่ายกกำลัง c ที่ทำให้ตัวเลข a เพิ่มขึ้น ที่ทางแยก เซลล์จะมีค่าตัวเลขที่เป็นคำตอบ (ac =b) ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเซลล์แรกสุดที่มีหมายเลข 10 แล้วยกกำลังสอง เราจะได้ค่า 100 ซึ่งระบุไว้ที่จุดตัดของทั้งสองเซลล์ของเรา ทุกอย่างเรียบง่ายจนแม้แต่นักมนุษยนิยมที่แท้จริงที่สุดก็ยังเข้าใจ!

สมการและอสมการ

ปรากฎว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ เลขชี้กำลังคือลอการิทึม ดังนั้น นิพจน์ตัวเลขทางคณิตศาสตร์ใดๆ จึงสามารถเขียนเป็นความเท่าเทียมกันของลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น 3 4 =81 สามารถเขียนเป็นลอการิทึมฐาน 3 ของ 81 เท่ากับสี่ (บันทึก 3 81 = 4) สำหรับกำลังลบ กฎจะเหมือนกัน: 2 -5 = 1/32 เราเขียนมันเป็นลอการิทึม เราจะได้บันทึก 2 (1/32) = -5 ส่วนที่น่าสนใจที่สุดส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์คือหัวข้อ "ลอการิทึม" เราจะดูตัวอย่างและคำตอบของสมการด้านล่างทันทีหลังจากศึกษาคุณสมบัติของพวกมัน ตอนนี้เรามาดูกันว่าอสมการมีลักษณะอย่างไรและจะแยกแยะพวกมันออกจากสมการได้อย่างไร

ได้รับนิพจน์ต่อไปนี้: log 2 (x-1) > 3 - เป็นอสมการลอการิทึมเนื่องจากค่าที่ไม่รู้จัก "x" อยู่ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม และในนิพจน์จะมีการเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณ: ลอการิทึมของจำนวนที่ต้องการถึงฐานสองมากกว่าจำนวนสาม

ความแตกต่างที่สำคัญที่สุดระหว่างสมการลอการิทึมและอสมการคือสมการที่มีลอการิทึม (เช่นลอการิทึม 2 x = √9) แสดงถึงค่าตัวเลขเฉพาะหนึ่งค่าขึ้นไปในคำตอบในขณะที่แก้อสมการทั้งช่วงที่ยอมรับได้ ค่าและจุดถูกกำหนดโดยทำลายฟังก์ชันนี้ ด้วยเหตุนี้ คำตอบจึงไม่ใช่ชุดตัวเลขธรรมดาๆ ดังเช่นในคำตอบของสมการ แต่เป็นชุดต่อเนื่องหรือชุดตัวเลข

ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึม

เมื่อแก้ไขงานดั้งเดิมในการค้นหาค่าลอการิทึมอาจไม่ทราบคุณสมบัติของมัน อย่างไรก็ตาม เมื่อพูดถึงสมการลอการิทึมหรืออสมการ ก่อนอื่น จำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนและนำไปใช้ในทางปฏิบัติเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของลอการิทึม เราจะดูตัวอย่างสมการในภายหลัง ก่อนอื่นมาดูรายละเอียดคุณสมบัติแต่ละอย่างกันก่อน

1. ข้อมูลประจำตัวหลักมีลักษณะดังนี้: a logaB =B ใช้เฉพาะเมื่อ a มากกว่า 0 ไม่เท่ากับ 1 และ B มากกว่าศูนย์
2. ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถแสดงได้ในสูตรต่อไปนี้: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2 ในกรณีนี้เงื่อนไขบังคับคือ: d, s 1 และ s 2 > 0; ก≠1. คุณสามารถพิสูจน์สูตรลอการิทึมนี้พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ได้ ให้บันทึก a s 1 = f 1 และบันทึก a s 2 = f 2 จากนั้น a f1 = s 1, a f2 = s 2 เราจะได้ว่า s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (คุณสมบัติของ องศา ) จากนั้นตามคำจำกัดความ: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
3. ลอการิทึมของผลหารมีลักษณะดังนี้: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2
4. ทฤษฎีบทในรูปแบบของสูตรจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: log a q b n = n/q log a b

สูตรนี้เรียกว่า “คุณสมบัติของระดับลอการิทึม” มันคล้ายกับคุณสมบัติขององศาธรรมดา และไม่น่าแปลกใจเลย เพราะคณิตศาสตร์ทั้งหมดมีพื้นฐานมาจากสมมุติฐานตามธรรมชาติ มาดูหลักฐานกัน

ให้บันทึก a b = t จะได้ว่า t =b ถ้าเรายกกำลังทั้งสองส่วน m: a tn = bn ;

แต่เนื่องจาก tn = (a q) nt/q = bn ดังนั้น ให้บันทึก a q bn = (n*t)/t จากนั้นให้บันทึก a q bn = n/q บันทึก a b ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างปัญหาและความไม่เท่าเทียมกัน

ประเภทปัญหาที่พบบ่อยที่สุดในลอการิทึมคือตัวอย่างของสมการและอสมการ มีอยู่ในหนังสือโจทย์ปัญหาเกือบทั้งหมด และยังเป็นส่วนบังคับของการสอบคณิตศาสตร์ด้วย หากต้องการเข้ามหาวิทยาลัยหรือสอบเข้าวิชาคณิตศาสตร์ คุณจำเป็นต้องรู้วิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างถูกต้อง

น่าเสียดายที่ไม่มีแผนหรือแผนงานเดียวในการแก้ไขและกำหนดค่าลอการิทึมที่ไม่ทราบ แต่กฎบางอย่างสามารถนำไปใช้กับอสมการทางคณิตศาสตร์หรือสมการลอการิทึมแต่ละรายการได้ ก่อนอื่น คุณควรค้นหาว่านิพจน์นั้นสามารถทำให้ง่ายขึ้นหรือลดลงเป็นรูปแบบทั่วไปได้หรือไม่ คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ลอการิทึมแบบยาวได้หากคุณใช้คุณสมบัติอย่างถูกต้อง มาทำความรู้จักกับพวกเขาได้อย่างรวดเร็ว

เมื่อแก้สมการลอการิทึม เราต้องพิจารณาว่าเรามีลอการิทึมประเภทใด: นิพจน์ตัวอย่างอาจมีลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม

นี่คือตัวอย่าง ln100, ln1026 วิธีแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขาจำเป็นต้องกำหนดกำลังที่ฐาน 10 จะเท่ากับ 100 และ 1,026 ตามลำดับ ในการแก้ลอการิทึมธรรมชาติ คุณต้องใช้อัตลักษณ์ลอการิทึมหรือคุณสมบัติของพวกมัน ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาลอการิทึมประเภทต่างๆ

วิธีใช้สูตรลอการิทึม: พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ไข

ลองมาดูตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึมกัน

1. คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถนำไปใช้ในงานที่จำเป็นต้องแยกค่า b จำนวนมากให้เป็นปัจจัยที่ง่ายกว่า เช่น log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512 คำตอบคือ 9
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - อย่างที่คุณเห็น การใช้คุณสมบัติที่สี่ของกำลังลอการิทึม เราจัดการเพื่อแก้นิพจน์ที่ดูเหมือนซับซ้อนและแก้ไขไม่ได้ คุณเพียงแค่ต้องแยกตัวประกอบฐานแล้วนำค่าเลขชี้กำลังออกจากเครื่องหมายของลอการิทึม

งานที่ได้รับมอบหมายจากการสอบ Unified State

ลอการิทึมมักพบในการสอบเข้า โดยเฉพาะปัญหาลอการิทึมหลายอย่างในการสอบ Unified State (การสอบของรัฐสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาในโรงเรียนทุกคน) โดยทั่วไปแล้ว งานเหล่านี้ไม่เพียงมีอยู่ในส่วน A (ส่วนทดสอบที่ง่ายที่สุดของการสอบ) แต่ยังอยู่ในส่วน C ด้วย (งานที่ซับซ้อนและมีขนาดใหญ่ที่สุด) การสอบต้องใช้ความรู้ที่ถูกต้องและครบถ้วนในหัวข้อ “ลอการิทึมธรรมชาติ”

ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหานำมาจากการสอบ Unified State เวอร์ชันอย่างเป็นทางการ มาดูกันว่างานดังกล่าวจะแก้ไขอย่างไร

ให้บันทึก 2 (2x-1) = 4 วิธีแก้ไข:
ลองเขียนนิพจน์ใหม่ โดยลดความซับซ้อนของลอการิทึมเล็กๆ น้อยๆ 2 (2x-1) = 2 2 โดยนิยามของลอการิทึม เราจะได้ 2x-1 = 2 4 ดังนั้น 2x = 17; x = 8.5

• วิธีที่ดีที่สุดคือลดลอการิทึมทั้งหมดให้เป็นฐานเดียวกันเพื่อไม่ให้โจทย์ยุ่งยากและสับสน
• นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมจะแสดงเป็นค่าบวก ดังนั้น เมื่อเลขชี้กำลังของนิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึมและเมื่อฐานถูกนำออกมาเป็นตัวคูณ นิพจน์ที่เหลืออยู่ภายใต้ลอการิทึมจะต้องเป็นค่าบวก