ตัวอย่างสมการยกกำลัง สมการกำลังหรือเลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

วิธีแก้สมการเลขชี้กำลัง

เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลังใดๆ เราพยายามทำให้มันอยู่ในรูปแบบ \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \) จากนั้นทำการเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันของตัวบ่งชี้ นั่นคือ:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

ตัวอย่างเช่น:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

สิ่งสำคัญ! จากตรรกะเดียวกัน ข้อกำหนดสองประการตามสำหรับการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว:
- ตัวเลขใน ซ้ายและขวาควรเหมือนกัน
- องศาซ้ายและขวาจะต้อง "บริสุทธิ์"กล่าวคือ ไม่ควรมีการคูณ หาร ฯลฯ

ตัวอย่างเช่น:

เพื่อนำสมการมาอยู่ในรูป \(a^(f(x))=a^(g(x))\) และนำไปใช้

ตัวอย่าง . แก้สมการเลขชี้กำลัง \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
สารละลาย:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

เรารู้ว่า \(27 = 3^3\) ด้วยเหตุนี้ เราจึงแปลงสมการ

\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

โดยคุณสมบัติของรูท \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) เราได้รับนั้น \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). นอกจากนี้ โดยใช้คุณสมบัติดีกรี \((a^b)^c=a^(bc)\) เราได้รับ \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

เรารู้ด้วยว่า \(a^b a^c=a^(b+c)\) เมื่อนำไปใช้กับด้านซ้าย เราได้: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).

\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

ตอนนี้จำไว้ว่า: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) สูตรนี้สามารถใช้ย้อนกลับได้: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\) จากนั้น \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\)

\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)

การใช้คุณสมบัติ \((a^b)^c=a^(bc)\) ทางด้านขวาเราจะได้: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)

และตอนนี้เรามีฐานเท่ากันและไม่มีสัมประสิทธิ์การรบกวน ฯลฯ เพื่อให้เราสามารถเปลี่ยนแปลงได้

ตัวอย่าง . แก้สมการเลขชี้กำลัง \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
สารละลาย:

\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)		อีกครั้งที่เราใช้คุณสมบัติดีกรี \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) ในทิศทางตรงกันข้าม
\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\)		ตอนนี้จำไว้ว่า \(4=2^2\)
\((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\)		โดยใช้คุณสมบัติของดีกรี เราแปลง: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\)
\(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\)		เราพิจารณาสมการอย่างละเอียด และเห็นว่าการแทนที่ \(t=2^x\) แนะนำตัวเองที่นี่

\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)		อย่างไรก็ตาม เราพบค่า \(t\) และเราต้องการ \(x\) เรากลับไปที่ X ทำการแทนที่แบบย้อนกลับ
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)		แปลงสมการที่สองโดยใช้คุณสมบัติกำลังลบ...
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)		...และแก้จนได้คำตอบ
\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

ตอบ : \(-1; 1\).

คำถามยังคงอยู่ - จะเข้าใจได้อย่างไรว่าเมื่อใดควรใช้วิธีใด มันมาพร้อมกับประสบการณ์ ในระหว่างนี้ คุณยังไม่ได้แก้ไข ใช้คำแนะนำทั่วไปในการแก้ปัญหาที่ซับซ้อน - "ถ้าคุณไม่รู้ว่าต้องทำอย่างไร - ทำในสิ่งที่คุณทำได้" นั่นคือ มองหาวิธีที่คุณสามารถแปลงสมการในหลักการแล้วลองทำดู - ถ้ามันออกมาล่ะ สิ่งสำคัญคือทำเฉพาะการแปลงที่สมเหตุสมผลทางคณิตศาสตร์เท่านั้น

สมการเลขชี้กำลังที่ไม่มีคำตอบ

ลองดูอีกสองสถานการณ์ที่มักทำให้นักเรียนสับสน:
- จำนวนบวกยกกำลังเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น \(2^x=0\);
- จำนวนบวกยกกำลังเท่ากับจำนวนลบ เช่น \(2^x=-4\)

มาลองแก้โดยใช้กำลังเดรัจฉานกัน ถ้า x เป็นจำนวนบวก เมื่อ x เพิ่มขึ้น กำลังทั้งหมด \(2^x\) จะเติบโตเท่านั้น:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

ที่ผ่านมาอีกด้วย มี x ลบ จำคุณสมบัติ \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) เราตรวจสอบ:

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

แม้ว่าจำนวนจะน้อยลงในแต่ละขั้นตอน แต่จะไม่มีวันถึงศูนย์ ดังนั้นระดับลบไม่ได้ช่วยเราเช่นกัน เราได้ข้อสรุปเชิงตรรกะ:

จำนวนบวกยกกำลังใด ๆ จะยังคงเป็นจำนวนบวก

ดังนั้นสมการทั้งสองข้างต้นจึงไม่มีคำตอบ

สมการเลขชี้กำลังที่มีฐานต่างกัน

ในทางปฏิบัติ บางครั้งมีสมการเลขชี้กำลังที่มีฐานต่างกันซึ่งไม่สามารถลดทอนซึ่งกันและกันได้ และในขณะเดียวกันก็มีเลขชี้กำลังเท่ากัน พวกเขามีลักษณะดังนี้: \(a^(f(x))=b^(f(x))\) โดยที่ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนบวก

ตัวอย่างเช่น:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

สมการดังกล่าวแก้ได้ง่ายๆ โดยหารด้วยส่วนใดๆ ของสมการ (ปกติหารด้วยด้านขวา คือ โดย \ (b ^ (f (x)) \) หารด้วยวิธีนี้ได้เพราะว่า จำนวนเป็นบวกในทุกระดับ (นั่นคือ เราไม่หารด้วยศูนย์) เราได้รับ:

\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)

ตัวอย่าง . แก้สมการเลขชี้กำลัง \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
สารละลาย:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)		ที่นี่เราไม่สามารถเปลี่ยนห้าเป็นสามหรือในทางกลับกัน (อย่างน้อยก็โดยไม่ต้องใช้) ดังนั้นเราไม่สามารถมาในรูปแบบ \(a^(f(x))=a^(g(x))\) ในขณะเดียวกันตัวชี้วัดก็เหมือนกัน ลองหารสมการทางด้านขวากัน นั่นคือโดย \(3^(x+7)\) (เราทำได้ เพราะเรารู้ว่าเลขสามตัวจะไม่เท่ากับศูนย์ในทุกองศา)
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)		ตอนนี้จำคุณสมบัติ \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) และใช้มันจากด้านซ้ายไปในทิศทางตรงกันข้าม ทางด้านขวา เราแค่ลดเศษส่วน
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)		ดูเหมือนจะไม่ดีขึ้นเลย แต่อย่าลืมคุณสมบัติอื่นของดีกรี: \(a^0=1\) กล่าวอีกนัยหนึ่ง: "จำนวนใด ๆ ที่มีค่าศูนย์เท่ากับ \(1\)" บทสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: "หน่วยสามารถแสดงเป็นตัวเลขใดๆ ที่ยกกำลังศูนย์ได้" เราใช้สิ่งนี้โดยทำให้ฐานทางด้านขวาเหมือนกับฐานทางซ้าย
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)		โว้ว! เรากำจัดรากฐาน
		เราเขียนคำตอบ

ตอบ : \(-7\).

บางครั้ง "ความเหมือนกัน" ของเลขชี้กำลังไม่ชัดเจน แต่การใช้คุณสมบัติของดีกรีอย่างชำนาญช่วยแก้ปัญหานี้ได้

ตัวอย่าง . แก้สมการเลขชี้กำลัง \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
สารละลาย:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		สมการดูน่าเศร้า... ไม่เพียงแต่ฐานจะไม่ถูกลดให้เป็นตัวเลขเดียวกัน (เจ็ดจะไม่เท่ากับ \(\frac(1)(3)\)) แต่ตัวชี้วัดก็ต่างกันด้วย... อย่างไรก็ตาม ลองใช้ deuce เลขชี้กำลังด้านซ้าย
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		คำนึงถึงคุณสมบัติ \((a^b)^c=a^(bc)\) แปลงทางด้านซ้าย: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		ตอนนี้ จำคุณสมบัติพลังงานเชิงลบ \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) เราแปลงทางด้านขวา: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)
\(49^(x-2)=3^(x-2)\)		ฮาเลลูยา! คะแนนเท่ากัน! ตามรูปแบบที่เราคุ้นเคยแล้วเราตัดสินใจก่อนคำตอบ

ตอบ : \(2\).

ระดับแรก

สมการเลขชี้กำลัง คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)

เฮ้! วันนี้เราจะมาพูดคุยกับคุณเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาสมการที่สามารถเป็นได้ทั้งระดับประถมศึกษา (และฉันหวังว่าหลังจากอ่านบทความนี้แล้ว เกือบทั้งหมดจะเป็นเช่นนั้นสำหรับคุณ) และสมการที่มักจะได้รับ "ทดแทน" เห็นได้ชัดว่าผล็อยหลับไปอย่างสมบูรณ์ แต่ฉันจะพยายามทำให้ดีที่สุดเพื่อที่คุณจะได้ไม่ต้องเจอปัญหาเมื่อต้องเผชิญกับสมการประเภทนี้ ฉันจะไม่ตีรอบพุ่มไม้อีกต่อไป แต่ฉันจะเปิดเผยความลับเล็ก ๆ น้อย ๆ ทันที: วันนี้เราจะศึกษา สมการเลขชี้กำลัง

ก่อนดำเนินการวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา ฉันจะร่างคำถาม (ที่ค่อนข้างเล็ก) ให้คุณในทันที ซึ่งคุณควรทำซ้ำก่อนที่คุณจะเร่งรัดหัวข้อนี้ ดังนั้นเพื่อผลลัพธ์ที่ดีที่สุด โปรด ทำซ้ำ:

คุณสมบัติและ
คำตอบและสมการ

ซ้ำ? อัศจรรย์! แล้วจะสังเกตได้ไม่ยากว่ารากของสมการเป็นตัวเลข คุณแน่ใจหรือว่าคุณเข้าใจวิธีที่ฉันทำ? ความจริง? จากนั้นเราไปต่อ ตอบคำถามผม ว่ากำลังสามเท่ากับอะไร? คุณพูดถูก: . แปดเป็นกำลังของสองอะไร? ถูกแล้ว - ที่สาม! เพราะ. ทีนี้ มาลองแก้ปัญหาต่อไปนี้กัน ขอผมคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองครั้งเดียวแล้วได้ผลลัพธ์ คำถามคือ ฉันได้คูณตัวเองกี่ครั้งแล้ว? คุณสามารถตรวจสอบได้โดยตรง:

\begin(จัดตำแหน่ง) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( จัด)

จากนั้นคุณสามารถสรุปว่าฉันคูณด้วยตัวมันเอง สิ่งนี้สามารถตรวจสอบได้อย่างไร? และนี่คือวิธี: ตามคำจำกัดความของดีกรีโดยตรง: . แต่คุณต้องยอมรับ ถ้าผมถามว่าต้องคูณสองด้วยตัวมันเองกี่ครั้งถึงจะได้ บอกผมว่า: ฉันจะไม่หลอกตัวเองและคูณด้วยตัวเองจนกว่าฉันจะหน้าซีด และเขาจะถูกต้องอย่างแน่นอน เพราะคุณทำได้ เขียนการกระทำทั้งหมดสั้น ๆ(และความสั้นคือน้องสาวของพรสวรรค์)

ที่ไหน - นี่คือที่สุด "ครั้ง"เมื่อคูณด้วยตัวมันเอง

ฉันคิดว่าคุณรู้ (และถ้าคุณไม่รู้ ให้ทำซ้ำปริญญาโดยด่วน!) ว่าปัญหาของฉันจะถูกเขียนในแบบฟอร์ม:

คุณจะสรุปได้อย่างสมเหตุสมผลได้อย่างไรว่า:

ดังนั้น อย่างเงียบ ๆ ฉันจดบันทึกที่ง่ายที่สุด สมการเลขชี้กำลัง:

แถมยังเจออีก ราก. คุณไม่คิดว่าทุกอย่างเป็นเรื่องเล็กน้อยเหรอ? นั่นคือสิ่งที่ผมคิดเช่นกัน นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งสำหรับคุณ:

แต่จะทำอย่างไร? เพราะไม่สามารถเขียนเป็นดีกรีของตัวเลข (สมเหตุสมผล) ได้ อย่าสิ้นหวังและสังเกตว่าตัวเลขทั้งสองนี้แสดงออกมาได้อย่างสมบูรณ์แบบในแง่ของพลังของตัวเลขเดียวกัน อะไร? ใช่ไหม: . จากนั้นสมการเดิมจะถูกแปลงเป็นรูปแบบ:

จากที่ที่คุณเข้าใจแล้ว . อย่าดึงอีกต่อไปและเขียนลง คำนิยาม:

ในกรณีของเรากับคุณ: .

สมการเหล่านี้แก้ไขได้โดยลดให้อยู่ในรูปแบบ:

ด้วยคำตอบของสมการที่ตามมา

ที่จริงแล้ว เราทำสิ่งนี้ในตัวอย่างที่แล้ว: เข้าใจแล้ว และเราแก้สมการที่ง่ายที่สุดกับคุณ

ดูเหมือนจะไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม? มาฝึกแบบง่ายที่สุดกันก่อน ตัวอย่าง:

เราเห็นอีกครั้งว่าด้านขวาและด้านซ้ายของสมการต้องแสดงเป็นเลขยกกำลังหนึ่งจำนวน จริงนี่ทำไปแล้วทางซ้าย แต่ทางขวามีตัวเลขอยู่ แต่ไม่เป็นไร และสมการของฉันก็แปลงเป็นสิ่งนี้ได้อย่างอัศจรรย์:

ฉันมาทำอะไรที่นี่? กฎอะไร? กฎแห่งพลังสู่อำนาจซึ่งอ่านว่า:

เกิดอะไรขึ้นถ้า:

ก่อนตอบคำถามนี้ ให้กรอกข้อมูลในตารางต่อไปนี้:

ไม่ยากที่เราจะสังเกตเห็นว่าค่าที่น้อยกว่าค่าที่น้อยกว่า แต่อย่างไรก็ตามค่าทั้งหมดเหล่านี้มากกว่าศูนย์ และจะเป็นเช่นนั้นตลอดไป!!! คุณสมบัติเดียวกันนี้เป็นจริงสำหรับฐานใด ๆ ที่มีดัชนีใด ๆ !! (สำหรับใด ๆ และ). แล้วเราจะสรุปอะไรเกี่ยวกับสมการได้บ้าง? และนี่คือสิ่งหนึ่ง: มัน ไม่มีราก! เฉกเช่นสมการใดๆ ที่ไม่มีราก ตอนนี้เรามาฝึกและ มาแก้ตัวอย่างง่ายๆ กัน:

มาตรวจสอบกัน:

1. คุณไม่จำเป็นต้องมีสิ่งใดที่นี่ ยกเว้นการรู้คุณสมบัติของพลัง (ซึ่งฉันขอให้คุณพูดซ้ำ!) ตามกฎแล้วทุกอย่างนำไปสู่ฐานที่เล็กที่สุด: , . จากนั้นสมการเดิมจะเท่ากับสมการต่อไปนี้ ทั้งหมดที่ฉันต้องการคือใช้คุณสมบัติของยกกำลัง: เมื่อคูณเลขฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังจะถูกบวก และเมื่อหาร เลขนั้นจะถูกลบออกจากนั้นฉันจะได้รับ: ทีนี้ ด้วยมโนธรรมที่ชัดเจน ฉันจะย้ายจากสมการเลขชี้กำลังไปเป็นสมการเชิงเส้น: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(จัดตำแหน่ง)

2. ในตัวอย่างที่สอง คุณต้องระมัดระวังมากขึ้น: ปัญหาคือทางด้านซ้าย เราไม่สามารถแสดงตัวเลขเดียวกันเป็นยกกำลังได้เช่นกัน ในกรณีนี้บางครั้งก็มีประโยชน์ แทนตัวเลขเป็นผลคูณของกำลังที่มีฐานต่างกัน แต่มีเลขชี้กำลังเหมือนกัน:

ด้านซ้ายของสมการจะอยู่ในรูป: สิ่งนี้ให้อะไรเรา และนี่คือสิ่งที่: เลขฐานต่างกันแต่เลขชี้กำลังเดียวกันคูณได้ในกรณีนี้ ฐานจะถูกคูณ แต่เลขชี้กำลังไม่เปลี่ยนแปลง:

นำไปใช้กับสถานการณ์ของฉัน สิ่งนี้จะให้:

\begin(จัดตำแหน่ง)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(จัดตำแหน่ง)

ไม่เลวใช่มั้ย

3. ฉันไม่ชอบเวลาที่ฉันมีพจน์สองพจน์ที่ด้านหนึ่งของสมการ และไม่มีอีกพจน์หนึ่ง (แน่นอนว่าบางครั้งมันก็สมเหตุสมผลแล้ว แต่ตอนนี้ไม่เป็นเช่นนั้น) ย้ายเทอมลบไปทางขวา:

อย่างเมื่อก่อน ฉันจะเขียนทุกอย่างผ่านพลังของสามสิ่งนี้:

ฉันบวกกำลังทางซ้ายแล้วได้สมการที่เท่ากัน

คุณสามารถค้นหารูทได้อย่างง่ายดาย:

4. ในตัวอย่างที่สาม เทอมที่มีเครื่องหมายลบ - ตำแหน่งทางด้านขวา!

ทางซ้ายผมเกือบทุกอย่างเรียบร้อยดี ยกเว้นเรื่องอะไร? ใช่ "ระดับที่ไม่ถูกต้อง" ของผีสางเทวดารบกวนจิตใจฉัน แต่ฉันสามารถแก้ไขได้โดยการเขียน: . ยูเรก้า - ทางซ้าย ฐานทั้งหมดต่างกัน แต่องศาทั้งหมดเหมือนกัน! เราทวีคูณอย่างรวดเร็ว!

ที่นี่อีกครั้งทุกอย่างชัดเจน: (ถ้าคุณไม่เข้าใจวิธีที่ฉันได้ความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายอย่างน่าอัศจรรย์หยุดพักสักครู่พักสมองและอ่านคุณสมบัติของปริญญาอีกครั้งอย่างระมัดระวังใครบอกว่าคุณสามารถข้ามได้ ดีกรีด้วยเลขชี้กำลังติดลบ อืม ตรงนี้ผมแทบไม่มีเลย) ตอนนี้ฉันจะได้รับ:

\begin(จัดตำแหน่ง)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(จัดตำแหน่ง)

นี่คืองานสำหรับคุณที่จะฝึกฝนซึ่งฉันจะให้คำตอบเท่านั้น (แต่ในรูปแบบ "ผสม") แก้ปัญหา ตรวจสอบ และเราจะดำเนินการวิจัยต่อไป!

พร้อม? คำตอบเช่นเหล่านี้:

เลขอะไรก็ได้

โอเค โอเค ฉันพูดเล่น! นี่คือโครงร่างของวิธีแก้ปัญหา (บางส่วนค่อนข้างสั้น!)

คุณไม่คิดว่าเศษส่วนทางซ้ายเป็นเศษส่วน "กลับด้าน" ไม่ใช่เรื่องบังเอิญหรอกหรือ? มันจะเป็นบาปที่จะไม่ใช้สิ่งนี้:

กฎนี้ใช้บ่อยมากในการแก้สมการเลขชี้กำลัง จำไว้ให้ดี!

จากนั้นสมการเดิมจะกลายเป็น:

โดยการแก้สมการกำลังสองนี้ คุณจะได้รากต่อไปนี้:

2. วิธีแก้ไขอื่น: หารทั้งสองส่วนของสมการด้วยนิพจน์ทางด้านซ้าย (หรือขวา) ฉันจะหารด้วยสิ่งที่อยู่ทางขวา แล้วฉันจะได้รับ:

ที่ไหน (ทำไม?!)

3. ฉันไม่อยากพูดซ้ำ ทุกอย่างถูก "เคี้ยว" ไปมากแล้ว

4. เทียบเท่ากับสมการกำลังสอง ราก

5. คุณต้องใช้สูตรที่กำหนดในงานแรก แล้วคุณจะได้:

สมการได้กลายเป็นเอกลักษณ์เล็กน้อยซึ่งเป็นจริงสำหรับสิ่งใด แล้วคำตอบก็คือจำนวนจริงใดๆ

เอาละ อยู่นี่แล้ว ฝึกฝนเพื่อตัดสินใจ สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุดตอนนี้ฉันต้องการยกตัวอย่างชีวิตให้คุณซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใจว่าเหตุใดจึงจำเป็นในหลักการ ที่นี่ฉันจะให้สองตัวอย่าง หนึ่งในนั้นค่อนข้างทุกวัน แต่อีกอันเป็นวิทยาศาสตร์มากกว่าความสนใจในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 1 (การค้าขาย)ให้คุณมีรูเบิล แต่คุณต้องการเปลี่ยนเป็นรูเบิล ธนาคารเสนอให้คุณนำเงินจำนวนนี้ไปจากคุณในอัตราดอกเบี้ยรายปีโดยคิดดอกเบี้ยเป็นรายเดือน (ยอดคงค้างรายเดือน) คำถามคือ คุณต้องเปิดเงินฝากกี่เดือนจึงจะได้จำนวนเงินสุดท้ายที่ต้องการ? ค่อนข้างเป็นงานทางโลกใช่ไหม อย่างไรก็ตาม การแก้ปัญหานั้นเชื่อมโยงกับการสร้างสมการเลขชี้กำลังที่สอดคล้องกัน: อนุญาต - จำนวนเงินเริ่มต้น - จำนวนเงินสุดท้าย - อัตราดอกเบี้ยสำหรับงวด - จำนวนงวด แล้ว:

ในกรณีของเรา (หากเป็นอัตราต่อปีก็จะคำนวณเป็นรายเดือน) ทำไมถึงแบ่งเป็น? หากคุณไม่ทราบคำตอบสำหรับคำถามนี้ โปรดจำหัวข้อ ""! จากนั้นเราจะได้สมการต่อไปนี้:

สมการเลขชี้กำลังนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยเครื่องคิดเลขเท่านั้น (ลักษณะที่ปรากฏของมันบ่งบอกถึงสิ่งนี้และต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับลอการิทึมซึ่งเราจะคุ้นเคยในภายหลัง) ซึ่งฉันจะทำ: ... ดังนั้นเพื่อที่จะ หาเงินล้านเราต้องทำเงินเป็นเดือน (ไม่เร็วมากใช่ไหม)

ตัวอย่างที่ 2 (ค่อนข้างเป็นวิทยาศาสตร์)แม้ว่าเขาจะ "โดดเดี่ยว" บ้าง แต่ฉันแนะนำให้คุณใส่ใจเขา: เขามักจะ "เข้าสอบ!! (งานนำมาจากเวอร์ชัน "ของจริง") ในช่วงการสลายตัวของไอโซโทปกัมมันตภาพรังสี มวลของมันจะลดลงตามกฎหมาย โดยที่ (มก.) คือมวลเริ่มต้นของไอโซโทป (นาที) คือเวลาที่ผ่านไปจาก โมเมนต์เริ่มต้น (นาที) คือครึ่งชีวิต ในช่วงเวลาเริ่มต้น มวลของไอโซโทปคือ mg ครึ่งชีวิตของมันคือ min มวลของไอโซโทปจะเท่ากับ mg กี่นาที? ไม่เป็นไร: เราแค่เอาข้อมูลทั้งหมดในสูตรที่เสนอให้เราแทน:

ให้แบ่งทั้งสองส่วนโดย "ด้วยความหวัง" ว่าทางด้านซ้ายเราจะได้สิ่งที่ย่อยได้:

เราโชคดีมาก! มันอยู่ทางซ้าย จากนั้นไปที่สมการเทียบเท่ากัน:

ที่ไหน นาที

อย่างที่คุณเห็น สมการเลขชี้กำลังมีประโยชน์จริงในทางปฏิบัติ ตอนนี้ ฉันต้องการคุยกับคุณอีกวิธีหนึ่ง (ง่าย) ในการแก้สมการเลขชี้กำลัง ซึ่งอิงจากการเอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บแล้วจัดกลุ่มเงื่อนไข อย่ากลัวคำพูดของฉันคุณเคยเจอวิธีนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เมื่อคุณศึกษาพหุนาม ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการแยกตัวประกอบนิพจน์:

มาจัดกลุ่มกันเถอะ: คำศัพท์ที่หนึ่งและสาม เช่นเดียวกับคำที่สองและสี่ เป็นที่ชัดเจนว่าอันที่หนึ่งและสามคือความแตกต่างของกำลังสอง:

และที่สองและสี่มีปัจจัยร่วมสาม:

จากนั้นนิพจน์ดั้งเดิมจะเทียบเท่ากับสิ่งนี้:

จะนำปัจจัยทั่วไปออกไปที่ไหนไม่ยากอีกต่อไป:

เพราะเหตุนี้,

นี่คือวิธีที่เราจะดำเนินการโดยประมาณเมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง: มองหา "ความธรรมดา" ท่ามกลางคำศัพท์ต่างๆ แล้วนำออกจากวงเล็บ และจากนั้น - ฉันเชื่อว่าเราจะโชคดี =)) ตัวอย่างเช่น

ทางด้านขวาอยู่ไกลจากพลังของเจ็ด (ฉันตรวจสอบแล้ว!) และทางซ้าย - ดีกว่าเล็กน้อยคุณสามารถ "ตัด" ปัจจัย a จากเทอมแรกและจากที่สองแล้วจัดการกับ สิ่งที่คุณได้รับ แต่ขอให้ทำอย่างรอบคอบมากขึ้นกับคุณ ฉันไม่ต้องการจัดการกับเศษส่วนที่เกิดจาก "การเลือก" อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ดังนั้นฉันควรอดทนไว้ดีกว่าไหม ถ้าอย่างนั้นฉันจะไม่มีเศษส่วน อย่างที่เขาพูด ทั้งหมาป่าเต็มไปหมดและแกะก็ปลอดภัย

นับนิพจน์ในวงเล็บ อย่างน่าอัศจรรย์ ปรากฎว่า (น่าประหลาดใจ แม้ว่าเราจะคาดหวังอะไรได้อีก?)

จากนั้นเราลดสมการทั้งสองข้างด้วยตัวประกอบนี้ เราได้รับ: ที่ไหน

นี่เป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่า (ค่อนข้างมากจริงๆ):

นี่แหละปัญหา! เราไม่มีพื้นฐานร่วมกันที่นี่! ยังไม่ชัดเจนว่าต้องทำอะไรในตอนนี้ และทำสิ่งที่เราทำได้ อันดับแรก เราจะย้าย "สี่" ไปในทิศทางหนึ่ง และ "ห้า" ในอีกทางหนึ่ง:

ทีนี้ลองเอา "ทั่วไป" ทางซ้ายและขวาออก:

แล้วตอนนี้ล่ะ? ประโยชน์ของการรวมกลุ่มที่โง่เขลาเช่นนี้คืออะไร? เมื่อมองแวบแรกจะมองไม่เห็นเลย แต่ให้มองลึกลงไป:

ทีนี้ เรามาทำให้ด้านซ้ายมีแต่นิพจน์ c และทางขวา - อย่างอื่น เราจะทำได้อย่างไร? และนี่คือวิธี: หารทั้งสองข้างของสมการก่อนด้วย (เราจึงกำจัดเลขชี้กำลังทางขวา) แล้วหารทั้งสองข้างด้วย (เราจึงกำจัดตัวประกอบตัวเลขทางด้านซ้าย) ในที่สุดเราก็ได้:

เหลือเชื่อ! ทางด้านซ้ายเรามีนิพจน์และทางด้านขวา - แค่ แล้วเราก็สรุปได้ทันทีว่า

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งที่ช่วยเสริม:

ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ ของเขา (ไม่ต้องอธิบายมาก) พยายามหา "รายละเอียดปลีกย่อย" ทั้งหมดของวิธีแก้ปัญหาด้วยตัวเอง

ตอนนี้การรวมวัสดุขั้นสุดท้ายที่ครอบคลุม ลองแก้ปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวเอง ฉันจะให้คำแนะนำสั้น ๆ และเคล็ดลับในการแก้ปัญหาเท่านั้น:

ลองแยกตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:
เราเป็นตัวแทนของนิพจน์แรกในรูปแบบ: , หารทั้งสองส่วนด้วยและรับ that
จากนั้นสมการดั้งเดิมจะถูกแปลงเป็นรูปแบบ: ทีนี้ คำใบ้ - มองหาตำแหน่งที่คุณกับฉันแก้สมการนี้ไปแล้ว!
ลองนึกภาพว่ายังไง ยังไง อืม แล้วหารทั้งสองส่วนด้วยยังไง คุณจะได้สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด
เอามันออกจากวงเล็บ
เอามันออกจากวงเล็บ

สมการเอ็กซ์โพซิชั่นแนล ระดับเฉลี่ย

ฉันคิดว่าหลังจากอ่านบทความแรกที่บอก สมการเลขชี้กำลังคืออะไรและจะแก้อย่างไรคุณได้เชี่ยวชาญความรู้ขั้นต่ำที่จำเป็นในการแก้ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด

ตอนนี้ฉันจะวิเคราะห์วิธีอื่นในการแก้สมการเลขชี้กำลัง นี่คือ

"วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่" (หรือการแทนที่)เขาแก้ปัญหาที่ "ยาก" ส่วนใหญ่ในหัวข้อสมการเลขชี้กำลัง (และไม่ใช่แค่สมการเท่านั้น) วิธีนี้เป็นวิธีหนึ่งที่ใช้บ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ อันดับแรก ฉันแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับหัวข้อนี้

ตามที่คุณเข้าใจจากชื่อแล้ว สาระสำคัญของวิธีนี้คือการแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร ซึ่งสมการเลขชี้กำลังของคุณจะแปลงเป็นตัวแปรที่คุณแก้ได้อย่างง่ายดายอยู่แล้ว สิ่งที่เหลืออยู่สำหรับคุณหลังจากแก้ "สมการแบบง่าย" นี้ก็คือการทำ "การแทนที่แบบย้อนกลับ" นั่นคือการกลับจากการแทนที่เป็นการแทนที่ มาอธิบายสิ่งที่เราเพิ่งพูดไปด้วยตัวอย่างง่ายๆ กัน:

ตัวอย่างที่ 1:

สมการนี้แก้ได้ด้วย "การแทนที่อย่างง่าย" ตามที่นักคณิตศาสตร์เรียกมันว่าดูหมิ่น อันที่จริง การแทนที่ที่นี่ชัดเจนที่สุด ต้องดูเท่านั้น

จากนั้นสมการเดิมจะกลายเป็น:

หากเราจินตนาการเพิ่มเติมว่าต้องเปลี่ยนอะไรจึงค่อนข้างชัดเจน: แน่นอน . แล้วสมการเดิมจะกลายเป็นอะไร? และนี่คือสิ่งที่:

คุณสามารถค้นหารากของมันได้อย่างง่ายดาย:. เราควรทำอย่างไรตอนนี้? ได้เวลากลับสู่ตัวแปรเดิม ฉันลืมใส่อะไร กล่าวคือเมื่อแทนที่ระดับหนึ่งด้วยตัวแปรใหม่ (นั่นคือเมื่อแทนที่ประเภท) ฉันจะสนใจ รากบวกเท่านั้น!คุณเองก็ตอบได้ว่าทำไม ดังนั้นเราจึงไม่สนใจคุณ แต่รูทที่สองค่อนข้างเหมาะสำหรับเรา:

แล้วที่.

ตอบ:

อย่างที่คุณเห็น ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ การแทนที่กำลังขอมือของเรา น่าเสียดายที่นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป อย่างไรก็ตาม อย่าพูดถึงความเศร้าโดยตรง แต่ให้ฝึกอีกตัวอย่างหนึ่งด้วยการแทนที่ที่ค่อนข้างง่าย

ตัวอย่าง 2

เป็นที่แน่ชัดว่ามีความเป็นไปได้มากที่สุดที่จะต้องเปลี่ยน (นี่คือพลังที่เล็กที่สุดที่รวมอยู่ในสมการของเรา) อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะแนะนำการแทนที่ สมการของเราต้อง "เตรียมพร้อม" สำหรับมัน กล่าวคือ: , . จากนั้นคุณสามารถแทนที่ด้วยเหตุนี้ฉันจะได้รับนิพจน์ต่อไปนี้:

โอ้ สยองขวัญ: สมการลูกบาศก์ที่มีสูตรการแก้ปัญหาที่แย่มาก (พูดในแง่ทั่วไป) แต่อย่าเพิ่งหมดหวังในทันที แต่ให้คิดว่าเราควรทำอย่างไร ฉันจะแนะนำให้โกง: เรารู้ว่าเพื่อให้ได้คำตอบที่ "สวยงาม" เราต้องอยู่ในรูปของกำลังสาม (ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น ห๊ะ?) และลองเดารากของสมการของเราอย่างน้อยหนึ่งราก (ฉันจะเริ่มเดาจากยกกำลังสาม)

เดาก่อน ไม่ใช่ราก. อนิจจาและอา...

.
ด้านซ้ายเท่ากัน
ส่วนขวา: !
มี! เดารากแรก ตอนนี้สิ่งต่าง ๆ จะง่ายขึ้น!

คุณรู้เกี่ยวกับรูปแบบการแบ่ง "มุม" หรือไม่? แน่นอน คุณใช้มันเมื่อหารจำนวนหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง แต่มีเพียงไม่กี่คนที่รู้ว่าพหุนามสามารถทำได้เช่นเดียวกัน มีทฤษฎีบทหนึ่งที่ยอดเยี่ยม:

ใช้ได้กับสถานการณ์ของฉัน มันบอกฉันว่าหารด้วยเศษส่วนใดลงตัว การแบ่งงานเป็นอย่างไร? นั่นเป็นวิธีที่:

ฉันดูว่าโมโนเมียตัวใดที่ฉันควรคูณเพื่อให้ได้เคลียร์ จากนั้น:

ฉันลบนิพจน์ผลลัพธ์ออกจาก ฉันได้รับ:

ทีนี้ ต้องคูณอะไรถึงจะได้? เป็นที่ชัดเจนว่าเมื่อนั้นฉันจะได้รับ:

และลบนิพจน์ผลลัพธ์ออกจากอันที่เหลืออีกครั้ง:

ขั้นตอนสุดท้าย ผมคูณและลบออกจากนิพจน์ที่เหลือ:

ไชโย ดิวิชั่นจบลงแล้ว! เราสะสมอะไรไว้เป็นการส่วนตัว? ด้วยตัวมันเอง: .

จากนั้นเราได้การขยายตัวของพหุนามดั้งเดิมดังต่อไปนี้:

มาแก้สมการที่สองกัน:

มันมีราก:

แล้วสมการเดิมคือ

มีสามราก:

แน่นอนว่าเราทิ้งรูทสุดท้ายเพราะมันน้อยกว่าศูนย์ และสองตัวแรกหลังจากการแทนที่แบบย้อนกลับจะให้รากที่สองแก่เรา:

ตอบ: ..

จากตัวอย่างนี้ ฉันไม่ได้ต้องการทำให้คุณกลัวเลย แต่ฉันตั้งใจจะแสดงว่าถึงแม้เราจะมีตัวแทนที่ที่ค่อนข้างง่าย แต่ก็ยังนำไปสู่สมการที่ค่อนข้างซับซ้อน ซึ่งการแก้ปัญหาต้องใช้ทักษะพิเศษบางอย่างจากเรา . ไม่มีใครรอดพ้นจากสิ่งนี้ แต่การเปลี่ยนแปลงในกรณีนี้ค่อนข้างชัดเจน

นี่คือตัวอย่างที่มีการแทนที่ที่ชัดเจนน้อยกว่าเล็กน้อย:

ไม่ชัดเจนเลยว่าเราควรทำเช่นไร: ปัญหาคือในสมการของเรามีฐานที่แตกต่างกันสองฐาน และฐานหนึ่งไม่สามารถหาได้จากฐานอื่นโดยการเพิ่มระดับใดๆ (สมเหตุสมผลและเป็นธรรมชาติ) อย่างไรก็ตาม เราเห็นอะไร? ฐานทั้งสองต่างกันในเครื่องหมายเท่านั้น และผลิตภัณฑ์ของฐานคือส่วนต่างของกำลังสองเท่ากับหนึ่ง:

คำนิยาม:

ดังนั้น ตัวเลขที่เป็นฐานในตัวอย่างของเราจึงเป็นคอนจูเกต

ในกรณีนี้ การเคลื่อนไหวที่ชาญฉลาดจะเป็น คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนคอนจูเกต

ตัวอย่างเช่น บน จากนั้นด้านซ้ายของสมการจะเท่ากับและด้านขวา ถ้าเราทำการแทนที่ สมการเดิมของเรากับคุณจะกลายเป็นแบบนี้:

รากของมัน แต่เมื่อจำได้ว่าเราเข้าใจแล้ว

ตอบ: , .

ตามกฎแล้ว วิธีการแทนที่ก็เพียงพอที่จะแก้สมการเลขชี้กำลัง "โรงเรียน" ส่วนใหญ่ได้ งานต่อไปนี้นำมาจาก USE C1 (ระดับความยากที่เพิ่มขึ้น) คุณมีความรู้เพียงพอที่จะแก้ไขตัวอย่างเหล่านี้ด้วยตัวเอง ฉันจะให้เฉพาะสิ่งทดแทนที่จำเป็นเท่านั้น

แก้สมการ:
ค้นหารากของสมการ:
แก้สมการ: . ค้นหารากทั้งหมดของสมการนี้ที่เป็นของกลุ่ม:

สำหรับคำอธิบายและคำตอบอย่างรวดเร็ว:

ที่นี่ก็เพียงพอแล้วที่จะทราบว่าและ จากนั้นสมการเดิมจะเท่ากับสมการนี้: สมการนี้แก้ได้โดยแทนที่ ทำการคำนวณต่อไปนี้ด้วยตัวเอง ในที่สุด งานของคุณจะลดลงเพื่อแก้ตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด (ขึ้นอยู่กับไซน์หรือโคไซน์) เราจะพูดถึงวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างดังกล่าวในส่วนอื่นๆ
ที่นี่คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องเปลี่ยน: แค่ย้าย subtrahend ไปทางขวาและแทนทั้งสองฐานด้วยกำลังสอง: แล้วไปที่สมการกำลังสองทันที
สมการที่สามยังถูกแก้ด้วยวิธีที่ค่อนข้างเป็นมาตรฐาน: ลองนึกดูว่า จากนั้นแทนที่เราจะได้สมการกำลังสอง: แล้ว
คุณรู้อยู่แล้วว่าลอการิทึมคืออะไร? ไม่? แล้วรีบอ่านหัวข้อ!

รูทแรกเห็นได้ชัดว่าไม่ได้อยู่ในเซกเมนต์และรูทที่สองเข้าใจยาก! แต่เราจะพบในไม่ช้า! ตั้งแต่นั้นมา (นี่คือคุณสมบัติของลอการิทึม!) มาเปรียบเทียบกัน:

ลบออกจากทั้งสองส่วนแล้วเราจะได้:

ด้านซ้ายสามารถแสดงเป็น:

คูณทั้งสองข้างด้วย:

สามารถคูณด้วย แล้ว

แล้วมาเปรียบเทียบกัน:

ตั้งแต่นั้นมา:

จากนั้นรูทที่สองเป็นของช่วงเวลาที่ต้องการ

ตอบ:

อย่างที่คุณเห็น, การเลือกรากของสมการเลขชี้กำลังต้องใช้ความรู้เชิงลึกเกี่ยวกับคุณสมบัติของลอการิทึมดังนั้น ผมจึงแนะนำให้คุณระมัดระวังในการแก้สมการเลขชี้กำลังให้มากที่สุด อย่างที่คุณทราบในวิชาคณิตศาสตร์ทุกอย่างเชื่อมโยงถึงกัน! อย่างที่ครูคณิตศาสตร์ของฉันเคยพูดว่า: "คุณไม่สามารถอ่านคณิตศาสตร์เหมือนประวัติศาสตร์ในชั่วข้ามคืน"

ตามกฎแล้วทั้งหมด ความยากในการแก้ปัญหา C1 คือการเลือกรากของสมการอย่างแม่นยำมาฝึกกันด้วยตัวอย่างอื่น:

เป็นที่ชัดเจนว่าสมการนั้นแก้ได้ค่อนข้างง่าย เมื่อทำการแทนที่แล้ว เราลดสมการดั้งเดิมของเราเป็นดังนี้:

มาดูรากแรกกันก่อน เปรียบเทียบและ: ตั้งแต่นั้นมา (คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม, at) เป็นที่ชัดเจนว่ารูทแรกไม่ได้อยู่ในช่วงเวลาของเราเช่นกัน ตอนนี้รูทที่สอง: . เป็นที่ชัดเจนว่า (เนื่องจากฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น). มันยังคงเปรียบเทียบและ

นับแต่นั้นเป็นต้นมา ดังนั้นฉันจึงสามารถ "ตอกหมุด" ระหว่าง และ หมุดนี้เป็นตัวเลข นิพจน์แรกมีค่าน้อยกว่าและนิพจน์ที่สองมีค่ามากกว่า จากนั้นนิพจน์ที่สองจะมากกว่านิพจน์แรกและรูทเป็นของช่วงเวลา

ตอบ: .

โดยสรุป มาดูตัวอย่างอื่นของสมการที่การแทนที่ค่อนข้างไม่เป็นมาตรฐาน:

มาเริ่มกันทันทีด้วยสิ่งที่คุณทำได้ และสิ่งที่ - โดยหลักการแล้ว คุณทำได้ แต่อย่าทำจะดีกว่า เป็นไปได้ - เพื่อเป็นตัวแทนของทุกสิ่งผ่านพลังของสาม สอง และหก มันนำไปสู่ที่ไหน? ใช่และจะไม่นำไปสู่สิ่งใด: การผสมผสานขององศาซึ่งบางส่วนจะค่อนข้างยากที่จะกำจัด แล้วอะไรคือสิ่งที่จำเป็น? ให้สังเกตว่า a และจะให้อะไรเราบ้าง? และความจริงที่ว่าเราสามารถลดคำตอบของตัวอย่างนี้เป็นคำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ค่อนข้างง่ายได้! อันดับแรก ให้เขียนสมการของเราใหม่เป็น:

ตอนนี้เราแบ่งทั้งสองข้างของสมการที่ได้ออกเป็น:

ยูเรก้า! ตอนนี้เราสามารถแทนที่เราได้:

ตอนนี้ถึงตาคุณแล้วที่จะแก้ปัญหาสำหรับการสาธิตและฉันจะให้ความเห็นสั้น ๆ กับพวกเขาเท่านั้นเพื่อที่คุณจะไม่หลงทาง! ขอให้โชคดี!

1. ยากที่สุด! เห็นคนมาแทนนี่ แย่จัง! อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้ การเลือกสี่เหลี่ยมเต็ม. เพื่อแก้ปัญหานี้ พอเพียงที่จะทราบว่า:

นี่คือสิ่งทดแทนของคุณ:

(โปรดทราบว่าในที่นี้ การแทนที่ของเรา เราไม่สามารถทิ้งรากเชิงลบได้!!! และทำไม คุณคิดอย่างไร?)

ในการแก้ตัวอย่าง คุณต้องแก้สมการสองสมการ:

ทั้งคู่ได้รับการแก้ไขโดย "การแทนที่มาตรฐาน" (แต่อันที่สองในตัวอย่างเดียว!)

2. สังเกตว่าและทำการทดแทน

3. ขยายจำนวนเป็นปัจจัยร่วมและทำให้นิพจน์ผลลัพธ์ง่ายขึ้น

4. หารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย (หรือถ้าต้องการ) แล้วทำการแทนที่ หรือ

5. โปรดทราบว่าตัวเลขและคอนจูเกต

สมการเอ็กซ์โพซิชั่นแนล ระดับสูง

นอกจากนี้เรามาดูวิธีอื่น - การแก้สมการเลขชี้กำลังโดยวิธีลอการิทึม. ฉันไม่สามารถพูดได้ว่าคำตอบของสมการเลขชี้กำลังด้วยวิธีนี้เป็นที่นิยมมาก แต่ในบางกรณีเท่านั้นที่จะสามารถนำเราไปสู่คำตอบที่ถูกต้องของสมการของเราได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมักจะใช้เพื่อแก้ปัญหาที่เรียกว่า " สมการผสม' คือ ที่ซึ่งมีหน้าที่ประเภทต่างๆ.

ตัวอย่างเช่น สมการเช่น:

ในกรณีทั่วไป สามารถแก้ไขได้โดยการหาลอการิทึมของทั้งสองส่วน (เช่น ตามฐาน) ซึ่งสมการเดิมจะกลายเป็นดังนี้:

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้:

เห็นได้ชัดว่าเราสนใจเฉพาะ ODZ ของฟังก์ชันลอการิทึมเท่านั้น อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่เพียงแค่ติดตามจาก ODZ ของลอการิทึมเท่านั้น แต่ด้วยเหตุผลอื่นด้วย ฉันคิดว่ามันจะไม่ยากสำหรับคุณที่จะเดาว่าอันไหน

ลองหาลอการิทึมของทั้งสองข้างของสมการไปที่ฐานกัน:

อย่างที่คุณเห็น การใช้ลอการิทึมของสมการเดิมทำให้เราได้คำตอบที่ถูกต้อง (และสวยงาม!) อย่างรวดเร็ว มาฝึกกันด้วยตัวอย่างอื่น:

ตรงนี้ก็เช่นกัน ไม่มีอะไรต้องกังวล: เราเอาลอการิทึมของสมการทั้งสองข้างมาในรูปของฐาน แล้วเราจะได้:

มาทำสิ่งทดแทนกัน:

อย่างไรก็ตาม เราพลาดบางสิ่งไป! คุณสังเกตเห็นว่าฉันทำผิดพลาดที่ไหน? ท้ายที่สุดแล้ว:

ซึ่งไม่เป็นไปตามข้อกำหนด (คิดว่ามันมาจากไหน!)

ตอบ:

ลองเขียนคำตอบของสมการเลขชี้กำลังด้านล่าง:

ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของคุณด้วยสิ่งนี้:

1. เราลอการิทึมทั้งสองส่วนเข้ากับฐาน โดยที่:

(รากที่สองไม่เหมาะกับเราเนื่องจากการแทนที่)

2. ลอการิทึมกับฐาน:

ลองแปลงนิพจน์ผลลัพธ์เป็นรูปแบบต่อไปนี้:

สมการเอ็กซ์โพซิชั่นแนล คำอธิบายโดยย่อและสูตรพื้นฐาน

สมการเลขชี้กำลัง

สมการประเภท:

เรียกว่า สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

คุณสมบัติองศา

แนวทางการแก้ปัญหา

ลดลงเป็นฐานเดียวกัน
ลดลงเป็นเลขชี้กำลังเดียวกัน
การทดแทนตัวแปร
ลดความซับซ้อนของนิพจน์และใช้อย่างใดอย่างหนึ่งข้างต้น

สมการเลขชี้กำลังคืออะไร? ตัวอย่าง.

ดังนั้น สมการเลขชี้กำลัง... นิทรรศการใหม่ที่ไม่ซ้ำใครในงานนิทรรศการทั่วไปของเราเกี่ยวกับสมการที่หลากหลาย!) เช่นเดียวกับในกรณีส่วนใหญ่ คีย์เวิร์ดของศัพท์ทางคณิตศาสตร์ใหม่ใดๆ คือคำคุณศัพท์ที่เกี่ยวข้องกันซึ่งกำหนดลักษณะเฉพาะ ดังนั้นที่นี่ด้วย คำสำคัญในคำว่า "สมการเลขชี้กำลัง" คือคำว่า "สาธิต". มันหมายความว่าอะไร? คำนี้หมายความว่าสิ่งที่ไม่รู้จัก (x) คือ ในระดับใดระดับหนึ่งและที่นั่นเท่านั้น! นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่ง

ตัวอย่างเช่น สมการง่าย ๆ เหล่านี้:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

หรือแม้แต่สัตว์ประหลาดเหล่านี้:

2 บาป x = 0.5

ฉันขอให้คุณใส่ใจกับสิ่งสำคัญอย่างหนึ่งในทันที: ใน บริเวณองศา (ล่าง) - เฉพาะตัวเลข. แต่ใน ตัวชี้วัดองศา (บนสุด) - การแสดงออกที่หลากหลายด้วย x ได้เลย) ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสมการเฉพาะ หากทันใดนั้น x ออกมาในสมการที่อื่นนอกเหนือจากตัวบ่งชี้ (เช่น 3 x \u003d 18 + x 2) สมการดังกล่าวจะเป็นสมการอยู่แล้ว แบบผสม. สมการดังกล่าวไม่มีกฎเกณฑ์ที่ชัดเจนในการแก้ ดังนั้นในบทเรียนนี้เราจะไม่พิจารณาพวกเขา เพื่อความสุขของนักเรียน) ที่นี่เราจะพิจารณาเฉพาะสมการเลขชี้กำลังในรูปแบบที่ "บริสุทธิ์"

โดยทั่วไปแล้ว แม้แต่สมการเลขชี้กำลังล้วนๆ ก็ยังไม่ได้รับการแก้อย่างชัดเจนในทุกกรณีและไม่เสมอไป แต่ในบรรดาสมการเลขชี้กำลังที่หลากหลาย มีบางประเภทที่แก้ได้และควรแก้ สมการประเภทนี้เราจะพิจารณาร่วมกับคุณ และเราจะแก้ตัวอย่างอย่างแน่นอน) ดังนั้นเราจึงตั้งรกรากอย่างสะดวกสบายและอยู่บนท้องถนน! เช่นเดียวกับใน "เกมยิงปืน" ทางคอมพิวเตอร์ การเดินทางของเราจะผ่านด่านต่างๆ) ตั้งแต่ระดับพื้นฐานไปจนถึงระดับง่าย ตั้งแต่ระดับพื้นฐานไปจนถึงระดับกลาง และระดับกลางไปจนถึงระดับซับซ้อน ระหว่างทาง คุณจะรอระดับความลับ - กลเม็ดและวิธีการแก้ไขตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐาน เรื่องที่คุณจะไม่อ่านในหนังสือเรียนของโรงเรียนส่วนใหญ่... ท้ายที่สุด แน่นอนว่าต้องมีเจ้านายคนสุดท้ายในรูปแบบของการบ้าน)

ระดับ 0. สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุดคืออะไร? คำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

ในการเริ่มต้น มาดูพื้นฐานที่ตรงไปตรงมากันบ้าง คุณต้องเริ่มต้นที่ไหนสักแห่งใช่ไหม ตัวอย่างเช่น สมการนี้:

2 x = 2 2

แม้จะไม่มีทฤษฎีใดๆ ด้วยตรรกะง่ายๆ และสามัญสำนึก ก็เป็นที่ชัดเจนว่า x = 2 ไม่อย่างนั้นไม่มีทางหรอก จริงไหม? ไม่มีค่า x อื่นใดดี ... ทีนี้มาสนใจกัน บันทึกการตัดสินใจสมการเลขชี้กำลังเย็นนี้:

2 x = 2 2

X = 2

เกิดอะไรขึ้นกับเรา? และต่อไปนี้ก็เกิดขึ้น อันที่จริงแล้วเราเอาและ ... เพิ่งโยนฐานเดียวกัน (สอง)! ไล่ออกให้หมด และสิ่งที่พอใจ ตีวัว!

ใช่ แน่นอน ถ้าในสมการเลขชี้กำลังทางซ้ายและขวาเป็น เหมือนตัวเลขในระดับใด ๆ จากนั้นตัวเลขเหล่านี้สามารถละทิ้งและเท่ากับเลขชี้กำลัง คณิตศาสตร์อนุญาต) จากนั้นคุณสามารถแยกการทำงานกับตัวบ่งชี้และแก้สมการที่ง่ายกว่ามาก มันเยี่ยมมากใช่มั้ย?

นี่คือแนวคิดหลักในการแก้สมการเลขชี้กำลังใดๆ (ใช่ ทุกประการ!) ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงที่เหมือนกัน มันเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าซ้ายและขวาในสมการคือ เหมือน เลขฐานในองศาต่างๆ จากนั้นคุณสามารถเอาฐานเดียวกันออกและจัดเลขชี้กำลังได้อย่างปลอดภัย และทำงานกับสมการที่ง่ายกว่า

และตอนนี้เราจำกฎเหล็กได้: เป็นไปได้ที่จะลบฐานเดียวกันก็ต่อเมื่อในสมการทางซ้ายและทางขวาตัวเลขฐานคือ ในความเหงาอันภาคภูมิ

ในความโดดเดี่ยวที่ยอดเยี่ยมหมายความว่าอย่างไร ซึ่งหมายความว่าไม่มีเพื่อนบ้านและสัมประสิทธิ์ ฉันอธิบาย.

ตัวอย่างเช่น ในสมการ

3 3 x-5 = 3 2 x +1

คุณไม่สามารถลบแฝดสาม! ทำไม? เพราะทางซ้ายเราไม่ได้มีดีกรีอยู่แค่สามคน แต่ งาน 3 3 x-5 . ทริปเปิ้ลพิเศษเข้ามาขวางทาง: คุณเข้าใจสัมประสิทธิ์)

สามารถพูดได้เหมือนกันเกี่ยวกับสมการ

5 3 x = 5 2 x +5 x

ที่นี่เช่นกัน ฐานทั้งหมดเหมือนกัน - ห้า แต่ทางขวาเราไม่มีดีกรีห้าองศาเดียว นั่นคือผลรวมขององศา!

กล่าวโดยสรุป เรามีสิทธิ์ที่จะลบฐานเดียวกันก็ต่อเมื่อสมการเลขชี้กำลังของเรามีลักษณะดังนี้ และมีเพียงสิ่งนี้เท่านั้น:

เอฉ (x) = ก (x)

สมการเลขชี้กำลังประเภทนี้เรียกว่า ง่ายที่สุด. หรือในทางวิทยาศาสตร์ บัญญัติ . และไม่ว่าสมการบิดเบี้ยวที่อยู่ตรงหน้าเราจะเป็นอย่างไร เราก็จะลดสมการนี้ให้อยู่ในรูปแบบง่ายๆ (ตามบัญญัติ) ดังกล่าว หรือในบางกรณีถึง มวลรวมสมการประเภทนี้ จากนั้นสมการที่ง่ายที่สุดของเราสามารถเขียนใหม่ในรูปแบบทั่วไปได้ดังนี้:

F(x) = ก.(x)

และนั่นแหล่ะ นี่จะเป็นการแปลงที่เทียบเท่ากัน ในขณะเดียวกัน นิพจน์ใดๆ ที่มี x ก็สามารถใช้เป็น f(x) และ g(x) ได้ อะไรก็ตาม.

บางทีนักเรียนที่อยากรู้อยากเห็นเป็นพิเศษจะถามว่า: ทำไมเราจึงทิ้งฐานเดียวกันทางซ้ายและขวาอย่างง่ายดายและง่ายดายและเท่ากับเลขชี้กำลัง สัญชาตญาณก็คือสัญชาตญาณ แต่จู่ๆ ในสมการบางอย่างและด้วยเหตุผลบางอย่าง วิธีการนี้จะกลับกลายเป็นว่าผิด? ถูกต้องตามกฎหมายเสมอหรือไม่ที่จะโยนฐานเดิม?น่าเสียดาย สำหรับคำตอบทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดสำหรับคำถามที่น่าสนใจนี้ เราจำเป็นต้องเจาะลึกและจริงจังในทฤษฎีทั่วไปของโครงสร้างและพฤติกรรมของฟังก์ชัน และเฉพาะเจาะจงอีกเล็กน้อย - ในปรากฏการณ์ ความน่าเบื่อหน่ายที่เข้มงวดโดยเฉพาะความซ้ำซากจำเจที่เข้มงวด ฟังก์ชันเลขชี้กำลังy= x. เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของฟังก์ชันที่รองรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง ใช่) คำตอบโดยละเอียดสำหรับคำถามนี้จะให้ไว้ในบทเรียนพิเศษที่แยกต่างหากซึ่งอุทิศให้กับการแก้สมการที่ไม่ได้มาตรฐานที่ซับซ้อนโดยใช้ความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันต่างๆ)

เพื่ออธิบายประเด็นนี้โดยละเอียดในตอนนี้ เป็นเพียงการนำสมองของเด็กนักเรียนธรรมดาๆ ออกมา และทำให้ตกใจเขาล่วงหน้าด้วยทฤษฎีที่แห้งแล้งและหนักหน่วง ฉันจะไม่ทำเช่นนี้) สำหรับงานหลักของเราในขณะนี้คือ เรียนรู้การแก้สมการเลขชี้กำลัง!ง่ายที่สุด! ดังนั้นจนกว่าเราจะเหงื่อออกและกล้าโยนเหตุผลเดียวกันออกไป นี้ สามารถใช้คำพูดของฉันสิ!) จากนั้นเราก็แก้สมการเทียบเท่า f (x) = g (x) ตามกฎแล้วจะง่ายกว่าเลขชี้กำลังเดิม

แน่นอนว่ามีคนรู้วิธีแก้อยู่แล้วอย่างน้อย และสมการ โดยที่ไม่มี x ในอินดิเคเตอร์) ใครยังไม่รู้วิธีปิดหน้านี้ เดินตามลิงค์ที่เหมาะสมแล้วกรอกลงไป ช่องว่างเก่า มิฉะนั้นคุณจะลำบากใช่ ...

ฉันเงียบเกี่ยวกับสมการอตรรกยะ ตรีโกณมิติ และสมการที่โหดร้ายอื่นๆ ที่สามารถเกิดขึ้นได้ในกระบวนการกำจัดฐาน แต่อย่าตื่นตระหนก เพราะตอนนี้เราจะไม่พิจารณาถึงระดับปริญญาที่ตรงไปตรงมา มันยังเร็วเกินไป เราจะฝึกเฉพาะสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น)

ตอนนี้ให้พิจารณาสมการที่ต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมเพื่อลดขนาดสมการให้ง่ายที่สุด เรียกพวกมันว่า สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย. มาต่อกันที่ระดับถัดไปกันเถอะ!

ระดับ 1 สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย รับรู้องศา! ตัวชี้วัดทางธรรมชาติ

กฎสำคัญในการแก้สมการเลขชี้กำลังคือ กฎสำหรับการจัดการกับองศา. หากปราศจากความรู้และทักษะนี้ อะไรๆ ก็จะไม่เกิดผล อนิจจา. ดังนั้น หากมีปัญหากับปริญญา คุณก็สามารถเริ่มต้นได้ นอกจากนี้ เรายังต้อง การแปลงเหล่านี้ (มากถึงสอง!) เป็นพื้นฐานสำหรับการแก้สมการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดโดยทั่วไป และไม่เพียงแต่โชว์ผลงานเท่านั้น ดังนั้นใครก็ตามที่ลืมไปเดินเล่นบนลิงค์ด้วย: ฉันใส่มันด้วยเหตุผล

แต่การกระทำที่มีพลังและการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันเท่านั้นไม่เพียงพอ นอกจากนี้ยังต้องมีการสังเกตส่วนบุคคลและความเฉลียวฉลาด เราต้องการเหตุผลเดียวกัน ใช่ไหม ดังนั้นเราจึงตรวจสอบตัวอย่างและค้นหาในรูปแบบที่ชัดเจนหรือปลอมแปลง!

ตัวอย่างเช่น สมการนี้:

3 2x – 27x +2 = 0

ดูครั้งแรกที่ บริเวณ. พวกเขาแตกต่าง! สามและยี่สิบเจ็ด แต่ยังเร็วเกินไปที่จะตื่นตระหนกและสิ้นหวัง ถึงเวลาต้องจำไว้

27 = 3 3

เบอร์ 3 กับ 27 เป็นญาติสายตรง! ยิ่งกว่านั้นญาติโยม) ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์จดบันทึก:

27 x +2 = (3 3) x+2

และตอนนี้เราเชื่อมโยงความรู้ของเราเกี่ยวกับ การกระทำที่มีอำนาจ(และฉันเตือนคุณแล้ว!) มีสูตรที่มีประโยชน์มาก:

(น) n = a mn

ตอนนี้ถ้าคุณเรียกใช้ในหลักสูตร โดยทั่วไปแล้วจะออกมาดี:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

ตัวอย่างเดิมตอนนี้มีลักษณะดังนี้:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

เยี่ยมมาก ฐานขององศาอยู่ในแนวเดียวกัน สิ่งที่เรามุ่งมั่นเพื่อ เสร็จไปครึ่งงานแล้ว) และตอนนี้เราเริ่มการแปลงเอกลักษณ์พื้นฐาน - เราโอน 3 3 (x +2) ไปทางขวา ไม่มีใครยกเลิกการกระทำเบื้องต้นของคณิตศาสตร์ใช่) เราได้รับ:

3 2 x = 3 3(x +2)

อะไรทำให้เรามีสมการแบบนี้? และความจริงที่ว่าตอนนี้สมการของเราลดลง เป็นรูปแบบบัญญัติ: ทางซ้ายและขวาเป็นตัวเลขเดียวกัน (สามเท่า) ยกกำลัง และแฝดแฝดทั้งสอง - อยู่อย่างโดดเดี่ยวอย่างวิเศษ เราลบแฝดสามอย่างกล้าหาญและรับ:

2x = 3(x+2)

เราแก้ปัญหานี้และรับ:

X=-6

นั่นคือทั้งหมดที่มีให้ นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง)

และตอนนี้เราเข้าใจขั้นตอนการตัดสินใจแล้ว อะไรช่วยเราไว้ในตัวอย่างนี้ เราได้รับความรอดจากความรู้เรื่ององศาสามชั้น ว่าอย่างไร? เรา ระบุหมายเลข 27 เข้ารหัสสาม! เคล็ดลับนี้ (เข้ารหัสฐานเดียวกันด้วยตัวเลขต่างกัน) เป็นหนึ่งในสมการเลขชี้กำลังที่ได้รับความนิยมมากที่สุด! เว้นแต่จะเป็นที่นิยมมากที่สุด ใช่และอีกอย่าง นั่นคือเหตุผลที่การสังเกตและความสามารถในการรับรู้กำลังของตัวเลขอื่น ๆ ในตัวเลขมีความสำคัญในสมการเลขชี้กำลัง!

คำแนะนำในทางปฏิบัติ:

คุณจำเป็นต้องรู้พลังของตัวเลขยอดนิยม ต่อหน้า!

แน่นอน ใครๆ ก็สามารถยกกำลังสองยกกำลังเจ็ดหรือยกกำลังสามยกกำลังห้าได้ ไม่ได้อยู่ในความคิดของฉัน อย่างน้อยก็ในร่างจดหมาย แต่ในสมการเลขชี้กำลัง บ่อยครั้งมากที่ไม่จำเป็นต้องยกกำลัง แต่ในทางกลับกัน เพื่อค้นหาว่าจำนวนใดและขอบเขตใดที่ซ่อนอยู่หลังตัวเลข เช่น 128 หรือ 243 และนี่ก็มากกว่านั้นแล้ว ซับซ้อนกว่าการยกกำลังอย่างง่าย คุณเห็นไหม รู้สึกถึงความแตกต่างอย่างที่พวกเขาพูด!

เนื่องจากความสามารถในการจดจำองศาบนใบหน้าจึงมีประโยชน์ไม่เพียงแต่ในระดับนี้ แต่ยังมีประโยชน์ในระดับต่อไปนี้ด้วย จึงเป็นงานเล็กๆ น้อยๆ สำหรับคุณ:

กำหนดว่าอำนาจใดและตัวเลขใดเป็นตัวเลข:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

คำตอบ (กระจัดกระจายแน่นอน):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

ใช่ ๆ! อย่าแปลกใจที่มีคำตอบมากกว่างาน ตัวอย่างเช่น 2 8 4 4 และ 16 2 เป็น 256 ทั้งหมด

ระดับ 2 สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย รับรู้องศา! เลขชี้กำลังลบและเศษส่วน

ในระดับนี้ เราใช้ความรู้ด้านองศาของเราอย่างเต็มที่แล้ว กล่าวคือ เราเกี่ยวข้องกับตัวบ่งชี้เชิงลบและเศษส่วนในกระบวนการที่น่าสนใจนี้! ใช่ ๆ! เราต้องสร้างพลังใช่ไหม?

ตัวอย่างเช่น สมการที่น่ากลัวนี้:

ดูรากฐานอีกครั้งก่อน ฐานไม่ต่างกัน! และคราวนี้พวกเขาไม่ได้เหมือนกันเลยแม้แต่น้อย! 5 และ 0.04... และเพื่อกำจัดฐาน จำเป็นต้องมีฐานเดียวกัน... จะทำอย่างไร?

ไม่เป็นไร! อันที่จริงแล้ว ทุกอย่างเหมือนกัน เพียงการเชื่อมต่อระหว่างห้าถึง 0.04 นั้นมองเห็นได้ไม่ดีนัก เราจะออกไปได้อย่างไร? และไปที่เศษส่วนปกติในจำนวน 0.04 กัน! คุณจะเห็นว่าทุกอย่างก่อตัวขึ้น)

0,04 = 4/100 = 1/25

ว้าว! ปรากฎว่า 0.04 คือ 1/25! แล้วใครจะไปคิดล่ะ!)

ยังไงดี? ตอนนี้การเชื่อมต่อระหว่างตัวเลข 5 กับ 1/25 ง่ายขึ้นหรือไม่? นั่นคือสิ่งที่มันเป็น...

และตอนนี้ตามกฎการดำเนินงานที่มีอำนาจด้วย ตัวบ่งชี้เชิงลบสามารถเขียนด้วยมือที่มั่นคง:

เป็นสิ่งที่ดี. เราก็ได้ฐานเดียวกัน - ห้า. ตอนนี้เราแทนที่ตัวเลขที่ไม่สบายใจ 0.04 ในสมการด้วย 5 -2 และรับ:

อีกครั้งตามกฎการดำเนินการที่มีอำนาจ เราสามารถเขียนได้ว่า:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

เผื่อจะเตือน (อยู่ๆ ใครไม่รู้) ว่ากฎพื้นฐานสำหรับการกระทำที่มีองศานั้นใช้ได้กับ ใด ๆตัวชี้วัด! รวมถึงค่าลบด้วย) ดังนั้นอย่าลังเลที่จะใช้และคูณตัวบ่งชี้ (-2) และ (x-1) ตามกฎที่เกี่ยวข้อง สมการของเราดีขึ้นเรื่อยๆ:

ทุกอย่าง! นอกจากคนขี้เหงาในองศาทางซ้ายและขวาแล้ว ไม่มีอะไรอื่นอีกแล้ว สมการจะลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติ แล้ว - ตามรอยหยัก เราลบห้าและเท่ากับตัวบ่งชี้:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

ตัวอย่างใกล้เสร็จแล้ว คณิตศาสตร์เบื้องต้นของชนชั้นกลางยังคงอยู่ - เราเปิด (ถูกต้อง!) วงเล็บและรวบรวมทุกอย่างทางด้านซ้าย:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

เราแก้ปัญหานี้และรับสองราก:

x 1 = 1; x 2 = 3

แค่นั้น)

ทีนี้มาคิดกันใหม่ ในตัวอย่างนี้ เราต้องจำตัวเลขเดิมในองศาที่แตกต่างกันอีกครั้ง! กล่าวคือเพื่อดูการเข้ารหัสห้าในจำนวน 0.04 และครั้งนี้ใน องศาติดลบ!เราทำมันได้อย่างไร? กำลังเดินทาง - ไม่มีทาง แต่หลังจากเปลี่ยนจากทศนิยม 0.04 เป็นทศนิยม 1/25 แล้ว ทุกอย่างก็ถูกเน้น! จากนั้นการตัดสินใจทั้งหมดก็เหมือนกับเครื่องจักร)

ดังนั้นคำแนะนำเชิงปฏิบัติที่เป็นมิตรกับสิ่งแวดล้อมอีกประการหนึ่ง

หากมีเศษส่วนทศนิยมในสมการเลขชี้กำลัง เราก็ย้ายจากเศษส่วนทศนิยมไปเป็นเศษส่วนธรรมดา ในเศษส่วนธรรมดา จะง่ายกว่ามากที่จะจดจำพลังของตัวเลขยอดนิยมหลายๆ ตัว! หลังจากที่รับรู้แล้ว เราก็เปลี่ยนจากเศษส่วนเป็นยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังลบ

โปรดทราบว่าการหลอกลวงในสมการเลขชี้กำลังเกิดขึ้นบ่อยมาก! และบุคคลนั้นไม่อยู่ในเรื่อง ตัวอย่างเช่น เขาดูตัวเลข 32 และ 0.125 แล้วอารมณ์เสีย เขาไม่รู้ว่านี่เป็นผีตัวเดียวกันในองศาที่ต่างกันเท่านั้น ... แต่คุณอยู่ในเรื่องนี้แล้ว!)

แก้สมการ:

ใน! ดูเหมือนสยองขวัญเงียบ ๆ ... อย่างไรก็ตามการปรากฏตัวเป็นการหลอกลวง นี่คือสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด แม้จะดูน่ากลัวก็ตาม และตอนนี้ฉันจะแสดงให้คุณเห็น)

อันดับแรก เราจัดการกับตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ในฐานและในสัมประสิทธิ์ ต่างกันอย่างเห็นได้ชัดใช่ แต่เรายังคงเสี่ยงและพยายามทำให้มัน เหมือน! ลองไปที่ เลขเดียวกันในองศาที่ต่างกัน. และควรเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ มาเริ่มถอดรหัสกันเลย!

ทุกอย่างชัดเจนด้วยสี่พร้อมกัน - มันคือ 2 2 . มีบางอย่างอยู่แล้ว)

ด้วยเศษ 0.25 - ยังไม่ชัดเจน จำเป็นต้องตรวจสอบ เราใช้คำแนะนำที่เป็นประโยชน์ - เปลี่ยนจากทศนิยมเป็นธรรมดา:

0,25 = 25/100 = 1/4

ดีขึ้นมากแล้ว ตอนนี้เห็นได้ชัดเจนว่า 1/4 คือ 2 -2 เยี่ยมมาก และเลข 0.25 ก็คล้ายกับผี)

จนถึงตอนนี้ดีมาก แต่จำนวนที่เลวร้ายที่สุดยังคงอยู่ - รากที่สองของสอง!จะทำอย่างไรกับพริกไทยนี้? มันสามารถแสดงเป็นกำลังสองได้หรือไม่? และใครจะรู้...

อีกครั้งที่เราปีนเข้าไปในคลังความรู้เกี่ยวกับองศา! คราวนี้เราเชื่อมต่อความรู้ของเราเพิ่มเติม เกี่ยวกับราก. ตั้งแต่ชั้น ป.9 เธอกับฉันก็ต้องทนว่ารากใด ๆ ที่ต้องการสามารถเปลี่ยนเป็นดีกรีได้เสมอ ด้วยเศษส่วน

แบบนี้:

ในกรณีของเรา:

ยังไง! ปรากฎว่าสแควร์รูทของสองคือ 2 1/2 แค่นั้นแหละ!

ไม่เป็นไร! จริง ๆ แล้วตัวเลขที่น่าอึดอัดทั้งหมดของเรากลับกลายเป็นหลอกลวงที่เข้ารหัส) ฉันไม่เถียงที่ไหนสักแห่งที่เข้ารหัสอย่างซับซ้อนมาก แต่เรายังเพิ่มความเป็นมืออาชีพในการแก้ตัวเลขดังกล่าวอีกด้วย! แล้วทุกอย่างก็ชัดเจนอยู่แล้ว เราแทนที่ตัวเลข 4, 0.25 และรากของสองในสมการด้วยกำลังสอง:

ทุกอย่าง! ฐานขององศาทุกองศาในตัวอย่างกลายเป็นค่าเดียวกัน - สอง และตอนนี้มีการใช้การกระทำมาตรฐานพร้อมองศา:

เช้าหนึ่ง = เช้า + น

a m:a n = a m-n

(น) n = a mn

สำหรับด้านซ้ายคุณจะได้รับ:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

สำหรับด้านขวาจะเป็น:

และตอนนี้สมการชั่วร้ายของเราเริ่มมีลักษณะดังนี้:

สำหรับผู้ที่ไม่ทราบว่าสมการนี้ออกมาเป็นอย่างไร คำถามไม่ได้เกี่ยวกับสมการเลขชี้กำลัง คำถามเกี่ยวกับการกระทำที่มีอำนาจ ขอย้ำด่วนสำหรับผู้ที่มีปัญหา!

นี่คือเส้นชัย! ได้รูปแบบบัญญัติของสมการเลขชี้กำลังแล้ว! แล้วยังไง? ฉันเคยเชื่อเธอไหมว่ามันไม่น่ากลัวขนาดนั้น? ;) เราลบ deuces และทำให้ตัวบ่งชี้เท่ากัน:

มันยังคงเป็นเพียงการแก้สมการเชิงเส้นนี้เท่านั้น ยังไง? ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงที่เหมือนกันแน่นอน) แก้สิ่งที่มีอยู่แล้ว! คูณทั้งสองส่วนด้วยสอง (เพื่อลบเศษส่วน 3/2) ย้ายเงื่อนไขด้วย Xs ไปทางซ้ายโดยไม่มี Xs ไปทางขวา นำส่วนที่เหมือนกันมานับ - แล้วคุณจะมีความสุข!

ทุกอย่างควรจะออกมาสวยงาม:

X=4

ตอนนี้ มาทบทวนการตัดสินใจกันใหม่ ในตัวอย่างนี้ เราได้รับการช่วยเหลือจากการเปลี่ยนผ่านจาก รากที่สองถึง องศาที่มีเลขชี้กำลัง 1/2. ยิ่งกว่านั้นการเปลี่ยนแปลงที่ฉลาดแกมโกงเท่านั้นที่ช่วยให้เราทุกหนทุกแห่งเข้าถึงพื้นฐานเดียวกัน (deuce) ซึ่งช่วยสถานการณ์ได้! และถ้าไม่ใช่เพราะเรื่องนี้ เราจะมีโอกาสหยุดนิ่งตลอดไปและไม่เคยรับมือกับตัวอย่างนี้เลย ใช่ ...

ดังนั้นเราจึงไม่ละเลยคำแนะนำที่เป็นประโยชน์ต่อไป:

หากมีรากอยู่ในสมการเลขชี้กำลัง เราก็ย้ายจากรากหนึ่งเป็นยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน บ่อยครั้งที่การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวทำให้สถานการณ์ชัดเจนขึ้น

แน่นอน พลังลบและเศษส่วนนั้นซับซ้อนกว่าพลังธรรมชาติมากอยู่แล้ว อย่างน้อยก็ในแง่ของการรับรู้ทางสายตาและโดยเฉพาะอย่างยิ่งการจดจำจากขวาไปซ้าย!

เป็นที่ชัดเจนว่าการเพิ่มโดยตรง ตัวอย่างเช่น สองยกกำลัง -3 หรือสี่ยกกำลัง -3/2 ไม่ใช่ปัญหาใหญ่เช่นนั้น สำหรับผู้รู้)

แต่ไปยกตัวอย่างทันทีว่า

0,125 = 2 -3

หรือ

ที่นี่เท่านั้นกฎการฝึกฝนและประสบการณ์อันยาวนานใช่ และแน่นอน มุมมองที่ชัดเจน เลขชี้กำลังลบและเศษส่วนคืออะไรและยัง - คำแนะนำที่ใช้งานได้จริง! ใช่ ใช่ พวกนั้น เขียว.) ฉันหวังว่าพวกเขาจะยังช่วยให้คุณนำทางได้ดีขึ้นในทุกองศาที่หลากหลายและเพิ่มโอกาสในการประสบความสำเร็จของคุณอย่างมาก! ดังนั้นอย่าละเลยพวกเขา ไม่ใช่เพื่ออะไรที่ฉันเขียนด้วยสีเขียวบางครั้ง)

ในทางกลับกัน หากคุณกลายเป็น "คุณ" แม้จะมีพลังพิเศษเช่นลบและเศษส่วน ความเป็นไปได้ในการแก้สมการเลขชี้กำลังจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก และคุณจะสามารถจัดการกับสมการเลขชี้กำลังเกือบทุกประเภทได้แล้ว ถ้าไม่มี งั้น 80 เปอร์เซ็นต์ของสมการเลขชี้กำลังทั้งหมด - แน่นอน! ใช่ฉันไม่ได้ล้อเล่น!

ดังนั้นส่วนแรกของเราในการทำความคุ้นเคยกับสมการเลขชี้กำลังจึงได้ข้อสรุปเชิงตรรกะ และในระหว่างการออกกำลังกาย ฉันขอแนะนำให้แก้ไขเล็กน้อยด้วยตัวเอง)

แบบฝึกหัดที่ 1

เพื่อให้คำพูดของฉันเกี่ยวกับการถอดรหัสพลังลบและเศษส่วนไม่ไร้ประโยชน์ฉันขอแนะนำให้เล่นเกมเล็ก ๆ น้อย ๆ!

แสดงตัวเลขเป็นกำลังสอง:

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย):

เกิดขึ้น? ดี! จากนั้นเราก็ทำภารกิจการต่อสู้ - เราแก้สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายและสะดวกที่สุด!

ภารกิจที่ 2

แก้สมการ (คำตอบทั้งหมดเป็นระเบียบ!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

คำตอบ:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

เกิดขึ้น? แน่นอนง่ายกว่ามาก!

จากนั้นเราแก้เกมต่อไปนี้:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

คำตอบ:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

และตัวอย่างเหล่านี้เหลือ? ดี! คุณกำลังเติบโต! ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างเพิ่มเติมให้คุณทานเล่น:

คำตอบ:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

และตัดสินใจแล้ว? ดีครับ นับถือ! ฉันถอดหมวกออก) ดังนั้นบทเรียนจึงไม่ไร้ประโยชน์และระดับเริ่มต้นของการแก้สมการเลขชี้กำลังถือได้ว่าเป็นผู้เชี่ยวชาญที่ประสบความสำเร็จ ข้างหน้า - ระดับถัดไปและสมการที่ซับซ้อนมากขึ้น! และเทคนิคและวิธีการใหม่ๆ และตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐาน และความประหลาดใจใหม่) ทั้งหมดนี้ - ในบทเรียนหน้า!

มีบางอย่างไม่ทำงาน? เป็นไปได้มากว่าปัญหาอยู่ใน. หรือใน. หรือทั้งสองอย่างพร้อมกัน ที่นี่ฉันไม่มีกำลัง ฉันสามารถเสนอสิ่งเดียวเท่านั้น - อย่าเกียจคร้านและเดินผ่านลิงก์)

ยังมีต่อ.)

แก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

เกิดอะไรขึ้น สมการเลขชี้กำลัง? นี่คือสมการที่นิรนาม (x) และนิพจน์ที่อยู่ใน ตัวชี้วัดบางองศา และที่นั่นเท่านั้น! มันเป็นสิ่งสำคัญ

นั่นแหละ ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง:

3 x 2 x = 8 x + 3

บันทึก! ในฐานขององศา (ด้านล่าง) - เฉพาะตัวเลข. ใน ตัวชี้วัดองศา (ด้านบน) - การแสดงออกที่หลากหลายด้วย x หากทันใดนั้น x ปรากฏในสมการที่อื่นที่ไม่ใช่ตัวบ่งชี้ เช่น

นี่จะเป็นสมการแบบผสม สมการดังกล่าวไม่มีกฎเกณฑ์ที่ชัดเจนในการแก้ เราจะไม่พิจารณาพวกเขาในตอนนี้ ที่นี่เราจะจัดการกับ แก้สมการเลขชี้กำลังในรูปแบบที่บริสุทธิ์ที่สุด

อันที่จริง แม้แต่สมการเลขชี้กำลังล้วนๆ ก็ไม่สามารถแก้ได้อย่างชัดเจนเสมอไป แต่มีสมการเลขชี้กำลังบางประเภทที่สามารถและควรแก้ได้ เหล่านี้คือประเภทที่เราจะดู

คำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

เริ่มจากสิ่งที่พื้นฐานมาก ตัวอย่างเช่น:

แม้จะไม่มีทฤษฎีใด ๆ โดยการเลือกอย่างง่าย ๆ เป็นที่ชัดเจนว่า x = 2 ไม่มีอะไรมากใช่มั้ย!? ไม่มีม้วนค่า x อื่น ๆ ทีนี้มาดูคำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนนี้กัน:

เราทำอะไรลงไปบ้าง? อันที่จริงเราเพิ่งโยนก้นเดียวกันออก (สามเท่า) ไล่ออกให้หมด และสิ่งที่พอใจ ตีเครื่องหมาย!

แท้จริงแล้วถ้าในสมการเลขชี้กำลังทางซ้ายและทางขวาคือ เหมือนตัวเลขในระดับใด ๆ ตัวเลขเหล่านี้สามารถลบออกและเลขชี้กำลังเท่ากัน คณิตศาสตร์ช่วยให้ มันยังคงแก้สมการที่ง่ายกว่ามาก มันดีใช่มั้ย?)

อย่างไรก็ตาม ขอให้จำไว้อย่างแดกดัน: คุณจะถอดฐานออกได้ก็ต่อเมื่อเลขฐานอยู่ทางด้านซ้ายและด้านขวาอย่างยอดเยี่ยมเท่านั้น!โดยไม่มีเพื่อนบ้านและสัมประสิทธิ์ใดๆ สมมติว่าในสมการ:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , หรือ

ลบดับเบิ้ลไม่ได้!

เราเข้าใจสิ่งที่สำคัญที่สุดแล้ว วิธีเปลี่ยนจากนิพจน์เลขชี้กำลังที่ชั่วร้ายไปเป็นสมการที่ง่ายกว่า

“นี่มันยุคสมัยนี่นะ!” - คุณพูด. "ใครจะให้ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการควบคุมและการสอบ!"

บังคับให้ตกลง ไม่มีใครจะ แต่ตอนนี้ คุณรู้แล้วว่าจะต้องไปที่ใดเมื่อต้องแก้ตัวอย่างที่สับสน จำเป็นต้องระลึกไว้เสมอว่าเมื่อเลขฐานเดียวกันอยู่ทางซ้าย - ทางขวา แล้วทุกอย่างจะง่ายขึ้น อันที่จริง นี่คือความคลาสสิกของคณิตศาสตร์ เรานำตัวอย่างดั้งเดิมและแปลงเป็นที่ต้องการ เราจิตใจ. ตามกฎของคณิตศาสตร์แน่นอน

พิจารณาตัวอย่างที่ต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมเพื่อให้ง่ายที่สุด มาเรียกพวกเขาว่า สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย

คำตอบของสมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย ตัวอย่าง.

เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง กฎหลักคือ การกระทำที่มีอำนาจหากปราศจากความรู้เกี่ยวกับการกระทำเหล่านี้ ก็จะไม่มีอะไรเกิดขึ้น

ในการดำเนินการกับองศา เราต้องเพิ่มการสังเกตส่วนบุคคลและความเฉลียวฉลาด เราต้องการเลขฐานเดียวกันหรือไม่? ดังนั้นเราจึงมองหาพวกเขาในตัวอย่างในรูปแบบที่ชัดเจนหรือเข้ารหัส

เรามาดูกันว่าสิ่งนี้ทำได้อย่างไรในทางปฏิบัติ?

ให้เรายกตัวอย่าง:

2 2x - 8 x+1 = 0

แวบแรกที่ บริเวณพวกเขา... พวกเขาแตกต่างกัน! สองและแปด แต่มันเร็วเกินไปที่จะท้อแท้ ถึงเวลาต้องจำไว้

สองและแปดเป็นญาติกันในระดับปริญญา) ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะเขียน:

8 x+1 = (2 3) x+1

หากเราจำสูตรจากการกระทำที่มีอำนาจ:

(n) m = นาโนเมตร ,

โดยทั่วไปแล้วใช้งานได้ดี:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

ตัวอย่างเดิมมีลักษณะดังนี้:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

เราโอน 2 3 (x+1)ทางด้านขวา (ไม่มีใครยกเลิกการกระทำเบื้องต้นของคณิตศาสตร์!) เราได้รับ:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

นั่นคือทั้งหมดที่ การถอดฐาน:

เราแก้สัตว์ประหลาดตัวนี้และรับ

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง

ในตัวอย่างนี้ การรู้ถึงพลังของทั้งสองช่วยเราได้ เรา ระบุในแปด ผีสางที่เข้ารหัส เทคนิคนี้ (การเข้ารหัสฐานทั่วไปภายใต้ตัวเลขต่างกัน) เป็นเคล็ดลับที่นิยมอย่างมากในสมการเลขชี้กำลัง! ใช่ แม้แต่ในลอการิทึม ต้องสามารถรับรู้พลังของตัวเลขอื่น ๆ เป็นตัวเลขได้ นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง

ความจริงก็คือการเพิ่มจำนวนใด ๆ ให้กับกำลังใด ๆ นั้นไม่ใช่ปัญหา ทวีคูณ แม้กระทั่งบนแผ่นกระดาษ แค่นั้นเอง ตัวอย่างเช่น ทุกคนสามารถยกกำลัง 3 ยกกำลัง 5 ได้ 243 จะกลายเป็นถ้าคุณรู้ตารางการคูณ) แต่ในสมการเลขชี้กำลัง บ่อยครั้งไม่จำเป็นต้องยกกำลัง แต่ในทางกลับกัน ... เลขอะไร ขนาดไหนซ่อนอยู่หลังหมายเลข 243 หรือพูด 343... ไม่มีเครื่องคิดเลขจะช่วยคุณที่นี่

คุณต้องรู้พลังของตัวเลขบางตัวด้วยสายตา ครับ ... เรามาฝึกกันไหม?

กำหนดว่าอำนาจใดและตัวเลขใดเป็นตัวเลข:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

คำตอบ (แน่นอน!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

หากสังเกตดีๆ จะพบข้อเท็จจริงที่แปลกประหลาด มีคำตอบมากกว่าคำถาม! มันเกิดขึ้น... ตัวอย่างเช่น 2 6 , 4 3 , 8 2 คือ 64 ทั้งหมด

สมมติว่าคุณได้จดบันทึกข้อมูลเกี่ยวกับความคุ้นเคยกับตัวเลขแล้ว) ให้ฉันเตือนคุณด้วยว่าเราใช้สำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง ทั้งหมดนี้คลังความรู้ทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งจากชนชั้นกลางตอนล่าง คุณไม่ได้ตรงไปโรงเรียนมัธยมใช่ไหม

ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง การนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บมักจะช่วยได้มาก (สวัสดีถึงเกรด 7!) มาดูตัวอย่างกัน:

3 2x+4 -11 9 x = 210

และอีกครั้งกับลุคแรก - บนสนาม! ฐานขององศาต่างกัน ... สามและเก้า และเราต้องการให้พวกเขาเหมือนกัน ในกรณีนี้ความปรารถนาค่อนข้างเป็นไปได้!) เพราะ:

9 x = (3 2) x = 3 2x

ตามกฎเดียวกันสำหรับการกระทำที่มีองศา:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

เยี่ยมมาก คุณสามารถเขียน:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

เรายกตัวอย่างด้วยเหตุผลเดียวกัน แล้วยังไงต่อ!? สามไม่สามารถโยนออก ... ทางตัน?

ไม่เลย. จดจำกฎการตัดสินใจที่เป็นสากลและทรงพลังที่สุด ทั้งหมดงานคณิตศาสตร์:

ถ้าไม่รู้จะทำอะไร ก็ทำซะ!

คุณดูทุกอย่างถูกสร้างขึ้น)

อะไรอยู่ในสมการเลขชี้กำลังนี้ สามารถทำ? ใช่ ทางซ้ายขอวงเล็บโดยตรง! ปัจจัยทั่วไปของ 3 2x บ่งบอกถึงสิ่งนี้อย่างชัดเจน มาลองดูกัน แล้วเราจะเห็นว่า:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

ตัวอย่างดีขึ้นเรื่อยๆ!

เราจำได้ว่าเพื่อที่จะกำจัดฐาน เราจำเป็นต้องมีระดับบริสุทธิ์ โดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์ใดๆ เลข 70 กวนใจเรา เราหารสมการทั้งสองข้างด้วย 70 เราจะได้:

โอปป้า! ทุกอย่างเรียบร้อยดี!

นี่คือคำตอบสุดท้าย

อย่างไรก็ตาม มันเกิดขึ้นที่การแท็กซี่ออกไปบนพื้นที่เดียวกัน แต่การชำระบัญชีไม่ได้ สิ่งนี้เกิดขึ้นในสมการเลขชี้กำลังประเภทอื่น มาประเภทนี้กันเถอะ

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในการแก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.

มาแก้สมการกัน:

4 x - 3 2 x +2 = 0

ครั้งแรก - ตามปกติ ไปที่ฐานกันเถอะ ไปที่ผีสาง

4 x = (2 2) x = 2 2x

เราได้รับสมการ:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

และที่นี่เราจะแขวน เทคนิคก่อนหน้านี้จะไม่ทำงาน ไม่ว่าคุณจะหมุนอย่างไร เราจะต้องได้รับจากคลังแสงของวิธีที่มีประสิทธิภาพและหลากหลายวิธีอื่น ก็เรียกว่า การแทนที่ตัวแปร

สาระสำคัญของวิธีการนั้นง่ายอย่างน่าประหลาดใจ แทนที่จะเป็นหนึ่งไอคอนที่ซับซ้อน (ในกรณีของเราคือ 2 x) เราเขียนอีกอันหนึ่งที่ง่ายกว่า (เช่น t) การแทนที่ที่ดูเหมือนไร้ความหมายเช่นนี้นำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์!) ทุกอย่างชัดเจนและเข้าใจได้!

ดังนั้นให้

จากนั้น 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

เราแทนที่สมการกำลังทั้งหมดด้วย x ด้วย t:

มันเช้าแล้วเหรอ?) ยังไม่ลืมสมการกำลังสองเหรอ? เราแก้ไขผ่านการเลือกปฏิบัติ เราได้รับ:

ที่นี่สิ่งสำคัญคือไม่หยุดเมื่อมันเกิดขึ้น ... นี่ไม่ใช่คำตอบเราต้องการ x ไม่ใช่ t เรากลับไปที่ Xs นั่นคือ ทำการทดแทน ครั้งแรกสำหรับเสื้อ 1:

นั่นคือ,

พบหนึ่งราก เรากำลังมองหาอันที่สองจาก t 2:

อืม... ซ้าย 2 x ขวา 1... มีปัญหา? ใช่ไม่เลย! ก็เพียงพอแล้วที่จะจำ (จากการกระทำที่มีองศาใช่ ... ) ว่าความสามัคคีคือ ใด ๆตัวเลขเป็นศูนย์ ใด ๆ. สิ่งที่คุณต้องการ เราจัดให้ เราต้องการสอง วิธี:

ตอนนี้นั่นคือทั้งหมด มี 2 ราก:

นี่คือคำตอบ

ที่ การแก้สมการเลขชี้กำลังในตอนท้ายบางครั้งมีการแสดงออกที่น่าอึดอัดใจ พิมพ์:

จากเจ็ดคนผีผ่านระดับง่าย ๆ ไม่ทำงาน พวกเขาไม่ใช่ญาติ ... ฉันจะอยู่ที่นี่ได้อย่างไร บางคนอาจสับสน ... แต่ผู้ที่อ่านหัวข้อ "ลอการิทึมคืออะไร" ในไซต์นี้ ยิ้มเท่าที่จำเป็นและจดคำตอบที่ถูกต้องอย่างแน่นอน:

ไม่มีคำตอบดังกล่าวในงาน "B" ในการสอบ มีจำนวนเฉพาะที่ต้องการ แต่ในงาน "C" - ได้อย่างง่ายดาย

บทเรียนนี้แสดงตัวอย่างการแก้สมการเลขชี้กำลังที่พบบ่อยที่สุด มาเน้นที่ตัวหลักกัน

เคล็ดลับการปฏิบัติ:

1. ก่อนอื่นเรามาดูที่ บริเวณองศา มาดูกันว่าทำไม่ได้ เหมือน.ลองทำสิ่งนี้โดยใช้อย่างแข็งขัน การกระทำที่มีอำนาจอย่าลืมว่าตัวเลขที่ไม่มี x ก็เปลี่ยนเป็นยกกำลังได้เช่นกัน!

2. เราพยายามนำสมการเลขชี้กำลังมาอยู่ในรูปเมื่อด้านซ้ายและขวาเป็น เหมือนตัวเลขในระดับใดก็ได้ เราใช้ การกระทำที่มีอำนาจและ การแยกตัวประกอบสิ่งที่สามารถนับเป็นตัวเลขได้ - เรานับ

3. หากคำแนะนำที่สองไม่ได้ผล เราพยายามใช้การแทนที่ตัวแปร ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นสมการที่แก้ได้ง่าย บ่อยที่สุด - สี่เหลี่ยม หรือเศษส่วนซึ่งยังลดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

4. ในการแก้สมการเลขชี้กำลังได้สำเร็จ คุณต้องรู้องศาของตัวเลขบางตัว "จากการมอง"

ตามปกติ เมื่อสิ้นสุดบทเรียน คุณจะได้รับเชิญให้แก้ไขเล็กน้อย) ด้วยตัวคุณเอง จากง่ายไปซับซ้อน

แก้สมการเลขชี้กำลัง:

ยากขึ้น:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

ค้นหาผลิตภัณฑ์จากราก:

2 3-x + 2 x = 9

เกิดขึ้น?

ตัวอย่างที่ซับซ้อนที่สุด (แต่ในใจ ... ได้รับการแก้ไขแล้ว):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

อะไรน่าสนใจกว่ากัน? นี่เป็นตัวอย่างที่ไม่ดีสำหรับคุณ ค่อนข้างดึงยากขึ้น ฉันจะบอกใบ้ว่าในตัวอย่างนี้ ความเฉลียวฉลาดและกฎที่เป็นสากลที่สุดสำหรับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะช่วยประหยัดได้)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

ตัวอย่างง่ายกว่าเพื่อการผ่อนคลาย):

9 2 x - 4 3 x = 0

และสำหรับขนม หาผลรวมของรากของสมการ:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

ใช่ ๆ! นี่คือสมการแบบผสม! ซึ่งเราไม่ได้พิจารณาในบทเรียนนี้ และสิ่งที่ต้องพิจารณาพวกเขาจะต้องแก้ไข!) บทเรียนนี้ค่อนข้างเพียงพอที่จะแก้สมการ ต้องใช้ความฉลาด ... และใช่เกรดเจ็ดจะช่วยคุณได้ (นี่เป็นคำใบ้!)

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย คั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค):

หนึ่ง; 2; 3; 4; ไม่มีวิธีแก้ปัญหา 2; -2; -ห้า; 4; 0.

ทุกอย่างประสบความสำเร็จหรือไม่? ดี.

มีปัญหา? ไม่มีปัญหา! ในส่วนพิเศษ 555 สมการเลขชี้กำลังเหล่านี้ได้รับการแก้ไขพร้อมคำอธิบายโดยละเอียด อะไร ทำไม และทำไม และแน่นอนว่ายังมีข้อมูลที่มีค่าเพิ่มเติมเกี่ยวกับการทำงานกับสมการเลขชี้กำลังทุกประเภท ไม่เพียงแต่กับสิ่งเหล่านี้)

คำถามสุดท้ายที่น่าพิจารณา ในบทนี้ เราทำงานกับสมการเลขชี้กำลัง ทำไมฉันไม่พูดอะไรเกี่ยวกับ ODZ ที่นี่ในสมการนี่เป็นสิ่งสำคัญมาก อย่างไรก็ตาม ...

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

วิธีแก้สมการเลขชี้กำลัง

สมการเลขชี้กำลังที่ไม่มีคำตอบ

จำนวนบวกยกกำลังใด ๆ จะยังคงเป็นจำนวนบวก

สมการเลขชี้กำลังที่มีฐานต่างกัน

สมการเลขชี้กำลัง คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)

สมการเอ็กซ์โพซิชั่นแนล ระดับเฉลี่ย

สมการเอ็กซ์โพซิชั่นแนล ระดับสูง

สมการเอ็กซ์โพซิชั่นแนล คำอธิบายโดยย่อและสูตรพื้นฐาน

แก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.

คำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

คำตอบของสมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย ตัวอย่าง.

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในการแก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ทางเลือกของบรรณาธิการ