ความแตกต่างของฟังก์ชั่น ความต่อเนื่องของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้

ทฤษฎีบท.ถ้าฟังก์ชันถึงจุดหนึ่ง x = x 0 มีอนุพันธ์ (จำกัด) , ที่

1) การเพิ่มฟังก์ชันสามารถแสดงเป็น

หรือเรียกสั้น ๆ ว่า , ที่ไหน กเป็นปริมาณขึ้นอยู่กับง xและพุ่งไปที่ศูนย์พร้อมกับมัน นั่นคือ ;

2) ฟังก์ชันจำเป็นต้องต่อเนื่อง ณ จุดนี้

การพิสูจน์. 1) ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์ . ใช้ทฤษฎีบทในการแทนฟังก์ชันที่มีลิมิตเป็นผลรวมของลิมิตนี้กับลิมิตเล็ก เราเขียน

, ที่ไหน .

กำหนดจากที่นี่ง ยเรามาถึงสูตร (3.6)

2) เพื่อพิสูจน์ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ให้พิจารณานิพจน์ (3.6) ที่ดี x®0 ผลบวกทางด้านขวาของ (3.6) หายไป เพราะฉะนั้น, หรือ ซึ่งหมายถึงฟังก์ชันที่จุด x 0 ต่อเนื่อง

จากทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนดจะต่อเนื่องที่จุดนั้น อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่งๆ ไม่ได้มีอนุพันธ์ที่จุดนั้นเสมอไป ใช่ตรงจุด x 0 = 1 ฟังก์ชัน y=|x– 1| ต่อเนื่อง แต่ไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนี้ ซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขนี้จำเป็นเท่านั้น

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ทฤษฎีบท.ให้ 1) ฟังก์ชัน วี=เจ(x) มีบางจุด xอนุพันธ์ , 2) ฟังก์ชัน ย=ฉ(โวลต์) มีจุดที่สอดคล้องกัน โวลต์อนุพันธ์ แล้วฟังก์ชันเชิงซ้อน ย = ฉ(เจ(x)) ณ จุดดังกล่าว เอ็กซ์จะมีอนุพันธ์เท่ากับผลคูณของฟังก์ชันอนุพันธ์ด้วย ฉ(โวลต์) และ เจ(x): [ฉ(เจ(x)) ]" = หรือสั้นกว่านั้น

การพิสูจน์.มาให้ เอ็กซ์เพิ่มขึ้นโดยพลการΔ เอ็กซ์; ให้ Δ โวลต์เป็นการเพิ่มฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน วี=เจ(x) และสุดท้าย Δ ที่- การเพิ่มฟังก์ชั่น ย=ฉ(โวลต์) เกิดจากการเพิ่มขึ้น Δ โวลต์. ให้เราใช้ความสัมพันธ์ (3.6) ซึ่งโดยการแทนที่ xบน โวลต์, เขียนใหม่ในรูปแบบ (กขึ้นอยู่กับ Δ โวลต์และมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ด้วย หารเทอมต่อเทอมเป็น D x, เราได้รับ

ถ้า ง xมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ตามข้อ (3.6) (โดยมีเงื่อนไขว่า ย = ว) จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์และ Δ โวลต์แล้วอย่างที่เราทราบ Δ ขึ้นอยู่กับ โวลต์ขนาด ก. ดังนั้นจึงมีขีดจำกัด

ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่ต้องการ

ดังนั้น, อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกและอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน

กรณีของฟังก์ชันที่ซับซ้อนซึ่งเป็นผลมาจากการซ้อนทับหลายตำแหน่งจะหมดไปโดยการใช้กฎต่อเนื่องกัน (3.7) ดังนั้นหาก ย = ฉ(ยู), คุณ = เจ(โวลต์), วี = ย(x), ที่

ตัวอย่าง. 1. ให้ y=บันทึก กบาป xกล่าวอีกนัยหนึ่ง y=บันทึก ก, ที่ไหน วี=บาป x. ตามกฎ (3.7)

2. , เช่น ย = สหภาพยุโรป,คุณ = โวลต์ 2 , วี=บาป x.ตามกฎ (3.8)

1.7. อนุพันธ์เป็นแบบเลขชี้กำลัง– ฟังก์ชั่นพลังงาน

อนุญาต คุณ = คุณ(x) > 0 และ วี=วี(x) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ ณ จุดคงที่ x. ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน y = คุณ โวลต์. เราได้รับลอการิทึมของความเท่าเทียมกันนี้: ln y=โวลต์ล ยู.

ให้เราแยกแยะความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านด้วยความเคารพ x:

จากที่นี่ หรือ

ดังนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล-กำลังประกอบด้วยสองพจน์: พจน์แรกจะได้มา หากเราถือว่าเมื่อหาอนุพันธ์ และมีฟังก์ชั่นจาก เอ็กซ์, ก โวลต์เป็นค่าคงที่ (เช่น พิจารณา คุณ vเป็นฟังก์ชันพลังงาน); เทอมที่สองได้มาจากการสันนิษฐานว่า โวลต์มีฟังก์ชั่นจาก เอ็กซ์, ก คุณ = คงที่(คือพิจารณา คุณ vเป็นฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล)

ตัวอย่าง. 1. ถ้า y = x tg xแล้วสมมติ คุณ = x,v = tg xตามที่ (3.9) เรามี

= tg x x tg x – 1 + x tg xล xวินาทีที่ 2 x.

เทคนิคที่ใช้ในกรณีนี้เพื่อค้นหาอนุพันธ์และประกอบด้วยการค้นหาอนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันที่กำลังพิจารณาอยู่ก่อนแล้วใช้กันอย่างแพร่หลายในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เมื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฟังก์ชันเหล่านี้จะถูกแปลงเป็นลอการิทึมก่อน จากนั้นจึงจาก ความเท่าเทียมกันที่ได้รับหลังจากแยกความแตกต่างของลอการิทึมของฟังก์ชัน กำหนดฟังก์ชันอนุพันธ์ การดำเนินการดังกล่าวเรียกว่า ความแตกต่างของลอการิทึม

2. จำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เราพบลอการิทึม:

ล y= 2ln( x + 1) + ln( x– 1) – 3 ล้าน( x + 4) – x.

เราแยกความแตกต่างของความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายทั้งสองส่วน:

คูณด้วย ที่และทดแทน แทน ที่, เราได้รับ.

การทำงาน y = ฉ(x)เรียกว่า ความแตกต่างในบางจุด x 0 ถ้ามีอนุพันธ์ ณ จุดนี้ เช่น ถ้าขีดจำกัดของความสัมพันธ์มีอยู่และจำกัด

หากฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ในทุกจุดของบางเซกเมนต์ [ ก; ข] หรือช่วงเวลา ( ก; ข) แล้วพวกเขาก็บอกว่ามัน ความแตกต่างในส่วนของ [ ก; ข] หรือ ตามลำดับ ในช่วงเวลา ( ก; ข).

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ใช้ได้ ซึ่งสร้างการเชื่อมต่อระหว่างฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอตและฟังก์ชันต่อเนื่อง

ทฤษฎีบท.ถ้าฟังก์ชั่น y = ฉ(x)แตกต่างได้ในบางจุด x0แล้วมันต่อเนื่องมาถึงจุดนี้

ดังนั้น ความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงแสดงถึงความต่อเนื่องของมัน

การพิสูจน์ . ถ้า แล้ว

โดยที่ α เป็นค่าที่น้อยมาก เช่น ปริมาณพุ่งเป็นศูนย์ที่ Δ x→0. แต่แล้ว

Δ ย=ฉ "(x0) Δ x+αΔ x=> Δ ย→0 ที่ Δ x→0 เช่น ฉ(x) - ฉ(x0)→0 ที่ x→x 0 ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชัน ฉ(x)ต่อเนื่องตรงจุด x 0 . คิว.อี.ดี.

ดังนั้น ณ จุดที่ไม่ต่อเนื่อง ฟังก์ชันจึงไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ข้อความตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง: มีฟังก์ชันต่อเนื่องที่หาอนุพันธ์ไม่ได้ในบางจุด (นั่นคือ ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่มีอนุพันธ์)

พิจารณาจุดต่างๆ ในรูป ก, ข, ค.

ที่จุด กที่ Δ x→0 ความสัมพันธ์ไม่มีขีดจำกัด (เนื่องจากขีดจำกัดด้านเดียวแตกต่างกันสำหรับ Δ x→0-0 และ ∆ x→0+0). ที่จุด กกราฟไม่มีเส้นสัมผัสที่กำหนดไว้ แต่มีเส้นสัมผัสด้านเดียวที่แตกต่างกันสองเส้นที่มีความชัน ถึง 1 และ ถึง 2. จุดประเภทนี้เรียกว่าจุดมุม

ที่จุด ขที่ Δ x→0 อัตราส่วนเป็นเครื่องหมายคงที่มากค่ามหาศาล ฟังก์ชันมีอนุพันธ์ที่ไม่สิ้นสุด ณ จุดนี้ กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวตั้ง ประเภทจุด - "จุดเปลี่ยน" พร้อมเส้นสัมผัสแนวตั้ง

ที่จุด คอนุพันธ์ด้านเดียวคือสัญญาณที่แตกต่างกันจำนวนมาก ณ จุดนี้ กราฟมีเส้นสัมผัสแนวตั้งสองเส้นที่ผสานกัน ประเภท - "cusp" ที่มีเส้นสัมผัสแนวตั้ง - กรณีพิเศษของจุดมุม

ตัวอย่าง.

1. พิจารณาฟังก์ชัน y=|x|. ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องที่จุด x= 0 เนื่องจาก .

ให้เราแสดงว่า ณ จุดนี้ไม่มีอนุพันธ์

ฉ(0+Δ x) = ฉ(Δ x) = |Δ x|. ดังนั้น Δ ย = ฉ(Δ x) - ฉ(0) = |Δ x|

แต่สำหรับ Δ x< 0 (т.е. при Δxไปทางซ้าย 0)

และที่ Δ x > 0

ดังนั้นอัตราส่วนที่ Δ x→ 0 ทางขวาและทางซ้ายมีลิมิตต่างกัน ซึ่งหมายความว่าความสัมพันธ์ไม่มีลิมิต เช่น อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=|x| ที่จุด x= 0 ไม่มีอยู่ ในทางเรขาคณิต หมายความว่า ณ จุดนั้น x= 0 "เส้นโค้ง" นี้ไม่มีเส้นสัมผัสที่แน่นอน (มีสองเส้นที่จุดนี้)

2. ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องบนเส้นจริงทั้งหมด ให้เราดูว่าฟังก์ชันนี้มีอนุพันธ์อยู่ที่ x= 0.

ดังนั้นฟังก์ชั่นที่พิจารณาจึงไม่สามารถแยกแยะได้ ณ จุดนั้น x= 0 เส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดนี้สร้างมุม p/2 กับแกน x นั่นคือ ตรงกับแกน โอ๊ย.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันมูลฐาน.

1.
y = xn .ถ้า นเป็นจำนวนเต็มบวก โดยใช้สูตรทวินามของนิวตัน:

(ก + ข) น = ก n+ n ก n-1 ข + 1/2?n(น - 1)ก n-2? ข 2 + 1/(2?3)?n(n - 1)(n - 2)a n-3 b 3 +…+ b n ,

สามารถพิสูจน์ได้ว่า

ดังนั้นหาก xได้รับเพิ่มขึ้น Δ x, ที่ ฉ(x+Δ x) = (x + Δ x)นและด้วยเหตุนี้

สูตร 3 และ 5 พิสูจน์ด้วยตัวคุณเอง

ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) มีความแตกต่างกันในบางจุด x = x 0 แล้วมันต่อเนื่องที่จุดนี้

ดังนั้น ณ จุดที่ไม่ต่อเนื่อง ฟังก์ชันจึงไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ข้อสรุปที่ตรงกันข้ามเป็นเท็จ เช่น จากข้อเท็จจริงที่ว่า ณ จุดหนึ่ง x = x 0 ฟังก์ชัน ย = ฉ(x) ต่อเนื่องกัน มันไม่เป็นไปตามที่มันหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน ย = |x| อย่างต่อเนื่องสำหรับทุกคน x (–< เอ็กซ์ < ), но в точке x= 0 ไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนี้ กราฟไม่มีเส้นสัมผัสใดๆ มีเส้นสัมผัสด้านขวาและเส้นสัมผัสด้านซ้าย แต่ไม่ตรงกัน

21 ค้นหากฎ การผลิต จำนวนเงิน

กฎข้อที่ 1หากฟังก์ชัน y \u003d f (x) และ y \u003d g (x) มีอนุพันธ์ที่จุด x ดังนั้นผลรวมของพวกมันก็มีอนุพันธ์ที่จุด x และอนุพันธ์ของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของ อนุพันธ์:
(f (x) + 8 (x))" \u003d f (x) + (x).
ในทางปฏิบัติ กฎนี้กำหนดขึ้นอย่างสั้น: อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์
ตัวอย่างเช่น,
กฎข้อที่ 2หากฟังก์ชัน y \u003d f (x) มีอนุพันธ์ที่จุด x ดังนั้นฟังก์ชัน y \u003d kf (x) จะมีอนุพันธ์ที่จุด x และ:

ในทางปฏิบัติ กฎนี้ถูกกำหนดขึ้นด้วยวิธีที่สั้นกว่า: สามารถนำปัจจัยค่าคงที่ออกจากสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น,

กฎข้อที่ 3หากฟังก์ชัน y \u003d f (x) และ y \u003d g (x) มีอนุพันธ์ที่จุด x ดังนั้นผลิตภัณฑ์ของพวกมันก็มีอนุพันธ์ที่จุด x ด้วย และ:

ในทางปฏิบัติ กฎนี้มีการกำหนดดังนี้: อนุพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของสองเทอม เทอมแรกเป็นผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่หนึ่งและฟังก์ชันที่สอง และเทอมที่สองคือผลคูณของฟังก์ชันที่หนึ่งและอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง
ตัวอย่างเช่น:
กฎข้อที่ 4หากฟังก์ชัน y \u003d f (x) และ y \u003d g (x) มีอนุพันธ์ ณ จุดนั้น และผลหารมีอนุพันธ์ ณ จุด x นอกจากนี้:

ตารางอนุพันธ์เชิงซ้อน

22 ความแตกต่าง ฉุน ที่จุด

การทำงาน ย=ฉ(x) เรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง x 0 ถ้าเพิ่มขึ้น Δ ย(x 0,Δ x) สามารถแสดงเป็น

Δ ย(x 0,Δ x)=กΔ x+โอ(Δ x).

ส่วนเชิงเส้นหลัก กΔ xเพิ่มขึ้น Δ ยเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันนี้ที่จุด x 0 ที่สอดคล้องกับการเพิ่ม Δ xและแสดงด้วยสัญลักษณ์ ตาย(x 0,Δ x).

เพื่อให้ฟังก์ชั่น ย=ฉ(x) เป็นความแตกต่างที่จุด x 0 จำเป็นและเพียงพอที่อนุพันธ์ ฉ′( x 0) ในขณะที่ความเท่าเทียมกัน ก=ฉ′( x 0).

นิพจน์สำหรับส่วนต่างมีรูปแบบ

ตาย(x 0,ดีเอ็กซ์)=ฉ′( x 0)ดีเอ็กซ์,

ที่ไหน ดีเอ็กซ์=Δ x.

23 ผลิตภัณฑ์ ความแตกต่าง ฟังก์ชั่น

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยพาราเมตริก

อนุญาต ย - ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน x, เช่น. ย = ฉ(ยู), ยู = กรัม(x), หรือ

ถ้า กรัม(x) และ ฉ(ยู) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของการโต้แย้งตามลำดับที่จุด xและ ยู = กรัม(x), จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อนก็สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดนั้นเช่นกัน x และหาได้จากสูตร

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยพาราเมตริก

24 ผลิตภัณฑ์และความแตกต่าง การสั่งซื้อสินค้าที่สูงขึ้น

ให้อนุพันธ์อันดับ th ถูกกำหนดในพื้นที่ใกล้เคียงของจุดและหาอนุพันธ์ได้ แล้ว

ถ้าฟังก์ชันมีอนุพันธ์ย่อยที่เกี่ยวกับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งในโดเมน D บางตัว อนุพันธ์ที่มีชื่อซึ่งเป็นฟังก์ชันของ สามารถมีอนุพันธ์ย่อยที่เกี่ยวกับตัวแปรเดียวกันหรือตัวแปรอื่นๆ ในบางจุด สำหรับฟังก์ชันดั้งเดิม อนุพันธ์เหล่านี้จะเป็นอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง (หรืออนุพันธ์ย่อยอันดับสอง)

อนุพันธ์ย่อยของลำดับที่สองหรือสูงกว่าที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรที่แตกต่างกันเรียกว่าอนุพันธ์บางส่วนแบบผสม ตัวอย่างเช่น,

สั่งซื้อส่วนต่าง น, ที่ไหน n > 1ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียล ณ จุดนี้ของดิฟเฟอเรนเชียลลำดับ (น - 1), นั่นคือ

สำหรับฟังก์ชันที่ขึ้นกับตัวแปรเดียว ดิฟเฟอเรนเชียลที่สองและสามจะมีลักษณะดังนี้:

จากนี้เราสามารถหารูปแบบทั่วไปของดิฟเฟอเรนเชียลได้ น-th ลำดับจากฟังก์ชัน :

25 ทฤษฎีบทของ Fermat, Rolle, Langrage

โวลต์ ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์:ให้กำหนดฟังก์ชั่นและถึงค่าสูงสุดและต่ำสุด ( มและ ม) ในบางส่วนของ หากมีอนุพันธ์ใน , ก็จำเป็นต้องเท่ากับ 0

หลักฐาน: มี เป็นไปได้สองกรณี:

1) , => , => .

2) , => , => .

จาก 1) และ 2) จะได้ว่า

โวลต์ ทฤษฎีบทของ Rolle (เกี่ยวกับรากของอนุพันธ์):ให้ฟังก์ชันเปิดต่อเนื่องและเปิดดิฟเฟอเรนติเอตได้และรับค่าเดียวกันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์: . จากนั้นมีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดใน ซึ่งอนุพันธ์คือ

v พิสูจน์: เข้าถึงอย่างต่อเนื่อง มและ ม. เป็นไปได้สองกรณี:

2) ค่าที่มากที่สุดสามารถทำได้ภายในช่วงเวลาตามทฤษฎีบทของแฟร์มาต์

โวลต์ ทฤษฎีบทของแลงเกรจ (เกี่ยวกับการเพิ่มขึ้นอย่างจำกัด):ให้ฟังก์ชันเปิดต่อเนื่องและเปิดดิฟเฟอเรนติเอตได้ จากนั้นมีอย่างน้อยหนึ่งรายการที่มีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

บทพิสูจน์: มาแนะนำฟังก์ชันกัน (เปิดต่อเนื่องและเปิดต่างกันได้)

ฟังก์ชันเป็นไปตามทฤษฎีบทของ Rolle ซึ่ง: , , , .

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดถ้า

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ลดลงถ้า

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ลดลงอย่างเคร่งครัดถ้า

เนื้อหาของบทความ

อนุพันธ์-อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย = ฉ(x) ที่กำหนดไว้ในบางช่วงเวลา ( ก, ข) ที่จุด xช่วงเวลานี้เรียกว่าขีด จำกัด ซึ่งอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันมีแนวโน้ม ฉที่จุดนั้น การเพิ่มอาร์กิวเมนต์ที่สอดคล้องกันเมื่อการอาร์กิวเมนต์เข้าใกล้ศูนย์

อนุพันธ์มักจะแสดงดังนี้:

สัญกรณ์อื่น ๆ ยังใช้กันอย่างแพร่หลาย:

ความเร็วทันที

ปล่อยให้ประเด็น มเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ระยะทาง สจุดเคลื่อนที่นับจากตำแหน่งเริ่มต้นบางจุด ม 0 ขึ้นอยู่กับเวลา ที, เช่น. สเป็นฟังก์ชันของเวลา ที: ส= ฉ(ที). ปล่อยให้ถึงจุดหนึ่ง ทีจุดขยับ มอยู่ในระยะไกล สจากตำแหน่งเริ่มต้น ม 0 และในช่วงเวลาถัดไป ที+ ง ทีอยู่ในตำแหน่ง ม 1 - ตามระยะทาง ส+ ง สจากตำแหน่งเริ่มต้น ( ดูรูป.).

ดังนั้น ในช่วงเวลาหนึ่ง D ทีระยะทาง สเปลี่ยนตามค่า D ส. ในกรณีนี้ เรากล่าวว่าในช่วงเวลา D ทีขนาด สได้รับเพิ่มขึ้น D ส.

ความเร็วเฉลี่ยไม่สามารถระบุลักษณะความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดได้อย่างแม่นยำในทุกกรณี มในเวลานั้น ที. ตัวอย่างเช่น ถ้าร่างกายอยู่ที่จุดเริ่มต้นของช่วงเวลา D ทีเคลื่อนที่เร็วมากและในตอนท้ายช้ามาก ความเร็วเฉลี่ยจะไม่สามารถสะท้อนคุณลักษณะที่ระบุของการเคลื่อนที่ของจุดและให้แนวคิดเกี่ยวกับความเร็วที่แท้จริงของการเคลื่อนที่ในขณะนั้น ที. หากต้องการแสดงความเร็วจริงอย่างแม่นยำมากขึ้นโดยใช้ความเร็วเฉลี่ย คุณต้องใช้ระยะเวลา D น้อยลง ที. มันแสดงลักษณะความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดได้อย่างสมบูรณ์ที่สุดในขณะนั้น ทีขีดจำกัดที่ความเร็วเฉลี่ยมีแนวโน้มที่ D ที® 0. ขีดจำกัดนี้เรียกว่าความเร็วของการเคลื่อนที่ ณ ช่วงเวลาหนึ่ง:

ดังนั้นความเร็วของการเคลื่อนที่ในช่วงเวลาที่กำหนดคือขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของเส้นทาง D สถึงเวลาที่เพิ่มขึ้น D ทีเมื่อเวลาที่เพิ่มขึ้นมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ เพราะ

ค่าทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน

การสร้างแทนเจนต์เป็นหนึ่งในปัญหาที่นำไปสู่การเกิดแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ งานตีพิมพ์ครั้งแรกเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ เขียนโดยไลบ์นิซ มีชื่อว่า วิธีใหม่ของค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด รวมทั้งแทนเจนต์ ซึ่งทั้งปริมาณเศษส่วนหรือจำนวนอตรรกยะไม่เป็นอุปสรรค และเป็นแคลคูลัสชนิดพิเศษสำหรับสิ่งนี้.

ให้เส้นโค้งเป็นกราฟของฟังก์ชัน ย =ฉ(x) ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ( ซม. ข้าว.).

สำหรับค่าบางอย่าง xเรื่องฟังก์ชั่น ย =ฉ(x). ค่าเหล่านี้ xและ ยชี้ไปที่เส้นโค้ง ม 0(x, ย). ถ้าทะเลาะกัน xให้ เพิ่มขึ้น D xแล้วค่าใหม่ของอาร์กิวเมนต์ x+ ง xสอดคล้องกับค่าใหม่ของฟังก์ชัน y+ง ย = ฉ(x + ง x). จุดที่สอดคล้องกันของเส้นโค้งจะเป็นจุด ม 1(x+ ง x,ย+ ง ย). หากเราวาดเส้นแบ่ง ม 0ม 1 และแสดงโดย j มุมที่เกิดจากรอยตัดที่มีทิศทางแกนบวก วัวจะเห็นได้โดยตรงจากรูปว่า

ถ้าตอนนี้ D xมีแนวโน้มเป็นศูนย์ จากนั้นจุด ม 1 เคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งเข้าใกล้จุด ม 0 และมุม เจ การเปลี่ยนแปลงกับการเปลี่ยนแปลง ง x. ที่ ดีเอ็กซ์® 0 มุม j มีแนวโน้มที่จะจำกัด a และเส้นผ่านจุด ม 0 และองค์ประกอบที่มีทิศทางบวกของแกน abscissa มุม a จะเป็นเส้นสัมผัสที่ต้องการ ความลาดชัน:

เพราะฉะนั้น, ฉ´( x) = tga

เหล่านั้น. มูลค่าอนุพันธ์ ฉ´( x) สำหรับค่าที่กำหนดของอาร์กิวเมนต์ xเท่ากับแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ที่จุดที่สอดคล้องกัน ม 0(x,ย) ที่มีทิศทางแกนบวก วัว.

ความแตกต่างของฟังก์ชั่น

คำนิยาม. ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) มีอนุพันธ์ที่จุด x = x 0 แสดงว่าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ที่จุดนี้

ความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ ทฤษฎีบท.

ดังนั้น ณ จุดที่ไม่ต่อเนื่อง ฟังก์ชันจึงไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ข้อสรุปที่ตรงกันข้ามเป็นเท็จ เช่น จากข้อเท็จจริงที่ว่า ณ จุดหนึ่ง x = x 0 ฟังก์ชัน ย = ฉ(x) ต่อเนื่องกัน มันไม่เป็นไปตามที่มันหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน ย = |x| อย่างต่อเนื่องสำหรับทุกคน x(–Ґ x x = 0 ไม่มีอนุพันธ์ ไม่มีเส้นสัมผัสกับกราฟ ณ จุดนี้ มีเส้นสัมผัสด้านขวาและเส้นสัมผัสด้านซ้าย แต่มันไม่ตรงกัน

ทฤษฎีบทบางส่วนเกี่ยวกับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรากของอนุพันธ์ (ทฤษฎีบทของ Roll)ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) เป็นช่วงเวลาต่อเนื่องกัน [ก,ข] สามารถแยกความแตกต่างได้ที่จุดภายในทั้งหมดของส่วนนี้และส่วนท้าย x = กและ x = ขหายไป ( ฉ(ก) = ฉ(ข) = 0) จากนั้นภายในส่วน [ ก,ข] มีอย่างน้อยหนึ่งจุด x= กับ, ก c b ซึ่งอนุพันธ์ ฉў( x) หายไป เช่น ฉў( ค) = 0.

ทฤษฎีบทการเพิ่มจำกัด (ทฤษฎีบทของลากรองจ์)ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) ต่อเนื่องกับส่วน [ ก, ข] และสามารถแยกความแตกต่างได้ที่จุดภายในทั้งหมดของส่วนนี้ จากนั้นภายในส่วน [ ก, ข] มีอย่างน้อยหนึ่งจุด กับ, กค ข นั้น

ฉ(ข) – ฉ(ก) = ฉў( ค)(ข– ก).

ทฤษฎีบทว่าด้วยอัตราส่วนที่เพิ่มขึ้นของสองฟังก์ชัน (ทฤษฎีบทของ Cauchy)ถ้า ฉ(x) และ กรัม(x) เป็นสองฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์ [ก, ข] และแยกความแตกต่างได้ที่จุดภายในทั้งหมดของส่วนนี้ และ กรัมў( x) จะไม่หายไปไหนภายในเซกเมนต์นี้ จากนั้นจึงอยู่ในเซกเมนต์ [ ก, ข] มีประเด็นดังกล่าว x = กับ, กค ข นั้น

อนุพันธ์ของคำสั่งต่างๆ

ให้ฟังก์ชั่น ย =ฉ(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ในบางช่วงเวลา [ ก, ข]. ค่าอนุพันธ์ ฉ ў( x) โดยทั่วไปขึ้นอยู่กับ x, เช่น. อนุพันธ์ ฉ ў( x) ยังเป็นฟังก์ชันของ x. เมื่อฟังก์ชันนี้ถูกทำให้แตกต่าง จะได้สิ่งที่เรียกว่าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน ฉ(x) ซึ่งแสดงว่า ฉ ўў ( x).

อนุพันธ์ n-ลำดับของฟังก์ชัน ฉ(x) เรียกว่าอนุพันธ์ (ของลำดับที่หนึ่ง) ของอนุพันธ์ n- 1- th และแสดงด้วยสัญลักษณ์ ย(น) = (ย(น– 1))ў.

ส่วนต่างของคำสั่งซื้อต่างๆ

ความแตกต่างของฟังก์ชัน ย = ฉ(x), ที่ไหน xเป็นตัวแปรอิสระ คือ ตาย = ฉ ў( x)ดีเอ็กซ์, ฟังก์ชั่นบางอย่างจาก x, แต่จาก xมีเพียงปัจจัยแรกเท่านั้นที่สามารถพึ่งพาได้ ฉ ў( x) ในขณะที่ปัจจัยที่สอง ( ดีเอ็กซ์) คือส่วนเพิ่มของตัวแปรอิสระ xและไม่ขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรนี้ เพราะ ตายมีฟังก์ชั่นจาก xจากนั้นเราสามารถกำหนดความแตกต่างของฟังก์ชันนี้ได้ ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลอันดับสองหรืออันดับสองของฟังก์ชันนี้และแสดงแทน ง 2ย:

ง(ดีเอ็กซ์) = ง 2ย = ฉ ўў( x)(ดีเอ็กซ์) 2 .

ดิฟเฟอเรนเชียล n-คำสั่งนี้เรียกว่าส่วนต่างแรกของส่วนต่าง n- 1- คำสั่ง:

d n y = ง(d n–1ย) = ฉ(น)(x)ดีเอ็กซ์(น).

อนุพันธ์ส่วนบุคคล

หากฟังก์ชันไม่ได้ขึ้นอยู่กับข้อใดข้อหนึ่ง แต่ขึ้นอยู่กับหลายข้อโต้แย้ง x ฉัน(ฉันเปลี่ยนจาก 1 เป็น น,ฉัน= 1, 2,… น),ฉ(x 1,x 2,… x n) จากนั้นในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์จะมีการนำแนวคิดของอนุพันธ์ย่อยมาใช้ ซึ่งแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์เพียงตัวเดียว ตัวอย่างเช่น x ฉัน. อนุพันธ์ย่อยของอันดับ 1 เทียบกับ x ฉันถูกกำหนดให้เป็นอนุพันธ์สามัญ จะถือว่าอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดยกเว้น x ฉัน, ให้ค่าคงที่. สำหรับอนุพันธ์ย่อย เราแนะนำสัญกรณ์

อนุพันธ์ย่อยของลำดับที่ 1 ที่กำหนดในลักษณะนี้ (เป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เดียวกัน) ก็สามารถมีอนุพันธ์ย่อยได้เช่นกัน อนุพันธ์ย่อยเหล่านี้เป็นอนุพันธ์ย่อยของลำดับที่สอง เป็นต้น เมื่อพิจารณาถึงข้อโต้แย้งที่แตกต่างกัน อนุพันธ์ดังกล่าวเรียกว่าแบบผสม อนุพันธ์แบบต่อเนื่องที่มีลำดับเดียวกันไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของความแตกต่างและมีค่าเท่ากัน

แอนนา ชูไกโนวา

ปัญหาความเร็วของจุดเคลื่อนที่

ปล่อยให้เป็นกฎของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของจุดวัสดุ แสดงตามเส้นทางที่เดินทางตามเวลา และเส้นทางที่เดินทางตามเวลา จากนั้น เมื่อเวลาผ่านไป จุดจะครอบคลุมเส้นทางเท่ากับ: อัตราส่วนนี้เรียกว่าความเร็วเฉลี่ยของจุดในช่วงเวลาตั้งแต่ ถึง ยิ่งน้อย เช่น ยิ่งช่วงเวลาสั้นลงเท่าใด ความเร็วเฉลี่ยก็จะยิ่งแสดงลักษณะการเคลื่อนที่ของจุด ณ ช่วงเวลานั้นๆ ได้ดีเท่านั้น ดังนั้นจึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จะแนะนำแนวคิดของความเร็ว ณ ช่วงเวลาหนึ่ง โดยกำหนดให้เป็นขีดจำกัดของความเร็วเฉลี่ยสำหรับช่วงเวลาตั้งแต่ถึงเมื่อ:

ค่านี้เรียกว่าความเร็วชั่วขณะของจุด ณ ช่วงเวลาหนึ่ง

ปัญหาของการสัมผัสกับเส้นโค้งที่กำหนด

ให้เส้นโค้งต่อเนื่องบนระนาบโดยสมการ จำเป็นต้องวาดเส้นสัมผัสที่ไม่ใช่แนวตั้งกับเส้นโค้งที่กำหนด ณ จุดนั้น . เนื่องจากมีการกำหนดจุดสัมผัส เพื่อแก้ปัญหาจึงจำเป็นต้องค้นหาความชันของเส้นสัมผัส จากรูปทรงเรขาคณิตเป็นที่ทราบกันดีว่า มุมเอียงของเส้นสัมผัสกับทิศทางบวกของแกนอยู่ที่ไหน (ดูรูปที่) ผ่านจุด และ วาดซีแคนต์ โดยที่มุมที่เกิดจากซีแคนต์มีทิศทางเป็นบวกของแกน จะเห็นได้จากรูปที่ , โดยที่ . ความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่กำหนด ณ จุดหนึ่งสามารถหาได้จากคำจำกัดความต่อไปนี้

เส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดหนึ่งคือตำแหน่งจำกัดของเส้นตัดเมื่อจุดนั้นพุ่งไปยังจุด . จึงเป็นไปตามนั้น .

นิยามอนุพันธ์

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นในการแก้ปัญหาที่กล่าวถึงข้างต้นนั้นเหมือนกัน ให้เราอธิบายสาระสำคัญในการวิเคราะห์ของการดำเนินการนี้ โดยสรุปจากคำถามเฉพาะที่ทำให้เกิดการดำเนินการนี้

ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดในบางช่วงเวลา ลองหาค่าจากช่วงเวลานี้ มาเพิ่มทีละนิด (บวกหรือลบ) ค่าใหม่ของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าใหม่ของฟังก์ชัน , ที่ไหน .

มาสร้างความสัมพันธ์กันเถอะ , มันเป็นฟังก์ชันของ .

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เกี่ยวกับตัวแปร ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ ต่อการเพิ่มของอาร์กิวเมนต์ที่ทำให้มันเกิดขึ้นโดยพลการ:

ความคิดเห็น ถือว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งมีอยู่ ถ้าขีดจำกัดทางด้านขวาของสูตรมีอยู่และจำกัด และไม่ขึ้นอยู่กับการเพิ่มขึ้นของตัวแปรที่มีแนวโน้มเป็น 0 (ซ้ายหรือขวา)

กระบวนการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเรียกว่าการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

การหาอนุพันธ์ของบางฟังก์ชันตามนิยาม

ก) อนุพันธ์ของค่าคงที่

ให้ ค่าคงที่อยู่ที่ไหน เพราะ ค่าของฟังก์ชันนี้จะเหมือนกันทั้งหมด ดังนั้นการเพิ่มขึ้นจะเป็นศูนย์ ดังนั้น

ดังนั้น อนุพันธ์ของค่าคงที่จึงเท่ากับศูนย์ นั่นคือ .

b) อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

มาเพิ่มฟังก์ชันกันเถอะ:

เมื่อหาอนุพันธ์ จะใช้คุณสมบัติของลิมิตของผลคูณของฟังก์ชัน ลิมิตแรกที่น่าทึ่ง และความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ดังนั้น, .

ความสัมพันธ์ระหว่างความแตกต่างของฟังก์ชันและความต่อเนื่อง

ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งเรียกว่าอนุพันธ์ ณ จุดนั้น ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ในทุกจุดของบางช่วงเวลาเรียกว่า ดิฟเฟอเรนติเอเบิลได้ในช่วงเวลานี้

ทฤษฎีบท.หากฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดหนึ่ง ฟังก์ชันนั้นจะต่อเนื่องที่จุดนั้น

การพิสูจน์. ให้อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นโดยพลการ จากนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น ให้เราเขียนความเท่ากันและส่งไปยังลิมิตด้านซ้ายและขวาที่ :

เนื่องจากสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง การเพิ่มอาร์กิวเมนต์เล็กน้อยจะสอดคล้องกับการเพิ่มฟังก์ชันเล็กน้อย ทฤษฎีบทจึงได้รับการพิสูจน์

ความคิดเห็น การยืนยันการสนทนาไม่ถือเป็นเช่น ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งโดยทั่วไปไม่ได้หมายความถึงความแตกต่าง ณ จุดนั้น ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเป็นแบบต่อเนื่องสำหรับ all แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ จริงหรือ:

ขีดจำกัดนั้นไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันมูลฐาน

ความคิดเห็น เรียกคืนคุณสมบัติของเลขยกกำลังและรากที่ใช้ในการแยกความแตกต่างของฟังก์ชัน:

ให้เรายกตัวอย่างการหาอนุพันธ์

1) .

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

อนุญาต . จากนั้นฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนจาก x.

หากฟังก์ชันหาค่าได้ ณ จุดหนึ่ง xและฟังก์ชั่นนั้นสามารถแยกความแตกต่างได้ที่จุด ยูแล้วมันก็มีความแตกต่างที่จุด x, และ

เราเดาแล้ว เพราะฉะนั้น

ด้วยทักษะที่เพียงพอตัวแปรกลาง ยูอย่าเขียนป้อนทางจิตใจเท่านั้น

ดิฟเฟอเรนเชียล

วาดเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง มท, หมายถึงผ่าน เจมุมเอียงไปยังทิศทางบวกของแกน โอ้.ตั้งแต่ แล้ว จากรูปสามเหลี่ยม กฟผตามนั้น

เราแนะนำสัญกรณ์

นิพจน์นี้เรียกว่า ความแตกต่างฟังก์ชั่น . ดังนั้น

สังเกตว่า เช่น เราได้รับส่วนต่างของตัวแปรอิสระเท่ากับส่วนเพิ่ม

ดังนั้น ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันจะเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์และดิฟเฟอเรนเชียล (หรือส่วนเพิ่ม) ของตัวแปรอิสระ

ตามมาจากสูตรที่แล้ว นั่นคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเท่ากับอัตราส่วนของส่วนต่างของฟังก์ชันนี้ต่อส่วนต่างของอาร์กิวเมนต์

ความแตกต่างของฟังก์ชัน ตายทางเรขาคณิตแสดงถึงการเพิ่มขึ้นของพิกัดของแทนเจนต์ที่สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ D เอ็กซ์.

จะเห็นได้จากรูปที่สำหรับ D ขนาดเล็กเพียงพอ เอ็กซ์ในค่าสัมบูรณ์ เราสามารถเพิ่มฟังก์ชันโดยประมาณให้เท่ากับส่วนต่างได้ เช่น

พิจารณาฟังก์ชันที่ซับซ้อน โดยที่ และ สามารถหาอนุพันธ์ได้ด้วยความเคารพ ยู, และ - โดย เอ็กซ์. ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ลองคูณสมการนี้ด้วย ดีเอ็กซ์:

ตั้งแต่ (ตามคำจำกัดความของส่วนต่าง) แล้ว

ดังนั้น ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะมีรูปแบบเดียวกันหากตัวแปร ยูไม่ใช่อาร์กิวเมนต์ระดับกลาง แต่เป็นตัวแปรอิสระ

คุณสมบัติของดิฟเฟอเรนเชียลนี้เรียกว่า ความแปรปรวน(ไม่เปลี่ยนรูป) รูปแบบของความแตกต่าง.

ตัวอย่าง. .

สามารถเขียนกฎความแตกต่างทั้งหมดสำหรับความแตกต่าง

อนุญาต แตกต่างกันที่จุด เอ็กซ์. แล้ว

มาพิสูจน์กฎข้อที่สองกันเถอะ

อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย

ให้กำหนดสมการของแบบฟอร์มที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรและ หากไม่สามารถแสดงอย่างชัดเจนผ่าน , (เพื่อแก้ไขค่าสัมพัทธ์) ฟังก์ชันดังกล่าวจะถูกเรียกใช้ ให้โดยปริยาย. ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าว ทั้งสองข้างของสมการจะต้องแยกความแตกต่างด้วยความเคารพ โดยพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันของ จากการหาสมการใหม่ที่เกิดขึ้น