Bago ibigay ang konsepto ng isang produkto ng vector, buksan natin ang tanong ng oryentasyon ng isang ordered triplet ng mga vectors a →, b →, c → sa three-dimensional na espasyo.

Isantabi natin para sa simula ang mga vectors a →, b →, c → mula sa isang punto. Ang oryentasyon ng triple a →, b →, c → ay maaaring kanan o kaliwa, depende sa direksyon ng vector c → mismo. Mula sa direksyon kung saan ang pinakamaikling pag-ikot ay ginawa mula sa vector a → hanggang b → mula sa dulo ng vector c →, ang anyo ng triple a →, b →, c → ay matutukoy.

Kung ang pinakamaikling pag-ikot ay counterclockwise, kung gayon ang triplet ng mga vectors a →, b →, c → ay tinatawag tama kung clockwise - umalis.

Susunod, kumuha ng dalawang non-collinear vectors a → at b →. Ipagpaliban natin ang mga vector A B → = a → at A C → = b → mula sa punto A. Bumubuo kami ng vector A D → = c →, na sabay na patayo sa parehong A B → at A C →. Kaya, kapag itinatayo ang vector mismo A D → = c → magagawa natin ang dalawang bagay, na binibigyan ito ng alinman sa isang direksyon o ang kabaligtaran (tingnan ang ilustrasyon).

Ang inayos na triple ng mga vectors a →, b →, c → ay maaaring, tulad ng nalaman namin, kanan o kaliwa, depende sa direksyon ng vector.

Mula sa itaas, maaari nating ipakilala ang kahulugan ng isang cross product. Ang kahulugan na ito ay ibinigay para sa dalawang vector na tinukoy sa isang hugis-parihaba na coordinate system ng tatlong-dimensional na espasyo.

Kahulugan 1

Ang produkto ng vector ng dalawang vectors a → at b → tatawagin natin ang naturang vector na ibinigay sa isang rectangular coordinate system ng tatlong-dimensional na espasyo tulad na:

• kung ang mga vectors a → at b → ay collinear, ito ay magiging zero;
• ito ay magiging patayo sa parehong vector a → at vector b → i.e. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• ang haba nito ay tinutukoy ng formula: c → = a → b → sin ∠ a →, b →;
• ang triplet ng mga vectors a →, b →, c → ay may parehong oryentasyon gaya ng ibinigay na coordinate system.

Ang produkto ng vector ng mga vectors a → at b → ay may sumusunod na notasyon: a → × b →.

Mga coordinate ng produkto ng vector

Dahil ang anumang vector ay may ilang partikular na coordinate sa coordinate system, maaari mong ipasok ang pangalawang kahulugan ng cross product, na magbibigay-daan sa iyong mahanap ang mga coordinate nito sa pamamagitan ng ibinigay na mga coordinate ng mga vector.

Kahulugan 2

Sa isang rectangular coordinate system ng three-dimensional na espasyo produkto ng vector ng dalawang vector a → = (a x; a y; a z) at b → = (b x; b y; b z) tinatawag na vector c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, kung saan i →, j →, k → ay mga coordinate vector.

Ang produkto ng vector ay maaaring kinakatawan bilang ang determinant ng isang parisukat na matrix ng ikatlong pagkakasunud-sunod, kung saan ang unang hilera ay ang mga vector ng mga unit vectors i →, j →, k →, ang pangalawang hilera ay naglalaman ng mga coordinate ng vector a →, at ang pangatlo ay naglalaman ng mga coordinate ng vector b → sa isang ibinigay na rectangular coordinate system, ang determinant na ito ng matrix ay ganito ang hitsura: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

Ang pagpapalawak ng determinant na ito sa mga elemento ng unang hilera, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

Mga katangian ng produkto ng vector

Ito ay kilala na ang produkto ng vector sa mga coordinate ay kinakatawan bilang ang determinant ng matrix c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, pagkatapos ay sa batayan mga katangian ng determinant ng matrix ay nagpapakita ng mga sumusunod mga katangian ng produkto ng vector:

1. anticommutativity a → × b → = - b → × a →;
2. distributivity a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → o a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) →;
3. associativity λ a → × b → = λ a → × b → o a → × (λ b →) = λ a → × b →, kung saan ang λ ay isang arbitrary real number.

Ang mga katangiang ito ay hindi mahirap patunayan.

Bilang halimbawa, mapapatunayan natin ang anti-commutativity property ng isang vector product.

Patunay ng Anticommutativity

Sa kahulugan, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z at b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. At kung ang dalawang hanay ng matrix ay muling inayos, kung gayon ang halaga ng determinant ng matrix ay dapat magbago sa kabaligtaran, samakatuwid, a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a →, na at nagpapatunay ng anti-commutativity ng vector product.

Vector product - mga halimbawa at solusyon

Sa karamihan ng mga kaso, mayroong tatlong uri ng mga gawain.

Sa mga problema ng unang uri, ang mga haba ng dalawang vector at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay karaniwang ibinibigay, ngunit kailangan mong hanapin ang haba ng cross product. Sa kasong ito, gamitin ang sumusunod na formula c → = a → b → sin ∠ a →, b →.

Halimbawa 1

Hanapin ang haba ng produkto ng vector ng mga vectors a → at b → kung alam mo ang a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Solusyon

Sa pamamagitan ng pagtukoy sa haba ng produkto ng vector ng mga vectors a → at b → malulutas natin ang problemang ito: a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2.

Sagot: 15 2 2 .

Ang mga problema ng pangalawang uri ay may koneksyon sa mga coordinate ng mga vector, sa kanila ang cross product, haba nito, atbp. Hinahanap sa pamamagitan ng mga kilalang coordinate ng mga ibinigay na vectors a → = (a x; a y; a z) at b → = (b x; b y; b z) .

Para sa ganitong uri ng gawain, maaari mong lutasin ang maraming mga opsyon para sa mga gawain. Halimbawa, hindi ang mga coordinate ng mga vectors a → at b → ay maaaring ibigay, ngunit ang kanilang mga pagpapalawak sa coordinate vectors ng form b → = b x i → + b y j → + b z k → at c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, o maaaring tukuyin ang mga vectors a → at b → sa pamamagitan ng mga coordinate ng kanilang simula at pagtatapos na mga punto.

Isaalang-alang ang sumusunod na mga halimbawa.

Halimbawa 2

Sa isang rectangular coordinate system, dalawang vectors a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1) ang ibinibigay. Hanapin ang kanilang cross product.

Solusyon

Sa pangalawang kahulugan, nakita natin ang produkto ng vector ng dalawang vector sa ibinigay na mga coordinate: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx ) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Kung isusulat natin ang produkto ng vector sa pamamagitan ng determinant ng matrix, ang solusyon ng halimbawang ito ay ganito: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Sagot: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Halimbawa 3

Hanapin ang haba ng vector product ng mga vectors i → - j → at i → + j → + k →, kung saan ang i →, j →, k → ay ang mga unit vectors ng isang rectangular Cartesian coordinate system.

Solusyon

Una, hinahanap natin ang mga coordinate ng ibinigay na produkto ng vector i → - j → × i → + j → + k → sa ibinigay na rectangular coordinate system.

Ito ay kilala na ang mga vectors i → - j → at i → + j → + k → ay may mga coordinate (1; - 1; 0) at (1; 1; 1), ayon sa pagkakabanggit. Hanapin natin ang haba ng produkto ng vector gamit ang determinant ng matrix, pagkatapos ay mayroon tayong i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → ...

Samakatuwid, ang produkto ng vector i → - j → × i → + j → + k → ay may mga coordinate (- 1; - 1; 2) sa ibinigay na coordinate system.

Nahanap namin ang haba ng produkto ng vector sa pamamagitan ng formula (tingnan ang seksyon sa paghahanap ng haba ng isang vector): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Sagot: i → - j → × i → + j → + k → = 6. ...

Halimbawa 4

Sa isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system, ang mga coordinate ng tatlong puntos na A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) ay ibinibigay. Maghanap ng ilang vector na patayo sa A B → at A C → sa parehong oras.

Solusyon

Ang mga vector A B → at A C → ay may mga sumusunod na coordinate (- 1; 2; 2) at (0; 4; 1), ayon sa pagkakabanggit. Ang pagkakaroon ng natagpuan ang produkto ng vector ng mga vectors A B → at A C →, malinaw na ito ay isang patayong vector sa pamamagitan ng kahulugan sa parehong A B → at A C →, iyon ay, ito ay isang solusyon sa ating problema. Hanapin natin ito A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

Sagot: - 6 i → + j → - 4 k →. - isa sa mga patayong vector.

Ang mga problema ng ikatlong uri ay nakatuon sa paggamit ng mga katangian ng produkto ng vector ng mga vector. Pagkatapos mag-apply kung alin, makakakuha tayo ng solusyon sa ibinigay na problema.

Halimbawa 5

Ang mga vectors a → at b → ay patayo at ang kanilang mga haba ay 3 at 4, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang haba ng produkto ng vector 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

Solusyon

Sa pamamagitan ng pag-aari ng distributivity ng isang produkto ng vector, maaari nating isulat ang 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Sa pamamagitan ng pag-aari ng associativity, inililipat namin ang mga numerical coefficients sa labas ng sign ng mga produkto ng vector sa huling expression: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Ang mga produktong vector a → × a → at b → × b → ay 0 dahil a → × a → = a → a → sin 0 = 0 at b → × b → = b → b → sin 0 = 0, pagkatapos ay 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. ...

Ang anticommutativity ng produkto ng vector ay nagpapahiwatig - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b →. ...

Gamit ang mga katangian ng produkto ng vector, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay 3 a → - b → × a → - 2 b → = = - 5 a → × b →.

Sa pamamagitan ng hypothesis, ang mga vectors a → at b → ay patayo, iyon ay, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay π 2. Ngayon ay nananatili lamang na palitan ang mga nahanap na halaga sa kaukulang mga formula: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · kasalanan (a →, b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60.

Sagot: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Ang haba ng vector product ng mga vectors sa pamamagitan ng pag-order ay katumbas ng a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b →. Dahil alam na (mula sa kurso ng paaralan) na ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga haba ng dalawang panig nito na pinarami ng sine ng anggulo sa pagitan ng mga panig na ito. Samakatuwid, ang haba ng produkto ng vector ay katumbas ng lugar ng parallelogram - ang dobleng tatsulok, lalo na ang produkto ng mga gilid sa anyo ng mga vectors a → at b →, na naka-plot mula sa isang punto, sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan nila sin ∠ a →, b →.

Ito ang geometric na kahulugan ng produkto ng vector.

Ang pisikal na kahulugan ng isang produkto ng vector

Sa mekanika, isa sa mga sangay ng pisika, salamat sa produkto ng vector, maaari mong matukoy ang sandali ng puwersa na nauugnay sa isang punto sa espasyo.

Kahulugan 3

Sa pamamagitan ng sandali ng puwersa F → inilapat sa punto B, kaugnay sa punto A, ibig sabihin namin ang sumusunod na produkto ng vector A B → × F →.

Kung may napansin kang error sa text, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

HALONG PRODUKTO NG TATLONG VECTOR AT MGA KATANGIAN NITO

Pinaghalong trabaho tatlong vector ay tinatawag na isang numero na katumbas ng. Tinutukoy ... Dito ang unang dalawang vector ay pinarami ng vectorially at pagkatapos ay ang resultang vector ay pinarami ng scalarly ng ikatlong vector. Malinaw, ang naturang produkto ay isang tiyak na numero.

Isaalang-alang ang mga katangian ng pinaghalong produkto.

1. Geometric na kahulugan pinaghalong trabaho. Ang pinaghalong produkto ng 3 vectors, hanggang sa isang sign, ay katumbas ng dami ng isang parallelepiped na binuo sa mga vector na ito, tulad ng sa mga gilid, i.e. ...

   Kaya, at .

   

   Patunay... Itabi ang mga vectors mula sa karaniwang pinagmulan at bumuo ng parallelepiped sa kanila. Ipahiwatig at tandaan natin iyon. Sa pamamagitan ng kahulugan ng produkto ng tuldok

   Ipagpalagay na at denoting sa pamamagitan ng h ang taas ng parallelepiped, nakita namin.

   Kaya, para sa

   Kung, kung gayon at. Kaya naman, .

   Ang pagsasama-sama ng parehong mga kasong ito, makakakuha tayo ng o.

   Sa partikular, ito ay sumusunod mula sa patunay ng ari-arian na ito na kung ang triplet ng mga vector ay tama, kung gayon ito ay isang halo-halong produkto, at kung ito ay naiwan, kung gayon.

2. Para sa anumang mga vectors, ang pagkakapantay-pantay

   Ang patunay ng ari-arian na ito ay sumusunod mula sa ari-arian 1. Sa katunayan, ito ay madaling ipakita na at. Bukod dito, ang mga palatandaan na "+" at "-" ay kinuha nang sabay-sabay, dahil ang mga anggulo sa pagitan ng mga vector at at at ay parehong talamak o mahina.

3. Sa permutasyon ng alinmang dalawang salik, ang magkahalong produkto ay nagbabago ng tanda.

   Sa katunayan, kung isasaalang-alang natin ang isang halo-halong gawain, kung gayon, halimbawa, o

4. Pinaghalong produkto kung at kung ang isa sa mga kadahilanan ay zero o ang mga vector ay coplanar.

   Patunay.

   Kaya, ang isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa coplanarity ng 3 vectors ay ang pagkakapantay-pantay sa zero ng kanilang pinaghalong produkto. Bilang karagdagan, ito ay sumusunod na ang tatlong mga vector ay bumubuo ng isang batayan sa espasyo, kung.

   Kung ang mga vector ay ibinibigay sa coordinate form, maaari itong ipakita na ang kanilang pinaghalong produkto ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

   .

   Iyon ay, ang pinaghalong produkto ay katumbas ng determinant ng ikatlong pagkakasunud-sunod, kung saan ang unang linya ay naglalaman ng mga coordinate ng unang vector, ang pangalawang linya ay naglalaman ng mga coordinate ng pangalawang vector, at ang ikatlong linya ay naglalaman ng ikatlong vector.

   Mga halimbawa.

ANALYTICAL GEOMETRY SA SPACE

Ang equation F (x, y, z)= 0 ay tumutukoy sa espasyo Oxyz ilang ibabaw, i.e. locus ng mga puntos na ang mga coordinate x, y, z matugunan ang equation na ito. Ang equation na ito ay tinatawag na equation ng ibabaw, at x, y, z- kasalukuyang mga coordinate.

Gayunpaman, kadalasan ang ibabaw ay hindi tinukoy ng isang equation, ngunit bilang isang hanay ng mga punto sa espasyo na may isa o ibang pag-aari. Sa kasong ito, kinakailangan upang mahanap ang equation ng ibabaw batay sa mga geometric na katangian nito.

EROPLO.

NORMAL NA EROPLO NA VECTOR.

EQUATION PARA SA ISANG EROPLO NA DUMAAN SA IBINIGAY NA PUNTO

Isaalang-alang ang isang arbitrary na eroplano σ sa kalawakan. Natutukoy ang posisyon nito sa pamamagitan ng pagtukoy ng isang vector na patayo sa eroplanong ito at ilang nakapirming punto M 0(x 0, y 0, z 0) nakahiga sa eroplano σ.

Ang isang vector na patayo sa eroplanong σ ay tinatawag normal vector ng eroplanong ito. Hayaang may mga coordinate ang vector.

Kunin natin ang equation ng eroplano σ na dumadaan sa isang naibigay na punto M 0 at pagkakaroon ng isang normal na vector. Upang gawin ito, kumuha ng di-makatwirang punto sa eroplano σ M (x, y, z) at isaalang-alang ang isang vector.

Para sa anumang punto M Ang Î σ ay isang vector. Samakatuwid, ang kanilang scalar product ay katumbas ng zero. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay ang kondisyon na ang punto MÎ σ. Ito ay may bisa para sa lahat ng mga punto ng eroplanong ito at nilalabag kaagad sa punto M ay nasa labas ng eroplano σ.

Kung tinutukoy natin sa pamamagitan ng radius vector ng punto M, Ay ang radius vector ng punto M 0, kung gayon ang equation ay maaari ding isulat sa anyo

Ang equation na ito ay tinatawag vector equation ng eroplano. Isulat natin ito sa coordinate form. Simula noon

Kaya, nakuha namin ang equation ng eroplano na dumadaan sa puntong ito. Kaya, upang mabuo ang equation ng eroplano, kailangan mong malaman ang mga coordinate ng normal na vector at ang mga coordinate ng ilang punto na nakahiga sa eroplano.

Tandaan na ang equation ng eroplano ay isang equation ng 1st degree na may paggalang sa kasalukuyang mga coordinate x, y at z.

Mga halimbawa.

GENERAL EQUATION NG EROPLO

Maaari itong ipakita na ang anumang equation ng unang degree na may paggalang sa mga coordinate ng Cartesian x, y, z ay isang equation ng isang tiyak na eroplano. Ang equation na ito ay nakasulat bilang:

Ax + By + Cz + D=0

at tinawag pangkalahatang equation eroplano, at ang mga coordinate A, B, C narito ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplano.

Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso ng pangkalahatang equation. Alamin natin kung paano matatagpuan ang eroplano na may kaugnayan sa coordinate system kung ang isa o ilang mga coefficient ng equation ay nawala.

Ang A ay ang haba ng linyang pinutol ng eroplano sa axis baka... Katulad nito, maaaring ipakita ng isa iyon b at c- ang mga haba ng mga segment na pinutol ng eroplanong pinag-uusapan sa mga palakol Oy at Oz.

Maginhawang gamitin ang equation ng eroplano sa mga segment ng linya upang makabuo ng mga eroplano.

7.1. Kahulugan ng isang cross product

Tatlong non-coplanar vectors a, b at c, na kinuha sa ipinahiwatig na pagkakasunud-sunod, ay bumubuo ng isang kanang triplet kung, mula sa dulo ng ikatlong vector c, ang pinakamaikling pag-ikot mula sa unang vector a hanggang sa pangalawang vector b ay makikita sa counterclockwise, at sa kaliwa, kung clockwise (tingnan ang Fig. . labing-anim).

Ang produkto ng vector ng isang vector a ng isang vector b ay isang vector c, na:

1. Patayo sa mga vectors a at b, iyon ay, c ^ a at c ^ b;

2. May haba ayon sa bilang na katumbas ng lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors a atb tulad ng sa mga gilid (tingnan ang fig. 17), ibig sabihin.

3. Ang mga vectors a, b at c ay bumubuo ng right-hand triplet.

Ang cross product ay tinutukoy ng isang x b o [a, b]. Ang kahulugan ng isang produkto ng vector ay direktang nagpapahiwatig ng mga sumusunod na ugnayan sa pagitan ng mga vectors i, j at k(tingnan ang fig. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Patunayan natin, halimbawa, iyon ako хj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) | k | = 1, ngunit | ako x j| = | ako | | J | kasalanan (90 °) = 1;

3) mga vector i, j at k bumuo ng right-hand triplet (tingnan ang Fig. 16).

7.2. Mga katangian ng produkto ng vector

1. Kapag ang mga kadahilanan ay muling inayos, ang produkto ng vector ay nagbabago ng tanda; a xb = (b xa) (tingnan ang Fig. 19).

Ang mga vectors a xb at b ay collinear, may parehong moduli (ang parallelogram area ay nananatiling hindi nagbabago), ngunit magkasalungat na direksyon (triples a, b, a xb at a, b, b x a ng magkasalungat na oryentasyon). Yan ay isang xb = -(b xa).

2. Ang produkto ng vector ay nagtataglay ng pinagsama-samang pag-aari na may kinalaman sa scalar factor, iyon ay, l (а хb) = (l а) х b = а х (l b).

Hayaan ang l> 0. Ang Vector l (a xb) ay patayo sa mga vectors a at b. Vector ( l a) x b ay patayo din sa mga vectors a at b(mga vector a, l at humiga sa parehong eroplano). Kaya ang mga vectors l(a xb) at ( l a) x b collinear. Malinaw, ang kanilang mga direksyon ay nagtutugma. Magkaroon ng parehong haba:

Kaya l(a хb) = l isang xb. Mapapatunayan din ito para sa l<0.

3. Dalawang nonzero vectors a at b collinear kung at kung ang kanilang cross product ay katumbas ng zero vector, ibig sabihin, a || b<=>isang xb = 0.

Sa partikular, i * i = j * j = k * k = 0.

4. Ang produkto ng vector ay may katangian ng pamamahagi:

(a + b) xc = isang xc + b xc.

Tatanggapin namin ito nang walang patunay.

7.3. Pagpapahayag ng cross product sa mga tuntunin ng mga coordinate

Gagamitin namin ang cross product table ng mga vectors i, j at k:

kung ang direksyon ng pinakamaikling landas mula sa unang vector hanggang sa pangalawa ay tumutugma sa direksyon ng arrow, kung gayon ang produkto ay katumbas ng ikatlong vector, kung hindi, ang pangatlong vector ay kinuha gamit ang isang minus sign.

Hayaang magkaroon ng dalawang vectors a = a x i + a y j+ a z k at b = b x i+ b y j+ b z k... Hanapin natin ang cross product ng mga vector na ito, pinarami ang mga ito bilang polynomials (ayon sa mga katangian ng cross product):

Ang resultang pormula ay maaaring maisulat nang mas maikli:

dahil ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (7.1) ay tumutugma sa pagpapalawak ng determinant ng ikatlong pagkakasunud-sunod sa mga tuntunin ng mga elemento ng unang hilera. Ang pagkakapantay-pantay (7.2) ay madaling matandaan.

7.4. Ang ilang mga aplikasyon ng vector work

Pagtatatag ng mga collinear vectors

Paghahanap ng lugar ng isang paralelogram at isang tatsulok

Ayon sa kahulugan ng produkto ng vector ng mga vectors a at b | isang xb | =| isang | * | b | sin g, ibig sabihin, mga pares ng S = | a x b |. At, samakatuwid, D S = 1/2 | a x b |.

Pagpapasiya ng sandali ng puwersa na nauugnay sa isang punto

Hayaang maglapat ng puwersa sa punto A F = AB bumitaw O- ilang punto sa espasyo (tingnan ang Fig. 20).

Ito ay kilala mula sa pisika na sandali ng puwersa F may kaugnayan sa punto O ay tinatawag na vector M, na dumadaan sa punto O at:

1) patayo sa eroplano na dumadaan sa mga punto O, A, B;

2) ayon sa bilang na katumbas ng produkto ng puwersa bawat balikat

3) bumubuo ng tamang triplet na may mga vectors na OA at AB.

Samakatuwid, M = OA x F.

Paghahanap ng linear na bilis ng pag-ikot

Bilis v point M ng isang matibay na katawan na umiikot na may angular na bilis w sa paligid ng isang nakapirming axis, ay tinutukoy ng Euler formula v = w хr, kung saan r = ОМ, kung saan ang О ay ilang nakapirming punto ng axis (tingnan ang Fig. 21).

Sa araling ito, titingnan natin ang dalawa pang vector operations: produkto ng vector ng mga vector at pinaghalong produkto ng mga vector (i-link kaagad, sino ang nangangailangan nito)... Okay lang, minsan nangyayari na para sa kumpletong kaligayahan, bukod pa sa tuldok na produkto ng mga vector, ito ay tumatagal ng higit pa at higit pa. Ganyan ang pagkagumon sa vector. Maaaring magkaroon ng impresyon ang isa na papasok tayo sa gubat ng analytic geometry. Hindi ito totoo. Sa seksyong ito ng mas mataas na matematika, sa pangkalahatan ay walang sapat na panggatong, maliban na mayroong sapat para sa Buratino. Sa katunayan, ang materyal ay napaka-pangkaraniwan at simple - halos hindi mas kumplikado kaysa sa pareho produktong scalar, magkakaroon ng mas kaunting mga karaniwang gawain. Ang pangunahing bagay sa analytic geometry, dahil marami ang makumbinsi o nakumbinsi na, ay HINDI MAGKAKAMALI SA MGA PAGKUKULANG. Ulitin bilang isang spell, at ikaw ay magiging masaya =)

Kung kumikinang ang mga vector sa isang lugar sa malayo, tulad ng kidlat sa abot-tanaw, hindi mahalaga, magsimula sa aralin Mga vector para sa mga dummies upang mabawi o mabawi ang pangunahing kaalaman sa mga vector. Ang mas handa na mga mambabasa ay maaaring pamilyar sa impormasyon nang pili, sinubukan kong kolektahin ang pinaka kumpletong koleksyon ng mga halimbawa na madalas na matatagpuan sa mga praktikal na gawa

Paano ka kaagad mapasaya? Noong bata pa ako, marunong na akong mag-juggle gamit ang dalawa o kahit tatlong bola. Dexterously pala. Ngayon hindi mo na kailangang mag-juggle, dahil isasaalang-alang namin mga spatial vectors lamang, at ang mga plane vector na may dalawang coordinate ay maiiwan. Bakit? Ito ay kung paano ipinanganak ang mga pagkilos na ito - ang vector at pinaghalong produkto ng mga vector ay tinukoy at gumagana sa tatlong-dimensional na espasyo. Mas madali na!

Ang operasyong ito, sa parehong paraan tulad ng sa produkto ng tuldok, ay kinabibilangan dalawang vector... Hayaan itong mga hindi nasisira na mga titik.

Ang aksyon mismo ipinapahiwatig sa sumusunod na paraan: . Mayroong iba pang mga pagpipilian, ngunit sanay akong tukuyin ang produkto ng vector ng mga vector sa ganoong paraan, sa mga square bracket na may krus.

At kaagad tanong: kung nasa tuldok na produkto ng mga vector dalawang vector ang kasangkot, at dito, din, dalawang vector ang pinarami, pagkatapos ano ang pinagkaiba? Ang malinaw na pagkakaiba ay, una sa lahat, sa RESULTA:

Ang resulta ng tuldok na produkto ng mga vector ay NUMBER:

Ang produkto ng vector ng mga vector ay nagreresulta sa isang VECTOR:, ibig sabihin, pinaparami natin ang mga vector at muling nakakuha ng isang vector. Saradong club. Sa totoo lang, kaya ang pangalan ng operasyon. Sa iba't ibang literaturang pang-edukasyon, ang mga pagtatalaga ay maaari ding mag-iba, gagamitin ko ang liham.

Kahulugan ng isang cross product

Una ay magkakaroon ng kahulugan na may isang larawan, pagkatapos ay magkomento.

Kahulugan: Sa pamamagitan ng produkto ng vector hindi collinear mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod, tinatawag na VECTOR, haba na ayon sa bilang katumbas ng lugar ng paralelogram binuo sa mga vectors na ito; vector orthogonal sa mga vector, at itinuro upang ang batayan ay may tamang oryentasyon:

Sinusuri namin ang kahulugan ng mga buto, maraming mga kagiliw-giliw na bagay!

Kaya, ang mga sumusunod na mahahalagang punto ay maaaring i-highlight:

1) Ang orihinal na mga vector, na tinutukoy ng mga pulang arrow, ayon sa kahulugan hindi collinear... Angkop na isaalang-alang ang kaso ng mga collinear vectors sa ibang pagkakataon.

2) Ang mga vector ay kinuha sa isang mahigpit na tinukoy na pagkakasunud-sunod: – Ang "A" ay pinarami ng "bh", at hindi "bh" sa "a". Ang resulta ng pagpaparami ng vector ay ang VECTOR, na minarkahan ng asul. Kung ang mga vector ay pinarami sa reverse order, makakakuha tayo ng isang vector na katumbas ng haba at kabaligtaran ng direksyon (kulay ng pulang-pula). Ibig sabihin, totoo ang pagkakapantay-pantay .

3) Ngayon, kilalanin natin ang geometric na kahulugan ng produkto ng vector. Ito ay isang napakahalagang punto! Ang LENGTH ng asul na vector (at, samakatuwid, ang crimson vector) ay katumbas ng numero sa AREA ng parallelogram na binuo sa mga vector. Sa figure, ang paralelogram na ito ay may kulay na itim.

Tandaan : ang pagguhit ay eskematiko, at, siyempre, ang nominal na haba ng cross product ay hindi katumbas ng lugar ng parallelogram.

Naaalala namin ang isa sa mga geometric na formula: ang lugar ng parallelogram ay katumbas ng produkto ng mga katabing panig sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan nila... Samakatuwid, batay sa itaas, ang formula para sa pagkalkula ng LENGTH ng isang produkto ng vector ay wasto:

Binibigyang-diin ko na sa formula ay pinag-uusapan natin ang LENGTH ng vector, at hindi ang mismong vector. Ano ang praktikal na punto? At ang kahulugan ay na sa mga problema ng analytical geometry, ang lugar ng isang paralelogram ay madalas na matatagpuan sa pamamagitan ng konsepto ng isang produkto ng vector:

Kunin natin ang pangalawang mahalagang formula. Ang dayagonal ng paralelogram (pulang may tuldok na linya) ay hinahati ito sa dalawang pantay na tatsulok. Samakatuwid, ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors (red shading) ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

4) Ang isang pantay na mahalagang katotohanan ay ang vector ay orthogonal sa mga vector, iyon ay, ... Siyempre, ang oppositely directed vector (crimson arrow) ay orthogonal din sa orihinal na vectors.

5) Ang vector ay nakadirekta sa gayon batayan Mayroon itong tama oryentasyon. Sa aralin tungkol sa paglipat sa isang bagong batayan Nagsalita ako ng sapat na detalye tungkol sa oryentasyon ng eroplano, at ngayon ay malalaman natin kung ano ang oryentasyon ng espasyo. Ipapaliwanag ko sa iyong mga daliri kanang kamay... Mentally combine hintuturo may vector at hinlalato may vector. Ring finger at pinky pindutin ito sa iyong palad. Ang resulta hinlalaki- titingin ang cross product. Ito ang right-oriented na batayan (sa figure ito ay ito). Ngayon baguhin ang mga vectors ( hintuturo at gitnang daliri) sa mga lugar, bilang isang resulta, ang hinlalaki ay magbubukas, at ang cross product ay titingin na sa ibaba. Ito rin ay isang batayan na nakatuon sa tama. Marahil mayroon kang tanong: ano ang batayan ng kaliwang oryentasyon? "Italaga" sa parehong mga daliri kaliwang kamay vectors, at kunin ang kaliwang batayan at kaliwang oryentasyon ng espasyo (sa kasong ito, ang hinlalaki ay matatagpuan sa direksyon ng mas mababang vector)... Sa matalinghagang pagsasalita, ang mga base na ito ay "twist" o i-orient ang espasyo sa iba't ibang direksyon. At ang konsepto na ito ay hindi dapat ituring bilang isang bagay na malayo o abstract - halimbawa, ang oryentasyon ng espasyo ay binago ng pinaka-ordinaryong salamin, at kung "hilahin mo ang nakalarawan na bagay mula sa salamin", kung gayon sa pangkalahatang kaso hindi ito maaaring pagsamahin sa "orihinal". Sa pamamagitan ng paraan, dalhin ang tatlong daliri sa salamin at suriin ang pagmuni-muni ;-)

... kung gaano kahusay na alam mo na ngayon ang tungkol sa kanan at kaliwa oriented base, kasi grabe ang mga pahayag ng ilang lecturer tungkol sa pagbabago ng oryentasyon =)

Cross product ng collinear vectors

Ang kahulugan ay nasuri nang detalyado, nananatili itong malaman kung ano ang mangyayari kapag ang mga vector ay collinear. Kung ang mga vector ay collinear, maaari silang matatagpuan sa isang tuwid na linya at ang aming parallelogram ay "natitiklop" din sa isang tuwid na linya. Ang lugar ng ganoon, gaya ng sinasabi ng mga mathematician, mabulok paralelogram ay zero. Ang parehong sumusunod mula sa formula - ang sine ng zero o 180 degrees ay katumbas ng zero, na nangangahulugan na ang lugar ay zero.

Kaya, kung, pagkatapos at ... Tandaan na ang cross product mismo ay katumbas ng zero vector, ngunit sa pagsasanay ito ay madalas na napapabayaan at nakasulat na ito ay zero din.

Ang isang espesyal na kaso ay ang produkto ng vector ng isang vector nang mag-isa:

Gamit ang cross product, maaari mong suriin ang collinearity ng three-dimensional vectors, at susuriin din namin ang problemang ito, bukod sa iba pa.

Upang malutas ang mga praktikal na halimbawa, maaaring kailanganin mo trigonometriko talahanayan upang mahanap ang mga halaga ng sine mula dito.

Buweno, magsindi tayo ng apoy:

Halimbawa 1

a) Hanapin ang haba ng vector product ng mga vectors kung

b) Hanapin ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors kung

Solusyon: Hindi, hindi ito isang typo, sadyang ginawa kong pareho ang paunang data sa mga sugnay ng kundisyon. Dahil mag-iiba ang disenyo ng mga solusyon!

a) Sa pamamagitan ng kondisyon, ito ay kinakailangan upang mahanap ang haba vector (produktong vector). Ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Dahil ang tanong ay tinanong tungkol sa haba, pagkatapos ay sa sagot ay ipinapahiwatig namin ang dimensyon - mga yunit.

b) Sa pamamagitan ng kondisyon, ito ay kinakailangan upang mahanap parisukat isang paralelogram na binuo sa mga vector. Ang lugar ng parallelogram na ito ay ayon sa bilang na katumbas ng haba ng produkto ng vector:

Sagot:

Pakitandaan na ang sagot tungkol sa produkto ng vector ay wala sa tanong, tinanong kami tungkol sa lugar ng pigura, ayon sa pagkakabanggit, ang sukat ay square units.

Palagi naming tinitingnan kung ANO ang kinakailangan upang matagpuan ng kundisyon, at, batay dito, bumalangkas kami malinaw sagot. Maaaring mukhang literal ito, ngunit may sapat na mga literalista sa mga guro, at ang gawain na may magandang pagkakataon ay babalik para sa rebisyon. Bagaman hindi ito isang partikular na panahunan na pagmamaktol - kung ang sagot ay hindi tama, kung gayon ang isa ay makakakuha ng impresyon na ang tao ay hindi nauunawaan ang mga simpleng bagay at / o hindi nauunawaan ang kakanyahan ng gawain. Ang sandaling ito ay dapat palaging panatilihing nasa ilalim ng kontrol, paglutas ng anumang problema sa mas mataas na matematika, at sa iba pang mga paksa.

Saan napunta ang malaking letrang "en"? Sa prinsipyo, maaari itong maging karagdagan sa solusyon, ngunit upang paikliin ang pag-record, hindi ko ginawa. Umaasa ako na naiintindihan ng lahat iyon at isang pagtatalaga ng parehong bagay.

Sikat na halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 2

Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung

Ang formula para sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok sa pamamagitan ng cross product ay ibinibigay sa mga komento sa kahulugan. Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Sa pagsasagawa, ang gawain ay talagang napaka-pangkaraniwan, ang mga tatsulok sa pangkalahatan ay maaaring pahirapan ka.

Upang malutas ang iba pang mga problema, kailangan namin:

Mga katangian ng produkto ng vector

Napag-isipan na namin ang ilang katangian ng cross product, gayunpaman, isasama ko sila sa listahang ito.

Para sa mga arbitrary na vector at isang arbitrary na numero, ang mga sumusunod na katangian ay wasto:

1) Sa iba pang mga mapagkukunan ng impormasyon, ang item na ito ay karaniwang hindi naka-highlight sa mga katangian, ngunit ito ay napakahalaga sa mga praktikal na termino. Kaya hayaan mo na.

2) - ang ari-arian ay tinalakay din sa itaas, kung minsan ito ay tinatawag anticommutativity... Sa madaling salita, mahalaga ang pagkakasunud-sunod ng mga vector.

3) - kumbinasyon o nag-uugnay mga batas ng isang produkto ng vector. Walang putol na inaalis ang mga constant sa labas ng produkto ng vector. Talaga, ano ang dapat nilang gawin doon?

4) - pamamahagi o distributive mga batas ng isang produkto ng vector. Wala ring problema sa pagpapalawak ng mga bracket.

Bilang isang pagpapakita, isaalang-alang ang isang maikling halimbawa:

Halimbawa 3

Hanapin kung

Solusyon: Ayon sa kondisyon, muling kinakailangan upang mahanap ang haba ng cross product. Isulat natin ang ating thumbnail:

(1) Ayon sa mga nauugnay na batas, inililipat namin ang mga constant sa labas ng dibisyon ng produkto ng vector.

(2) Inilipat namin ang pare-pareho sa labas ng module, habang ang module ay "kumakain" ng minus sign. Ang haba ay hindi maaaring negatibo.

(3) Ang mga sumusunod ay malinaw.

Sagot:

Oras na para maglagay ng kahoy sa apoy:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung

Solusyon: Ang lugar ng tatsulok ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula ... Ang catch ay ang mga vector na "tse" at "de" ay kinakatawan mismo bilang mga kabuuan ng mga vector. Ang algorithm dito ay pamantayan at medyo nakapagpapaalaala sa mga halimbawa 3 at 4 ng aralin Tuldok na produkto ng mga vector... Para sa kalinawan, hatiin natin ang solusyon sa tatlong yugto:

1) Sa unang hakbang, ipinapahayag namin ang produkto ng vector sa mga tuntunin ng produkto ng vector, sa katunayan, ipahayag ang vector sa mga tuntunin ng vector... Wala pang salita tungkol sa haba!

(1) Palitan ang mga expression ng vector.

(2) Gamit ang mga batas sa pamamahagi, pinalawak namin ang mga bracket ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga polynomial.

(3) Gamit ang mga nauugnay na batas, inililipat namin ang lahat ng mga constant sa labas ng mga produkto ng vector. Sa kaunting karanasan, ang mga aksyon 2 at 3 ay maaaring isagawa nang sabay-sabay.

(4) Ang una at huling termino ay katumbas ng zero (zero vector) dahil sa isang kaaya-ayang katangian. Sa pangalawang termino, ginagamit namin ang anticommutativity property ng vector product:

(5) Nagpapakita kami ng mga katulad na termino.

Bilang isang resulta, ang vector ay ipinahayag sa mga tuntunin ng vector, na kung ano ang kinakailangan upang makamit:

2) Sa pangalawang hakbang, nakita namin ang haba ng produkto ng vector na kailangan namin. Ang pagkilos na ito ay kahawig ng Halimbawa 3:

3) Hanapin ang lugar ng kinakailangang tatsulok:

Ang mga yugto 2-3 desisyon ay maaaring makumpleto sa isang linya.

Sagot:

Ang problemang isinasaalang-alang ay karaniwan sa mga test paper, narito ang isang halimbawa para sa isang malayang solusyon:

Halimbawa 5

Hanapin kung

Isang maikling solusyon at sagot sa dulo ng tutorial. Tingnan natin kung gaano ka naging maingat sa pag-aaral ng mga nakaraang halimbawa ;-)

Vector na produkto ng mga vector sa mga coordinate

Ang formula ay talagang simple: sa tuktok na linya ng determinant isinulat namin ang mga coordinate vectors, sa pangalawa at pangatlong linya ay "inilalagay" namin ang mga coordinate ng mga vector, at inilalagay namin sa mahigpit na pagkakasunud-sunod- una ang mga coordinate ng vector "ve", pagkatapos ay ang mga coordinate ng vector na "double-ve". Kung ang mga vector ay kailangang i-multiply sa ibang pagkakasunud-sunod, ang mga linya ay dapat na palitan:

Halimbawa 10

Suriin kung ang mga sumusunod na space vector ay collinear:
a)
b)

Solusyon: Ang tseke ay batay sa isa sa mga pahayag sa araling ito: kung ang mga vector ay collinear, ang kanilang cross product ay katumbas ng zero (zero vector): .

a) Hanapin ang cross product:

Kaya, ang mga vector ay hindi collinear.

b) Hanapin ang cross product:

Sagot: a) hindi collinear, b)

Narito, marahil, ang lahat ng pangunahing impormasyon tungkol sa produkto ng vector ng mga vector.

Ang seksyon na ito ay hindi magiging napakalaki, dahil walang maraming mga gawain kung saan ang isang halo-halong produkto ng mga vector ay ginagamit. Sa katunayan, ang lahat ay nakasalalay sa kahulugan, geometric na kahulugan at isang pares ng mga gumaganang formula.

Ang pinaghalong produkto ng mga vector ay produkto ng tatlong mga vector:

Kaya't pumila sila sa isang maliit na tren at naghihintay, hindi sila makapaghintay na malaman.

Una, muli ang kahulugan at ang larawan:

Kahulugan: Pinaghalong trabaho hindi coplanar mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod ay tinatawag na dami ng isang parallelepiped, na binuo sa ibinigay na mga vector, na binibigyan ng "+" sign kung ang batayan ay tama, at isang "-" sign kung ang batayan ay naiwan.

Kumpletuhin natin ang pagguhit. Ang mga linyang hindi natin nakikita ay iginuhit ng may tuldok na linya:

Sumisid tayo sa kahulugan:

2) Ang mga vector ay kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, iyon ay, ang permutation ng mga vector sa produkto, tulad ng maaari mong hulaan, ay hindi pumasa nang walang mga kahihinatnan.

3) Bago magkomento sa geometric na kahulugan, mapapansin ko ang isang malinaw na katotohanan: Ang pinaghalong produkto ng mga vector ay isang NUMBER:. Sa pang-edukasyon na panitikan, ang disenyo ay maaaring medyo naiiba, ako ay ginagamit upang tukuyin ang isang halo-halong trabaho sa pamamagitan ng, at ang resulta ng mga kalkulasyon sa pamamagitan ng titik "pe".

Sa pamamagitan ng kahulugan ang pinaghalong produkto ay ang dami ng isang parallelepiped binuo sa mga vectors (ang pigura ay iginuhit na may mga pulang vector at itim na linya). Iyon ay, ang bilang ay katumbas ng dami ng parallelepiped na ito.

Tandaan : ang pagguhit ay eskematiko.

4) Huwag na nating pakialaman muli ang konsepto ng base at space orientation. Ang kahulugan ng huling bahagi ay ang isang minus sign ay maaaring idagdag sa volume. Sa simpleng salita, ang isang halo-halong gawain ay maaaring negatibo:.

Ang formula para sa pagkalkula ng volume ng isang parallelepiped na binuo sa mga vector ay direktang sumusunod mula sa kahulugan.

Sa artikulong ito, tatalakayin natin ang konsepto ng cross product ng dalawang vectors. Ibibigay namin ang mga kinakailangang kahulugan, isulat ang isang formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng isang produkto ng vector, ilista at bigyang-katwiran ang mga katangian nito. Pagkatapos nito, tatalakayin natin ang geometric na kahulugan ng produkto ng vector ng dalawang vector at isaalang-alang ang mga solusyon sa iba't ibang karaniwang mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan ng isang cross product.

Bago tukuyin ang isang produkto ng vector, alamin natin ang oryentasyon ng isang ordered triplet ng mga vector sa tatlong-dimensional na espasyo.

Itabi ang mga vectors mula sa isang punto. Depende sa direksyon ng vector, ang triplet ay maaaring kanan o kaliwa. Tingnan natin mula sa dulo ng vector kung paano nangyayari ang pinakamaikling pag-ikot mula sa vector. Kung ang pinakamaikling pag-ikot ay nangyayari sa counterclockwise, kung gayon ang triplet ng mga vector ay tinatawag tama, kung hindi - umalis.

Ngayon kumuha kami ng dalawang non-collinear vectors at. Itabi natin ang mga vector at mula sa punto A. Bumuo tayo ng ilang vector na patayo sa pareho at at. Malinaw, kapag gumagawa ng isang vector, maaari tayong gumawa ng dalawang bagay, na nagbibigay ito ng alinman sa isang direksyon o ang kabaligtaran (tingnan ang ilustrasyon).

Depende sa direksyon ng vector, ang iniutos na triplet ng mga vector ay maaaring kanan o kaliwa.

Kaya malapit na tayo sa kahulugan ng isang produkto ng vector. Ito ay ibinibigay para sa dalawang vectors, na ibinigay sa isang hugis-parihaba na coordinate system ng tatlong-dimensional na espasyo.

Kahulugan.

Vector na produkto ng dalawang vectors at, na ibinigay sa isang hugis-parihaba na coordinate system ng tatlong-dimensional na espasyo, ay tinatawag na isang vector tulad na

Ang produkto ng vector ng mga vector at tinutukoy bilang.

Mga coordinate ng produkto ng vector.

Ngayon bigyan natin ang pangalawang kahulugan ng isang produkto ng vector, na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang mga coordinate nito sa pamamagitan ng mga coordinate ng ibinigay na mga vector at.

Kahulugan.

Sa isang rectangular coordinate system ng three-dimensional na espasyo cross product ng dalawang vectors at ay isang vector, kung saan ang mga coordinate vectors.

Ang kahulugan na ito ay nagbibigay sa amin ng cross product sa coordinate form.

Ito ay maginhawa upang kumatawan sa produkto ng vector sa anyo ng isang determinant ng isang parisukat na matrix ng ikatlong pagkakasunud-sunod, ang unang hilera kung saan ay ang mga vector ng yunit, ang pangalawang hilera ay naglalaman ng mga coordinate ng vector, at ang pangatlo ay naglalaman ng mga coordinate ng ang vector sa isang ibinigay na rectangular coordinate system:

Kung palawakin natin ang determinant na ito sa pamamagitan ng mga elemento ng unang linya, makakakuha tayo ng pagkakapantay-pantay mula sa kahulugan ng isang produkto ng vector sa mga coordinate (kung kinakailangan, sumangguni sa artikulo):

Dapat tandaan na ang coordinate form ng cross product ay ganap na naaayon sa kahulugan na ibinigay sa unang talata ng artikulong ito. Bukod dito, ang dalawang kahulugan na ito ng cross product ay katumbas. Makikita mo ang patunay ng katotohanang ito sa aklat na nakasaad sa dulo ng artikulo.

Mga katangian ng produkto ng vector.

Dahil ang cross product sa mga coordinate ay maaaring katawanin sa anyo ng isang matrix determinant, ang mga sumusunod ay madaling bigyang-katwiran batay sa mga katangian ng produkto ng vector:

Bilang halimbawa, patunayan natin ang anti-commutativity property ng isang vector product.

Sa pamamagitan ng kahulugan at ... Alam namin na ang halaga ng determinant ng matrix ay baligtad kung ang dalawang hanay ay ipinagpalit, samakatuwid, , na nagpapatunay sa pag-aari ng anti-commutativity ng produkto ng vector.

Vector product - mga halimbawa at solusyon.

Mayroong karaniwang tatlong uri ng mga gawain.

Sa mga problema ng unang uri, ang mga haba ng dalawang vector at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay ibinibigay, at kinakailangan upang mahanap ang haba ng produkto ng vector. Sa kasong ito, ginagamit ang formula .

Halimbawa.

Hanapin ang haba ng vector product ng mga vectors at, kung kilala .

Solusyon.

Alam namin mula sa kahulugan na ang haba ng produkto ng vector ng mga vector at ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vector at ang sine ng anggulo sa pagitan nila, samakatuwid, .

Sagot:

.

Ang mga problema ng pangalawang uri ay nauugnay sa mga coordinate ng mga vector, kung saan ang cross product, ang haba nito, o iba pa ay hinahanap sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga ibinigay na vectors at .

Maraming iba't ibang mga pagpipilian ang posible dito. Halimbawa, hindi ang mga coordinate ng mga vector at maaaring tukuyin, ngunit ang kanilang pagpapalawak sa mga coordinate na vector ng form at, o mga vector at maaaring tukuyin sa pamamagitan ng mga coordinate ng kanilang mga punto ng pagsisimula at pagtatapos.

Isaalang-alang natin ang mga karaniwang halimbawa.

Halimbawa.

Dalawang vector ang ibinibigay sa isang rectangular coordinate system ... Hanapin ang kanilang cross product.

Solusyon.

Ayon sa pangalawang kahulugan, ang cross product ng dalawang vectors sa mga coordinate ay nakasulat bilang:

Darating tayo sa parehong resulta kung ang cross product ay nakasulat sa mga tuntunin ng determinant

Sagot:

.

Halimbawa.

Hanapin ang haba ng vector product ng mga vectors at, nasaan ang mga unit vectors ng isang rectangular Cartesian coordinate system.

Solusyon.

Una, hinahanap namin ang mga coordinate ng produkto ng vector sa isang ibinigay na rectangular coordinate system.

Dahil ang mga vector at may mga coordinate at, nang naaayon (kung kinakailangan, tingnan ang artikulong mga coordinate ng isang vector sa isang rectangular coordinate system), pagkatapos ay sa pamamagitan ng pangalawang kahulugan ng isang cross product mayroon kami

Iyon ay, ang cross product ay may mga coordinate sa isang ibinigay na coordinate system.

Nahanap namin ang haba ng produkto ng vector bilang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito (nakuha namin ang formula na ito para sa haba ng isang vector sa seksyon sa paghahanap ng haba ng isang vector):

Sagot:

.

Halimbawa.

Ang mga coordinate ng tatlong puntos ay ibinibigay sa isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system. Maghanap ng ilang vector na patayo at sa parehong oras.

Solusyon.

Mga Vector at may mga coordinate at, ayon sa pagkakabanggit (tingnan ang artikulo sa paghahanap ng mga coordinate ng isang vector sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga puntos). Kung nahanap natin ang produkto ng vector ng mga vectors at, sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay isang vector na patayo sa k at k, iyon ay, ito ang solusyon sa ating problema. Hanapin

Sagot:

- isa sa mga patayong vector.

Sa mga gawain ng ikatlong uri, ang kasanayan sa paggamit ng mga katangian ng produkto ng vector ng mga vector ay nasubok. Pagkatapos ilapat ang mga katangian, ang kaukulang mga formula ay inilapat.

Halimbawa.

Ang mga vector at ay patayo at ang kanilang mga haba ay 3 at 4, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang haba ng cross product .

Solusyon.

Sa pamamagitan ng pag-aari ng distributivity ng isang produkto ng vector, maaari tayong sumulat

Dahil sa kumbinasyong katangian, kinukuha namin ang mga numerical coefficient sa labas ng tanda ng mga produkto ng vector sa huling expression:

Ang mga produkto ng vector at ay katumbas ng zero, dahil at , pagkatapos .

Dahil ang cross product ay anticommutative, kung gayon.

Kaya, gamit ang mga katangian ng produkto ng vector, dumating kami sa pagkakapantay-pantay .

Sa pamamagitan ng kondisyon ang mga vectors at ay patayo, iyon ay, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay pantay. Iyon ay, mayroon kaming lahat ng data upang mahanap ang kinakailangang haba

Sagot:

.

Ang geometric na kahulugan ng produkto ng vector.

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang haba ng produkto ng vector ng mga vectors ay ... At mula sa kursong geometry sa mataas na paaralan, alam natin na ang lugar ng isang tatsulok ay kalahati ng produkto ng mga haba ng dalawang gilid ng tatsulok sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan nila. Dahil dito, ang haba ng produkto ng vector ay katumbas ng dalawang beses sa lugar ng isang tatsulok na may mga vector at mga gilid, kung sila ay itabi mula sa isang punto. Sa madaling salita, ang haba ng produkto ng vector ng mga vector at katumbas ng lugar ng isang paralelogram na may mga gilid at at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay katumbas ng. Ito ang geometric na kahulugan ng isang produkto ng vector.