Video tutorial 2: Ang problema para sa pyramid. Dami ng pyramid

Video tutorial 3: Ang problema para sa pyramid. Tamang pyramid

Lecture: Pyramid, base nito, lateral ribs, taas, lateral surface; tatsulok na pyramid; tamang pyramid

Pyramid Ay isang solidong katawan na may polygon sa base nito, at ang lahat ng mukha nito ay binubuo ng mga tatsulok.

Ang isang partikular na kaso ng isang pyramid ay isang kono na may bilog sa base nito.

Isaalang-alang natin ang mga pangunahing elemento ng pyramid:

Apothem Ay isang segment ng linya na nag-uugnay sa tuktok ng pyramid sa gitna ng ilalim na gilid ng gilid na mukha. Sa madaling salita, ito ay ang taas ng pyramid facet.

Ipinapakita ng figure ang mga tatsulok na ADS, ABS, BCS, CDS. Kung titingnan mong mabuti ang mga pangalan, makikita mo na ang bawat tatsulok ay may isang karaniwang titik sa pangalan nito - S. Ibig sabihin, nangangahulugan ito na ang lahat ng mga gilid na mukha (tatsulok) ay nagtatagpo sa isang punto, na tinatawag na tuktok ng pyramid .

Ang segment na ОS, na nag-uugnay sa vertex sa punto ng intersection ng mga diagonal ng base (sa kaso ng mga triangles, sa punto ng intersection ng mga taas), ay tinatawag taas ng pyramid.

Ang isang diagonal na seksyon ay isang eroplano na dumadaan sa tuktok ng pyramid, pati na rin ang isa sa mga diagonal ng base.

Dahil ang lateral surface ng pyramid ay binubuo ng mga triangles, pagkatapos ay upang mahanap ang kabuuang lugar ng lateral surface, ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga lugar ng bawat mukha at idagdag ang mga ito. Ang bilang at hugis ng mga mukha ay depende sa hugis at sukat ng mga gilid ng polygon na nasa base.

Ang tanging eroplano sa pyramid kung saan hindi nabibilang ang tuktok nito ay tinatawag batayan mga pyramid.

Sa figure, makikita natin na mayroong paralelogram sa base, gayunpaman, maaaring mayroong anumang arbitrary polygon.

Ari-arian:

Isaalang-alang ang unang kaso ng isang pyramid kung saan ito ay may mga gilid ng parehong haba:

• Ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid ng base ng naturang pyramid. Kung i-project mo ang tuktok ng naturang pyramid, ang projection nito ay nasa gitna ng bilog.
• Ang mga anggulo sa base ng pyramid ay pareho para sa bawat mukha.
• Sa kasong ito, ang isang sapat na kondisyon para sa katotohanan na ang isang bilog ay maaaring inilarawan sa paligid ng base ng pyramid, pati na rin upang ipalagay na ang lahat ng mga gilid ay may iba't ibang haba, maaari naming isaalang-alang ang parehong mga anggulo sa pagitan ng base at bawat gilid ng ang mga mukha.

Kung nakatagpo ka ng isang pyramid kung saan ang mga anggulo sa pagitan ng mga gilid na mukha at base ay pantay, kung gayon ang mga sumusunod na katangian ay totoo:

• Magagawa mong ilarawan ang isang bilog sa paligid ng base ng pyramid, kung saan ang tuktok nito ay eksaktong inaasahang nasa gitna.
• Kung gumuhit ka sa bawat gilid na gilid ng taas hanggang sa base, kung gayon sila ay magiging pantay na haba.
• Upang mahanap ang lugar ng lateral surface ng naturang pyramid, sapat na upang mahanap ang perimeter ng base at i-multiply ito sa kalahati ng haba ng taas.
• S bp = 0.5P oc H.
• Mga uri ng pyramid.
• Depende sa kung aling polygon ang nasa base ng pyramid, maaari silang maging triangular, quadrangular, atbp. Kung ang isang regular na polygon (na may pantay na panig) ay nasa base ng pyramid, kung gayon ang naturang pyramid ay tatawaging regular.

Regular na triangular na pyramid

Ang video tutorial na ito ay makakatulong sa mga user na magkaroon ng ideya sa tema ng Pyramid. Tamang pyramid. Sa araling ito ay makikilala natin ang konsepto ng pyramid, bibigyan natin ito ng kahulugan. Isaalang-alang natin kung ano ang isang regular na pyramid at kung ano ang mga katangian nito. Pagkatapos ay patunayan namin ang theorem sa lateral surface ng isang regular na pyramid.

Sa araling ito ay makikilala natin ang konsepto ng pyramid, bibigyan natin ito ng kahulugan.

Isaalang-alang ang isang polygon A 1 A 2...Isang n, na namamalagi sa eroplano α, at ang punto P, na hindi namamalagi sa eroplano α (Larawan 1). Ikonekta natin ang punto P may mga taluktok A 1, A 2, A 3, … Isang n... Nakukuha namin n mga tatsulok: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R atbp.

Kahulugan... Polyhedron RA 1 A 2 ... A n gawa sa n-gonal A 1 A 2...Isang n at n mga tatsulok RA 1 A 2, RA 2 A 3 …PA n А n-1 ang tinatawag n-gonal pyramid. kanin. isa.

kanin. isa

Isaalang-alang ang isang quadrangular pyramid PABCD(fig. 2).

R- tuktok ng pyramid.

A B C D- ang base ng pyramid.

RA- lateral rib.

AB- gilid ng base.

Mula sa punto R alisin ang patayo PH sa eroplano ng base A B C D... Ang iginuhit na patayo ay ang taas ng pyramid.

kanin. 2

Ang buong ibabaw ng pyramid ay binubuo ng lateral surface, iyon ay, ang lugar ng lahat ng lateral na mukha, at ang base area:

S puno = S gilid + S pangunahing

Ang isang pyramid ay tinatawag na tama kung:

• ang base nito ay isang regular na polygon;
• ang line segment na nagdudugtong sa tuktok ng pyramid sa gitna ng base ay ang taas nito.

Paliwanag sa halimbawa ng isang regular na quadrangular pyramid

Isaalang-alang ang isang regular na quadrangular pyramid PABCD(fig. 3).

R- tuktok ng pyramid. Base ng pyramid A B C D- isang regular na quadrangle, iyon ay, isang parisukat. Dot O, ang intersection point ng mga diagonal, ay ang sentro ng parisukat. Ibig sabihin, RO ay ang taas ng pyramid.

kanin. 3

Paliwanag: sa tama n-gon, ang gitna ng inscribed na bilog at ang gitna ng circumcircle ay magkasabay. Ang sentrong ito ay tinatawag na sentro ng polygon. Minsan sinasabi na ang tuktok ay naka-project sa gitna.

Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa tuktok nito ay tinatawag apothem at ipinapahiwatig h a.

1. lahat ng lateral edge ng isang regular na pyramid ay pantay;

2. ang mga gilid na mukha ay pantay na isosceles triangles.

Ang patunay ng mga katangiang ito ay ibinigay sa pamamagitan ng halimbawa ng isang regular na quadrangular pyramid.

Ibinigay: PAVSD- regular na quadrangular pyramid,

A B C D- parisukat,

RO- ang taas ng pyramid.

Patunayan:

1. PA = PB = PC = PD

2.∆АВР = ∆ВСР = ∆СDP = ∆DAP Tingnan ang Fig. 4.

kanin. 4

Patunay.

RO- ang taas ng pyramid. Ibig sabihin, straight RO patayo sa eroplano ABC, at samakatuwid ay direkta AO, VO, SO at GAWIN nakahiga sa loob nito. Kaya ang mga tatsulok ROA, ROV, ROS, POD- hugis-parihaba.

Isaalang-alang ang isang parisukat A B C D... Ito ay sumusunod mula sa mga katangian ng parisukat na AO = BO = CO = GAWIN.

Pagkatapos ay mayroon ang mga tamang tatsulok ROA, ROV, ROS, POD binti RO- pangkalahatan at mga binti AO, VO, SO at GAWIN ay pantay, na nangangahulugan na ang mga tatsulok na ito ay pantay sa dalawang binti. Ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay ng mga segment, PA = PB = PC = PD. Ang item 1 ay napatunayan.

Mga segment AB at Araw ay pantay, dahil sila ay mga gilid ng parehong parisukat, RA = PB = RS... Kaya ang mga tatsulok ABP at HRV - isosceles at pantay sa tatlong panig.

Katulad nito, nakita namin na ang mga tatsulok ATS, BCP, CDP, DAP ay isosceles at pantay, gaya ng kinakailangan upang patunayan sa talata 2.

Ang lateral surface area ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng base perimeter na beses ang apothem:

Para sa patunay, pumili kami ng isang regular na triangular na pyramid.

Ibinigay: RAVS- regular na triangular na pyramid.

AB = BC = AC.

RO- taas.

Patunayan: ... Tingnan ang Fig. 5.

kanin. 5

Patunay.

RAVS- regular na triangular na pyramid. Yan ay AB= AC = BC... Hayaan O- ang gitna ng tatsulok ABC, pagkatapos RO ay ang taas ng pyramid. Isang equilateral triangle ang nasa base ng pyramid ABC... pansinin mo yan .

Mga tatsulok RAV, RVS, RSA- pantay na isosceles triangles (ayon sa ari-arian). Ang tatsulok na pyramid ay may tatlong gilid na mukha: RAV, RVS, RSA... Nangangahulugan ito na ang lugar ng gilid na ibabaw ng pyramid ay katumbas ng:

S gilid = 3S RAV

Ang teorama ay napatunayan.

Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa base ng isang regular na quadrangular pyramid ay 3 m, ang taas ng pyramid ay 4 m. Hanapin ang lugar ng gilid na ibabaw ng pyramid.

Ibinigay: regular na quadrangular pyramid A B C D,

A B C D- parisukat,

r= 3 m,

RO- ang taas ng pyramid,

RO= 4 m.

Hanapin: S gilid. Tingnan ang Fig. 6.

kanin. 6

Solusyon.

Sa pamamagitan ng napatunayang teorama,.

Hanapin muna natin ang gilid ng base AB... Alam namin na ang radius ng isang bilog na nakasulat sa base ng isang regular na quadrangular pyramid ay 3 m.

Pagkatapos, m.

Hanapin ang perimeter ng parisukat A B C D na may gilid na 6 m:

Isaalang-alang ang isang tatsulok BCD... Hayaan M- gitna ng gilid DC... kasi O- gitna BD, pagkatapos (m).

Tatsulok DPC- isosceles. M- gitna DC... Yan ay, RM- ang median, at samakatuwid ang taas sa tatsulok DPC... Pagkatapos RM- ang apothem ng pyramid.

RO- ang taas ng pyramid. Tapos, straight RO patayo sa eroplano ABC, at samakatuwid ay ang tuwid na linya OM nakahiga sa loob nito. Maghanap ng apothem RM mula sa isang tamang tatsulok ROM.

Ngayon ay mahahanap natin ang gilid na ibabaw ng pyramid:

Sagot: 60 m 2.

Ang radius ng isang bilog na nakapaligid sa base ng isang regular na triangular na pyramid ay m. Ang lateral surface area ay 18 m 2. Hanapin ang haba ng apothem.

Ibinigay: ABCP- regular na tatsulok na pyramid,

AB = BC = CA,

R= m,

S gilid = 18 m 2.

Hanapin:. Tingnan ang Fig. 7.

kanin. 7

Solusyon.

Sa isang regular na tatsulok ABC ibinibigay ang radius ng circumscribed circle. Humanap tayo ng side AB ang tatsulok na ito gamit ang sine theorem.

Ang pag-alam sa gilid ng isang regular na tatsulok (m), nakita natin ang perimeter nito.

Sa pamamagitan ng theorem sa lateral surface area ng isang regular na pyramid, kung saan h a- ang apothem ng pyramid. Pagkatapos:

Sagot: 4 m.

Kaya, sinuri namin kung ano ang isang pyramid, kung ano ang isang regular na pyramid, at pinatunayan ang teorama sa lateral surface ng isang regular na pyramid. Sa susunod na aralin, ipapakilala sa atin ang Truncated Pyramid.

Bibliograpiya

1. Geometry. Baitang 10-11: isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon (basic at profile level) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5th ed., Rev. at idagdag. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 288 p.: Ill.
2. Geometry. Baitang 10-11: Teksbuk para sa pangkalahatang mga institusyong pang-edukasyon / Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p.: Ill.
3. Geometry. Baitang 10: Teksbuk para sa mga institusyong pang-edukasyon na may malalim at dalubhasang pag-aaral ng matematika / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ika-6 na ed., Stereotype. - M .: Bustard, 008 .-- 233 p.: ill.

1. Internet portal na "Yaklass" ()
2. Internet portal na "Festival of pedagogical ideas" ika-1 ng Setyembre "()
3. Internet portal na "Slideshare.net" ()

Takdang aralin

1. Maaari bang ang isang regular na polygon ang maging batayan ng isang hindi regular na pyramid?
2. Patunayan na ang magkahiwalay na mga gilid ng isang regular na pyramid ay patayo.
3. Hanapin ang halaga ng dihedral angle sa gilid ng base ng isang regular na quadrangular pyramid kung ang apothem ng pyramid ay katumbas ng gilid ng base nito.
4. RAVS- regular na triangular na pyramid. Buuin ang linear na anggulo ng dihedral sa base ng pyramid.

Kahulugan. Gilid na gilid ay isang tatsulok, ang isang sulok nito ay nasa tuktok ng pyramid, at ang kabaligtaran na bahagi ay tumutugma sa gilid ng base (polygon).

Kahulugan. Mga tadyang sa gilid ay ang karaniwang mga gilid ng mga gilid na mukha. Ang pyramid ay may kasing dami ng mga gilid gaya ng mga sulok ng polygon.

Kahulugan. Taas ng pyramid- ito ay isang patayo, ibinaba mula sa itaas hanggang sa base ng pyramid.

Kahulugan. Apothem- ito ang patayo sa gilid na mukha ng pyramid, na ibinaba mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa gilid ng base.

Kahulugan. Diagonal na seksyon ay isang seksyon ng pyramid sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa tuktok ng pyramid at ang dayagonal ng base.

Kahulugan. Tamang pyramid ay isang pyramid kung saan ang base ay isang regular na polygon, at ang taas ay bumababa sa gitna ng base.

Dami at lugar sa ibabaw ng pyramid

Formula. Ang dami ng pyramid sa pamamagitan ng base area at taas:

Mga katangian ng pyramid

Kung ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay, kung gayon ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid ng base ng pyramid, at ang gitna ng base ay tumutugma sa gitna ng bilog. Gayundin, ang patayo na bumaba mula sa itaas ay dumadaan sa gitna ng base (bilog).

Kung ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay, kung gayon sila ay hilig sa eroplano ng base sa parehong mga anggulo.

Ang mga gilid ng gilid ay pantay kapag bumubuo ang mga ito ng pantay na mga anggulo sa base plane o kung ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid ng base ng pyramid.

Kung ang mga gilid na mukha ay nakakiling sa base plane sa isang anggulo, kung gayon ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa base ng pyramid, at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna nito.

Kung ang mga mukha sa gilid ay nakakiling sa base plane sa parehong anggulo, kung gayon ang mga apothems ng mga gilid na mukha ay pantay.

Mga katangian ng isang regular na pyramid

1. Ang tuktok ng pyramid ay katumbas ng layo mula sa lahat ng sulok ng base.

2. Lahat ng side ribs ay pantay.

3. Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay slope sa parehong anggulo sa base.

4. Ang mga apothems ng lahat ng lateral na mukha ay pantay.

5. Ang mga lugar ng lahat ng panig na mukha ay pantay.

6. Ang lahat ng mga mukha ay may parehong dihedral (flat) na anggulo.

7. Ang isang sphere ay maaaring ilarawan sa paligid ng pyramid. Ang gitna ng circumscribed sphere ay ang punto ng intersection ng mga perpendicular na dumadaan sa gitna ng mga gilid.

8. Maaaring may nakasulat na sphere sa pyramid. Ang gitna ng inscribed sphere ay ang intersection point ng mga bisector na nagmumula sa anggulo sa pagitan ng gilid at base.

9. Kung ang gitna ng inscribed sphere ay tumutugma sa gitna ng circumscribed sphere, kung gayon ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano sa vertex ay katumbas ng π o vice versa, ang isang anggulo ay katumbas ng π / n, kung saan ang n ay ang numero ng mga anggulo sa base ng pyramid.

Ang koneksyon ng pyramid sa globo

Ang isang globo ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang pyramid kapag ang isang polyhedron ay nasa base ng pyramid kung saan ang isang bilog ay maaaring ilarawan (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang gitna ng globo ay magiging punto ng intersection ng mga eroplano na dumaraan nang patayo sa mga midpoint ng mga gilid na gilid ng pyramid.

Ang isang globo ay palaging maaaring ilarawan sa paligid ng anumang triangular o regular na pyramid.

Maaaring maglagay ng sphere sa pyramid kung ang mga bisector plane ng inner dihedral na mga anggulo ng pyramid ay nagsalubong sa isang punto (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang puntong ito ang magiging sentro ng globo.

Koneksyon ng isang pyramid na may isang kono

Ang isang kono ay tinatawag na inscribed sa isang pyramid kung ang kanilang mga tuktok ay magkakasabay at ang base ng kono ay nakasulat sa base ng pyramid.

Ang isang kono ay maaaring ma-inscribe sa isang pyramid kung ang mga apothems ng pyramid ay katumbas ng bawat isa.

Ang isang kono ay tinatawag na circumscribed sa paligid ng isang pyramid kung ang kanilang mga tuktok ay nag-tutugma, at ang base ng kono ay napapaligiran sa paligid ng base ng pyramid.

Ang isang kono ay maaaring ilarawan sa paligid ng pyramid kung ang lahat ng mga gilid na gilid ng pyramid ay pantay sa bawat isa.

Koneksyon ng isang pyramid na may isang silindro

Ang isang pyramid ay sinasabing naka-inscribe sa isang silindro kung ang tuktok ng pyramid ay nasa isang base ng cylinder, at ang base ng pyramid ay naka-inscribe sa kabilang base ng cylinder.

Ang isang silindro ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang pyramid kung ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid ng base ng pyramid.

Ang isang tetrahedron ay may apat na mukha at apat na vertice at anim na gilid, kung saan ang alinmang dalawang gilid ay walang mga karaniwang vertex ngunit hindi magkadikit.

Ang bawat taluktok ay may tatlong mukha at gilid na nabubuo tatsulok na sulok.

Ang segment na nagkokonekta sa vertex ng tetrahedron sa gitna ng kabaligtaran na mukha ay tinatawag median na tetrahedron(GM).

Bimedian ay ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng magkasalungat na mga gilid na hindi nakikipag-ugnayan (KL).

Ang lahat ng bimedians at median ng tetrahedron ay nagtatagpo sa isang punto (S). Sa kasong ito, ang mga bimedian ay nahahati sa kalahati, at ang mga median sa ratio na 3: 1, simula sa itaas.

Kahulugan. Acute-angled pyramid- ito ay isang pyramid kung saan ang apothem ay higit sa kalahati ng haba ng gilid ng base.

Kahulugan. Obtuse pyramid- ito ay isang pyramid kung saan ang apothem ay mas mababa sa kalahati ng haba ng gilid ng base.

Kahulugan. Regular na tetrahedron- isang tetrahedron kung saan ang lahat ng apat na mukha ay equilateral triangles. Ito ay isa sa limang regular na polygons. Sa isang regular na tetrahedron, lahat ng dihedral na anggulo (sa pagitan ng mga mukha) at trihedral na anggulo (sa vertex) ay pantay.

Kahulugan. Parihabang tetrahedron ay tinatawag na tetrahedron na may tamang anggulo sa pagitan ng tatlong gilid sa vertex (ang mga gilid ay patayo). Tatlong mukha ang nabuo hugis-parihaba tatsulok na sulok at ang mga mukha ay right-angled triangles, at ang base ay isang arbitrary triangle. Ang apothem ng anumang facet ay katumbas ng kalahati ng gilid ng base kung saan nahuhulog ang apothem.

Kahulugan. Equhedral tetrahedron tinatawag na tetrahedron kung saan ang mga gilid ng mukha ay pantay sa bawat isa, at ang base ay isang regular na tatsulok. Para sa gayong tetrahedron, ang mga mukha ay isosceles triangles.

Kahulugan. Orthocentric tetrahedron ay tinatawag na tetrahedron kung saan ang lahat ng taas (perpendiculars) na ibinababa mula sa itaas hanggang sa tapat na mukha ay nagsalubong sa isang punto.

Kahulugan. Piramid ng bituin ay tinatawag na polyhedron na ang base ay isang bituin.

Pyramid. Pinutol na pyramid

Pyramid ay tinatawag na polyhedron, ang isa sa mga mukha ay isang polygon ( base ), at lahat ng iba pang mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex ( mga mukha sa gilid ) (fig. 15). Ang pyramid ay tinatawag tama , kung ang base nito ay isang regular na polygon at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng base (Larawan 16). Ang isang tatsulok na pyramid kung saan ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag tetrahedron .

Tadyang sa gilid ang pyramid ay ang gilid ng gilid na mukha na hindi kabilang sa base taas Ang pyramid ay tinatawag na distansya mula sa tuktok nito hanggang sa eroplano ng base. Ang lahat ng mga lateral edge ng isang regular na pyramid ay pantay-pantay sa isa't isa, lahat ng lateral edges ay pantay na isosceles triangles. Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa itaas ay tinatawag apothem . Diagonal na seksyon ang seksyon ng pyramid ay tinatawag na eroplanong dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa isang mukha.

Lateral surface area pyramid ay tinatawag na kabuuan ng mga lugar ng lahat ng panig na mukha. Buong lugar sa ibabaw tinatawag na kabuuan ng mga lugar ng lahat ng panig na mukha at ang base.

Theorems

1. Kung sa isang pyramid ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay na nakakiling sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakapaligid sa base.

2. Kung sa pyramid ang lahat ng mga gilid ng gilid ay may pantay na haba, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakapaligid sa base.

3. Kung sa pyramid ang lahat ng mga mukha ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakasulat sa base.

Upang kalkulahin ang volume ng isang arbitrary pyramid, ang sumusunod na formula ay tama:

saan V- dami;

S pangunahing- base na lugar;

H- ang taas ng pyramid.

Para sa tamang pyramid, tama ang mga formula:

saan p- base perimeter;

h a- apothem;

H- taas;

S puno

S gilid

S pangunahing- base na lugar;

V- ang dami ng tamang pyramid.

Pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng pyramid, na nakapaloob sa pagitan ng base at ng secant plane na kahanay sa base ng pyramid (Fig. 17). Regular na pinutol na pyramid ay tinatawag na bahagi ng isang regular na pyramid, na nakapaloob sa pagitan ng base at ng secant plane na kahanay sa base ng pyramid.

Mga pundasyon pinutol na mga pyramids - mga katulad na polygon. Mga mukha sa gilid - trapezoid. taas ang pinutol na pyramid ay ang distansya sa pagitan ng mga base nito. dayagonal ang pinutol na pyramid ay tinatawag na segment na nagdudugtong sa mga vertice nito na hindi nakahiga sa parehong mukha. Diagonal na seksyon ang isang seksyon ng isang pinutol na pyramid ay tinatawag na isang eroplanong dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa isang mukha.

Para sa isang pinutol na pyramid, ang mga sumusunod na formula ay wasto:

(4)

saan S 1 , S 2 - mga lugar ng upper at lower base;

S puno- kabuuang lugar sa ibabaw;

S gilid- lateral surface area;

H- taas;

V- ang dami ng pinutol na pyramid.

Para sa tamang pinutol na pyramid, tama ang formula:

saan p 1 , p 2 - mga perimeter ng mga base;

h a- ang apothem ng regular na pinutol na pyramid.

Halimbawa 1. Sa isang regular na triangular na pyramid, ang dihedral na anggulo sa base ay 60º. Hanapin ang padaplis ng anggulo ng pagkahilig ng gilid na gilid sa eroplano ng base.

Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (fig. 18).

Regular ang pyramid, kaya sa base ay may equilateral triangle at lahat ng side face ay pantay na isosceles triangle. Ang anggulo ng dihedral sa base ay ang anggulo ng pagkahilig ng gilid na mukha ng pyramid sa eroplano ng base. Ang linear na anggulo ay ang anggulo a sa pagitan ng dalawang perpendicular: at i.e. Ang tuktok ng pyramid ay inaasahang nasa gitna ng tatsulok (ang gitna ng bilog na bilog at ang nakasulat na bilog sa tatsulok ABC). Ang anggulo ng pagkahilig ng lateral rib (halimbawa SB) Ay ang anggulo sa pagitan ng gilid mismo at ang projection nito papunta sa eroplano ng base. Para sa tadyang SB ang anggulong ito ang magiging anggulo SBD... Upang mahanap ang padaplis, kailangan mong malaman ang mga binti KAYA at OB... Hayaan ang haba ng segment BD ay katumbas ng 3 a... Dot O seksyon BD ay nahahati sa mga bahagi: at Mula sa nakita natin KAYA: Mula sa nakita namin:

Sagot:

Halimbawa 2. Hanapin ang volume ng isang regular na truncated quadrangular pyramid kung ang mga diagonal ng mga base nito ay cm at cm, at ang taas ay 4 cm.

Solusyon. Upang mahanap ang dami ng pinutol na pyramid, ginagamit namin ang formula (4). Upang mahanap ang lugar ng mga base, kailangan mong hanapin ang mga gilid ng mga base square, alam ang kanilang mga diagonal. Ang mga gilid ng mga base ay 2 cm at 8 cm, ayon sa pagkakabanggit. Kaya ang mga lugar ng mga base at Ang pagkakaroon ng palitan ng lahat ng data sa formula, kinakalkula namin ang dami ng pinutol na pyramid:

Sagot: 112 cm 3.

Halimbawa 3. Hanapin ang lugar ng gilid na mukha ng isang regular na triangular na pinutol na pyramid, ang mga gilid ng mga base nito ay 10 cm at 4 cm, at ang taas ng pyramid ay 2 cm.

Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (fig. 19).

Ang gilid na mukha ng pyramid na ito ay isang isosceles trapezoid. Upang makalkula ang lugar ng isang trapezoid, kailangan mong malaman ang base at taas. Ang mga base ay ibinibigay sa pamamagitan ng kondisyon, tanging ang taas ay nananatiling hindi kilala. Hahanapin natin kung saan A 1 E patayo mula sa punto A 1 sa eroplano ng ibabang base, A 1 D- patayo mula sa A 1 sa AS. A 1 E= 2 cm, dahil ito ang taas ng pyramid. Hanapin DE gumawa tayo ng karagdagang pagguhit, na maglalarawan ng tuktok na view (fig. 20). Dot O- projection ng mga sentro ng upper at lower base. mula noong (tingnan ang fig. 20) at Sa kabilang banda OK Ay ang radius ng inscribed na bilog at OM- radius ng inscribed na bilog:

MK = DE.

Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem mula sa

Lugar sa gilid ng mukha:

Sagot:

Halimbawa 4. Sa base ng pyramid ay namamalagi ang isang isosceles trapezoid, ang mga base nito a at b (a> b). Ang bawat panig na mukha ay bumubuo ng isang anggulo na ang base plane ng pyramid ay katumbas ng j... Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid.

Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (fig. 21). Kabuuang lugar ng ibabaw ng pyramid SABCD katumbas ng kabuuan ng mga lugar at lugar ng trapezoid A B C D.

Gamitin natin ang pahayag na kung ang lahat ng mga mukha ng pyramid ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ay inaasahang sa gitna ng bilog na nakasulat sa base. Dot O- projection ng vertex S sa base ng pyramid. Tatsulok SOD ay ang orthogonal projection ng tatsulok CSD sa eroplano ng base. Sa pamamagitan ng theorem sa lugar ng isang orthogonal projection ng isang plane figure, nakukuha natin:

Katulad nito, ang ibig sabihin nito Kaya, ang gawain ay nabawasan sa paghahanap ng lugar ng trapezoid A B C D... Gumuhit ng trapezoid A B C D hiwalay (fig. 22). Dot O- ang gitna ng bilog na nakasulat sa trapezoid.

Dahil ang isang bilog ay maaaring isulat sa isang trapezoid, alinman sa Mula, sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, mayroon tayong

• apothem- ang taas ng gilid na mukha ng regular na pyramid, na iginuhit mula sa tuktok nito (bilang karagdagan, ang apothem ay ang haba ng patayo, na ibinaba mula sa gitna ng regular na polygon hanggang 1 sa mga gilid nito);
• mga mukha sa gilid (ASB, BSC, CSD, DSA) - mga tatsulok na nagtatagpo sa tuktok;
• gilid tadyang ( AS , BS , Cs , DS ) - karaniwang mga gilid ng mga gilid na mukha;
• tuktok ng pyramid (t. S) - isang punto na nag-uugnay sa mga gilid ng gilid at hindi namamalagi sa eroplano ng base;
• taas ( KAYA ) - isang segment ng patayo, na iginuhit sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base nito (ang mga dulo ng naturang segment ay magiging tuktok ng pyramid at ang base ng patayo);
• diagonal na seksyon ng pyramid- seksyon ng pyramid, na dumadaan sa tuktok at sa dayagonal ng base;
• base (A B C D) - isang polygon kung saan hindi nabibilang ang tuktok ng pyramid.

Mga katangian ng pyramid.

1. Kapag ang lahat ng tadyang sa gilid ay magkapareho ang laki, kung gayon:

• madaling ilarawan ang isang bilog na malapit sa base ng pyramid, habang ang tuktok ng pyramid ay ipapakita sa gitna ng bilog na ito;
• ang mga lateral ribs ay bumubuo ng pantay na mga anggulo sa base plane;
• saka totoo din ang kabaligtaran, i.e. kapag ang mga gilid ng gilid ay bumubuo ng pantay na mga anggulo sa base plane, o kapag ang isang bilog ay maaaring ilarawan malapit sa base ng pyramid at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang sa gitna ng bilog na ito, kung gayon ang lahat ng mga gilid na gilid ng pyramid ay may parehong laki.

2. Kapag ang mga mukha sa gilid ay may anggulo ng pagkahilig sa eroplano ng base ng parehong magnitude, kung gayon:

• madaling ilarawan ang isang bilog na malapit sa base ng pyramid, habang ang tuktok ng pyramid ay ipapakita sa gitna ng bilog na ito;
• ang taas ng mga gilid na mukha ay pantay na haba;
• ang lateral surface area ay ½ ng produkto ng base perimeter ayon sa taas ng lateral face.

3. Ang isang sphere ay maaaring ilarawan malapit sa isang pyramid kung ang isang polygon ay nasa base ng pyramid kung saan ang isang bilog ay maaaring ilarawan (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang gitna ng globo ay magiging punto ng intersection ng mga eroplano na dumadaan sa mga midpoint ng mga gilid ng pyramid na patayo sa kanila. Mula sa teorama na ito, napagpasyahan namin na ang isang globo ay maaaring ilarawan kapwa sa paligid ng anumang tatsulok at sa paligid ng anumang regular na pyramid.

4. Maaaring maglagay ng sphere sa pyramid kung ang mga bisector plane ng inner dihedral na mga anggulo ng pyramid ay magsalubong sa 1st point (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang puntong ito ay magiging sentro ng globo.

Ang pinakasimpleng pyramid.

Sa bilang ng mga anggulo, ang base ng pyramid ay nahahati sa triangular, quadrangular, at iba pa.

Ang pyramid ay tatsulok, quadrangular, at iba pa, kapag ang base ng pyramid ay isang tatsulok, isang quadrangle, at iba pa. Ang isang tatsulok na pyramid ay isang tetrahedron - isang tetrahedron. Quadrangular - pentahedron at iba pa.