Ang mga trigonometric formula ay mga espesyal na kaso. Paglutas ng mga equation ng trigonometriko

Aralin at presentasyon sa paksa: "Paglutas ng mga simpleng trigonometriko equation"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang anti-virus program.

Mga manual at simulator sa Integral online na tindahan para sa grade 10 mula sa 1C
Malulutas namin ang mga problema sa geometry. Mga interactive na gawain para sa pagbuo sa espasyo
Kapaligiran ng software "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Ang pag-aaralan natin:
1. Ano ang mga trigonometric equation?

3. Dalawang pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.
4. Homogeneous trigonometriko equation.
5. Mga halimbawa.

Ano ang trigonometric equation?

Guys, napag-aralan na natin ang arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent. Ngayon tingnan natin ang mga trigonometric equation sa pangkalahatan.

Ang mga equation ng trigonometric ay mga equation kung saan ang isang variable ay nakapaloob sa ilalim ng tanda ng isang function na trigonometric.

Ulitin natin ang anyo ng paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko:

1) Kung |a|≤ 1, ang equation na cos(x) = a ay may solusyon:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Kung |a|≤ 1, kung gayon ang equation na sin(x) = a ay may solusyon:

3) Kung |a| > 1, kung gayon ang equation na sin(x) = a at cos(x) = a ay walang mga solusyon 4) Ang equation na tg(x)=a ay may solusyon: x=arctg(a)+ πk

5) Ang equation na ctg(x)=a ay may solusyon: x=arcctg(a)+ πk

Para sa lahat ng mga formula k ay isang integer

Ang pinakasimpleng trigonometriko equation ay may anyo: T(kx+m)=a, T ay ilang trigonometric function.

Lutasin ang mga equation: a) sin(3x)= √3/2

Solusyon:

A) Ipahiwatig natin ang 3x=t, pagkatapos ay muling isusulat natin ang ating equation sa anyo:

Ang solusyon sa equation na ito ay magiging: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Mula sa talahanayan ng mga halaga ay nakukuha natin: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Bumalik tayo sa ating variable: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Pagkatapos x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Sagot: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kung saan ang n ay isang integer. (-1)^n – minus one sa kapangyarihan ng n.

Higit pang mga halimbawa ng trigonometric equation.

Solusyon:

A) Sa pagkakataong ito, dumiretso tayo sa pagkalkula ng mga ugat ng equation kaagad:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Pagkatapos x/5= πk => x=5πk

Sagot: x=5πk, kung saan ang k ay isang integer.

B) Isinulat namin ito sa anyong: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Alam natin na: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Sagot: x=2π/9 + πk/3, kung saan ang k ay isang integer.

Lutasin ang mga equation: cos(4x)= √2/2. At hanapin ang lahat ng mga ugat sa segment.

Solusyon:

Lutasin natin ang ating equation sa pangkalahatang anyo: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Ngayon tingnan natin kung anong mga ugat ang nahuhulog sa ating segment. Sa k Sa k=0, x= π/16, tayo ay nasa ibinigay na segment.
Sa k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, pumutok muli kami.
Para sa k=2, x= π/16+ π=17π/16, ngunit dito hindi kami tumama, ibig sabihin, para sa malaking k ay halatang hindi rin kami tatama.

Sagot: x= π/16, x= 9π/16

Dalawang pangunahing paraan ng solusyon.

Lutasin natin ang equation:

Solusyon:
Upang malutas ang aming equation, gagamitin namin ang paraan ng pagpapakilala ng bagong variable, na nagsasaad ng: t=tg(x).

Bilang resulta ng kapalit na nakukuha natin: t 2 + 2t -1 = 0

Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic equation: t=-1 at t=1/3

Pagkatapos tg(x)=-1 at tg(x)=1/3, nakukuha natin ang pinakasimpleng trigonometric equation, hanapin natin ang mga ugat nito.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Sagot: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang equation

Lutasin ang mga equation: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Solusyon:

Gamitin natin ang pagkakakilanlan: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Ang aming equation ay kukuha ng anyo: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Ipakilala natin ang kapalit na t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Ang solusyon sa aming quadratic equation ay ang mga ugat: t=2 at t=-1/2

Pagkatapos cos(x)=2 at cos(x)=-1/2.

kasi Ang cosine ay hindi maaaring kumuha ng mga halaga na higit sa isa, kung gayon ang cos(x)=2 ay walang mga ugat.

Para sa cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Sagot: x= ±2π/3 + 2πk

Mga homogeneous na trigonometric equation.

Mga equation ng form

homogenous trigonometriko equation ng ikalawang antas.

Upang malutas ang isang homogenous na trigonometric equation ng unang degree, hatiin ito sa cos(x): Hindi mo maaaring hatiin sa cosine kung ito ay katumbas ng zero, siguraduhin nating hindi ito ang kaso:
Hayaan ang cos(x)=0, pagkatapos asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ngunit ang sine at cosine ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras, nakakakuha tayo ng kontradiksyon, upang ligtas nating hatiin sa pamamagitan ng zero.

Lutasin ang equation:
Halimbawa: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Solusyon:

Kunin natin ang karaniwang salik: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Pagkatapos ay kailangan nating lutasin ang dalawang equation:

Cos(x)=0 at cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 sa x= π/2 + πk;

Isaalang-alang ang equation cos(x)+sin(x)=0 Hatiin ang ating equation sa cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Sagot: x= π/2 + πk at x= -π/4+πk

Paano malutas ang mga homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree?
Guys, laging sundin ang mga patakarang ito!

1. Tingnan kung ano ang katumbas ng coefficient a, kung a=0 ang ating equation ay kukuha ng anyo na cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), isang halimbawa ng solusyon na nasa nakaraang slide

2. Kung a≠0, pagkatapos ay kailangan mong hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng cosine squared, makuha namin ang:

Binago namin ang variable t=tg(x) at makuha ang equation:

Lutasin ang halimbawa Blg.:3

Hatiin natin ang magkabilang panig ng equation sa cosine square:

Binabago namin ang variable na t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic equation: t=-3 at t=1

Pagkatapos: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Sagot: x=-arctg(3) + πk at x= π/4+ πk

Lutasin ang halimbawa Blg.:4

Solusyon:
Ibahin natin ang ating ekspresyon:

Maaari nating lutasin ang mga naturang equation: x= - π/4 + 2πk at x=5π/4 + 2πk

Sagot: x= - π/4 + 2πk at x=5π/4 + 2πk

Lutasin ang halimbawa blg.:5

Solusyon:
Ibahin natin ang ating ekspresyon:

Ipakilala natin ang kapalit na tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Ang solusyon sa ating quadratic equation ay ang mga ugat: t=-2 at t=1/2

Pagkatapos ay makukuha natin ang: tg(2x)=-2 at tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Sagot: x=-arctg(2)/2 + πk/2 at x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Mga problema para sa malayang solusyon.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) Lutasin ang mga equation: sin(3x)= √3/2. At hanapin ang lahat ng mga ugat sa segment [π/2; π].

3) Lutasin ang equation: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) Lutasin ang equation: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lutasin ang equation: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lutasin ang equation: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Maaari kang mag-order ng isang detalyadong solusyon sa iyong problema!!!

Ang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng tanda ng isang trigonometric function (`sin x, cos x, tan x` o `ctg x`) ay tinatawag na trigonometric equation, at ito ay ang kanilang mga formula na aming isasaalang-alang pa.

Ang pinakasimpleng equation ay ang `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kung saan ang `x` ay ang anggulo na makikita, ang `a` ay anumang numero. Isulat natin ang mga root formula para sa bawat isa sa kanila.

1. Equation `sin x=a`.

Para sa `|a|>1` wala itong mga solusyon.

Kapag `|a| Ang \leq 1` ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Root formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Equation `cos x=a`

Para sa `|a|>1` - tulad ng sa kaso ng sine, wala itong mga solusyon sa mga totoong numero.

Kapag `|a| Ang \leq 1` ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Root formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Mga espesyal na kaso para sa sine at cosine sa mga graph.

3. Equation `tg x=a`

Mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon para sa anumang halaga ng `a`.

Root formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Equation `ctg x=a`

Mayroon ding walang katapusang bilang ng mga solusyon para sa anumang mga halaga ng `a`.

Root formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Mga formula para sa mga ugat ng trigonometric equation sa talahanayan

Para sa sine:
Para sa cosine:
Para sa tangent at cotangent:
Mga formula para sa paglutas ng mga equation na naglalaman ng mga inverse trigonometric function:

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko

Ang paglutas ng anumang trigonometric equation ay binubuo ng dalawang yugto:

• sa tulong ng pagbabago nito sa pinakasimpleng;
• lutasin ang pinakasimpleng equation na nakuha gamit ang root formula at mga talahanayan na nakasulat sa itaas.

Tingnan natin ang mga pangunahing pamamaraan ng solusyon gamit ang mga halimbawa.

Algebraic na pamamaraan.

Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng pagpapalit ng isang variable at pagpapalit nito sa isang pagkakapantay-pantay.

Halimbawa. Lutasin ang equation: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

gumawa ng kapalit: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, pagkatapos ay `2y^2-3y+1=0`,

nakita namin ang mga ugat: `y_1=1, y_2=1/2`, kung saan sumusunod ang dalawang kaso:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Sagot: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorization.

Halimbawa. Lutasin ang equation: `sin x+cos x=1`.

Solusyon. Ilipat natin ang lahat ng termino ng pagkakapantay-pantay sa kaliwa: `sin x+cos x-1=0`. Gamit ang , binabago at ginagawa namin ang kaliwang bahagi:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Sagot: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Pagbawas sa isang homogenous na equation

Una, kailangan mong bawasan ang trigonometric equation na ito sa isa sa dalawang anyo:

`a sin x+b cos x=0` (homogeneous equation ng unang degree) o `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogeneous equation ng pangalawang degree).

Pagkatapos ay hatiin ang parehong bahagi ng `cos x \ne 0` - para sa unang kaso, at ng `cos^2 x \ne 0` - para sa pangalawa. Kumuha kami ng mga equation para sa `tg x`: `a tg x+b=0` at `a tg^2 x + b tg x +c =0`, na kailangang lutasin gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa. Lutasin ang equation: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Solusyon. Isulat natin ang kanang bahagi bilang `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ito ay isang homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree, hinahati namin ang kaliwa at kanang gilid nito sa `cos^2 x \ne 0`, nakukuha namin:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Ipakilala natin ang kapalit na `tg x=t`, na nagreresulta sa `t^2 + t - 2=0`. Ang mga ugat ng equation na ito ay `t_1=-2` at `t_2=1`. Pagkatapos:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Sagot. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Lumipat sa Half Angle

Halimbawa. Lutasin ang equation: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Solusyon. Ilapat natin ang mga formula ng double angle, na nagreresulta sa: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Ang paglalapat ng algebraic na pamamaraan na inilarawan sa itaas, makuha namin ang:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Sagot. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Panimula ng auxiliary angle

Sa trigonometric equation `a sin x + b cos x =c`, kung saan ang a,b,c ay coefficients at x ay isang variable, hatiin ang magkabilang panig ng `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Ang mga coefficient sa kaliwang bahagi ay may mga katangian ng sine at cosine, lalo na ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay katumbas ng 1 at ang kanilang mga module ay hindi hihigit sa 1. Tukuyin natin ang mga ito bilang mga sumusunod: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, pagkatapos:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Tingnan natin ang sumusunod na halimbawa:

Halimbawa. Lutasin ang equation: `3 sin x+4 cos x=2`.

Solusyon. Hatiin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa `sqrt (3^2+4^2)`, nakukuha natin:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Tukuyin natin ang `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Dahil ang `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, pagkatapos ay kunin namin ang `\varphi=arcsin 4/5` bilang isang auxiliary angle. Pagkatapos ay isusulat namin ang aming pagkakapantay-pantay sa anyo:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan ng mga anggulo para sa sine, isinusulat namin ang aming pagkakapantay-pantay sa sumusunod na anyo:

`kasalanan (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Sagot. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Fractional rational trigonometriko equation

Ito ay mga pagkakapantay-pantay na may mga fraction na ang mga numerator at denominator ay naglalaman ng mga function na trigonometriko.

Halimbawa. Lutasin ang equation. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Solusyon. I-multiply at hatiin ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay sa `(1+cos x)`. Bilang resulta, nakukuha namin ang:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Isinasaalang-alang na ang denominator ay hindi maaaring katumbas ng zero, nakukuha natin ang `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

I-equate natin ang numerator ng fraction sa zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Pagkatapos ay `sin x=0` o `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Dahil sa `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ang mga solusyon ay `x=2\pi n, n \in Z` at `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Sagot. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometry, at trigonometriko equation sa partikular, ay ginagamit sa halos lahat ng mga lugar ng geometry, physics, at engineering. Ang pag-aaral ay nagsisimula sa ika-10 na baitang, palaging may mga gawain para sa Pinag-isang Estado ng Pagsusulit, kaya subukang tandaan ang lahat ng mga formula ng trigonometric equation - tiyak na magiging kapaki-pakinabang sila sa iyo!

Gayunpaman, hindi mo na kailangang kabisaduhin ang mga ito, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kakanyahan at makuha ito. Ito ay hindi kasing hirap ng tila. Tingnan para sa iyong sarili sa pamamagitan ng panonood ng video.

Nangangailangan ng kaalaman sa mga pangunahing formula ng trigonometry - ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine, ang pagpapahayag ng tangent sa pamamagitan ng sine at cosine, at iba pa. Para sa mga nakalimutan na sila o hindi nakakakilala sa kanila, inirerekomenda naming basahin ang artikulong "".
Kaya, alam natin ang mga pangunahing trigonometric formula, oras na para gamitin ang mga ito sa pagsasanay. Paglutas ng mga equation ng trigonometriko sa tamang diskarte, ito ay isang kapana-panabik na aktibidad, tulad ng, halimbawa, paglutas ng isang Rubik's cube.

Batay sa mismong pangalan, malinaw na ang isang trigonometric equation ay isang equation kung saan ang hindi alam ay nasa ilalim ng sign ng trigonometric function.
May mga tinatawag na pinakasimpleng trigonometric equation. Narito kung ano ang hitsura nila: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Isaalang-alang natin kung paano lutasin ang gayong mga trigonometric equation, para sa kalinawan, gagamitin namin ang pamilyar na trigonometriko na bilog.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

higaan x = a

Anumang trigonometriko equation ay malulutas sa dalawang yugto: binabawasan natin ang equation sa pinakasimpleng anyo nito at pagkatapos ay lutasin ito bilang isang simpleng trigonometric equation.
Mayroong 7 pangunahing pamamaraan kung saan nalulutas ang mga trigonometric equation.

1. Variable substitution at substitution method

Lutasin ang equation na 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Gamit ang mga formula ng pagbabawas na nakukuha natin:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Palitan ang cos(x + /6) ng y upang gawing simple at makuha ang karaniwang quadratic equation:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Ang mga ugat nito ay y 1 = 1, y 2 = 1/2

Ngayon, pumunta tayo sa reverse order

Pinapalitan namin ang mga nahanap na halaga ng y at kumuha ng dalawang pagpipilian sa sagot:

2. Paglutas ng mga equation ng trigonometriko sa pamamagitan ng factorization

Paano malutas ang equation na sin x + cos x = 1?

Ilipat natin ang lahat sa kaliwa upang manatili ang 0 sa kanan:

sin x + cos x – 1 = 0

Gamitin natin ang mga pagkakakilanlan na tinalakay sa itaas upang gawing simple ang equation:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

I-factorize natin:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Kumuha kami ng dalawang equation

3. Pagbawas sa isang homogenous na equation

Ang isang equation ay homogenous na may paggalang sa sine at cosine kung ang lahat ng mga termino nito ay nauugnay sa sine at cosine ng parehong kapangyarihan ng parehong anggulo. Upang malutas ang isang homogenous na equation, magpatuloy tulad ng sumusunod:

a) ilipat ang lahat ng mga miyembro nito sa kaliwang bahagi;

b) alisin ang lahat ng karaniwang salik sa mga bracket;

c) ipantay ang lahat ng mga salik at mga bracket sa 0;

d) ang isang homogenous na equation ng isang mas mababang antas ay nakuha sa mga bracket, na kung saan ay nahahati sa isang sine o cosine ng isang mas mataas na antas;

e) lutasin ang resultang equation para sa tg.

Lutasin ang equation na 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Gamitin natin ang formula na sin 2 x + cos 2 x = 1 at alisin ang bukas na dalawa sa kanan:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Hatiin sa cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Palitan ang tan x ng y at kumuha ng quadratic equation:

y 2 + 4y +3 = 0, na ang mga ugat ay y 1 =1, y 2 = 3

Mula dito nakita namin ang dalawang solusyon sa orihinal na equation:

x 2 = arctan 3 + k

4. Paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng paglipat sa kalahating anggulo

Lutasin ang equation na 3sin x – 5cos x = 7

Lumipat tayo sa x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Ilipat natin ang lahat sa kaliwa:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Hatiin sa cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Panimula ng auxiliary angle

Para sa pagsasaalang-alang, kunin natin ang isang equation ng form: a sin x + b cos x = c,

kung saan ang a, b, c ay ilang arbitrary coefficients, at ang x ay isang hindi kilala.

Hatiin natin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng:



Ngayon ang mga coefficient ng equation, ayon sa mga trigonometric formula, ay may mga katangian na sin at cos, ibig sabihin: ang kanilang modulus ay hindi hihigit sa 1 at ang kabuuan ng mga parisukat = 1. Ipaalam sa amin tukuyin ang mga ito ayon sa pagkakabanggit bilang cos at kasalanan, kung saan - ito ay ang tinatawag na auxiliary angle. Pagkatapos ang equation ay kukuha ng form:

cos * sin x + sin * cos x = C

o sin(x + ) = C

Ang solusyon sa pinakasimpleng trigonometric equation na ito ay

x = (-1) k * arcsin C - + k, kung saan



Dapat pansinin na ang mga notasyong cos at sin ay mapagpapalit.

Lutasin ang equation sin 3x – cos 3x = 1

Ang mga coefficient sa equation na ito ay:

a = , b = -1, kaya hatiin ang magkabilang panig ng = 2

Kapag nag-solve ng marami mga problema sa matematika, lalo na ang mga nangyari bago ang grade 10, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na isinagawa na hahantong sa layunin ay malinaw na tinukoy. Kabilang sa mga naturang problema, halimbawa, ang mga linear at quadratic na equation, mga linear at quadratic na hindi pagkakapantay-pantay, mga fractional na equation at mga equation na bumababa sa mga quadratic. Ang prinsipyo ng matagumpay na paglutas ng bawat isa sa mga nabanggit na problema ay ang mga sumusunod: kailangan mong itatag kung anong uri ng problema ang iyong nilulutas, tandaan ang kinakailangang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa nais na resulta, i.e. sagutin at sundin ang mga hakbang na ito.

Malinaw na ang tagumpay o kabiguan sa paglutas ng isang partikular na problema ay pangunahing nakasalalay sa kung gaano katama ang uri ng equation na nalutas, kung gaano katama ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito ay muling ginawa. Siyempre, sa kasong ito ay kinakailangan na magkaroon ng mga kasanayan upang magsagawa ng magkatulad na mga pagbabago at kalkulasyon.

Iba ang sitwasyon sa trigonometriko equation. Hindi naman mahirap itatag ang katotohanan na ang equation ay trigonometric. Ang mga paghihirap ay lumitaw kapag tinutukoy ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa tamang sagot.

Minsan mahirap matukoy ang uri nito batay sa hitsura ng isang equation. At nang hindi nalalaman ang uri ng equation, halos imposibleng pumili ng tama mula sa ilang dosenang mga formula ng trigonometriko.

Upang malutas ang isang trigonometric equation, kailangan mong subukan:

1. dalhin ang lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong mga anggulo";
2. dalhin ang equation sa "magkaparehong pag-andar";
3. i-factor ang kaliwang bahagi ng equation, atbp.

Isaalang-alang natin mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

I. Pagbawas sa pinakasimpleng trigonometric equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Ipahayag ang isang trigonometric function sa mga tuntunin ng mga kilalang bahagi.

Hakbang 2. Hanapin ang argumento ng function gamit ang mga formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

kasalanan x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Hakbang 3. Hanapin ang hindi kilalang variable.

Halimbawa.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solusyon.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Sagot: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Pagpapalit ng variable

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Bawasan ang equation sa algebraic form na may paggalang sa isa sa mga trigonometric function.

Hakbang 2. Tukuyin ang resultang function ng variable na t (kung kinakailangan, ipakilala ang mga paghihigpit sa t).

Hakbang 3. Isulat at lutasin ang resultang algebraic equation.

Hakbang 4. Gumawa ng reverse replacement.

Hakbang 5. Lutasin ang pinakasimpleng trigonometric equation.

Halimbawa.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Solusyon.

1) 2(1 – kasalanan 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Hayaan ang kasalanan (x/2) = t, kung saan |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2, ay hindi nakakatugon sa kondisyon |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Sagot: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Paraan ng pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Palitan ang equation na ito ng isang linear, gamit ang formula para sa pagbabawas ng degree:

kasalanan 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hakbang 2. Lutasin ang resultang equation gamit ang mga pamamaraan I at II.

Halimbawa.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Solusyon.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Sagot: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Mga homogenous na equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Bawasan ang equation na ito sa anyo

a) a sin x + b cos x = 0 (homogeneous equation ng unang degree)

o sa view

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogeneous equation ng pangalawang degree).

Hakbang 2. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

at kunin ang equation para sa tan x:

a) isang tan x + b = 0;

b) isang tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Hakbang 3. Lutasin ang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Solusyon.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

kasalanan 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Hayaan ang tg x = t, pagkatapos

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 o t = -4, ibig sabihin

tg x = 1 o tg x = -4.

Mula sa unang equation x = π/4 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Paraan ng pagbabago ng isang equation gamit ang mga trigonometric formula

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Gamit ang lahat ng posibleng trigonometriko formula, bawasan ang equation na ito sa isang equation na nalutas ng mga pamamaraan I, II, III, IV.

Hakbang 2. Lutasin ang resultang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Solusyon.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) kasalanan 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

Mula sa unang equation 2x = π/2 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation cos x = -1/2.

Mayroon kaming x = π/4 + πn/2, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Bilang resulta, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ang kakayahan at kasanayan upang malutas ang mga trigonometric equation ay napaka mahalaga, ang kanilang pag-unlad ay nangangailangan ng makabuluhang pagsisikap, kapwa sa bahagi ng mag-aaral at sa bahagi ng guro.

Maraming mga problema ng stereometry, pisika, atbp. ang nauugnay sa solusyon ng mga trigonometriko na equation.

Ang mga equation ng trigonometric ay sumasakop sa isang mahalagang lugar sa proseso ng pag-aaral ng matematika at personal na pag-unlad sa pangkalahatan.

May mga tanong pa ba? Hindi mo alam kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Kasama sa video course na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kinakailangan upang matagumpay na makapasa sa Unified State Exam sa matematika na may 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile Unified State Exam sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic Unified State Examination sa matematika. Kung gusto mong makapasa sa Unified State Exam na may 90-100 points, kailangan mong lutasin ang part 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Kurso sa paghahanda para sa Unified State Exam para sa mga baitang 10-11, gayundin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo para malutas ang Part 1 ng Unified State Exam sa matematika (ang unang 12 problema) at Problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Exam, at hindi magagawa ng isang 100-point na mag-aaral o ng isang mag-aaral sa humanities kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na solusyon, mga pitfalls at mga lihim ng Pinag-isang State Exam. Ang lahat ng kasalukuyang gawain ng bahagi 1 mula sa FIPI Task Bank ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng Unified State Exam 2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain ng Pinag-isang State Exam. Mga problema sa salita at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm para sa paglutas ng mga problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula hanggang sa problema 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Malinaw na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Isang batayan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng Bahagi 2 ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado.