Numero ng modulo ang numerong ito mismo ay tinawag, kung ito ay hindi negatibo, o ang parehong numero na may kabaligtaran na pag-sign, kung ito ay negatibo.

Halimbawa, ang modulus ng 6 ay 6, ang modulus ng -6 ay 6 din.

Iyon ay, ang ganap na halaga ng isang numero ay nauunawaan bilang ganap na halaga, ang ganap na halaga ng bilang na ito nang hindi isinasaalang-alang ang tanda nito.

Ito ay itinalaga tulad ng sumusunod: | 6 |, | x|, |at| atbp.

(Para sa higit pang mga detalye, tingnan ang seksyon na "Module ng numero").

Mga equation na may modulus.

Halimbawa 1 ... Malutas ang equation|10 x - 5| = 15.

Desisyon.

Ayon sa panuntunan, ang isang equation ay katumbas ng isang kumbinasyon ng dalawang mga equation:

10x - 5 = 15
10x - 5 = -15

Nagpapasya kami:

10x = 15 + 5 = 20
10x = -15 + 5 = -10

x = 20: 10
x = -10: 10

x = 2
x = -1

Sagot: x 1 = 2, x 2 = -1.

Halimbawa 2 ... Malutas ang equation|2 x + 1| = x + 2.

Desisyon.

Dahil ang modulus ay isang hindi negatibong numero, kung gayon x + 2 ≥ 0. Alinsunod dito:

x ≥ -2.

Bumubuo kami ng dalawang equation:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -(x + 2)

Nagpapasya kami:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -x - 2

2x - x = 2 - 1
2x + x = -2 - 1

x = 1
x = -1

Ang parehong mga numero ay mas malaki kaysa sa -2. Samakatuwid, pareho ang mga ugat ng equation.

Sagot: x 1 = -1, x 2 = 1.

Halimbawa 3 ... Malutas ang equation

|x + 3| - 1
————— = 4
x - 1

Desisyon.

Makatuwiran ang equation kung ang denominator ay hindi zero - nangangahulugan ito kung x ≠ 1. Isaalang-alang natin ang kundisyong ito. Ang aming unang aksyon ay simple - hindi lamang namin natatanggal ang maliit na bahagi, ngunit binago ito upang makuha namin ang module sa dalisay na anyo nito:

|x + 3 | - 1 \u003d 4 ( x - 1),

|x + 3| - 1 = 4x - 4,

|x + 3| = 4x - 4 + 1,

|x + 3| = 4x - 3.

Ngayon mayroon lamang kaming expression sa ibaba ng module sa kaliwang bahagi ng equation. Magpatuloy.
Ang modulus ng isang numero ay isang hindi negatibong numero - iyon ay, dapat itong mas malaki sa o katumbas ng zero. Alinsunod dito, nilulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay:

4x - 3 ≥ 0

4x ≥ 3

x ≥ 3/4

Sa gayon, mayroon kaming pangalawang kondisyon: ang ugat ng equation ay dapat na hindi bababa sa 3/4.

Alinsunod sa panuntunan, bumubuo kami ng isang hanay ng dalawang mga equation at malulutas ito:

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -(4x - 3)

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -4x + 3

x - 4x = -3 - 3
x + 4x = 3 - 3

x = 2
x = 0

Nakatanggap kami ng dalawang tugon. Suriin natin kung ang mga ito ang mga ugat ng orihinal na equation.

Nagkaroon kami ng dalawang mga kundisyon: ang ugat ng equation ay hindi maaaring katumbas ng 1, at dapat itong hindi bababa sa 3/4. I.e x ≠ 1, x ≥ 3/4. Isa lamang sa dalawang natanggap na sagot ang nakakatugon sa pareho ng mga kundisyong ito - ang bilang 2. Nangangahulugan ito na ito lamang ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot: x = 2.

Mga hindi pagkakapantay-pantay sa modyul.

Halimbawa 1 ... Malutas ang hindi pagkakapantay-pantay| x - 3| < 4

Desisyon.

Sinasabi ng panuntunan sa modyul:

|at| = at, kung ang at ≥ 0.

|at| = -at, kung ang at < 0.

Ang module ay maaaring magkaroon ng parehong hindi negatibo at negatibong mga numero. Samakatuwid, dapat nating isaalang-alang ang parehong mga kaso: x - 3 ≥ 0 at x - 3 < 0.

1) Kailan x - 3 ≥ 0, ang aming orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay nananatiling tulad nito, nang wala ang modulus sign:
x - 3 < 4.

2) Kailan x - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(x - 3) < 4.

Pagpapalawak ng mga braket, nakakakuha kami ng:

-x + 3 < 4.

Kaya, mula sa dalawang kundisyong ito, nakarating kami sa pagsasama ng dalawang mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

x - 3 ≥ 0
x - 3 < 4

x - 3 < 0
-x + 3 < 4

Solusyunan natin sila:

x ≥ 3
x < 7

x < 3
x > -1

Kaya, nasa aming sagot ang pagsasama ng dalawang hanay:

3 ≤ x < 7 U -1 < x < 3.

Tukuyin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga. Ito ang -1 at 7. Sa parehong oras x mas malaki sa -1, ngunit mas mababa sa 7.
Bukod sa, x ≥ 3. Samakatuwid, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang buong hanay ng mga numero mula -1 hanggang 7, hindi kasama ang mga matinding numero na ito.

Sagot: -1 < x < 7.

O: x ∈ (-1; 7).

Mga Pandagdag.

1) Mayroong isang mas simple at mas maikling paraan upang malutas ang aming hindi pagkakapantay-pantay - grapiko. Upang magawa ito, kailangan mong gumuhit ng isang pahalang na axis (Larawan 1).

Pagpapahayag | x - 3| < 4 означает, что расстояние от точки x sa point 3 ay mas mababa sa apat na mga yunit. Minarkahan namin ang bilang 3 sa axis at bilangin ang 4 na dibisyon sa kaliwa at kanan mula rito. Sa kaliwa pupunta tayo sa point -1, sa kanan - sa point 7. Kaya, mga puntos x nakita lang namin nang hindi kinakalkula ang mga ito.

Bukod dito, ayon sa kondisyong hindi pagkakapantay-pantay, ang -1 at 7 mismo ay hindi kasama sa hanay ng mga solusyon. Sa gayon, nakukuha natin ang sagot:

1 < x < 7.

2) Ngunit may isa pang solusyon na mas simple kahit na graphic. Upang magawa ito, ang aming hindi pagkakapantay-pantay ay dapat na kinatawan sa sumusunod na form:

4 < x - 3 < 4.

Pagkatapos ng lahat, ganito ito ayon sa panuntunan sa module. Ang di-negatibong numero 4 at ang katulad na negatibong numero -4 ang mga hangganan para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay.

4 + 3 < x < 4 + 3

1 < x < 7.

Halimbawa 2 ... Malutas ang hindi pagkakapantay-pantay| x - 2| ≥ 5

Desisyon.

Ang halimbawang ito ay makabuluhang naiiba mula sa naunang isa. Ang kaliwang bahagi ay mas malaki sa 5 o katumbas ng 5. Mula sa isang geometric point of view, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang lahat ng mga numero na nasa distansya ng 5 mga yunit o higit pa mula sa point 2 (Larawan 2). Ipinapakita ng grap na ito ang lahat ng mga bilang na mas mababa sa o katumbas ng -3 at mas malaki sa o katumbas ng 7. Kaya, natanggap na namin ang sagot.

Sagot: -3 ≥ x ≥ 7.

Kasabay nito, nalulutas namin ang parehong hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagtanggap ng libreng termino sa kaliwa at kanan gamit ang kabaligtaran na pag-sign:

5 ≥ x - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ x ≥ 5 + 2

Ang sagot ay pareho: -3 ≥ x ≥ 7.

O: x ∈ [-3; 7]

Nalutas ang halimbawang.

Halimbawa 3 ... Malutas ang hindi pagkakapantay-pantay6 x 2 - | x| - 2 ≤ 0

Desisyon.

Bilang x maaaring maging positibo, negatibo, o zero. Samakatuwid, kailangan nating isaalang-alang ang lahat ng tatlong mga pangyayari. Tulad ng alam mo, isinasaalang-alang ang mga ito sa dalawang hindi pagkakapantay-pantay: x ≥ 0 at x < 0. При x ≥ 0 isinusulat lamang namin ang aming orihinal na hindi pagkakapantay-pantay tulad nito, nang wala ang modulus sign:

6x 2 - x - 2 ≤ 0.

Ngayon tungkol sa pangalawang kaso: kung x < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6x 2 - (-x) - 2 ≤ 0.

Palawakin ang mga braket:

6x 2 + x - 2 ≤ 0.

Sa gayon, nakakuha kami ng dalawang mga sistema ng mga equation:

6x 2 - x - 2 ≤ 0
x ≥ 0

6x 2 + x - 2 ≤ 0
x < 0

Kinakailangan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga system - na nangangahulugang, kinakailangan upang mahanap ang mga ugat ng dalawang mga quadratic equation. Para sa mga ito ay pinapantay namin ang mga kaliwang bahagi ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa zero.

Magsimula tayo sa una:

6x 2 - x - 2 = 0.

Paano nalulutas ang quadratic equation - tingnan ang seksyon na "Quadratic equation". Papangalanan namin kaagad ang sagot:

x 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

Mula sa unang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay, nalaman namin na ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay ang buong hanay ng mga numero mula -1/2 hanggang 2/3. Nagsusulat kami ng unyon ng mga solusyon para sa x ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Ngayon ay lutasin natin ang pangalawang quadratic equation:

6x 2 + x - 2 = 0.

Ang mga ugat nito:

x 1 = -2/3, x 2 = 1/2.

Konklusyon: sa x < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Pagsamahin natin ang dalawang sagot at makuha ang pangwakas na sagot: ang solusyon ay ang buong hanay ng mga numero mula -2/3 hanggang 2/3, kasama na ang matinding mga bilang na ito.

Sagot: -2/3 ≤ x ≤ 2/3.

O: x ∈ [-2/3; 2/3].

Ang mga pamamaraan (panuntunan) para sa pagsisiwalat ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga module ay binubuo sa sunud-sunod na pagsisiwalat ng mga module, habang ginagamit ang mga agwat ng pagpapanatili ng mga submodular function. Sa huling bersyon, maraming mga hindi pagkakapantay-pantay na nakuha mula sa kung aling mga agwat o agwat ay natagpuan na nasiyahan ang kalagayan ng problema.

Magpatuloy tayo sa paglutas ng mga karaniwang halimbawa sa pagsasanay.

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng linya sa moduli

Sa pamamagitan ng linear na nangangahulugan kami ng mga equation kung saan ang variable ay pumapasok sa equation linearly.

Halimbawa 1. Maghanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay

Desisyon:
Sinusundan ito mula sa kundisyon ng problema na ang mga module ay nagiging zero sa x \u003d -1 at x \u003d -2. Ang mga puntong ito ay hinati ang axis ng bilang sa mga agwat

Sa bawat pagitan ng mga ito, nilulutas namin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay. Upang gawin ito, una sa lahat, gumuhit kami ng mga graphic na guhit ng mga lugar ng pagpapanatili ng mga submodular function. Ang mga ito ay itinatanghal bilang mga lugar na may mga palatandaan ng bawat isa sa mga pagpapaandar

o agwat na may mga palatandaan ng lahat ng mga pagpapaandar.

Sa unang agwat, buksan ang mga module

Pinarami namin ang magkabilang panig sa pamamagitan ng minus isa, at ang pag-sign sa hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago sa kabaligtaran. Kung nahihirapan kang masanay sa panuntunang ito, maaari mong ilipat ang bawat bahagi sa pamamagitan ng pag-sign upang mapupuksa ang minus. Sa huling bersyon, makakatanggap ka

Ang intersection ng set x\u003e -3 sa lugar kung saan nalutas ang mga equation ay ang agwat (-3; -2). Para sa mga mas madaling maghanap ng mga solusyon, maaari mong iguhit ang intersection ng mga lugar na ito

Ang karaniwang intersection ng mga lugar ang magiging solusyon. Sa mahigpit na hindi pantay, ang mga gilid ay hindi kasama. Kung hindi mahigpit, suriin sa pamamagitan ng pagpapalit.

Sa pangalawang agwat, nakukuha natin

Ang seksyon ay ang agwat (-2; -5/3). Sa graphic, ang solusyon ay magiging hitsura

Sa ikatlong agwat, nakukuha natin

Ang kondisyong ito ay hindi nagbibigay ng mga solusyon sa nais na lugar.

Dahil ang natagpuang dalawang solusyon (-3; -2) at (-2; -5/3) ay hangganan ang puntong x \u003d -2, suriin din namin ito.

Kaya't ang puntong x \u003d -2 ay ang solusyon. Isinasaalang-alang ito, ang pangkalahatang solusyon ay magiging hitsura ng (-3; 5/3).

Halimbawa 2. Humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
| x-2 | - | x-3 |\u003e \u003d | x-4 |

Desisyon:
Ang mga puntos na x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4 ay ang mga zero ng submodular function. Para sa mga argumento na mas mababa sa mga puntong ito, ang mga pagpapaandar ng submodule ay negatibo, at para sa malalaki, positibo ang mga ito.

Hatiin ng mga puntos ang aktwal na axis sa apat na agwat. Binubuksan namin ang mga module ayon sa mga agwat ng pagpapanatili at malulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay.

1) Sa unang agwat, ang lahat ng mga pagpapaandar na submodular ay negatibo, samakatuwid, kapag lumalawak ang mga module, binabago namin ang pag-sign sa kabaligtaran.

Ang intersection ng mga nahanap na halaga ng x na may isinasaalang-alang na agwat ay ang hanay ng mga puntos

2) Sa agwat sa pagitan ng mga puntos x \u003d 2 at x \u003d 3, ang unang submodular function ay positibo, ang pangalawa at pangatlo ay negatibo. Pagpapalawak ng mga module, nakukuha natin

isang hindi pagkakapantay-pantay na, sa intersection na may agwat na kung saan namin malulutas, ay nagbibigay ng isang solusyon - x \u003d 3.

3) Sa agwat sa pagitan ng mga puntong x \u003d 3 at x \u003d 4, ang una at pangalawang submodular function ay positibo, at ang pangatlo ay negatibo. Batay dito, nakukuha natin

Ipinapakita ng kundisyong ito na ang buong agwat ay masiyahan ang hindi pagkakapareho ng modulus.

4) Para sa x\u003e 4, positibo ang lahat ng mga pagpapaandar. Kapag nagpapalawak ng mga module, hindi namin binabago ang kanilang pag-sign.

Ang natagpuang kondisyon sa intersection na may agwat ay nagbibigay ng sumusunod na hanay ng mga solusyon

Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas sa lahat ng mga agwat, nananatili itong upang mahanap ang karaniwan ng lahat ng mga nahanap na halaga ng x. Ang solusyon ay magiging dalawang agwat

Nalulutas ang halimbawang ito.

Halimbawa 3. Maghanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
|| x-1 | -5 |\u003e 3-2x

Desisyon:
Mayroon kaming hindi pagkakapantay-pantay sa modulus ng modulus. Ang mga naturang hindi pagkakapantay-pantay ay isiniwalat habang ang mga modyul ay pinugad, na nagsisimula sa mga matatagpuan nang mas malalim.

Ang pagpapaandar ng submodule x-1 ay nagko-convert sa zero sa point x \u003d 1. Para sa mas maliit na mga halaga para sa 1, ito ay negatibo at positibo para sa x\u003e 1. Batay dito, pinalalawak namin ang panloob na module at isinasaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay sa bawat agwat.

Una, isaalang-alang ang agwat mula sa minus infinity hanggang sa isa

Ang submodular function ay katumbas ng zero sa point x \u003d -4. Sa mas mababang halaga positibo ito, sa mas mataas na halaga negatibo ito. Palawakin ang module para sa x<-4:

Sa intersection ng domain kung saan isinasaalang-alang namin makuha namin ang hanay ng mga solusyon

Ang susunod na hakbang ay upang buksan ang module sa agwat (-4; 1)

Isinasaalang-alang ang lugar ng pagsisiwalat ng module, nakukuha namin ang agwat ng solusyon

TANDAAN: kung nakakuha ka ng dalawang agwat na hangganan ng isang pangkaraniwang punto sa gayong mga iregularidad na may mga module, kung gayon, bilang panuntunan, ito rin ay isang solusyon.

Upang magawa ito, kailangan mo lamang suriin.

Sa kasong ito, palitan ang puntong x \u003d -4.

Kaya x \u003d -4 ang solusyon.
Buksan natin ang panloob na module para sa x\u003e 1

Negatibo ang pagpapaandar ng submodule para sa x<6.
Pagpapalawak ng module, nakukuha natin

Ang kundisyong ito sa seksyon na may agwat (1; 6) ay nagbibigay ng isang walang laman na hanay ng mga solusyon.

Para sa x\u003e 6 nakukuha namin ang hindi pagkakapantay-pantay

Gayundin, ang paglutas ay nakakuha ng isang walang laman na hanay.
Isinasaalang-alang ang lahat ng nasa itaas, ang tanging solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay sa moduli ay ang sumusunod na agwat.

Mga hindi pantay na may Modyul na Naglalaman ng Mga Quadratic Equation

Halimbawa 4. Humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
| x ^ 2 + 3x |\u003e \u003d 2-x ^ 2

Desisyon:
Ang pagpapaandar ng submodule ay nawala sa mga puntos x \u003d 0, x \u003d -3. Simpleng pagpapalit para sa mga minus

itinataguyod namin na ito ay mas mababa sa zero sa agwat (-3; 0) at positibo sa labas nito.
Palawakin ang module sa mga lugar kung saan positibo ang pagpapaandar ng submodular

Nananatili ito upang matukoy ang mga lugar kung saan positibo ang pagpapaandar ng parisukat. Upang magawa ito, natutukoy namin ang mga ugat ng quadratic equation

Para sa kaginhawaan, pinapalitan namin ang puntong x \u003d 0, na kabilang sa agwat (-2; 1/2). Negatibo ang pagpapaandar sa agwat na ito, na nangangahulugang ang mga sumusunod na set x

Dito ipinapahiwatig ng mga braket ang mga gilid ng mga lugar na may mga solusyon, ito ay sadyang ginawa, isinasaalang-alang ang sumusunod na panuntunan.

TANDAAN: Kung ang hindi pagkakapantay-pantay sa mga modyul, o isang simpleng hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, kung gayon ang mga gilid ng mga nahanap na lugar ay hindi solusyon, kung ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit (), kung gayon ang mga gilid ay mga solusyon (ipinahiwatig ng mga square bracket).

Ang panuntunang ito ay ginagamit ng maraming guro: kung ang isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay tinukoy, at sa mga kalkulasyon nagsusulat ka ng isang square bracket ([,]) sa solusyon, awtomatiko nilang bibilangin ito bilang isang maling sagot. Gayundin, kapag sinusubukan, kung ang isang di-mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay sa mga module ay tinukoy, pagkatapos kasama sa mga solusyon, maghanap ng mga lugar na may mga square bracket.

Sa agwat (-3; 0), pagbubukas ng module, binabago namin ang tanda ng pagpapaandar sa kabaligtaran

Isinasaalang-alang ang lugar ng pagsisiwalat ng hindi pagkakapantay-pantay, ang solusyon ay magiging

Kasama ang nakaraang lugar, magbibigay ito ng dalawang kalahating agwat

Halimbawa 5. Maghanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
9x ^ 2- | x-3 |\u003e \u003d 9x-2

Desisyon:
Ang isang maluwag na hindi pagkakapantay-pantay ay ibinigay, ang submodular function na kung saan ay katumbas ng zero sa puntong x \u003d 3. Sa mas mababang halaga ito ay negatibo, sa mas mataas na halaga positibo ito. Palawakin ang module sa agwat x<3.

Hanapin ang diskriminante ng equation

at mga ugat

Ang pagpapalit ng point zero, nalaman namin na sa agwat [-1/9; 1] ang pagpapaandar ng quadratic ay negatibo, samakatuwid ang agwat ay isang solusyon. Susunod, palawakin ang module para sa x\u003e 3

Tutulungan ka ng calculator ng online na matematika na ito lutasin ang equation o hindi pagkakapantay-pantay sa moduli... Programa para sa mga solusyon ng mga equation at inequalities sa moduli hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, nagbibigay ito detalyadong solusyon sa mga paliwanag, ibig sabihin ipinapakita ang proseso ng pagkuha ng resulta.

Ang program na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga nakatatandang mag-aaral ng mga paaralang sekondarya bilang paghahanda para sa mga pagsubok at pagsusulit, kapag nagsuri ng kaalaman bago ang pagsusulit, para makontrol ng mga magulang ang solusyon ng maraming mga problema sa matematika at algebra. O baka napakamahal para sa iyo upang kumuha ng isang tutor o bumili ng mga bagong aklat? O nais mo lamang matapos ang iyong homework sa matematika o algebra nang mabilis hangga't maaari? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa sa isang detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagtuturo at / o pagtuturo ng iyong mga nakababatang kapatid, habang ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga problemang nalulutas ay tumataas.

Ipasok ang equation o hindi pagkakapantay-pantay sa moduli

Napag-alaman na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at maaaring hindi gumana ang programa.
Marahil ay pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Kasi Mayroong maraming mga tao na nais na malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Teka lang po sec ...

kung ikaw napansin ang isang error sa desisyon, pagkatapos ay maaari kang magsulat tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka at ano pumasok sa bukid.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Kaunting teorya.

Mga equation at inequalities sa moduli

Sa kurso ng algebra ng pangunahing paaralan, maaari kang makatagpo ng pinakasimpleng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa mga module. Upang malutas ang mga ito, maaari kang maglapat ng isang pamamaraang geometriko batay sa katotohanang ang \\ (| xa | \\) ay ang distansya sa linya ng numero sa pagitan ng mga puntong x at a: \\ (| xa | \u003d \\ rho (x; \\; a ) \\). Halimbawa, upang malutas ang equation \\ (| x-3 | \u003d 2 \\), kailangan mong maghanap ng mga puntos sa linya ng numero na may distansya na 2 mula sa puntong 3. Mayroong dalawang mga katulad na puntos: \\ (x_1 \u003d 1 \\) at \\ (x_2 \u003d 5 \\) ...

Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay \\ (| 2x + 7 |

Ngunit ang pangunahing paraan upang malutas ang mga equation at inequalities sa mga module ay nauugnay sa tinatawag na "pagpapalawak ng module sa pamamagitan ng kahulugan":
kung \\ (a \\ geq 0 \\), kung gayon \\ (| a | \u003d a \\);
kung \\ (isang Bilang isang patakaran, ang isang equation (hindi pagkakapantay-pantay) na may moduli ay nabawasan sa isang hanay ng mga equation (inequalities) na hindi naglalaman ng tanda ng modulus.

Bilang karagdagan sa kahulugan na ito, ginagamit ang mga sumusunod na pahayag:
1) Kung \\ (c\u003e 0 \\), pagkatapos ang equation \\ (| f (x) | \u003d c \\) ay katumbas ng isang hanay ng mga equation: \\ (\\ left [\\ start (array) (l) f (x ) \u003d c \\\\ f (x) \u003d - c \\ end (array) \\ kanan. \\)
2) Kung \\ (c\u003e 0 \\), kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay \\ (| f (x) | 3) Kung \\ (c \\ geq 0 \\), kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay \\ (| f (x) |\u003e c \\) ay katumbas sa hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay: \\ (\\ kaliwa [\\ simulan (array) (l) f (x) c \\ end (array) \\ kanan. \\)
4) Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapareho \\ (f (x) HALIMBAWA 1. Malutas ang equation \\ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 \u003d 0 \\).

Kung \\ (x-1 \\ geq 0 \\), pagkatapos \\ (| x-1 | \u003d x-1 \\) at ang ibinigay na equation ay kumukuha ng form
\\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Rightarrow x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\).
Kung \\ (x-1 \\ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Rightarrow x ^ 2 -2x -4 \u003d 0 \\).
Kaya, ang ibinigay na equation ay dapat isaalang-alang nang magkahiwalay sa bawat isa sa dalawang ipinahiwatig na mga kaso.
1) Hayaan ang \\ (x-1 \\ geq 0 \\), ibig sabihin \\ (x \\ geq 1 \\). Mula sa equation \\ (x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\) mahahanap namin ang \\ (x_1 \u003d 2, \\; x_2 \u003d -4 \\). Ang kundisyon \\ (x \\ geq 1 \\) ay nasiyahan lamang sa pamamagitan ng halaga \\ (x_1 \u003d 2 \\).
2) Hayaan ang \\ (x-1 Sagot: \\ (2; \\; \\; 1- \\ sqrt (5) \\)

HALIMBAWA 2. Malutas ang equation \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\).

Ang unang paraan (Pagpapalawak ng module sa pamamagitan ng kahulugan).
Ang pagtatalo tulad ng halimbawa 1, napagpasyahan namin na ang ibinigay na equation ay dapat isaalang-alang nang magkahiwalay kung ang dalawang mga kondisyon ay natutugunan: \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) o \\ (x ^ 2-6x + 7

1) Kung \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\), pagkatapos \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d x ^ 2-6x + 7 \\) at ang ibinigay na equation ay kumukuha ng form \\ (x ^ 2 -6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\ Rightarrow 3x ^ 2-23x + 30 \u003d 0 \\). Nalulutas ang quadratic equation na ito, nakukuha namin ang: \\ (x_1 \u003d 6, \\; x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\).
Alamin natin kung ang halaga \\ (x_1 \u003d 6 \\) ay nasisiyahan ang kundisyon \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\). Upang magawa ito, pinapalitan namin ang tinukoy na halaga sa parisukat na hindi pagkakapantay-pantay. Nakukuha namin ang: \\ (6 ^ 2-6 \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), ibig sabihin Ang \\ (7 \\ geq 0 \\) ay isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang \\ (x_1 \u003d 6 \\) ay ang ugat ng ibinigay na equation.
Alamin natin kung ang halaga \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) ay nasisiyahan ang kundisyon \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\). Upang magawa ito, pinapalitan namin ang tinukoy na halaga sa parisukat na hindi pagkakapantay-pantay. Nakukuha namin ang: \\ (\\ left (\\ frac (5) (3) \\ kanan) ^ 2 - \\ frac (5) (3) \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), ibig sabihin \\ (\\ frac (25) (9) -3 \\ geq 0 \\) - maling pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) ay hindi isang ugat ng ibinigay na equation.

2) Kung ang \\ (x ^ 2-6x + 7 Halaga \\ (x_3 \u003d 3 \\) ay nasisiyahan ang kundisyon \\ (x ^ 2-6x + 7 Halaga \\ (x_4 \u003d \\ frac (4) (3) \\) ay hindi nasiyahan ang kundisyon \\ (x ^ 2-6x + 7 Kaya, ang ibinigay na equation ay may dalawang mga ugat: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\).

Pangalawang paraan. Kung ang equation \\ (| f (x) | \u003d h (x) \\) ay ibinigay, pagkatapos ay para sa \\ (h (x) \\ (\\ left [\\ start (array) (l) x ^ 2-6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\\\ x ^ 2-6x + 7 \u003d - \\ frac (5x-9) (3) \\ end (array) \\ kanan. \\)
Ang parehong mga equation na ito ay nalutas sa itaas (sa unang paraan upang malutas ang ibinigay na equation), ang kanilang mga ugat ay ang mga sumusunod: \\ (6, \\; \\ frac (5) (3), \\; 3, \\; \\ frac (4 ) (3) \\). Ang kundisyon \\ (\\ frac (5x-9) (3) \\ geq 0 \\) ng apat na halagang ito ay nasiyahan lamang ng dalawa: 6 at 3. Samakatuwid, ang ibinigay na equation ay may dalawang mga ugat: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\).

Pangatlong paraan (graphic).
1) Balangkasin natin ang pagpapaandar \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\). Una, bumuo ng isang parabola \\ (y \u003d x ^ 2-6x + 7 \\). Mayroon kaming \\ (x ^ 2-6x + 7 \u003d (x-3) ^ 2-2 \\). Ang grap ng pagpapaandar \\ (y \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) ay maaaring makuha mula sa grap ng pagpapaandar \\ (y \u003d x ^ 2 \\) sa pamamagitan ng paglipat nito ng 3 mga yunit ng sukat sa kanan (kasama ang x axis) at 2 scale unit pababa (sa y-axis). Ang tuwid na linya x \u003d 3 ay ang axis ng parabola na interesado kami. Bilang mga puntos ng kontrol para sa mas tumpak na paglalagay, maginhawa na kunin ang point (3; -2) - ang tuktok ng parabola, point (0; 7) at ang point (6; 7) na simetriko dito na may kaugnayan sa parabola axis .
Upang balangkasin ngayon ang graph ng pagpapaandar \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\), kailangan mong iwanan ang hindi nabago ang mga bahagi ng binuong parabola na hindi nakahiga sa ibaba ng x axis, at salamin ang bahagi ng parabola na nakalagay sa ibaba ng x axis tungkol sa x-axis.
2) Bumuo tayo ng isang graph ng linear function \\ (y \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\). Maginhawa na kumuha ng mga puntos (0; –3) at (3; 2) bilang mga control point.

Mahalaga na ang puntong x \u003d 1.8 intersection ng tuwid na linya na may abscissa axis ay matatagpuan sa kanan ng kaliwang punto ng intersection ng parabola na may abscissa axis - ito ang puntong \\ (x \u003d 3- \\ sqrt ( 2) \\) (mula noong \\ (3- \\ sqrt (2) 3) Sa paghuhusga sa pagguhit, ang mga graph ay lumusot sa dalawang puntos - A (3; 2) at B (6; 7) Pinapalitan ang mga abscissas ng mga puntong ito x \u003d 3 at x \u003d 6 sa ibinigay na equation, tinitiyak namin na para sa parehong isa pang halaga ay nagbibigay ng tamang pagkakapantay-pantay sa bilang, na nangangahulugang napatunayan ang aming teorya - ang equation ay may dalawang mga ugat: x \u003d 3 at x \u003d 6. Sagot: 3; 6.

Magkomento... Ang grapikong pamamaraan, para sa lahat ng biyaya nito, ay hindi masyadong maaasahan. Sa isinasaalang-alang halimbawa, gumana lamang ito dahil ang mga ugat ng equation ay mga integer.

HALIMBAWA 3. Malutas ang equation \\ (| 2x-4 | + | x + 3 | \u003d 8 \\)

Ang unang paraan
Ang expression na 2x - 4 ay nagiging 0 sa x \u003d 2, at ang expression na x + 3 sa x \u003d –3. Ang dalawang puntos na ito ay hinati ang linya ng numero sa tatlong agwat: \\ (x

Isaalang-alang ang unang span: \\ ((- \\ infty; \\; -3) \\).
Kung x Isaalang-alang ang pangalawang agwat: \\ ([- 3; \\; 2) \\).
Kung \\ (- 3 \\ leq x Isaalang-alang ang pangatlong agwat: \\ (U

Halimbawa 2.

Malutas ang hindi pagkakapantay-pantay || x + 2 | - 3 | ≤ 2.

Desisyon.

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng sumusunod na system.

(| x + 2 | - 3 ≥ -2
(| x + 2 | - 3 ≤ 2,
(| x + 2 | ≥ 1
(| x + 2 | ≤ 5.

Malutas natin nang hiwalay ang unang hindi pagkakapantay-pantay ng system. Katumbas ito sa sumusunod na pinagsama-sama:

U [-1; 3].

2) Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang kahulugan ng isang modulus.

Hayaan mo muna ipaalala ko sa iyo kahulugan ng module.

| a | \u003d a kung a ≥ 0 at | a | \u003d -a kung a< 0.

Halimbawa, | 34 | \u003d 34, | -21 | \u003d - (- 21) \u003d 21.

Halimbawa 1.

Malutas ang hindi pagkakapantay-pantay 3 | x - 1 | ≤ x + 3.

Desisyon.

Gamit ang kahulugan ng isang module, nakakakuha kami ng dalawang mga system:

(x - 1 ≥ 0
(3 (x - 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3 (x - 1) ≤ x + 3.

Ang paglutas ng unang pangalawang system nang magkahiwalay, nakukuha namin ang:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

Ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay ang lahat ng mga solusyon ng unang system at lahat ng mga solusyon ng pangalawang sistema.

Sagot: x €.

3) Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pag-square.

Halimbawa 1.

Malutas ang hindi pagkakapantay-pantay | x 2 - 1 |< | x 2 – x + 1|.

Desisyon.

I-square natin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay. Tandaan na maaari mong parisukat ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay kung pareho silang positibo. Sa kasong ito, mayroon kaming mga module sa parehong kaliwa at kanan, kaya magagawa natin ito.

(| x 2 - 1 |) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Ngayon ay gagamitin namin ang sumusunod na pag-aari ng modyul: (| x |) 2 \u003d x 2.

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x (x - 2) (2x - 1)< 0.

Malulutas namin sa pamamagitan ng pamamaraan ng mga agwat.

Sagot: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagbabago ng mga variable.

Halimbawa.

Malutas ang hindi pagkakapantay-pantay (2x + 3) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Desisyon.

Tandaan na (2x + 3) 2 \u003d (| 2x + 3 |) 2. Pagkatapos makuha namin ang hindi pagkakapantay-pantay

(| 2x + 3 |) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Gawin natin ang pagbabago y \u003d | 2x + 3 |.

Isulat ulit natin ang aming hindi pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ang kapalit.

y 2 - y ≤ 30,

y 2 - y - 30 ≤ 0.

Ipaalam sa amin ang kadahilanan ng square trinomial sa kaliwa.

y1 \u003d (1 + 11) / 2,

y2 \u003d (1 - 11) / 2,

(y - 6) (y + 5) ≤ 0.

Malutas natin sa pamamagitan ng pamamaraan ng mga agwat at makuha ang:

Bumalik tayo sa kapalit:

5 ≤ | 2x + 3 | ≤ 6.

Ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng system ng mga hindi pagkakapantay-pantay:

(| 2x + 3 | ≤ 6
(| 2x + 3 | ≥ -5.

Malutas natin nang magkahiwalay ang bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Ang una ay katumbas ng system

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Solusyunan natin ito.

(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.

Ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay malinaw na humahawak para sa lahat ng x, dahil ang modulus ay positibo sa pamamagitan ng kahulugan. Dahil ang solusyon sa system ay lahat ng x na sabay na natutugunan ang pareho at pangalawa na hindi pagkakapantay-pantay ng system, ang solusyon sa orihinal na sistema ay ang magiging solusyon sa kauna-unahang pagkakapantay-pantay (pagkatapos ng lahat, ang pangalawa ay totoo para sa lahat ng x).

Sagot: x € [-4.5; 1.5].

site ng blog, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ng isang link sa mapagkukunan.