Graph ng function na sinx x. Mga function na y=sin x at y=cos x at ang kanilang presentasyon ng mga graph para sa isang aralin sa algebra (grade 10) sa paksa

Aralin at presentasyon sa paksa: "Function y=sin(x). Definition and properties"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang anti-virus program.

Mga manual at simulator sa Integral online na tindahan para sa grade 10 mula sa 1C
Malulutas namin ang mga problema sa geometry. Mga interactive na gawain sa pagtatayo para sa mga baitang 7-10
Kapaligiran ng software "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Ang pag-aaralan natin:

• Mga katangian ng function Y=sin(X).
• Function graph.
• Paano bumuo ng isang graph at ang sukat nito.
• Mga halimbawa.

Mga katangian ng sine. Y=sin(X)

Guys, nakilala na natin ang mga trigonometric function ng isang numerical argument. Naaalala mo ba sila?

Tingnan natin ang function na Y=sin(X)

Isulat natin ang ilang katangian ng function na ito:
1) Ang domain ng kahulugan ay ang hanay ng mga tunay na numero.
2) Ang pag-andar ay kakaiba. Tandaan natin ang kahulugan ng isang kakaibang function. Ang isang function ay tinatawag na kakaiba kung ang pagkakapantay-pantay ay mayroong: y(-x)=-y(x). Tulad ng naaalala natin mula sa mga formula ng multo: sin(-x)=-sin(x). Natupad ang kahulugan, na nangangahulugang ang Y=sin(X) ay isang kakaibang function.
3) Ang function na Y=sin(X) ay tumataas sa segment at bumababa sa segment [π/2; π]. Kapag gumagalaw tayo sa unang quarter (counterclockwise), tataas ang ordinate, at kapag dumaan tayo sa second quarter bumababa ito.

4) Ang function na Y=sin(X) ay limitado mula sa ibaba at mula sa itaas. Ang ari-arian na ito ay sumusunod mula sa katotohanan na
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Ang pinakamaliit na halaga ng function ay -1 (sa x = - π/2+ πk). Ang pinakamalaking halaga ng function ay 1 (sa x = π/2+ πk).

Gamitin natin ang mga katangian 1-5 upang i-plot ang function na Y=sin(X). Bubuo kami ng aming graph nang sunud-sunod, na inilalapat ang aming mga katangian. Magsimula tayo sa pagbuo ng isang graph sa segment.

Ang partikular na pansin ay dapat bayaran sa sukat. Sa ordinate axis mas maginhawang kumuha ng unit segment na katumbas ng 2 cell, at sa abscissa axis mas maginhawang kumuha ng unit segment (dalawang cell) na katumbas ng π/3 (tingnan ang figure).

Pag-plot ng sine function x, y=sin(x)

Kalkulahin natin ang mga halaga ng function sa aming segment:

Bumuo tayo ng isang graph gamit ang ating mga puntos, na isinasaalang-alang ang ikatlong katangian.

Talahanayan ng conversion para sa mga ghost formula

Gamitin natin ang pangalawang pag-aari, na nagsasabing kakaiba ang ating pag-andar, na nangangahulugang maaari itong maipakita nang simetriko na may paggalang sa pinagmulan:

Alam natin na sin(x+ 2π) = sin(x). Nangangahulugan ito na sa pagitan [- π; π] kapareho ng hitsura ng graph sa segment na [π; 3π] o o [-3π; - π] at iba pa. Ang kailangan lang nating gawin ay maingat na i-redraw ang graph sa nakaraang figure kasama ang buong x-axis.

Ang graph ng function na Y=sin(X) ay tinatawag na sinusoid.

Sumulat tayo ng ilan pang mga katangian ayon sa nabuong graph:
6) Ang function na Y=sin(X) ay tumataas sa anumang bahagi ng anyo: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], ang k ay isang integer at bumababa sa anumang segment ng form: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – integer.
7) Ang function na Y=sin(X) ay isang tuluy-tuloy na function. Tingnan natin ang graph ng function at siguraduhing walang break ang ating function, nangangahulugan ito ng continuity.
8) Saklaw ng mga halaga: segment [- 1; 1]. Malinaw din itong nakikita mula sa graph ng function.
9) Function Y=sin(X) - periodic function. Tingnan natin muli ang graph at tingnan na ang function ay tumatagal ng parehong mga halaga sa ilang mga agwat.

Mga halimbawa ng problema sa sine

1. Lutasin ang equation na sin(x)= x-π

Solusyon: Bumuo tayo ng 2 graph ng function: y=sin(x) at y=x-π (tingnan ang figure).
Ang aming mga graph ay bumalandra sa isang punto A(π;0), ito ang sagot: x = π

2. I-graph ang function na y=sin(π/6+x)-1

Solusyon: Ang gustong graph ay makukuha sa pamamagitan ng paglipat ng graph ng function na y=sin(x) π/6 units sa kaliwa at 1 unit pababa.

Solusyon: I-plot natin ang function at isaalang-alang ang ating segment [π/2; 5π/4].
Ang graph ng function ay nagpapakita na ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ay nakakamit sa mga dulo ng segment, sa mga puntos na π/2 at 5π/4, ayon sa pagkakabanggit.
Sagot: sin(π/2) = 1 – ang pinakamalaking halaga, sin(5π/4) = ang pinakamaliit na halaga.

Mga problema sa sinus para sa independiyenteng solusyon

• Lutasin ang equation: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• I-graph ang function na y=sin(π/3+x)-2
• I-graph ang function na y=sin(-2π/3+x)+1
• Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function na y=sin(x) sa segment
• Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function na y=sin(x) sa pagitan [- π/3; 5π/6]

Nakasentro sa isang punto A.
α - anggulo na ipinahayag sa radians.

Kahulugan
Sine (sin α) ay isang trigonometric function depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng isang right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng tapat na binti |BC| sa haba ng hypotenuse |AC|.

Cosine (cos α) ay isang trigonometric function depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng isang right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng katabing binti |AB| sa haba ng hypotenuse |AC|.

Mga tinatanggap na notasyon

;
;
.

;
;
.

Graph ng sine function, y = sin x

Graph ng cosine function, y = cos x

Mga katangian ng sine at cosine

Periodicity

Mga function y = kasalanan x at y = kasi x periodic na may period 2π.

Pagkakapantay-pantay

Ang pag-andar ng sine ay kakaiba. Ang cosine function ay pantay.

Domain ng kahulugan at mga halaga, extrema, pagtaas, pagbaba

Ang mga function ng sine at cosine ay tuluy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan, iyon ay, para sa lahat ng x (tingnan ang patunay ng pagpapatuloy). Ang kanilang mga pangunahing katangian ay ipinakita sa talahanayan (n - integer).

Mga pangunahing formula

Kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine

Mga formula para sa sine at cosine mula sa kabuuan at pagkakaiba

;
;

Mga formula para sa produkto ng mga sine at cosine

Mga formula ng kabuuan at pagkakaiba

Pagpapahayag ng sine sa pamamagitan ng cosine

;
;
;
.

Pagpapahayag ng cosine sa pamamagitan ng sine

;
;
;
.

Pagpapahayag sa pamamagitan ng tangent

; .

Kapag , mayroon tayong:
; .

Sa:
; .

Talaan ng mga sine at cosine, tangent at cotangent

Ipinapakita ng talahanayang ito ang mga halaga ng mga sine at cosine para sa ilang mga halaga ng argumento.

Mga expression sa pamamagitan ng mga kumplikadong variable

;

Ang formula ni Euler

Mga expression sa pamamagitan ng hyperbolic function

;
;

Derivatives

; . Pagkuha ng mga formula > > >

Derivatives ng nth order:
{ -∞ < x < +∞ }

Secant, cosecant

Mga kabaligtaran na pag-andar

Ang mga inverse function ng sine at cosine ay arcsine at arccosine, ayon sa pagkakabanggit.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009.

FUNCTION GRAPHICS

Pag-andar ng sine

- isang grupo ng R lahat ng totoong numero.

Maramihang Mga Halaga ng Function— segment [-1; 1], ibig sabihin. function ng sine - limitado.

Kakaibang function: sin(−x)=−sin x para sa lahat ng x ∈ R.

Ang function ay panaka-nakang

sin(x+2π k) = sin x, kung saan k ∈ Z para sa lahat ng x ∈ R.

kasalanan x = 0 para sa x = π·k, k ∈ Z.

kasalanan x > 0(positibo) para sa lahat ng x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.

kasalanan x< 0 (negatibo) para sa lahat ng x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.

Pag-andar ng cosine

Function na Domain- isang grupo ng R lahat ng totoong numero.

Maramihang Mga Halaga ng Function— segment [-1; 1], ibig sabihin. function ng cosine - limitado.

Kahit na function: cos(−x)=cos x para sa lahat ng x ∈ R.

Ang function ay panaka-nakang na may pinakamaliit na positibong panahon 2π:

cos(x+2π k) = cos x, saan k ∈ Z para sa lahat ng x ∈ R.

cos x = 0 sa
cos x > 0 para sa lahat
kasi x< 0 para sa lahat
Tumataas ang function mula −1 hanggang 1 sa mga pagitan:
Bumababa ang function mula −1 hanggang 1 sa mga pagitan:
Ang pinakamalaking halaga ng function na sin x = 1 sa mga punto:
Ang pinakamaliit na halaga ng function na sin x = −1 sa mga punto:

Tangent function

Maramihang Mga Halaga ng Function— ang buong linya ng numero, i.e. padaplis - function walang limitasyon.

Kakaibang function: tg(−x)=−tg x
Ang graph ng function ay simetriko tungkol sa OY axis.

Ang function ay panaka-nakang na may pinakamaliit na positibong panahon π, i.e. tg(x+π k) = tan x, k ∈ Z para sa lahat ng x mula sa domain ng kahulugan.

Cotangent function

Maramihang Mga Halaga ng Function— ang buong linya ng numero, i.e. cotangent - function walang limitasyon.

Ang function ay panaka-nakang na may pinakamaliit na positibong panahon π, i.e. cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z para sa lahat ng x mula sa domain ng kahulugan.

Pag-andar ng Arcsine

Function na Domain— segment [-1; 1]

Maramihang Mga Halaga ng Function- segment -π /2 arcsin x π /2, ibig sabihin. arcsine - function limitado.

Kakaibang function: arcsin(−x)=−arcsin x para sa lahat ng x ∈ R.
Ang graph ng function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

Sa buong lugar ng kahulugan.

Pag-andar ng Arc cosine

Function na Domain— segment [-1; 1]

Maramihang Mga Halaga ng Function— segment 0 arccos x π, i.e. arccosine - function limitado.

Ang pag-andar ay tumataas sa buong lugar ng kahulugan.

Pag-andar ng Arctangent

Function na Domain- isang grupo ng R lahat ng totoong numero.

Maramihang Mga Halaga ng Function— segment 0 π, ibig sabihin. arctangent - function limitado.

Kakaibang function: arctg(−x)=−arctg x para sa lahat ng x ∈ R.
Ang graph ng function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

Ang pag-andar ay tumataas sa buong lugar ng kahulugan.

Arc tangent function

Function na Domain- isang grupo ng R lahat ng totoong numero.

Maramihang Mga Halaga ng Function— segment 0 π, ibig sabihin. arccotangent - function limitado.

Ang function ay hindi kahit na o kakaiba.
Ang graph ng function ay asymmetrical ni may kinalaman sa pinanggalingan o may kinalaman sa Oy axis.

Bumababa ang function sa buong lugar ng kahulugan.

Sa araling ito ay titingnan natin nang detalyado ang function na y = sin x, ang mga pangunahing katangian at graph nito. Sa simula ng aralin, ibibigay natin ang kahulugan ng trigonometric function na y = sin t sa coordinate circle at isaalang-alang ang graph ng function sa bilog at linya. Ipakita natin ang periodicity ng function na ito sa graph at isaalang-alang ang mga pangunahing katangian ng function. Sa pagtatapos ng aralin, malulutas natin ang ilang simpleng problema gamit ang graph ng isang function at ang mga katangian nito.

Paksa: Trigonometric functions

Aralin: Function y=sinx, ang mga pangunahing katangian at graph nito

Kapag isinasaalang-alang ang isang function, mahalagang iugnay ang bawat halaga ng argumento sa isang solong halaga ng function. Ito batas ng pagsusulatan at tinatawag na function.

Tukuyin natin ang batas sa pagsusulatan para sa .

Ang anumang tunay na numero ay tumutugma sa isang punto sa bilog ng yunit. Ang isang punto ay may isang solong ordinate, na tinatawag na sine ng numero (Larawan 1).

Ang bawat value ng argument ay nauugnay sa isang value ng function.

Ang mga halatang katangian ay sumusunod mula sa kahulugan ng sine.

Ang figure ay nagpapakita na kasi ay ang ordinate ng isang punto sa unit circle.

Isaalang-alang ang graph ng function. Alalahanin natin ang geometric na interpretasyon ng argumento. Ang argumento ay ang gitnang anggulo, na sinusukat sa radians. Sa kahabaan ng axis ay mag-plot kami ng mga tunay na numero o anggulo sa mga radian, kasama ng axis ang kaukulang mga halaga ng function.

Halimbawa, ang isang anggulo sa bilog ng unit ay tumutugma sa isang punto sa graph (Larawan 2)

Nakuha namin ang isang graph ng function sa lugar. Ngunit alam ang panahon ng sine, maaari naming ilarawan ang graph ng function sa buong domain ng kahulugan (Fig. 3).

Ang pangunahing panahon ng function ay Nangangahulugan ito na ang graph ay maaaring makuha sa isang segment at pagkatapos ay ipagpatuloy sa buong domain ng kahulugan.

Isaalang-alang ang mga katangian ng function:

1) Saklaw ng kahulugan:

2) Saklaw ng mga halaga:

3) Kakaibang function:

4) Pinakamaliit na positibong panahon:

5) Mga coordinate ng mga punto ng intersection ng graph na may abscissa axis:

6) Mga coordinate ng punto ng intersection ng graph na may ordinate axis:

7) Mga agwat kung saan kumukuha ang function ng mga positibong halaga:

8) Mga agwat kung saan kumukuha ang function ng mga negatibong halaga:

9) Tumataas na agwat:

10) Pagbaba ng mga pagitan:

11) Pinakamababang puntos:

12) Mga minimum na function:

13) Pinakamataas na puntos:

14) Pinakamataas na function:

Tiningnan namin ang mga katangian ng function at ang graph nito. Ang mga katangian ay gagamitin nang paulit-ulit kapag nilulutas ang mga problema.

Bibliograpiya

1. Algebra at simula ng pagsusuri, grade 10 (sa dalawang bahagi). Teksbuk para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon (antas ng profile), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra at simula ng pagsusuri, grade 10 (sa dalawang bahagi). Problema ng libro para sa mga institusyong pang-edukasyon (profile level), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra at mathematical analysis para sa grade 10 (textbook para sa mga mag-aaral ng mga paaralan at mga klase na may malalim na pag-aaral ng matematika). - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Malalim na pag-aaral ng algebra at mathematical analysis.-M.: Education, 1997.

5. Koleksyon ng mga problema sa matematika para sa mga aplikante sa mas mataas na institusyong pang-edukasyon (na-edit ni M.I. Skanavi). - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraic simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Mga problema sa algebra at mga prinsipyo ng pagsusuri (isang manwal para sa mga mag-aaral sa mga baitang 10-11 ng mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon). - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Koleksyon ng mga problema sa algebra at mga prinsipyo ng pagsusuri: aklat-aralin. allowance para sa 10-11 grades. may lalim pinag-aralan Mathematics.-M.: Edukasyon, 2006.

Takdang aralin

Algebra at simula ng pagsusuri, grade 10 (sa dalawang bahagi). Problema ng libro para sa mga institusyong pang-edukasyon (profile level), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Mga karagdagang mapagkukunan sa web

3. Portal na pang-edukasyon para sa paghahanda ng pagsusulit ().

Sa araling ito ay titingnan natin nang detalyado ang function na y = sin x, ang mga pangunahing katangian at graph nito. Sa simula ng aralin, ibibigay natin ang kahulugan ng trigonometric function na y = sin t sa coordinate circle at isaalang-alang ang graph ng function sa bilog at linya. Ipakita natin ang periodicity ng function na ito sa graph at isaalang-alang ang mga pangunahing katangian ng function. Sa pagtatapos ng aralin, malulutas natin ang ilang simpleng problema gamit ang graph ng isang function at ang mga katangian nito.

Paksa: Trigonometric functions

Aralin: Function y=sinx, ang mga pangunahing katangian at graph nito

Kapag isinasaalang-alang ang isang function, mahalagang iugnay ang bawat halaga ng argumento sa isang solong halaga ng function. Ito batas ng pagsusulatan at tinatawag na function.

Tukuyin natin ang batas sa pagsusulatan para sa .

Ang anumang tunay na numero ay tumutugma sa isang punto sa bilog ng yunit. Ang isang punto ay may isang solong ordinate, na tinatawag na sine ng numero (Larawan 1).

Ang bawat value ng argument ay nauugnay sa isang value ng function.

Ang mga halatang katangian ay sumusunod mula sa kahulugan ng sine.

Ang figure ay nagpapakita na kasi ay ang ordinate ng isang punto sa unit circle.

Isaalang-alang ang graph ng function. Alalahanin natin ang geometric na interpretasyon ng argumento. Ang argumento ay ang gitnang anggulo, na sinusukat sa radians. Sa kahabaan ng axis ay mag-plot kami ng mga tunay na numero o anggulo sa mga radian, kasama ng axis ang kaukulang mga halaga ng function.

Halimbawa, ang isang anggulo sa bilog ng unit ay tumutugma sa isang punto sa graph (Larawan 2)

Nakuha namin ang isang graph ng function sa lugar. Ngunit alam ang panahon ng sine, maaari naming ilarawan ang graph ng function sa buong domain ng kahulugan (Fig. 3).

Ang pangunahing panahon ng function ay Nangangahulugan ito na ang graph ay maaaring makuha sa isang segment at pagkatapos ay ipagpatuloy sa buong domain ng kahulugan.

Isaalang-alang ang mga katangian ng function:

1) Saklaw ng kahulugan:

2) Saklaw ng mga halaga:

3) Kakaibang function:

4) Pinakamaliit na positibong panahon:

5) Mga coordinate ng mga punto ng intersection ng graph na may abscissa axis:

6) Mga coordinate ng punto ng intersection ng graph na may ordinate axis:

7) Mga agwat kung saan kumukuha ang function ng mga positibong halaga:

8) Mga agwat kung saan kumukuha ang function ng mga negatibong halaga:

9) Tumataas na agwat:

10) Pagbaba ng mga pagitan:

11) Pinakamababang puntos:

12) Mga minimum na function:

13) Pinakamataas na puntos:

14) Pinakamataas na function:

Tiningnan namin ang mga katangian ng function at ang graph nito. Ang mga katangian ay gagamitin nang paulit-ulit kapag nilulutas ang mga problema.

Bibliograpiya

1. Algebra at simula ng pagsusuri, grade 10 (sa dalawang bahagi). Teksbuk para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon (antas ng profile), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra at simula ng pagsusuri, grade 10 (sa dalawang bahagi). Problema ng libro para sa mga institusyong pang-edukasyon (profile level), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra at mathematical analysis para sa grade 10 (textbook para sa mga mag-aaral ng mga paaralan at mga klase na may malalim na pag-aaral ng matematika). - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Malalim na pag-aaral ng algebra at mathematical analysis.-M.: Education, 1997.

5. Koleksyon ng mga problema sa matematika para sa mga aplikante sa mas mataas na institusyong pang-edukasyon (na-edit ni M.I. Skanavi). - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraic simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Mga problema sa algebra at mga prinsipyo ng pagsusuri (isang manwal para sa mga mag-aaral sa mga baitang 10-11 ng mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon). - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Koleksyon ng mga problema sa algebra at mga prinsipyo ng pagsusuri: aklat-aralin. allowance para sa 10-11 grades. may lalim pinag-aralan Mathematics.-M.: Edukasyon, 2006.

Takdang aralin

Algebra at simula ng pagsusuri, grade 10 (sa dalawang bahagi). Problema ng libro para sa mga institusyong pang-edukasyon (profile level), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Mga karagdagang mapagkukunan sa web

3. Portal na pang-edukasyon para sa paghahanda ng pagsusulit ().