Ang artikulong ito ay nagpapatuloy sa tema ng equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano: isaalang-alang ang ganitong uri ng equation bilang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Tukuyin natin ang isang teorama at ibigay ang patunay nito; Alamin natin kung ano ang isang hindi kumpletong pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya at kung paano gumawa ng mga paglipat mula sa isang pangkalahatang equation sa iba pang mga uri ng mga equation ng isang tuwid na linya. Pagsasama-sama namin ang buong teorya ng mga guhit at paglutas ng mga praktikal na problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hayaan ang isang hugis-parihaba na coordinate system O x y na ibigay sa eroplano.

Teorama 1

Ang anumang equation ng unang degree, pagkakaroon ng form A x + B y + C \u003d 0, kung saan ang A, B, C ay ilang mga totoong numero (A at B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras) tumutukoy sa isang tuwid na linya sa isang hugis-parihaba na coordinate system sa isang eroplano. Kaugnay nito, ang anumang tuwid na linya sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate sa isang eroplano ay natutukoy ng isang equation na may form na A x + B y + C \u003d 0 para sa isang tiyak na hanay ng mga halagang A, B, C.

Katibayan

ang teoryang ito ay binubuo ng dalawang puntos, patunayan namin ang bawat isa sa kanila.

1. Patunayan natin na ang equation A x + B y + C \u003d 0 ay tumutukoy sa isang tuwid na linya sa eroplano.

Hayaan ang pagkakaroon ng ilang mga punto М 0 (x 0, y 0), ang mga coordinate na tumutugma sa equation A x + B y + C \u003d 0. Kaya: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0. Ibawas mula sa kaliwa at kanang bahagi ng mga equation A x + B y + C \u003d 0 sa kaliwa at kanang bahagi ng equation A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, nakakakuha kami ng isang bagong equation na mayroong form A ( x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0. Katumbas ito ng A x + B y + C \u003d 0.

Ang nagresultang equation A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ay kinakailangan at sapat na kondisyon para sa mga vector n → \u003d (A, B) at M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0). Kaya, ang hanay ng mga puntong M (x, y) ay tumutukoy sa isang tuwid na linya sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate patayo sa direksyon ng vector n → \u003d (A, B). Maaari nating ipalagay na ito ay hindi ganon, ngunit ang mga vector n → \u003d (A, B) at M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) ay hindi patayo, at ang pagkakapantay-pantay ng A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ay hindi magiging totoo.

Samakatuwid, ang equation A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ay tumutukoy sa ilang tuwid na linya sa isang rektanggulo na coordinate system sa eroplano, at samakatuwid ang katumbas na equation na A x + B y + C \u003d 0 ay tumutukoy sa parehong linya na tuwid. Ito ay kung paano namin napatunayan ang unang bahagi ng teorama.

1. Magbigay kami ng isang patunay na ang anumang tuwid na linya sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate sa isang eroplano ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng isang equation ng unang degree A x + B y + C \u003d 0.

Itakda natin ang tuwid na linya a sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate sa eroplano; point M 0 (x 0, y 0), kung saan dumadaan ang linyang ito, pati na rin ang normal na vector ng linyang ito n → \u003d (A, B).

Hayaan ding magkaroon ng ilang puntong M (x, y) - isang lumulutang na punto ng isang tuwid na linya. Sa kasong ito, ang mga vector n → \u003d (A, B) at M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) ay patayo sa bawat isa, at ang kanilang scalar na produkto ay zero:

n →, M 0 M → \u003d A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0

Isulat muli ang equation A x + B y - A x 0 - B y 0 \u003d 0, tukuyin ang C: C \u003d - A x 0 - B y 0 at sa huling resulta makuha natin ang equation A x + B y + C \u003d 0 .

Sa gayon, napatunayan namin ang pangalawang bahagi ng teorama at pinatunayan ang buong teorama bilang isang kabuuan.

Kahulugan 1

Isang equation ng form A x + B y + C \u003d 0 - ito ay pangkalahatang equation ng linya sa isang eroplano sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate O x y.

Batay sa napatunayan na teorama, maaari nating tapusin na ang isang tuwid na linya at ang pangkalahatang equation nito na ibinigay sa isang eroplano sa isang nakapirming rektanggulo na sistema ng coordinate ay hindi maiuugnay na naiugnay. Sa madaling salita, ang paunang tuwid na linya ay tumutugma sa pangkalahatang equation nito; ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay tumutugma sa isang naibigay na tuwid na linya.

Sumusunod din ito mula sa patunay ng teorama na ang mga coefficients A at B para sa mga variable na x at y ay ang mga coordinate ng normal na vector ng linya, na ibinibigay ng pangkalahatang equation ng linya A x + B y + C \u003d 0

Isaalang-alang ang isang tukoy na halimbawa ng isang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Hayaan ang equation 2 x + 3 y - 2 \u003d 0 na ibigay, na tumutugma sa isang tuwid na linya sa isang naibigay na sistema ng parihaba na coordinate. Ang normal na vector ng linyang ito ay ang vector n → \u003d (2, 3). Gumuhit ng isang ibinigay na tuwid na linya sa pagguhit.

Maaari mo ring sabihin ang sumusunod: ang tuwid na linya na nakikita natin sa pagguhit ay natutukoy ng pangkalahatang equation 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, dahil ang mga coordinate ng lahat ng mga punto ng isang naibigay na tuwid na linya ay tumutugma sa equation na ito.

Maaari nating makuha ang equation λ · A x + λ · B y + λ · C \u003d 0 sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng pangkalahatang equation ng linya sa isang bilang λ na hindi katumbas ng zero. Ang nagresultang equation ay katumbas ng orihinal na pangkalahatang equation, samakatuwid, ay ilalarawan ang parehong tuwid na linya sa eroplano.

Kumpletuhin ang pangkalahatang equation ng linya - tulad ng isang pangkalahatang equation ng tuwid na linya A x + B y + C \u003d 0, kung saan ang mga numero A, B, C ay naiiba mula sa zero. Kung hindi man ang equation ay hindi kumpleto.

Suriin natin ang lahat ng mga pagkakaiba-iba ng hindi kumpletong pangkalahatang equation ng linya.

1. Kapag A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ang pangkalahatang equation ay nagiging B y + C \u003d 0. Ang nasabing isang hindi kumpletong pangkalahatang equation ay tumutukoy sa isang hugis-parihaba na coordinate system O x y isang tuwid na linya na kahilera ng O x axis, dahil para sa anumang tunay na halaga ng x ang variable y ay kukuha ng halaga - C B. Sa madaling salita, ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya A x + B y + C \u003d 0, kapag A \u003d 0, B ≠ 0, ay tumutukoy sa lokasyon ng mga puntos (x, y), na ang mga coordinate ay katumbas ng parehong numero - C B.
2. Kung A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ang pangkalahatang equation ay kumukuha ng form y \u003d 0. Ang hindi kumpletong equation na ito ay tumutukoy sa abscissa axis O x.
3. Kapag ang A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, nakakakuha kami ng isang hindi kumpletong pangkalahatang equation A x + C \u003d 0, na tumutukoy sa isang tuwid na linya na kahilera sa ordinate axis.
4. Hayaan ang A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, pagkatapos ang hindi kumpletong pangkalahatang equation ay kukuha ng form x \u003d 0, at ito ang equation ng linya ng coordinate na O y.
5. Panghuli, para sa A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ang hindi kumpletong pangkalahatang equation ay kumukuha ng form A x + B y \u003d 0. At ang equation na ito ay naglalarawan ng isang tuwid na linya na dumadaan sa pinagmulan. Sa katunayan, ang pares ng mga numero (0, 0) ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay A x + B y \u003d 0, dahil sa A · 0 + B · 0 \u003d 0.

Ipaalam sa amin nang malarawan ang lahat ng mga uri sa itaas ng hindi kumpletong pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Halimbawa 1

Alam na ang isang naibigay na tuwid na linya ay parallel sa ordinate axis at dumadaan sa puntong 2 7, - 11. Kinakailangan na isulat ang pangkalahatang equation ng isang naibigay na tuwid na linya.

Desisyon

Ang isang tuwid na linya na kahilera sa ordinate axis ay ibinibigay ng isang equation ng form A x + C \u003d 0, kung saan ang A ≠ 0. Gayundin, tinutukoy ng kundisyon ang mga koordinasyon ng puntong dumaan ang linya, at ang mga koordinasyon ng puntong ito ay nakakatugon sa mga kundisyon ng hindi kumpletong pangkalahatang equation A x + C \u003d 0, ibig sabihin. ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

A · 2 7 + C \u003d 0

Posibleng matukoy ang C mula dito sa pamamagitan ng pagbibigay ng A ng hindi halagang zero, halimbawa, A \u003d 7. Sa kasong ito, nakukuha namin ang: 7 · 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Alam namin ang parehong mga koepisyent A at C, pinalitan ang mga ito sa equation A x + C \u003d 0 at makuha ang kinakailangang equation ng tuwid na linya: 7 x - 2 \u003d 0

Sagot: 7 x - 2 \u003d 0

Halimbawa 2

Ang pagguhit ay nagpapakita ng isang tuwid na linya, kinakailangan upang isulat ang equation nito.

Desisyon

Pinapayagan kami ng naibigay na pagguhit na madaling kunin ang paunang data para sa paglutas ng problema. Nakikita natin sa pagguhit na ang ibinigay na linya ay kahanay sa O x axis at dumadaan sa puntong (0, 3).

Ang tuwid na linya, na kahilera sa mga mata ng abscissa, ay natutukoy ng hindi kumpletong pangkalahatang equation na B y + C \u003d 0. Alamin natin ang mga halagang B at C. Ang mga coordinate ng point (0, 3), dahil ang isang naibigay na tuwid na linya ay dumadaan dito, ay masiyahan ang equation ng tuwid na linya B y + C \u003d 0, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay may bisa: B · 3 + C \u003d 0. Itakda natin para sa B ang ilang halaga maliban sa zero. Ipagpalagay na B \u003d 1, sa kasong ito, mula sa pagkakapantay-pantay B 3 + C \u003d 0 mahahanap natin ang C: C \u003d - 3. Ginagamit namin ang mga kilalang halaga ng B at C, nakukuha namin ang kinakailangang equation ng tuwid na linya: y - 3 \u003d 0.

Sagot: y - 3 \u003d 0.

Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto ng eroplano

Hayaan ang naibigay na linya na dumaan sa puntong М 0 (x 0, y 0), pagkatapos ang mga coordinate nito ay tumutugma sa pangkalahatang equation ng linya, ibig sabihin ang pagkakapantay-pantay ay totoo: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0. Ibinawas namin ang kaliwa at kanang bahagi ng equation na ito mula sa kaliwa at kanang bahagi ng pangkalahatang kumpletong equation ng linya. Nakukuha namin: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, ang equation na ito ay katumbas ng orihinal na pangkalahatan, dumadaan sa puntong М 0 (x 0, y 0) at mayroong isang normal na vector n → \u003d (A, B).

Ang resulta na aming nakuha ay ginagawang posible upang isulat ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya na may kilalang mga coordinate ng normal na vector ng tuwid na linya at ang mga coordinate ng isang tiyak na punto ng tuwid na linya na ito.

Halimbawa 3

Dahil sa isang puntong М 0 (- 3, 4), kung saan dumadaan ang isang tuwid na linya, at isang normal na vector ng tuwid na linya na ito n → \u003d (1, - 2). Kinakailangan na isulat ang equation ng isang naibigay na tuwid na linya.

Desisyon

Pinapayagan kami ng mga paunang kundisyon na makuha ang kinakailangang data para sa pagguhit ng equation: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Pagkatapos:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) \u003d 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 \u003d 0

Ang problema ay maaaring malutas nang iba. Ang pangkalahatang equation ng linya ay A x + B y + C \u003d 0. Ang isang naibigay na normal na vector ay nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang mga halaga ng mga koepisyent A at B, pagkatapos:

A x + B y + C \u003d 0 ⇔ 1 x - 2 y + C \u003d 0 ⇔ x - 2 y + C \u003d 0

Ngayon nakita namin ang halaga ng C gamit ang puntong M 0 (- 3, 4) na tinukoy ng kondisyon ng problema, kung saan dumadaan ang tuwid na linya. Ang mga coordinate ng puntong ito ay tumutugma sa equation x - 2 y + C \u003d 0, i.e. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Samakatuwid C \u003d 11. Ang kinakailangang equation ng tuwid na linya ay kumukuha ng form: x - 2 y + 11 \u003d 0.

Sagot: x - 2 y + 11 \u003d 0.

Halimbawa 4

Ang isang tuwid na linya 2 3 x - y - 1 2 \u003d 0 at isang punto М 0 na nakahiga sa tuwid na linya na ito ay ibinigay. Ang abscissa lamang ng puntong ito ang kilala, at katumbas ito ng - 3. Kinakailangan upang matukoy ang ordenado ng ibinigay na punto.

Desisyon

Itakda natin ang pagtatalaga ng mga coordinate ng point М 0 bilang x 0 at y 0. Ipinapahiwatig ng paunang data na x 0 \u003d - 3. Dahil ang isang punto ay kabilang sa isang naibigay na tuwid na linya, kung gayon ang mga coordinate nito ay tumutugma sa pangkalahatang equation ng straight line na ito. Kung gayon ang katotohanan ay magiging totoo:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 \u003d 0

Tukuyin y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 \u003d 0 ⇔ - 5 2 - y 0 \u003d 0 ⇔ y 0 \u003d - 5 2

Sagot: - 5 2

Ang paglipat mula sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa iba pang mga uri ng mga equation ng isang tuwid na linya at vice versa

Tulad ng alam natin, maraming uri ng mga equation para sa parehong tuwid na linya sa eroplano. Ang pagpili ng uri ng equation ay nakasalalay sa mga kondisyon ng problema; posible na piliin ang isa na mas maginhawa para sa paglutas nito. Dito madaling gamitin ang kasanayan sa pag-convert ng isang equation ng isang uri sa isang equation ng isa pang uri.

Upang magsimula, isaalang-alang ang paglipat mula sa pangkalahatang equation ng form A x + B y + C \u003d 0 sa canonical equation x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y.

Kung ≠ ≠ 0, inililipat namin ang term na B y sa kanang bahagi ng pangkalahatang equation. Sa kaliwang bahagi, ilagay ang A sa labas ng mga braket. Bilang isang resulta, nakukuha natin ang: A x + C A \u003d - B y.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring isulat bilang isang proporsyon: x + C A - B \u003d y A.

Kung ang ≠ 0, iniiwan lamang natin ang term na A x sa kaliwang bahagi ng pangkalahatang equation, ilipat ang iba sa kanang bahagi, makukuha namin ang: A x \u003d - B y - C. Lumabas kami - B sa labas ng mga braket, pagkatapos: A x \u003d - B y + C B.

Isulat muli ang pagkakapantay-pantay bilang isang proporsyon: x - B \u003d y + C B A.

Siyempre, hindi na kailangang kabisaduhin ang mga nagresultang pormula. Sapat na upang malaman ang algorithm ng mga aksyon sa paglipat mula sa pangkalahatang equation hanggang sa canonical.

Halimbawa 5

Ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya ay ibinibigay: 3 y - 4 \u003d 0. Kinakailangan na ibahin ito sa isang canonical equation.

Desisyon

Isulat muli ang orihinal na equation bilang 3 y - 4 \u003d 0. Susunod, kumikilos kami ayon sa algorithm: sa kaliwang bahagi ay nananatili ang term na 0 x; at sa kanang bahagi ay inilalagay namin - 3 sa labas ng mga braket; nakukuha natin: 0 x \u003d - 3 y - 4 3.

Isulat natin ang nagresultang pagkakapantay-pantay bilang isang proporsyon: x - 3 \u003d y - 4 3 0. Kaya, nakakuha kami ng isang equation ng canonical form.

Sagot: x - 3 \u003d y - 4 3 0.

Upang mabago ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya sa mga parametric, unang gagawin ang paglipat sa canonical form, at pagkatapos ang paglipat mula sa canonical equation ng tuwid na linya sa mga parametric equation.

Halimbawa 6

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation 2 x - 5 y - 1 \u003d 0. Isulat ang mga parametric equation ng tuwid na linya na ito.

Desisyon

Gawin nating paglipat mula sa pangkalahatang equation patungo sa kanonikal:

2 x - 5 y - 1 \u003d 0 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 5 ⇔ x 5 \u003d y + 1 5 2

Ngayon ay kinukuha namin ang magkabilang panig ng nagresultang canonical equation na katumbas ng then, pagkatapos:

x 5 \u003d λ y + 1 5 2 \u003d λ ⇔ x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Sagot: x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Ang pangkalahatang equation ay maaaring mabago sa isang equation ng isang tuwid na linya na may isang slope y \u003d k x + b, ngunit lamang kung B ≠ 0. Para sa paglipat sa kaliwa, iniiwan namin ang term na B y, ang natitira ay inililipat sa kanan. Nakukuha namin ang: B y \u003d - A x - C. Hatiin ang magkabilang panig ng nagresultang pagkakapantay-pantay ng B, naiiba mula sa zero: y \u003d - A B x - C B.

Halimbawa 7

Ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya ay ibinibigay: 2 x + 7 y \u003d 0. Dapat mong i-convert ang equation na iyon sa isang equation na slope.

Desisyon

Gawin natin ang mga kinakailangang aksyon ayon sa algorithm:

2 x + 7 y \u003d 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y \u003d - 2 7 x

Sagot: y \u003d - 2 7 x.

Mula sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya, sapat na upang makakuha lamang ng isang equation sa mga segment ng form na x a + y b \u003d 1. Upang makagawa ng gayong paglipat, inililipat namin ang numero C sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, hatiin ang magkabilang panig ng nagresultang pagkakapantay-pantay ng - С at, sa wakas, ilipat ang mga coefficients para sa mga variable na x at y sa mga denominator:

A x + B y + C \u003d 0 ⇔ A x + B y \u003d - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y \u003d 1 ⇔ x - C A + y - C B \u003d 1

Halimbawa 8

Kinakailangan na ibahin ang pangkalahatang equation ng linya x - 7 y + 1 2 \u003d 0 sa equation ng linya sa mga segment.

Desisyon

Ilipat ang 1 2 sa kanang bahagi: x - 7 y + 1 2 \u003d 0 ⇔ x - 7 y \u003d - 1 2.

Hatiin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ng -1/2: x - 7 y \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1.

Sagot: x - 1 2 + y 1 14 \u003d 1.

Sa pangkalahatan, madali rin ang reverse transition: mula sa iba pang mga uri ng mga equation sa pangkalahatang isa.

Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment at isang equation na may isang slope coefficient ay madaling mabago sa isang pangkalahatang isa, sa pamamagitan lamang ng pagkolekta ng lahat ng mga term sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0 y \u003d k x + b ⇔ y - k x - b \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0

Ang canonical equation ay binago sa pangkalahatang isa tulad ng sumusunod:

x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) \u003d ax (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0

Upang lumipat mula sa parametric, una, ang paglipat sa canonical ay isinasagawa, at pagkatapos ay sa pangkalahatan:

x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C \u003d 0

Halimbawa 9

Ang mga equation na parametric ng tuwid na linya x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 ay ibinigay. Kinakailangan na isulat ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya na ito.

Desisyon

Gawin nating paglipat mula sa mga parametric equation patungo sa canonical:

x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 ⇔ x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 + 0 λ ⇔ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 4 0

Lumipat tayo mula sa canonical patungo sa pangkalahatan:

x + 1 2 \u003d y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) \u003d 2 (y - 4) ⇔ y - 4 \u003d 0

Sagot: y - 4 \u003d 0

Halimbawa 10

Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment x 3 + y 1 2 \u003d 1 ay ibinigay. Kinakailangan na gumawa ng isang paglipat sa pangkalahatang anyo ng equation.

Desisyon:

Isulat lamang natin ang equation kung kinakailangan:

x 3 + y 1 2 \u003d 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0

Sagot: 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0.

Pagguhit ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya

Sa itaas, sinabi namin na ang pangkalahatang equation ay maaaring nakasulat sa mga kilalang koordinasyon ng normal na vector at ang mga coordinate ng punto kung saan dumadaan ang tuwid na linya. Ang nasabing isang tuwid na linya ay natutukoy ng equation A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0. Sinuri din namin ang kaukulang halimbawa doon.

Ngayon isasaalang-alang namin ang mas kumplikadong mga halimbawa, kung saan unang kinakailangan upang matukoy ang mga coordinate ng normal na vector.

Halimbawa 11

Isang tuwid na linya na kahilera sa tuwid na linya 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0 ang ibinigay. Kilala rin ang puntong M 0 (4, 1), kung saan dumaan ang ibinigay na linya. Kinakailangan na isulat ang equation ng isang naibigay na tuwid na linya.

Desisyon

Sinasabi sa amin ng mga paunang kundisyon na ang mga tuwid na linya ay magkapareho, pagkatapos, bilang normal na vector ng tuwid na linya, ang equation na kung saan ay maisusulat, kinukuha namin ang direksyon ng vector ng tuwid na linya n → \u003d (2, - 3 ): 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Ngayon alam namin ang lahat ng kinakailangang data upang mabuo ang pangkalahatang equation ng linya:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) \u003d 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 \u003d 0

Sagot: 2 x - 3 y - 5 \u003d 0.

Halimbawa 12

Ang tinukoy na linya ay dumadaan sa pinagmulan patayo sa linya x - 2 3 \u003d y + 4 5. Kinakailangan upang gumuhit ng isang pangkalahatang equation para sa isang naibigay na tuwid na linya.

Desisyon

Ang normal na vector ng ibinigay na linya ay ang direksyon ng vector ng linya x - 2 3 \u003d y + 4 5.

Pagkatapos n → \u003d (3, 5). Ang tuwid na linya ay dumadaan sa pinagmulan, i. sa pamamagitan ng puntong O (0, 0). Isulat natin ang pangkalahatang equation ng isang naibigay na tuwid na linya:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) \u003d 0 ⇔ 3 x + 5 y \u003d 0

Sagot: 3 x + 5 y \u003d 0.

Kung napansin mo ang isang error sa teksto, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

Ang tuwid na linya na dumadaan sa puntong K (x 0; y 0) at kahilera sa tuwid na linya y \u003d kx + a ay natagpuan ng pormula:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Kung saan k ay ang slope ng tuwid na linya.

Alternatibong formula:
Ang tuwid na linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1; y 1) at kahilera sa tuwid na linya Axe + Ni + C \u003d 0 ay kinakatawan ng equation

A (x-x 1) + B (y-y 1) \u003d 0. (2)

Halimbawa # 2. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na kahilera sa tuwid na linya 2x + 5y \u003d 0 at bumubuo, kasama ang mga coordinate axes, isang tatsulok na ang lugar ay 5.
Desisyon ... Dahil ang mga tuwid na linya ay kahanay, ang equation ng nais na tuwid na linya ay 2x + 5y + C \u003d 0. Ang lugar ng isang may tatsulok na tatsulok, kung saan a at b ang mga binti nito. Hanapin ang mga puntos ng intersection ng nais na tuwid na linya gamit ang mga coordinate axe:
;
.
Kaya A (-C / 2.0), B (0, -C / 5). Palitan natin ang pormula para sa lugar: ... Nakukuha namin ang dalawang solusyon: 2x + 5y + 10 \u003d 0 at 2x + 5y - 10 \u003d 0.

Halimbawa # 3. Gawin ang equation ng tuwid na linya na dumadaan sa point (-2; 5) at kahilera sa tuwid na linya na 5x-7y-4 \u003d 0.
Desisyon. Ang tuwid na linya na ito ay maaaring kinatawan ng equation y \u003d 5/7 x - 4/7 (narito ang isang \u003d 5/7). Ang equation ng nais na tuwid na linya ay y - 5 \u003d 5/7 (x - (-2)), ibig sabihin 7 (y-5) \u003d 5 (x + 2) o 5x-7y + 45 \u003d 0.

Halimbawa Blg. 4. Ang paglulutas ng halimbawa 3 (A \u003d 5, B \u003d -7) gamit ang formula (2), mahahanap natin ang 5 (x + 2) -7 (y-5) \u003d 0.

Halimbawa Blg 5. Gawin ang equation ng tuwid na linya na dumadaan sa point (-2; 5) at kahilera sa tuwid na linya na 7x + 10 \u003d 0.
Desisyon. Dito A \u003d 7, B \u003d 0. Nagbibigay ang Formula (2) ng 7 (x + 2) \u003d 0, ibig sabihin x + 2 \u003d 0. Ang formula (1) ay hindi mailalapat, dahil ang equation na ito ay hindi malulutas na may paggalang sa y (ang linya na ito ay kahanay sa ordinate axis).

Aralin mula sa seryeng "Geometric Algorithms"

Kumusta mahal na mambabasa!

Ngayon magsisimula kaming maghanap ng mga algorithm na nauugnay sa geometry. Ang punto ay ang maraming mga problema sa Olympiad sa computer science na nauugnay sa computational geometry, at ang solusyon sa mga naturang problema ay madalas na nagdudulot ng mga paghihirap.

Sa ilang mga aralin, titingnan namin ang isang bilang ng mga pangunahing problema sa elementarya, na kung saan ay ang batayan para sa paglutas ng karamihan sa mga problema sa computational geometry.

Sa araling ito, lilikha kami ng isang programa para sa paghahanap ng equation ng tuwid na linyadumadaan na ibinigay dalawang puntos... Upang malutas ang mga problema sa geometriko, kakailanganin namin ng kaunting kaalaman sa computational geometry. Maglalaan kami ng bahagi ng aralin upang makilala ang mga ito.

Impormasyon sa Computational Geometry

Ang computational geometry ay isang sangay ng computer science na nag-aaral ng mga algorithm para sa paglutas ng mga problemang geometriko.

Ang paunang data para sa mga naturang problema ay maaaring isang hanay ng mga puntos sa isang eroplano, isang hanay ng mga segment, isang polygon (tinukoy, halimbawa, sa pamamagitan ng isang listahan ng mga vertex nito sa orasan na nakaayos), atbp.

Ang resulta ay maaaring maging isang sagot sa isang katanungan (tulad ng kung ang isang punto ay kabilang sa isang segment, kung ang dalawang mga segment ay lumusot, ...), o ilang mga geometric na bagay (halimbawa, ang pinakamaliit na matambok na polygon na nagkokonekta ng mga naibigay na puntos, ang lugar ng Isang polygon, atbp.) ...

Isasaalang-alang lamang namin ang mga problema sa computational geometry sa isang eroplano at sa isang sistema lamang ng koordinasyon ng Cartesian.

Mga Vector at coordinate

Upang mailapat ang mga pamamaraan ng computational geometry, ang mga imahe ng geometriko ay dapat isalin sa wika ng mga numero. Ipagpapalagay namin na ang isang Cartesian coordinate system ay tinukoy sa eroplano, kung saan ang direksyon ng pag-ikot ng pakaliwa ay tinatawag na positibo.

Ang mga geometriko na bagay ay naisalin ngayon sa analysically. Kaya, upang magtakda ng isang punto, sapat na upang ipahiwatig ang mga coordinate nito: isang pares ng mga numero (x; y). Ang isang segment ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng pagtukoy ng mga coordinate ng mga dulo nito, isang linya na tuwid ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng pagtukoy ng mga coordinate ng isang pares ng mga puntos nito.

Ngunit ang pangunahing tool para sa paglutas ng mga problema ay mga vector. Samakatuwid, ipapaalala ko sa iyo ang ilang impormasyon tungkol sa kanila.

Seksyon AB, Saang punto AT isinasaalang-alang ang simula (punto ng aplikasyon), at ang punto SA - pagtatapos, na tinatawag na isang vector AB at nagsasaad ng alinman o isang naka-bold na maliit na titik, halimbawa at .

Upang tukuyin ang haba ng isang vector (iyon ay, ang haba ng kaukulang segment), gagamitin namin ang simbolo ng modulus (halimbawa,).

Ang isang arbitrary vector ay magkakaroon ng mga coordinate na katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga kaukulang koordinasyon ng pagtatapos at pagsisimula nito

,

dito puntos A at B may mga coordinate ayon sa pagkakabanggit.

Para sa mga kalkulasyon, gagamitin namin ang konsepto oriented na anggulo, iyon ay, ang anggulo na isinasaalang-alang ang kamag-anak na posisyon ng mga vector.

Oriented na anggulo sa pagitan ng mga vector a at b positibo kung ang pag-ikot ay malayo sa vector a sa vector b ay ginagawa sa positibong direksyon (pakaliwa) at negatibo kung hindi man. Tingnan ang fig.1a, fig.1b. Sinabi din nila na isang pares ng mga vector a at b positibo (negatibong) oriented.

Kaya, ang halaga ng nakatuon na anggulo ay nakasalalay sa pagkakasunud-sunod kung saan nakalista ang mga vector at maaaring tumagal ng mga halaga sa saklaw.

Maraming mga problema sa computational geometry ang gumagamit ng konsepto ng mga vector (skew o pseudoscalar) na mga produkto ng mga vector.

Ang produktong vector ng mga vector a at b ay produkto ng haba ng mga vector na ito sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan nila:

.

Produkto ng vector ng mga vector sa mga coordinate:

Ang ekspresyon sa kanan ay isang pangtukoy sa pangalawang pagkakasunud-sunod:

Hindi tulad ng kahulugan na ibinigay sa analytic geometry, ito ay isang skalar.

Tinutukoy ng palatandaan ng cross product ang posisyon ng mga vector na may kaugnayan sa bawat isa:

a at b positibong nakatuon.

Kung ang isang halaga, pagkatapos ng isang pares ng mga vector a at b negatibong oriented

Ang produktong vector ng mga nonzero vector ay zero kung at kung lamang sila ay collinear ( ). Nangangahulugan ito na nakahiga sila sa isang tuwid na linya o sa mga parallel na linya.

Isaalang-alang natin ang ilan sa pinakasimpleng mga gawaing kinakailangan upang malutas ang mas kumplikado.

Tukuyin natin ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga coordinate ng dalawang puntos.

Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang magkakaibang puntos, na ibinigay ng kanilang mga coordinate.

Hayaang ibigay ang dalawang hindi tumutugma na puntos sa isang tuwid na linya: na may mga coordinate (x1; y1) at may mga coordinate (x2; y2). Alinsunod dito, ang isang vector na may simula sa isang punto at isang dulo sa isang punto ay may mga coordinate (x2-x1, y2-y1). Kung ang P (x, y) ay isang di-makatwirang point sa aming linya, kung gayon ang mga coordinate ng vector ay (x-x1, y - y1).

Gamit ang produktong vector, ang kundisyon ng collinearity para sa mga vector at maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Yung. (x-x1) (y2-y1) - (y-y1) (x2-x1) \u003d 0

(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) \u003d 0

Isusulat namin muli ang huling equation tulad ng sumusunod:

palakol + ni + c \u003d 0, (1)

c \u003d x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

Kaya, ang isang tuwid na linya ay maaaring itakda ng isang equation ng form (1).

Gawain 1. Ang mga coordinate ng dalawang puntos ay ibinigay. Hanapin ang representasyon nito bilang palakol + ng + c \u003d 0.

Sa araling ito, natutunan namin ang tungkol sa ilang impormasyon sa computational geometry. Nalutas namin ang problema ng paghahanap ng equation ng linya sa pamamagitan ng mga coordinate ng dalawang puntos.

Sa susunod na aralin, bubuo kami ng isang programa upang makita ang intersection point ng dalawang linya na ibinigay ng aming mga equation.

Hayaan ang dalawang puntos na ibigay M(X1 ,Mayroon1) at N(X2, y2). Hahanapin natin ang equation ng tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito.

Dahil ang linya na ito ay dumadaan sa punto M, pagkatapos ay ayon sa pormula (1.13) ang equation nito ay mayroong form

Mayroon – Y1 = K(X - x1),

Kung saan K - hindi kilalang dalisdis.

Ang halaga ng koepisyent na ito ay natutukoy mula sa kundisyon na ang hinahangad na linya ay dumadaan sa punto N, at samakatuwid, ang mga coordinate nito ay nasiyahan ang equation (1.13)

Y2 – Y1 = K(X2 – X1),

Mula dito maaari mong makita ang slope ng tuwid na linya na ito:

,

O pagkatapos ng pag-convert

(1.14)

Tinutukoy ng Formula (1.14) Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos M(X1, Y1) at N(X2, Y2).

Sa espesyal na kaso kapag ang mga puntos M(A, 0), N(0, B), AT ¹ 0, B ¹ 0, humiga sa mga coordinate axes, ang equation (1.14) ay tumatagal ng isang mas simpleng form

Equation (1.15) tinawag Sa pamamagitan ng equation ng isang tuwid na linya sa mga segment, dito AT at B ipahiwatig ang mga segment na pinutol ng isang tuwid na linya sa mga palakol (Larawan 1.6).

Larawan 1.6

Halimbawa 1.10. Pantayin ang isang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga puntos M(1, 2) at B(3, –1).

. Ayon sa (1.14), ang equation ng hinanap na linya ay mayroong form

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Paglilipat ng lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi, sa wakas makuha namin ang nais na equation

3X + 2Y – 7 = 0.

Halimbawa 1.11. Pantayin ang isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto M(2, 1) at ang punto ng intersection ng mga linya X+ Y -1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Nahanap namin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga tuwid na linya sa pamamagitan ng paglutas nang magkasama sa mga ibinigay na equation

Kung idaragdag namin ang mga katumbas na term na ito ayon sa term, makakakuha kami ng 2 X + 1 \u003d 0, saan nagmula. Ang pagpapalit ng nahanap na halaga sa anumang equation, nakita namin ang halaga ng ordinate Mayroon:

Sinusulat namin ngayon ang equation ng tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos (2, 1) at:

o.

Samakatuwid, o –5 ( Y – 1) = X – 2.

Sa wakas, nakukuha namin ang equation ng nais na tuwid na linya sa form X + 5Y – 7 = 0.

Halimbawa 1.12. Hanapin ang equation ng tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos M(2,1) at N(2,3).

Gamit ang formula (1.14), nakukuha namin ang equation

Hindi makatuwiran dahil ang pangalawang denominator ay zero. Makikita mula sa pahayag ng problema na ang mga abscissas ng parehong puntos ay may parehong halaga. Samakatuwid, ang hinahangad na linya ay parallel sa axis OY at ang equation nito ay: x = 2.

Magkomento . Kung, kapag nagsusulat ng equation ng isang tuwid na linya ayon sa pormula (1.14), ang isa sa mga denominator ay naging zero, kung gayon ang makuha na nais na equation ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagpapantay ng kaukulang numerator sa zero.

Isaalang-alang ang iba pang mga paraan upang tukuyin ang isang tuwid na linya sa isang eroplano.

1. Hayaan ang isang nonzero vector na patayo sa ibinigay na linya Lat point M0(X0, Y0) nakasalalay sa tuwid na linya na ito (Larawan 1.7).

Larawan 1.7

Tinukoy namin M(X, Y) isang di-makatwirang punto sa linya L... Mga Vector at Orthogonal. Gamit ang mga kondisyon ng orthogonality para sa mga vector na ito, nakukuha rin namin ang alinman AT(X – X0) + B(Y – Y0) = 0.

Nakuha namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto M0 patayo sa vector. Ang vector na ito ay tinawag Ang normal na vector sa tuwid L... Ang nagresultang equation ay maaaring muling isulat bilang

Oh + Woo + MULA SA \u003d 0, saan MULA SA = –(ATX0 + Ni0), (1.16),

Kung saan AT at SA- Mga coordinate ng normal na vector.

Nakukuha namin ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya sa parametric form.

2. Ang isang tuwid na linya sa isang eroplano ay maaaring tukuyin tulad ng sumusunod: hayaan ang isang nonzero vector na maging parallel sa isang naibigay na tuwid na linya L at point M0(X0, Y0) nakasalalay sa tuwid na linya na ito. Kumuha ulit ng isang arbitraryong punto M(X, y) sa isang tuwid na linya (Larawan 1.8).

Larawan 1.8

Mga Vector at collinear.

Isulat natin ang kundisyon ng collinearity ng mga vector na ito :, kung saan T - isang di-makatwirang numero na tinatawag na isang parameter. Isulat natin ang pagkakapantay-pantay na ito sa mga coordinate:

Ang mga equation na ito ay tinawag Mga equation na parametric Diretso... Ibinubukod namin mula sa mga equation na ito ang parameter T:

Ang mga equation na ito ay maaaring nakasulat sa form

. (1.18)

Ang nagresultang equation ay tinatawag Ang canonical equation ng tuwid na linya... Tinawag ang vector Ang direksyon vector ng tuwid na linya .

Magkomento . Madaling makita iyon kung ang normal na vector sa linya L, kung gayon ang direksyon ng vector ay maaaring maging isang vector, dahil, i.

Halimbawa 1.13. Isulat ang equation ng tuwid na linya na dumadaan sa punto M0 (1, 1) kahilera sa tuwid na linya 3 X + 2Mayroon– 8 = 0.

Desisyon . Ang vector ay ang normal na vector sa ibinigay at nais na tuwid na mga linya. Gagamitin namin ang equation ng tuwid na linya na dumadaan sa punto M0 na may ibinigay na normal na vector 3 ( X –1) + 2(Mayroon - 1) \u003d 0 o 3 X + 2y - 5 \u003d 0. Natanggap ang equation ng nais na tuwid na linya.

Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto sa isang naibigay na direksyon. Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya. Ang kalagayan ng parallelism at perpendicularity ng dalawang linya. Pagtukoy ng intersection point ng dalawang linya

1. Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto A(x 1 , y 1) sa isang naibigay na direksyon na tinutukoy ng slope k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Tinutukoy ng equation na ito ang isang bundle ng mga tuwid na linya na dumadaan sa punto A(x 1 , y 1), na kung saan ay tinatawag na gitna ng sinag.

2. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos: A(x 1 , y 1) at B(x 2 , y 2) ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Ang slope ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos ay natutukoy ng formula

3. Angle sa pagitan ng mga tuwid na linya A at B tinawag ang anggulo kung saan kailangan mong buksan ang unang tuwid na linya A sa paligid ng punto ng intersection ng mga linya na pabaliktad hanggang sa sumabay ito sa pangalawang linya B... Kung ang dalawang tuwid na linya ay ibinibigay ng mga equation na may isang slope

y = k 1 x + B 1 ,