Dot produkto ng mga vectors

Patuloy kaming nakitungo sa mga vectors. Sa unang aralin Mga Vector para sa mga dummies isinasaalang-alang namin ang konsepto ng isang vector, mga aksyon na may mga vektor, mga coordinate ng isang vector at ang pinakasimpleng gawain sa mga vectors. Kung napunta ka sa pahinang ito sa kauna-unahang pagkakataon mula sa isang search engine, inirerekumenda kong basahin ang nasa itaas na pambungad na artikulo, dahil upang makabisado ang materyal, kailangan mong mag-navigate sa mga term at notasyon na ginagamit ko, may pangunahing kaalaman sa mga vectors at magagawang malutas ang mga pangunahing problema. Ang araling ito ay isang lohikal na pagpapatuloy ng paksa, at sa loob nito susuriin ko nang detalyado ang mga tipikal na gawain na kung saan ginagamit ang tuldok na produkto ng mga vectors. Ito ay isang napaka-MAHALAGA na aktibidad... Subukang huwag laktawan ang mga halimbawa, sinamahan sila ng isang kapaki-pakinabang na bonus - ang kasanayan ay makakatulong sa iyo na pagsama-samahin ang materyal na iyong nasaklaw at makuha ang iyong mga kamay sa solusyon sa mga karaniwang problema sa analitikong geometry.

Pagdaragdag ng mga vektor, pagpaparami ng isang vector sa pamamagitan ng isang numero…. Ito ay walang katuturan upang isipin na ang mga matematiko ay hindi nakarating sa anumang bagay. Bilang karagdagan sa mga pagkilos na isinasaalang-alang, mayroong isang bilang ng iba pang mga operasyon na may mga vectors, lalo: dot produkto ng mga vectors, vector produkto ng vectors at halo-halong produkto ng mga vectors... Ang skalar produkto ng mga vectors ay pamilyar sa amin mula sa paaralan, ang iba pang dalawang produkto ay ayon sa kaugalian na nauugnay sa kurso ng mas mataas na matematika. Ang mga paksa ay simple, ang algorithm para sa paglutas ng maraming mga problema ay stencil at malinaw. Ang tanging bagay. Mayroong maraming impormasyon, kaya hindi kanais-nais na subukang mag-master, malutas ang LAHAT NG AT SA LAMANG. Ito ay totoo lalo na para sa mga teapots, maniwala ka sa akin, ang may-akda ay hindi nais na pakiramdam tulad ng Chikatilo mula sa matematika. Buweno, at hindi mula sa matematika, siyempre, masyadong \u003d) Mas maraming handa na mga mag-aaral ay maaaring gumamit ng mga materyal na pinili, sa isang diwa, "makuha" ang nawawalang kaalaman, para sa iyo ako ay magiging isang hindi nakakapinsalang Bilang na Dracula \u003d)

Sa wakas, buksan natin ang pintuan at tingnan nang may sigasig kung ano ang mangyayari kapag nagkita ang bawat vectors sa bawat isa….

Pagpasya ng tuldok na produkto ng mga vectors.
Mga katangian ng produkto ng tuldok. Karaniwang gawain

Konsepto ng produkto ng tuldok

Una tungkol sa anggulo sa pagitan ng mga vectors... Sa palagay ko ang lahat ay intuitively na maunawaan kung ano ang anggulo sa pagitan ng mga vectors, ngunit kung sakaling medyo mas detalyado. Isaalang-alang ang mga libreng veztor na nonzero at. Kung ipagpaliban mo ang mga vectors na ito mula sa isang di-makatwirang punto, nakakakuha ka ng isang larawan na naisip ng marami sa kanilang isipan:

Ipinagtapat ko na narito ko na nabalangkas lamang ang sitwasyon sa antas ng pag-unawa. Kung kailangan mo ng isang mahigpit na kahulugan ng anggulo sa pagitan ng mga vectors, mangyaring sumangguni sa aklat-aralin, ngunit para sa mga praktikal na problema, kami, sa prinsipyo, ay hindi nangangailangan nito. Gayundin, DITO AT PAGSUSULIT, Ako ay sa ilang mga lugar na huwag pansinin ang mga zero vectors dahil sa kanilang mababang praktikal na kabuluhan. Gumawa ako ng isang reserbasyon partikular para sa mga advanced na mga bisita sa site na maaaring masisi ako para sa teoretikal na pagkumpleto ng ilan sa mga sumusunod na pahayag.

Sa panitikan, ang icon ng anggulo ay madalas na hindi napapansin at nakasulat nang simple.

Kahulugan: Ang scalar product ng dalawang vectors ay isang NUMBER na katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vectors na ito ng kosine ng anggulo sa pagitan nila:

Ito ay medyo mahigpit na kahulugan.

Tumutuon kami sa mga mahahalagang impormasyon:

Pagtatalaga: ang produkto ng tuldok ay ipinapahiwatig ng o simple.

Ang resulta ng operasyon ay isang NUMBER: Ang vector ay pinarami ng vector, at ang resulta ay isang numero. Sa katunayan, kung ang mga haba ng mga vectors ay mga numero, ang kosine ng isang anggulo ay isang numero, kung gayon ang kanilang produkto ay magiging isang numero din.

Lamang ng ilang mga halimbawa ng pag-init:

Halimbawa 1

Desisyon: Ginagamit namin ang formula ... Sa kasong ito:

Sagot:

Ang mga halaga ng kosine ay matatagpuan sa trigonometriko talahanayan... Inirerekumenda kong i-print ito - kakailanganin ito sa halos lahat ng mga seksyon ng tower at kakailanganin nang maraming beses.

Mula sa isang purong matematika na pananaw, ang produkto ng tuldok ay walang sukat, iyon ay, ang resulta, sa kasong ito, isang numero lamang at iyon lang. Mula sa punto ng view ng mga problema ng pisika, ang produkto ng scalar ay palaging may isang tiyak na pisikal na kahulugan, iyon ay, pagkatapos ng resulta, dapat isaad ang isa o ibang pisikal na yunit. Ang isang kanonikal na halimbawa ng pagkalkula ng gawain ng isang puwersa ay matatagpuan sa anumang aklat-aralin (ang pormula ay eksaktong produkto ng tuldok). Ang gawain ng lakas ay sinusukat sa Joules, samakatuwid, at ang sagot ay isusulat nang medyo partikular, halimbawa,.

Halimbawa 2

Hanapin kung , at ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ay.

Ito ay isang halimbawa para sa isang solusyon sa do-it-yourself, ang sagot ay nasa dulo ng tutorial.

Angle sa pagitan ng mga vectors at halaga ng produkto ng tuldok

Sa Halimbawa 1, ang produkto ng tuldok ay naging positibo, at sa Halimbawa 2, naging negatibo ito. Alamin natin kung ano ang nakasalalay sa pag-sign ng produkto ng tuldok. Tinitingnan namin ang aming formula: ... Ang mga haba ng mga nonzero vectors ay palaging positibo:, kaya ang pag-sign ay maaari lamang nakasalalay sa halaga ng kosina.

Tandaan: Para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa impormasyon sa ibaba, mas mahusay na pag-aralan ang graph ng kosine sa manu-manong Mga function ng mga graph at katangian... Tingnan kung paano kumikilos ang kosine sa isang segment.

Tulad ng nabanggit na, ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ay maaaring mag-iba sa loob , at ang mga sumusunod na kaso ay posible:

1) Kung anggulo sa pagitan ng mga vectors talamak: (mula 0 hanggang 90 degree), kung gayon at ang dot product ay magiging positibo co-nakadirekta, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay itinuturing na zero, at ang produkto ng tuldok ay magiging positibo din. Dahil, pinasimple ang pormula:.

2) Kung anggulo sa pagitan ng mga vectors bobo: (mula 90 hanggang 180 degree), kung gayon , at magkatulad, negatibo ang produkto ng tuldok:. Espesyal na kaso: kung ang mga vectors kabaligtaran ng direksyon, pagkatapos ay isinasaalang-alang ang anggulo sa pagitan nila naka-deploy: (180 degree). Ang dot product ay negatibo din, mula pa

Ang mga salungat na pahayag ay totoo rin:

1) Kung, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga vectors na ito ay talamak. Bilang kahalili, ang mga vectors ay codirectional.

2) Kung, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng ibinigay na mga vectors ay mapang-akala. Bilang kahalili, ang mga vectors ay kabaligtaran.

Ngunit ang ikatlong kaso ay partikular na interes:

3) Kung anggulo sa pagitan ng mga vectors diretso: (90 degree), kung gayon zero ang produkto ng tuldok:. Ang salungat ay totoo rin: kung, kung gayon. Ang pahayag ay nakabalangkas nang compactly tulad ng mga sumusunod: Ang produktong scalar ng dalawang vectors ay zero kung at kung ang mga vectors na ito ay orthogonal... Maikling notipikasyon sa matematika:

! Tandaan : ulitin mga pundasyon ng lohikal na lohika: ang dobleng panig na logical na kahihinatnan na icon ay karaniwang binabasa "pagkatapos at pagkatapos lamang", "kung at kung lamang". Tulad ng nakikita mo, ang mga arrow ay nakadirekta sa parehong direksyon - "mula sa sumusunod dito, at kabaliktaran - mula sa kung ano ang sumusunod mula dito." Sa pamamagitan ng paraan, ano ang pagkakaiba sa isang one-way na icon ng pagsunod? Inaangkin ng icon yun langna "sumusunod ito mula rito," at hindi ito isang katotohanan na ang kabaligtaran ay totoo. Halimbawa: ngunit hindi lahat ng hayop ay panter, kaya sa kasong ito ang icon ay hindi maaaring gamitin. Kasabay nito, sa halip na ang icon maaari gumamit ng one-way na icon. Halimbawa, habang nilulutas ang problema, nalaman namin na napagpasyahan namin na ang mga vectors ay orthogonal: - ang nasabing isang entry ay tama, at mas naaangkop kaysa .

Ang ikatlong kaso ay may malaking praktikal na kahalagahan.dahil pinapayagan ka nitong suriin kung ang mga vectors ay orthogonal o hindi. Malutas natin ang problemang ito sa ikalawang seksyon ng aralin.

Mga katangian ng produkto ng tuldok

Magbalik tayo sa sitwasyon kapag ang dalawang vectors co-nakadirekta... Sa kasong ito, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay zero,, at ang formula ng produkto ng tuldok ay tumatagal ng form:.

Ano ang mangyayari kung ang vector ay pinarami ng kanyang sarili? Malinaw na ang vector ay codirectional sa sarili nito, kaya ginagamit namin ang nabuong pormula sa itaas:

Ang numero ay tinatawag eskultura parisukat vector, at tinukoy bilang.

Kaya, ang scalar square ng isang vector ay katumbas ng parisukat ng haba ng ibinigay na vector:

Mula sa pagkakapantay-pantay na ito, makakakuha ka ng isang formula para sa pagkalkula ng haba ng isang vector:

Habang tila hindi malinaw, ngunit ang mga gawain ng aralin ay ilalagay ang lahat sa lugar nito. Upang malutas ang mga problema, kailangan din natin mga katangian ng produkto ng tuldok.

Para sa mga di-makatwirang vectors at anumang numero, ang mga sumusunod na katangian ay may bisa:

1) - hindi mapigilan o commutative batas sa produkto ng scalar.

2) - pamamahagi o namamahagi batas sa produkto ng scalar. Nang simple, maaari mong palawakin ang mga panaklong.

3) - kumbinasyon o kaakibat batas sa produkto ng scalar. Ang pare-pareho ay maaaring makuha mula sa produkto ng tuldok.

Kadalasan, ang lahat ng mga uri ng mga pag-aari (na kailangan ding mapatunayan!) Ay nakikita ng mga mag-aaral bilang hindi kinakailangang basurahan, na kinakailangan lamang na maisaulo at ligtas na nakalimutan pagkatapos ng pagsusulit. Tila na ang mahalaga dito, alam ng lahat mula sa unang baitang na ang produkto ay hindi nagbabago mula sa permutasyon ng mga kadahilanan:. Dapat kong balaan ka, sa mas mataas na matematika sa pamamaraang ito, madaling masira ang kahoy. Kaya, halimbawa, ang pag-aari ng pag-aalis ay hindi wasto para sa algebraic matrices... Mali din ito para sa vector produkto ng vectors... Samakatuwid, hindi bababa sa mas mahusay na maghanap ng anumang mga pag-aari na naabutan mo sa kurso ng mas mataas na matematika upang maunawaan kung ano ang maaari at hindi magagawa.

Halimbawa 3

.

Desisyon:Una, linawin natin ang sitwasyon sa vector. Ano pa ito? Ang kabuuan ng mga vectors at isang mahusay na tinukoy na vector, na kung saan ay ipinapahiwatig ng. Ang geometric na interpretasyon ng mga aksyon na may mga vectors ay matatagpuan sa artikulo Mga Vector para sa mga dummies... Ang parehong perehil na may isang vector ay ang kabuuan ng mga vector at.

Kaya, sa pamamagitan ng kondisyon ay kinakailangan upang mahanap ang produkto ng tuldok. Sa teorya, kailangan mong ilapat ang gumaganang pormula , ngunit ang problema ay hindi namin alam ang haba ng mga vectors at ang anggulo sa pagitan nila. Ngunit ang kondisyon ay nagbibigay ng magkatulad na mga parameter para sa mga vectors, kaya pupunta kami sa iba pang paraan:

(1) Kapalit na mga expression ng vector.

(2) Pinalawak namin ang mga bracket ayon sa panuntunan ng pagdaragdag ng mga polynomial, ang isang bulgar na twister ng dila ay matatagpuan sa artikulo Mga kumplikadong numero o Pagsasama ng isang fractional rational function... Hindi ko uulitin ang aking sarili \u003d) Sa pamamagitan ng paraan, ang pamamahagi ng pag-aari ng produkto ng tuldok ay nagbibigay-daan sa amin upang mapalawak ang mga bracket. May karapatan tayo.

(3) Sa una at huling term, compactly namin isulat ang scalar parisukat ng mga vectors: ... Sa pangalawang term, ginagamit namin ang permutability ng produkto ng scalar:.

(4) Nagbibigay kami ng mga katulad na termino:.

(5) Sa unang termino, ginagamit namin ang scalar square formula, na nabanggit hindi pa matagal na. Sa huling term, ayon sa pagkakabanggit, ang parehong bagay ay gumagana:. Pinalawak namin ang pangalawang termino ayon sa karaniwang formula .

(6) Kapalit namin ang mga kondisyong ito , at GUSTO gumawa ng pangwakas na kalkulasyon.

Sagot:

Ang negatibong halaga ng produkto ng tuldok ay nagsasaad ng katotohanan na ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ay mapalit.

Ang gawain ay pangkaraniwan, narito ang isang halimbawa para sa isang malayang solusyon:

Halimbawa 4

Hanapin ang scalar product ng vectors at, kung kilala ito .

Ngayon isa pang karaniwang gawain, para lamang sa bagong formula para sa haba ng isang vector. Ang mga pagtatalaga dito ay magbabalot nang bahagya, kaya para sa kaliwanagan, isusulat ko ito ng ibang liham:

Halimbawa 5

Hanapin ang haba ng vector kung .

Desisyon ay ang mga sumusunod:

(1) Magtustos ng isang expression ng vector.

(2) Ginagamit namin ang pormula ng haba:, habang ang buong expression ay kumikilos bilang isang vector na "ve".

(3) Ginagamit namin ang pormula ng paaralan para sa parisukat ng kabuuan. Pansinin kung paano ito gumagana nang malaman dito: - sa katunayan, ito ang parisukat ng pagkakaiba, at, sa katunayan, ito ay. Ang mga interesado ay maaaring muling ayusin ang mga vectors sa mga lugar: - ito ay naka-pareho hanggang sa muling pag-aayos ng mga term.

(4) Ang natitira ay pamilyar sa dalawang nakaraang mga problema.

Sagot:

Dahil pinag-uusapan natin ang haba, huwag kalimutang ipahiwatig ang sukat - "mga yunit".

Halimbawa 6

Hanapin ang haba ng vector kung .

Ito ay isang halimbawa para sa isang solusyon sa do-it-yourself. Kumpletuhin ang solusyon at sagot sa dulo ng tutorial.

Patuloy naming pinipiga ang mga kapaki-pakinabang na bagay sa labas ng produkto ng tuldok. Tingnan muli ang aming formula ... Ayon sa patakaran ng proporsyon, i-reset natin ang mga haba ng mga vektor sa denominator sa kaliwang bahagi:

At ibabago namin ang mga bahagi:

Ano ang kahulugan ng pormula na ito? Kung alam mo ang haba ng dalawang vectors at ang kanilang produkto ng scalar, pagkatapos maaari mong kalkulahin ang kosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors na ito, at, samakatuwid, ang anggulo mismo.

Ang numero ba ng tuldok ay isang numero? Bilang. Ang haba ba ng mga numero ng vectors? Numero. Samakatuwid, ang bahagi ay isang tiyak na bilang din. At kung ang kosine ng anggulo ay kilala: , pagkatapos ay gamit ang kabaligtaran function na madaling mahanap ang anggulo mismo: .

Halimbawa 7

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vectors at, kung kilala ito.

Desisyon: Ginagamit namin ang formula:

Sa pangwakas na yugto ng mga kalkulasyon, ginamit ang isang pamamaraan - ang pag-aalis ng hindi makatwiran sa denominador. Upang maalis ang hindi makatwiran, pinarami ko ang numerator at denominator ni.

Kaya kung , pagkatapos:

Ang mga halaga ng mga kabaligtaran na pag-andar ng trigonometric ay maaaring matagpuan ng trigonometriko talahanayan... Bagaman ito ay bihirang mangyari. Sa mga problema ng analitiko na geometry, ang ilang uri ng clumsy bear ay madalas na lumilitaw, at ang halaga ng anggulo ay matatagpuan na humigit-kumulang sa paggamit ng isang calculator. Sa totoo lang, makikita natin ang gayong larawan nang higit sa isang beses.

Sagot:

Muli, huwag kalimutang ipahiwatig ang sukat - mga radian at degree. Personal, upang alam kong "linawin ang lahat ng mga katanungan", mas gusto kong ipahiwatig ang parehong iyon at (maliban kung, syempre, sa pamamagitan ng kondisyon, hindi kinakailangan na ipakita ang sagot lamang sa mga radian o lamang sa mga degree).

Ngayon ay makayanan mo ang isang mas mahirap na gawain sa iyong sarili:

Halimbawa 7 *

Ibinigay ang haba ng mga vectors, at ang anggulo sa pagitan nila. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vectors,.

Ang gawain ay hindi masyadong mahirap bilang multi-step.
Suriin natin ang algorithm ng solusyon:

1) Ayon sa kondisyon, kinakailangan upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga vectors at, samakatuwid, kailangan mong gamitin ang pormula .

2) Hanapin ang produkto ng tuldok (tingnan ang Mga Halimbawa Hindi. 3, 4).

3) Hanapin ang haba ng vector at ang haba ng vector (tingnan ang Mga Halimbawa Hindi. 5, 6).

4) Ang pagtatapos ng solusyon ay magkakasabay sa Halimbawa No 7 - alam natin ang numero, na nangangahulugang madali itong makahanap ng anggulo mismo:

Isang maikling solusyon at sagot sa dulo ng tutorial.

Ang pangalawang seksyon ng aralin ay nakatuon sa parehong produkto ng tuldok. Mga Coordinates. Ito ay mas madali kaysa sa unang bahagi.

Dot produkto ng mga vectors,
ibinigay ng mga coordinates sa isang orthonormal na batayan

Sagot:

Hindi na kailangang sabihin, ang pakikitungo sa mga coordinate ay mas kaaya-aya.

Halimbawa 14

Hanapin ang tuldok na produkto ng mga vectors at, kung

Ito ay isang halimbawa para sa isang solusyon sa do-it-yourself. Dito maaari mong gamitin ang kaakibat ng operasyon, iyon ay, huwag mabilang, ngunit agad na ilipat ang triple sa produkto ng scalar at dumami ito. Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Sa pagtatapos ng talata, isang nakapupukaw na halimbawa ng pagkalkula ng haba ng isang vector:

Halimbawa 15

Hanapin ang mga haba ng vectors , kung ang

Desisyon:muli ang paraan ng nakaraang seksyon ay nagmumungkahi mismo :, ngunit may isa pang paraan:

Hanapin ang vector:

At ang haba nito ayon sa trivial formula :

Ang produkto ng tuldok ay wala sa tanong dito!

Tulad ng sa labas ng negosyo, ito ay kapag kinakalkula ang haba ng isang vector:
Tumigil. Bakit hindi gamitin ang halata na pag-aari ng haba ng vector? Kumusta naman ang haba ng vector? Ang vector na ito ay 5 beses na mas mahaba kaysa sa vector. Ang direksyon ay kabaligtaran, ngunit hindi mahalaga, dahil ang usapan ay tungkol sa haba. Malinaw, ang haba ng vector ay katumbas ng produkto modyul mga numero bawat haba ng vector:
- ang pag-sign ng module na "kumakain" ng isang posibleng minus ng bilang.

Kaya:

Sagot:

Ang pormula para sa kosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors, na ibinibigay ng mga coordinate

Ngayon mayroon kaming kumpletong impormasyon upang maipahayag ang naunang nakuha na formula para sa kosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors sa mga tuntunin ng mga coordinate ng mga vectors:

Ang kosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors ng eroplano at ibinigay sa isang orthonormal na batayan, ipinahayag ng pormula:
.

Ang kosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors ng espasyo ibinigay sa isang orthonormal na batayan, ipinahayag ng pormula:

Halimbawa 16

Tatlong puntos ng tatsulok ang ibinibigay. Hanapin (anggulo ng vertex).

Desisyon:Ayon sa kondisyon, ang pagguhit ay hindi kinakailangan upang maisagawa, ngunit pa rin:

Ang kinakailangang anggulo ay minarkahan ng isang berdeng arko. Agad namin naalala ang pagtatalaga ng paaralan ng anggulo: - espesyal na pansin sa average sulat - ito ang tuktok ng sulok na kailangan namin. Para sa brevity, maaari rin itong isulat nang simple.

Mula sa pagguhit ito ay medyo halata na ang anggulo ng tatsulok ay nagkakasabay sa anggulo sa pagitan ng mga vectors at, sa madaling salita: .

Maipapayo na malaman kung paano isagawa ang pagsusuri na isinagawa sa pag-iisip.

Maghanap ng mga vectors:

Kinakalkula natin ang produkto ng tuldok:

At ang mga haba ng vectors:

Cosine ng isang anggulo:

Ito ang order ng pagkumpleto ng gawain na inirerekumenda ko sa mga teapots. Ang mas advanced na mga mambabasa ay maaaring magsulat ng mga pagkalkula "sa isang linya":

Narito ang isang halimbawa ng isang "masamang" halaga ng kosine. Ang nagresultang halaga ay hindi pangwakas, kaya't walang saysay na mapupuksa ang pagiging hindi makatwiran sa denominador.

Hanapin ang sulok mismo:

Kung titingnan mo ang pagguhit, ang resulta ay lubos na posible. Para sa pagsuri, ang anggulo ay maaari ring masukat sa isang protractor. Huwag sirain ang takip ng monitor \u003d)

Sagot:

Sa sagot, huwag kalimutan iyon nagtanong tungkol sa anggulo ng tatsulok (at hindi tungkol sa anggulo sa pagitan ng mga vectors), huwag kalimutang ipahiwatig ang eksaktong sagot: at ang tinatayang halaga ng anggulo: natagpuan sa calculator.

Ang mga nasisiyahan sa proseso ay maaaring makalkula ang mga anggulo at i-verify ang pagiging epektibo ng pagkakapantay-pantay ng canonical

Halimbawa 17

Ang isang tatsulok ay tinukoy sa espasyo ng mga coordinate ng mga vertice nito. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga panig at

Ito ay isang halimbawa para sa isang solusyon sa do-it-yourself. Kumpletuhin ang solusyon at sagot sa dulo ng tutorial

Ang isang maikling pangwakas na seksyon ay itinalaga sa mga projection, kung saan ang produkto ng scalar ay "halo-halong":

Vector-to-vector projection. Ang projection ng vector sa coordinate axes.
Mga direksyon sa direksyon ng isang vector

Isaalang-alang ang mga vectors at:

I-project natin ang vector papunta sa vector, para sa mga ito ay tinanggal natin mula sa simula at pagtatapos ng vector mga patayo bawat vector (berde na tuldok na linya). Isipin na ang mga sinag ng ilaw ay bumabagsak sa vector. Pagkatapos ang segment (pulang linya) ay ang "anino" ng vector. Sa kasong ito, ang projection ng vector papunta sa vector ay ang LENGTH ng segment. Iyon ay, ang PROJEKSYON AY ISANG HINDI.

Ang NUMBER na ito ay minarkahan tulad ng sumusunod :, "malaking vector" ay nangangahulugang isang vector SAAN ANG proyekto, "maliit na subscript vector" ay nagpapahiwatig ng isang vector SA na inaasahang.

Ang tala mismo ay nagbabasa ng ganito: "ang projection ng vector" a "papunta sa vector" bh "".

Ano ang mangyayari kung ang vector "bs" ay "masyadong maikli"? Gumuhit kami ng isang tuwid na linya na naglalaman ng vector na "be". At ang vector na "a" ay inaasahang sa direksyon ng vector "bs", simpleng - sa tuwid na linya na naglalaman ng vector "be". Mangyayari rin ang mangyayari kung ang vector na "a" ay ipinagpaliban sa ika-tatlumpung kaharian - madali pa itong maaasahang papunta sa tuwid na linya na naglalaman ng vector na "bh".

Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vectors talamak (tulad ng sa larawan), kung gayon

Kung ang mga vectors orthogonal, pagkatapos (ang projection ay isang punto na ang mga sukat ay ipinapalagay na zero).

Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vectors bobo(sa figure, isipin muli ang arrow ng vector), pagkatapos (ang parehong haba, ngunit kinuha gamit ang isang minus sign).

Ipagpaliban natin ang mga vectors na ito mula sa isang punto:

Malinaw, kapag ang vector ay gumagalaw, ang projection nito ay hindi nagbabago

I. Ang produktong scalar ay mawawala kung at kung hindi man bababa sa isa sa mga vectors ay zero o kung ang mga vectors ay patayo. Sa katunayan, kung o, o pagkatapos.

Sa kabaligtaran, kung ang mga vectors na pinarami ay hindi zero, kung gayon dahil mula sa kondisyon

kapag sumusunod ito:

Dahil ang direksyon ng zero vector ay hindi sigurado, ang zero vector ay maaaring isaalang-alang na patayo sa anumang vector. Samakatuwid, ang ipinahiwatig na pag-aari ng produkto ng scalar ay maaaring mabalangkas sa isang mas maikling porma: ang produkto ng scalar ay mawawala kung at kung ang mga vectors ay patayo.

II. Ang produkto ng tuldok ay may pag-aari ng transposability:

Ang pag-aari na ito ay direktang sumusunod sa kahulugan:

dahil ang iba't ibang mga pagtatalaga para sa parehong anggulo.

III. Napakahalaga ng batas sa pamamahagi. Ang application nito ay kasinghusay sa ordinaryong aritmetika o algebra, kung saan ito ay nabalangkas tulad ng sumusunod: upang madami ang kabuuan, kailangan mong dumami ang bawat term at idagdag ang mga nagreresultang produkto, i.e.

Malinaw na, ang pagpaparami ng maraming bilang sa mga aritmetika o polynomial sa algebra ay batay sa pag-aari ng pagpaparami.

Ang batas na ito ay may parehong pangunahing kahulugan sa vector algebra, dahil sa batayan nito maaari nating ilapat ang karaniwang panuntunan ng pagdaragdag ng mga polynomial sa mga vectors.

Patunayan natin na para sa anumang tatlong vectors A, B, C ang pagkakapantay-pantay

Ayon sa pangalawang kahulugan ng produkto ng tuldok, na ipinahayag ng formula, nakukuha namin:

Nag-aaplay ngayon ng ari-arian 2 ng mga pag-asa mula sa § 5, nakita namin:

q.E.D.

IV. Ang produkto ng tuldok ay may pag-aari ng pagsasama na may paggalang sa isang numerical factor; ang ari-arian na ito ay ipinahayag ng mga sumusunod na pormula:

iyon ay, upang maparami ang produkto ng tuldok ng mga numero ng isang numero, sapat na upang maparami ang isa sa mga kadahilanan sa pamamagitan ng bilang na ito.

Magkakaroon din ng mga gawain para sa isang malayang solusyon, kung saan makikita mo ang mga sagot.

Kung sa problema pareho ang haba ng mga vectors at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay ipinakita "sa isang plato ng pilak", kung gayon ang kondisyon ng problema at ang solusyon nito ay ganito ang hitsura:

Halimbawa 1.Binigyan ang mga Vector. Hanapin ang mga tuldok na produkto ng mga vectors kung ang kanilang mga haba at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay kinakatawan ng mga sumusunod na halaga:

Ang isa pang kahulugan ay may bisa din, na kung saan ay ganap na katumbas sa Kahulugan 1.

Kahulugan 2... Ang scalar product ng vectors ay isang numero (scalar) na katumbas ng produkto ng haba ng isa sa mga vectors na ito sa pamamagitan ng projection ng iba pang mga vector sa axis, na tinutukoy ng una sa mga vectors na ito. Formula ayon sa Kahulugan 2:

Malulutas namin ang problema gamit ang formula na ito pagkatapos ng susunod na mahalagang punto teoretikal.

Ang pagtukoy ng tuldok na produkto ng mga vectors sa mga tuntunin ng mga coordinate

Ang parehong bilang ay maaaring makuha kung ang mga vectors na pinarami ay ibinibigay ng kanilang mga coordinate.

Kahulugan 3. Ang dot product ng vectors ay isang bilang na katumbas ng kabuuan ng mga pares ng mga produkto ng kani-kanilang mga coordinate.

Sa ibabaw

Kung ang dalawang vectors at sa eroplano ay tinukoy ng kanilang dalawa ang mga coordinate ng hugis-parihaba ng Cartesian

pagkatapos ang scalar product ng mga vectors na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga pares ng mga produkto ng kani-kanilang mga coordinate:

.

Halimbawa 2.Hanapin ang numerikal na halaga ng projection ng vector sa isang axis na kahanay sa vector.

Desisyon. Natagpuan namin ang tuldok na produkto ng mga vectors sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga pares ng mga produkto ng kanilang mga coordinate:

Ngayon kailangan nating ihambing ang nagresultang produkto ng scalar sa produkto ng haba ng vector at ang projection ng vector sa isang axis na kahanay sa vector (alinsunod sa pormula).

Nalaman namin ang haba ng vector bilang parisukat na ugat ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito:

.

Gumuhit kami ng isang equation at lutasin ito:

Sagot. Ang nais na halaga ng numero ay minus 8.

Sa kalawakan

Kung ang dalawang vectors at sa espasyo ay tinukoy ng kanilang tatlong mga coordinate ng hugis-parihaba na Cartesian

,

kung gayon ang scalar product ng mga vectors na ito ay katumbas din sa kabuuan ng mga pares ng mga produkto ng kani-kanilang mga coordinate, mayroon na ngayong tatlong mga coordinate:

.

Ang problema sa paghahanap ng produkto ng tuldok sa pamamagitan ng itinuturing na pamamaraan ay matapos ang pag-parse ng mga katangian ng produkto ng tuldok. Dahil sa gawain ay kinakailangan upang matukoy kung anong anggulo ang pinaraming form ng vectors.

Mga katangian ng produkto ng tuldok ng mga vectors

Mga katangian ng Algebraic

1. (pag-aari ng pag-aalis: ang laki ng kanilang produkto sa tuldok ay hindi nagbabago mula sa pagbabago sa mga lugar ng mga vectors na pinarami).

2. (pagsamahin ang pag-aari na may paggalang sa isang kadahilanan: ang tuldok na produkto ng isang vector na pinarami ng ilang kadahilanan at ang isa pang vector ay katumbas ng dot product ng mga vectors na pinarami ng parehong kadahilanan).

3. (pamamahagi ng pag-aari na may kinalaman sa kabuuan ng mga vectors: ang tuldok na produkto ng kabuuan ng dalawang vector sa pamamagitan ng pangatlong vector ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng tuldok ng unang vector ng pangatlong vector at ang pangalawang vector ng pangatlong vector).

4. (ang scalar square ng vector ay mas malaki kaysa sa zero), kung ang isang veztor na nonzero, at kung isang zero vector.

Mga katangian ng geometriko

Sa mga kahulugan ng operasyon sa ilalim ng pag-aaral, naantig na namin ang konsepto ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors. Panahon na upang linawin ang konseptong ito.

Sa larawan sa itaas, makikita ang dalawang vectors, na dinala sa isang karaniwang pinagmulan. At ang unang bagay na dapat bigyang pansin: mayroong dalawang mga anggulo sa pagitan ng mga vectors na ito - φ 1 at φ 2 ... Alin sa mga anggulong ito ang lumilitaw sa mga kahulugan at katangian ng produkto ng tuldok ng mga vectors? Ang kabuuan ng mga itinuturing na anggulo ay 2 π at samakatuwid ang mga kosine ng mga anggulo na ito ay pantay. Ang kahulugan ng produkto ng tuldok ay nagsasama lamang ng kosine ng isang anggulo, hindi ang halaga ng pagpapahayag nito. Ngunit sa mga pag-aari lamang ang isang sulok ang isinasaalang-alang. At ito ang isa sa dalawang mga anggulo na hindi malalampasan π , iyon ay, 180 degree. Sa figure, ang anggulo na ito ay itinalaga bilang φ 1 .

1. Dalawang vectors ang tinawag orthogonal at ang anggulo sa pagitan ng mga vectors na ito ay isang tuwid na linya (90 degree o π / 2) kung zero ang dot product ng mga vectors na ito :

.

Ang orthogonidad sa vector algebra ay ang patayo ng dalawang vectors.

2. Dalawang mga veztor na nonzero ang bumubuo matalim na sulok (mula 0 hanggang 90 degree, o, na kung saan ay pareho - mas kaunti π positibo ang tuldok na produkto .

3. Dalawang mga veztor na nonzero ang bumubuo makuha ang anggulo (mula 90 hanggang 180 degree, o, na kung saan ay pareho - higit pa π / 2) kung at kung mayroon lamang negatibo ang produkto ng tuldok .

Halimbawa 3. Ang mga vectors ay ibinibigay sa mga coordinate:

.

Kalkulahin ang mga tuldok na produkto ng lahat ng mga pares ng mga ibinigay na vectors. Anong anggulo (talamak, tuwid, mapang-akit) ang ginagawa ng mga pares ng form na vectors na ito?

Desisyon. Kakalkula namin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga produkto ng kaukulang mga coordinates

Nakakuha kami ng isang negatibong numero, kaya ang mga vectors ay bumubuo ng isang anggulo na makuha.

Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vectors ay bumubuo ng isang talamak na anggulo.

Nakakuha kami ng zero, kaya ang mga vectors ay bumubuo ng isang tamang anggulo.

Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vectors ay bumubuo ng isang talamak na anggulo.

.

Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vectors ay bumubuo ng isang talamak na anggulo.

Para sa pagsubok sa sarili, maaari mong gamitin online calculator Dot produkto ng mga vectors at ang kosine ng anggulo sa pagitan nila.

Halimbawa 4. Ang haba ng dalawang vectors at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay ibinibigay:

.

Alamin kung anong halaga ng bilang ng mga vectors at orthogonal (patayo).

Desisyon. Pinarami namin ang mga vectors ayon sa patakaran ng pagpaparami ng mga polynomial:

Ngayon kalkulahin natin ang bawat termino:

.

Gumawa tayo ng isang equation (pagkakapantay-pantay ng produkto sa zero), magbigay ng magkatulad na termino at malutas ang equation:

Sagot: nakuha namin ang halaga λ \u003d 1.8, kung saan ang mga vectors ay orthogonal.

Halimbawa 5.Patunayan na ang vector orthogonal (patayo) sa vector

Desisyon. Upang suriin ang orthogonality, pinarami namin ang mga vectors at bilang mga polynomial, na kapalit ang expression na ibinigay sa pahayag ng problema:

.

Upang gawin ito, kailangan mong dumami ang bawat term (term) ng unang polynomial sa bawat term ng pangalawa at idagdag ang mga nagresultang produkto:

.

Bilang isang resulta, ang maliit na bahagi ay nabawasan sa gastos. Ang resulta ay ang mga sumusunod:

Konklusyon: bilang isang resulta ng pagdami, nakuha namin ang zero, samakatuwid, ang orthogonality (perpendicularity) ng mga vectors ay napatunayan.

Malutas ang problema sa iyong sarili, at pagkatapos ay makita ang solusyon

Halimbawa 6. Ibinigay ang haba ng mga vectors at, at ang anggulo sa pagitan ng mga vectors na ito ay π / 4. Alamin kung anong halaga μ mga vector at magkaparehong patayo.

Para sa pagsubok sa sarili, maaari mong gamitin online calculator Dot produkto ng mga vectors at ang kosine ng anggulo sa pagitan nila.

Ang representasyon ng matrix ng tuldok na produkto ng mga vectors at produkto ng mga n-dimensional vectors

Minsan ito ay kapaki-pakinabang para sa kalinawan upang kumatawan sa dalawang vectors na pinarami bilang mga matris. Pagkatapos ang unang vector ay kinakatawan bilang isang hilera matrix, at ang pangalawa - bilang isang kolum matrix:

Pagkatapos ang magiging scalar product ng vectors produkto ng mga matrices na ito :

Ang resulta ay pareho sa nakuha ng pamamaraan na napag-isipan na natin. Ang isang solong numero ay nakuha, at ang produkto ng hilera matrix ng haligi ng matrix ay isa ring numero.

Ito ay maginhawa upang kumatawan sa produkto ng abstract n-dimensional vectors sa form ng matrix. Kaya, ang produkto ng dalawang apat na dimensional na mga vectors ay magiging produkto ng isang hilera matrix na may apat na elemento at isang kolum matrix din na may apat na elemento, ang produkto ng dalawang limang dimensional na mga vectors ay magiging produkto ng isang hilera matrix na may limang elemento at isang hanay ng matrix din na may limang elemento, at iba pa.

Halimbawa 7. Maghanap ng mga tuldok na produkto ng mga pares ng mga vectors

,

gamit ang representasyon ng matrix.

Desisyon. Ang unang pares ng mga vectors. Kinakatawan namin ang unang vector bilang isang hilera matrix, at ang pangalawa bilang isang kolum matrix. Nahanap namin ang scalar na produkto ng mga vectors na ito bilang produkto ng hilera matrix sa pamamagitan ng haligi ng matrix:

Katulad nito, kinakatawan namin ang pangalawang pares at hanapin:

Tulad ng nakikita mo, ang mga resulta ay pareho sa mga pareho ng mga pares mula sa halimbawa 2.

Angle sa pagitan ng dalawang vectors

Ang derivation ng formula para sa kosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors ay napakaganda at maikli.

Upang ipahayag ang tuldok na produkto ng mga vectors

(1)

sa coordinate form, nahanap muna namin ang scalar product ng mga unit vectors. Ang produkto ng tuldok ng isang vector sa pamamagitan ng kanyang kahulugan:

Ano ang nakasulat sa pormula sa itaas ay nangangahulugang: ang produkto ng tuldok ng isang vector mismo ay katumbas ng parisukat ng haba nito... Ang kosine ng zero ay katumbas ng isa, kaya ang parisukat ng bawat ort ay magiging katumbas ng isa:

Dahil ang mga vectors

ay magkakasunod na patayo, kung gayon ang mga pares ng produkto ng mga yunit ng vector ay magiging katumbas ng zero:

Ngayon gawin natin ang pagpaparami ng mga polynomial vector:

Kapalit namin sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ang mga halaga ng kaukulang mga produkto ng scalar ng mga yunit vectors:

Nakukuha namin ang formula para sa kosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors:

Halimbawa 8.Binigyan ng tatlong puntos A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Hanapin ang sulok.

Desisyon. Hanapin ang mga coordinate ng mga vectors:

,

.

Sa pamamagitan ng formula para sa kosine ng isang anggulo, nakakakuha kami:

Kaya,.

Para sa pagsubok sa sarili, maaari mong gamitin online calculator Dot produkto ng mga vectors at ang kosine ng anggulo sa pagitan nila.

Halimbawa 9.Dalawang vectors ang ibinigay

Hanapin ang kabuuan, pagkakaiba, haba, dot produkto at anggulo sa pagitan nila.

2.Dahilanan