Mga formula para sa dami ng mga geometric na katawan. Dami ng mga figure

Upang malutas ang mga problema sa geometry, kailangan mong malaman ang mga formula - tulad ng lugar ng isang tatsulok o ang lugar ng isang paralelogram - pati na rin ang mga simpleng pamamaraan na aming sasaklawin.

Una, alamin natin ang mga formula para sa mga lugar ng mga figure. Espesyal naming nakolekta ang mga ito sa isang maginhawang mesa. Mag-print, matuto at mag-apply!

Siyempre, hindi lahat ng mga formula ng geometry ay nasa aming talahanayan. Halimbawa, upang malutas ang mga problema sa geometry at stereometry sa ikalawang bahagi ng profile Unified State Exam sa matematika, ginagamit ang iba pang mga formula para sa lugar ng isang tatsulok. Tiyak na sasabihin namin sa iyo ang tungkol sa kanila.

Ngunit paano kung kailangan mong hanapin hindi ang lugar ng isang trapezoid o tatsulok, ngunit ang lugar ng ilang kumplikadong pigura? May mga unibersal na paraan! Ipapakita namin sa kanila ang paggamit ng mga halimbawa mula sa FIPI task bank.

1. Paano mahahanap ang lugar ng isang hindi karaniwang pigura? Halimbawa, isang arbitrary quadrilateral? Isang simpleng pamamaraan - hatiin natin ang figure na ito sa mga alam natin sa lahat, at hanapin ang lugar nito - bilang kabuuan ng mga lugar ng mga figure na ito.

Hatiin ang quadrilateral na ito na may pahalang na linya sa dalawang tatsulok na may karaniwang base na katumbas ng . Ang taas ng mga tatsulok na ito ay katumbas ng at . Kung gayon ang lugar ng quadrilateral ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng dalawang tatsulok: .

Sagot: .

2. Sa ilang mga kaso, ang lugar ng isang figure ay maaaring katawanin bilang pagkakaiba ng ilang mga lugar.

Ito ay hindi napakadaling kalkulahin kung ano ang base at taas ng tatsulok na ito ay katumbas ng! Ngunit maaari nating sabihin na ang lugar nito ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga lugar ng isang parisukat na may gilid at tatlong tamang tatsulok. Nakikita mo ba sila sa larawan? Nakukuha namin ang: .

Sagot: .

3. Minsan sa isang gawain kailangan mong hanapin ang lugar na hindi ang buong pigura, ngunit bahagi nito. Karaniwang pinag-uusapan natin ang lugar ng isang sektor - bahagi ng isang bilog. Hanapin ang lugar ng isang sektor ng isang bilog ng radius na ang haba ng arko ay katumbas ng .

Sa larawang ito makikita natin ang bahagi ng isang bilog. Ang lugar ng buong bilog ay katumbas ng . Ito ay nananatiling alamin kung aling bahagi ng bilog ang inilalarawan. Dahil ang haba ng buong bilog ay pantay (dahil), at ang haba ng arko ng isang partikular na sektor ay pantay, samakatuwid, ang haba ng arko ay isang kadahilanan na mas mababa kaysa sa haba ng buong bilog. Ang anggulo kung saan nakapatong ang arko na ito ay isa ring kadahilanan na mas mababa sa isang buong bilog (iyon ay, mga degree). Nangangahulugan ito na ang lugar ng sektor ay magiging ilang beses na mas maliit kaysa sa lugar ng buong bilog.

At ang mga sinaunang Egyptian ay gumamit ng mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga lugar ng iba't ibang mga numero, katulad ng aming mga pamamaraan.

Sa aking mga libro "Simula" Inilarawan ng sikat na sinaunang Greek mathematician na si Euclid ang isang medyo malaking bilang ng mga paraan upang makalkula ang mga lugar ng maraming mga geometric na numero. Ang mga unang manuskrito sa Rus na naglalaman ng geometric na impormasyon ay isinulat noong ika-16 na siglo. Inilalarawan nila ang mga patakaran para sa paghahanap ng mga lugar ng mga figure ng iba't ibang mga hugis.

Ngayon, gamit ang mga modernong pamamaraan, maaari mong mahanap ang lugar ng anumang figure na may mahusay na katumpakan.

Isaalang-alang natin ang isa sa pinakasimpleng figure - isang parihaba - at ang formula para sa paghahanap ng lugar nito.

Pormula ng parihaba na lugar

Isaalang-alang natin ang isang figure (Larawan 1), na binubuo ng $8$ na mga parisukat na may mga gilid na $1$ cm. Ang lugar ng isang parisukat na may gilid na $1$ cm ay tinatawag na square centimeter at nakasulat na $1\ cm^2 $.

Ang lugar ng figure na ito (Fig. 1) ay magiging katumbas ng $8\cm^2$.

Ang lugar ng figure na maaaring hatiin sa ilang mga parisukat na may gilid na $1\ cm$ (halimbawa, $p$) ay magiging katumbas ng $p\ cm^2$.

Sa madaling salita, ang lugar ng figure ay magiging katumbas ng napakaraming $cm^2$, sa kung gaano karaming mga parisukat na may gilid na $1\ cm$ ang figure na ito ay maaaring hatiin.

Isaalang-alang natin ang isang parihaba (Larawan 2), na binubuo ng $3$ na mga guhit, na ang bawat isa ay nahahati sa $5$ na mga parisukat na may gilid na $1\ cm$. ang buong parihaba ay binubuo ng $5\cdot 3=15$ na mga parisukat, at ang lawak nito ay $15\cm^2$.

Larawan 1.

Figure 2.

Ang lugar ng mga figure ay karaniwang tinutukoy ng titik $S$.

Upang mahanap ang lugar ng isang rektanggulo, kailangan mong i-multiply ang haba nito sa lapad nito.

Kung tinutukoy natin ang haba nito sa pamamagitan ng letrang $a$, at ang lapad nito sa letrang $b$, ang formula para sa lugar ng isang parihaba ay magiging ganito:

Kahulugan 1

Tinatawag ang mga figure pantay kung, kapag nakapatong sa isa't isa, ang mga numero ay nagtutugma. Ang mga pantay na numero ay may pantay na lugar at pantay na perimeter.

Ang lugar ng isang figure ay matatagpuan bilang ang kabuuan ng mga lugar ng mga bahagi nito.

Halimbawa 1

Halimbawa, sa Figure $3$, ang parihaba na $ABCD$ ay nahahati sa dalawang bahagi ayon sa linyang $KLMN$. Ang lugar ng isang bahagi ay $12\ cm^2$, at ang isa ay $9\ cm^2$. Kung gayon ang lugar ng rektanggulo na $ABCD$ ay magiging katumbas ng $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Hanapin ang lugar ng rektanggulo gamit ang formula:

Tulad ng nakikita mo, ang mga lugar na matatagpuan sa parehong mga pamamaraan ay pantay.

Larawan 3.

Larawan 4.

Hinahati ng line segment na $AC$ ang rectangle sa dalawang pantay na tatsulok: $ABC$ at $ADC$. Nangangahulugan ito na ang lugar ng bawat tatsulok ay katumbas ng kalahati ng lugar ng buong rektanggulo.

Kahulugan 2

Ang isang parihaba na may pantay na panig ay tinatawag parisukat.

Kung tinutukoy natin ang gilid ng isang parisukat na may titik $a$, kung gayon ang lugar ng parisukat ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Kaya ang pangalan na parisukat ng numerong $a$.

Halimbawa 2

Halimbawa, kung ang gilid ng isang parisukat ay $5$ cm, ang lawak nito ay:

Mga volume

Sa pag-unlad ng kalakalan at konstruksiyon pabalik sa mga araw ng mga sinaunang sibilisasyon, ang pangangailangan ay lumitaw upang makahanap ng mga volume. Sa matematika, mayroong sangay ng geometry na tumatalakay sa pag-aaral ng mga spatial figure, na tinatawag na stereometry. Ang mga pagbanggit sa hiwalay na sangay na ito ng matematika ay natagpuan na noong $IV$ siglo BC.

Ang mga sinaunang mathematician ay bumuo ng isang paraan para sa pagkalkula ng dami ng mga simpleng figure - isang kubo at isang parallelepiped. Lahat ng mga gusali noong mga panahong iyon ay ganito ang hugis. Ngunit ang mga ibang paraan ay natagpuan upang makalkula ang dami ng mga figure ng mas kumplikadong mga hugis.

Dami ng isang parihabang parallelepiped

Kung pupunuin mo ang amag ng basang buhangin at pagkatapos ay ibalik ito, makakakuha ka ng isang three-dimensional na pigura na nailalarawan sa dami. Kung gumawa ka ng ilang tulad na mga figure gamit ang parehong amag, makakakuha ka ng mga figure na may parehong volume. Kung punan mo ang amag ng tubig, kung gayon ang dami ng tubig at ang dami ng pigura ng buhangin ay magiging pantay din.

Larawan 5.

Maaari mong ihambing ang mga volume ng dalawang sisidlan sa pamamagitan ng pagpuno ng isa ng tubig at pagbuhos nito sa pangalawang sisidlan. Kung ang pangalawang sisidlan ay ganap na napuno, kung gayon ang mga sisidlan ay may pantay na dami. Kung ang tubig ay nananatili sa una, kung gayon ang dami ng unang sisidlan ay mas malaki kaysa sa dami ng pangalawa. Kung, kapag nagbubuhos ng tubig mula sa unang sisidlan, hindi posible na ganap na punan ang pangalawang sisidlan, kung gayon ang dami ng unang sisidlan ay mas mababa kaysa sa dami ng pangalawa.

Ang dami ay sinusukat gamit ang mga sumusunod na yunit:

$mm^3$ -- cubic millimeter,

$cm^3$ -- cubic centimeter,

$dm^3$ -- cubic decimeter,

$m^3$ -- metro kubiko,

$km^3$ -- kubiko kilometro.

Pangkalahatang pagsusuri. Mga formula ng stereometry!

Kumusta, mahal na mga kaibigan! Sa artikulong ito nagpasya akong gumawa ng pangkalahatang pangkalahatang-ideya ng mga problema sa stereometry na gaganapin Pinag-isang State Exam sa Mathematics e. Dapat sabihin na ang mga gawain mula sa pangkat na ito ay medyo iba-iba, ngunit hindi mahirap. Ang mga ito ay mga problema para sa paghahanap ng mga geometric na dami: mga haba, mga anggulo, mga lugar, mga volume.

Isinasaalang-alang: cube, cuboid, prism, pyramid, compound polyhedron, cylinder, cone, ball. Ang nakalulungkot na katotohanan ay ang ilang mga nagtapos ay hindi man lang nagkakaroon ng ganitong mga problema sa panahon ng pagsusulit mismo, bagaman higit sa 50% ng mga ito ay nalutas nang simple, halos pasalita.

Ang natitira ay nangangailangan ng kaunting pagsisikap, kaalaman at mga espesyal na pamamaraan. Sa hinaharap na mga artikulo ay isasaalang-alang namin ang mga gawaing ito, huwag palampasin ito, mag-subscribe sa mga update sa blog.

Upang malutas kailangan mong malaman mga formula para sa mga surface area at volume parallelepiped, pyramid, prism, cylinder, cone at sphere. Walang mahirap na problema, lahat sila ay nalutas sa 2-3 hakbang, mahalagang "makita" kung anong formula ang kailangang ilapat.

Ang lahat ng mga kinakailangang formula ay ipinakita sa ibaba:

Bola o globo. Ang isang spherical o spherical na ibabaw (kung minsan ay isang globo lamang) ay ang geometric na locus ng mga punto sa espasyo na katumbas ng layo mula sa isang punto - ang gitna ng bola.

Dami ng bola katumbas ng volume ng isang pyramid na ang base ay may parehong lugar sa ibabaw ng bola, at ang taas ay ang radius ng bola

Ang volume ng sphere ay isa at kalahating beses na mas mababa kaysa sa volume ng cylinder na nakapaligid sa paligid nito.

Ang isang pabilog na kono ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang tamang tatsulok sa paligid ng isa sa mga binti nito, kaya naman ang isang pabilog na kono ay tinatawag ding isang kono ng rebolusyon. Tingnan din ang Surface area ng isang circular cone

Dami ng isang bilog na kono katumbas ng isang third ng produkto ng base area S at ang taas H:

(H ay ang taas ng gilid ng kubo)

Ang parallelepiped ay isang prisma na ang base ay isang parallelogram. Ang parallelepiped ay may anim na mukha, at lahat ng mga ito ay parallelograms. Ang parallelepiped na ang apat na lateral na mukha ay parihaba ay tinatawag na straight parallelepiped. Ang isang kanang parallelepiped na ang anim na mukha ay pawang parihaba ay tinatawag na parihaba.

Dami ng isang parihabang parallelepiped katumbas ng produkto ng lugar ng base at taas:

(S ay ang lugar ng base ng pyramid, h ay ang taas ng pyramid)

Ang isang pyramid ay isang polyhedron, na may isang mukha - ang base ng pyramid - isang di-makatwirang polygon, at ang natitira - mga gilid na mukha - mga tatsulok na may isang karaniwang vertex, na tinatawag na tuktok ng pyramid.

Ang isang seksyon na parallel sa base ng pyramid ay naghahati sa pyramid sa dalawang bahagi. Ang bahagi ng pyramid sa pagitan ng base nito at ng seksyong ito ay isang pinutol na pyramid.

Dami ng isang pinutol na pyramid katumbas ng isang third ng produkto ng taas h (OS) sa pamamagitan ng kabuuan ng mga lugar ng itaas na base S1 (abcde), ibabang base ng isang pinutol na pyramid S2 (ABCDE) at ang average na proporsyonal sa pagitan nila.

n - ang bilang ng mga gilid ng isang regular na polygon - ang base ng isang regular na pyramid
a - gilid ng isang regular na polygon - base ng isang regular na pyramid
h - taas ng isang regular na pyramid

Ang isang regular na triangular na pyramid ay isang polyhedron, na may isang mukha - ang base ng pyramid - isang regular na tatsulok, at ang natitira - ang gilid ay nakaharap - pantay na mga tatsulok na may isang karaniwang vertex. Ang taas ay bumababa sa gitna ng base mula sa itaas.

Dami ng isang regular na triangular na pyramid katumbas ng isang ikatlo ng produkto ng lugar ng isang regular na tatsulok, na siyang base S (ABC) sa taas h (OS)

a - gilid ng isang regular na tatsulok - base ng isang regular na tatsulok na pyramid
h - taas ng isang regular na triangular na pyramid

Derivation ng formula para sa volume ng isang tetrahedron

Ang dami ng isang tetrahedron ay kinakalkula gamit ang klasikong formula para sa dami ng isang pyramid. Kinakailangan na palitan ang taas ng tetrahedron at ang lugar ng isang regular (equilateral) na tatsulok.

Dami ng isang tetrahedron- ay katumbas ng fraction sa numerator kung saan ang square root ng dalawa sa denominator ay labindalawa, na pinarami ng kubo ng haba ng gilid ng tetrahedron

(h ay ang haba ng gilid ng rhombus)

Circumference p ay humigit-kumulang tatlong buo at isang-ikapitong haba ng diameter ng bilog. Ang eksaktong ratio ng circumference ng isang bilog sa diameter nito ay ipinahiwatig ng titik ng Greek π

Bilang resulta, ang perimeter ng bilog o circumference ay kinakalkula gamit ang formula

(r ay ang radius ng arko, n ay ang gitnang anggulo ng arko sa mga degree.)

Sukatin ang lahat ng kinakailangang distansya sa metro. Ang dami ng maraming three-dimensional na figure ay madaling makalkula gamit ang naaangkop na mga formula. Gayunpaman, ang lahat ng mga halaga na ipinalit sa mga formula ay dapat masukat sa metro. Samakatuwid, bago isaksak ang mga halaga sa formula, siguraduhin na ang lahat ng ito ay sinusukat sa metro, o na na-convert mo ang iba pang mga yunit ng pagsukat sa metro.

• 1 mm = 0.001 m
• 1 cm = 0.01 m
• 1 km = 1000 m

Kasama sa kursong video na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kinakailangan upang matagumpay na makapasa sa Unified State Exam sa matematika na may 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile Unified State Exam sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic Unified State Examination sa matematika. Kung gusto mong makapasa sa Unified State Exam na may 90-100 points, kailangan mong lutasin ang part 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Kurso sa paghahanda para sa Unified State Exam para sa grade 10-11, gayundin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo para malutas ang Part 1 ng Unified State Exam sa matematika (ang unang 12 problema) at Problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Exam, at hindi magagawa ng isang 100-point na mag-aaral o ng isang mag-aaral sa humanities kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na solusyon, pitfalls at sikreto ng Pinag-isang State Exam. Ang lahat ng kasalukuyang gawain ng bahagi 1 mula sa FIPI Task Bank ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng Unified State Exam 2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain ng Pinag-isang State Exam. Mga problema sa salita at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm para sa paglutas ng mga problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula hanggang sa problema 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Malinaw na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Isang batayan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng Bahagi 2 ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado.