Panuto

10, 30, 90, 270...

Kinakailangan upang mahanap ang denominator ng pag-unlad na geometriko.
Desisyon:

Pagpipilian 1. Kumuha tayo ng isang di-makatwirang termino ng pag-unlad (halimbawa, 90) at hatiin ito sa nakaraang isa (30): 90/30 \u003d 3.

Kung alam mo ang kabuuan ng maraming mga kasapi ng isang pag-unlad na geometriko o ang kabuuan ng lahat ng mga kasapi ng isang bumababang pag-unlad na geometriko, pagkatapos ay upang mahanap ang denominator ng pag-unlad, gamitin ang naaangkop na mga formula:
Sn \u003d b1 * (1-q ^ n) / (1-q), kung saan ang Sn ay ang kabuuan ng mga unang n na tuntunin ng pag-unlad na geometriko at
S \u003d b1 / (1-q), kung saan ang S ay kabuuan ng isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko (ang kabuuan ng lahat ng mga kasapi ng pag-unlad na may isang denominator na mas mababa sa isa).
Halimbawa.

Ang unang termino ng isang bumababang pag-unlad na geometriko ay katumbas ng isa, at ang kabuuan ng lahat ng mga miyembro nito ay katumbas ng dalawa.

Kinakailangan upang matukoy ang denominator ng pag-unlad na ito.
Desisyon:

I-plug ang data mula sa problema sa formula. Iyon pala:
2 \u003d 1 / (1-q), saan - q \u003d 1/2.

Ang pag-unlad ay isang pagkakasunud-sunod ng mga numero. Sa isang pag-unlad na geometriko, ang bawat kasunod na term ay nakuha sa pamamagitan ng pag-multiply ng nakaraang isa sa ilang bilang q, na tinatawag na denominator ng pag-unlad.

Panuto

Kung ang dalawang kalapit na mga tuntunin ng geometric b (n + 1) at b (n) ay kilala, upang makuha ang denominator, ang bilang na may isang mas malaki ay dapat na hatiin ng isa na mauuna dito: q \u003d b (n + 1) / b (n). Sumusunod ito mula sa kahulugan ng pag-unlad at denominator nito. Ang isang mahalagang kundisyon ay ang hindi pagkakapantay-pantay ng unang termino at ang denominator ng pag-unlad sa zero, kung hindi man ay itinuturing itong hindi natukoy.

Kaya, ang mga sumusunod na relasyon ay itinatag sa pagitan ng mga kasapi ng pag-unlad: b2 \u003d b1 q, b3 \u003d b2 q,…, b (n) \u003d b (n-1) q. Sa pamamagitan ng pormula b (n) \u003d b1 q ^ (n-1), ang anumang term ng isang pag-unlad na geometriko ay maaaring kalkulahin, kung saan ang denominator q at ang term na b1 ay kilala. Gayundin, ang bawat pag-unlad sa modulus ay katumbas ng average ng mga kalapit na kasapi nito: | b (n) | \u003d √, samakatuwid ang pag-unlad ay nakakuha ng sarili nitong.

Ang isang analogue ng isang geometric na pag-unlad ay ang pinakasimpleng exponential function na y \u003d a ^ x, kung saan ang x ay nasa exponent at ang a ay ilang numero. Sa kasong ito, ang denominator ng pag-unlad ay kasabay ng unang termino at katumbas ng bilang a. Ang halaga ng pagpapaandar y ay maaaring maunawaan bilang n-th na term ng pag-unlad kung ang argumento x ay kinuha bilang isang natural na numero n (counter).

Umiiral para sa kabuuan ng mga unang n na tuntunin ng isang pag-unlad na geometriko: S (n) \u003d b1 (1-q ^ n) / (1-q). Ang formula na ito ay wasto para sa q ≠ 1. Kung q \u003d 1, kung gayon ang kabuuan ng mga unang n na termino ay kinakalkula ng pormulang S (n) \u003d n b1. Sa pamamagitan ng paraan, ang pag-unlad ay tatawaging pagtaas kapag ang q ay mas malaki sa isa at ang b1 ay positibo. Kung ang denominator ng pag-unlad ay hindi lalampas sa isa sa ganap na halaga, ang paglala ay tatawaging bumababa.

Ang isang espesyal na kaso ng isang pag-unlad na geometriko ay isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko (b.d.p.). Ang katotohanan ay ang mga tuntunin ng isang bumababang pag-unlad na geometriko ay babawas nang paulit-ulit, ngunit hindi kailanman aabot sa zero. Sa kabila nito, mahahanap mo ang kabuuan ng lahat ng mga miyembro ng naturang pag-unlad. Natutukoy ito ng pormulang S \u003d b1 / (1-q). Ang kabuuang bilang ng mga kasapi n ay walang hanggan.

Upang mailarawan kung paano ka maaaring magdagdag ng isang walang katapusang bilang ng mga numero at hindi makakuha ng infinity, maghurno ng cake. Putulin ang kalahati nito. Pagkatapos ay gupitin ang 1/2 mula sa kalahati, at iba pa. Ang mga piraso na makukuha mo ay hindi hihigit sa mga miyembro ng isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko na may isang denominator na 1/2. Kung idinagdag mo ang lahat ng mga piraso, makuha mo ang orihinal na cake.

Ang mga problema sa Geometry ay isang espesyal na uri ng ehersisyo na nangangailangan ng spatial na pag-iisip. Kung hindi mo malulutas ang geometric gawainsubukang sundin ang mga patakaran sa ibaba.

Panuto

Basahing mabuti ang pahayag ng problema, kung hindi mo naaalala o naiintindihan ang isang bagay, basahin itong muli.

Subukang tukuyin kung anong uri ng mga problemang geometriko ito, halimbawa: mga problema sa computational, kung kailangan mong malaman ang ilang halaga, mga problema kung saan nangangailangan ng isang lohikal na kadena ng pangangatuwiran, mga problema sa konstruksyon gamit ang isang compass at isang pinuno. Mas magkahalong problema. Kapag naisip mo na ang uri ng problema, subukang mag-isip nang lohikal.

Ilapat ang kinakailangang teorama para sa problemang ito, ngunit kung may alinlangan o walang mga pagpipilian sa lahat, subukang alalahanin ang teorya na naipasa mo sa nauugnay na paksa.

Iguhit din ang solusyon sa problema sa isang draft din. Subukang gumamit ng mga kilalang pamamaraan upang subukan ang iyong pasya.

Punan ang solusyon sa problema nang maayos sa isang kuwaderno, nang walang mga blot at naka-cross out, at pinakamahalaga -. Maaaring tumagal ng oras at pagsisikap upang malutas ang mga unang problema sa geometriko. Gayunpaman, sa lalong madaling master mo ang prosesong ito, magsisimula ka nang mag-click sa mga gawain, tulad ng mga mani, masaya!

Ang isang pag-unlad na geometriko ay isang pagkakasunud-sunod ng mga bilang na b1, b2, b3, ..., b (n-1), b (n) na b2 \u003d b1 * q, b3 \u003d b2 * q, ..., b (n ) \u003d b (n-1) * q, b1 ≠ 0, q ≠ 0. Sa madaling salita, ang bawat kataga ng pag-unlad ay nakuha mula sa naunang isa sa pamamagitan ng pag-multiply nito ng ilang nonzero denominator ng pagsulong q.

Panuto

Ang mga problema sa pag-unlad ay madalas na malulutas sa pamamagitan ng pagbuo at pagsunod sa isang system na may kaugnayan sa unang term ng pagsulong b1 at ang denominator ng pagsulong q. Nakatutulong na alalahanin ang ilang mga formula upang magsulat ng mga equation.

Paano ipahayag ang pang-n na term ng isang pagsulong sa pamamagitan ng unang term ng pagsulong at ang denominator ng pag-unlad: b (n) \u003d b1 * q ^ (n-1).

Isaalang-alang nang hiwalay ang kaso | q |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Aralin at pagtatanghal sa paksa: "Mga pagkakasunud-sunod ng bilang. Pag-unlad na geometriko"

Karagdagang mga materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, repasuhin, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyal ay nasuri ng isang programa ng antivirus.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa Integral online store para sa grade 9
Mga degree at ugat Mga pag-andar at grap

Mga lalaki, ngayon ay makikilala natin ang isa pang uri ng pag-unlad.
Ang paksa ng aralin ngayon ay pag-unlad na geometriko.

Pag-unlad ng geometriko

Halimbawa. 1,2,4,8,16 ... Pag-unlad ng geometriko kung saan ang unang termino ay katumbas ng isa, at $ q \u003d 2 $.

Halimbawa. 8,8,8,8 ... Isang pag-unlad na geometriko kung saan ang unang termino ay walong,
at $ q \u003d 1 $.

Halimbawa. 3, -3.3, -3.3 ... Pag-unlad ng geometriko, kung saan ang unang termino ay katumbas ng tatlo,
at $ q \u003d -1 $.

Ang pag-unlad ng geometriko ay may mga katangian ng monotony.
Kung $ b_ (1)\u003e 0 $, $ q\u003e 1 $,
pagkatapos ay ang pagkakasunud-sunod ay pataas.
Kung $ b_ (1)\u003e 0 $, $ 0 Ang pagkakasunud-sunod ay karaniwang itinutukoy bilang: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.

Tulad ng pag-unlad ng arithmetic, kung ang bilang ng mga elemento ay may hangganan sa isang pag-unlad na geometriko, kung gayon ang pag-unlad ay tinatawag na isang may hangganang pag-unlad na geometriko.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $.
Tandaan, kung ang pagkakasunud-sunod ay isang pag-unlad na geometriko, kung gayon ang pagkakasunud-sunod ng mga parisukat ng mga miyembro ay isang pag-unlad din ng geometriko. Para sa ikalawang pagkakasunud-sunod, ang unang termino ay $ b_ (1) ^ 2 $, at ang denominator ay $ q ^ 2 $.

Formula ng n-th na term ng isang pag-unlad na geometriko

Balikan natin ang ating mga halimbawa.

Halimbawa. 1,2,4,8,16 ... Pag-unlad ng geometriko, kung saan ang unang termino ay katumbas ng isa,
at $ q \u003d 2 $.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n-1) $.

Halimbawa. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... Isang pag-unlad na geometriko kung saan ang unang termino ay labing-anim at $ q \u003d \\ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

Halimbawa. 8,8,8,8 ... Isang pag-unlad na geometriko kung saan ang unang termino ay walo at $ q \u003d 1 $.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n-1) \u003d 8 $.

Halimbawa. 3, -3.3, -3.3 ... Isang pag-unlad na geometriko kung saan ang unang termino ay tatlo at $ q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

Halimbawa. Bibigyan ka ng isang pag-unlad na geometriko na $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $.
a) Alam na $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 3 $. Maghanap ng $ b_ (5) $.
b) Alam na $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d 768 $. Hanapin n.
c) Alam na $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d 96 $. Maghanap ng $ b_ (1) $.
d) Alam na $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d 4096 $. Hanapin ang q.

Desisyon.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 $.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n-1) \u003d 6 * 2 ^ (n-1) \u003d 768 $.
$ 2 ^ (n-1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $ mula noong $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n-1 \u003d 7; n \u003d 8 $.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - 3 $.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

Halimbawa. Ang pagkakaiba sa pagitan ng ikapito at ikalimang termino ng pag-unlad na geometriko ay 192, ang kabuuan ng ikalima at ikaanim na termino ng pag-unlad ay 192. Hanapin ang ikasampung term ng pag-unlad na ito.

Desisyon.
Alam namin na: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ at $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
Alam din natin: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
Pagkatapos:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
Nakakuha kami ng isang sistema ng mga equation:
$ \\ start (mga kaso) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ end (mga kaso) $.
Pagkukumpara, nakukuha ng aming mga equation:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 \u003d 0 $.
Nakuha namin ang dalawang solusyon q: $ q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $.
Pagpalit ng sunud-sunod sa pangalawang equation:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d 4 $.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ walang mga solusyon.
Nakuha namin iyon: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d 2 $.
Hanapin ang ikasampung term: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d 2048 $.

Kabuuan ng may hangganang pag-unlad na geometriko

Hayaan ang isang may wakas na pag-unlad na geometriko na ibigay: $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n-1), b_ (n) $.
Ipaalam sa amin ang notasyon para sa kabuuan ng mga kasapi nito: $ S_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
Sa kaso kapag $ q \u003d 1 $. Ang lahat ng mga kasapi ng pag-unlad na geometriko ay katumbas ng unang term, pagkatapos ay halata na $ S_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
Isaalang-alang ngayon ang kaso na $ q ≠ 1 $.
I-multiply ang sa itaas na kabuuan ng q.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
Tandaan:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2 ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

Nakuha namin ang formula para sa kabuuan ng isang may hangganang pag-unlad na geometriko.

Desisyon.
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d 4372 $.

Halimbawa.
Hanapin ang ikalimang term ng pag-unlad na geometriko, na kilala: $ b_ (1) \u003d - 3 $; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - 4095 $.

Desisyon.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n-1) \u003d - 3072 $.
$ q ^ (n-1) \u003d 1024 $.
$ q ^ (n) \u003d 1024q $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) \u003d - 4095 $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (1024q-1) $.
$ 1365q-1365 \u003d 1024q-1 $.
$ 341q \u003d $ 1364.
$ q \u003d 4 $.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

Katangian na pag-aari ng isang pag-unlad na geometriko

Ang isang pagkakasunud-sunod ng bilang ay isang pag-unlad na geometriko lamang kapag ang parisukat ng bawat miyembro nito ay katumbas ng produkto ng dalawang katabing miyembro ng pag-unlad. Huwag kalimutan na para sa isang may wakas na pag-unlad ang kondisyong ito ay hindi natutugunan para sa una at huling mga miyembro.

Ang module ng sinumang miyembro ng isang pag-unlad na geometriko ay katumbas ng kahulugan ng geometriko ng dalawang miyembro na katabi nito.

Desisyon.
Gamitin natin ang katangian ng pag-aari:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ at $ x_ (2) \u003d - 1 $.
Sumusunod nang sunud-sunod sa orihinal na expression, ang aming mga solusyon:
Sa $ x \u003d 2 $, nakuha namin ang pagkakasunud-sunod: 4; 6; 9 - isang pag-unlad na geometriko, kung saan ang $ q \u003d 1.5 $.
Sa $ x \u003d -1 $, nakuha namin ang pagkakasunud-sunod: 1; 0; 0.
Sagot: $ x \u003d 2. $

Mga gawain para sa malayang solusyon

Ang pag-unlad na geometriko, kasama ang pag-unlad na aritmetika, ay isang mahalagang serye ng bilang na pinag-aralan sa kurso ng algebra ng paaralan sa ika-9 na baitang. Sa artikulong ito, isasaalang-alang namin ang denominator ng isang geometric na pag-unlad, at kung paano nakakaapekto ang halaga nito sa mga pag-aari nito.

Kahulugan ng isang pag-unlad na geometriko

Una, bigyan natin ang kahulugan ng seryeng numero na ito. Ang pag-unlad na geometriko ay isang serye ng mga nakapangangatwiran na numero na nabuo sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagpaparami ng unang elemento nito sa pamamagitan ng isang pare-pareho na bilang na tinawag na denominator.

Halimbawa, ang mga numero sa hilera 3, 6, 12, 24, ... ay isang geometric na pag-unlad, dahil kung pinarami mo ang 3 (ang unang elemento) ng 2, makakakuha ka ng 6. Kung magpaparami ka ng 6 sa 2, makakakuha ka ng 12, at iba pa.

Ang mga kasapi ng pagkakasunud-sunod na isinasaalang-alang ay karaniwang tinutukoy ng simbolong ai, kung saan ako ay isang integer na nagpapahiwatig ng bilang ng isang elemento sa hilera.

Ang kahulugan sa itaas ng isang pag-unlad ay maaaring nakasulat sa wika ng matematika tulad ng sumusunod: an \u003d bn-1 * a1, kung saan ang b ay ang denominator. Madaling suriin ang formula na ito: kung n \u003d 1, pagkatapos ay b1-1 \u003d 1, at nakukuha namin ang a1 \u003d a1. Kung n \u003d 2, kung gayon ang isang \u003d b * a1, at muli naming nakarating sa kahulugan ng serye ng mga numero na isinasaalang-alang. Ang magkatulad na pangangatuwiran ay maaaring ipagpatuloy para sa malaking halaga ng n.

Tagatukoy ng pag-unlad na geometriko

Ganap na tinutukoy ng numero b kung anong character ang magkakaroon ng buong serye ng bilang. Ang denominator b ay maaaring positibo, negatibo, o mas malaki sa isa o mas kaunti. Ang lahat ng mga pagpipiliang ito ay humantong sa iba't ibang mga pagkakasunud-sunod:

• b\u003e 1. Mayroong isang pagtaas ng serye ng mga makatuwiran na numero. Halimbawa, 1, 2, 4, 8, ... Kung ang elemento ng a1 ay negatibo, pagkatapos ang buong pagkakasunud-sunod ay tataas lamang sa ganap na halaga, ngunit bawasan ang isinasaalang-alang ang pag-sign ng mga numero.
• b \u003d 1. Ang ganitong kaso ay madalas na hindi tinatawag na isang pag-unlad, dahil mayroong isang ordinaryong serye ng magkaparehong mga makatuwirang numero. Halimbawa, -4, -4, -4.

Formula para sa halaga

Bago magpatuloy sa pagsasaalang-alang ng mga tiyak na problema gamit ang denominator ng isinasaalang-alang na uri ng pag-unlad, isang mahalagang pormula ang dapat ibigay para sa kabuuan ng mga unang n elemento. Ang pormula ay: Sn \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Maaari mong makuha ang expression na ito sa iyong sarili kung isinasaalang-alang mo ang isang recursive na pagkakasunud-sunod ng mga miyembro ng pag-unlad. Tandaan din na sa pormula sa itaas, sapat na malaman lamang ang unang elemento at ang denominator upang mahanap ang kabuuan ng isang di-makatwirang bilang ng mga term.

Walang hanggan pagbawas ng pagkakasunud-sunod

Sa itaas ay binigyan ng paliwanag kung ano ito. Ngayon, alam ang formula para sa Sn, ilapat ito sa serye ng numero na ito. Dahil ang anumang numero na ang modulus ay hindi lalampas sa 1 ay may gawi sa zero kapag itinaas sa isang malaking lawak, iyon ay, b∞ \u003d\u003e 0, kung -1

Dahil ang pagkakaiba (1 - b) ay palaging magiging positibo, anuman ang halaga ng denominator, ang tanda ng kabuuan ng pagbawas ng walang katapusang pag-unlad ng geometric S∞ ay natatanging natukoy ng tanda ng unang elemento na a1.

Ngayon isasaalang-alang namin ang maraming mga gawain, kung saan ipapakita namin kung paano ilapat ang kaalamang nakuha sa mga tukoy na numero.

Numero ng problema 1. Pagkalkula ng mga hindi kilalang elemento ng pag-unlad at kabuuan

Bibigyan ka ng isang pag-unlad na geometriko, ang denominator ng pag-unlad ay 2, at ang unang elemento nito ay 3. Ano ang magiging ika-7 at ika-10 na termino, at ano ang kabuuan ng pitong paunang elemento nito?

Ang kalagayan ng problema ay binubuo nang simple at ipinapalagay ang direktang paggamit ng mga nabuong formula. Kaya, upang makalkula ang sangkap na may numero n, ginagamit namin ang expression na an \u003d bn-1 * a1. Para sa ika-7 elemento na mayroon kami: a7 \u003d b6 * a1, na pinapalitan ang alam na data, nakukuha namin ang: a7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. Ginagawa namin ang pareho para sa ika-10 na term: a10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.

Gamitin natin ang kilalang pormula para sa kabuuan at tukuyin ang halagang ito para sa unang 7 elemento ng serye. Mayroon kaming: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

Numero ng problema 2. Pagtukoy ng kabuuan ng di-makatwirang mga elemento ng pag-unlad

Hayaan -2 ang denominator ng exponential progression bn-1 * 4, kung saan ang n ay isang integer. Kinakailangan upang matukoy ang halaga mula ika-5 hanggang ika-10 elemento ng seryeng ito, kasama.

Ang problemang nailahad ay hindi malulutas nang direkta gamit ang mga kilalang pormula. Maaari itong malutas ng 2 magkakaibang pamamaraan. Alang-alang sa pagkakumpleto, ipinakita namin ang pareho.

Paraan 1. Ang ideya nito ay simple: kinakailangan upang kalkulahin ang dalawang kaukulang kabuuan ng mga unang termino, at pagkatapos ay ibawas ang isa pa mula sa isa. Kinakalkula namin ang mas maliit na halaga: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. Kinakalkula namin ang malaking halaga: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. Tandaan na 4 na term lamang ang na-summed sa huling expression, dahil ang ika-5 ay kasama na sa kabuuan na kailangang kalkulahin ayon sa pahayag ng problema. Sa wakas, gawin ang pagkakaiba: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

Paraan 2. Bago ang pagpapalit ng mga numero at pagbibilang, maaari kang makakuha ng isang pormula para sa kabuuan sa pagitan ng mga kasapi m at n ng seryeng pinag-uusapan. Ginagawa namin ang eksaktong kapareho ng sa pamamaraan 1, kami lamang muna ang nagtatrabaho kasama ang simbolikong representasyon ng kabuuan. Mayroon kaming: Snm \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) \u003d a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Maaari mong palitan ang mga kilalang numero sa nagresultang ekspresyon at kalkulahin ang pangwakas na resulta: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

Numero ng problema 3. Ano ang denominator?

Hayaan ang a1 \u003d 2, hanapin ang denominator ng pag-unlad na geometriko, sa kondisyon na ang walang katapusang kabuuan nito ay 3, at alam na ito ay isang bumababang serye ng mga numero.

Sa kundisyon ng problema, madaling hulaan kung aling formula ang dapat gamitin upang malutas ito. Siyempre, para sa kabuuan ng pag-unlad ay walang hanggan na bumababa. Mayroon kaming: S∞ \u003d a1 / (1 - b). Mula sa kung saan ipinahahayag namin ang denominator: b \u003d 1 - a1 / S∞. Ito ay mananatiling kapalit ng mga kilalang halaga at makuha ang kinakailangang numero: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 o -0.333 (3). Ang resulta na ito ay maaaring masuri nang husay kung maaalala natin na para sa ganitong uri ng pagkakasunud-sunod, ang modulus b ay hindi dapat lumagpas sa 1. Tulad ng nakikita mo, | -1 / 3 |

Numero ng problema 4. Pagkuha ng isang serye ng mga numero

Hayaan ang 2 mga elemento ng isang serye na may bilang na ibigay, halimbawa, ang ika-5 ay katumbas ng 30 at ang ika-10 ay katumbas ng 60. Kinakailangan na muling buuin ang buong serye mula sa mga datos na ito, alam na natutugunan nito ang mga katangian ng isang pag-unlad na geometriko.

Upang malutas ang problema, kailangan mo munang isulat ang kaukulang ekspresyon para sa bawat kilalang term. Mayroon kaming: a5 \u003d b4 * a1 at a10 \u003d b9 * a1. Ngayon hinati namin ang pangalawang ekspresyon ng una, nakukuha namin ang: a10 / a5 \u003d b9 * a1 / (b4 * a1) \u003d b5. Mula dito, natutukoy namin ang denominator sa pamamagitan ng pagkuha ng ikalimang ugat ng ratio ng mga term na kilala mula sa pahayag ng problema, b \u003d 1.148698. Pinalitan namin ang nagresultang numero sa isa sa mga expression para sa kilalang elemento, nakukuha namin ang: a1 \u003d a5 / b4 \u003d 30 / (1.148698) 4 \u003d 17.2304966.

Sa gayon, nahanap namin kung ano ang denominator ng pagsulong bn, at ang geometric na pag-unlad na bn-1 * 17.2304966 \u003d an, kung saan b \u003d 1.148698.

Saan ginagamit ang mga pag-unlad na geometriko?

Kung walang aplikasyon ng serye ng bilang na ito sa pagsasanay, kung gayon ang pag-aaral nito ay mababawasan sa isang pulos na teoretikal na interes. Ngunit ang gayong aplikasyon ay mayroon.

Nasa ibaba ang 3 pinakatanyag na halimbawa:

• Ang kabalintunaan ni Zeno, kung saan ang matalino na Achilles ay hindi makahabol sa mabagal na pagong, ay nalulutas gamit ang konsepto ng isang walang katapusang pagbawas ng pagkakasunud-sunod ng mga numero.
• Kung maglalagay ka ng mga butil ng trigo sa bawat parisukat ng chessboard upang ang 1 butil ay inilalagay sa ika-1 parisukat, 2 - sa ika-2, 3 - sa ika-3, at iba pa, kung gayon 18446744073709551615 na mga butil ang kinakailangan upang punan ang lahat ng mga parisukat ng sumakay!
• Sa laro ng Tower of Hanoi, upang muling ayusin ang mga disk mula sa isang pamalo papunta sa isa pa, kailangan mong magsagawa ng 2n - 1 na operasyon, samakatuwid nga, ang kanilang bilang ay lumalaki nang mabilis sa bilang ng mga disk na ginamit.

Unang antas

Pag-unlad ng geometriko. Komprehensibong gabay sa mga halimbawa (2019)

Pagsunud-sunod ng numero

Kaya't umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:

Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring maraming bilang na gusto mo (sa aming kaso, ang mga ito). Hindi mahalaga kung gaano karaming mga numero ang sinusulat namin, maaari naming laging sabihin kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, iyon ay, mabibilang natin sila. Ito ay isang halimbawa ng isang pagkakasunud-sunod ng numero:

Pagsunud-sunod ng numero ay isang hanay ng mga numero, na ang bawat isa ay maaaring italaga ng isang natatanging numero.

Halimbawa, para sa aming pagkakasunud-sunod:

Ang nakatalagang numero ay tukoy sa isang numero lamang ng pagkakasunud-sunod. Sa madaling salita, walang tatlong pangalawang numero sa pagkakasunud-sunod. Ang pangalawang numero (tulad ng ika-bilang na numero) ay laging iisa.

Ang bilang na may numero ay tinatawag na ika-kasapi ng pagkakasunud-sunod.

Karaniwan naming tinatawagan ang buong pagkakasunud-sunod ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng pagkakasunud-sunod na ito ay magkatulad na letra na may isang index na katumbas ng bilang ng kasapi na ito:.

Sa kaso natin:

Ang pinakakaraniwang uri ng pag-unlad ay ang arithmetic at geometric. Sa thread na ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa pangalawang uri - pag-unlad na geometriko.

Bakit kailangan ng isang pag-unlad na geometriko at kasaysayan ng pinagmulan nito.

Kahit na sa sinaunang panahon, ang Italyanong matematiko na si Leonardo ng Pisa (mas kilala bilang Fibonacci) ay nakikibahagi sa paglutas ng mga praktikal na pangangailangan ng kalakal. Ang monghe ay naharap sa gawain ng pagtukoy sa kung ano ang pinakamaliit na halaga ng timbang na maaaring magamit upang timbangin ang mga kalakal? Sa kanyang mga sinulat, pinatunayan ni Fibonacci na ang gayong sistema ng timbang ay pinakamainam: Ito ang isa sa mga unang sitwasyon kung saan kailangang harapin ng mga tao ang isang pag-unlad na geometriko, na marahil ay narinig mo na at mayroon man lang isang pangkalahatang ideya. Kapag naintindihan mo nang buo ang paksa, isipin kung bakit ang nasabing sistema ay pinakamainam?

Sa kasalukuyan, sa pagsasanay sa buhay, ang isang pag-unlad na geometriko ay nagpapakita ng kanyang sarili kapag namumuhunan ng pera sa isang bangko, kapag ang halaga ng interes ay sisingilin sa halagang naipon sa account para sa nakaraang panahon. Sa madaling salita, kung naglalagay ka ng pera sa isang term deposit sa isang banking bank, pagkatapos sa isang taon ang deposito ay tataas ng higit sa paunang halaga, ibig sabihin ang bagong halaga ay magiging katumbas ng deposito na pinarami ng. Sa isa pang taon, ang halagang ito ay tataas ng, ibig sabihin ang halagang nakuha sa oras na iyon ay maparami ng at iba pa. Ang isang katulad na sitwasyon ay inilarawan sa mga problema sa pagkalkula ng tinatawag na tambalang interes - ang porsyento ay kinukuha sa bawat oras mula sa halaga sa account, isinasaalang-alang ang nakaraang interes. Pag-uusapan natin ang tungkol sa mga gawaing ito sa ibang pagkakataon.

Maraming higit pang mga simpleng kaso kung saan ginagamit ang pag-unlad na geometriko. Halimbawa, ang pagkalat ng trangkaso: ang isang tao ay nahawahan ang isang tao, sila naman ay nahawahan ng ibang tao, at sa gayon ang pangalawang alon ng impeksiyon ay isang tao, at sila naman ay nahawahan ng isa pa ... at iba pa .. .

Sa pamamagitan ng paraan, ang pampinansyal na pyramid, ang parehong MMM, ay isang simple at tuyong pagkalkula batay sa mga katangian ng isang pag-unlad na geometriko. Nakakainteres? Alamin natin ito.

Pag-unlad ng geometriko.

Sabihin nating mayroon kaming pagkakasunud-sunod ng bilang:

Sasagutin mo kaagad na madali ito at ang pangalan ng naturang pagkakasunud-sunod ay isang pagsulong sa aritmetika na may pagkakaiba ng mga miyembro nito. Kumusta naman ito:

Kung ibabawas mo ang nakaraang isa mula sa susunod na numero, makikita mo na sa tuwing makakakuha ng isang bagong pagkakaiba (atbp.), Ngunit ang pagkakasunud-sunod ay tiyak na umiiral at madaling mapansin - ang bawat susunod na numero ay mas malaki kaysa sa dating. !

Ang ganitong uri ng pagkakasunud-sunod ng bilang ay tinawag pag-unlad na geometriko at ipinahiwatig ng.

Ang pag-unlad na geometriko () ay isang pagkakasunud-sunod ng bilang, ang unang term na kung saan ay nonzero, at ang bawat term, na nagsisimula mula sa pangalawa, ay katumbas ng naunang isa, pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng pag-unlad na geometriko.

Ang mga paghihigpit na ang unang term () ay hindi pantay at hindi sapalaran. Ipagpalagay na wala sila, at ang unang termino ay pantay-pantay pa rin, at ang q ay pantay, hmm .. hayaan, pagkatapos ay lumabas:

Sumang-ayon na hindi na ito isang pag-unlad.

Tulad ng naiisip mo, makakakuha kami ng parehong mga resulta kung ito ay anumang bilang maliban sa zero, at. Sa mga kasong ito, hindi lamang magkakaroon ng isang pag-unlad, dahil ang buong serye ng bilang ay alinman sa lahat ng mga zero, o isang numero, at lahat ng iba pang mga zero.

Ngayon pag-usapan natin nang mas detalyado tungkol sa denominator ng pag-unlad na geometriko, iyon ay, Fr.

Ulitin natin: ay isang numero, ilang beses nagbabago ang bawat kasunod na term pag-unlad na geometriko.

Ano sa palagay mo ang maaari nito? Tama, positibo at negatibo, ngunit hindi zero (pinag-usapan natin ito nang medyo mas mataas).

Sabihin nating mayroon tayong positibo. Hayaan din sa aming kaso. Ano ang ikalawang termino at? Madali mong masasagot iyon:

Lahat ay tama. Alinsunod dito, kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad ay may parehong pag-sign - sila positibo.

Paano kung negatibo? Halimbawa, a. Ano ang ikalawang termino at?

Ito ay isang ganap na naiibang kuwento

Subukang bilangin ang termino ng pag-unlad na ito. Ilan ang nakuha mo? Meron akong. Kaya, kung, pagkatapos ang mga palatandaan ng mga kasapi ng pag-unlad na geometriko ay kahalili. Iyon ay, kung nakikita mo ang isang pag-unlad na may alternating mga palatandaan sa mga miyembro nito, kung gayon ang denominator nito ay negatibo. Ang kaalamang ito ay makakatulong sa iyo na subukan ang iyong sarili kapag nalulutas ang mga problema sa paksang ito.

Ngayon ay magsanay tayo nang kaunti: subukang tukuyin kung aling mga pagkakasunud-sunod ng bilang ang isang pag-unlad na geometriko at kung alin ang aritmetika:

Naiintindihan? Paghambingin natin ang aming mga sagot:

• Pag-unlad ng geometriko - 3, 6.
• Pag-unlad ng Arithmetic - 2, 4.
• Hindi ito arithmetic o geometric na pag-unlad - 1, 5, 7.

Bumalik tayo sa ating huling pag-unlad, at subukang hanapin ang term nito sa parehong paraan tulad ng sa arithmetic. Tulad ng maaari mong hulaan, mayroong dalawang paraan upang hanapin ito.

Sunud-sunod kaming pinarami ng bawat term sa pamamagitan ng.

Kaya, ang ika-kasapi ng inilarawan na pag-unlad na geometriko ay katumbas ng.

Tulad ng maaari mong hulaan, ngayon ikaw mismo ay kukuha ng isang pormula na makakatulong sa iyo na makahanap ng anumang miyembro ng isang pag-unlad na geometriko. O nailabas mo na ito para sa iyong sarili, na naglalarawan kung paano hanapin ang kasapi nang sunud-sunod? Kung gayon, suriin ang kawastuhan ng iyong pangangatuwiran.

Ilarawan natin ito sa pamamagitan ng halimbawa ng paghahanap ng ika-kasapi ng isang naibigay na pag-unlad:

Sa ibang salita:

Hanapin sa iyong sarili ang halaga ng isang kasapi ng isang naibigay na pag-unlad na geometriko.

Nangyari? Paghambingin natin ang aming mga sagot:

Mangyaring tandaan na nakuha mo nang eksakto ang parehong numero tulad ng sa nakaraang pamamaraan, nang sunud-sunod kaming pinarami ng bawat nakaraang term ng pag-unlad na geometriko.
Subukan nating "depersonalize" ang formula na ito - dinadala namin ito sa isang pangkalahatang form at nakuha:

Ang nagmula sa pormula ay tama para sa lahat ng mga halaga, kapwa positibo at negatibo. Suriin ito mismo sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga kasapi ng pag-unlad na geometriko sa mga sumusunod na kundisyon :, a.

Nagbilang ka na ba? Ihambing natin ang mga resulta na nakuha:

Sumang-ayon na posible na makahanap ng isang kasapi ng pag-unlad sa parehong paraan tulad ng isang miyembro, subalit, may posibilidad na maling pagbilang. At kung nahanap na namin ang ika-term ng pag-unlad na geometriko, kung gayon ano ang maaaring mas madali kaysa sa paggamit ng "putulin" na bahagi ng pormula.

Isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko.

Kamakailan lamang, napag-usapan natin ang katotohanan na maaari itong maging mas malaki sa o mas mababa sa zero, subalit, may mga espesyal na halaga kung saan tinawag ang isang pag-unlad na geometriko walang katapusang pagbaba.

Bakit sa palagay mo ganoong pangalan?
Una, isulat natin ang ilang pag-unlad na geometriko na binubuo ng mga miyembro.
Ipagpalagay, a, kung gayon:

Nakita namin na ang bawat kasunod na term ay mas mababa kaysa sa nakaraang isa sa isang kadahilanan, ngunit magkakaroon ba ng anumang numero? Sasagot ka agad ng hindi. Iyon ang dahilan kung bakit ang walang hanggan na bumababa - nababawasan, nababawasan, at hindi kailanman naging zero.

Upang malinaw na maunawaan kung paano ito nakikita ng biswal, subukang gumuhit ng isang graph ng aming pag-unlad. Kaya, para sa aming kaso, ang formula ay kumukuha ng sumusunod na form:

Nakaugalian sa amin na bumuo ng pagpapakandili sa mga tsart, samakatuwid:

Ang kakanyahan ng ekspresyon ay hindi nagbago: sa unang pagpasok, ipinakita namin ang pagpapakandili ng halaga ng miyembro ng pag-unlad na geometriko sa numero ng pagkakasunud-sunod nito, at sa pangalawang pagpasok, kinuha lamang namin ang halaga ng terminong pag-unlad na geometriko bilang, at ang numero ng ordinal ay itinalaga hindi kung paano, ngunit paano. Ang natitira pang dapat gawin ay ang bumuo ng isang graph.
Tingnan natin kung ano ang ginawa mo. Narito ang nakuha kong grap:

Kita mo ba Ang pag-andar ay bumababa, may gawi sa zero, ngunit hindi kailanman tumatawid dito, kaya't ito ay walang hanggan na bumababa. Markahan natin ang ating mga puntos sa grapiko, at sa parehong oras kung ano ang coordinate at ibig sabihin:

Subukang ilarawan ang iskema ng isang grapiko ng isang pag-unlad na geometriko sa, kung ang unang termino nito ay pantay din. Pag-aralan, ano ang pagkakaiba sa aming nakaraang grap?

Inayos mo ba? Narito ang nakuha kong grap:

Ngayon na lubos mong naiintindihan ang mga pangunahing kaalaman sa tema ng isang pag-unlad na geometriko: alam mo kung ano ito, alam mo kung paano hanapin ang term nito, at alam mo rin kung ano ang isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko, magpatuloy tayo sa pangunahing pag-aari.

Ang pag-aari ng isang pag-unlad na geometriko.

Naaalala ang pag-aari ng mga kasapi ng isang pag-unlad na aritmetika? Oo, oo, kung paano makahanap ng halaga ng isang tiyak na bilang ng isang pag-unlad kung may mga nauna at kasunod na halaga ng mga miyembro ng isang naibigay na pag-unlad. Naaalala? Ito:

Ngayon ay nahaharap tayo sa eksaktong parehong tanong para sa mga kasapi ng isang pag-unlad na geometriko. Upang makakuha ng isang katulad na formula, magsimula tayong gumuhit at mangatuwiran. Makikita mo, napakadali, at kung nakalimutan mo, mailalabas mo ito sa iyong sarili.

Kumuha tayo ng isa pang simpleng pag-unlad na geometriko kung saan alam natin at. Paano hanapin? Sa isang pag-unlad na aritmetika, madali at simple ito, ngunit paano dito? Sa katunayan, sa geometriko din, walang kumplikado - kailangan mo lamang isulat ang bawat halagang ibinigay sa amin gamit ang isang formula.

Itanong mo, ano ang dapat nating gawin dito? Napakasimple nito. Upang magsimula, ilalarawan namin ang mga formula na ito sa pigura, at subukang gawin ang iba't ibang mga manipulasyon sa kanila upang makarating sa isang halaga.

Naka-abstract kami mula sa mga bilang na ibinigay namin, magtutuon lamang kami sa pagpapahayag ng mga ito sa pamamagitan ng isang formula. Kailangan naming hanapin ang halagang naka-highlight sa orange, alam ang mga kasapi na katabi nito. Subukan nating magsagawa ng iba't ibang mga pagkilos sa kanila, bilang isang resulta na maaari nating matanggap.

Dagdagan
Subukan nating magdagdag ng dalawang expression at, nakukuha natin ang:

Mula sa ekspresyong ito, tulad ng nakikita mo, hindi kami maaaring ipahayag sa anumang paraan, samakatuwid, susubukan namin ang isa pang pagpipilian - pagbabawas.

Pagbabawas

Tulad ng nakikita mo, hindi rin namin maipahayag mula rito, samakatuwid, susubukan naming i-multiply ang mga expression na ito sa bawat isa.

Pagpaparami.

Ngayon tingnan nang mabuti kung ano ang mayroon kami, pinaparami ang mga kasapi ng pag-unlad na geometriko na ibinigay sa amin kumpara sa kung ano ang kailangang makita:

Hulaan mo kung ano ang sinasabi ko? Tama, upang makahanap, kailangan nating kunin ang parisukat na ugat ng mga numero ng pag-unlad na geometriko na katabi ng nais na bilang na pinarami ng bawat isa:

Dito na kayo Ikaw mismo ang nagbawas ng pag-aari ng isang pag-unlad na geometriko. Subukang isulat ang formula na ito sa pangkalahatang mga termino. Nangyari?

Nakalimutan ang kondisyon para sa? Isipin kung bakit ito mahalaga, halimbawa, subukang kalkulahin ito sa iyong sarili, kung. Ano ang nangyayari sa kasong ito? Tama, kumpletong kalokohan dahil ganito ang formula:

Alinsunod dito, huwag kalimutan ang limitasyon na ito.

Ngayon kalkulahin natin kung ano ang katumbas

Tamang sagot - ! Kung, kapag nagkakalkula, hindi mo nakalimutan ang pangalawang posibleng halaga, kung gayon ikaw ay isang mahusay na kapwa at maaari kang magpatuloy sa pagsasanay, at kung nakalimutan mo, basahin kung ano ang tinalakay sa ibaba at bigyang pansin kung bakit kinakailangan upang isulat ang pareho ugat sa sagot.

Iguhit natin ang pareho ng ating mga pag-unlad na geometriko - ang isa ay may kahulugan, at ang isa pa ay may kahulugan at suriin kung pareho silang may karapatang umiral:

Upang masuri kung mayroon bang tulad ng isang pag-unlad na geometriko o hindi, kinakailangan upang makita kung pareho ito sa pagitan ng lahat ng mga naibigay na miyembro? Kalkulahin ang q para sa una at pangalawang mga kaso.

Tingnan kung bakit kailangan nating magsulat ng dalawang sagot? Dahil ang pag-sign ng kinakailangang term ay nakasalalay sa kung ito ay positibo o negatibo! At dahil hindi namin alam kung ano siya, kailangan naming isulat ang parehong mga sagot na may plus at isang minus.

Ngayon na pinagkadalubhasaan mo ang pangunahing mga puntos at naibawas ang formula para sa pag-aari ng isang pag-unlad na geometriko, hanapin, alamin at

Ihambing ang mga natanggap na sagot sa mga tamang sagot:

Ano sa palagay mo, paano kung hindi tayo bibigyan ng mga halaga ng mga kasapi ng pag-unlad na geometriko na katabi ng nais na numero, ngunit magkakapantay mula rito. Halimbawa, kailangan nating hanapin, at bibigyan at. Maaari ba nating sa kasong ito gamitin ang pormula na nagmula? Subukang kumpirmahin o tanggihan ang posibilidad na ito sa parehong paraan, isulat kung ano ang binubuo ng bawat halaga, tulad ng ginawa mo noong una mong nakuha ang formula, para sa.
Anong ginawa mo?

Ngayon tingnan ulit nang mabuti.
at tumutugma:

Mula dito maaari nating tapusin na gumagana ang formula hindi lang sa kapitbahay na may kinakailangang mga tuntunin ng pag-unlad na geometriko, ngunit mayroon ding equidistant mula sa hinahanap na mga kasapi.

Kaya, ang aming paunang pormula ay kumukuha ng form:

Iyon ay, kung sa unang kaso sinabi natin iyon, ngayon sinasabi namin na maaari itong maging katumbas ng anumang natural na bilang na mas kaunti. Ang pangunahing bagay ay na ito ay pareho para sa parehong ibinigay na mga numero.

Magsanay sa mga tukoy na halimbawa, maging maingat lang!

1. ,. Hanapin.
2. ,. Hanapin.
3. ,. Hanapin.

Nakapag desisyon na ako? Inaasahan kong ikaw ay labis na nag-ingat at napansin ang isang maliit na catch.

Paghambingin natin ang mga resulta.

Sa unang dalawang kaso, mahinahon naming inilalapat ang formula sa itaas at nakukuha ang mga sumusunod na halaga:

Sa pangatlong kaso, sa maingat na pagsasaalang-alang sa mga ordinal na numero ng mga bilang na ibinigay sa amin, naiintindihan namin na ang mga ito ay hindi equidistant mula sa bilang na hinahanap namin: ito ang dating numero, ngunit inalis sa posisyon, kaya't hindi posible upang ilapat ang formula.

Paano natin ito malulutas? Ito ay talagang hindi kasing mahirap ng tunog nito! Isulat namin sa iyo kung ano ang ibinibigay sa amin ng bawat numero at binubuo ng kinakailangang numero.

Kaya, mayroon kaming at. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa kanila? Ipinapanukala kong hatiin sa. Nakukuha namin:

Pinalitan namin ang aming data sa pormula:

Ang susunod na hakbang na maaari naming hanapin - para dito kailangan naming gawin ang cube root ng nagresultang numero.

At ngayon tiningnan natin muli kung ano ang mayroon tayo. Nasa atin ito, ngunit kailangan nating hanapin ito, at ito, sa turn, ay katumbas ng:

Natagpuan namin ang lahat ng kinakailangang data para sa pagkalkula. Kapalit sa pormula:

Ang aming sagot: .

Subukang lutasin ang sarili mong isa pang katulad na problema:
Ibinigay :,
Hanapin:

Ilan ang nakuha mo? Meron akong - .

Tulad ng nakikita mo, sa katunayan, kailangan mo tandaan ang isang formula lamang -. Maaari mong bawiin ang lahat ng natitirang nang walang anumang kahirapan sa iyong sarili sa anumang oras. Upang magawa ito, isulat lamang ang pinakasimpleng pag-unlad na geometriko sa isang piraso ng papel at isulat kung ano, ayon sa pormula sa itaas, ang bawat isa sa mga bilang nito ay pantay.

Ang kabuuan ng mga kasapi ng isang pag-unlad na geometriko.

Isaalang-alang ngayon ang mga formula na nagpapahintulot sa amin na mabilis na kalkulahin ang kabuuan ng mga kasapi ng isang pag-unlad na geometriko sa isang naibigay na agwat:

Upang makuha ang formula para sa kabuuan ng mga kasapi ng isang may hangganang pag-unlad na geometriko, pinarami namin ang lahat ng mga bahagi ng mas mataas na equation ng. Nakukuha namin:

Tingnan nang mabuti: ano ang pagkakatulad ng huling dalawang pormula? Tama iyan, mga karaniwang miyembro, halimbawa, at iba pa, maliban sa una at huling miyembro. Subukan nating ibawas ang ika-1 mula sa ika-2 na equation. Anong ginawa mo?

Ngayon ipahayag ang term ng pag-unlad na geometriko sa pamamagitan ng pormula at palitan ang nagresultang ekspresyon sa aming huling pormula:

Pangkatin ang ekspresyon. Dapat mong makuha ang:

Ang natitira lamang na gawin ay ipahayag:

Alinsunod dito, sa kasong ito.

Paano kung? Ano ang formula na gumagana pagkatapos? Pag-isipan ang isang pag-unlad na geometriko sa. Ano siya Tamang isang serye ng magkatulad na mga numero, ayon sa pagkakabanggit, magiging ganito ang formula:

Mayroong maraming mga alamat sa parehong arithmetic at geometric na pag-unlad. Isa sa mga ito ay ang alamat ni Seth, ang tagalikha ng chess.

Maraming tao ang nakakaalam na ang larong chess ay naimbento sa India. Nang makilala siya ng haring Hindu, siya ay natuwa sa kanyang talas ng isip at ang iba't ibang mga posibleng posisyon sa kanya. Nang malaman na ito ay naimbento ng isa sa kanyang mga nasasakupan, nagpasya ang hari na siya mismo ang gantimpalaan. Tinawag niya ang imbentor sa kanya at inutusan siyang tanungin siya para sa anumang nais niya, nangangako na tuparin kahit ang pinaka-bihasang hangarin.

Humingi si Seta ng oras upang mag-isip, at nang kinabukasan ay nagpakita si Seta sa hari, nagulat siya sa hari sa walang kapantay na kahinhinan ng kanyang kahilingan. Humiling siya na magbigay ng isang butil ng trigo para sa unang parisukat ng chessboard, para sa pangalawang butil ng trigo, para sa pangatlo, para sa pang-apat, atbp.

Nagalit ang hari at tinaboy si Seth, sinasabing ang kahilingan ng alipin ay hindi karapat-dapat sa kabutihang-loob, ngunit nangako na tatanggapin ng alipin ang kanyang mga butil para sa lahat ng mga cell ng lupon.

At ngayon ang tanong: gamit ang formula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang pag-unlad na geometriko, kalkulahin kung gaano karaming mga butil ang dapat matanggap ng Seta?

Magsimula tayo sa pangangatwiran. Dahil, ayon sa kundisyon, humiling si Seta ng isang butil ng trigo para sa unang parisukat ng chessboard, para sa pangalawa, para sa pangatlo, para sa pang-apat, atbp., Nakikita natin na ang problema ay tungkol sa isang pag-unlad na geometriko. Ano ang pantay sa kasong ito?
Tama

Kabuuang mga cell ng chessboard. Alinsunod dito ,. Nasa amin ang lahat ng data, nananatili lamang ito upang mapalitan ito sa formula at kalkulahin.

Upang kumatawan nang hindi bababa sa humigit-kumulang na "kaliskis" ng isang naibigay na numero, binabago namin ang paggamit ng mga katangian ng degree:

Siyempre, kung nais mo, maaari kang kumuha ng isang calculator at kalkulahin kung anong uri ng bilang ang magwawakas mo, at kung hindi, kakailanganin mong kunin ang aking salita para dito: ang pangwakas na halaga ng pagpapahayag ay.
Ako:

quintillion quadrillion trillion bilyong milyong libo.

Fuh) Kung nais mong isipin ang laki ng bilang na ito, pagkatapos ay tantyahin kung gaano kalaki ang kinakailangan sa kamalig na naglalaman ng buong halaga ng butil.
Na may taas na kamalig m at isang lapad ng m, ang haba nito ay kailangang pahabain para sa km, ibig sabihin dalawang beses ang layo mula sa Earth hanggang sa Araw.

Kung ang tsar ay malakas sa matematika, maaari niyang imungkahi na ang siyentista mismo ang bibilangin ang mga butil, sapagkat upang mabilang ang isang milyong butil, kakailanganin niya ng hindi bababa sa isang araw ng walang pagod na pagbibilang, at bibigyan na kinakailangan upang mabilang ang quintillions, ang mga butil ay kailangang mabilang sa buong buhay niya.

Ngayon ay malutas natin ang isang simpleng problema para sa kabuuan ng mga kasapi ng isang pag-unlad na geometriko.
Si Vasya, isang mag-aaral ng grade 5 A, ay mayroong trangkaso, ngunit patuloy na pumapasok sa paaralan. Araw-araw ay nahahawa si Vasya sa dalawang tao, na siya namang, ay nahahawa sa dalawa pang tao, at iba pa. May mga tao sa klase. Ilang araw magkakasakit ang trangkaso sa trangkaso?

Kaya, ang unang miyembro ng pag-unlad na geometriko ay si Vasya, iyon ay, isang tao. ika-miyembro ng pag-unlad na geometriko, ito ang dalawang tao na nahawahan niya sa unang araw ng kanyang pagdating. Ang kabuuang bilang ng mga kasapi sa pag-unlad ay pantay sa bilang ng mga mag-aaral na 5A. Alinsunod dito, pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang pag-unlad kung saan:

Palitan natin ang aming data sa pormula para sa kabuuan ng mga kasapi ng isang pag-unlad na geometriko:

Ang buong klase ay magkakasakit sa mga araw. Hindi ka ba naniniwala sa mga formula at numero? Subukang ilarawan mismo ang "impeksyon" ng mga mag-aaral. Nangyari? Tingnan kung paano ako hahanapin:

Kalkulahin para sa iyong sarili kung ilang araw aabutin ang mga mag-aaral upang magkaroon ng trangkaso kung ang bawat isa ay nahawahan ng isang tao at mayroong isang tao sa klase.

Anong halaga ang nakuha mo? Ito ay naka-out na ang lahat ay nagsimulang magkasakit pagkatapos ng isang araw.

Tulad ng nakikita mo, ang gayong gawain at pagguhit dito ay kahawig ng isang piramide, kung saan ang bawat kasunod na "nagdadala" ng mga bagong tao. Gayunpaman, maaga o huli isang sandali ay dumating kapag ang huli ay hindi maakit ang sinuman. Sa aming kaso, kung naiisip namin na ang klase ay ihiwalay, ang tao mula ay magsasara ng kadena (). Kaya, kung ang isang tao ay kasangkot sa isang pampinansyal na piramide, kung saan ang pera ay ibinigay sa kaganapan na magdala ka ng dalawang iba pang mga kalahok, kung gayon ang tao (o sa pangkalahatang kaso) ay hindi magdadala ng sinuman, ayon sa pagkakabanggit, mawawala sa kanila ang lahat na kanilang namuhunan sa financial scam na ito.

Ang lahat ng sinabi sa itaas ay tumutukoy sa isang pagbawas o pagtaas ng pag-unlad na geometriko, ngunit, tulad ng naaalala mo, mayroon kaming isang espesyal na uri - isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko. Paano makalkula ang kabuuan ng mga miyembro nito? At bakit ang ganitong uri ng pag-unlad ay may ilang mga tampok? Sama-sama nating ayusin ito.

Kaya, upang magsimula, tingnan ulit ang figure na ito ng isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko mula sa aming halimbawa:

Tingnan natin ang formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad na geometriko, na nakuha nang kaunti mas maaga:
o

Ano ang pinagsisikapan natin? Tama iyan, ipinapakita ng graph na may kaugaliang zero. Iyon ay, kailan, ito ay magiging halos pantay, ayon sa pagkakabanggit, kapag kinakalkula ang ekspresyon, nakakakuha kami ng halos. Kaugnay nito, naniniwala kami na kapag kinakalkula ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko, ang bracket na ito ay maaaring napabayaan, dahil magiging pantay ito.

- ang pormula ay ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko.

MAHALAGA! Ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng mga tuntunin ng isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko kung ang kondisyon ay malinaw na nagsasaad na kailangan naming hanapin ang kabuuan walang katapusang bilang ng mga kasapi.

Kung ang isang tukoy na numero n ay ipinahiwatig, pagkatapos ay ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng n mga tuntunin, kahit na o.

Ngayon ay magsanay tayo.

1. Hanapin ang kabuuan ng mga unang tuntunin ng isang pag-unlad na geometriko na may at.
2. Hanapin ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang walang katapusang pagbawas ng geometric na pag-unlad na may at.

Inaasahan kong ikaw ay lubos na maasikaso. Paghambingin natin ang aming mga sagot:

Ngayon alam mo na ang lahat tungkol sa pag-unlad na geometriko, at oras na upang lumipat mula sa teorya hanggang sa magsanay. Ang pinakakaraniwang mga problema sa pag-unlad na geometric na nakatagpo sa pagsusulit ay mga problema sa tambalang interes. Tungkol sa kanila na pag-uusapan natin.

Mga gawain para sa pagkalkula ng interes ng tambalan.

Marahil ay narinig mo ang tinatawag na formula ng interes ng compound. Naiintindihan mo ba ang ibig niyang sabihin? Kung hindi, alamin natin ito, sapagkat napagtanto ang proseso mismo, mauunawaan mo kaagad, at narito ang isang pag-unlad na geometriko.

Pumunta kaming lahat sa bangko at alam na may iba't ibang mga kondisyon para sa mga deposito: ito ang term, at karagdagang serbisyo, at interes na may dalawang magkakaibang paraan ng pagkalkula nito - simple at kumplikado.

MULA SA simpleng interes ang lahat ay higit pa o mas mababa malinaw: ang interes ay sisingilin nang isang beses sa pagtatapos ng term ng deposito. Iyon ay, kung sasabihin natin na naglalagay kami ng 100 rubles sa loob ng isang taon sa ilalim, pagkatapos ito ay kredito lamang sa pagtatapos ng taon. Alinsunod dito, sa pagtatapos ng deposito, makakatanggap kami ng mga rubles.

Tambalang interes - ito ang pagpipilian kung saan malaking titik ng interes, ibig sabihin ang kanilang karagdagan sa halaga ng deposito at ang kasunod na pagkalkula ng kita hindi mula sa paunang, ngunit mula sa naipon na halaga ng deposito. Ang pag-capitalize ay hindi laging nangyayari, ngunit may dalas. Karaniwan, ang mga panahong ito ay pantay-pantay at madalas na ang mga bangko ay gumagamit ng isang buwan, quarter o taon.

Sabihin nating inilalagay natin ang lahat ng parehong rubles sa isang taunang rate, ngunit may buwanang malaking titik ng deposito. Ano ang makukuha natin?

Naiintindihan mo ba ang lahat dito? Kung hindi, alamin natin ito sa mga yugto.

Nagdala kami ng mga rubles sa bangko. Sa pagtatapos ng buwan, ang isang halagang binubuo ng aming mga rubles kasama ang interes sa mga ito ay dapat na lumitaw sa aming account, iyon ay:

Sumasang-ayon ako?

Maaari nating ilagay ito sa labas ng bracket at makuha namin ang:

Sumang-ayon, ang formula na ito ay higit na katulad sa isinulat namin sa simula. Ito ay mananatili upang harapin ang interes

Sa pahayag ng problema, sinabi sa atin ang tungkol sa taunang. Tulad ng alam mo, hindi kami nagpaparami ng - nagko-convert kami ng mga porsyento sa mga decimal, iyon ay:

Di ba Ngayon nagtanong ka, saan nagmula ang numero? Napakasimple!
Uulitin ko: ang pahayag ng problema ay nagsasabi tungkol sa TAONAN naipon na interes MONTHLY... Tulad ng alam mo, sa isang taon ng buwan, ayon sa pagkakabanggit, sisingilin kami ng bangko ng isang bahagi ng taunang interes bawat buwan:

Napagtanto? Ngayon subukang isulat kung ano ang magiging hitsura ng bahaging ito ng pormula kung sasabihin ko na ang interes ay kinakalkula araw-araw.
Inayos mo ba? Paghambingin natin ang mga resulta:

Magaling! Bumalik tayo sa aming gawain: isulat kung magkano ang mai-credit sa aming account para sa ikalawang buwan, isinasaalang-alang na ang interes ay sisingilin sa naipon na halaga ng deposito.
Narito kung ano ang nakuha ko:

O, sa madaling salita:

Sa palagay ko napansin mo ang isang pattern at nakita mo ang isang pag-unlad na geometriko sa lahat ng ito. Isulat kung ano ang magiging katumbas ng miyembro nito, o, sa madaling salita, kung gaano karaming pera ang matatanggap natin sa pagtatapos ng buwan.
Ginawa Sinusuri!

Tulad ng nakikita mo, kung maglalagay ka ng pera sa bangko sa loob ng isang taon sa isang simpleng interes, makakatanggap ka ng mga rubles, at kung sa isang kumplikadong rate - rubles. Ang benepisyo ay maliit, ngunit nangyayari lamang ito sa ika-th taon, ngunit sa mas mahabang panahon, mas malaki ang kita ng capitalization:

Isaalang-alang natin ang isa pang uri ng mga problema sa tambalang interes. Pagkatapos ng naisip mo, magiging elementarya ito para sa iyo. Kaya ang gawain:

Ang kumpanya ng Zvezda ay nagsimulang namuhunan sa industriya noong 2000, na mayroong kapital sa dolyar. Bawat taon mula noong 2001, kumikita siya, na mula sa kabisera ng nakaraang taon. Gaano karaming kita ang matatanggap ng kumpanya ng Zvezda sa katapusan ng 2003 kung ang kita ay hindi nakuha mula sa sirkulasyon?

Kapital ng kumpanya na "Zvezda" noong 2000.
- ang kabisera ng kumpanya na "Zvezda" noong 2001.
- ang kabisera ng kumpanya na "Zvezda" noong 2002.
- ang kabisera ng kumpanya na "Zvezda" noong 2003.

O maaari kaming sumulat nang maikli:

Para sa aming kaso:

2000, 2001, 2002 at 2003.

Magalang:
rubles
Tandaan na sa problemang ito wala kaming paghahati alinman sa pamamagitan ng o, dahil ang porsyento ay binibigyan ANNUALLY at kinakalkula ito NG ANNUALLY. Iyon ay, kapag nagbabasa ng isang problema para sa compound na interes, bigyang pansin kung anong porsyento ang ibinigay, at sa anong panahon ito nasisingil, at pagkatapos lamang magpatuloy sa mga kalkulasyon.
Ngayon alam mo na ang lahat tungkol sa pag-unlad na geometriko.

Pag-eehersisyo

1. Hanapin ang exponential term kung alam na, at
2. Hanapin ang kabuuan ng mga unang tuntunin ng pag-unlad na geometriko, kung ito ay kilala na, at
3. Nagsimula ang pamumuhunan ng MDM Capital sa industriya noong 2003, pagkakaroon ng kapital sa dolyar. Taun-taon, simula noong 2004, kumikita siya, na mula sa kabisera ng nakaraang taon. Ang kumpanya na "MSK Cash Flows" ay nagsimulang mamuhunan sa industriya noong 2005 sa halagang $ 10,000, na nagsisimulang kumita noong 2006 sa halagang. Gaano karaming dolyar ang kabisera ng isang kumpanya na higit sa isa pa sa pagtatapos ng 2007, kung ang kita ay hindi nakuha mula sa sirkulasyon?

Mga sagot:

1. Dahil ang pahayag ng problema ay hindi sinabi na ang pag-unlad ay walang hanggan at kinakailangan na hanapin ang kabuuan ng isang tukoy na bilang ng mga miyembro nito, ang pagkalkula ay isinasagawa ayon sa pormula:
2. 
   MDM Capital:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - tataas ng 100%, iyon ay, 2 beses.
   Magalang:
   rubles
   Mga Daloy ng MSK Cash:

   2005, 2006, 2007.
   - tataas ng, iyon ay, mga oras.
   Magalang:
   rubles
   rubles

Ibuod natin.

1) Ang pag-unlad na geometriko () ay isang pagkakasunud-sunod ng bilang, ang unang term na kung saan ay nonzero, at ang bawat term, na nagsisimula mula sa pangalawa, ay katumbas ng naunang isa, na pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng pag-unlad na geometriko.

2) Equation ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad -.

3) maaaring tumagal ng anumang mga halaga maliban sa at.

• kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad ay may parehong pag-sign - sila positibo;
• kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga kasapi ng pag-unlad mga kahaliling palatandaan;
• sa - ang pag-unlad ay tinatawag na walang katapusang pagbawas.

4), para sa pag-aari ng isang pag-unlad na geometriko (katabi ng mga termino)

o
, sa (mga katumbas na termino)

Kapag naghahanap, huwag kalimutan iyon dapat may dalawang sagot.

Halimbawa,

5) Ang kabuuan ng mga kasapi ng isang pag-unlad na geometriko ay kinakalkula ng pormula:
o

Kung ang pag-unlad ay walang katapusang pagbawas, pagkatapos ay:
o

MAHALAGA! Ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng mga tuntunin ng isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko kung malinaw na isinasaad ng kundisyon na kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga term.

6) Ang mga problema para sa interes ng compound ay kinakalkula din ayon sa pormula ng ika-term ng isang pag-unlad na geometriko, sa kondisyon na ang mga pondo ay hindi nakuha mula sa sirkulasyon:

GEOMETRIC PROGRESSION. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

Pag-unlad ng geometriko Ang () ay isang numerong pagkakasunud-sunod, ang unang term na kung saan ay nonzero, at ang bawat term, na nagsisimula mula sa pangalawa, ay katumbas ng naunang isa, pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinawag denominator ng pag-unlad na geometriko.

Denominator ng Geometric maaaring tumagal ng anumang halaga maliban sa at.

• Kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad ay may parehong pag-sign - positibo sila;
• kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga kasapi ng pag-unlad na kahalili ng mga palatandaan;
• sa - ang pag-unlad ay tinatawag na walang katapusang pagbawas.

Pagkakatulad ng mga kasapi ng isang pag-unlad na geometriko - .

Ang kabuuan ng mga kasapi ng isang pag-unlad na geometriko kinakalkula ng formula:
o

\u003e\u003e Matematika: Pagsulong ng Geometric

Para sa kaginhawaan ng mambabasa, ang seksyon na ito ay sumusunod sa eksaktong kaparehong plano tulad ng pagsunod sa amin sa nakaraang seksyon.

1. Pangunahing konsepto.

Kahulugan Ang isang pagkakasunud-sunod ng bilang, ang lahat ng mga kasapi nito ay naiiba sa 0 at bawat term na kung saan, simula sa pangalawa, ay nakuha mula sa nakaraang term sa pamamagitan ng pagpaparami nito ng parehong numero ay tinatawag na isang pag-unlad na geometriko. Sa kasong ito, ang bilang 5 ay tinatawag na denominator ng isang pag-unlad na geometriko.

Samakatuwid, ang isang pag-unlad na geometriko ay isang pagkakasunud-sunod ng bilang (b n) na ibinigay nang paulit-ulit ng mga ugnayan

Posible ba, sa pamamagitan ng pagtingin sa pagkakasunud-sunod ng numero, upang matukoy kung ito ay isang pag-unlad na geometriko? Maaari Kung kumbinsido ka na ang ratio ng sinumang miyembro ng pagkakasunud-sunod sa nakaraang miyembro ay pare-pareho, pagkatapos ay mayroon kang isang pag-unlad na geometriko.
Halimbawa 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
B 1 \u003d 1, q \u003d 3.

Halimbawa 2.

Ito ay isang pag-unlad na geometriko kung saan
Halimbawa 3.

Ito ay isang pag-unlad na geometriko kung saan
Halimbawa 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Ito ay isang geometric na pag-unlad na may b 1 - 8, q \u003d 1.

Tandaan na ang pagkakasunud-sunod na ito ay isang pag-unlad din ng aritmetika (tingnan ang Halimbawa 3 sa § 15).

Halimbawa 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Ito ay isang pag-unlad na geometriko kung saan b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Malinaw na, ang isang pag-unlad na geometriko ay isang pagtaas ng pagkakasunud-sunod kung b 1\u003e 0, q\u003e 1 (tingnan ang halimbawa 1), at pagbawas kung b 1\u003e 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Upang ipahiwatig na ang pagkakasunud-sunod (b n) ay isang pag-unlad na geometriko, ang sumusunod na notasyon kung minsan ay maginhawa:

Pinalitan ng icon ang pariralang "pag-unlad na geometriko".
Tandaan natin ang isang usisero at sa parehong oras ay halatang pag-aari ng pag-unlad na geometriko:
Kung ang pagkakasunud-sunod ay isang pag-unlad na geometriko, pagkatapos ay ang pagkakasunud-sunod ng mga parisukat, ibig sabihin ay isang exponential na pag-unlad.
Sa pangalawang pag-unlad na geometriko, ang unang termino ay katumbas ng a ay q 2.
Kung itatapon namin ng exponentially ang lahat ng mga term na sumusunod sa b n, makakakuha kami ng isang may hangganang pag-unlad na geometriko
Sa mga kasunod na talata ng seksyong ito, isasaalang-alang namin ang pinakamahalagang mga katangian ng isang pag-unlad na geometriko.

2. Formula ng n-th na term ng isang pag-unlad na geometriko.

Isaalang-alang ang isang pag-unlad na geometriko denominator q. Meron kami:

Madaling hulaan na para sa anumang numero n ang pagkakapantay-pantay

Ito ang pormula para sa ika-n na term ng isang pag-unlad na geometriko.

Magkomento.

Kung nabasa mo ang isang mahalagang pangungusap mula sa nakaraang talata at nauunawaan ito, pagkatapos ay subukang patunayan ang pormula (1) sa pamamagitan ng pamamaraan ng induction ng matematika, katulad ng kung paano ito nagawa para sa pormula para sa ika-n na term ng isang pag-unlad na aritmetika.

Isulat muli ang formula para sa ika-n na kataga ng pag-unlad na geometriko

at ipakilala ang notasyon: Nakukuha namin ang y \u003d mq 2, o, nang mas detalyado,
Ang argumento x ay nilalaman sa isang exponent, kaya't ito ay tinatawag na exponential function. Nangangahulugan ito na ang isang pag-unlad na geometriko ay maaaring matingnan bilang isang exponential function na tinukoy sa itinakdang N ng mga natural na numero. Sa igos Ipinapakita ng 96a ang grapiko ng pagpapaandar Fig. 966 - graph ng pag-andar Sa parehong mga kaso, mayroon kaming mga nakahiwalay na puntos (na may abscissas x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, atbp.) Nakahiga sa isang tiyak na kurba (ang parehong mga numero ay nagpapakita ng parehong kurba, na matatagpuan lamang nang magkakaiba at inilalarawan sa iba't ibang mga antas). Ang curve na ito ay tinatawag na exponential. Higit pang impormasyon tungkol sa exponential function at ang grap nito ay tatalakayin sa 11th grade na kurso sa algebra.

Balikan natin ang mga halimbawa 1-5 mula sa nakaraang talata.

1) 1, 3, 9, 27, 81, .... Ito ay isang pag-unlad na geometriko, kung saan b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Isulat natin ang formula para sa ika-n na term
2) Ito ay isang pag-unlad na geometriko, kung saan Isulat natin ang formula para sa ika-n na term

Ito ay isang pag-unlad na geometriko kung saan Isulat natin ang formula para sa ika-n na term
4) 8, 8, 8, ..., 8, .... Ito ay isang pag-unlad na geometriko, kung saan b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Isulat natin ang formula para sa ika-n na term
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... Ito ay isang pag-unlad na geometriko kung saan b 1 \u003d 2, q \u003d -1. Isulat natin ang formula para sa ika-n na term

Halimbawa 6.

Ibinibigay ang isang pag-unlad na geometriko

Sa lahat ng mga kaso, ang solusyon ay batay sa formula para sa ika-n na kataga ng pag-unlad na geometriko

a) Paglalagay ng n-th term ng pag-unlad na geometric n \u003d 6 sa pormula, nakukuha natin

b) Mayroon kaming

Dahil 512 \u003d 2 9, makakakuha tayo ng n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Mayroon kaming

Halimbawa 7.

Ang pagkakaiba sa pagitan ng ikapito at ikalimang termino ng pag-unlad na geometriko ay 48, ang kabuuan ng ikalima at ikaanim na termino ng pag-unlad ay 48 din. Hanapin ang ikalabindal na termino ng pagsulong na ito.

Unang hakbang. Pagguhit ng isang modelo ng matematika.

Ang mga kundisyon ng problema ay maaaring nakasulat nang maikling tulad ng sumusunod:

Gamit ang formula para sa ika-n na term ng pag-unlad na geometriko, nakukuha namin ang:
Pagkatapos ang pangalawang kondisyon ng problema (b 7 - b 5 \u003d 48) ay maaaring nakasulat sa form

Ang pangatlong kalagayan ng problema (b 5 + b 6 \u003d 48) ay maaaring isulat bilang

Bilang isang resulta, nakakakuha kami ng isang sistema ng dalawang mga equation na may dalawang variable b 1 at q:

na kung saan, kasama ng nabanggit na kundisyon 1), ay isang modelo ng matematika ng problema.

Pangalawang yugto.

Paggawa gamit ang pinagsamang modelo. Pagkukumpara sa mga kaliwang bahagi ng parehong mga equation ng system, nakukuha namin ang:

(hinati namin ang magkabilang panig ng equation sa isang nonzero expression b 1 q 4).

Mula sa equation q 2 - q - 2 \u003d 0 matatagpuan natin ang q 1 \u003d 2, q 2 \u003d -1. Ang pagpapalit ng halagang q \u003d 2 sa pangalawang equation ng system, nakukuha namin
Ang pagpapalit ng halagang q \u003d -1 sa pangalawang equation ng system, nakukuha namin ang b 1 1 0 \u003d 48; walang solusyon ang equation na ito.

Kaya, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - ang pares na ito ay isang solusyon ng binubuo na sistema ng mga equation.

Ngayon ay maaari naming isulat ang pag-unlad na geometriko na tinukoy sa problema: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

Ikatlong yugto.

Ang sagot sa tanong na may problema. Kinakailangan upang makalkula ang b 12. Meron kami

Sagot: b 12 \u003d 2048.

3. Ang pormula para sa kabuuan ng mga kasapi ng isang may hangganang pag-unlad na geometriko.

Hayaang maibigay ang isang may hangganang pag-unlad na geometriko

Hayaang ipahiwatig ng S n ang kabuuan ng mga termino nito, ibig sabihin

Kumuha ng isang formula para sa paghahanap ng halagang ito.

Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso, kapag q \u003d 1. Kung gayon ang pag-unlad na geometriko b 1, b 2, b 3, ..., bn ay binubuo ng mga n na numero na katumbas ng b 1, iyon ay, ang pag-unlad ay may form na b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Ang kabuuan ng mga bilang na ito ay nb 1.

Hayaan ngayon ang q \u003d 1 Upang makahanap ng S n, naglalapat kami ng isang artipisyal na pamamaraan: magsagawa ng ilang mga pagbabago sa ekspresyong S n q. Meron kami:

Gumagawa ng mga pagbabago, una, ginamit namin ang kahulugan ng isang pag-unlad na geometriko, ayon sa kung saan (tingnan ang pangatlong linya ng pangangatuwiran); pangalawa, idinagdag at binawasan nila kung bakit ang kahulugan ng pagpapahayag, syempre, ay hindi nagbago (tingnan ang ika-apat na linya ng pangangatuwiran); pangatlo, ginamit namin ang formula para sa ika-n na term ng isang pag-unlad na geometriko:

Mula sa pormula (1) nakita namin:

Ito ang pormula para sa kabuuan ng n mga tuntunin ng isang pag-unlad na geometriko (para sa kaso kung q \u003d 1).

Halimbawa 8.

Ang isang may hangganang pag-unlad na geometriko ay ibinigay

a) ang kabuuan ng mga kasapi ng pag-unlad; b) ang kabuuan ng mga parisukat ng mga kasapi nito.

b) Sa itaas (tingnan sa p. 132) napansin na natin na kung ang lahat ng mga term ng isang pag-unlad na geometriko ay parisukat, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang geometric na pag-unlad na may unang term na b 2 at ang denominator q 2. Pagkatapos ang kabuuan ng anim na miyembro ng bagong pag-unlad ay makakalkula ng

Halimbawa 9.

Hanapin ang ika-8 term ng isang pag-unlad na geometriko kasama

Sa katunayan, napatunayan namin ang sumusunod na teorama.

Ang isang pagkakasunud-sunod ng bilang ay isang pag-unlad na geometriko kung at kung ang parisukat lamang ng bawat miyembro nito, maliban sa unang Theorem (at ang huli, sa kaso ng isang may hangganan na pagkakasunud-sunod), ay katumbas ng produkto ng nauna at kasunod na mga termino ( katangian ng pag-aari ng isang pag-unlad na geometriko).