Kopyevskaya rural na sekundaryong paaralan

10 mga paraan upang malutas ang mga equation ng quadratic

Ulo: Galina Anatolyevna Patrikeyeva,

guro ng matematika

nayon Kopyevo, 2007

1. Ang kasaysayan ng pag-unlad ng mga equation ng quadratic

1.1 Mga Parehong Quadratic sa Sinaunang Babilonya

1.2 Paano Inophantus Pinagsama at Malutas na Mga Katangian ng Quadratic

1.3 Mga equation na Quadratic sa India

1.4 Mga equation ng Quadratic mula sa al-Khorezmi

1.5 Mga equation ng Quadratic sa Europa XIII - XVII siglo

1.6 Tungkol sa teorema ni Vieta

2. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng quadratic

Konklusyon

Panitikan

1. Ang kasaysayan ng pag-unlad ng mga equation ng quadratic

1.1 Mga Parehong Quadratic sa Sinaunang Babilonya

Ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin sa pangalawang degree kahit noong sinaunang panahon ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na nauugnay sa paghahanap ng mga lugar ng lupa at mga gawaing lupa ng isang likas na militar, pati na rin sa pag-unlad ng astronomiya at matematika mismo. Ang mga equation ng kuwadratik ay nagawang malutas sa paligid ng 2000 BC. e. Babilonyanhon.

Gamit ang modernong notasyon ng algebra, maaari nating sabihin na sa kanilang mga teksto ng cuneiform ay mayroong, bilang karagdagan sa mga hindi kumpleto, tulad, halimbawa, kumpletong mga equation ng quadratic:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Ang panuntunan para sa paglutas ng mga equation na ito, na nakasaad sa mga teksto ng Babilonya, nagkakasabay sa kaibuturan ng mga moderno, ngunit hindi alam kung paano nakarating ang mga Babilonyang ito sa patakaran. Halos lahat ng mga teksto ng cuneiform na natagpuan hanggang ngayon ay nagbibigay lamang ng mga problema sa mga solusyon na itinakda sa anyo ng mga recipe, nang walang mga tagubilin kung paano sila natagpuan.

Sa kabila ng mataas na antas ng pag-unlad ng algebra sa Babilonya, ang mga teksto ng cuneiform ay kulang sa konsepto ng isang negatibong numero at pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng quadratic.

1.2 Paano inipon at nalutas ni Diophantus ang mga equation na quadratic.

Sa "Arithmetic" ng Diophantus walang sistematikong pagtatanghal ng algebra, ngunit naglalaman ito ng isang sistematikong serye ng mga problema, sinamahan ng mga paliwanag at nalutas sa pamamagitan ng pagguhit ng mga equation ng iba't ibang mga degree.

Kapag gumuhit ng mga equation, husay na pinipili ng Diophantus ang mga hindi alam upang gawing simple ang solusyon.

Narito, halimbawa, ay isa sa kanyang mga gawain.

Suliranin 11. Maghanap ng dalawang numero, alam na ang kanilang kabuuan ay 20 at ang produkto ay 96

Ang argumento ni Diophantus ay sumusunod: sumusunod ito sa kondisyon ng problema na ang mga hinahangad na numero ay hindi pantay, dahil kung sila ay pantay, kung gayon ang kanilang produkto ay magiging pantay na hindi 96, ngunit 100. Sa gayon, ang isa sa kanila ay magiging higit sa kalahati ng kanilang kabuuan, i.e. ... 10 + x , ang iba ay mas mababa, i.e. 10 - x ... Ang pagkakaiba sa pagitan nila 2x .

Samakatuwid ang equation:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96

x 2 - 4 \u003d 0 (1)

Mula rito x \u003d 2 ... Ang isa sa mga kinakailangang numero ay 12 , iba pa 8 ... Desisyon x \u003d -2 para sa Diophantus ay hindi umiiral, dahil ang mga matematika sa matematika ay nakakaalam lamang ng mga positibong numero.

Kung malutas natin ang problemang ito, ang pagpili ng isa sa mga kinakailangang numero bilang hindi alam, pagkatapos ay makarating kami sa solusyon ng equation

y (20 - y) \u003d 96,

y 2 - 20y + 96 \u003d 0. (2)

Malinaw na sa pamamagitan ng pagpili ng kalahating kaibahan ng mga hinahangad na numero bilang hindi alam, pinapadali ng Diophantus ang solusyon; namamahala siya upang mabawasan ang problema sa paglutas ng isang hindi kumpletong quadratic equation (1).

1.3 Quadratic Equation sa India

Ang mga problema para sa mga equation ng quadratic ay nakatagpo sa astronomical tract na "Aryabhattiam", na naipon sa 499 ng Indian matematiko at astronomo na si Aryabhatta. Ang isa pang iskolar ng India, Brahmagupta (siglo VII), ay nagbigay ng pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga equation ng quadratic, nabawasan sa isang solong kanonikal na form:

ah 2 + b x \u003d c, isang\u003e 0. (1)

Sa equation (1), ang mga koepisyente, maliban at , maaaring negatibo. Ang panuntunan Brahmagupta ay mahalagang kapareho sa atin.

Sa sinaunang India, ang kumpetisyon sa publiko para sa mga mahirap na problema ay karaniwan. Ang isa sa mga sinaunang libro sa India ay nagsasabi tungkol sa mga naturang kumpetisyon: "Habang ang araw ay nag-eclip sa mga bituin na may katalinuhan, kaya't ang isang natutunan na lalaki ay lilitaw ang kaluwalhatian ng isa pa sa mga tanyag na asembliya, na nagmumungkahi at malulutas ang mga problema sa algebra." Ang mga problema ay madalas na nakadamit sa pormula ng patula.

Narito ang isa sa mga gawain ng sikat na Indian matematiko sa siglo XII. Bhaskaras.

Suliranin 13.

"Frisky kawan ng mga unggoy At labindalawang kasama ang mga puno ng ubas ...

Pagkatapos kumain ng kuryente, nagsaya. Nagsimula silang tumalon, nakabitin ...

May ikawalong bahagi sa kanila sa plaza Gaano karaming mga unggoy ang naroon,

Naging masaya ako sa pag-clear. Sinabi mo sa akin, sa pack na ito? "

Ang solusyon ni Bhaskara ay nagpapahiwatig na alam niya ang tungkol sa dalawang may halaga na mga ugat ng quadratic equation (Larawan 3).

Equation na naaayon sa problema 13:

( x /8) 2 + 12 = x

Sinusulat ni Bhaskara sa ilalim ng pangkat:

x 2 - 64x \u003d -768

at upang makumpleto ang kaliwang bahagi ng equation na ito sa isang parisukat, nagdaragdag sa magkabilang panig 32 2 , pagkatapos ay pagkuha:

x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

(x - 32) 2 \u003d 256,

x - 32 \u003d ± 16,

x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.

1.4 Mga equation ng Quadratic para sa al - Khorezmi

Sa algebraic treatise al - Khorezmi isang pag-uuri ng mga linear at quadratic equation ay ibinigay. Ang may-akda ay binibilang ng 6 na uri ng mga equation, na nagpapahiwatig ng mga sumusunod:

1) "Ang mga parisukat ay pantay sa mga ugat", i.e. palakol 2 + c \u003d b x.

2) "Ang mga parisukat ay pantay sa isang numero", i.e. palakol 2 \u003d c.

3) "Ang mga ugat ay pantay sa bilang", i.e. ah \u003d c.

4) "Mga parisukat at numero ay pantay sa mga ugat", ibig sabihin palakol 2 + c \u003d b x.

5) "Ang mga parisukat at ugat ay katumbas ng isang bilang", i.e. ah 2 + bx \u003d s.

6) "Ang mga ugat at numero ay pantay sa mga parisukat", i.e. bx + c \u003d ax 2.

Para sa al - Khorezmi, na umiwas sa paggamit ng mga negatibong numero, ang mga termino ng bawat isa sa mga equation na ito ay idinagdag, hindi binabawas. Sa kasong ito, ang mga equation na walang positibong solusyon ay hindi isinasaalang-alang. Inilarawan ng may-akda ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation sa itaas, gamit ang mga pamamaraan ng al-jabr at al-muqabal. Siyempre, ang kanyang desisyon ay hindi ganap na nag-tutugma sa atin. Bukod sa katotohanan na ito ay puro retorika, dapat itong pansinin, halimbawa, na kapag ang paglutas ng isang hindi kumpletong kuwadradong equation ng unang uri

al - Khorezmi, tulad ng lahat ng mga matematiko hanggang ika-17 siglo, ay hindi isinasaalang-alang ang zero solution, marahil dahil hindi mahalaga sa mga tiyak na praktikal na problema. Kapag nalutas ang kumpletong mga equation ng quadratic, ang al - Khorezmi, gamit ang mga partikular na halimbawa ng numero, ay nagtatakda ng mga panuntunan para sa paglutas, at pagkatapos ay mga geometric na mga patunay.

Suliranin 14. "Ang parisukat at ang bilang 21 ay pantay sa 10 mga ugat. Hanapin ang ugat " (nagpapahiwatig ng ugat ng equation x 2 + 21 \u003d 10x).

Ang solusyon ng may-akda ay napupunta sa isang bagay tulad nito: hatiin ang bilang ng mga ugat sa kalahati, kumuha ng 5, dumami ng 5 sa kanyang sarili, ibawas ang 21 mula sa produkto, magkakaroon ng 4. Kunin ang ugat ng 4, makakakuha ka ng 2. Magbawas ng 2 mula sa 5, makakakuha ka ng 3, ito ang magiging nais na ugat. O magdagdag ng 2 hanggang 5, na nagbibigay ng 7, ito ay isang ugat din.

Ang treatise al - Khorezmi ay ang unang libro na bumaba sa amin, kung saan ang pag-uuri ng mga equation ng quadratic ay sistematikong ipinakita at ibinigay ang mga formula para sa kanilang solusyon.

1.5 Quadratic equation sa Europa XIII - XVII cc

Ang mga formula para sa paglutas ng mga equation ng quadratic sa modelo ng al - Khorezmi sa Europa ay unang nailahad sa "Aklat ni Abacus" na isinulat noong 1202 sa pamamagitan ng Italyanong matematiko na si Leonardo Fibonacci. Ang napakalaking gawa na ito, na sumasalamin sa impluwensya ng matematika, kapwa sa mga bansa ng Islam at sa Sinaunang Greece, ay nakikilala sa pamamagitan ng parehong pagkumpleto at kalinawan ng pagtatanghal. Malaya na binuo ng may-akda ang ilang mga bagong halimbawa ng algebraic sa paglutas ng mga problema at ito ang una sa Europa na lumapit sa pagpapakilala ng mga negatibong numero. Ang kanyang libro ay nag-ambag sa pagkalat ng kaalaman ng algebraic hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansa sa Europa. Maraming mga problema mula sa "Aklat ng Abacus" ay inilipat sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa Europa noong ika-16 - ika-17 siglo. at bahagyang XVIII.

Ang pangkalahatang panuntunan para sa paglutas ng mga equation ng quadratic ay nabawasan sa isang solong kanonikal na form:

x 2 + bx \u003d s,

sa lahat ng posibleng mga kumbinasyon ng mga palatandaan ng koepisyent b , mula sa ay nabalangkas sa Europa lamang noong 1544 ni M. Stiefel.

Ang Vieta ay may pangkalahatang derivation ng formula para sa paglutas ng isang kuwadradong equation, ngunit kinilala lamang ng Vieta ang mga positibong ugat. Ang mga matematiko sa Italya na si Tartaglia, Cardano, Bombelli ay kabilang sa una sa ika-16 na siglo. Isaalang-alang, bilang karagdagan sa positibo, at negatibong mga ugat. Noong ika-17 siglo lamang. Salamat sa gawain ng Girard, Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng quadratic ay kinakailangan sa isang modernong form.

1.6 Tungkol sa teorema ni Vieta

Ang isang teorem na nagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga coefficients ng isang quadratic equation at ang mga ugat nito, na nagngangalang Vieta, ay unang nabuo sa kanya noong 1591 tulad ng sumusunod: "Kung B + D pinarami ng A - A 2 , katumbas BD pagkatapos A pantay SA at pantay D ».

Upang maunawaan ang Vieta, dapat tandaan ng isa iyon AT , tulad ng anumang patinig, ay nangangahulugan para sa kanya ng hindi kilala (ating x), ang mga patinig SA, D - coefficient para sa hindi kilala. Sa wika ng modernong algebra, ang pagbabalangkas sa itaas ng Vieta ay nangangahulugang: kung

(isang + b ) x - x 2 \u003d ab ,

x 2 - (a + b ) x + a b = 0,

x 1 \u003d a, x 2 \u003d b .

Ang pagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga ugat at ang mga koepisyent ng mga equation sa pamamagitan ng pangkalahatang mga formula na isinulat gamit ang mga simbolo, itinatag ng Viet ang pagkakapareho sa mga pamamaraan ng paglutas ng mga equation. Gayunpaman, ang simbolismo ni Vieta ay malayo pa sa modernong anyo nito. Hindi niya nakilala ang mga negatibong numero, at samakatuwid, kapag ang paglutas ng mga equation, itinuturing niya lamang ang mga kaso kapag ang lahat ng mga ugat ay positibo.

2. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng quadratic

Ang mga equation ng quadratic ay ang pundasyon kung saan natitira ang kamangha-manghang edipisyo ng algebra. Ang mga equation ng kwadratic ay malawakang ginagamit sa paglutas ng trigonometric, exponential, logarithmic, hindi makatwiran at transcendental equation at hindi pagkakapantay-pantay. Alam nating lahat kung paano malulutas ang mga equation ng quadratic mula sa paaralan (grade 8), hanggang sa pagtatapos.

Sa modernong lipunan, ang kakayahang magsagawa ng mga aksyon na may mga equation na naglalaman ng isang variable na parisukat ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa maraming mga lugar ng aktibidad at malawakang ginagamit sa pagsasanay sa mga pang-agham at teknikal na pag-unlad. Ito ay napatunayan sa disenyo ng mga sasakyang dagat at ilog, sasakyang panghimpapawid at missile. Sa tulong ng naturang mga kalkulasyon, ang mga tilapon ng paggalaw ng iba't ibang mga katawan, kabilang ang mga object space, ay natutukoy. Ang mga halimbawa na may solusyon ng mga equation ng quadratic ay ginagamit hindi lamang sa pagtataya sa ekonomiya, sa disenyo at pagtatayo ng mga gusali, kundi pati na rin sa pinakasadyang pang-araw-araw na mga pangyayari. Maaaring kailanganin sila sa mga paglalakbay sa kamping, sa mga kaganapan sa palakasan, sa mga tindahan kapag namimili, at sa iba pang mga karaniwang sitwasyon.

Masira natin ang ekspresyon sa mga salik ng nasasakupan nito

Ang antas ng isang equation ay natutukoy ng maximum na halaga ng antas ng variable na naglalaman ng expression. Kung ito ay katumbas ng 2, kung gayon ang tulad ng isang equation ay tinatawag lamang na parisukat.

Kung gagamitin natin ang wika ng mga pormula, kung gayon ang mga pagpapahayag na ito, gaano man ang hitsura, ay maaaring mabawasan sa form kapag ang kaliwang bahagi ng ekspresyon ay binubuo ng tatlong mga termino. Kabilang sa mga ito: ax 2 2 (iyon ay, isang variable na parisukat na may koepisyent), bx (isang hindi kilalang walang parisukat na may koepisyent) at c (isang libreng sangkap, iyon ay, isang ordinaryong numero). Ang lahat ng ito sa kanang bahagi ay katumbas ng 0. Sa kaso kung ang isang katulad na polynomial ay nawawala ang isa sa mga termino ng nasasakupan nito, maliban sa palakol 2, ito ay tinatawag na isang hindi kumpletong quadratic equation. Ang mga halimbawa na may solusyon ng mga naturang problema, ang halaga ng mga variable na kung saan ay madaling mahanap, dapat isaalang-alang muna.

Kung ang expression ay tumitingin sa isang paraan na mayroong dalawang term sa kanang bahagi ng expression, mas tumpak na ax 2 at bx, pinakamadali na makahanap ng x sa pamamagitan ng paglalagay ng variable sa labas ng mga bracket. Ngayon ang aming equation ay magiging ganito: x (ax + b). Karagdagan, nagiging malinaw na ang alinman sa x \u003d 0, o ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng isang variable mula sa sumusunod na expression: ax + b \u003d 0. Ito ay idinidikta ng isa sa mga katangian ng pagpaparami. Ang patakaran ay ang produkto ng dalawang kadahilanan ay nagreresulta sa 0 lamang kung ang isa sa mga ito ay pantay sa zero.

Halimbawa

x \u003d 0 o 8x - 3 \u003d 0

Bilang isang resulta, nakakakuha kami ng dalawang mga ugat ng equation: 0 at 0.375.

Ang mga equation ng ganitong uri ay maaaring ilarawan ang paggalaw ng mga katawan sa ilalim ng pagkilos ng grabidad, na nagsimulang lumipat mula sa isang tiyak na puntong kinuha bilang pinagmulan. Narito ang notasyon ng matematika ay tumatagal ng sumusunod na form: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Pagsusulat ng mga kinakailangang halaga, na tumutugma sa kanang bahagi sa 0 at paghahanap ng mga posibleng hindi nalalaman, maaari mong malaman ang oras na lumipas mula sa sandaling ang katawan ay tumataas hanggang sa sandaling bumagsak ito, pati na rin ang maraming iba pang mga dami. Ngunit pag-uusapan natin ito mamaya.

Pagbuo ng isang Pagpapahayag

Ang panuntunan na inilarawan sa itaas ay posible upang malutas ang mga problemang ito sa mas kumplikadong mga kaso. Isaalang-alang natin ang mga halimbawa kasama ang solusyon ng mga kuwadrong equation ng ganitong uri.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Kumpleto na ang square trinomial na ito. Una, ibahin ang anyo ang expression at salin ito. Mayroong dalawa sa kanila: (x-8) at (x-25) \u003d 0. Bilang isang resulta, mayroon kaming dalawang mga ugat 8 at 25.

Ang mga halimbawa na may solusyon ng mga equation ng quadratic sa grade 9 ay nagbibigay-daan sa pamamaraang ito upang makahanap ng isang variable sa mga expression na hindi lamang ng pangalawa, kundi maging ang pangatlo at pang-apat na mga order.

Halimbawa: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Kapag ang pagpapatunay sa kanang bahagi sa mga kadahilanan na may variable, mayroong tatlo sa kanila, iyon ay, (x + 1), (x-3) at (x + 3).

Bilang isang resulta, nagiging malinaw na ang equation na ito ay may tatlong mga ugat: -3; -1; 3.

Extraction ng square root

Ang isa pang kaso ng isang hindi kumpletong pangalawang pagkakasunod-sunod na equation ay isang expression na kinakatawan sa wika ng mga titik sa isang paraan na ang kanang bahagi ay itinayo mula sa mga bahagi ax 2 at c. Dito, upang makuha ang halaga ng variable, ang libreng termino ay inilipat sa kanang bahagi, at pagkatapos ang parisukat na ugat ay nakuha mula sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay. Dapat pansinin na sa kasong ito, karaniwang mayroong dalawang mga ugat ng equation. Ang mga pagbubukod lamang ay ang pagkakapantay-pantay na hindi naglalaman ng termino c, kung saan ang variable ay katumbas ng zero, pati na rin ang mga variant ng mga expression kapag negatibo ang kanang bahagi. Sa huling kaso, walang mga solusyon sa lahat, dahil ang mga aksyon sa itaas ay hindi maaaring gumanap ng mga ugat. Ang mga halimbawa ng mga solusyon sa mga kuwadrong equation ng ganitong uri ay dapat isaalang-alang.

Sa kasong ito, ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -4 at 4.

Pagkalkula ng lugar ng lupain

Ang pangangailangan para sa ganitong uri ng mga kalkulasyon ay lumitaw sa mga sinaunang panahon, dahil ang pag-unlad ng matematika sa maraming mga paraan sa mga malalayong panahong iyon ay dahil sa pangangailangan na matukoy nang may pinakamaraming katumpakan sa mga lugar at perimeter ng mga plot ng lupa.

Ang mga halimbawa ng paglutas ng mga equation ng quadratic batay sa mga problema ng ganitong uri ay dapat isaalang-alang ng amin.

Kaya, sabihin nating mayroong isang hugis-parihaba na piraso ng lupa na 16 metro ang haba kaysa sa lapad nito. Hanapin ang haba, lapad at perimeter ng site kung kilala na ang lugar nito ay 612 m 2.

Pagkuha ng negosyo, unahin muna natin ang kinakailangang equation. Ipakilala natin sa pamamagitan ng x ang lapad ng seksyon, kung gayon ang haba nito ay (x + 16). Mula sa kung ano ang nasulat ay sumusunod na ang lugar ay natutukoy ng expression x (x + 16), na, ayon sa kondisyon ng aming problema, ay 612. Nangangahulugan ito na x (x + 16) \u003d 612.

Ang solusyon ng kumpletong mga equation ng quadratic, at ang expression na ito ay lamang iyon, hindi maaaring gawin sa parehong paraan. Bakit? Bagaman ang kaliwang bahagi nito ay naglalaman pa rin ng dalawang mga kadahilanan, ang produkto ay hindi katumbas 0 sa lahat, kaya ang iba pang mga pamamaraan ay nalalapat dito.

Hindi mapaniniwalaan

Una sa lahat, gagawin namin ang mga kinakailangang pagbabago, kung gayon ang hitsura ng expression na ito ay magmukhang ganito: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Nangangahulugan ito na nakakuha kami ng isang expression sa form na naaayon sa naunang ipinapahiwatig na pamantayan, kung saan ang isang \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Maaari itong maging isang halimbawa ng paglutas ng mga equation ng quadratic sa pamamagitan ng discriminant. Narito ang mga kinakailangang kalkulasyon ay ginawa ayon sa pamamaraan: D \u003d b 2 - 4ac. Ang katulong na katulong na ito ay hindi lamang posible upang mahanap ang mga kinakailangang dami sa equation ng pangalawang-order, tinutukoy nito ang bilang ng mga posibleng pagpipilian. Kung D\u003e 0, mayroong dalawa sa kanila; para sa D \u003d 0, may isang ugat. Kung D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Tungkol sa mga ugat at kanilang pormula

Sa aming kaso, ang discriminant ay: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Ipinapahiwatig nito na ang aming problema ay may sagot. Kung alam mo, k, ang solusyon ng mga equation ng quadratic ay dapat ipagpatuloy gamit ang pormula sa ibaba. Pinapayagan ka nitong kalkulahin ang mga ugat.

Nangangahulugan ito na sa ipinakita na kaso: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Ang pangalawang pagpipilian sa problemang ito ay hindi maaaring solusyon, dahil ang mga sukat ng plot ng lupa ay hindi masusukat sa mga negatibong halaga, na nangangahulugang x (iyon ay, ang lapad ng balangkas) ay 18 m.Mula dito kinakalkula namin ang haba: 18 + 16 \u003d 34, at ang perimeter 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Mga halimbawa at gawain

Patuloy kaming pinag-aralan ang mga equation ng quadratic. Ang mga halimbawa at isang detalyadong solusyon sa ilan sa mga ito ay ibibigay sa ibaba.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Inilipat namin ang lahat sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, gumawa ng isang pagbabagong-anyo, iyon ay, nakuha namin ang form ng equation, na kung saan ay karaniwang tinatawag na pamantayan, at pinagsama ito sa zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Pagdaragdag ng mga katulad nito, tinukoy namin ang discriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Kaya ang aming equation ay magkakaroon ng dalawang ugat. Kinakalkula natin ang mga ito ayon sa pormula sa itaas, na nangangahulugang ang una sa kanila ay 4/3, at ang pangalawang 1.

2) Ngayon ibubunyag namin ang mga bugtong ng ibang uri.

Alamin natin kung mayroong anumang mga ugat dito sa lahat x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Upang makakuha ng isang kumpletong sagot, dalhin natin ang polynomial sa naaangkop na pamilyar na form at kalkulahin ang discriminant. Sa halimbawang ito, ang solusyon ng equation ng quadratic ay hindi kinakailangan, dahil ang kakanyahan ng problema ay hindi lahat sa ito. Sa kasong ito, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, na nangangahulugang wala talagang ugat.

Teorema ni Vieta

Maginhawa upang malutas ang mga equation ng quadratic sa pamamagitan ng mga pormula sa itaas at may diskriminasyon, kapag ang parisukat na ugat ay nakuha mula sa halaga ng huli. Ngunit hindi ito palaging nangyayari. Gayunpaman, maraming mga paraan upang makuha ang mga halaga ng mga variable sa kasong ito. Halimbawa: paglutas ng mga equation ng quadratic sa pamamagitan ng teorema ni Vieta. Siya ay pinangalanan sa isang tao na nabuhay noong ika-16 siglo ng Pransya at gumawa ng isang napakatalino na karera salamat sa kanyang talento sa matematika at mga koneksyon sa hukuman. Makikita ang kanyang larawan sa artikulo.

Ang pattern na napansin ng sikat na Pranses ay ang mga sumusunod. Pinatunayan niya na ang mga ugat ng equation sa kabuuan ay ayon sa bilang na pantay sa -p \u003d b / a, at ang kanilang produkto ay tumutugma sa q \u003d c / a.

Ngayon tingnan natin ang mga tukoy na gawain.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Para sa pagiging simple, binago namin ang expression:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Gumagamit tayo ng teorema ng Vieta, ito ang magbibigay sa amin ng sumusunod: ang kabuuan ng mga ugat ay -7, at ang kanilang produkto ay -18. Mula dito nakuha natin na ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -9 at 2. Ang pagkakaroon ng isang tseke, sisiguraduhin namin na ang mga halagang ito ng mga variable ay talagang umaangkop sa expression.

Parabola graph at equation

Ang mga konsepto ng isang quadratic function at quadratic equation ay malapit na nauugnay. Ang mga halimbawa nito ay nabigyan nang mas maaga. Ngayon tingnan natin ang ilan sa mga puzzle ng matematika. Ang anumang pagkakapareho ng inilarawan na uri ay maaaring mailarawan. Ang ganitong relasyon, iginuhit sa anyo ng isang grapiko, ay tinatawag na parabola. Ang iba't ibang uri nito ay ipinapakita sa figure sa ibaba.

Ang anumang parabola ay may isang vertex, iyon ay, isang punto kung saan lumabas ang mga sanga nito. Kung ang isang 0, pupunta sila mataas sa kawalang-hanggan, at kung kailan<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Ang mga visual na representasyon ng mga pag-andar ay makakatulong na malutas ang anumang mga equation, kabilang ang mga quadratic. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na graphical. At ang halaga ng variable x ay ang coordinate ng abscissa sa mga punto kung saan ang linya ng graph ay may mga 0x. Ang mga coordinate ng vertex ay maaaring matagpuan ng naibigay na formula x 0 \u003d -b / 2a. At, paghahalili ang nakuha na halaga sa orihinal na equation ng function, maaari mong malaman ang 0, iyon ay, ang pangalawang coordinate ng vertex ng parabola, na kabilang sa ordinate axis.

Ang intersection ng mga sanga ng parabola na may axc ng abscissa

Mayroong maraming mga halimbawa na may solusyon ng mga equation ng quadratic, ngunit mayroon ding mga pangkalahatang pattern. Isaalang-alang natin ang mga ito. Malinaw na ang intersection ng graph na may 0x axis para sa isang 0 ay posible lamang kung ang 0 ay kukuha ng mga negatibong halaga. At para sa isang<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Kung hindi, D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Ang mga ugat ay maaari ring matukoy mula sa parabola graph. Ang kabaligtaran ay totoo rin. Iyon ay, kung hindi madaling makakuha ng isang visual na imahe ng isang parisukat na pag-andar, maaari mong maihambing ang kanang bahagi ng pagpapahayag sa 0 at malutas ang nagresultang equation. At alam ang mga punto ng intersection sa 0x axis, mas madaling bumuo ng isang graph.

Mula sa kasaysayan

Sa tulong ng mga equation na naglalaman ng isang variable na parisukat, sa mga lumang araw ay hindi lamang nila ginawa ang mga kalkulasyon sa matematika at matukoy ang mga lugar ng mga geometric na hugis. Ang mga nauna ay nangangailangan ng gayong mga kalkulasyon para sa mga magagandang tuklas sa larangan ng pisika at astronomiya, pati na rin para sa paggawa ng mga pagtataya sa astrolohiya.

Tulad ng ipinapalagay ng mga modernong siyentipiko, ang mga naninirahan sa Babilonya ay kabilang sa una upang malutas ang mga equation ng quadratic. Nangyari ito apat na siglo bago ang ating panahon. Siyempre, ang kanilang mga kalkulasyon sa panimula ay naiiba sa mga kasalukuyang tinanggap at naging mas primitive. Halimbawa, ang Mesopotamian matematika ay walang ideya tungkol sa pagkakaroon ng mga negatibong numero. Hindi rin sila pamilyar sa ibang mga subtleties na alam ng anumang mag-aaral ng ating oras.

Marahil kahit na mas maaga kaysa sa mga siyentipiko ng Babilonya, ang sambong mula sa India Baudhayama ay nagsagawa ng solusyon ng mga equation ng quadratic. Nangyari ito mga walong siglo bago ang pagdating ng panahon ni Cristo. Totoo, ang mga equation ng pangalawang pagkakasunud-sunod, ang mga pamamaraan ng paglutas na ibinigay niya, ay ang pinakasimpleng. Bilang karagdagan sa kanya, ang mga matematiko sa Tsina ay interesado rin sa mga katulad na katanungan sa mga lumang araw. Sa Europa, ang mga equation ng quadratic ay nagsimulang malutas lamang sa simula ng ika-13 siglo, ngunit kalaunan ay ginamit sila sa kanilang mga gawa ng mga mahusay na siyentipiko tulad ng Newton, Descartes at marami pang iba.

Quadratic equation - madaling malutas! * Karagdagang sa teksto na "KU".Mga kaibigan, tila, kung ano ang maaaring maging mas madali sa matematika kaysa sa paglutas ng tulad ng isang equation. Ngunit may nagsabi sa akin na marami ang may mga problema sa kanya. Nagpasya akong makita kung gaano karaming mga impression bawat buwan Yandex. Narito ang nangyari, tingnan mo:

Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na halos 70,000 katao sa isang buwan ang naghahanap ng impormasyong ito, at kung ano ang mangyayari sa gitna ng taong pang-akademikong - magkakaroon ng dalawang beses sa maraming mga kahilingan. Hindi ito nakakapagtataka, dahil ang mga lalaki at batang babae na nagtapos mula sa paaralan nang matagal at naghahanda para sa Pinag-isang Pinagsamang Estado ay naghahanap ng impormasyong ito, at ang mga mag-aaral ay naghangad din na mai-refresh ang kanilang memorya.

Sa kabila ng katotohanan na mayroong mga tonelada ng mga site na nagsasabi sa iyo kung paano malutas ang equation na ito, nagpasya akong gawin ang aking bit at i-publish ang materyal. Una, nais kong dumating ang mga bisita sa aking site para sa kahilingan na ito; pangalawa, sa iba pang mga artikulo, pagdating ng pagsasalita ng "KU", magbibigay ako ng isang link sa artikulong ito; pangatlo, sasabihin ko sa iyo ang kaunti pa tungkol sa kanyang solusyon kaysa sa karaniwang nakasaad sa iba pang mga site. Magsimula na tayo!Ang nilalaman ng artikulo:

Ang isang parisukat na equation ay isang equation ng form:

kung saan ang mga koepisyentong,b at may mga di-makatwirang numero, na may isang ≠ 0.

Sa kurso ng paaralan, ang materyal ay ibinibigay sa mga sumusunod na form - ang mga equation ay kondisyon na nahahati sa tatlong klase:

1. Mayroon silang dalawang ugat.

2. * May isang ugat lamang.

3. Walang ugat. Ito ay nagkakahalaga na tandaan dito na wala silang wastong mga ugat.

Paano kinakalkula ang mga ugat? Basta!

Kinakalkula namin ang discriminant. Sa ilalim ng salitang "kakila-kilabot" na salita ay namamalagi ng medyo simpleng pormula:

Ang mga pormula ng ugat ay ang mga sumusunod:

* Ang mga formula na ito ay kailangang kilalanin ng puso.

Maaari mong agad na isulat at magpasya:

Halimbawa:

1. Kung D\u003e 0, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat.

2. Kung D \u003d 0, kung gayon ang equation ay may isang ugat.

3. Kung D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Tingnan natin ang equation:

Kaugnay nito, kapag ang discriminant ay zero, sa kurso ng paaralan sinasabing isang ugat ang nakuha, narito ito ay katumbas ng siyam. Lahat ay tama, ito ay, ngunit ...

Ang view na ito ay medyo hindi tama. Sa katunayan, lumiliko ito ng dalawang ugat. Oo, oo, huwag magulat, lumiliko ang dalawang pantay na ugat, at upang maging tumpak sa matematika, kung gayon ang sagot ay dapat isulat ng dalawang ugat:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Ngunit ganito - isang maliit na pagbabawas. Sa paaralan, maaari mong isulat at sabihin na may isang ugat.

Ngayon ang susunod na halimbawa:

Tulad ng alam natin, ang ugat ng isang negatibong numero ay hindi nakuha, kaya walang solusyon sa kasong ito.

Iyon ang buong proseso ng solusyon.

Quadratic function.

Ipinapakita nito kung paano mukhang ang geometrically ang solusyon. Ito ay napakahalaga na maunawaan (sa hinaharap, sa isa sa mga artikulo, susuriin namin nang detalyado ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay na parisukat).

Ito ay isang function ng form:

kung saan ang mga x at y ay variable

a, b, c - naibigay na mga numero, na may isang. 0

Ang grapiko ay isang parabola:

Iyon ay, lumiliko na sa pamamagitan ng paglutas ng equation ng quadratic na may "y" na katumbas ng zero, nahanap namin ang mga punto ng intersection ng parabola na may x axis. Maaaring mayroong dalawa sa mga puntong ito (positibo ang diskriminasyon), isa (ang diskriminasyon ay zero) at wala (ang negatibo ay negatibo). Higit pa tungkol sa pag-andar ng quadratic maaari mong tingnan artikulo ni Inna Feldman.

Isaalang-alang natin ang ilang mga halimbawa:

Halimbawa 1: Malutas 2x 2 +8 x–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d –192

D \u003d b 2 -4ac \u003d 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Sagot: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d –12

* Posible na agad na hatiin ang kaliwa at kanang panig ng equation sa pamamagitan ng 2, iyon ay, upang gawing simple. Ang mga kalkulasyon ay magiging mas madali.

Halimbawa 2: Magpasya x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –22 c \u003d 121

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484–484 \u003d 0

Nakuha namin ang x 1 \u003d 11 at x 2 \u003d 11

Sa sagot, pinahihintulutan na magsulat ng x \u003d 11.

Sagot: x \u003d 11

Halimbawa 3: Magpasya x 2 –8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –8 c \u003d 72

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64–288 \u003d –224

Ang diskriminado ay negatibo, walang solusyon sa mga tunay na numero.

Sagot: walang solusyon

Ang diskriminaryo ay negatibo. Mayroong solusyon!

Narito pag-uusapan natin ang tungkol sa paglutas ng equation sa kaso kapag nakuha ang isang negatibong diskriminasyon. May nalalaman ka ba tungkol sa mga kumplikadong numero? Hindi ako pupunta sa detalye dito tungkol sa kung bakit at saan sila nanggaling at kung ano ang kanilang tiyak na papel at pangangailangan sa matematika, ito ay isang paksa para sa isang malaking hiwalay na artikulo.

Ang konsepto ng isang kumplikadong numero.

Isang kaunting teorya.

Ang isang kumplikadong numero z ay isang bilang ng form

z \u003d a + bi

kung saan ang a at b ay mga tunay na numero, ako ang tinaguriang yunit ng haka-haka.

isang + bi Ay isang SINGLE NUMBER, hindi karagdagan.

Ang haka-haka na yunit ay pantay sa ugat ng minus one:

Ngayon isaalang-alang ang equation:

Nakakuha kami ng dalawang ugat ng pagbagsak.

Hindi kumpletong quadratic equation.

Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso, ito ay kapag ang koepisyent na "b" o "c" ay katumbas ng zero (o pareho ay pantay sa zero). Madali silang lutasin nang walang anumang diskriminasyon.

Kaso 1. Coefficient b \u003d 0.

Ang equation ay tumatagal ng form:

Magbago tayo:

Halimbawa:

4x 2 –16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d –2

Kaso 2. Kaakibat na may \u003d 0.

Ang equation ay tumatagal ng form:

Nagbabago tayo, nag-factor:

* Ang produkto ay pantay sa zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay pantay sa zero.

Halimbawa:

9x 2 –45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x - 5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 o x - 5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Kaso 3. Mga Coefficients b \u003d 0 at c \u003d 0.

Malinaw dito na ang solusyon sa equation ay palaging magiging x \u003d 0.

Mga kapaki-pakinabang na katangian at mga pattern ng koepisyent.

Mayroong mga katangian na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga equation na may malalaking koepisyent.

atx 2 + bx+ c=0 pagkakapantay-pantay ay humahawak

a + b + c \u003d 0,pagkatapos

- kung para sa koepisyent ng equation atx 2 + bx+ c=0 pagkakapantay-pantay ay humahawak

a + c \u003db, pagkatapos

Ang mga katangiang ito ay makakatulong upang malutas ang isang tiyak na uri ng equation

Halimbawa 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Ang kabuuan ng mga logro ay 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, samakatuwid

Halimbawa 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Ang pagkakapantay-pantay ay natutugunan a + c \u003db, nangangahulugan

Regular ng mga koepisyente.

1. Kung sa equation ax 2 + bx + c \u003d 0 ang koepisyent na "b" ay katumbas ng (isang 2 +1), at ang koepisyent na "c" ay ayon sa bilang na katumbas ng koepisyent na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay

palakol 2 + (isang 2 +1) ∙ а + а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d -а х 2 \u003d –1 / a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0.

x 1 \u003d –6 x 2 \u003d –1/6.

2. Kung sa equation ax 2 - bx + c \u003d 0 ang koepisyent na "b" ay katumbas ng (a 2 +1), at ang koepisyent na "c" ay ayon sa bilang na katumbas ng koepisyent na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay

ax 2 - (isang 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d isang x 2 \u003d 1 / a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation 15x 2 –226x +15 \u003d 0.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. Kung sa equationpalakol 2 + bx - c \u003d 0 koepisyent na "b" ay pantay sa (a 2 - 1), at ang koepisyent na "c" ayon sa bilang na katumbas ng koepisyent na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay pantay

palakol 2 + (isang 2 –1) ∙ х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d - а х 2 \u003d 1 / a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Kung sa equation ax 2 - bx - c \u003d 0 ang koepisyent na "b" ay katumbas ng (a 2 - 1), at ang koepisyent c ay ayon sa bilang na katumbas ng koepisyent na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay

аx 2 - (а 2-1) ∙ х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d а х 2 \u003d - 1 / a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation 10x 2 - 99x –10 \u003d 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Teorema ni Vieta.

Ang teorema ng Vieta ay pinangalanan pagkatapos ng sikat na Pranses na matematiko na si François Vieta. Gamit ang teorema ng Vieta, maaari nating ipahiwatig ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng isang di-makatwirang KE sa mga tuntunin ng mga koepisyente.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Sa kabuuan, ang bilang 14 ay nagbibigay lamang ng 5 at 9. Ito ang mga ugat. Sa pamamagitan ng isang tiyak na kasanayan, gamit ang ipinakita teorema, maaari mong malutas ang maraming mga equation ng kuwadratikong pasalita.

Teorema ni Vieta, bukod dito. maginhawa sa na matapos ang paglutas ng kuwadrong equation sa karaniwang paraan (sa pamamagitan ng discriminant), ang nakuha na mga ugat ay maaaring suriin. Inirerekumenda kong gawin ito palagi.

TRANSFER METHOD

Sa pamamaraang ito, ang koepisyent na "a" ay pinarami ng libreng term, na parang "itinapon" dito, kaya't tinawag itong sa pamamagitan ng "transfer".Ginagamit ang pamamaraang ito kapag madali mong mahahanap ang mga ugat ng isang equation gamit ang teorema ng Vieta at, pinaka-mahalaga, kapag ang discriminant ay isang eksaktong parisukat.

Kung ang at± b + c≠ 0, kung gayon ang pamamaraan ng paglipat ay ginagamit, halimbawa:

2x 2 – 11x +5 = 0 (1) => x 2 – 11x +10 = 0 (2)

Sa pamamagitan ng teorema ng Vieta sa equation (2), madaling matukoy na x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Ang nakuha na mga ugat ng equation ay dapat nahahati ng 2 (dahil ang dalawa ay "itinapon" mula sa x 2), nakukuha namin

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

Ano ang katwiran? Tingnan kung ano ang nangyayari.

Ang mga diskriminaryo ng mga equation (1) at (2) ay pantay-pantay:

Kung titingnan mo ang mga ugat ng mga equation, pagkatapos lamang ang iba't ibang mga denominador ay nakuha, at ang resulta ay nakasalalay nang tumpak sa koepisyent sa x 2:

Ang pangalawa (nabago) na mga ugat ay 2 beses na mas malaki.

Samakatuwid, hinati namin ang resulta sa pamamagitan ng 2.

* Kung muling i-roll namin ang isang tatlo, pagkatapos ay hatiin namin ang resulta ng 3, atbp.

Sagot: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

Sq. ur-ye at exam.

Sasabihin ko sa madaling sabi tungkol sa kahalagahan nito - DAPAT DAPAT MAGING MABUTI nang mabilis at nang walang pag-aatubili, ang mga pormula ng mga ugat at ang diskriminasyon ay dapat kilalanin ng puso. Marami sa mga gawain na bumubuo sa mga gawain ng USE ay nabawasan sa paglutas ng isang parisukat na equation (kabilang ang mga geometric).

Ano ang kapansin-pansin!

1. Ang anyo ng pagsulat ng equation ay maaaring "implicit". Halimbawa, posible ang sumusunod na tala:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 o 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 o 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Kailangan mong dalhin ito sa isang karaniwang form (upang hindi malito kapag nalutas).

2. Alalahanin na ang x ay isang hindi kilalang dami at maaari itong maitaguyod ng anumang iba pang titik - t, q, p, h at iba pa.

», Iyon ay, mga equation ng unang degree. Sa araling ito susuriin natin ang tinatawag na isang kuwadradong equation at kung paano malutas ito.

Ang tinatawag na isang kuwadradong equation

Mahalaga!

Ang antas ng equation ay tinutukoy ng pinakamalaking degree kung saan nakatayo ang hindi kilalang.

Kung ang maximum na kapangyarihan kung saan ang hindi kilalang nakatayo ay "2", magkakaroon ka ng isang kuwadradong equation.

Mga halimbawa ng mga equation ng quadratic

• 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x \u003d 0
• x 2 - 8 \u003d 0

Mahalaga! Ang pangkalahatang pananaw ng equation ng quadratic ay ganito:

Isang x 2 + b x + c \u003d 0

• "A" - ang una o pinakamataas na koepisyent;
• Ang "B" ay ang pangalawang koepisyent;
• Ang "C" ay isang libreng miyembro.

Upang mahanap ang "a", "b" at "c" kailangan mong ihambing ang iyong equation sa pangkalahatang form ng quadratic equation "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Isagawa natin ang pagtukoy sa mga koepisyentong "a", "b" at "c" sa mga equation ng quadratic.

• isang \u003d −1
• b \u003d 1
• c \u003d

  1

  3

• isang \u003d 1
• b \u003d 0.25
• c \u003d 0

• isang \u003d 1
• b \u003d 0
• c \u003d −8

Paano malulutas ang mga equation ng quadratic

Hindi tulad ng mga linear equation, isang espesyal formula para sa paghahanap ng mga ugat.

Tandaan!

Upang malutas ang isang kuwadradong equation na kailangan mo:

• dalhin ang equation ng quadratic sa pangkalahatang form na "ax 2 + bx + c \u003d 0". Iyon ay, "0" lamang ang dapat manatili sa kanang bahagi;
• gumamit ng formula para sa mga ugat:

Kumuha tayo ng isang halimbawa kung paano gumamit ng isang formula upang mahanap ang mga ugat ng isang parisukat na equation. Malutas natin ang equation ng quadratic.

X 2 - 3x - 4 \u003d 0

Ang equation na "x 2 - 3x - 4 \u003d 0" ay nabawasan sa pangkalahatang form na "ax 2 + bx + c \u003d 0" at hindi nangangailangan ng karagdagang mga pagpapagaan. Upang malutas ito, kailangan lang nating mag-aplay ang pormula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang kuwadradong equation.

Tukuyin natin ang mga koepisyentong "a", "b" at "c" para sa equation na ito.

Sa tulong nito, nalulutas ang anumang kuwadrong pantapat.

Sa pormula na "x 1; 2 \u003d", ang radikal na expression ay madalas na pinalitan
"B 2 - 4ac" kasama ang titik na "D" at tinawag na discriminant. Ang paniwala ng diskriminasyon ay tinalakay nang mas detalyado sa aralin na "Ano ang isang diskriminasyon".

Isaalang-alang ang isa pang halimbawa ng isang kuwadradong equation.

x 2 + 9 + x \u003d 7x

Ito ay sa halip mahirap matukoy ang mga koepisyentong "a", "b" at "c" sa form na ito. Dalhin muna natin ang equation sa pangkalahatang form na "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x \u003d 7x
x 2 + 9 + x - 7x \u003d 0
x 2 + 9 - 6x \u003d 0
x 2 - 6x + 9 \u003d 0

Ngayon ay maaari mong gamitin ang root formula.

X 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x \u003d

May mga oras na walang mga ugat sa mga equation ng quadratic. Ang sitwasyong ito ay nangyayari kapag ang isang negatibong numero ay matatagpuan sa ilalim ng ugat sa pormula.

Sa ganitong programa sa matematika, maaari mong malutas ang equation ng quadratic.

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng solusyon sa dalawang paraan:
- gamit ang discriminant
- gamit ang teorema ng Vieta (kung maaari).

Bukod dito, ang sagot ay ipinakita nang eksakto, hindi tinatayang.
Halimbawa, para sa equation \\ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\), ang sagot ay ipinapakita sa form na ito:

Ang program na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga matatandang mag-aaral ng sekundaryong paaralan bilang paghahanda para sa mga pagsubok at pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang pagsusulit, para kontrolin ng mga magulang ang solusyon ng maraming mga problema sa matematika at algebra. O marahil ito ay masyadong mahal para sa iyo na mag-upa ng isang tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O nais mo bang gawin ang iyong araling-aralin sa matematika o algebra na gawin nang mabilis hangga't maaari? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may isang detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari mong isagawa ang iyong sariling pagtuturo at / o turuan ang iyong mga nakababatang kapatid, habang ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga problemang nalutas ay nadaragdagan.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng isang parisukat na polynomial, inirerekumenda namin na pamilyar ka sa kanila.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng isang parisukat na polynomial

Anumang Latin sulat ay maaaring magamit bilang isang variable.
Halimbawa: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) atbp.

Ang mga numero ay maaaring maipasok bilang buo o fractional na numero.
Bukod dito, ang mga fractional number ay maaaring maipasok hindi lamang sa anyo ng isang desimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong bahagi.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga perpektong praksyon
Sa mga bahagi ng perpekto, ang bali ng bahagi mula sa kabuuan ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang punto o isang kuwit.
Halimbawa, maaari kang magpasok ng mga decimals na tulad nito: 2.5x - 3.5x ^ 2

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong praksiyon.
Tanging isang buong bilang ang maaaring magamit bilang numumerador, denominador at buong bahagi ng isang bahagi.

Ang negosyante ay hindi maaaring maging negatibo.

Kapag pumapasok sa isang bilang na bahagi, ang numumer ay nahihiwalay mula sa denominador sa pamamagitan ng isang sign sign: /
Ang buong bahagi ay nahihiwalay mula sa maliit na bahagi ng isang ampersand: &
Input: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Resulta: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) z + \\ frac (1) (7) z ^ 2 \\)

Kapag pumapasok sa isang expression maaaring magamit ang mga bracket... Sa kasong ito, kapag ang paglutas ng isang kuwadradong equation, ang ipinakilala na expression ay pinasimple muna.
Halimbawa: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

Natagpuan na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at maaaring hindi gumana ang programa.
Marahil ay pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Dahil Maraming mga tao na gustong malutas ang problema, nakapila ang iyong kahilingan
Matapos ang ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec ...

kung ikaw napansin ng isang error sa pagpapasya, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung anong gawain magpasya ka at ano pumasok sa bukid.

Ang aming mga laro, puzzle, emulators:

Isang kaunting teorya.

Quadratic equation at ang mga ugat nito. Ang hindi kumpletong mga equation ng quadratic

Ang bawat isa sa mga equation
\\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, \\ quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, \\ quad x ^ 2- \\ frac (4) (9) \u003d 0 \\)
ay may form
\\ (ax ^ 2 + bx + c \u003d 0, \\)
kung saan ang x ay isang variable, a, b at c ay mga numero.
Sa unang equation a \u003d -1, b \u003d 6 at c \u003d 1.4, sa pangalawang a \u003d 8, b \u003d -7 at c \u003d 0, sa pangatlong a \u003d 1, b \u003d 0 at c \u003d 4/9. Ang ganitong mga equation ay tinawag quadratic equation.

Kahulugan.
Quadratic equation ay isang equation ng form ax 2 + bx + c \u003d 0, kung saan ang x ay isang variable, a, b at c ay ilang mga numero, at \\ (a \\ neq 0 \\).

Ang mga numero a, b at c ay ang mga koepisyent ng kuwadradong equation. Ang bilang na tinatawag na unang koepisyent, ang bilang b - ang pangalawang koepisyent at ang bilang c - ang libreng term.

Sa bawat isa sa mga equation ng form ax 2 + bx + c \u003d 0, kung saan \\ (a \\ neq 0 \\), ang pinakadakilang lakas ng variable x ay ang parisukat. Samakatuwid ang pangalan: kuwadradong equation.

Tandaan na ang isang quadratic equation ay tinatawag ding isang equation ng pangalawang degree, dahil ang kaliwang bahagi nito ay isang polynomial ng ikalawang degree.

Ang isang quadratic equation kung saan ang coefficient sa x 2 ay 1 ay tinatawag nabawasan ang quadratic equation... Halimbawa, ang nabawasan na mga equation ng quadratic ay ang mga equation
\\ (x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, \\ quad x ^ 2-6x \u003d 0, \\ quad x ^ 2-8 \u003d 0 \\)

Kung sa quadratic equation ax 2 + bx + c \u003d 0 kahit isang coefficients b o c ay katumbas ng zero, kung gayon ang tulad ng isang equation ay tinatawag hindi kumpleto na quadratic equation... Kaya, ang mga equation -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 ay hindi kumpleto na mga equation ng quadratic. Sa una sa kanila b \u003d 0, sa pangalawang c \u003d 0, sa pangatlong b \u003d 0 at c \u003d 0.

Ang hindi kumpletong quadratic equation ay ng tatlong uri:
1) ax 2 + c \u003d 0, kung saan \\ (c \\ neq 0 \\);
2) ax 2 + bx \u003d 0, kung saan \\ (b \\ neq 0 \\);
3) palakol 2 \u003d 0.

Isaalang-alang natin ang solusyon ng mga equation ng bawat isa sa mga ganitong uri.

Upang malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form ax 2 + c \u003d 0 para sa \\ (c \\ neq 0 \\), ilipat ang libreng termino sa kanang bahagi at hatiin ang magkabilang panig ng equation ng isang:
\\ (x ^ 2 \u003d - \\ frac (c) (a) \\ Rightarrow x_ (1,2) \u003d \\ pm \\ sqrt (- \\ frac (c) (a)) \\)

Dahil \\ (c \\ neq 0 \\), pagkatapos ay \\ (- \\ frac (c) (a) \\ neq 0 \\)

Kung \\ (- \\ frac (c) (a)\u003e 0 \\), kung gayon ang ekwasyon ay may dalawang ugat.

Kung ang \\ (- \\ frac (c) (a) Upang malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form ax 2 + bx \u003d 0 kasama ang \\ (b \\ neq 0 \\) na salik sa kaliwang bahagi at makuha ang equation
\\ (x (ax + b) \u003d 0 \\ Rightarrow \\ left \\ (\\ start (array) (l) x \u003d 0 \\\\ ax + b \u003d 0 \\ end (array) \\ kanan. \\ rightarrow \\ left \\ (\\ start (array) (l) x \u003d 0 \\\\ x \u003d - \\ frac (b) (a) \\ end (array) \\ tama. \\)

Samakatuwid, ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form ax 2 + bx \u003d 0 para sa \\ (b \\ neq 0 \\) ay palaging may dalawang ugat.

Ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form ax 2 2 0 ay katumbas ng equation x 2 \u003d 0 at samakatuwid ay may natatanging ugat 0.

Ang formula para sa mga ugat ng isang kuwadradong equation

Isaalang-alang natin ngayon kung paano nalulutas ang mga kuwadrong pantukoy, kung saan ang parehong mga koepisyent ng mga hindi alam at ang libreng term ay nonzero.

Malutas natin ang equation ng quadratic sa pangkalahatang anyo at bilang isang resulta nakuha namin ang formula para sa mga ugat. Pagkatapos ang formula na ito ay maaaring mailapat upang malutas ang anumang kuwadrong equation.

Malutas ang quadratic equation ax 2 2 bx + c \u003d 0

Ang paghahati ng pareho ng mga bahagi nito sa pamamagitan ng isang, nakukuha namin ang katumbas na nabawasan na quadratic equation
\\ (x ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\)

Binago namin ang equation na ito sa pamamagitan ng pagpili ng parisukat ng binomial:
\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ kaliwa (\\ frac (b) (2a) \\ kanan) ^ 2- \\ kaliwa (\\ frac (b) (2a) \\ kanan) 2 + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\ Rightarrow \\)

Ang radikal na expression ay tinatawag ang diskriminasyon ng kuwadradong equation ax 2 + bx + c \u003d 0 (Latin "discriminant" ay isang discriminator). Ito ay itinalaga ng titik D, i.e.
\\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

Ngayon, gamit ang notasyon ng discriminant, isinusulat namin ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation:
\\ (x_ (1,2) \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (D)) (2a) \\), kung saan \\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

Malinaw na:
1) Kung D\u003e 0, kung gayon ang equation ng quadratic ay may dalawang mga ugat.
2) Kung D \u003d 0, kung gayon ang equation ng parisukat ay may isang ugat \\ (x \u003d - \\ frac (b) (2a) \\).
3) Kung D Kaya, depende sa halaga ng diskriminasyon, ang equation ng quadratic ay maaaring magkaroon ng dalawang mga ugat (para sa D\u003e 0), isang ugat (para sa D \u003d 0), o walang mga ugat (para sa D Kapag nalulutas ang isang kuwadradong equation gamit ang formula na ito, ipinapayong ipagpatuloy ang mga sumusunod paraan:
1) kalkulahin ang discriminant at ihambing ito sa zero;
2) kung ang diskriminasyon ay positibo o katumbas ng zero, pagkatapos ay gamitin ang root formula, kung ang diskriminasyon ay negatibo, isulat mo na walang mga ugat.

Teorema ni Vieta

Ang ibinigay na quadratic equation ax 2 -7x + 10 \u003d 0 ay may mga ugat 2 at 5. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang produkto ay 10. Nakita natin na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent, kinuha gamit ang kabaligtaran na pag-sign, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng term. Ang anumang naibigay na kuwadradong equation na may mga ugat ay nagtataglay ng pag-aari na ito.

Ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent, kinuha na may kabaligtaran na pag-sign, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng term.

Ang mga iyon. Ang teorema ng Vieta ay nagsasaad na ang mga ugat x 1 at x 2 ng nabawasan na parisukat na parisukat x 2 + px + q \u003d 0 ay mayroong:
\\ (\\ left \\ (\\ start (array) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d q \\ end (array) \\ kanan. \\)