Unang antas

Pagbabago ng ekspresyon. Detalyadong Teorya (2019)

Pagbabago ng ekspresyon

Kadalasan naririnig natin ang hindi kasiya-siyang pariralang ito: "pasimplehin ang expression." Karaniwan, sa kasong ito, mayroon kaming ilang uri ng halimaw na tulad nito:

"Oo, mas madali," sabi namin, ngunit ang gayong sagot ay karaniwang hindi gumagana.

Ngayon ituturo ko sa iyo na huwag matakot sa anumang ganoong mga gawain. Bukod dito, sa pagtatapos ng aralin, ikaw mismo ang magpapasimple sa halimbawang ito sa isang (lamang!) ordinaryong numero (oo, sa impiyerno gamit ang mga titik na ito).

Ngunit bago mo simulan ang araling ito, kailangan mong mahawakan ang mga fraction at factor polynomial. Samakatuwid, una, kung hindi mo pa ito nagawa noon, siguraduhing makabisado ang mga paksang "" at "".

Basahin? Kung oo, handa ka na.

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon

Ngayon ay susuriin natin ang mga pangunahing pamamaraan na ginagamit upang gawing simple ang mga expression.

Ang pinakasimple sa kanila ay

1. Nagdadala ng katulad

Ano ang mga katulad? Napagdaanan mo ito noong ika-7 baitang, noong unang lumitaw ang mga titik sa matematika sa halip na mga numero. Magkatulad ang mga termino (monomial) na may parehong bahagi ng titik. Halimbawa, sa kabuuan, tulad ng mga termino ay at.

Naalala?

Upang magdala ng mga katulad na termino ay nangangahulugang magdagdag ng ilang magkakatulad na termino sa isa't isa at makakuha ng isang termino.

Ngunit paano natin pagsasama-samahin ang mga titik? - tanong mo.

Ito ay napakadaling maunawaan kung akala mo na ang mga titik ay ilang uri ng mga bagay. Halimbawa, ang liham ay isang upuan. Saka ano ang expression? Dalawang upuan at tatlong upuan, magkano ito? Tama, upuan: .

Ngayon subukan ang expression na ito:

Upang hindi malito, hayaan ang iba't ibang mga titik na magpahiwatig ng iba't ibang mga bagay. Halimbawa, - ito ay (gaya ng dati) isang upuan, at - ito ay isang mesa. Pagkatapos:

upuan tables chair tables chairs chairs tables

Ang mga numero kung saan ang mga titik sa mga naturang termino ay pinarami ay tinatawag coefficients. Halimbawa, sa monomial ang coefficient ay pantay. At siya ay pantay-pantay.

Kaya, ang panuntunan para sa pagdadala ng katulad:

Mga halimbawa:

Magdala ng katulad:

Mga sagot:

2. (at magkatulad, dahil, samakatuwid, ang mga terminong ito ay may parehong bahagi ng titik).

2. Factorization

Kadalasan ito ang pinakamahalagang bahagi sa pagpapasimple ng mga expression. Pagkatapos mong magbigay ng mga katulad, kadalasan ang nagreresultang expression ay dapat na salik, iyon ay, ipinakita bilang isang produkto. Ito ay lalong mahalaga sa mga fraction: pagkatapos ng lahat, upang mabawasan ang isang fraction, ang numerator at denominator ay dapat na kinakatawan bilang isang produkto.

Dumaan ka sa mga detalyadong paraan ng pag-factor ng mga expression sa paksang "", kaya dito mo na lang tandaan kung ano ang iyong natutunan. Upang gawin ito, lutasin ang ilan mga halimbawa(isasaalang-alang):

Mga solusyon:

3. Pagbabawas ng fraction.

Buweno, ano ang maaaring mas maganda kaysa sa ekis ang bahagi ng numerator at denominator, at itapon ang mga ito sa iyong buhay?

Yan ang kagandahan ng abbreviation.

Ito ay simple:

Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga kadahilanan, maaari silang bawasan, iyon ay, alisin mula sa fraction.

Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa pangunahing katangian ng isang fraction:

Iyon ay, ang kakanyahan ng operasyon ng pagbabawas ay iyon Hinahati namin ang numerator at denominator ng isang fraction sa parehong numero (o sa parehong expression).

Upang bawasan ang isang fraction, kailangan mo:

1) numerator at denominator i-factorize

2) kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng karaniwang mga kadahilanan, maaari silang tanggalin.

Ang prinsipyo, sa palagay ko, ay malinaw?

Nais kong ituon ang iyong pansin sa isang tipikal na pagkakamali sa pagdadaglat. Kahit na ang paksang ito ay simple, ngunit maraming mga tao ang gumagawa ng lahat ng mali, hindi napagtatanto iyon gupitin- ibig sabihin nito hatiin numerator at denominator sa parehong numero.

Walang pagdadaglat kung ang numerator o denominator ay ang kabuuan.

Halimbawa: kailangan mong gawing simple.

Ginagawa ito ng ilan: na talagang mali.

Isa pang halimbawa: bawasan.

"The smartest" will do this:.

Sabihin mo sa akin kung ano ang mali dito? Mukhang: - ito ay isang multiplier, kaya maaari mong bawasan.

Ngunit hindi: - ito ay isang kadahilanan ng isang termino lamang sa numerator, ngunit ang numerator mismo sa kabuuan ay hindi nabubulok sa mga salik.

Narito ang isa pang halimbawa: .

Ang expression na ito ay nabulok sa mga kadahilanan, na nangangahulugan na maaari mong bawasan, iyon ay, hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng:

Maaari mong agad na hatiin sa pamamagitan ng:

Upang maiwasan ang mga ganitong pagkakamali, tandaan ang isang madaling paraan upang matukoy kung ang isang expression ay naka-factor:

Ang aritmetika na operasyon na huling ginawa kapag kinakalkula ang halaga ng expression ay ang "pangunahing". Iyon ay, kung papalitan mo ang ilang (anumang) numero sa halip na mga titik, at subukang kalkulahin ang halaga ng expression, kung gayon kung ang huling aksyon ay multiplikasyon, pagkatapos ay mayroon kaming isang produkto (ang expression ay nabulok sa mga kadahilanan). Kung ang huling aksyon ay karagdagan o pagbabawas, nangangahulugan ito na ang expression ay hindi naka-factor (at samakatuwid ay hindi maaaring bawasan).

Upang ayusin ito, lutasin ito sa iyong sarili ng ilang mga halimbawa:

Mga sagot:

1. Sana hindi ka agad sumugod sa pagputol at? Hindi pa rin sapat na "bawasan" ang mga yunit tulad nito:

Ang unang hakbang ay dapat na i-factorize:

4. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction ay isang kilalang operasyon: naghahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator. Tandaan natin:

Mga sagot:

1. Ang mga denominator at ay coprime, ibig sabihin, wala silang mga karaniwang kadahilanan. Samakatuwid, ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng kanilang produkto. Ito ang magiging common denominator:

2. Narito ang karaniwang denominator ay:

3. Dito, una sa lahat, ginagawa namin ang mga halo-halong praksiyon sa mga hindi wasto, at pagkatapos - ayon sa karaniwang pamamaraan:

Ito ay medyo ibang bagay kung ang mga fraction ay naglalaman ng mga titik, halimbawa:

Magsimula tayo sa simple:

a) Ang mga denominator ay hindi naglalaman ng mga titik

Narito ang lahat ay pareho sa mga ordinaryong numerical fraction: nakakahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator:

ngayon sa numerator maaari kang magdala ng mga katulad, kung mayroon man, at i-factor ang mga ito:

Subukan ito sa iyong sarili:

b) Ang mga denominator ay naglalaman ng mga titik

Tandaan natin ang prinsipyo ng paghahanap ng common denominator na walang mga titik:

Una sa lahat, tinutukoy namin ang mga karaniwang kadahilanan;

Pagkatapos ay isinusulat namin ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;

at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Upang matukoy ang mga karaniwang salik ng mga denominador, una naming i-decompose ang mga ito sa mga simpleng salik:

Binibigyang-diin namin ang mga karaniwang salik:

Ngayon ay isinusulat namin ang mga karaniwang salik nang isang beses at idinaragdag sa kanila ang lahat ng hindi pangkaraniwan (hindi nakasalungguhit) na mga salik:

Ito ang karaniwang denominador.

Bumalik tayo sa mga titik. Ang mga denominador ay ibinibigay sa eksaktong parehong paraan:

Binubulok namin ang mga denominador sa mga salik;

tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na multiplier;

isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;

Pinaparami namin ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Kaya, sa pagkakasunud-sunod:

1) i-decompose ang mga denominator sa mga salik:

2) tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na mga kadahilanan:

3) isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang (hindi nakasalungguhit) na mga kadahilanan:

Kaya ang karaniwang denominador ay narito. Ang unang bahagi ay dapat na i-multiply sa, ang pangalawa - sa:

Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang trick:

Halimbawa: .

Nakikita natin ang parehong mga kadahilanan sa mga denominator, lahat lamang ay may magkakaibang mga tagapagpahiwatig. Ang karaniwang denominator ay:

hanggang sa

hanggang sa

hanggang sa

sa degree.

Gawin nating kumplikado ang gawain:

Paano gumawa ng mga fraction na may parehong denominator?

Tandaan natin ang pangunahing katangian ng isang fraction:

Wala kahit saan na sinasabi na ang parehong numero ay maaaring ibawas (o idagdag) mula sa numerator at denominator ng isang fraction. Dahil hindi ito totoo!

Tingnan para sa iyong sarili: kumuha ng anumang fraction, halimbawa, at magdagdag ng ilang numero sa numerator at denominator, halimbawa, . Ano ang natutunan?

Kaya, isa pang hindi matitinag na tuntunin:

Kapag nagdala ka ng mga fraction sa isang common denominator, gamitin lamang ang multiplication operation!

Ngunit ano ang kailangan mong i-multiply para makakuha?

Dito at paramihin. At i-multiply sa:

Ang mga expression na hindi maaaring i-factor ay tatawaging "elementarya na mga kadahilanan". Halimbawa, ay isang elementary factor. - masyadong. Ngunit - hindi: ito ay nabubulok sa mga kadahilanan.

Paano naman ang expression? Elementary ba?

Hindi, dahil maaari itong i-factor:

(nabasa mo na ang tungkol sa factorization sa paksang "").

Kaya, ang elementarya na mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang isang expression na may mga titik ay isang analogue ng mga simpleng kadahilanan kung saan mo nabubulok ang mga numero. At ganoon din ang gagawin natin sa kanila.

Nakikita natin na ang parehong denominador ay may salik. Mapupunta ito sa common denominator sa kapangyarihan (tandaan kung bakit?).

Ang multiplier ay elementarya, at hindi nila ito pagkakatulad, na nangangahulugan na ang unang bahagi ay kailangan lang na i-multiply dito:

Isa pang halimbawa:

Solusyon:

Bago i-multiply ang mga denominator na ito sa isang gulat, kailangan mong isipin kung paano i-factor ang mga ito? Pareho silang kumakatawan:

ayos! Pagkatapos:

Isa pang halimbawa:

Solusyon:

Gaya ng dati, pinapa-factor namin ang mga denominator. Sa unang denominator, inilalagay lang natin ito sa mga bracket; sa pangalawa - ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Mukhang walang karaniwang mga kadahilanan. Ngunit kung titingnang mabuti, sila ay magkatulad na ... At ang totoo ay:

Kaya't magsulat tayo:

Iyon ay, naging ganito: sa loob ng bracket, ipinagpalit namin ang mga termino, at sa parehong oras, ang tanda sa harap ng fraction ay nagbago sa kabaligtaran. Tandaan, kailangan mong gawin ito nang madalas.

Ngayon dinadala namin sa isang karaniwang denominator:

Nakuha ko? Ngayon suriin natin.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Mga sagot:

Narito dapat nating tandaan ang isa pang bagay - ang pagkakaiba ng mga cube:

Pakitandaan na ang denominator ng pangalawang fraction ay hindi naglalaman ng formula na "square of the sum"! Ang parisukat ng kabuuan ay magiging ganito:

Ang A ay ang tinatawag na hindi kumpletong parisukat ng kabuuan: ang pangalawang termino dito ay ang produkto ng una at huli, at hindi ang kanilang dobleng produkto. Ang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan ay isa sa mga salik sa pagpapalawak ng pagkakaiba ng mga cube:

Paano kung mayroon nang tatlong fraction?

Oo, pareho! Una sa lahat, titiyakin namin na ang maximum na bilang ng mga salik sa mga denominator ay pareho:

Bigyang-pansin: kung babaguhin mo ang mga palatandaan sa loob ng isang bracket, ang sign sa harap ng fraction ay magbabago sa kabaligtaran. Kapag binago natin ang mga senyales sa pangalawang bracket, ang tanda sa harap ng fraction ay mababaligtad muli. Bilang resulta, siya (ang tanda sa harap ng fraction) ay hindi nagbago.

Isinulat namin nang buo ang unang denominator sa karaniwang denamineytor, at pagkatapos ay idinagdag namin dito ang lahat ng mga kadahilanan na hindi pa naisulat, mula sa pangalawa, at pagkatapos ay mula sa pangatlo (at iba pa, kung mayroong higit pang mga praksyon). Ibig sabihin, ito ay ganito:

Hmm ... Sa mga fraction, malinaw kung ano ang gagawin. Ngunit paano ang dalawa?

Ito ay simple: alam mo kung paano magdagdag ng mga fraction, tama? Kaya, kailangan mong tiyakin na ang deuce ay magiging isang fraction! Tandaan: ang fraction ay isang division operation (ang numerator ay hinati sa denominator, kung sakaling bigla mong nakalimutan). At walang mas madali kaysa sa paghahati ng isang numero sa pamamagitan ng. Sa kasong ito, ang numero mismo ay hindi magbabago, ngunit magiging isang fraction:

Eksakto kung ano ang kailangan!

5. Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Well, ang pinakamahirap na bahagi ay tapos na. At nasa unahan natin ang pinakasimpleng, ngunit sa parehong oras ang pinakamahalaga:

Pamamaraan

Ano ang pamamaraan para sa pagkalkula ng isang numeric na expression? Tandaan, isinasaalang-alang ang halaga ng naturang expression:

Nagbilang ka ba?

Dapat itong gumana.

Kaya, pinaalalahanan kita.

Ang unang hakbang ay upang kalkulahin ang antas.

Ang pangalawa ay multiplication at division. Kung mayroong maraming multiplikasyon at dibisyon sa parehong oras, maaari mong gawin ang mga ito sa anumang pagkakasunud-sunod.

At sa wakas, nagsasagawa kami ng karagdagan at pagbabawas. Muli, sa anumang pagkakasunud-sunod.

Ngunit: ang nakakulong na expression ay sinusuri nang wala sa ayos!

Kung maraming bracket ang pinarami o hinati sa bawat isa, sinusuri muna namin ang expression sa bawat isa sa mga bracket, at pagkatapos ay i-multiply o hatiin ang mga ito.

Paano kung may iba pang panaklong sa loob ng mga bracket? Buweno, isipin natin: ang ilang ekspresyon ay nakasulat sa loob ng mga bracket. Ano ang unang dapat gawin kapag sinusuri ang isang expression? Tama, kalkulahin ang mga bracket. Buweno, naisip namin ito: una naming kalkulahin ang mga panloob na bracket, pagkatapos ang lahat ng iba pa.

Kaya, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon para sa expression sa itaas ay ang mga sumusunod (ang kasalukuyang aksyon ay naka-highlight sa pula, iyon ay, ang aksyon na ginagawa ko ngayon):

Okay, simple lang lahat.

Ngunit hindi iyon katulad ng isang ekspresyon na may mga titik, hindi ba?

Hindi, pareho lang! Sa halip na mga pagpapatakbo ng aritmetika ay kinakailangan na gawin ang mga pagpapatakbo ng algebraic, iyon ay, ang mga pagpapatakbo na inilarawan sa nakaraang seksyon: nagdadala ng katulad, pagdaragdag ng mga fraction, pagbabawas ng mga fraction, at iba pa. Ang tanging pagkakaiba ay ang pagkilos ng factoring polynomials (madalas nating ginagamit ito kapag nagtatrabaho sa mga fraction). Kadalasan, para sa factorization, kailangan mong gamitin ang i o alisin lang ang common factor sa mga bracket.

Karaniwan ang aming layunin ay upang kumatawan sa isang expression bilang isang produkto o quotient.

Halimbawa:

Pasimplehin natin ang expression.

1) Una, pinasimple namin ang expression sa mga bracket. Doon mayroon tayong pagkakaiba ng mga fraction, at ang layunin natin ay i-represent ito bilang isang produkto o quotient. Kaya, dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator at idagdag:

Imposibleng pasimplehin ang expression na ito, lahat ng mga kadahilanan dito ay elementarya (naaalala mo pa ba kung ano ang ibig sabihin nito?).

2) Nakukuha namin ang:

Multiplikasyon ng mga fraction: ano ang maaaring maging mas madali.

3) Ngayon ay maaari mong paikliin:

OK tapos na ang lahat Ngayon. Walang kumplikado, tama?

Isa pang halimbawa:

Pasimplehin ang expression.

Una, subukang lutasin ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon.

Una sa lahat, tukuyin natin ang pamamaraan. Una, idagdag natin ang mga fraction sa mga bracket, sa halip na dalawang fraction, isa ang lalabas. Pagkatapos ay gagawin natin ang paghahati ng mga fraction. Well, idinagdag namin ang resulta sa huling fraction. Bibilangin ko nang eskematiko ang mga hakbang:

Ngayon ay ipapakita ko ang buong proseso, tinting ang kasalukuyang aksyon na may pula:

Sa wakas, bibigyan kita ng dalawang kapaki-pakinabang na tip:

1. Kung may mga katulad, dapat dalhin agad. Sa anumang sandali na mayroon tayong mga katulad, ipinapayong dalhin ang mga ito kaagad.

2. Ganoon din sa pagbabawas ng mga fraction: sa sandaling magkaroon ng pagkakataon na bawasan, dapat itong gamitin. Ang pagbubukod ay ang mga fraction na iyong idinaragdag o ibinabawas: kung mayroon na silang parehong mga denominator, kung gayon ang pagbawas ay dapat na iwan para sa ibang pagkakataon.

Narito ang ilang mga gawain na dapat mong lutasin nang mag-isa:

At nangako sa simula pa lang:

Mga Solusyon (maikli):

Kung nakayanan mo ang hindi bababa sa unang tatlong halimbawa, kung gayon ikaw, isaalang-alang, ay pinagkadalubhasaan ang paksa.

Ngayon sa pag-aaral!

CONVERSION NG PAGPAPAHAYAG. BUOD AT BATAYANG FORMULA

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon:

• Nagdadala ng katulad: upang magdagdag (bawasan) tulad ng mga termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at italaga ang bahagi ng titik.
• Factorization: inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, pag-aaplay, atbp.
• Pagbawas ng fraction: ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong di-zero na numero, kung saan ang halaga ng fraction ay hindi nagbabago.
  1) numerator at denominator i-factorize
  2) kung may mga karaniwang salik sa numerator at denominator, maaari silang i-cross out.

  MAHALAGA: ang mga multiplier lamang ang maaaring bawasan!

• Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction:
  ;
• Pagpaparami at paghahati ng mga fraction:
  ;

Online na calculator.
Pagsusuri ng isang expression na may mga numeric na fraction.
Multiplikasyon, pagbabawas, paghahati, pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator.

Gamit ang online na calculator na ito magagawa mo multiply, subtract, divide, add and reduce numerical fractions na may iba't ibang denominator.

Gumagana ang programa sa tama, hindi wasto at magkahalong numeric na fraction.

Ang program na ito (online calculator) ay maaaring:
- magdagdag ng mga mixed fraction na may iba't ibang denominator
- Ibawas ang mga mixed fraction na may iba't ibang denominator
- hatiin ang mga mixed fraction na may iba't ibang denominator
- Multiply mixed fractions na may iba't ibang denominator
- magdala ng mga fraction sa isang common denominator
- I-convert ang mga mixed fraction sa hindi wasto
- bawasan ang mga fraction

Maaari ka ring magpasok ng hindi isang expression na may mga fraction, ngunit isang solong fraction.
Sa kasong ito, ang fraction ay mababawasan at ang integer na bahagi ay pipiliin mula sa resulta.

Ang online na calculator para sa pagkalkula ng mga expression na may mga numerical fraction ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, nagbibigay ito ng isang detalyadong solusyon na may mga paliwanag, i.e. ipinapakita ang proseso ng paghahanap ng solusyon.

Ang program na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sinusubukan ang kaalaman bago ang Pinag-isang Estado na Pagsusulit, para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa paglalagay ng mga expression na may mga numeric na fraction, inirerekomenda namin na maging pamilyar ka sa mga ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga expression na may mga numeric na fraction

Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.

Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.

Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Input: -2/3 + 7/5
Resulta: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5) \)

Ang integer na bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &
Input: -1&2/3 * 5&8/3
Resulta: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3) \)

Ang dibisyon ng mga fraction ay ipinakilala sa pamamagitan ng colon: :
Input: -9&37/12: -3&5/14
Resulta: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
Tandaan na hindi mo maaaring hatiin sa zero!

Maaaring gamitin ang mga panaklong kapag naglalagay ng mga expression na may mga numeric na fraction.
Input: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Resulta: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right): 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3) \)

Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Medyo teorya.

Mga ordinaryong fraction. Dibisyon na may natitira

Kung kailangan nating hatiin ang 497 sa 4, pagkatapos kapag hinati, makikita natin na ang 497 ay hindi mahahati sa 4, i.e. nananatiling natitirang bahagi ng dibisyon. Sa ganitong mga kaso, ito ay sinabi na paghahati sa natitira, at ang solusyon ay nakasulat tulad ng sumusunod:
497: 4 = 124 (1 natitira).

Ang mga bahagi ng paghahati sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay tinatawag na kapareho ng sa paghahati nang walang nalalabi: 497 - dibidendo, 4 - divider. Ang resulta ng paghahati kapag ang paghahati sa isang natitira ay tinatawag hindi kumpletong pribado. Sa aming kaso, ang numerong ito ay 124. At sa wakas, ang huling bahagi, na wala sa karaniwang dibisyon, ay natitira. Kapag walang natitira, ang isang numero ay sinasabing nahahati sa isa pa. walang bakas, o ganap. Ito ay pinaniniwalaan na sa gayong dibisyon, ang natitira ay zero. Sa aming kaso, ang natitira ay 1.

Ang natitira ay palaging mas mababa kaysa sa divisor.

Maaari mong suriin kapag naghahati sa pamamagitan ng pagpaparami. Kung, halimbawa, mayroong pagkakapantay-pantay na 64: 32 = 2, ang tseke ay maaaring gawin tulad nito: 64 = 32 * 2.

Kadalasan sa mga kaso kung saan ang paghahati sa isang natitira ay ginaganap, ito ay maginhawa upang gamitin ang pagkakapantay-pantay
a \u003d b * n + r,
kung saan ang a ay ang dibidendo, ang b ay ang divisor, n ay ang partial quotient, ang r ay ang natitira.

Ang quotient ng dibisyon ng mga natural na numero ay maaaring isulat bilang isang fraction.

Ang numerator ng isang fraction ay ang dibidendo, at ang denominator ay ang divisor.

Dahil ang numerator ng isang fraction ay ang dibidendo at ang denominator ay ang divisor, naniniwala na ang linya ng isang fraction ay nangangahulugan ng aksyon ng paghahati. Minsan ito ay maginhawa upang isulat ang dibisyon bilang isang fraction nang hindi gumagamit ng ":" sign.

Ang quotient ng dibisyon ng mga natural na numero m at n ay maaaring isulat bilang isang fraction \(\frac(m)(n) \), kung saan ang numerator m ay ang dibidendo, at ang denominator n ay ang divisor:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Ang mga sumusunod na patakaran ay tama:

Upang makakuha ng fraction \(\frac(m)(n) \), kailangan mong hatiin ang unit sa n pantay na bahagi (shares) at kunin ang m ganoong mga bahagi.

Upang makuha ang fraction \(\frac(m)(n) \), kailangan mong hatiin ang numerong m sa numero n.

Upang mahanap ang isang bahagi ng isang kabuuan, kailangan mong hatiin ang bilang na tumutugma sa kabuuan sa pamamagitan ng denominator at i-multiply ang resulta sa numerator ng fraction na nagpapahayag ng bahaging ito.

Upang makahanap ng isang buo sa pamamagitan ng bahagi nito, kailangan mong hatiin ang numero na tumutugma sa bahaging ito sa pamamagitan ng numerator at i-multiply ang resulta sa denominator ng fraction na nagpapahayag ng bahaging ito.

Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami ng parehong numero (maliban sa zero), ang halaga ng fraction ay hindi magbabago:
\(\malaki \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay hinati sa parehong numero (maliban sa zero), ang halaga ng fraction ay hindi magbabago:
\(\malaki \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ang ari-arian na ito ay tinatawag na pangunahing katangian ng isang fraction.

Ang huling dalawang pagbabago ay tinatawag pagbawas ng fraction.

Kung ang mga praksyon ay kailangang katawanin bilang mga praksyon na may parehong denominator, kung gayon ang naturang aksyon ay tinatawag pagbabawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Wasto at hindi wastong mga praksiyon. magkahalong numero

Alam mo na na ang isang fraction ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paghahati ng isang kabuuan sa pantay na mga bahagi at pagkuha ng ilang mga bahagi. Halimbawa, ang fraction na \(\frac(3)(4) \) ay nangangahulugan ng tatlong-ikaapat na bahagi ng isa. Sa marami sa mga problema sa nakaraang seksyon, ang mga fraction ay ginamit upang tukuyin ang bahagi ng isang kabuuan. Idinidikta ng sentido komun na ang bahagi ay dapat palaging mas mababa kaysa sa kabuuan, ngunit paano naman ang mga fraction tulad ng \(\frac(5)(5) \) o \(\frac(8)(5) \)? Malinaw na hindi na ito bahagi ng unit. Ito marahil ang dahilan kung bakit ang mga naturang fraction, kung saan ang numerator ay mas malaki kaysa o katumbas ng denominator, ay tinatawag na mga hindi wastong fraction. Ang natitirang mga praksiyon, i.e., mga praksiyon kung saan ang numerator ay mas mababa sa denominator, ay tinatawag wastong fractions.

Tulad ng alam mo, anumang ordinaryong fraction, parehong wasto at hindi wasto, ay maaaring ituring bilang resulta ng paghahati ng numerator sa denominator. Samakatuwid, sa matematika, hindi tulad sa ordinaryong wika, ang terminong "improper fraction" ay hindi nangangahulugan na may nagawa tayong mali, ngunit ang fraction na ito ay may numerator na mas malaki o katumbas ng denominator nito.

Kung ang isang numero ay binubuo ng isang integer na bahagi at isang fraction, kung gayon ay ganoon Ang mga fraction ay tinatawag na halo-halong.

Halimbawa:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 ang integer na bahagi at ang \(\frac(2)(3) \) ay ang fractional na bahagi.

Kung ang numerator ng fraction \(\frac(a)(b) \) ay nahahati sa natural na numero n, kung gayon upang hatiin ang fraction na ito sa n, ang numerator nito ay dapat na hatiin sa numerong ito:
\(\malaki \frac(a)(b): n = \frac(a:n)(b) \)

Kung ang numerator ng fraction \(\frac(a)(b) \) ay hindi nahahati sa natural na numero n, pagkatapos ay upang hatiin ang fraction na ito sa n, kailangan mong i-multiply ang denominator nito sa numerong ito:
\(\malaki \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Tandaan na ang pangalawang tuntunin ay wasto din kapag ang numerator ay nahahati sa n. Samakatuwid, magagamit natin ito kapag mahirap sa unang tingin na matukoy kung ang numerator ng isang fraction ay nahahati sa n o hindi.

Mga aksyon na may mga fraction. Pagdaragdag ng mga fraction.

Sa mga fractional na numero, tulad ng sa mga natural na numero, maaari kang magsagawa ng mga pagpapatakbo ng aritmetika. Tingnan muna natin ang pagdaragdag ng mga fraction. Madaling magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator. Hanapin, halimbawa, ang kabuuan ng \(\frac(2)(7) \) at \(\frac(3)(7) \). Madaling maunawaan na \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong idagdag ang kanilang mga numerator, at iwanan ang denominator na pareho.

Gamit ang mga titik, ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
\(\malaki \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Kung gusto mong magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator, dapat munang bawasan ang mga ito sa isang karaniwang denominator. Halimbawa:
\(\malaki \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Para sa mga fraction, gayundin para sa mga natural na numero, ang commutative at associative na katangian ng karagdagan ay wasto.

Pagdaragdag ng mga mixed fraction

Ang mga recording gaya ng \(2\frac(2)(3) \) ay tinatawag pinaghalong fraction. Ang numero 2 ay tinatawag buong bahagi mixed fraction, at ang numerong \(\frac(2)(3) \) ay nito praksyonal na bahagi. Ang entry na \(2\frac(2)(3) \) ay binabasa nang ganito: "two and two thirds".

Ang paghahati ng numero 8 sa numero 3 ay nagbibigay ng dalawang sagot: \(\frac(8)(3) \) at \(2\frac(2)(3) \). Ipinapahayag nila ang parehong fractional number, ibig sabihin, \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Kaya, ang hindi wastong fraction \(\frac(8)(3) \) ay kinakatawan bilang isang mixed fraction \(2\frac(2)(3) \). Sa ganitong mga kaso, sinasabi nila iyon mula sa isang hindi wastong bahagi iniisa-isa ang kabuuan.

Pagbabawas ng mga fraction (fractional number)

Ang pagbabawas ng mga fractional na numero, pati na rin ang mga natural, ay tinutukoy batay sa pagkilos ng karagdagan: ang pagbabawas ng isa pa mula sa isang numero ay nangangahulugan ng paghahanap ng isang numero na, kapag idinagdag sa pangalawa, ay nagbibigay ng una. Halimbawa:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) mula noong \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)

Ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction na may katulad na denominator ay katulad ng panuntunan para sa pagdaragdag ng mga naturang fraction:
Upang mahanap ang pagkakaiba sa pagitan ng mga fraction na may parehong denominator, ibawas ang numerator ng pangalawa mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na pareho.

Gamit ang mga titik, ang panuntunang ito ay isinulat tulad ng sumusunod:
\(\malaki \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Pagpaparami ng mga fraction

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang kanilang mga numerator at denominator at isulat ang unang produkto bilang numerator at ang pangalawa bilang denominator.

Gamit ang mga titik, ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
\(\malaki \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Gamit ang formulated rule, posibleng i-multiply ang isang fraction sa natural na numero, sa mixed fraction, at paramihin din ang mixed fractions. Upang gawin ito, kailangan mong magsulat ng natural na numero bilang isang fraction na may denominator na 1, isang mixed fraction bilang isang hindi tamang fraction.

Ang resulta ng multiplikasyon ay dapat pasimplehin (kung maaari) sa pamamagitan ng pagbabawas ng fraction at pag-highlight sa integer na bahagi ng hindi tamang fraction.

Para sa mga fraction, gayundin para sa natural na mga numero, ang commutative at associative na katangian ng multiplikasyon ay wasto, pati na rin ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan.

Dibisyon ng mga fraction

Kunin ang fraction \(\frac(2)(3) \) at "i-flip" ito sa pamamagitan ng pagpapalit ng numerator at denominator. Nakukuha namin ang fraction \(\frac(3)(2) \). Ang fraction na ito ay tinatawag baliktarin mga fraction \(\frac(2)(3) \).

Kung "reverse" natin ngayon ang fraction \(\frac(3)(2) \), pagkatapos ay makukuha natin ang orihinal na fraction \(\frac(2)(3) \). Samakatuwid, ang mga fraction gaya ng \(\frac(2)(3) \) at \(\frac(3)(2) \) ay tinatawag magkabaligtaran.

Halimbawa, ang mga fraction na \(\frac(6)(5) \) at \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) at \(\frac (18 )(7) \).

Gamit ang mga titik, ang magkabaligtaran na mga praksiyon ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: \(\frac(a)(b) \) at \(\frac(b)(a) \)

Ito ay malinaw na ang produkto ng mga reciprocal fraction ay 1. Halimbawa: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Gamit ang mga reciprocal fraction, ang paghahati ng mga fraction ay maaaring bawasan sa multiplikasyon.

Ang panuntunan para sa paghahati ng isang fraction sa isang fraction:
Upang hatiin ang isang bahagi sa isa pa, kailangan mong i-multiply ang dibidendo sa pamamagitan ng kapalit ng divisor.

Sa artikulo, ipapakita namin paano lutasin ang mga fraction na may mga simpleng malinaw na halimbawa. Unawain natin kung ano ang isang fraction at isaalang-alang paglutas ng mga fraction!

konsepto mga fraction ay ipinakilala sa kurso ng matematika simula sa ika-6 na baitang ng sekondaryang paaralan.

Ang mga fraction ay mukhang: ±X / Y, kung saan ang Y ang denominator, ito ay nagsasabi kung ilang bahagi ang kabuuan ay hinati, at X ang numerator, ito ay nagsasabi kung gaano karaming mga bahagi ang kinuha. Para sa kalinawan, kumuha tayo ng isang halimbawa sa isang cake:

Sa unang kaso, ang cake ay pinutol nang pantay at isang kalahati ang kinuha, i.e. 1/2. Sa pangalawang kaso, ang cake ay pinutol sa 7 bahagi, kung saan 4 na bahagi ang kinuha, i.e. 4/7.

Kung ang bahagi ng paghahati ng isang numero sa isa pa ay hindi isang buong numero, ito ay nakasulat bilang isang fraction.

Halimbawa, ang expression na 4:2 \u003d 2 ay nagbibigay ng isang integer, ngunit ang 4:7 ay hindi ganap na mahahati, kaya ang expression na ito ay nakasulat bilang isang fraction 4/7.

Sa ibang salita maliit na bahagi ay isang expression na nagsasaad ng paghahati ng dalawang numero o expression, at kung saan ay nakasulat sa isang slash.

Kung ang numerator ay mas mababa sa denominator, ang fraction ay tama, kung vice versa, ito ay mali. Ang isang fraction ay maaaring maglaman ng isang integer.

Halimbawa, 5 buong 3/4.

Ang entry na ito ay nangangahulugan na upang makuha ang buong 6, isang bahagi ng apat ay hindi sapat.

Kung gusto mong maalala kung paano lutasin ang mga fraction para sa ika-6 na baitang kailangan mong maunawaan iyon paglutas ng mga fraction karaniwang bumababa sa pag-unawa sa ilang simpleng bagay.

• Ang isang fraction ay mahalagang isang expression para sa isang fraction. Iyon ay, isang numerical expression ng kung anong bahagi ang isang ibinigay na halaga mula sa isang kabuuan. Halimbawa, ang fraction na 3/5 ay nagpapahayag na kung hahatiin natin ang isang buo sa 5 bahagi at ang bilang ng mga bahagi o bahagi ng kabuuan na ito ay tatlo.
• Ang isang fraction ay maaaring mas mababa sa 1, halimbawa 1/2 (o mahalagang kalahati), kung gayon ito ay tama. Kung ang fraction ay mas malaki kaysa sa 1, halimbawa 3/2 (tatlong kalahati o isa at kalahati), kung gayon ito ay mali at upang pasimplehin ang solusyon, mas mabuting piliin natin ang buong bahagi 3/2= 1 buong 1 /2.
• Ang mga fraction ay kapareho ng mga numero sa 1, 3, 10, at kahit 100, ang mga numero lamang ay hindi buo, ngunit fractional. Sa kanila, maaari mong gawin ang lahat ng parehong mga operasyon tulad ng sa mga numero. Ang pagbibilang ng mga fraction ay hindi mas mahirap, at higit pa ay ipapakita namin ito sa mga partikular na halimbawa.

Paano lutasin ang mga fraction. Mga halimbawa.

Ang iba't ibang mga pagpapatakbo ng arithmetic ay naaangkop sa mga fraction.

Ang pagdadala ng fraction sa isang common denominator

Halimbawa, kailangan mong ihambing ang mga fraction na 3/4 at 4/5.

Upang malutas ang problema, hahanapin muna natin ang pinakamababang karaniwang denominator, i.e. ang pinakamaliit na bilang na nahahati nang walang natitira sa bawat isa sa mga denominador ng mga fraction

Least common denominator(4.5) = 20

Pagkatapos ang denominator ng parehong mga fraction ay binabawasan sa pinakamababang karaniwang denominator

Sagot: 15/20

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction

Kung kinakailangan upang kalkulahin ang kabuuan ng dalawang fraction, ang mga ito ay unang dinadala sa isang karaniwang denominator, pagkatapos ay idinagdag ang mga numerator, habang ang denominator ay nananatiling hindi nagbabago. Ang pagkakaiba ng mga fraction ay isinasaalang-alang sa isang katulad na paraan, ang pagkakaiba lamang ay ang mga numerator ay ibinabawas.

Halimbawa, kailangan mong hanapin ang kabuuan ng mga fraction na 1/2 at 1/3

Ngayon hanapin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga praksyon 1/2 at 1/4

Pagpaparami at paghahati ng mga fraction

Narito ang solusyon ng mga fraction ay simple, ang lahat ay medyo simple dito:

• Multiplikasyon - ang mga numerator at denominator ng mga fraction ay pinarami sa kanilang mga sarili;
• Dibisyon - una ay nakakakuha tayo ng isang fraction, ang kapalit ng pangalawang fraction, i.e. palitan ang numerator at denominator nito, pagkatapos nito ay i-multiply natin ang mga resultang fraction.

Halimbawa:

Tungkol dito paano lutasin ang mga fraction, lahat. Kung mayroon kang anumang mga katanungan tungkol sa paglutas ng mga fraction, may hindi malinaw, pagkatapos ay sumulat sa mga komento at sasagutin ka namin.

Kung ikaw ay isang guro, posible na mag-download ng isang pagtatanghal para sa isang elementarya (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) na madaling gamitin.

Sa salitang "fractions" maraming goosebumps ang tumatakbo. Dahil naaalala ko ang paaralan at ang mga gawain na nalutas sa matematika. Ito ay isang tungkulin na kailangang gampanan. Ngunit paano kung ituturing nating isang palaisipan ang mga gawaing naglalaman ng wasto at hindi wastong mga fraction? Pagkatapos ng lahat, maraming mga nasa hustong gulang ang lumulutas ng mga digital at Japanese na crosswords. Unawain ang mga patakaran at iyon na. Ganun din dito. Ang isa ay dapat lamang bungkalin ang teorya - at ang lahat ay mahuhulog sa lugar. At ang mga halimbawa ay magiging isang paraan upang sanayin ang utak.

Anong mga uri ng fraction ang mayroon?

Magsimula tayo sa kung ano ito. Ang fraction ay isang numero na may ilang fraction ng isa. Maaari itong isulat sa dalawang anyo. Ang una ay tinatawag na ordinaryo. Iyon ay, isa na may pahalang o pahilig na stroke. Ito ay katumbas ng tanda ng dibisyon.

Sa gayong notasyon, ang numero sa itaas ng gitling ay tinatawag na numerator, at sa ibaba nito ay tinatawag na denominator.

Sa mga ordinaryong fraction, nakikilala ang tama at maling fraction. Para sa una, ang modulo numerator ay palaging mas mababa sa denominator. Ang mga mali ay tinatawag na dahil mayroon silang kabaligtaran. Ang halaga ng isang wastong fraction ay palaging mas mababa sa isa. Habang ang mali ay palaging mas malaki kaysa sa numerong ito.

Mayroon ding mga halo-halong numero, iyon ay, ang mga may integer at isang fractional na bahagi.

Ang pangalawang uri ng notasyon ay decimal. Tungkol sa kanyang hiwalay na pag-uusap.

Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng mga improper fraction at mixed number?

Talaga, wala. Ito ay ibang notasyon ng parehong numero. Ang mga hindi wastong fraction pagkatapos ng mga simpleng operasyon ay madaling maging magkahalong numero. At vice versa.

Ang lahat ay nakasalalay sa tiyak na sitwasyon. Minsan sa mga gawain ay mas maginhawang gumamit ng hindi wastong bahagi. At kung minsan ito ay kinakailangan upang isalin ito sa isang halo-halong numero, at pagkatapos ay ang halimbawa ay malulutas nang napakadaling. Samakatuwid, kung ano ang gagamitin: hindi wastong mga fraction, halo-halong mga numero - depende sa pagmamasid ng solver ng problema.

Ang pinaghalong numero ay inihambing din sa kabuuan ng integer na bahagi at ang fractional na bahagi. Bukod dito, ang pangalawa ay palaging mas mababa kaysa sa pagkakaisa.

Paano kinakatawan ang isang pinaghalong numero bilang isang hindi wastong fraction?

Kung gusto mong magsagawa ng ilang aksyon na may ilang mga numero na nakasulat sa iba't ibang anyo, kailangan mong gawin silang pareho. Ang isang paraan ay ang kumakatawan sa mga numero bilang mga hindi wastong fraction.

Para sa layuning ito, kakailanganin mong sundin ang sumusunod na algorithm:

• i-multiply ang denominator sa integer na bahagi;
• idagdag ang halaga ng numerator sa resulta;
• isulat ang sagot sa itaas ng linya;
• iwanan ang denominator na pareho.

Narito ang mga halimbawa ng kung paano sumulat ng mga hindi wastong fraction mula sa mga pinaghalong numero:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Paano magsulat ng isang hindi wastong fraction bilang isang halo-halong numero?

Ang susunod na pamamaraan ay kabaligtaran ng tinalakay sa itaas. Iyon ay, kapag ang lahat ng pinaghalong numero ay pinalitan ng mga hindi wastong fraction. Ang algorithm ng mga aksyon ay ang mga sumusunod:

• hatiin ang numerator sa denominator upang makuha ang natitira;
• isulat ang quotient sa lugar ng integer na bahagi ng pinaghalo;
• ang natitira ay dapat ilagay sa itaas ng linya;
• ang divisor ang magiging denominator.

Mga halimbawa ng naturang pagbabago:

76/14; 76:14 = 5 na may natitirang 6; ang sagot ay 5 integer at 6/14; ang fractional na bahagi sa halimbawang ito ay kailangang bawasan ng 2, makakakuha ka ng 3/7; ang huling sagot ay 5 buong 3/7.

108/54; pagkatapos ng paghahati, ang quotient 2 ay nakuha nang walang natitira; nangangahulugan ito na hindi lahat ng hindi wastong fraction ay maaaring katawanin bilang isang halo-halong numero; ang sagot ay isang integer - 2.

Paano mo gagawing hindi tamang fraction ang isang integer?

May mga sitwasyon kung kailan kailangan ang ganitong aksyon. Upang makakuha ng mga hindi wastong fraction na may paunang natukoy na denominator, kakailanganin mong gawin ang sumusunod na algorithm:

• i-multiply ang isang integer sa nais na denominator;
• isulat ang halagang ito sa itaas ng linya;
• maglagay ng denominator sa ibaba nito.

Ang pinakasimpleng opsyon ay kapag ang denominator ay katumbas ng isa. Pagkatapos ay hindi na kailangang magparami. Ito ay sapat lamang upang magsulat ng isang integer, na ibinigay sa halimbawa, at ilagay ang isang yunit sa ilalim ng linya.

Halimbawa: Gawing improper fraction ang 5 na may denominator na 3. Pagkatapos i-multiply ang 5 sa 3, makakakuha ka ng 15. Ang numerong ito ang magiging denominator. Ang sagot sa gawain ay isang fraction: 15/3.

Dalawang diskarte sa paglutas ng mga gawain na may magkakaibang mga numero

Sa halimbawa, kinakailangang kalkulahin ang kabuuan at pagkakaiba, gayundin ang produkto at quotient ng dalawang numero: 2 integer 3/5 at 14/11.

Sa unang diskarte ang magkahalong numero ay kakatawanin bilang isang hindi tamang fraction.

Pagkatapos isagawa ang mga hakbang na inilarawan sa itaas, makukuha mo ang sumusunod na halaga: 13/5.

Upang malaman ang kabuuan, kailangan mong bawasan ang mga fraction sa parehong denominator. Ang 13/5 na pinarami ng 11 ay nagiging 143/55. At ang 14/11 pagkatapos i-multiply ng 5 ay kukuha ng form: 70/55. Upang kalkulahin ang kabuuan, kailangan mo lamang idagdag ang mga numerator: 143 at 70, at pagkatapos ay isulat ang sagot na may isang denominator. 213/55 - ang improper fraction na ito ang sagot sa problema.

Kapag nahanap ang pagkakaiba, ang parehong mga numero ay ibabawas: 143 - 70 = 73. Ang sagot ay isang fraction: 73/55.

Kapag nagpaparami ng 13/5 at 14/11, hindi mo kailangang bawasan sa isang karaniwang denominator. I-multiply lamang ang mga numerator at denominator sa mga pares. Ang sagot ay: 182/55.

Gayundin sa paghahati. Para sa tamang solusyon, kailangan mong palitan ang dibisyon ng multiplikasyon at i-flip ang divisor: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

Sa pangalawang diskarte Ang isang improper fraction ay nagiging mixed number.

Pagkatapos isagawa ang mga aksyon ng algorithm, ang 14/11 ay magiging isang mixed number na may integer na bahagi ng 1 at isang fractional na bahagi ng 3/11.

Kapag kinakalkula ang kabuuan, kailangan mong idagdag ang integer at fractional na mga bahagi nang hiwalay. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Ang huling sagot ay 3 buong 48/55. Sa unang diskarte mayroong isang fraction 213/55. Maaari mong suriin ang kawastuhan sa pamamagitan ng pag-convert nito sa isang halo-halong numero. Pagkatapos hatiin ang 213 sa 55, ang quotient ay 3 at ang natitira ay 48. Madaling makita na tama ang sagot.

Kapag binabawasan, ang tanda na "+" ay pinapalitan ng "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Upang suriin ang sagot mula sa nakaraang diskarte, kailangan mong i-convert ito sa isang halo-halong numero: 73 ay hinati sa 55 at makakakuha ka ng isang kusyente ng 1 at isang natitira sa 18.

Upang mahanap ang produkto at ang quotient, hindi maginhawang gumamit ng magkahalong numero. Dito palaging inirerekomenda na lumipat sa mga hindi wastong fraction.

Oh mga fraction na yan! Sa mataas na paaralan, sa mga aralin sa matematika, ito ay mga operasyong aritmetika na may mga praksyon at mga gawain kung saan ang mga numero na may mga numerator at denominator ay kumikislap sa mga kundisyon na nagiging isang balakid na maraming mga mag-aaral na nagtagumpay sa kahirapan. Ang pagsasaulo at paggamit ng medyo simpleng mga panuntunan na namamahala sa mga operasyon na may mga fraction, para sa ilang mga mag-aaral, ay nagiging isang hindi malulutas na balakid sa mahusay na mga marka sa matematika. Kaya paano mo malulutas ang mga problema sa mga fraction? Posible ito kung naiintindihan mo nang tama kung ano ang isang fraction.

Kunin natin ang isang ordinaryong cake bilang isang halimbawa. Ikaw ay umaasa sa mga bisita sa halagang pitong tao para sa holiday. Mayroon kang isang cake. Kaya, ito ay kinakailangan upang hatiin ito sa walo (mga bisita at kaarawan). Pinutol mo ang cake sa pantay na bahagi. Ang bawat isa sa mga bahaging ito ay 1/8 lamang ng buong pie. Isang simpleng natural na fraction ang lumabas, kung saan 1 ang numerator at 8 ang denominator. Isang tao mula sa mga bisita ang tumanggi sa pie, at nagpasya kang kumuha ng isa pang piraso. Ngayon ay lumabas ang 2 piraso mula sa walong piraso ng pie o 2/8.

Paano kung lahat ng bisita mo ay nagdidiyeta, pumapayat at ayaw kumain ng cake? Pagkatapos ay makakakuha ka ng walong bahagi sa walong (8/8), iyon ay, isang buong cake!

Ang mga fraction kung saan ang numerator ay mas mababa sa denominator ay tinatawag na proper fractions. At ang mga kung saan ang numerator ay mas malaki ay hindi tama.

Mga problema sa natural na fraction
Ang mga problema kung saan lumilitaw ang mga natural na fraction ay kadalasang nagsasangkot ng mga aksyon sa kanila. Ang pinakamadaling bersyon ng naturang problema ay ang paghahanap ng fraction ng isang numero na ipinahayag bilang isang fraction. Binigyan ka ng 6 na kilo ng mansanas. 2/3 ng mga ito ay dapat mong iwanan para sa paghahanda ng pagpuno para sa pie. I-multiply namin ang 6 sa 2, pagkatapos ay hatiin sa 3. Bilang resulta, mayroon kaming 4 na kilo na kailangan para sa pagpuno.

Kung ito ay isang mahirap na gawain upang mahanap ang isang numero sa pamamagitan ng bahagi nito, i-multiply ang bahagi ng numero sa isang fraction, palitan ang numerator at denominator. Mayroong 6 na kilo ng mansanas. Ito ay 3/5 ng kabuuang bilang ng mga mansanas na na-ani mula sa iyong puno ng mansanas. Kaya, mabilis nating i-multiply ang 6 sa 5 at hatiin sa 3. Ito ay nagiging 10 kilo.

Paano mo hinahati at i-multiply ang mga fraction? Narito ang mga patakaran ay simple. Ang pag-multiply ng isang fraction sa isang fraction, nagsasagawa kami ng mga operasyon gamit ang mga numerator at denominator. Sabihin nating kailangan mong i-multiply ang 2/3 sa 5/6. Ang numero 2 ay pinarami ng 5, at ang 3 ay pinarami ng 6. Resulta: 10/18. Kung kailangan mong i-multiply ang isang fraction sa isang integer, i-multiply lang ang numero mismo at ang numerator ng fraction. Kaya 3*4/7=12/7. Isinasalin namin ang fraction sa tama: 12/7=1 at 5/7.

Ang dibisyon ng mga fraction ay madaling mapalitan ng multiplikasyon. Kailangang hatiin ang 5/6 sa 2/3? Kaya, iniiwan namin ang unang bahagi na 5/6 na hindi nagbabago, sa pangalawa ay pinapalitan namin ang numerator at denominator. 5/6:2/3=5/6*3/2=15/12. Ang ganitong mga patakaran ay umiiral para sa paghahati ng isang natural na numero sa isang fraction. 2:4/7= 2*7/4=14/4. Kung hahatiin natin ang isang fraction sa isang natural na numero, pagkatapos ay i-multiply natin ang denominator at ang numero mismo. 4/7:2=4/14.

Mas mahirap magsagawa ng pagbabawas at pagdaragdag sa mga fraction kung saan ang mga denominator ay iba. Kung kailangan mong magdagdag ng 2/8 hanggang 3/8, mas madali ito. Pagsamahin ang mga numerator, na iniiwan ang mga denominator na hindi nagbabago. Lumalabas ng 5/8. Sa pagbabawas, ang lahat ay pareho, kung saan ang mas maliit ay ibawas mula sa mas malaking numerator.

At kung paano malutas ang mga problema sa mga fraction, kung saan iba't ibang mga denominador? Siyempre, dalhin muna sila sa isa. Ito ay kinakailangan, halimbawa, upang magdagdag ng 5/8 at 2/3. Naghahanap kami ng paraan ng pagpili para sa isang numero na nahahati sa parehong 8 at 3. Ito ang numerong 24. Upang makagawa ng isang fraction na may denominator na 24 mula sa 5/8, hatiin ang 24 sa 8. Ang numerong 3 ay lumabas. I-multiply namin ang numerator sa 3. Bilang resulta, ang 5/8 ay katumbas ng 15/24. Ginagawa namin ang parehong sa 2/3, nakakakuha ng 16/24. Pagkatapos ay maaari kang magdagdag at magbawas ng mga denominador.

Nakuha namin ang maling fraction 31/24. Ang 24/24 ay isang buong numero. Ibawas ang denominator sa numerator. Ito ay lumabas na 1 buo at 7/24.

Ano ang gagawin kapag kailangan mong ibawas ang isang bahagi mula sa isang buong numero? Mayroon kang tatlong cake na kailangan mong gupitin sa limang piraso bawat isa at ibigay ang 2/5 sa isang taong kilala mo. Ang 3 ay 15 na hinati sa lima. Kaya mayroon kang 15/5 ng cake. Ibawas ang numero 2 mula sa 15, lumalabas na naiwan sa iyo ang 13/5 ng cake, o 2 buo at 3/5.

Ito ay kung paano mo malulutas ang mga problema sa mga fraction. Pinakamahalaga, tandaan na hindi mo maaaring ibawas ang isang mas malaki mula sa isang mas maliit na numerator!