Ang mga kaukulang anggulo ay tuwid. Mga palatandaan ng paralelismo ng dalawang tuwid na linya

Hayaang magsalubong ang linya c sa magkatulad na linya a at b. Lumilikha ito ng walong sulok. Ang mga anggulo sa parallel straight lines at secant lines ay kadalasang ginagamit sa mga problema na binibigyan sila ng mga espesyal na pangalan sa geometry.

Anggulo 1 at 3 - patayo. Obviously, ang mga patayong anggulo ay pantay, yan ay
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.

Siyempre, ang mga kanto 5 at 7, 6 at 8 ay patayo din.

Anggulo 1 at 2 - katabi, alam na natin yan. Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180º.

Ang mga anggulo 3 at 5 (pati na rin ang 2 at 8, 1 at 7, 4 at 6) ay crosswise. Ang mga anggulo na nakahiga crosswise ay pantay.
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Mga anggulo 1 at 6 - isang panig. Nakahiga sila sa isang gilid ng buong "istruktura". One-sided din ang mga anggulo 4 at 7. Ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay 180 °, yan ay
∠1 + ∠6 = 180 °,
∠4 + ∠7 = 180 °.

Ang mga anggulo 2 at 6 (pati na rin ang 3 at 7, 1 at 5, 4 at 8) ay tinatawag na ang kani-kanilang.

Ang mga katumbas na anggulo ay pantay, yan ay
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.

Ang mga anggulo 3 at 5 (pati na rin ang 2 at 8, 1 at 7, 4 at 6) ay tinatawag na nakahiga nang crosswise.

Ang mga crosswise lying angle ay pantay, yan ay
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Upang mailapat ang lahat ng mga katotohanang ito sa paglutas ng mga problema sa PAGGAMIT, kailangan mong matutunang makita ang mga ito sa pagguhit. Halimbawa, ang pagtingin sa isang parallelogram o trapezoid, maaari mong makita ang isang pares ng parallel na linya at isang secant, pati na rin ang isang panig na sulok. Ang pagkakaroon ng pagguhit ng dayagonal ng parallelogram, nakikita natin ang mga nakahiga na anggulo sa isang krus. Ito ay isa sa mga hakbang na bumubuo sa solusyon.

1. Ang bisector ng isang obtuse angle ng isang parallelogram ay naghahati sa kabaligtaran na bahagi sa isang ratio na 3: 4, na nagbibilang mula sa tuktok ng obtuse na anggulo. Hanapin ang mas malaking bahagi ng paralelogram kung ang perimeter nito ay 88.

Alalahanin na ang bisector ng isang anggulo ay isang sinag na umuusbong mula sa tuktok ng anggulo at hinahati ang anggulo.

Hayaan ang BM na maging bisector ng isang obtuse angle B. Ayon sa kondisyon, ang mga segment na MD at AB ay katumbas ng 3x at 4x, ayon sa pagkakabanggit.

Isaalang-alang ang mga anggulo ng CBM at VMA. Dahil magkapareho ang AD at ВС, ang ВМ ay isang secant, ang mga anggulo ng CBM at ВМА ay cross-lying. Alam namin na ang mga anggulo na nakahiga sa kabuuan ay pantay. Nangangahulugan ito na ang tatsulok na ABM ay isosceles, samakatuwid, AB = AM = 4x.

Ang perimeter ng isang paralelogram ay ang kabuuan ng lahat ng panig nito, iyon ay
7x + 7x + 4x + 4x = 88.
Samakatuwid x = 4, 7x = 28.

2. Ang dayagonal ng paralelogram ay gumagawa ng mga anggulo ng 26º at 34º sa dalawang panig nito. Hanapin ang mas malaking anggulo ng paralelogram. Ibigay ang iyong sagot sa antas.

Gumuhit ng paralelogram at ang dayagonal nito. Pagpansin sa pagguhit ng mga nakahiga na sulok at isang panig na sulok, madali mong makukuha ang sagot: 120º.

3. Ano ang mas malaking anggulo ng isosceles trapezoid kung alam na ang pagkakaiba sa pagitan ng magkasalungat na anggulo ay 50 degrees? Ibigay ang iyong sagot sa antas.

Alam natin yan isosceles(o isosceles) ay tinatawag na trapezoid, kung saan ang mga gilid ay pantay. Samakatuwid, ang mga anggulo sa tuktok na base ay pantay, pati na rin ang mga anggulo sa ilalim na base.

Tingnan natin ang pagguhit. Sa pamamagitan ng kundisyon, α - β = 50 °, iyon ay, α = β + 50 °.

Ang mga anggulo α at β ay isang panig na may magkatulad na tuwid na mga linya at isang secant, samakatuwid,
α + β = 180 °.

Kaya 2β + 50 ° = 180 °
β = 65 °, pagkatapos ay α = 115 °.

Sagot: 115.

EGE-Study »Methodological materials» Geometry: mula zero hanggang C4 »Heights, medians, bisectors ng triangle

Mga palatandaan ng paralelismo ng dalawang tuwid na linya

Theorem 1. Kung sa intersection ng dalawang secant lines:

pantay-pantay ang mga anggulo ng criss-crossing, o

ang mga katumbas na anggulo ay pantay, o

ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay 180 °, kung gayon

ang mga tuwid na linya ay parallel(fig. 1).

Patunay. Nililimitahan namin ang aming sarili sa patunay ng kaso 1.

Ipagpalagay na sa intersection ng mga linya a at b secant AB, ang mga intersecting na anggulo ay pantay. Halimbawa, ∠ 4 = ∠ 6. Patunayan natin na ang isang || b.

Ipagpalagay na ang mga linya a at b ay hindi magkatulad. Pagkatapos ay bumalandra sila sa isang punto M at, samakatuwid, ang isa sa mga anggulo 4 o 6 ay magiging panlabas na sulok ng tatsulok na ABM. Hayaan, para sa katiyakan, ∠ 4 ang panlabas na sulok ng tatsulok na ABM, at ∠ 6 - ang panloob. Mula sa theorem sa panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay sumusunod na ang ∠ 4 ay mas malaki kaysa sa ∠ 6, at ito ay sumasalungat sa kundisyon, na nangangahulugan na ang mga linyang a at 6 ay hindi maaaring magsalubong, kaya sila ay parallel.

Bunga 1. Dalawang magkaibang tuwid na linya sa isang eroplanong patayo sa parehong tuwid na linya ay magkatulad(fig. 2).

Magkomento. Ang paraan na napatunayan pa lang natin ang kaso 1 ng Theorem 1 ay tinatawag na kontradiksyon o pagbabawas sa kahangalan. Nakuha ng pamamaraang ito ang unang pangalan dahil sa simula ng pangangatwiran, ang isang pagpapalagay ay ginawa na kabaligtaran (salungat) sa kung ano ang kinakailangan upang mapatunayan. Ito ay tinatawag na pagbawas sa kahangalan dahil sa katotohanan na, sa pagtatalo batay sa ginawang pagpapalagay, tayo ay nakarating sa isang walang katotohanan na konklusyon (sa isang kahangalan). Ang pagtanggap ng naturang konklusyon ay nagpipilit sa atin na tanggihan ang pagpapalagay na ginawa sa simula at tanggapin ang isa na kinakailangang patunayan.

Layunin 1. Bumuo ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M at parallel sa isang ibinigay na tuwid na linya a, hindi dumadaan sa isang punto M.

Solusyon. Gumuhit sa punto M ng isang tuwid na linya p patayo sa isang tuwid na linya a (Larawan 3).

Pagkatapos ay gumuhit kami ng isang tuwid na linya b hanggang sa punto M patayo sa isang tuwid na linya p. Ang linya b ay kahanay ng linya a ayon sa corollary sa Theorem 1.

Isang mahalagang konklusyon ang sumusunod mula sa isinasaalang-alang na problema:
sa pamamagitan ng isang punto na hindi nakahiga sa isang ibinigay na tuwid na linya, maaari kang palaging gumuhit ng isang tuwid na linya parallel sa isang ibinigay.

Ang pangunahing pag-aari ng mga parallel na linya ay ang mga sumusunod.

Axiom ng parallel lines. Sa pamamagitan ng isang naibigay na punto, na hindi nakahiga sa isang naibigay na tuwid na linya, isang tuwid na linya lamang, na kahanay sa ibinigay na isa, ang pumasa.

Isaalang-alang ang ilang mga katangian ng mga parallel na linya na sumusunod mula sa axiom na ito.

1) Kung ang isang linya ay nag-intersect sa isa sa dalawang parallel na linya, pagkatapos ay nag-intersect din ito sa isa (Fig. 4).

2) Kung ang dalawang magkaibang linya ay parallel sa ikatlong linya, kung gayon sila ay parallel (Fig. 5).

Ang sumusunod na teorama ay totoo rin.

Theorem 2. Kung ang dalawang parallel na linya ay pinag-intersect ng isang secant, kung gayon:

magkapantay ang mga anggulo na tumatawid;

ang mga kaukulang anggulo ay pantay;

ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay 180 °.

Bunga 2. Kung ang isang linya ay patayo sa isa sa dalawang magkatulad na linya, kung gayon ito ay patayo sa isa pa(tingnan ang fig. 2).

Magkomento. Ang Theorem 2 ay tinatawag na converse ng Theorem 1. Ang conclusion ng Theorem 1 ay ang condition ng Theorem 2. At ang condition ng Theorem 1 ay ang conclusion ng Theorem 2. Hindi lahat ng theorem ay may converse, ibig sabihin, kung ang theorem ay totoo , kung gayon ang kabaligtaran ng teorama ay maaaring hindi totoo.

Ipaliwanag natin ito gamit ang halimbawa ng theorem sa mga patayong anggulo. Ang teorama na ito ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: kung ang dalawang anggulo ay patayo, kung gayon sila ay pantay. Ang teorama na nakikipag-usap dito ay ang mga sumusunod: kung ang dalawang anggulo ay pantay, kung gayon ang mga ito ay patayo. At ito, siyempre, ay hindi totoo. Ang dalawang pantay na anggulo ay hindi kailangang patayo.

Halimbawa 1. Dalawang magkatulad na linya ang tinatawid ng isang pangatlo. Ito ay kilala na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang panloob na isang panig na anggulo ay 30 °. Hanapin ang mga sulok na ito.

Solusyon. Hayaang matugunan ng Figure 6 ang kundisyon.

Tanong 1. Anong mga anggulo ang tinatawag na magkatabi?
Sagot. Ang dalawang sulok ay tinatawag na magkatabi kung mayroon silang isang panig na magkatulad, at ang iba pang mga gilid ng mga sulok na ito ay karagdagang kalahating linya.
Sa Figure 31, ang mga anggulo (a 1 b) at (a 2 b) ay magkatabi. Mayroon silang side b common, at sides a 1 at a 2 ay karagdagang kalahating linya.

Tanong 2. Patunayan na ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180 °.
Sagot. Teorama 2.1. Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180 °.
Patunay. Hayaang ang anggulo (a 1 b) at ang anggulo (a 2 b) ang ibinigay na magkatabing mga anggulo (tingnan ang Fig. 31). Ang Ray b ay dumadaan sa pagitan ng mga gilid a 1 at a 2 ng binuo na sulok. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo (a 1 b) at (a 2 b) ay katumbas ng pinahabang anggulo, ibig sabihin, 180 °. Q.E.D.

Tanong 3. Patunayan na kung ang dalawang anggulo ay pantay, ang mga anggulo na katabi ng mga ito ay pantay din.
Sagot.

Mula sa teorama 2.1 ito ay sumusunod na kung ang dalawang anggulo ay pantay, kung gayon ang mga anggulo na katabi ng mga ito ay pantay.
Sabihin nating ang mga anggulo (a 1 b) at (c 1 d) ay pantay. Kailangan nating patunayan na ang mga anggulo (a 2 b) at (c 2 d) ay pantay din.
Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180 °. Ito ay sumusunod mula dito na ang a 1 b + a 2 b = 180 ° at c 1 d + c 2 d = 180 °. Kaya naman, a 2 b = 180 ° - a 1 b at c 2 d = 180 ° - c 1 d. Dahil ang mga anggulo (a 1 b) at (c 1 d) ay pantay, nakukuha natin na a 2 b = 180 ° - a 1 b = c 2 d. Sa pamamagitan ng pag-aari ng transitivity ng pantay na tanda, sumusunod na ang isang 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Tanong 4. Anong anggulo ang tinatawag na right (acute, obtuse)?
Sagot. Ang isang anggulo na katumbas ng 90 ° ay tinatawag na tamang anggulo.
Ang anggulong mas mababa sa 90 ° ay tinatawag na acute angle.
Ang anggulo na mas malaki sa 90 ° at mas mababa sa 180 ° ay tinatawag na obtuse.

Tanong 5. Patunayan na ang isang anggulo na katabi ng isang tamang anggulo ay isang tamang anggulo.
Sagot. Mula sa theorem sa kabuuan ng mga katabing anggulo ay sumusunod na ang isang anggulo na katabi ng isang tamang anggulo ay isang tamang anggulo: x + 90 ° = 180 °, x = 180 ° - 90 °, x = 90 °.

Tanong 6. Anong mga anggulo ang tinatawag na patayo?
Sagot. Ang dalawang sulok ay tinatawag na patayo kung ang mga gilid ng isang sulok ay komplementaryong kalahating tuwid na gilid ng isa.

Tanong 7. Patunayan na ang mga patayong anggulo ay pantay.
Sagot. Teorama 2.2. Ang mga patayong anggulo ay pantay.
Patunay. Hayaang (a 1 b 1) at (a 2 b 2) ang ibinigay na mga patayong anggulo (fig. 34). Ang anggulo (a 1 b 2) ay katabi ng anggulo (a 1 b 1) at sa anggulo (a 2 b 2). Samakatuwid, sa pamamagitan ng theorem sa kabuuan ng mga katabing anggulo, napagpasyahan namin na ang bawat isa sa mga anggulo (a 1 b 1) at (a 2 b 2) ay umaakma sa anggulo (a 1 b 2) hanggang 180 °, i.e. ang mga anggulo (a 1 b 1) at (a 2 b 2) ay pantay. Q.E.D.

Tanong 8. Patunayan na kung sa intersection ng dalawang tuwid na linya ang isa sa mga sulok ay isang tuwid na linya, kung gayon ang iba pang tatlong sulok ay mga tuwid na linya din.
Sagot. Ipagpalagay na ang mga linyang AB at CD ay nagtatagpo sa isa't isa sa puntong O. Ipagpalagay na ang anggulo ng AOD ay 90 °. Dahil ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180 °, nakukuha natin na AOC = 180 ° -AOD = 180 ° - 90 ° = 90 °. Ang anggulo ng COB ay patayo sa anggulo ng AOD, kaya pantay ang mga ito. Ibig sabihin, ang anggulo ng COB = 90 °. Ang COA ay patayo sa BOD, kaya sila ay pantay. Iyon ay, ang anggulo ng BOD ay 90 °. Kaya, ang lahat ng mga anggulo ay katumbas ng 90 °, iyon ay, lahat sila ay tama. Q.E.D.

Tanong 9. Aling mga tuwid na linya ang tinatawag na patayo? Anong palatandaan ang ginagamit upang ipahiwatig ang perpendicularity ng mga tuwid na linya?
Sagot. Ang dalawang tuwid na linya ay tinatawag na patayo kung sila ay magsalubong sa tamang mga anggulo.
Ang perpendicularity ng mga linya ay tinutukoy ng \ (\ perp \). Ang entry na \ (a \ perp b \) ay nagbabasa ng: "Ang linya a ay patayo sa linya b".

Tanong 10. Patunayan na sa anumang punto ng isang tuwid na linya maaari kang gumuhit ng isang tuwid na linya na patayo dito, at isa lamang.
Sagot. Teorama 2.3. Sa bawat tuwid na linya, maaari kang gumuhit ng isang tuwid na linya na patayo dito, at isa lamang.
Patunay. Hayaan ang isang isang ibinigay na linya at ang A ay isang ibinigay na punto dito. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng isang 1 ang isa sa kalahating linya ng tuwid na linya a na may paunang punto A (Larawan 38). Itabi natin ang anggulo (a 1 b 1) na katumbas ng 90 ° mula sa kalahating linya a 1. Pagkatapos ang tuwid na linya na naglalaman ng ray b 1 ay magiging patayo sa tuwid na linya a.

Ipagpalagay na may isa pang linya, na dumadaan din sa punto A at patayo sa linya a. Hayaan ang c 1 na tukuyin ang kalahating linya ng linyang ito na nasa parehong kalahating eroplano na may ray b 1.
Ang mga anggulo (a 1 b 1) at (a 1 c 1), ang bawat isa ay katumbas ng 90 °, ay naka-plot sa isang kalahating eroplano mula sa kalahating linya a 1. Ngunit mula sa kalahating linya ng 1 papunta sa kalahating eroplanong ito, isang anggulo lamang, katumbas ng 90 °, ang maaaring ipagpaliban. Samakatuwid, hindi dapat magkaroon ng isa pang tuwid na linya na dumadaan sa punto A at patayo sa tuwid na linya a. Ang teorama ay napatunayan.

Tanong 11. Ano ang isang patayo sa isang linya?
Sagot. Ang patayo sa isang tuwid na linya ay isang segment ng isang tuwid na linya na patayo sa isang ibinigay na linya, na may isa sa mga dulo nito ang kanilang intersection point. Tinatawag itong dulo ng segment batayan patayo.

Tanong 12. Ipaliwanag kung ano ang salungat na patunay.
Sagot. Ang paraan ng patunay na ginamit natin sa Theorem 2.3 ay tinatawag na proof by contradiction. Ang paraan ng pagpapatunay na ito ay gumawa muna tayo ng isang pagpapalagay na kabaligtaran sa kung ano ang inaangkin ng teorama. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pangangatwiran, pag-asa sa mga axiom at mga napatunayang teorema, nakarating tayo sa isang konklusyon na sumasalungat sa alinman sa kondisyon ng teorama, o isa sa mga axiom, o ang teorem na napatunayan nang mas maaga. Sa batayan na ito, napagpasyahan namin na ang aming palagay ay hindi tama, na nangangahulugan na ang pahayag ng teorama ay totoo.

Tanong 13. Ano ang tinatawag na bisector ng isang anggulo?
Sagot. Ang bisector ng isang anggulo ay isang sinag na nagmumula sa tuktok ng anggulo, dumadaan sa pagitan ng mga gilid nito at hinahati ang anggulo sa kalahati.