Kabuuan ng mga sine at tangent na may iba't ibang argumento. Kabuuan at pagkakaiba ng mga sinus at cosine: derivation ng mga formula, mga halimbawa

Ang mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga sine at cosine para sa dalawang anggulo α at β ay nagbibigay-daan sa amin na lumipat mula sa kabuuan ng mga anggulong ito patungo sa produkto ng mga anggulo na α + β 2 at α - β 2. Tandaan natin kaagad na hindi mo dapat malito ang mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga sine at cosine sa mga formula para sa mga sine at cosine ng kabuuan at pagkakaiba. Sa ibaba ay inilista namin ang mga formula na ito, ibigay ang kanilang mga derivasyon at ipakita ang mga halimbawa ng aplikasyon para sa mga partikular na problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga sinus at cosine

Isulat natin kung ano ang hitsura ng sum and difference formula para sa mga sine at cosine

Mga formula ng kabuuan at pagkakaiba para sa mga sine

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Mga formula ng kabuuan at pagkakaiba para sa mga cosine

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Ang mga formula na ito ay wasto para sa anumang mga anggulo α at β. Ang mga anggulo α + β 2 at α - β 2 ay tinatawag na kalahating kabuuan at kalahating pagkakaiba ng mga anggulong alpha at beta, ayon sa pagkakabanggit. Ibigay natin ang pagbabalangkas para sa bawat formula.

Mga kahulugan ng mga formula para sa mga kabuuan at pagkakaiba ng mga sine at cosine

Kabuuan ng mga sinus ng dalawang anggulo ay katumbas ng dalawang beses ang produkto ng sine ng kalahating kabuuan ng mga anggulong ito at ang cosine ng kalahating pagkakaiba.

Pagkakaiba ng mga sine ng dalawang anggulo ay katumbas ng dalawang beses ang produkto ng sine ng kalahating pagkakaiba ng mga anggulong ito at ang cosine ng kalahating kabuuan.

Kabuuan ng mga cosine ng dalawang anggulo ay katumbas ng dalawang beses ang produkto ng cosine ng kalahating-sum at ang cosine ng kalahating pagkakaiba ng mga anggulong ito.

Pagkakaiba ng mga cosine ng dalawang anggulo ay katumbas ng dalawang beses ang produkto ng sine ng kalahating kabuuan at ang cosine ng kalahating pagkakaiba ng mga anggulong ito, na kinuha gamit ang isang negatibong tanda.

Pagkuha ng mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga sine at cosine

Upang makakuha ng mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng sine at cosine ng dalawang anggulo, ginagamit ang mga formula ng karagdagan. Ilista natin sila sa ibaba

kasalanan (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Isipin din natin ang mga anggulo mismo bilang isang kabuuan ng mga kalahating kabuuan at kalahating pagkakaiba.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Direkta kaming tumuloy sa derivation ng sum and difference formula para sa sin at cos.

Derivation ng formula para sa kabuuan ng mga sine

Sa kabuuan ng sin α + sin β, pinapalitan namin ang α at β ng mga expression para sa mga anggulong ito na ibinigay sa itaas. Nakukuha namin

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Ngayon inilalapat namin ang formula ng karagdagan sa unang expression, at sa pangalawa - ang formula para sa sine ng mga pagkakaiba sa anggulo (tingnan ang mga formula sa itaas)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Buksan ang mga bracket, magdagdag ng mga katulad na termino at kunin ang kinakailangang formula

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Ang mga hakbang upang makuha ang natitirang mga formula ay magkatulad.

Derivation ng formula para sa pagkakaiba ng mga sine

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = kasalanan α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Derivation ng formula para sa kabuuan ng mga cosine

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Derivation ng formula para sa pagkakaiba ng cosine

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 kasalanan α - β 2

Mga halimbawa ng paglutas ng mga praktikal na problema

Una, suriin natin ang isa sa mga formula sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga tiyak na halaga ng anggulo dito. Hayaan ang α = π 2, β = π 6. Kalkulahin natin ang halaga ng kabuuan ng mga sinus ng mga anggulong ito. Una, gagamitin namin ang talahanayan ng mga pangunahing halaga ng mga function ng trigonometriko, at pagkatapos ay ilalapat namin ang formula para sa kabuuan ng mga sine.

Halimbawa 1. Sinusuri ang formula para sa kabuuan ng mga sine ng dalawang anggulo

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Isaalang-alang natin ngayon ang kaso kapag ang mga halaga ng anggulo ay naiiba mula sa mga pangunahing halaga na ipinakita sa talahanayan. Hayaan ang α = 165°, β = 75°. Kalkulahin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga sine ng mga anggulong ito.

Halimbawa 2. Paglalapat ng pagkakaiba ng sinus formula

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Gamit ang mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga sinus at cosine, maaari kang lumipat mula sa kabuuan o pagkakaiba patungo sa produkto ng mga function na trigonometriko. Kadalasan ang mga formula na ito ay tinatawag na mga formula para sa paglipat mula sa isang kabuuan patungo sa isang produkto. Ang mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga sine at cosine ay malawakang ginagamit sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko at sa pag-convert ng mga ekspresyong trigonometriko.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang elektronikong mapagkukunang ito ay isang mahusay na materyal para sa pagsasagawa ng interactive na pag-aaral sa mga modernong paaralan. Ito ay nakasulat nang tama, may malinaw na istraktura at naaayon sa kurikulum ng paaralan. Salamat sa mga detalyadong paliwanag, ang paksang ipinakita sa video lesson ay magiging malinaw sa pinakamaraming estudyante sa klase hangga't maaari. Dapat tandaan ng mga guro na hindi lahat ng mga mag-aaral ay may parehong antas ng pang-unawa, bilis ng pag-unawa, o batayan. Ang ganitong mga materyales ay makakatulong sa iyo na makayanan ang mga paghihirap at makahabol sa iyong mga kapantay, mapabuti ang iyong akademikong pagganap. Sa kanilang tulong, sa isang tahimik na kapaligiran sa tahanan, nang nakapag-iisa o kasama ng isang tagapagturo, ang isang mag-aaral ay maaaring maunawaan ang isang partikular na paksa, pag-aralan ang teorya at tingnan ang mga halimbawa ng praktikal na aplikasyon ng isang partikular na pormula, atbp.

Ang araling video na ito ay nakatuon sa paksang "Sine at cosine ng pagkakaiba ng mga argumento." Ipinapalagay na natutunan na ng mga mag-aaral ang mga pangunahing kaalaman sa trigonometrya, pamilyar sa mga pangunahing pag-andar at kanilang mga katangian, mga formula ng multo at mga talahanayan ng mga halaga ng trigonometriko.

Gayundin, bago magpatuloy sa pag-aaral ng paksang ito, kailangan mong magkaroon ng pag-unawa sa sine at cosine ng kabuuan ng mga argumento, alamin ang dalawang pangunahing pormula at magagamit mo ang mga ito.

Sa simula ng video lesson, ipinaalala ng tagapagbalita sa mga mag-aaral ang dalawang formula na ito. Susunod, ang unang formula ay ipinakita - ang sine ng pagkakaiba ng mga argumento. Bilang karagdagan sa kung paano hinango ang mismong formula, ipinapakita kung paano ito hinango sa iba. Kaya, hindi na kailangang magsaulo ng bagong pormula ang mag-aaral nang hindi ito nauunawaan, na isang karaniwang pagkakamali. Ito ay napakahalaga para sa mga mag-aaral sa klase na ito. Dapat mong laging tandaan na maaari kang magdagdag ng + sign sa harap ng minus sign, at ang minus sa plus sign ay magiging minus. Sa simpleng hakbang na ito, maaari mong gamitin ang formula para sa sine ng isang kabuuan at makuha ang formula para sa sine ng pagkakaiba ng mga argumento.

Ang formula para sa cosine ng pagkakaiba ay hinango sa katulad na paraan mula sa formula para sa cosine ng kabuuan ng mga argumento.

Ang tagapagsalita ay nagpapaliwanag ng lahat ng hakbang-hakbang, at bilang isang resulta, ang pangkalahatang pormula para sa cosine ng kabuuan at pagkakaiba ng mga argumento at sine ay hinango, katulad.

Ang unang halimbawa mula sa praktikal na bahagi ng araling video na ito ay nagmumungkahi ng paghahanap ng cosine ng Pi/12. Iminumungkahi na ipakita ang halagang ito sa anyo ng isang tiyak na pagkakaiba, kung saan ang minuend at subtrahend ay magiging mga tabular na halaga. Susunod, ilalapat ang formula ng cosine para sa pagkakaiba ng mga argumento. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng expression, maaari mong palitan ang mga resultang halaga at makuha ang sagot. Binabasa ng tagapagbalita ang sagot, na ipinapakita sa dulo ng halimbawa.

Ang pangalawang halimbawa ay isang equation. Sa magkabilang kanan at kaliwang panig ay makikita natin ang mga cosine ng mga pagkakaiba ng mga argumento. Ang speaker ay kahawig ng mga casting formula, na ginagamit upang palitan at pasimplehin ang mga expression na ito. Ang mga formula na ito ay nakasulat sa kanang bahagi upang maunawaan ng mga mag-aaral kung saan nagmumula ang ilang mga pagbabago.

Ang isa pang halimbawa, ang pangatlo, ay isang tiyak na fraction, kung saan sa parehong numerator at denominator ay mayroon tayong mga trigonometrikong expression, ibig sabihin, ang mga pagkakaiba ng mga produkto.

Dito rin, kapag nagso-solve, ginagamit ang mga formula ng pagbabawas. Kaya, makikita ng mga mag-aaral na kung makaligtaan nila ang isang paksa sa trigonometrya, lalong magiging mahirap na maunawaan ang iba.

At sa wakas, ang ikaapat na halimbawa. Isa rin itong equation kung saan kinakailangang gumamit ng mga bagong natutunan at lumang formula kapag nilulutas ang mga ito.

Maaari mong tingnan ang mga halimbawang ibinigay sa video tutorial nang mas detalyado at subukang lutasin ito sa iyong sarili. Maaari silang italaga bilang takdang-aralin sa mga mag-aaral.

PAG-DECODE NG TEKSTO:

Ang paksa ng aralin ay "Sine at cosine ng pagkakaiba ng mga argumento."

Sa nakaraang kurso, kami ay ipinakilala sa dalawang trigonometric formula: sine at cosine ng kabuuan ng mga argumento.

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.

ang sine ng kabuuan ng dalawang anggulo ay katumbas ng kabuuan sa pagitan ng produkto ng sine ng unang anggulo at ng cosine ng pangalawang anggulo at ang produkto ng cosine ng unang anggulo at ng sine ng pangalawang anggulo;

Ang cosine ng kabuuan ng dalawang anggulo ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng produkto ng mga cosine ng mga anggulong ito at ang produkto ng kabuuan ng mga anggulong ito.

Gamit ang mga formula na ito, kukunin natin ang mga formula na Sine at cosine ng pagkakaiba ng mga argumento.

Sine ng pagkakaiba ng mga argumento sin(x-y)

Dalawang formula (sine ng kabuuan at sine ng pagkakaiba) ay maaaring isulat bilang:

kasalanan (xy) = sin x cos ycos x sin y.

Katulad nito, nakukuha namin ang formula para sa cosine ng pagkakaiba:

Isulat muli natin ang cosine ng pagkakaiba sa pagitan ng mga argumento bilang isang kabuuan at ilapat ang kilalang formula para sa cosine ng kabuuan: cos (x + y) = cosxcosy - sinxsiny.

para lamang sa mga argumento x at -y. Ang pagpapalit ng mga argumentong ito sa formula, makakakuha tayo ng cosxcos(- y) - sinxsin(- y).

sin(- y)= - siny). at makuha namin ang panghuling expression na cosxcosy + sinxsiny.

cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y.

Nangangahulugan ito na cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y.

Ang cosine ng pagkakaiba ng dalawang anggulo ay katumbas ng kabuuan sa pagitan ng produkto ng mga cosine ng mga anggulong ito at ang produkto ng mga sine ng mga anggulong ito.

Ang pagsasama-sama ng dalawang formula (cosine ng kabuuan at cosine ng pagkakaiba) sa isa, sumusulat kami

cos(xy) = cosxcos y sin xsin y.

Tandaan natin na ang mga formula sa pagsasanay ay maaaring ilapat pareho mula kaliwa hanggang kanan at vice versa.

Tingnan natin ang mga halimbawa.

HALIMBAWA 1. Kalkulahin ang cos (cosine ng pi na hinati sa labindalawa).

Solusyon. Isulat natin ang pi na hinati ng labindalawa bilang pagkakaiba ng pi ng tatlo at pi na hinati ng apat: = - .

I-substitute natin ang mga value sa difference cosine formula: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny, kaya cos = cos (-) = cos cos + sin sin

Alam natin na cos = , cos = sin= , sin = . Ipakita ang talahanayan ng mga halaga.

Pinapalitan namin ang halaga ng sine at cosine ng mga numerical na halaga at makuha ang ∙ + ∙ kapag nagpaparami ng isang fraction sa isang fraction, pinaparami namin ang mga numerator at denominator, nakukuha namin

cos = cos (-) = cos cos + sin sin = ∙ + ∙ = = =.

Sagot: cos =.

HALIMBAWA 2. Solve the equation cos(2π - 5x) = cos(- 5x) (cosine of two pi minus five x is equal to cosine of pi by two minus five x).

Solusyon. Sa kaliwa at kanang bahagi ng equation inilalapat namin ang mga formula ng pagbabawas cos(2π - cos (cosine ng dalawang pi minus alpha ay katumbas ng cosine ng alpha) at cos(- = sin (cosine ng pi ng dalawang minus alpha ay katumbas ng sine ng alpha), nakukuha natin ang cos 5x = sin 5x, ibinibigay natin ito sa anyo ng isang homogenous na equation ng unang degree at nakuha natin ang cos 5x - sin 5x = 0. Ito ay isang homogenous na equation ng unang degree. Let us hatiin ang magkabilang panig ng term ng equation sa pamamagitan ng cos 5x. Mayroon kaming:

cos 5x: cos 5x - sin 5x: cos 5x = 0, kasi cos 5x: cos 5x = 1, at sin 5x: cos 5x = tan 5x, pagkatapos ay makukuha natin:

Dahil alam na natin na ang equation tgt = a ay may solusyon t = arctga + πn, at dahil mayroon tayong t = 5x, a = 1, nakukuha natin

5x = arctan 1 + πn,

at ang halaga ng arctg ay 1, pagkatapos tg 1= Ipakita ang talahanayan

Ipalit ang halaga sa equation at lutasin ito:

Sagot: x = +.

HALIMBAWA 3. Hanapin ang halaga ng fraction. (sa numerator ay ang pagkakaiba ng produkto ng mga cosine na pitumpu't limang degree at animnapu't limang degree at ang produkto ng mga sine na pitumpu't limang degree at animnapu't limang degree, at sa denominator ay ang pagkakaiba ng produkto ng sine ng walumpu't limang digri at cosine ng tatlumpu't limang digri at ang produkto ng cosine ng walumpu't limang digri at sine ng tatlumpu't limang digri) .

Solusyon. Sa numerator ng fraction na ito, ang pagkakaiba ay maaaring "i-collapse" sa cosine ng kabuuan ng mga argumento na 75° at 65°, at sa denominator, ang pagkakaiba ay maaaring "i-collapse" sa sine ng pagkakaiba sa pagitan ng mga argumento 85° at 35°. Nakukuha namin

Sagot: - 1.

HALIMBAWA 4. Solve the equation: cos(-x) + sin(-x) = 1(cosine of the difference of pi by four and x plus the sine of the difference of pi by four and x is equal to one).

Solusyon. Ilapat natin ang mga formula na cosine difference at sine difference.

Ipakita ang pangkalahatang pagkakaiba ng cosine formula

Pagkatapos cos (-x) = cos cos x + sinsinх

Ipakita ang pangkalahatang formula para sa pagkakaiba ng sine

at kasalanan (-х)= kasalanan cosх - cos sinх

I-substitute ang mga expression na ito sa equation cos(-x) + sin(-x) = 1 at makuha ang:

cos cos x + sinsin x + sin cos x - cos sin x = 1,

Since cos= and sin= Ipakita sa talahanayan ang kahulugan ng sine at cosine

Nakukuha natin ang ∙ cos x + ∙ sinx + ∙ cos x - ∙ sinx = 1,

ang ikalawa at ikaapat na termino ay kabaligtaran, kaya kinansela nila ang isa't isa, na iniiwan:

∙ cos + ∙ cos = 1,

Ating lutasin ang equation na ito at makuha iyon

2∙ ∙ cos x= 1,

Dahil alam na natin na ang equation cos = a ay may solusyon t = arcosa+ 2πk, at dahil mayroon tayong t=x, a =, nakukuha natin

x = arccos + 2πn,

at dahil ang halaga ay arccos, kung gayon cos =