Paano mahahanap ang naghahati ng isang geometric na pag-unlad. Pag-unlad ng geometriko

Pag-unlad ng geometriko walang mas mahalaga sa matematika kaysa sa aritmetika. Ang isang geometric na pag-unlad ay isang pagkakasunud-sunod ng mga numero b1, b2, ..., b [n], bawat susunod na term ng kung saan nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng nakaraang isa sa pamamagitan ng isang pare-pareho ang bilang. Ang bilang na ito, na nagpapakilala rin sa rate ng pagtaas o pagbaba ng pag-unlad, ay tinatawag denominator ng pag-unlad ng geometric at magpakilala

Para sa isang kumpletong detalye ng isang geometric na pag-unlad, bilang karagdagan sa denominador, kinakailangan na malaman o matukoy ang unang termino. Para sa isang positibong halaga ng denominador, ang pag-unlad ay isang monotonic na pagkakasunud-sunod, at kung ang pagkakasunud-sunod ng mga numero ay monotonically na bumababa at, para sa, monotonically pagtaas. Ang kaso kapag ang denominator ay pantay sa isa ay hindi isinasaalang-alang sa kasanayan, dahil mayroon kaming isang pagkakasunud-sunod ng magkaparehong mga numero, at ang kanilang pagsumite ay hindi praktikal na interes.

Pangkalahatang term ng pag-unlad ng geometric kinakalkula ng formula

Kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad tinutukoy ng pormula

Isaalang-alang ang mga solusyon sa mga klasikal na problema sa isang geometric na pag-unlad. Magsimula tayo sa mga pinakasimpleng mga para sa pag-unawa.

Halimbawa 1. Ang unang termino ng pag-unlad ng geometric ay 27, at ang denominator nito ay 1/3. Hanapin ang unang anim na termino ng isang geometric na pag-unlad.

Solusyon: Isulat natin ang kondisyon ng problema sa form

Para sa mga kalkulasyon, ginagamit namin ang formula para sa nth term ng geometric na pag-unlad

Sa batayan nito, nahanap namin ang mga hindi kilalang miyembro ng pag-unlad

Tulad ng nakikita mo, ang pagkalkula ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad ay hindi mahirap. Ang pag-unlad mismo ay magiging ganito

Halimbawa 2. Ang unang tatlong termino ng pag-unlad ng geometriko ay ibinibigay: 6; -12; 24. Hanapin ang denominador at ang ikapitong termino nito.

Solusyon: Kinakalkula namin ang denominator ng pag-unlad ng geomitric batay sa kahulugan nito

Nakakuha kami ng isang alternating geometric na pag-unlad, ang denominator na kung saan ay -2. Ang ikapitong termino ay kinakalkula ng formula

Nalutas nito ang problema.

Halimbawa 3. Ang isang pag-unlad na geometric ay ibinigay ng dalawa sa mga miyembro nito ... Hanapin ang ikasampung term sa pag-unlad.

Desisyon:

Isulat natin ang mga ibinigay na halaga sa pamamagitan ng mga formula

Ayon sa mga patakaran, kinakailangan upang hanapin ang denominador, at pagkatapos ay hanapin ang nais na halaga, ngunit para sa ikasampung term ay mayroon tayo

Ang parehong formula ay maaaring makuha batay sa mga simpleng manipulasyon na may data ng pag-input. Hinahati namin ang ikaanim na termino ng serye sa pamamagitan ng isa pa, bilang isang resulta na nakuha namin

Kung ang nagresultang halaga ay pinarami ng ika-anim na termino, nakakakuha tayo ng ika-sampu

Kaya, para sa gayong mga gawain, gamit ang mga simpleng pagbabagong-anyo sa isang mabilis na paraan, makakahanap ka ng tamang solusyon.

Halimbawa 4. Ang pag-unlad ng geometriko ay ibinibigay ng paulit-ulit na mga formula

Hanapin ang denominador ng pag-unlad ng geometriko at ang kabuuan ng unang anim na termino.

Desisyon:

Sinusulat namin ang ibinigay na data sa anyo ng isang sistema ng mga equation

Ipahayag ang denominador sa pamamagitan ng paghati sa pangalawang equation ng una

Hanapin ang unang termino ng pag-unlad mula sa unang equation

Kinakalkula natin ang susunod na limang termino upang mahanap ang kabuuan ng isang geometric na pag-unlad

Isaalang-alang natin ang ilang mga serye.

7 28 112 448 1792...

Lubos na malinaw na ang halaga ng anuman sa mga elemento nito ay eksaktong apat na beses na mas malaki kaysa sa nauna. Nangangahulugan ito na ang seryeng ito ay isang pag-unlad.

Ang isang geometric na pag-unlad ay isang walang katapusang pagkakasunud-sunod ng mga numero, ang pangunahing tampok na kung saan ang susunod na numero ay nakuha mula sa naunang isa sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isang tiyak na numero. Ito ay ipinahayag ng mga sumusunod na pormula.

isang z +1 \u003d isang z q, kung saan ang z ang bilang ng napiling elemento.

Alinsunod dito, z ∈ N.

Ang panahon kung saan ang pag-unlad ng geometric ay pinag-aralan sa paaralan ay grade 9. Ang mga halimbawa ay makakatulong sa iyo na maunawaan ang konsepto:

0.25 0.125 0.0625...

Batay sa pormula na ito, ang denominator ng pag-unlad ay matatagpuan tulad ng mga sumusunod:

Ni ang q ni b z ay hindi maaaring pantay sa zero. Gayundin, ang bawat isa sa mga elemento ng pag-unlad ay hindi dapat maging zero.

Alinsunod dito, upang malaman ang susunod na numero sa serye, kailangan mong dumami ang huling sa pamamagitan ng q.

Upang itakda ang pag-unlad na ito, dapat mong tukuyin ang una nitong elemento at denominador. Pagkatapos nito, posible na makahanap ng anuman sa mga kasunod na miyembro at kanilang kabuuan.

Iba-iba

Depende sa q at isang 1, ang pag-unlad na ito ay nahahati sa ilang mga uri:

• Kung ang parehong isang 1 at q ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon ang gayong pagkakasunud-sunod ay isang pag-unlad na geometric na tumataas sa bawat susunod na elemento. Ang isang halimbawa nito ay ipinakita sa ibaba.

Halimbawa: isang 1 \u003d 3, q \u200b\u200b\u003d 2 - ang parehong mga parameter ay mas malaki kaysa sa isa.

Pagkatapos ang nakasunod na pagkakasunud-sunod ay maaaring isulat tulad nito:

3 6 12 24 48 ...

• Kung | q | mas mababa sa isa, iyon ay, ang pagdaragdag nito ay katumbas ng paghahati, kung gayon ang isang pag-unlad na may katulad na mga kondisyon ay isang pagbawas sa pag-unlad ng geometric. Ang isang halimbawa nito ay ipinakita sa ibaba.

Halimbawa: isang 1 \u003d 6, q \u003d 1/3 - isang 1 ay higit pa sa isa, mas kaunti ang q.

Pagkatapos ay ang nakasunod na pagkakasunod-sunod ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

6 2 2/3 ... - ang anumang elemento ay 3 beses na mas malaki kaysa sa elemento na sumusunod dito.

• Alternating sign. Kung q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Halimbawa: isang 1 \u003d -3, q \u003d -2 - ang parehong mga parameter ay mas mababa sa zero.

Pagkatapos ay ang nakasunod na pagkakasunod-sunod ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

3, 6, -12, 24,...

Mga formula

Maraming mga formula para sa maginhawang paggamit ng mga geometric na pag-unlad:

• Pormula ng miyembro ng z-ika. Pinapayagan kang kalkulahin ang item sa ilalim ng isang tiyak na numero nang hindi kinakalkula ang nakaraang mga numero.

Halimbawa:q = 3, a 1 \u003d 4. Kinakailangan upang makalkula ang ika-apat na elemento ng pag-unlad.

Desisyon:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Ang kabuuan ng mga unang elemento na ang bilang z... Kinakalkula ang kabuuan ng lahat ng mga elemento sa isang pagkakasunud-sunod hanggangisang z nakapaloob.

Dahil (1-q) ay nasa denominador, pagkatapos (1 - q)≠ 0, samakatuwid ang q ay hindi katumbas ng 1.

Tandaan: kung q \u003d 1, kung gayon ang pag-unlad ay isang serye ng mga walang hanggan na paulit-ulit na mga numero.

Ang kabuuan ng isang geometric na pag-unlad, mga halimbawa:a 1 = 2, q \u003d -2. Kalkulahin ang S 5.

Desisyon:S 5 = 22 - pagkalkula ng formula.

• Halaga kung |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Halimbawa:a 1 = 2 , q \u003d 0.5. Hanapin ang halaga.

Desisyon:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Ang ilang mga pag-aari:

• Katangian ng katangian. Kung ang sumusunod na kondisyon ginanap para sa anumangz, pagkatapos ay ang ibinigay na serye ng numero ay isang pag-unlad na geometric:

isang z 2 = isang z -1 · a z + 1

• Gayundin, ang parisukat ng anumang bilang ng isang geometric na pag-unlad ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga parisukat ng anumang iba pang dalawang numero sa isang naibigay na hilera, kung sila ay pantay-pantay mula sa elementong ito.

isang z 2 = isang z - t 2 + isang z + t 2 saant - ang distansya sa pagitan ng mga bilang na ito.

• Ang mga elemento naiiba sa qoras.
• Ang mga logarithms ng mga elemento ng pag-unlad ay bumubuo rin ng isang pag-unlad, ngunit mayroon nang aritmetika, iyon ay, ang bawat isa sa kanila ay mas malaki kaysa sa naunang isa sa pamamagitan ng isang tiyak na numero.

Mga halimbawa ng ilang mga klasikong problema

Upang mas maintindihan kung ano ang isang pag-unlad ng geometric, ang mga halimbawa na may solusyon para sa grade 9 ay makakatulong.

• Mga Tuntunin:a 1 = 3, a 3 \u003d 48. Hanapinq.

Solusyon: ang bawat kasunod na elemento ay mas malaki kaysa sa nakaraang isa saq oras.Kinakailangan na ipahayag ang ilang mga elemento sa pamamagitan ng iba gamit ang denominator.

Samakatuwid,a 3 = q 2 · a 1

Kapag nagpalitq= 4

• Mga Tuntunin:a 2 = 6, a 3 \u003d 12. Kalkulahin ang S 6.

Desisyon:Upang gawin ito, sapat na upang mahanap ang q, ang unang elemento at palitan ito sa formula.

a 3 = q· a 2 , samakatuwid,q= 2

isang 2 \u003d q Isang 1,kaya isang 1 \u003d 3

S 6 \u003d 189

• · a 1 = 10, q \u003d -2. Hanapin ang ika-apat na elemento ng pag-unlad.

Solusyon: para sa mga ito ay sapat na upang maipahayag ang ika-apat na elemento sa pamamagitan ng una at sa pamamagitan ng denominator.

isang 4 \u003d q 3· isang 1 \u003d -80

Halimbawa ng aplikasyon:

• Ang kliyente ng bangko ay gumawa ng isang deposito sa halagang 10,000 rubles, sa ilalim ng mga termino kung saan bawat taon ang kliyente ay magdagdag ng 6% ng punong-guro sa punong punong-guro. Magkano ang aabutin ng account sa 4 na taon?

Solusyon: Ang paunang halaga ay 10 libong rubles. Nangangahulugan ito na isang taon pagkatapos ng pamumuhunan, ang account ay magkakaroon ng halagang katumbas ng 10000 + 10000 · 0.06 \u003d 10000 1.06

Alinsunod dito, ang halaga sa account sa isa pang taon ay ipapahayag tulad ng sumusunod:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 \u003d 1.06 1.06 10000

Iyon ay, bawat taon ang halaga ay nagdaragdag ng 1.06 beses. Nangangahulugan ito na upang mahanap ang dami ng mga pondo sa account sa 4 na taon, sapat na upang mahanap ang ika-apat na elemento ng pag-unlad, na itinakda ng unang elemento na katumbas ng 10 libo at ang denominador na katumbas ng 1.06.

S \u003d 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 \u003d 12625

Mga halimbawa ng mga gawain para sa pagkalkula ng kabuuan:

Ang isang geometric na pag-unlad ay ginagamit sa iba't ibang mga problema. Ang isang halimbawa para sa paghahanap ng kabuuan ay maaaring ibigay tulad ng sumusunod:

a 1 = 4, q \u003d 2, kalkulahinS 5.

Solusyon: ang lahat ng data na kinakailangan para sa pagkalkula ay kilala, kailangan mo lamang kapalit ang mga ito sa formula.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 \u003d 18. Kalkulahin ang kabuuan ng unang anim na elemento.

Desisyon:

Sa geom. pag-unlad, ang bawat susunod na elemento ay q beses na mas malaki kaysa sa naunang isa, iyon ay, upang makalkula ang kabuuan, kailangan mong malaman ang elementoa 1 at ang denominadorq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Katulad nito, kailangan mong hanapina 1 alama 2 atq.

a 1 · q = a 2

isang 1 \u003d2

S 6 = 728.

Kung ang bawat natural na numero n tumugma sa isang tunay na numero isang n pagkatapos ay sinabi nila na ito ay ibinigay pagkakasunod-sunod :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n , . . . .

Kaya, ang isang pagkakasunod-sunod na pagkakasunud-sunod ay isang function ng isang natural na argumento.

Bilang a 1 tinawag unang termino sa pagkakasunud-sunod , bilang a 2 — pangalawang termino , bilang a 3 — pangatlo atbp. Bilang isang n tinawag ang nth term ng pagkakasunud-sunod , at ang natural na numero n — ang kanyang bilang .

Sa dalawang kalapit na miyembro isang n at isang n +1 pagkakasunod na miyembro isang n +1 tinawag kasunod (patungo isang n ), at isang n — nauna (patungo isang n +1 ).

Upang tukuyin ang isang pagkakasunud-sunod, dapat mong tukuyin ang isang pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang makahanap ng isang miyembro ng pagkakasunud-sunod sa anumang numero.

Kadalasan ang pagkakasunud-sunod ay ibinigay kasama mga formula ng nth term , iyon ay, isang pormula na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang isang miyembro ng isang pagkakasunud-sunod sa bilang nito.

Halimbawa,

isang pagkakasunud-sunod ng mga positibong kakaibang numero ay maaaring matukoy ng formula

isang n= 2n -1,

at ang pagkakasunud-sunod ng alternating 1 at -1 - sa pamamagitan ng formula

b n = (-1) n +1 . ◄

Ang pagkakasunud-sunod ay maaaring matukoy pormula ng recursive, iyon ay, isang pormula na nagpapahayag ng sinumang miyembro ng isang pagkakasunod-sunod, na nagsisimula sa ilan, sa pamamagitan ng nakaraang (isa o higit pa) na mga miyembro.

Halimbawa,

kung ang a 1 = 1 , at isang n +1 = isang n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kung ang isang 1= 1, isang 2 = 1, isang n +2 = isang n + isang n +1 , pagkatapos ang unang pitong miyembro ng pagkakasunud-sunod na bilang ay itinakda tulad ng sumusunod:

isang 1 = 1,

isang 2 = 1,

isang 3 = isang 1 + isang 2 = 1 + 1 = 2,

isang 4 = isang 2 + isang 3 = 1 + 2 = 3,

isang 5 = isang 3 + isang 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ang mga pagkakasunud-sunod ay maaaring panghuli at walang katapusang .

Ang pagkakasunud-sunod ay tinatawag ang panghuli kung mayroon itong isang may hangganang bilang ng mga miyembro. Ang pagkakasunud-sunod ay tinatawag walang katapusang kung ito ay walang hanggan maraming mga miyembro.

Halimbawa,

isang pagkakasunud-sunod ng dalawang-digit na natural na mga numero:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

panghuli.

Isang pagkakasunud-sunod ng mga pangunahing numero:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

walang katapusang ◄

Ang pagkakasunud-sunod ay tinatawag tumataas , kung ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas malaki kaysa sa nauna.

Ang pagkakasunud-sunod ay tinatawag nababawasan kung ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - pagtaas ng pagkakasunud-sunod;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / n, . . . - isang bumababang pagkakasunud-sunod. ◄

Ang isang pagkakasunud-sunod na ang mga elemento ay hindi bumabawas sa pagtaas ng bilang, o, sa kabaligtaran, hindi tumaas, ay tinatawag pagkakasunod-sunod .

Ang mga pagkakasunud-sunod ng monotonic, lalo na, ay mga pagtaas ng mga pagkakasunud-sunod at pababang mga pagkakasunud-sunod.

Pag-unlad ng aritmetika

Pag-unlad ng aritmetika tinawag ang isang pagkakasunud-sunod, bawat miyembro ng kung saan, na nagsisimula sa pangalawa, ay katumbas ng naunang isa, kung saan idinagdag ang parehong bilang.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n, . . .

ay isang pag-unlad na aritmetika kung para sa anumang natural na numero n natutugunan ang kondisyon:

isang n +1 = isang n + d,

saan d - ilang numero.

Kaya, ang pagkakaiba sa pagitan ng susunod at ng mga nakaraang miyembro ng isang naibigay na pag-unlad na aritmetika ay palaging pare-pareho:

isang 2 - a 1 = isang 3 - a 2 = . . . = isang n +1 - isang n = d.

Bilang d tinawag pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.

Upang magtakda ng isang pag-unlad na aritmetika, sapat na upang ipahiwatig ang unang termino at pagkakaiba.

Halimbawa,

kung ang a 1 = 3, d = 4 , pagkatapos ay ang unang limang miyembro ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

isang 1 =3,

isang 2 = isang 1 + d = 3 + 4 = 7,

isang 3 = isang 2 + d= 7 + 4 = 11,

isang 4 = isang 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para sa pag-unlad ng aritmetika sa unang term a 1 at ang pagkakaiba d siya n

isang n = isang 1 + (n- 1)d.

Halimbawa,

hanapin ang ika-tatlumpung term ng pag-unlad ng aritmetika

1, 4, 7, 10, . . .

isang 1 =1, d = 3,

isang 30 = isang 1 + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

isang n-1 = isang 1 + (n- 2)d,

isang n= isang 1 + (n- 1)d,

isang n +1 = a 1 + nd,

pagkatapos ay malinaw naman

bawat kasapi ng pag-unlad ng aritmetika, na nagsisimula mula sa pangalawa, ay katumbas ng ibig sabihin ng arithmetic ng nauna at kasunod na mga miyembro.

mga numero a, b at c ay magkakasunod na kasapi ng ilang pag-unlad ng aritmetika kung at kung ang isa sa mga ito ay katumbas ng aritmetika na kahulugan ng iba pang dalawa.

Halimbawa,

isang n = 2n- 7 , ay isang pag-unlad na aritmetika.

Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

isang n = 2n- 7,

isang n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n- 9,

isang n + 1 = 2(n +1) - 7 = 2n- 5.

Samakatuwid,

◄

Tandaan na n - Ang termino ng pag-unlad ng aritmetika ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng a 1 , ngunit din ang anumang nauna a k

isang n = a k + (n- k)d.

Halimbawa,

para sa a 5 maaaring isulat

isang 5 = isang 1 + 4d,

isang 5 = isang 2 + 3d,

isang 5 = isang 3 + 2d,

isang 5 = isang 4 + d. ◄

isang n = isang n-k + kd,

isang n = isang n + k - kd,

pagkatapos ay malinaw naman

sinumang miyembro ng isang pag-unlad na aritmetika, na nagsisimula mula sa ikalawa, ay katumbas ng kalahating-kabuuan ng mga miyembro ng pag-unlad na ito ng aritmetika na pantay na naitala mula rito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad ng aritmetika, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

isang m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = isang 10 = isang 3 + 7d\u003d 7 + 7 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) isang 10= 28 = (19 + 37)/2 = (isang 7 + a 13)/2;

4) isang 2 + a 12 \u003d a 5 + a 9, bilang

isang 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

isang 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= isang 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ isang n,

una n ang mga kasapi ng pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng produkto ng kalahating-kabuuan ng matinding mga termino sa pamamagitan ng bilang ng mga termino:

Samakatuwid, sa partikular, sinusunod na kung kinakailangan upang sumulat ng mga term

a k, a k +1 , . . . , isang n,

pagkatapos ay pinapanatili ng nakaraang formula ang istraktura nito:

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kung ang isang pag-unlad na aritmetika ay ibinigay, kung gayon ang mga halaga a 1 , isang n, d, n atS n naka-link sa pamamagitan ng dalawang pormula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng tatlo sa dami na ito ay ibinibigay, kung gayon ang mga kaukulang halaga ng iba pang dalawang dami ay natutukoy mula sa mga formula, na pinagsama sa isang sistema ng dalawang mga equation na may dalawang hindi alam.

Ang isang pag-unlad na aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod ng monotonic. Saan:

• kung ang d > 0 , pagkatapos ay tumataas ito;
• kung ang d < 0 , pagkatapos ay bumababa;
• kung ang d = 0 , pagkatapos ay ang pagkakasunud-sunod ay magiging nakatigil.

Pag-unlad ng geometriko

Pag-unlad ng geometriko ang isang pagkakasunud-sunod ay tinatawag na, ang bawat miyembro ng kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng naunang isa, pinarami ng parehong bilang.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ay isang pag-unlad na geometric kung para sa anumang natural na numero n natutugunan ang kondisyon:

b n +1 = b n · q,

saan q ≠ 0 - ilang numero.

Kaya, ang ratio ng susunod na miyembro ng isang naibigay na geometric na pag-unlad sa nauna ay isang palagiang numero:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Bilang q tinawag denominator ng pag-unlad ng geometric.

Upang magtakda ng isang geometric na pag-unlad, sapat na upang ipahiwatig ang unang term at denominator.

Halimbawa,

kung ang b 1 = 1, q = -3 , pagkatapos ay ang unang limang miyembro ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 at ang denominador q siya n Ang termino ay maaaring matagpuan ng formula:

b n = b 1 · q n -1 .

Halimbawa,

hanapin ang ikapitong termino ng pag-unlad ng geometric 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

pagkatapos ay malinaw naman

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ang bawat miyembro ng isang geometric na pag-unlad, na nagsisimula mula sa pangalawa, ay katumbas ng geometric na kahulugan (proporsyonal) ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Dahil totoo ang salungat na pahayag, hawak ang sumusunod na pahayag:

ang mga numero a, b at c ay magkakasunod na mga kasapi ng ilang geometric na pag-unlad kung at kung ang parisukat lamang ng isa sa mga ito ay katumbas ng produkto ng iba pang dalawa, iyon ay, ang isa sa mga numero ay ang geometric na kahulugan ng iba pang dalawa.

Halimbawa,

patunayan natin na ang pagkakasunod-sunod na ibinigay ng formula b n \u003d -3 2 n , ay isang pag-unlad na geometric. Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

b n \u003d -3 2 n,

b n -1 \u003d -3 2 n -1 ,

b n +1 \u003d -3 2 n +1 .

Samakatuwid,

b n 2 \u003d (-3 2 n) 2 \u003d (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

na nagpapatunay sa kinakailangang pahayag. ◄

Tandaan na n - Ang termino ng pag-unlad ng geometriko ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng b 1 , ngunit din sa anumang nakaraang term b k , kung saan ito ay sapat na upang gamitin ang formula

b n = b k · q n - k.

Halimbawa,

para sa b 5 maaaring isulat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

pagkatapos ay malinaw naman

b n 2 = b n - k· b n + k

ang parisukat ng anumang miyembro ng isang geometric na pag-unlad, na nagsisimula mula sa ikalawa, ay katumbas ng produkto ng mga miyembro ng pag-unlad na ito na pantay na naitala mula dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad ng geometriko, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Halimbawa,

exponentially

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , bilang

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

una n mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad sa denominator q ≠ 0 kinakalkula ng formula:

At kailan q = 1 - ayon sa pormula

S n= nb 1

Tandaan na kung kailangan mong ipagsumite ang mga term

b k, b k +1 , . . . , b n,

pagkatapos ay ginagamit ang pormula:

Halimbawa,

exponentially 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kung ang isang geometric na pag-unlad ay ibinigay, kung gayon ang mga halaga b 1 , b n, q, n at S n naka-link sa pamamagitan ng dalawang pormula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng anumang tatlo sa mga dami na ito ay ibinibigay, kung gayon ang mga kaukulang halaga ng iba pang dalawang dami ay natutukoy mula sa mga formula, na pinagsama sa isang sistema ng dalawang mga equation na may dalawang hindi alam.

Para sa isang geometric na pag-unlad na may unang term b 1 at ang denominador q ang mga sumusunod katangian ng monotonisidad :

• ang pag-unlad ay umaakyat kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 at q> 1;

b 1 < 0 at 0 < q< 1;

• ang pag-unlad ay bumababa kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 at 0 < q< 1;

b 1 < 0 at q> 1.

Kung ang q< 0 , pagkatapos ay ang pag-unlad ng geometric ay alternating: ang mga miyembro nito na may mga kakaibang numero ay may parehong tanda bilang unang term nito, at ang mga miyembro na may mga numero ay may kabaligtaran na pag-sign. Malinaw na ang alternating geometric na pag-unlad ay hindi monotonic.

Ang gawain ng una n ang mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad ay maaaring kalkulahin ng formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Halimbawa,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Walang katapusang pagbaba ng pag-unlad ng geometriko

Isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad ng geometriko ay tinatawag na isang walang hanggan na pag-unlad na geometric, ang modulus ng denominator na kung saan ay mas kaunti 1 , i.e

|q| < 1 .

Tandaan na ang isang walang hanggan na pagbaba ng pag-unlad ng geometric ay maaaring hindi isang pagbawas na pagkakasunud-sunod. Nababagay ito sa kaso

1 < q< 0 .

Sa denominador na ito, ang pagkakasunud-sunod ay alternatibo. Halimbawa,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Ang kabuuan ng isang walang hanggan pagbaba ng pag-unlad ng geometric ay ang bilang kung saan ang kabuuan ng una n mga kasapi ng pag-unlad na may walang limitasyong pagtaas sa bilang n ... Ang bilang na ito ay palaging may hangganan at ipinahayag ng formula

Halimbawa,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Ang ugnayan sa pagitan ng mga aritmetika at geometric na pag-unlad

Ang mga pag-unlad na aritmetika at geometriko ay malapit na nauugnay. Tingnan natin ang dalawang halimbawa lamang.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d pagkatapos

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Halimbawa,

1, 3, 5, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba 2 at

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometric na pag-unlad sa denominator 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometric na pag-unlad sa denominator q pagkatapos

mag-log ng b 1, mag-log ng b 2, mag-log ng b 3, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba mag-log aq .

Halimbawa,

2, 12, 72, . . . - geometric na pag-unlad sa denominator 6 at

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba lg 6 . ◄

Aralin at pagtatanghal sa paksa: "Mga pagkakasunud-sunod ng bilang. Pag-unlad ng geometric"

Mga karagdagang materyales
Mga minamahal na gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, mga pagsusuri, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyales ay nasuri ng isang programa ng antivirus.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulators sa Integral online store para sa grade 9
Mga Degree at Roots Mga function at grap

Guys, ngayon magkakilala tayo sa isa pang uri ng pag-unlad.
Ang paksa ng aralin ngayon ay ang pag-unlad ng geometriko.

Pag-unlad ng geometriko

Halimbawa. 1,2,4,8,16 ... Ang pag-unlad ng geometriko, kung saan ang unang term ay katumbas ng isa, at $ q \u003d 2 $.

Halimbawa. 8,8,8,8 ... Geometric na pag-unlad, kung saan ang unang term ay katumbas ng walong,
at $ q \u003d 1 $.

Halimbawa. 3, -3.3, -3.3 ... Ang pag-unlad ng geometric, kung saan ang unang term ay katumbas ng tatlo,
at $ q \u003d -1 $.

Ang pag-unlad ng geometriko ay may mga katangian ng monotony.
Kung $ b_ (1)\u003e 0 $, $ q\u003e 1 $,
pagkatapos ay pataas ang pagkakasunud-sunod.
Kung $ b_ (1)\u003e 0 $, $ 0 Ang pagkakasunud-sunod ay karaniwang tinutukoy bilang: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.

Pati na rin sa isang pag-unlad na aritmetika, kung ang bilang ng mga elemento ay may hangganan sa isang geometric na pag-unlad, kung gayon ang pag-unlad ay tinatawag na isang wakas na pag-unlad na geometric.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $.
Tandaan, kung ang pagkakasunud-sunod ay isang pag-unlad na geometric, kung gayon ang pagkakasunud-sunod ng mga parisukat ng mga miyembro ay isang pag-unlad na geometric din. Para sa pangalawang pagkakasunud-sunod, ang unang term ay $ b_ (1) ^ 2 $, at ang denominador ay $ q ^ 2 $.

Formula ng term na n-th ng isang geometric na pag-unlad

Balikan natin ang ating mga halimbawa.

Halimbawa. 1,2,4,8,16 ... Geometric na pag-unlad, kung saan ang unang term ay katumbas ng isa,
at $ q \u003d 2 $.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n-1) $.

Halimbawa. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... Isang geometric na pag-unlad na kung saan ang unang term ay labing-anim at $ q \u003d \\ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

Halimbawa. 8,8,8,8 ... Ang isang geometric na pag-unlad na kung saan ang unang termino ay walong at $ q \u003d 1 $.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n-1) \u003d 8 $.

Halimbawa. 3, -3.3, -3.3 ... Isang geometric na pag-unlad na kung saan ang unang term ay tatlo at $ q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

Halimbawa. Bibigyan ka ng isang geometric na pag-unlad na $ b_ (1), b_ (2), ..., b_ (n), ... $.
a) Nabatid na $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 3 $. Maghanap ng $ b_ (5) $.
b) Ito ay kilala na $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d 768 $. Hanapin n.
c) Ito ay kilala na $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d 96 $. Maghanap ng $ b_ (1) $.
d) Ito ay kilala na $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d 4096 $. Maghanap ng q.

Desisyon.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 $.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n-1) \u003d 6 * 2 ^ (n-1) \u003d 768.
$ 2 ^ (n-1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $ mula $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n-1 \u003d 7; n \u003d 8 $.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - 3 $.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

Halimbawa. Ang pagkakaiba sa pagitan ng ika-pito at ikalimang termino ng pag-unlad ng geometric ay 192, ang kabuuan ng ikalima at ikaanim na termino ng pag-unlad ay 192. Hanapin ang ikasampung term ng pag-unlad na ito.

Desisyon.
Alam namin na: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ at $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
Alam din natin: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
Pagkatapos:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
Nakakuha kami ng isang sistema ng mga equation:
$ \\ magsimula (mga kaso) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ end (mga kaso) $.
Pagkakapantay-pantay, makuha ang aming mga equation:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 \u003d 0 $.
Nakakuha kami ng dalawang solusyon q: $ q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $.
Palitan nang sunud-sunod sa pangalawang equation:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d 4 $.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ walang mga solusyon.
Nakuha namin iyon: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d 2 $.
Hanapin ang ikasampung term: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d 2048 $.

Kabuuan ng pagtatapos ng geometric na pag-unlad

Hayaan ang isang natapos na pag-unlad na geometric: $ b_ (1), b_ (2), ..., b_ (n-1), b_ (n) $.
Ipakilala natin ang notasyon para sa kabuuan ng mga miyembro nito: $ S_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
Sa kaso kapag $ q \u003d 1 $. Ang lahat ng mga miyembro ng pag-unlad na geometric ay katumbas ng unang termino, kung gayon malinaw na ang $ S_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
Isaalang-alang ngayon ang kaso na $ q ≠ 1 $.
I-Multiply ang kabuuan sa itaas ng q.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
Tandaan:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

Nakuha namin ang formula para sa kabuuan ng isang may hangganan na pag-unlad na geometric.

Desisyon.
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d 4372 $.

Halimbawa.
Hanapin ang ikalimang termino ng pag-unlad ng geometriko, na kilala: $ b_ (1) \u003d - 3 $; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - 4095 $.

Desisyon.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n-1) \u003d - 3072 $.
$ q ^ (n-1) \u003d 1024 $.
$ q ^ (n) \u003d 1024q $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) \u003d - 4095 $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (1024q-1) $.
$ 1365q-1365 \u003d 1024q-1 $.
$ 341q \u003d $ 1364.
$ q \u003d 4 $.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

Katangian ng katangian ng isang geometric na pag-unlad

Ang isang sunud-sunod na pagkakasunud-sunod ay isang pag-unlad ng geometriko lamang kapag ang parisukat ng bawat miyembro nito ay katumbas ng produkto ng dalawang katabing miyembro ng pag-unlad. Huwag kalimutan na para sa isang walang katapusang pag-unlad na ang kondisyong ito ay hindi natutugunan para sa una at huling mga miyembro.

Ang modulus ng anumang miyembro ng isang geometric na pag-unlad ay katumbas ng geometric na kahulugan ng dalawang katabing miyembro.

Desisyon.
Gamitin natin ang katangian na katangian:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ at $ x_ (2) \u003d - 1 $.
Pagsusulat nang sunud-sunod sa orihinal na expression, ang aming mga solusyon:
Sa pamamagitan ng $ x \u003d 2 $, nakuha namin ang pagkakasunud-sunod: 4; 6; 9 - isang pag-unlad na geometric, kung saan $ q \u003d 1.5 $.
Sa $ x \u003d -1 $, nakuha namin ang pagkakasunud-sunod: 1; 0; 0.
Sagot: $ x \u003d 2. $

Mga gawain para sa malayang solusyon

Ang pag-unlad ng geometric, kasama ang pag-unlad ng aritmetika, ay isang mahalagang serye ng numero na pinag-aralan sa kurso ng algebra ng paaralan sa grade 9. Sa artikulong ito, isasaalang-alang namin ang denominator ng isang geometric na pag-unlad, at kung paano nakakaapekto ang halaga nito sa mga katangian nito.

Ang kahulugan ng isang geometric na pag-unlad

Una, bigyan natin ang kahulugan ng serye na ito. Ang pag-unlad ng geometric ay isang serye ng mga nakapangangatwiran na mga numero na nabuo sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagpaparami ng unang elemento nito sa pamamagitan ng isang palagiang numero na tinatawag na denominator.

Halimbawa, ang mga numero sa hilera 3, 6, 12, 24, ... ay isang pag-unlad na geometric, dahil kung dumami ang 3 (ang unang elemento) sa pamamagitan ng 2, makakakuha ka ng 6. Kung dumami ang 6 hanggang 2, nakakakuha ka ng 12, at iba pa.

Ang mga miyembro ng pagkakasunud-sunod sa ilalim ng pagsasaalang-alang ay kadalasang tinutukoy ng simbolo ai, kung saan ako ay isang integer na nagpapahiwatig ng bilang ng isang elemento sa hilera.

Ang kahulugan sa itaas ng isang pag-unlad ay maaaring isulat sa wika ng matematika tulad ng sumusunod: an \u003d bn-1 * a1, kung saan b ang denominador. Madaling suriin ang pormula na ito: kung n \u003d 1, pagkatapos ay b1-1 \u003d 1, at nakakakuha kami ng a1 \u003d a1. Kung n \u003d 2, pagkatapos ay isang \u003d b * a1, at muli naming natukoy ang kahulugan ng serye ng mga numero na isinasaalang-alang. Ang magkatulad na pangangatwiran ay maaaring ipagpatuloy para sa malalaking halaga ng n.

Denominator ng pag-unlad ng geometriko

Ganap na tinutukoy ng numero kung anong karakter ang magkakaroon ng buong serye. Ang denominator b ay maaaring maging positibo, negatibo, o mas malaki kaysa sa isa o mas kaunti. Ang lahat ng mga pagpipilian na ito ay humahantong sa iba't ibang mga pagkakasunud-sunod:

• b\u003e 1. Mayroong isang pagtaas ng serye ng mga nakapangangatwiran na mga numero. Halimbawa, 1, 2, 4, 8, ... Kung ang elemento a1 ay negatibo, kung gayon ang buong pagkakasunud-sunod ay tataas lamang sa ganap na halaga, ngunit bawasan ang isinasaalang-alang ang pag-sign ng mga numero.
• b \u003d 1. Ang ganitong kaso ay madalas na hindi tinatawag na isang pag-unlad, dahil mayroong isang karaniwang serye ng magkatulad na mga numero ng katwiran. Halimbawa, -4, -4, -4.

Pormula para sa dami

Bago magpatuloy sa pagsasaalang-alang ng mga tukoy na problema gamit ang denominador ng itinuturing na uri ng pag-unlad, isang mahalagang formula ang dapat ibigay para sa kabuuan ng mga unang n elemento. Ang pormula ay: Sn \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Maaari mong makuha ang pagpapahayag na ito sa iyong sarili kung isasaalang-alang mo ang isang pagkakasunod-sunod na pagkakasunud-sunod ng mga miyembro ng pag-unlad. Tandaan din na sa pormula sa itaas, sapat na upang malaman lamang ang unang elemento at ang denominador upang mahanap ang kabuuan ng isang di-makatwirang bilang ng mga termino.

Walang katapusang pagbaba ng pagkakasunud-sunod

Sa itaas ay binigyan ng paliwanag kung ano ito. Ngayon, alam ang formula para sa Sn, ilapat ito sa seryeng ito. Dahil ang anumang bilang na ang modulus ay hindi lalampas sa 1, kung itataas sa malalaking degree ay may posibilidad na zero, iyon ay, b∞ \u003d\u003e 0, kung -1

Dahil ang pagkakaiba (1 - b) ay palaging magiging positibo, anuman ang halaga ng denominador, ang tanda ng kabuuan ng pagbaba ng walang hanggan na pag-unlad ng geometric S∞ ay natatanging tinutukoy ng pag-sign ng unang elemento nito a1.

Ngayon isasaalang-alang namin ang maraming mga gawain, kung saan ipapakita namin kung paano ilalapat ang kaalaman na nakuha sa mga tiyak na numero.

Ang bilang ng problema 1. Pagkalkula ng mga hindi kilalang elemento ng pag-unlad at kabuuan

Bibigyan ka ng isang geometric na pag-unlad, ang denominator ng pag-unlad ay 2, at ang unang elemento nito ay 3. Ano ang mangyayari sa ika-7 at ika-10 term, at ano ang kabuuan ng pitong paunang elemento nito?

Ang kondisyon ng problema ay binubuo ng simple at ipinapalagay ang direktang paggamit ng mga formula sa itaas. Kaya, upang makalkula ang elemento na may bilang n, ginagamit namin ang expression ng isang \u003d bn-1 * a1. Para sa ika-7 elemento na mayroon kami: a7 \u003d b6 * a1, na humahalili sa kilalang data, nakukuha namin: a7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. Gawin namin ang parehong para sa ika-10 term: a10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.

Gumamit tayo ng kilalang formula para sa kabuuan at tukuyin ang halagang ito para sa unang 7 elemento ng serye. Mayroon kaming: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

Ang bilang ng problema 2. Pagtukoy ng kabuuan ng mga di-makatwirang elemento ng pag-unlad

Hayaan -2 maging ang denominator ng exponential na pag-unlad bn-1 * 4, kung saan n ay isang integer. Kinakailangan upang matukoy ang halaga mula ika-5 hanggang ika-10 elemento ng seryeng ito, kasama.

Hindi malulutas nang diretso ang problemang natapos gamit ang kilalang mga formula. Maaari itong malutas ng 2 iba't ibang mga pamamaraan. Para sa pagkumpleto, ipinapakita namin pareho.

Paraan 1. Ang ideya nito ay simple: kinakailangan upang makalkula ang dalawang kaukulang kabuuan ng mga unang termino, at pagkatapos ay ibawas ang isa mula sa isa. Kinakalkula namin ang mas maliit na halaga: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. Ngayon kinakalkula namin ang malaking kabuuan: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. Tandaan na sa huling pagpapahayag, 4 na mga term lamang ang naipon, dahil ang ika-5 ay kasama na sa kabuuan na kailangang kalkulahin ng pahayag ng problema. Panghuli, gawin ang pagkakaiba: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

Pamamaraan 2. Bago ipalit ang mga numero at pagbibilang, maaari kang makakuha ng isang pormula para sa kabuuan sa pagitan ng mga miyembro m at n ng serye na pinag-uusapan. Ginagawa namin nang eksakto tulad ng sa pamamaraan 1, tanging kami ay unang nagtatrabaho sa simbolikong representasyon ng kabuuan. Mayroon kaming: Snm \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) \u003d a1 * (bn - bm-1) / (b - 1). Maaari mong palitan ang mga kilalang numero sa nagresultang expression at kalkulahin ang panghuling resulta: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

Problem number 3. Ano ang denominator?

Hayaan ang a1 \u003d 2, hanapin ang denominator ng pag-unlad ng geometric, sa kondisyon na ang walang katapusang kabuuan nito ay 3, at kilala na ito ay isang bumababang serye ng mga numero.

Sa kondisyon ng problema, madaling hulaan kung aling pormula ang dapat gamitin upang malutas ito. Siyempre, para sa kabuuan ng pag-unlad ay walang hanggan bumababa. Mayroon kaming: S∞ \u003d a1 / (1 - b). Mula sa kung saan ipinahahayag namin ang denominador: b \u003d 1 - a1 / S∞. Ito ay nananatiling kapalit ang mga kilalang halaga at makuha ang kinakailangang numero: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 o -0.333 (3). Ang resulta na ito ay maaaring suriin nang husay kung naaalala natin na para sa ganitong uri ng pagkakasunud-sunod, ang modulus b ay hindi dapat lumampas sa 1. Tulad ng nakikita mo, | -1 / 3 |

Problem number 4. Pagbawi muli ng isang serye ng mga numero

Hayaan ang 2 elemento ng isang serye ng bilang, halimbawa, ang ika-5 ay katumbas ng 30 at ang ika-10 ay pantay sa 60. Kinakailangan na muling pagbuo ng buong serye mula sa mga datos na ito, alam na nasiyahan ang mga katangian ng isang pag-unlad na geometric.

Upang malutas ang problema, dapat mo munang isulat ang kaukulang expression para sa bawat kilalang term. Mayroon kaming: a5 \u003d b4 * a1 at a10 \u003d b9 * a1. Ngayon hinati natin ang pangalawang expression sa una, nakukuha natin: a10 / a5 \u003d b9 * a1 / (b4 * a1) \u003d b5. Mula dito, tinutukoy namin ang denominator sa pamamagitan ng pagkuha ng ikalimang ugat ng ratio ng mga term na kilala mula sa pahayag ng problema, b \u003d 1.148698. Pinalitan namin ang nagresultang numero sa isa sa mga expression para sa kilalang elemento, nakukuha namin: a1 \u003d a5 / b4 \u003d 30 / (1.148698) 4 \u003d 17.2304966.

Sa gayon, natagpuan namin kung ano ang denominator ng pag-unlad na bn, at ang pag-unlad ng geometric bn-1 * 17.2304966 \u003d an, kung saan b \u003d 1.148698.

Saan ginagamit ang mga geometric na pag-unlad?

Kung walang aplikasyon ng seryeng ito sa pagsasanay, kung gayon ang pag-aaral nito ay mababawasan upang puro teoretikal na interes. Ngunit mayroong tulad ng isang application.

Nasa ibaba ang 3 pinakasikat na mga halimbawa:

• Ang kabalintunaan ni Zeno, kung saan ang matalino na si Achilles ay hindi maaabutan ng mabagal na pagong, ay nalulutas gamit ang konsepto ng isang walang katapusang pagbaba ng pagkakasunud-sunod ng mga numero.
• Kung naglalagay ka ng mga butil ng trigo sa bawat parisukat ng chessboard upang ang 1 butil ay inilalagay sa 1st square, 2 - sa ika-2, 3 - sa ika-3, at iba pa, pagkatapos 18446744073709551615 butil ay kinakailangan upang punan ang lahat ng mga parisukat ng board!
• Sa laro ng Tower of Hanoi, upang maiayos ang mga disk mula sa isang baras patungo sa isa pa, kailangan mong magsagawa ng 2n - 1 na operasyon, iyon ay, ang kanilang bilang ay lumalaki nang malaki sa bilang ng mga disk n ginamit.