Ayon sa aklat ng Sovetov at Yakovlev: "ang isang modelo (lat. Modulus - sukat) ay isang kapalit na bagay para sa orihinal na bagay, na nagbibigay ng pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal." (p. 6) "Ang pagpapalit ng isang bagay sa isa pa upang makakuha ng impormasyon tungkol sa pinakamahalagang mga katangian ng orihinal na bagay gamit ang modelo ng bagay ay tinatawag na pagmomodelo." (p. 6) "Sa pamamagitan ng pagmomodelo sa matematika ibig sabihin namin ang proseso ng pagtataguyod ng pagsusulatan sa isang naibigay na tunay na bagay ng ilang bagay na matematika, na tinatawag na isang modelo ng matematika, at ang pag-aaral ng modelong ito, na nagpapahintulot sa isa na makuha ang mga katangian ng itinuturing na totoong bagay . Ang uri ng modelo ng matematika ay nakasalalay kapwa sa likas na katangian ng totoong bagay, at sa mga gawain ng pag-aaral ng bagay at ang kinakailangang pagiging maaasahan at kawastuhan ng paglutas ng problemang ito. "

Panghuli, ang pinaka-madaling maintindihan na kahulugan ng isang modelo ng matematika: "Isang equation na nagpapahayag ng isang ideya».

Pag-uuri ng modelo

Pormal na pag-uuri ng mga modelo

Ang pormal na pag-uuri ng mga modelo ay batay sa pag-uuri ng ginamit na mga tool sa matematika. Kadalasang itinatayo sa anyo ng mga dichotomies. Halimbawa, isa sa mga tanyag na hanay ng mga dichotomies:

atbp. Ang bawat itinakdang modelo ay linear o nonlinear, deterministic o stochastic, ... Naturally, magkahalong mga uri ay posible din: sa isang respeto, puro (sa mga tuntunin ng mga parameter), sa isa pa, ibinahagi na mga modelo, atbp.

Pag-uuri sa pamamagitan ng paraan ng pagpapakita ng bagay

Kasabay ng pormal na pag-uuri, ang mga modelo ay naiiba sa paraan ng pagkatawan ng isang bagay:

• Mga modelo ng istruktura o pagganap

Mga modelo ng istruktura kumakatawan sa isang bagay bilang isang system na may sariling aparato at mekanismo ng paggana. Mga functional na modelo huwag gumamit ng mga naturang representasyon at ipakita lamang ang panlabas na pinaghihinalaang pag-uugali (paggana) ng bagay. Sa kanilang panghuli na expression, sila ay tinatawag ding mga "itim na kahon" na mga modelo. Posible rin ang mga pinagsamang uri ng modelo, kung minsan ay tinutukoy bilang " kahon na kulay abo».

Malaki at pormal na mga modelo

Halos lahat ng mga may-akda na naglalarawan sa proseso ng pagmomodelo sa matematika ay nagpapahiwatig na ang isang espesyal na perpektong istraktura ay unang itinayo, makabuluhang modelo ... Walang itinatag na terminolohiya dito, at ang ibang mga may-akda ay tumatawag sa ideyal na bagay na ito haka-haka na modelo , haka-haka na modelo o premodel ... Sa kasong ito, ang huling konstruksyon sa matematika ay tinawag pormal na modelo o simpleng modelo ng matematika na nakuha bilang isang resulta ng pormalisasyon ng isang naibigay na makabuluhang modelo (pre-model). Ang pagbuo ng isang makabuluhang modelo ay maaaring gampanan gamit ang isang hanay ng mga handa nang ideyalisasyon, tulad ng sa mekanika, kung saan ang mga perpektong bukal, mahigpit na katawan, mainam na pendulum, nababanat na media, atbp ay nagbibigay ng mga nakahandang elemento ng istruktura para sa makabuluhang pagmomodelo. Gayunpaman, sa mga larangan ng kaalaman kung saan walang ganap na nakumpletong mga pormal na teorya (ang gilid ng pisika, biology, ekonomiya, sosyolohiya, sikolohiya, at karamihan sa iba pang mga lugar), ang paggawa ng mga makabuluhang modelo ay mas mahirap.

Malaking pag-uuri ng mga modelo

Walang teorya sa agham ang napatunayan nang isang beses at para sa lahat. Nilinaw ito ni Richard Feynman:

"Palagi kaming may pagkakataon na tanggihan ang isang teorya, ngunit, pansinin, hindi natin mapatunayan na tama ito. Ipagpalagay na nakapagpalabas ka ng isang mahusay na teorya, kinakalkula kung saan hahantong ito, at nalaman na ang lahat ng mga kahihinatnan nito ay nakumpirma nang eksperimento. Nangangahulugan ba ito na ang iyong teorya ay tama? Hindi, nangangahulugan lamang ito na nabigo kang tanggihan ito. "

Kung ang isang modelo ng unang uri ay naitayo, nangangahulugan ito na pansamantalang kinikilala ito bilang totoo at posible na mag-isip sa iba pang mga problema. Gayunpaman, hindi ito maaaring maging isang punto sa pagsasaliksik, ngunit isang pansamantalang pag-pause lamang: ang katayuan ng isang modelo ng unang uri ay maaaring pansamantala lamang.

Type 2: Modelo ng phenomenological (kumilos na parang…)

Naglalaman ang phenomenological model ng isang mekanismo para sa paglalarawan ng hindi pangkaraniwang bagay. Gayunpaman, ang mekanismong ito ay hindi sapat na nakakumbinsi, hindi sapat na makumpirma ng magagamit na data, o hindi sang-ayon sa mga umiiral na teorya at naipon na kaalaman tungkol sa bagay. Samakatuwid, ang mga phenomenological na modelo ay may katayuan ng pansamantalang mga solusyon. Pinaniniwalaan na ang sagot ay hindi pa rin alam at ang paghahanap para sa "totoong mekanismo" ay dapat magpatuloy. Ang Peierls ay may kasamang, halimbawa, ang modelo ng caloric at ang quark model ng mga elementarya ng elementarya sa pangalawang uri.

Ang papel na ginagampanan ng modelo sa pagsasaliksik ay maaaring magbago sa paglipas ng panahon, maaaring mangyari na ang mga bagong data at teorya ay nagkukumpirma ng mga phenomenological na modelo at maitaguyod ang mga ito sa katayuan ng isang teorya. Gayundin, ang bagong kaalaman ay maaaring unti-unting magkasalungat sa mga modelo ng hipotesis ng unang uri, at ang mga maaaring isalin sa pangalawa. Kaya, ang modelo ng quark ay unti-unting dumadaan sa kategorya ng mga pagpapalagay; Ang atomism sa pisika ay lumitaw bilang isang pansamantalang solusyon, ngunit sa kurso ng kasaysayan ay naipasa sa unang uri. Ngunit ang mga modelo ng ether ay gumawa ng kanilang paraan mula sa uri 1 hanggang uri 2, at ngayon ay nasa labas na sila ng agham.

Ang ideya ng pagpapasimple ay napakapopular kapag nagtatayo ng mga modelo. Ngunit ang pagpapasimple ay naiiba. Ang mga Peierls ay nakikilala ang tatlong uri ng mga pagpapasimple sa pagmomodelo.

Uri 3: Paglalapit (isinasaalang-alang namin ang isang bagay na napakalaki o napakaliit)

Kung posible na bumuo ng mga equation na naglalarawan sa system na pinag-aaralan, hindi ito nangangahulugan na malulutas sila kahit sa isang computer. Ang karaniwang tinatanggap na pamamaraan sa kasong ito ay ang paggamit ng mga approximations (mga modelo ng uri 3). Sa kanila mga modelo ng linear na tugon... Ang mga equation ay pinalitan ng mga linear. Ang isang karaniwang halimbawa ay ang batas ni Ohm.

At narito ang uri 8, malawak na ginagamit sa mga modelo ng matematika ng mga biological system.

Uri 8: Pagpapakita ng posibilidad (ang pangunahing bagay ay upang ipakita ang panloob na pagkakapare-pareho ng posibilidad)

Iniisip din itong mga eksperimento. kasama ng mga haka-haka na nilalang, na ipinapakita iyon sinasabing kababalaghan naaayon sa pinagbabatayan na mga prinsipyo at pare-pareho sa panloob. Ito ang pangunahing pagkakaiba mula sa mga modelo ng Type 7, na nagsisiwalat ng mga nakatagong kontradiksyon.

Ang isa sa pinakatanyag na naturang mga eksperimento ay ang geometry ni Lobachevsky (tinawag ito ni Lobachevsky na "haka-haka na geometry"). Ang isa pang halimbawa ay ang malawakang paggawa ng pormal na mga modelo ng kinetic ng kemikal at biological oscillations, autowaves, atbp. Ang Einstein - Podolsky - Rosen kabalintunaan ay ipinaglihi bilang isang uri ng 7 na modelo upang ipakita ang hindi pagkakapare-pareho ng mga mekanika ng kabuuan. Sa isang ganap na hindi planadong paraan, sa paglipas ng panahon, naging isang uri ng modelo ng 8 - isang pagpapakita ng posibilidad ng dami ng teleportasyon ng impormasyon.

Halimbawa

Isaalang-alang ang isang mekanikal na sistema na binubuo ng isang spring na nakakabit sa isang dulo at isang bigat na masa na nakakabit sa libreng dulo ng tagsibol. Ipagpapalagay namin na ang timbang ay maaari lamang ilipat sa direksyon ng spring axis (halimbawa, ang paggalaw ay nangyayari sa kahabaan ng pamalo). Bumuo tayo ng isang modelo ng matematika ng sistemang ito. Ilalarawan namin ang estado ng system sa pamamagitan ng distansya mula sa gitna ng pagkarga sa posisyon ng balanse nito. Ilarawan natin ang pakikipag-ugnayan ng tagsibol at pag-load gamit ang batas ni Hooke () pagkatapos nito ay gagamitin namin ang pangalawang batas ni Newton upang ipahayag ito sa anyo ng isang kaugalian sa pagkakatulad:

kung saan nangangahulugang ang pangalawang pagkakataon na nagmula:

Ang nagresultang equation ay naglalarawan sa modelo ng matematika ng isinasaalang-alang pisikal na sistema. Ang pattern na ito ay tinatawag na "harmonic oscillator".

Ayon sa pormal na pag-uuri, ang modelong ito ay linear, deterministic, dynamic, concentrated, tuloy-tuloy. Sa proseso ng pagbuo nito, gumawa kami ng maraming mga pagpapalagay (tungkol sa kawalan ng panlabas na pwersa, kawalan ng alitan, maliit na paglihis, atbp.), Na sa katunayan ay maaaring hindi matupad.

Kaugnay sa katotohanan, madalas itong isang uri ng 4 na modelo. pagpapasimple ("Tinatanggal namin ang ilang mga detalye para sa kalinawan"), dahil ang ilang mahahalagang unibersal na tampok (halimbawa, pagwawaldas) ay tinanggal. Sa ilang mga pamamaraang (sabihin, habang ang paglihis ng pagkarga mula sa balanse ay maliit, na may mababang pagkikiskisan, para sa hindi masyadong mahabang oras at sa ilalim ng ilang ibang mga kundisyon), tulad ng isang modelo ay naglalarawan ng isang tunay na mekanikal na sistema ng maayos, dahil ang mga itinapon na kadahilanan ay may bale-wala ang epekto sa pag-uugali nito ... Gayunpaman, ang modelo ay maaaring pino sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa ilan sa mga salik na ito. Ito ay hahantong sa isang bagong modelo na may isang mas malawak (kahit na limitadong muli) saklaw ng kakayahang magamit.

Gayunpaman, kapag pinino ang modelo, ang pagiging kumplikado ng pananaliksik sa matematika ay maaaring tumaas nang malaki at gawing walang silbi ang modelo. Kadalasan, pinapayagan ng isang mas simpleng modelo ang isang mas mahusay at mas malalim na pag-aaral ng totoong sistema kaysa sa isang mas kumplikadong (at, pormal, "mas tama").

Kung ilalapat natin ang modelo ng harmonic oscillator sa mga bagay na malayo sa pisika, maaaring magkakaiba ang makahulugang katayuan nito. Halimbawa, kapag inilalapat ang modelong ito sa mga biological populasyon, malamang na ito ay maiuri bilang uri 6 pagkakatulad ("Isaalang-alang lamang natin ang ilan sa mga tampok").

Mahirap at malambot na mga modelo

Ang Harmonic Oscillator ay isang halimbawa ng tinatawag na "mahirap" na modelo. Ito ay nakuha bilang isang resulta ng isang malakas na pag-idealize ng isang tunay na pisikal na sistema. Upang malutas ang isyu ng pagkakagamit nito, kinakailangang maunawaan kung gaano kahalaga ang mga salik na pinabayaan natin. Sa madaling salita, kinakailangan upang siyasatin ang "malambot" na modelo, na nakuha ng isang maliit na pagkagambala ng "mahirap" na isa. Maaari itong ibigay, halimbawa, sa pamamagitan ng sumusunod na equation:

Narito ang isang tiyak na pag-andar, na maaaring isaalang-alang ang puwersa ng alitan o ang pag-asa ng koepisyent ng tigas ng tagsibol sa antas ng extension nito, ay isang maliit na parameter. Hindi kami interesado sa malinaw na anyo ng pagpapaandar sa ngayon. Kung pinatunayan natin na ang pag-uugali ng malambot na modelo ay hindi naiiba sa panimula ng pag-uugali ng isa (hindi alintana ang malinaw na anyo ng mga nakakaabala na mga kadahilanan, kung ang mga ito ay sapat na maliit), ang problema ay mababawasan sa pag-aaral ng matigas modelo Kung hindi man, ang aplikasyon ng mga resulta na nakuha sa pag-aaral ng matibay na modelo ay mangangailangan ng karagdagang pananaliksik. Halimbawa, ang solusyon ng equic ng harmonic oscillator ay mga pagpapaandar ng form, iyon ay, mga oscillation na may pare-parehong amplitude. Sinusundan ba mula rito na ang isang tunay na oscillator ay makikilos sa isang walang katapusang mahabang panahon na may pare-pareho na amplitude? Hindi, dahil isinasaalang-alang ang isang system na may di-makatwirang maliit na alitan (laging naroroon sa isang tunay na system), nakakakuha kami ng mga basang oscillation. Ang pag-uugali ng system ay nagbago nang malaki.

Kung panatilihin ng isang sistema ang husay na pag-uugali nito sa ilalim ng maliliit na kaguluhan, sinasabing matatag sa istruktura. Ang isang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng isang hindi matatag na istruktura (di-magaspang) na sistema. Gayunpaman, ang modelong ito ay maaaring mailapat sa mga proseso ng pag-aaral sa paglipas ng limitadong agwat ng oras.

Nababago ang laki ng mga modelo

Ang pinakamahalagang mga modelo sa matematika ay karaniwang may isang mahalagang pag-aari unibersalidad: sa panimula magkakaibang mga totoong phenomena ay maaaring inilarawan ng parehong modelo ng matematika. Halimbawa o isang pagbabago sa kasalukuyang lakas sa isang oscillatory circuit. Kaya, sa pag-aaral ng isang modelo ng matematika, pinag-aaralan namin nang sabay-sabay ang isang buong klase ng mga phenomena na inilarawan nito. Ito mismo ang isomorphism ng mga batas na ipinahayag ng mga modelo ng matematika sa iba't ibang mga bahagi ng kaalamang pang-agham na gawa ni Ludwig von Bertalanffy upang lumikha ng isang "Pangkalahatang teorya ng mga sistema".

Direkta at kabaligtaran na mga problema sa pagmomodelo sa matematika

Maraming mga problema na nauugnay sa pagmomodelo sa matematika. Una, kinakailangan upang makabuo ng pangunahing pamamaraan ng naka-modelo na bagay, upang kopyahin ito sa loob ng balangkas ng mga ideyalipikasyon ng agham na ito. Kaya, ang isang kotse ng tren ay nagiging isang sistema ng mga plato at mas kumplikadong mga katawan na gawa sa iba't ibang mga materyales, ang bawat materyal ay itinakda bilang pamantayang mekanikal na ideyalisasyon (density, nababanat na moduli, karaniwang mga katangian ng lakas), pagkatapos kung saan iginuhit ang mga equation, sa daan ang ilang mga detalye ay itinapon bilang hindi gaanong mahalaga, ang mga kalkulasyon ay ginawa, kumpara sa mga sukat, ang modelo ay pino, at iba pa. Gayunpaman, para sa pagpapaunlad ng mga teknolohiya sa pagmomodelo ng matematika, kapaki-pakinabang na i-disassemble ang prosesong ito sa mga pangunahing elemento ng nasasakupan nito.

Ayon sa kaugalian, mayroong dalawang pangunahing klase ng mga problema na nauugnay sa mga modelo ng matematika: direkta at kabaligtaran.

Direktang gawain: ang istraktura ng modelo at lahat ng mga parameter nito ay itinuturing na kilala, ang pangunahing gawain ay upang magsagawa ng isang pag-aaral ng modelo upang makuha ang kapaki-pakinabang na kaalaman tungkol sa bagay. Anong static load ang makatiis ng tulay? Ano ang magiging reaksyon nito sa isang pabagu-bagong pag-load (halimbawa, sa martsa ng isang kumpanya ng mga sundalo, o sa daanan ng isang tren sa iba't ibang bilis), kung paano malalampasan ng eroplano ang tunog na hadlang, kung mahulog ito mula sa pag-flutter - ito ang mga tipikal na halimbawa ng isang direktang gawain. Ang pagtatakda ng tamang direktang problema (pagtatanong ng tamang tanong) ay nangangailangan ng espesyal na kasanayan. Kung ang mga tamang katanungan ay hindi tinanong, ang tulay ay maaaring gumuho, kahit na ang isang mahusay na modelo ay binuo para sa pag-uugali nito. Kaya, noong 1879 sa Great Britain isang tulay na metal sa Tay ang gumuho, na ang mga tagadisenyo ay nagtayo ng isang modelo ng tulay, kinakalkula ito para sa isang 20-tiklop na kadahilanan sa kaligtasan para sa kargamento, ngunit nakalimutan ang tungkol sa hangin na patuloy na humihip sa mga lugar na iyon. At makalipas ang isang taon at kalahati, gumuho ito.

Sa pinakasimpleng kaso (isang oscillator equation, halimbawa) ang direktang problema ay napaka-simple at binabawasan sa isang malinaw na solusyon ng equation na ito.

Kabaligtaran problema: maraming mga posibleng modelo ang kilala, kailangan mong pumili ng isang tukoy na modelo batay sa karagdagang data tungkol sa bagay. Kadalasan, ang istraktura ng modelo ay kilala at ang ilang mga hindi kilalang mga parameter ay kailangang matukoy. Ang karagdagang impormasyon ay maaaring binubuo sa karagdagang data ng empirical, o sa mga kinakailangan para sa object ( hamon sa disenyo). Ang karagdagang data ay maaaring dumating nang nakapag-iisa sa proseso ng paglutas ng kabaligtaran na problema ( passive surveillance) o maging resulta ng isang espesyal na nakaplanong eksperimento ( aktibong pagsubaybay).

Ang isa sa mga unang halimbawa ng isang virtuoso solution ng kabaligtaran na problema sa may pinakamaraming posibleng paggamit ng magagamit na data ay ang pamamaraan ng pagpapanumbalik ng mga puwersa ng alitan mula sa mga naobserbahang dampal na oscillation, na itinayo ni I. Newton.

Ang isa pang halimbawa ay ang mga istatistika ng matematika. Ang gawain ng agham na ito ay upang bumuo ng mga pamamaraan ng pagrehistro, paglalarawan at pagtatasa ng data ng pagmamasid at pang-eksperimentong may hangarin na bumuo ng mga probabilistic na modelo ng mga mass random phenomena. Yung. ang hanay ng mga posibleng modelo ay limitado sa mga probabilistic na modelo. Sa mga partikular na gawain, ang hanay ng mga modelo ay mas limitado.

Mga system ng simulation ng computer

Upang suportahan ang pagmomodelo sa matematika, ang mga system ng computer matematika ay binuo, halimbawa, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, atbp Pinapayagan ka nilang lumikha ng pormal at harangan ang mga modelo ng parehong simple at kumplikadong mga proseso at aparato at madaling baguhin ang mga parameter ng modelo habang pagmomodelo I-block ang mga modelo ay kinakatawan ng mga bloke (madalas na graphic), ang hanay at koneksyon nito ay itinatakda ng diagram ng modelo.

Karagdagang mga halimbawa

Modelong Malthus

Ang rate ng paglago ay proporsyonal sa kasalukuyang laki ng populasyon. Ito ay inilarawan ng kaugalian na equation

kung saan ang ilang mga parameter na tinutukoy ng pagkakaiba sa pagitan ng pagkamayabong at dami ng namamatay. Ang solusyon sa equation na ito ay isang exponential function. Kung lumampas ang rate ng kapanganakan sa rate ng pagkamatay (), ang laki ng populasyon ay tumataas nang walang katiyakan at napakabilis. Malinaw na sa katotohanan hindi ito maaaring mangyari dahil sa limitadong mapagkukunan. Kapag naabot ang isang tiyak na kritikal na dami ng populasyon, ang modelo ay tumitigil na maging sapat, dahil hindi ito isinasaalang-alang ang limitadong mga mapagkukunan. Ang modelo ng Malthus ay maaaring pino ng modelo ng logistic, na inilarawan ng pagkakatulad na pagkakaiba-iba ng Verhulst

saan ang "balanse" na laki ng populasyon, kung saan ang rate ng kapanganakan ay eksaktong binabayaran ng rate ng pagkamatay. Ang laki ng populasyon sa naturang modelo ay may kaugaliang halaga ng balanse, at ang ugali na ito ay matatag sa istruktura.

Sistema ng mandaragit

Sabihin nating ang dalawang uri ng mga hayop ay nakatira sa isang tiyak na lugar: mga kuneho (pagpapakain sa mga halaman) at mga fox (pagpapakain sa mga kuneho). Hayaan ang bilang ng mga rabbits, ang bilang ng mga foxes. Gamit ang modelo ng Malthus na may mga kinakailangang susog, isinasaalang-alang ang pagkain ng mga kuneho ng mga fox, napunta kami sa sumusunod na system, na naglalaman ng pangalan mga modelo ng Lotki - Volterra:

Ang sistemang ito ay may isang estado ng balanse kung ang bilang ng mga rabbits at foxes ay pare-pareho. Ang paglihis mula sa estado na ito ay humahantong sa mga pagbabago-bago sa bilang ng mga rabbits at foxes, na kahalintulad ng mga pagbagu-bago sa harmonic oscillator. Tulad ng kaso ng harmonic oscillator, ang pag-uugali na ito ay hindi matatag sa istraktura: isang maliit na pagbabago sa modelo (halimbawa, isinasaalang-alang ang limitadong mga mapagkukunan na kinakailangan ng mga kuneho) ay maaaring humantong sa isang husay na pagbabago sa pag-uugali. Halimbawa, ang isang estado ng balanse ay maaaring maging matatag, at ang mga pagbabagu-bago ng bilang ay mawawala. Posible rin ang kabaligtaran na sitwasyon, kapag ang anumang maliit na paglihis mula sa posisyon ng balanse ay hahantong sa mga mapaminsalang kahihinatnan, hanggang sa kumpletong pagkalipol ng isa sa mga species. Ang modelo ng Volterra-Lotka ay hindi nagbibigay ng isang sagot sa tanong kung alin sa mga senaryong ito ang napagtanto: kinakailangan ng karagdagang pananaliksik dito.

Mga tala

1. "Isang representasyong matematika ng katotohanan" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Sa mga pilosopong isyu ng pagmomodelo sa cybernetic. M., Kaalaman, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng Sistema: Teksbuk. para sa mga unibersidad - ika-3 ed., rev. at idagdag. - M.: Mas mataas. shk., 2001 .-- 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarskiy A.A., Mikhailov A.P. Pagmomodelo sa matematika. Mga Ideya Paraan. Mga halimbawa. - Ika-2 ed., Rev. - M.: Fizmatlit, 2001 .-- ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - Ika-3 ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Pagmomodelo ng mga teknolohikal na proseso: aklat / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. - M.: Industriya ng Magaan at Pagkain, 1984 .-- 344 p.
7. Wiktionary: modelo ng matematika
8. CliffNotes.com. Earth Science Glossary. 20 Sep 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approach para sa Multiscale Phenomena, Springer, kumplikadong serye, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 pp. ISBN 3-540-35885-4
10. "Ang isang teorya ay itinuturing na linear o nonlinear, nakasalalay sa kung ito ay isang linear o nonlinear matematika na patakaran ng pamahalaan, at kung anong uri ng linear o nonlinear na mga modelo ng matematika ang ginagamit nito. ... Nang walang pagwawaksi sa huli. Isang modernong pisisista, kung muling nilikha niya ang isang kahulugan ng isang mahalagang kakanyahan bilang hindi linyaridad, malamang, magkakaiba ang ginawa niya, at, mas gusto ang hindi linyaridad bilang mas mahalaga at laganap ng dalawang magkasalungat, ay tutukoy sa linearity bilang 'hindi nonlinearity '. " Danilov Yu.A., Mga lektura sa hindi linear na dinamika. Isang panimula sa elementarya. Serye na "Synergetics: mula sa nakaraan hanggang sa hinaharap". Edisyon 2. - M.: URSS, 2006 .-- 208 p. ISBN 5-484-00183-8
11. "Ang mga sistemang dinamika na na-modelo ng isang may hangganan na bilang ng mga ordinaryong kaugalian sa pagkakatulad ay tinatawag na mga lumped o point system. Inilarawan ang mga ito gamit ang isang may hangganan na dimensional na puwang ng yugto at nailalarawan sa isang may hangganang bilang ng mga degree ng kalayaan. Ang isa at ang parehong sistema sa ilalim ng iba't ibang mga kundisyon ay maaaring isaalang-alang alinman sa puro o bilang ipinamahagi. Ang mga modelo ng matematika ng mga ipinamamahagi na system ay bahagyang mga pagkakatulad na equation, integral na mga equation, o ordinaryong mga equation na may isang lagging argument. Ang bilang ng mga degree ng kalayaan ng isang ipinamamahagi na system ay walang hanggan, at isang walang katapusang halaga ng data ang kinakailangan upang matukoy ang estado nito. " Anischenko V.S., Dynamical system, Soros educational journal, 1997, blg. 11, p. 77-84.
12. "Depende sa likas na katangian ng mga napag-aralan na proseso sa S system, ang lahat ng mga uri ng pagmomodelo ay maaaring nahahati sa deterministic at stochastic, static at dynamic, discrete, tuluy-tuloy at discrete-tuloy. Ang deterministikong pagmomodelo ay nagpapakita ng mga deterministikong proseso, iyon ay, mga proseso kung saan ipinapalagay ang kawalan ng anumang mga random na impluwensya; ipinapakita ng stochastic modeling ang mga probabilistic na proseso at kaganapan. ... Ang static na pagmomodelo ay ginagamit upang ilarawan ang pag-uugali ng isang bagay sa anumang punto sa oras, habang ang dinamikong pagmomodelo ay sumasalamin sa pag-uugali ng isang bagay sa oras. Ginagamit ang discrete modeling upang ilarawan ang mga proseso na ipinapalagay na discrete, ayon sa pagkakabanggit, pinapayagan ka ng tuluy-tuloy na pagmomodelo na ipakita ang mga patuloy na proseso sa mga system, at ang discrete-tuloy na pagmomodelo ay ginagamit para sa mga kaso kung nais mong i-highlight ang pagkakaroon ng parehong discrete at tuluy-tuloy na proseso. " Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Karaniwan, ang modelo ng matematika ay sumasalamin sa istraktura (aparato) ng simulate na bagay, mga katangian at ugnayan ng mga bahagi ng bagay na ito na mahalaga para sa mga hangarin sa pagsasaliksik; ang ganitong modelo ay tinatawag na istruktural. Kung ang modelo ay sumasalamin lamang kung paano gumana ang isang bagay - halimbawa, kung paano ito tumutugon sa panlabas na impluwensya - pagkatapos ito ay tinatawag na functional o, sa makasagisag, isang itim na kahon. Posible rin ang mga pinagsamang modelo. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. "Isang halata, ngunit ang pinakamahalagang paunang yugto ng pagbuo o pagpili ng isang modelo ng matematika ay nakaklilinaw hangga't maaari ng isang ideya tungkol sa naka-modelo na bagay at paglilinaw ng makabuluhang modelo batay sa impormal na mga talakayan. Ang isa ay hindi dapat magtipid ng oras at pagsisikap sa yugtong ito; ang tagumpay ng buong pag-aaral ay higit na nakasalalay dito. Nangyari ito nang higit sa isang beses na ang makabuluhang gawaing ginugol sa paglutas ng isang problema sa matematika ay naging hindi epektibo o nasayang pa dahil sa hindi sapat na pansin sa bahaging ito ng bagay. " Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - Ika-3 ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
15. « Paglalarawan ng konsepto ng konsepto ng system. Sa sub-yugto na ito ng pagbuo ng isang modelo ng system: a) ang modelong pang-konsepto M ay inilarawan sa mga abstract na termino at konsepto; b) isang paglalarawan ng modelo ay ibinibigay gamit ang mga tipikal na matematika na iskema; c) mga pagpapalagay at palagay ay sa wakas ay tinanggap; d) pinatutunayan ang pagpili ng mga pamamaraan para sa approximating tunay na proseso kapag pagbuo ng isang modelo. " Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng Sistema: Teksbuk. para sa mga unibersidad - ika-3 ed., rev. at idagdag. - M.: Mas mataas. shk., 2001 .-- 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.
16. Blekhman I.I., Myshkis A.D., Panovko N.G., Inilapat na Matematika: Paksa, lohika, mga kakaibang diskarte. Na may mga halimbawa mula sa mekanika: Tutorial. - Ika-3 ed., Rev. at idagdag. - M.: URSS, 2006 .-- 376 p. ISBN 5-484-00163-3, Kabanata 2.

Posibleng subaybayan ang dynamics ng pag-unlad ng isang bagay, ang panloob na kakanyahan ng mga ratios ng mga elemento nito at iba't ibang mga estado sa proseso ng disenyo lamang sa tulong ng mga modelo gamit ang prinsipyo ng pabagu-bago na pagkakatulad, iyon ay, sa tulong ng mga modelo ng matematika.

Matematikal na modelo ay isang sistema ng mga ugnayan sa matematika na naglalarawan sa proseso o hindi pangkaraniwang bagay na pinag-aaralan. Upang lumikha ng isang modelo ng matematika, maaari mong gamitin ang anumang mga paraan ng matematika - itakda ang teorya, matematika na lohika, ang wika ng kaugalian o integral na mga equation. Ang proseso ng pag-iipon ng isang modelo ng matematika ay tinatawag pagmomodelo sa matematika... Tulad ng ibang mga uri ng modelo, nagpapakita ang isang modelo ng matematika ng isang problema sa isang pinasimple na form at inilalarawan lamang ang mga katangian at pattern na pinakamahalaga para sa isang naibigay na bagay o proseso. Pinapayagan ng modelo ng matematika para sa maraming panig na pagtatasa ng dami. Ang pagbabago ng paunang data, pamantayan, paghihigpit, sa tuwing makakakuha ka ng pinakamainam na solusyon para sa mga ibinigay na kundisyon at matukoy ang karagdagang direksyon ng paghahanap.

Ang paglikha ng mga modelo ng matematika ay nangangailangan ng kanilang mga tagabuo, bilang karagdagan sa kaalaman sa pormal na lohikal na pamamaraan, isang masusing pagsusuri ng bagay na pinag-aaralan upang mahigpit na mabuo ang mga pangunahing ideya at panuntunan, pati na rin makilala ang isang sapat na halaga ng maaasahang katotohanan, statistical at normative data.

Dapat pansinin na ang lahat ng kasalukuyang ginagamit na mga modelo ng matematika ay tumutukoy inireseta... Ang layunin ng pagbuo ng mga iniresetang modelo ay upang ipahiwatig ang direksyon ng paghahanap ng isang solusyon, habang ang layunin ng pagbuo naglalarawan mga modelo - isang salamin ng mga tunay na proseso ng pag-iisip ng tao.

Ang pananaw ay lubos na laganap na sa tulong ng matematika posible na makakuha lamang ng ilang data na may bilang sa bagay o proseso na pinag-aaralan. "Siyempre, maraming mga disiplina sa matematika ang naglalayong makuha ang panghuling resulta sa bilang. Ngunit upang mabawasan ang mga pamamaraan sa matematika lamang sa gawain ng pagkuha ng isang bilang ay nangangahulugang walang habas na paghihikayat ng matematika, paghikayatin ang posibilidad ng makapangyarihang sandata na mayroon ang mga mananaliksik sa kanilang mga kamay ngayon ...

Ang isang modelo ng matematika na nakasulat sa isa o ibang partikular na wika (halimbawa, mga pagkakapantay-pantay na equation) ay sumasalamin sa ilang mga katangian ng tunay na pisikal na mga proseso. Bilang isang resulta ng pagtatasa ng mga modelo ng matematika, nakukuha namin, una sa lahat, ang mga kwalitatibong ideya tungkol sa mga tampok ng mga proseso sa ilalim ng pag-aaral, nagtataguyod kami ng mga pattern na tumutukoy sa pabagu-bagong serye ng mga sunud-sunod na estado, nakakakuha kami ng pagkakataon na mahulaan ang kurso ng iproseso at tukuyin ang mga dami nitong katangian. "

Ang mga modelo ng matematika ay ginagamit sa maraming kilalang mga diskarte sa pagmomodelo. Kabilang sa mga ito ay ang pagbuo ng mga modelo na naglalarawan sa static at pabago-bagong estado ng bagay, mga modelo ng pag-optimize.

Ang isang halimbawa ng mga modelo ng matematika na naglalarawan sa static at pabago-bagong estado ng isang bagay ay maaaring iba't ibang mga pamamaraan ng tradisyunal na mga kalkulasyon ng mga istraktura. Ang proseso ng pagkalkula, na ipinakita sa anyo ng isang pagkakasunud-sunod ng mga pagpapatakbo ng matematika (algorithm), ay nagbibigay-daan sa amin upang sabihin na ang isang modelo ng matematika ay iginuhit upang makalkula ang isang tiyak na istraktura.

SA pag-optimizeang mga modelo ay may tatlong elemento:

Pag-andar ng layunin, na sumasalamin sa tinatanggap na pamantayan sa kalidad;

Naaayos na mga parameter;

Nagpapataw ng mga paghihigpit.

Ang lahat ng mga elementong ito ay dapat na inilarawan sa matematika sa anyo ng mga equation, lohikal na kondisyon, atbp. Ang solusyon sa problema sa pag-optimize ay ang proseso ng paghahanap ng minimum (maximum) na halaga ng layunin na pag-andar, napapailalim sa tinukoy na mga hadlang. Ang resulta ng solusyon ay itinuturing na pinakamainam kung ang pag-andar ng layunin ay umabot sa matinding halaga nito.

Ang isang halimbawa ng isang modelo ng pag-optimize ay isang paglalarawan sa matematika ng pamantayan ng "haba ng bono" sa pamamaraan ng iba't ibang disenyo ng mga gusaling pang-industriya.

Ang layunin ng pag-andar ay sumasalamin sa kabuuang timbang na haba ng lahat ng mga koneksyon sa pag-andar, na dapat magsikap sa isang minimum:

saan ang halaga ng timbang ng koneksyon ng elemento sa;

- ang haba ng koneksyon sa pagitan ng at mga elemento;

- ang kabuuang bilang ng mga elemento na mailalagay.

Dahil ang mga lugar ng mga inilagay na elemento ng lugar sa lahat ng mga pagkakaiba-iba ng solusyon sa disenyo ay pantay-pantay, ang mga pagkakaiba-iba ay magkakaiba sa isa't isa lamang sa iba't ibang mga distansya sa pagitan ng mga elemento at ng kanilang lokasyon na may kaugnayan sa bawat isa. Samakatuwid, sa kasong ito, ang mga koordinasyon ng mga elemento na inilagay sa mga plano sa sahig ay ang naaayos na mga parameter.

Nagpapataw ng mga paghihigpit sa pag-aayos ng mga elemento (sa isang paunang natukoy na lugar ng plano, sa panlabas na perimeter, isa sa itaas ng isa pa, atbp.) At sa haba ng mga link (ang mga halaga ng haba ng mga link sa pagitan ng at Ang mga elemento ay itinakda nang mahigpit, ang minimum o maximum na mga limitasyon sa halaga ay nakatakda, ang mga limitasyon ng pagbabago ay itinakdang mga halaga) ay nakasulat nang pormal.

Ang isang variant ay itinuturing na pinakamainam (ayon sa pamantayan na ito) kung ang halaga ng layunin ng layunin na kalkulahin para sa variant na ito ay minimal.

Isang uri ng mga modelo ng matematika - modelong pang-ekonomiya at matematika - ay isang modelo ng ugnayan sa pagitan ng mga katangian ng ekonomiya at mga parameter ng system.

Ang isang halimbawa ng mga modelong pang-ekonomiya at matematika ay ang paglalarawan ng matematika ng pamantayan sa gastos sa nabanggit na pamamaraan sa iba't ibang disenyo ng mga gusaling pang-industriya. Ang mga modelo ng matematika na nakuha gamit ang mga pamamaraan ng mga istatistika ng matematika ay sumasalamin sa pagpapakandili ng gastos ng frame, mga pundasyon, gawaing lupa ng isang palapag at multi-palapag na mga gusaling pang-industriya at ang kanilang taas, haba at taas ng mga sumusuporta sa mga istruktura.

Ayon sa pamamaraan ng accounting para sa impluwensya ng mga random na kadahilanan sa paggawa ng desisyon, ang mga modelo ng matematika ay nahahati sa deterministic at probabilistic. Deterministic ang modelo ay hindi isinasaalang-alang ang impluwensya ng mga random na kadahilanan sa proseso ng paggana ng system at batay sa isang analitikong representasyon ng mga batas ng paggana. Probabilistic (stochastic)isinasaalang-alang ng modelo ang impluwensya ng mga random na kadahilanan sa proseso ng paggana ng system at batay sa istatistika, ibig sabihin dami ng pagtatasa ng mga phenomena ng pang-masa, na pinapayagan na isaalang-alang ang kanilang pagiging hindi linya, dynamics, random na mga kaguluhan na inilarawan ng iba't ibang mga batas sa pamamahagi.

Gamit ang mga halimbawa sa itaas, masasabi nating ang modelo ng matematika na naglalarawan sa pamantayan na "haba ng mga link" ay tumutukoy sa deterministic, at ang mga modelo ng matematika na naglalarawan sa pangkat ng mga pamantayan na "gastos" - sa mga probabilistic na modelo.

Mga modelo ng pangwika, semantiko at impormasyon

Ang mga modelo ng matematika ay may halatang merito, tulad ng pagsukat ng mga aspeto ng isang problema ay nagbibigay ng isang malinaw na ideya ng mga prayoridad ng mga layunin. Mahalaga na palaging mabibigyang katwiran ng isang dalubhasa ang pag-aampon ng isang desisyon sa pamamagitan ng pagpapakita ng kaukulang data sa bilang. Gayunpaman, ang isang kumpletong paglalarawan ng matematika ng mga aktibidad ng proyekto ay imposible, samakatuwid, ang karamihan sa mga gawain na nalutas sa unang yugto ng disenyo ng arkitektura at konstruksyon ay tumutukoy sa semi-istruktura.

Ang isa sa mga tampok ng mga gawaing semi-istraktura ay isang pandiwang paglalarawan ng mga pamantayang ginamit sa kanila. Panimula ng pamantayan na inilarawan sa natural na wika (ang mga naturang pamantayan ay tinawag pangwika), pinapayagan kang gumamit ng mas kaunting mga kumplikadong pamamaraan upang makahanap ng pinakamainam na mga solusyon sa disenyo. Dahil sa mga pamantayang ito, nagdidisenyo ang taga-disenyo batay sa pamilyar, hindi maiiwasang mga pagpapahayag ng layunin.

Ang isang makabuluhang paglalarawan ng lahat ng mga aspeto ng problema ay nagpapakilala sa systematization sa proseso ng solusyon nito, sa isang banda, at sa kabilang banda, lubos na pinapadali ang gawain ng mga dalubhasa na, nang hindi pinag-aaralan ang mga kaugnay na seksyon ng matematika, ay maaaring mas malutas ang paglutas ng kanilang mga problemang propesyonal. Sa igos 5.2 ay ibinigay modelong pangwikana naglalarawan ng mga posibilidad ng paglikha ng mga kundisyon para sa natural na bentilasyon sa iba't ibang mga pagpipilian para sa pagpaplano ng mga solusyon ng panaderya.

Ang iba pang mga kalamangan ng isang makabuluhang paglalarawan ng problema ay ang mga sumusunod:

Ang kakayahang ilarawan ang lahat ng mga pamantayan na tumutukoy sa pagiging epektibo ng solusyon sa disenyo. Sa parehong oras, mahalaga na ang mga kumplikadong konsepto ay maaaring ipakilala sa paglalarawan at sa larangan ng paningin ng isang dalubhasa, kasama ang dami, nasusukat na mga kadahilanan, ang mga husay na hindi masusukat ay isasama din. Kaya, sa oras ng paggawa ng desisyon, gagamitin ang lahat ng paksa at layunin na impormasyon;

Larawan: 5.2 Paglalarawan ng nilalaman ng pamantayan na "bentilasyon" sa anyo ng isang modelong pangwika

Ang posibilidad ng isang hindi malinaw na pagtatasa ng antas ng nakamit na layunin sa mga pagpipilian para sa isang naibigay na pamantayan batay sa salitang ginamit ng mga dalubhasa, na tinitiyak ang pagiging maaasahan ng natanggap na impormasyon;

Ang kakayahang isaalang-alang ang kawalan ng katiyakan na nauugnay sa hindi kumpletong kaalaman sa lahat ng mga kahihinatnan ng mga desisyon na ginawa, pati na rin ang impormasyon ng isang hinuhulaan na kalikasan.

Ang mga modelo ng semantiko ay kabilang din sa mga modelo na gumagamit ng natural na wika upang ilarawan ang bagay ng pagsasaliksik.

Modelong semantiko - mayroong gayong pagkatawan ng bagay, na sumasalamin sa antas ng pagkakaugnay (kalapitan) sa pagitan ng iba't ibang mga bahagi ng nasasakupan, aspeto, katangian ng bagay. Ang pagkakaugnay ay nauunawaan hindi bilang isang kamag-anak na pag-aayos ng spatial, ngunit bilang isang koneksyon sa pamamagitan ng kahulugan.

Kaya, sa semantiko na kahulugan, ang ugnayan sa pagitan ng koepisyent ng natural na pag-iilaw at ang lugar ng ilaw ng mga transparent na enclosure ay ipapakita bilang mas malapit kaysa sa ugnayan sa pagitan ng mga bukana ng bintana at mga katabing bulag na seksyon ng dingding.

Ang kabuuan ng mga ugnayan ng pagkakakonekta ay ipinapakita kung ano ang bawat elemento at ang bagay sa kabuuan ay inilalaan sa isang bagay. Sa parehong oras, ang modelo ng semantiko ay sumasalamin, bilang karagdagan sa antas ng pagkakakonekta ng iba't ibang mga aspeto sa bagay, pati na rin ang nilalaman ng mga konsepto. Ang mga konsepto na ipinahayag sa natural na wika ay nagsisilbing mga modelo ng elementarya.

Ang pagtatayo ng mga modelo ng semantiko ay batay sa mga prinsipyo alinsunod sa kung aling mga konsepto at relasyon ang hindi nagbabago sa buong panahon ng paggamit ng modelo; ang nilalaman ng isang konsepto ay hindi pumasa sa isa pa; ang mga koneksyon sa pagitan ng dalawang mga konsepto ay may pantay at hindi direktang pakikipag-ugnay na may paggalang sa kanila.

Ang bawat pagtatasa ng modelo ay naglalayong pumili ng mga elemento ng modelo na may isang tiyak na karaniwang kalidad. Nagbibigay ito ng batayan para sa pagbuo ng isang algorithm na isinasaalang-alang lamang ang mga direktang koneksyon. Kapag binago ang isang modelo sa isang hindi direktang grap, hinahanap ang isang landas sa pagitan ng dalawang elemento na sinusubaybayan ang paggalaw mula sa isang elemento patungo sa isa pa, na ginagamit lamang ang bawat elemento nang isang beses. Ang pagkakasunud-sunod ng mga elemento ay tinatawag na pagkakasunud-sunod ng dalawang elemento. Ang mga pagkakasunud-sunod ay maaaring may iba't ibang haba. Ang pinakamaikling mga ito ay tinatawag na mga ugnayan ng elemento. Ang isang pagkakasunud-sunod ng dalawang mga elemento ay mayroon din kung mayroong isang direktang koneksyon sa pagitan ng mga ito, ngunit sa kasong ito ay walang relasyon.

Bilang isang halimbawa ng isang modelo ng semantiko, magbibigay kami ng isang paglalarawan ng layout ng isang apartment kasama ang mga link sa komunikasyon. Ang konsepto ay ang nasasakupan ng isang apartment. Ang direktang koneksyon ay nangangahulugang isang functional na koneksyon ng dalawang silid, halimbawa sa pamamagitan ng isang pintuan (tingnan ang talahanayan 5.1).

Ang pagbabago ng modelo sa isang hindi direktang form ng grap ay nagbibigay-daan sa iyo upang makakuha ng isang pagkakasunud-sunod ng mga elemento (Larawan 5.3).

Ang mga halimbawa ng pagkakasunud-sunod na nabuo sa pagitan ng elemento 2 (banyo) at elemento 6 (pantry) ay ipinapakita sa talahanayan. 5.2. Tulad ng nakikita mo mula sa talahanayan, ang pagkakasunud-sunod ng 3 ay kumakatawan sa ratio ng dalawang elementong ito.

Talahanayan 5.1

Paglalarawan ng layout ng apartment

Larawan: 5.3 Paglalarawan ng solusyon sa pagpaplano sa anyo ng isang hindi direktang grap

Matematikal na modelo ay isang sistema ng mga ugnayan sa matematika - mga formula, equation, inequalities, atbp., na sumasalamin ng mahahalagang katangian ng isang bagay o hindi pangkaraniwang bagay.

Ang bawat kababalaghan ng kalikasan ay walang hanggan sa pagiging kumplikado nito... Ilarawan natin ito gamit ang isang halimbawang kinuha mula sa V.N. Trostnikov "Tao at Impormasyon" (Publishing House "Agham", 1970).

Inilahad ng layman ang problema sa matematika tulad ng sumusunod: "Gaano katagal mahuhulog ang isang bato mula sa taas na 200 metro?" Ang matematiko ay magsisimulang lumikha ng kanyang bersyon ng problema na tinatayang tulad nito: "Ipagpalagay natin na ang bato ay nahuhulog sa walang bisa at ang pagbilis ng gravity ay 9.8 metro bawat segundo bawat segundo. Pagkatapos ..."

- Hayaan mo ako - Maaaring sabihin na "customer", - hindi ako nasiyahan sa pagpapasimple na ito. Nais kong malaman nang eksakto kung gaano katagal mahuhulog ang bato sa totoong mga kondisyon, at hindi sa walang umiiral na walang bisa.

- Sige, - sasang-ayon ang matematiko. - Ipagpalagay natin na ang bato ay may isang spherical na hugis at diameter ... Ano ang humigit-kumulang na diameter nito?

- Mga limang sentimetrong. Ngunit ito ay hindi spherical sa lahat, ngunit pahaba.

- Pagkatapos ay ipalagay natin na siyaellipsoidal na may mga axle shafts na apat, tatlo at tatlong sentimetro at na siyanahuhulog upang ang semi-pangunahing axis ay mananatiling patayo sa lahat ng oras ... Ipinapalagay na ang presyon ng hangin ay760 mm Hg , mula dito makikita natin ang density ng hangin...

Kung ang isa na nagbigay ng problema sa wikang "tao" ay hindi pa lalo na makagambala sa kurso ng pag-iisip ng dalub-agbilang, kung gayon ang huli ay magbibigay ng isang numerong sagot pagkatapos ng ilang sandali. Ngunit ang "consumer" ay maaaring tumututol tulad ng dati: ang bato ay talagang hindi ellipsoidal, ang presyon ng hangin sa lugar na iyon at sa sandaling iyon ay hindi katumbas ng 760 mm Hg, atbp. Ano ang isasagot sa kanya ng matematiko?

Sasagutin niya iyon isang eksaktong solusyon sa isang tunay na problema sa pangkalahatan ay imposible... Hindi lang iyon hugis ng batona nakakaapekto sa paglaban ng hangin, hindi mailarawan ng anumang equation sa matematika; ang pag-ikot nito sa paglipad ay lampas din sa matematika dahil sa pagiging kumplikado nito. Dagdag dito, ang hangin ay hindi homogenous, dahil, bilang isang resulta ng pagkilos ng mga random na kadahilanan, ang mga pagbabago-bago ng mga pagbabagu-bago ng density ay lumitaw dito. Kung lalalim ka pa, kailangan mong isaalang-alang iyon alinsunod sa batas ng unibersal na gravitation, ang bawat katawan ay kumikilos sa bawat iba pang katawan... Sinusundan mula rito na kahit na ang palawit ng relo ng dingding ay binabago ang daanan ng bato kasama ang paggalaw nito.

Sa madaling salita, kung sineseryoso naming nais na tumpak na siyasatin ang pag-uugali ng isang bagay, kailangan muna nating alamin ang lokasyon at bilis ng lahat ng iba pang mga bagay sa Uniberso. At ito, syempre. imposible.

Ang pinaka-mabisang modelo ng matematika ay maaaring ipatupad sa isang computer sa anyo ng isang modelo ng algorithm - ang tinaguriang "computational eksperimento" (tingnan ang [1], talata 26).

Siyempre, ang mga resulta ng isang eksperimento sa computational ay maaaring maging hindi totoo kung ang modelo ay hindi isinasaalang-alang ang ilang mahahalagang aspeto ng katotohanan.

Kaya, paglikha ng isang modelo ng matematika para sa paglutas ng isang problema, kailangan mong:

1. i-highlight ang mga pagpapalagay na kung saan ay batay ang modelo ng matematika;
2. matukoy kung ano ang isasaalang-alang bilang input data at mga resulta;
3. isulat ang mga ugnayan sa matematika na nag-uugnay sa mga resulta sa orihinal na data.

Kapag nagtatayo ng mga modelo ng matematika, malayo sa laging posible na makahanap ng mga formula na malinaw na nagpapahayag ng kinakailangang dami sa mga tuntunin ng data. Sa mga ganitong kaso, ginagamit ang mga pamamaraang matematika upang magbigay ng mga sagot sa isang degree o iba pang kawastuhan. Hindi lamang ang pagmomodelo sa matematika ng isang kababalaghan, kundi pati na rin ang pagmomodelo ng visual-full-scale, na ibinibigay sa pamamagitan ng pagpapakita ng mga hindi pangkaraniwang bagay na ito sa pamamagitan ng mga graphic sa computer, ibig sabihin. isang uri ng "computer cartoon" na kinukunan sa real time ay ipinakita bago ang mananaliksik. Napakataas ng visibility dito.

Iba pang mga entry

10.06.2016. 8.3. Ano ang mga pangunahing yugto ng proseso ng pag-unlad ng programa? 8.4. Paano suriin ang teksto ng programa bago pumunta sa computer?

8.3. Ano ang mga pangunahing yugto ng proseso ng pag-unlad ng software? Ang proseso ng pagbuo ng isang programa ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng sumusunod na pormula: Normal lamang na magkaroon ng mga pagkakamali sa isang bagong binuo na programa ...

10.06.2016. 8.5. Para saan ang pag-debug at pagsubok? 8.6. Ano ang debugging? 8.7. Ano ang pagsusulit at pagsubok? 8.8. Ano ang dapat na data ng pagsubok? 8.9. Ano ang mga yugto ng proseso ng pagsubok?

8.5. Para saan ang pag-debug at pagsubok? Ang pag-debug ng isang programa ay ang proseso ng paghanap at pag-aalis ng mga error sa isang programa batay sa mga resulta ng pagpapatakbo nito sa isang computer. Pagsubok…

10.06.2016. 8.10. Ano ang mga karaniwang pagkakamali sa pag-program? 8.11. Ang kawalan ba ng mga error sa syntax ay isang pahiwatig na ang programa ay tama? 8.12. Anong mga error ang hindi napansin ng tagasalin? 8.13. Ano ang pagpapanatili ng programa?

8.10. Ano ang mga karaniwang pagkakamali sa pag-program? Ang mga pagkakamali ay maaaring gawin sa lahat ng mga yugto ng paglutas ng isang problema - mula sa pagbubuo nito hanggang sa pagpapatupad nito. Ang mga uri ng pagkakamali at kaukulang mga halimbawa ay ibinibigay ...

Unang antas

Mga modelo ng matematika para sa OGE at PAGGAMIT (2019)

Ang konsepto ng isang modelo ng matematika

Isipin ang isang eroplano: mga pakpak, fuselage, buntot, lahat ng ito nang magkasama - isang tunay na napakalaking, napakalawak, buong eroplano. O maaari kang gumawa ng isang modelo ng isang eroplano, maliit, ngunit ang lahat ay sa katunayan, magkaparehong mga pakpak, atbp, ngunit siksik. Gayundin ang modelo ng matematika. Mayroong isang problema sa salita, mahirap, maaari mo itong tingnan, basahin, ngunit hindi masyadong maunawaan, at higit na hindi malinaw kung paano ito malulutas. Ngunit paano kung gumawa tayo ng isang maliit na modelo ng isang malaking pandiwang problema, isang modelo ng matematika? Ano ang ibig sabihin ng matematika? Nangangahulugan ito, gamit ang mga panuntunan at batas ng notasyong matematika, upang muling gawing isang maayos na representasyon ang teksto gamit ang mga numero at palatandaan ng aritmetika. Kaya, ang isang modelo ng matematika ay isang representasyon ng isang tunay na sitwasyon gamit ang isang wikang matematika.

Magsimula tayo sa isang simpleng: Ang bilang ay mas malaki kaysa sa bilang ayon sa. Kailangan naming isulat ito nang hindi gumagamit ng mga salita, ngunit sa wika lamang ng matematika. Kung higit sa pamamagitan, pagkatapos ay lumalabas na kung magbawas kami mula sa, pagkatapos ang parehong pagkakaiba ng mga bilang na ito ay mananatiling pantay. Yung. o. Naiintindihan ang kakanyahan?

Ngayon ay mas kumplikado ito, ngayon magkakaroon ng isang teksto na dapat mong subukang kumatawan sa anyo ng isang modelo ng matematika, hanggang mabasa mo kung paano ko ito gagawin, subukan mo ito mismo! Mayroong apat na numero :, at. Ang trabaho ay mas malaki kaysa sa trabaho at dalawang beses.

Anong nangyari?

Sa anyo ng isang modelo ng matematika, ganito ang hitsura:

Yung. ang produkto ay nauugnay sa dalawa hanggang isa, ngunit maaari pa rin itong gawing simple:

Sa gayon, okay, sa simpleng mga halimbawa na nakukuha mo ang punto, palagay ko. Lumipat tayo sa ganap na mga problema kung saan kailangan pa ring malutas ang mga modelong pang-matematika na ito! Narito ang hamon.

Modelong pang-matematika sa pagsasanay

Suliranin 1

Pagkatapos ng pag-ulan, maaaring tumaas ang antas ng tubig sa balon. Sinusukat ng batang lalaki ang oras ng pagbagsak ng mga maliliit na bato sa balon at kinakalkula ang distansya sa tubig gamit ang formula, kung saan ang distansya sa metro at ang oras ng pagbagsak ng ilang segundo. Bago ang ulan, ang oras para sa pagbagsak ng mga bato ay s. Gaano karaming dapat tumaas ang antas ng tubig pagkatapos ng pag-ulan para sa sinusukat na oras upang mabago ng s? Ipahayag ang iyong sagot sa metro.

Diyos ko! Anong mga pormula, anong uri ng balon, ano ang nangyayari, ano ang dapat gawin? Nabasa ko ba ang isip mo? Mamahinga, sa mga problema ng ganitong uri ng kundisyon ay mas masahol pa, ang pangunahing bagay ay tandaan na sa problemang ito interesado ka sa mga pormula at relasyon sa pagitan ng mga variable, at kung ano ang ibig sabihin ng lahat ng ito sa karamihan ng mga kaso ay hindi masyadong mahalaga. Ano ang nakikita mong kapaki-pakinabang dito? Personal kong nakikita. Ang prinsipyo para sa paglutas ng mga problemang ito ay ang mga sumusunod: kunin ang lahat ng mga kilalang dami at palitan ang mga ito.NGUNIT, minsan kailangan mong mag-isip!

Kasunod sa aking unang payo, at pinapalitan ang lahat ng kilala sa equation, nakukuha namin ang:

Ako ang pumalit sa oras ng isang segundo, at natagpuan ang taas na ang bato ay lumipad bago ang ulan. At ngayon kailangan nating bilangin pagkatapos ng ulan at hanapin ang pagkakaiba!

Ngayon pakinggan ang pangalawang payo at pag-isipan ito, tinukoy ng tanong na "kung gaano dapat tumaas ang antas ng tubig pagkatapos ng pag-ulan upang ang sinusukat na oras ay magbabago ng s". Kaagad kinakailangan upang tantyahin, soooo, pagkatapos ng pag-ulan tumaas ang antas ng tubig, na nangangahulugang ang oras ng pagbagsak ng bato sa antas ng tubig ay mas maikli at narito ang gayak na pariralang "upang ang sinusukat na pagbabago ng oras" ay tumatagal ng isang tiyak na kahulugan : ang oras ng taglagas ay hindi tataas, ngunit bumababa ng tinukoy na mga segundo. Nangangahulugan ito na sa kaso ng pagkahagis pagkatapos ng ulan, kailangan lamang naming ibawas ang c mula sa paunang oras c, at nakukuha namin ang equation para sa taas na lilipad ang bato pagkatapos ng ulan:

At sa wakas, upang makita kung magkano ang antas ng tubig ay dapat tumaas pagkatapos ng pag-ulan, kaya't ang sinusukat na oras ay nagbabago ng s., Kailangan mo lamang ibawas ang pangalawa mula sa unang taas ng taglagas!

Nakuha namin ang sagot: sa pamamagitan ng metro.

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado, ang pangunahing bagay ay, huwag mag-abala nang labis kung saan nagmula ang isang hindi naiintindihan at kung minsan ay kumplikadong equation sa mga kondisyon at kung ano ang ibig sabihin ng lahat dito, dalhin ang aking salita para dito, karamihan sa mga equation na ito ay kinuha mula sa pisika, at mayroong isang gubat na mas masahol kaysa sa algebra. Minsan tila sa akin na ang mga problemang ito ay naimbento upang takutin ang mag-aaral sa pagsusulit na may kasaganaan ng mga kumplikadong pormula at termino, at sa karamihan ng mga kaso hindi nila ito nangangailangan ng anumang kaalaman. Basahin lamang nang mabuti ang kundisyon at i-plug ang mga kilalang halaga sa formula!

Narito ang isa pang problema, hindi na sa pisika, ngunit mula sa mundo ng teoryang pang-ekonomiya, kahit na ang kaalaman sa mga agham maliban sa matematika ay hindi kinakailangan muli dito.

Suliranin 2

Ang pag-asa ng dami ng demand (mga yunit bawat buwan) para sa mga produkto ng monopolistong negosyo sa presyo (libong rubles) ay ibinibigay ng pormula

Ang kita ng kumpanya para sa buwan (sa libong rubles) ay kinakalkula gamit ang formula. Tukuyin ang pinakamataas na presyo kung saan ang buwanang kita ay hindi bababa sa isang libong rubles. Ibigay ang iyong sagot sa libong rubles.

Hulaan kung ano ang gagawin ko ngayon? Yeah, sisimulan kong palitan ang alam natin, ngunit, muli, kakailanganin kong mag-isip ng kaunti. Tayo ay umalis mula sa wakas, kailangan nating hanapin kung saan. Kaya, mayroon, pati na rin ang ilan, nahanap namin kung ano pa ang katumbas, at pantay ito, kaya isinusulat namin ito. Tulad ng nakikita mo, hindi ako masyadong nag-aalala tungkol sa kahulugan ng lahat ng mga halagang ito, tinitingnan ko lamang mula sa mga kundisyon na kung ano ang pantay, kaya kailangan mong gawin ito. Bumalik tayo sa problema, mayroon ka na nito, ngunit habang naaalala mo mula sa isang equation na may dalawang variable, wala sa kanila ang mahahanap, ano ang gagawin? Yeah, mayroon pa kaming isang hindi nagamit na piraso sa kundisyon. Ngayon, mayroon nang dalawang mga equation at dalawang variable, na nangangahulugan na ngayon ang parehong mga variable ay matatagpuan - mahusay!

- malulutas mo ba ang gayong sistema?

Malulutas namin sa pamamagitan ng pagpapalit, naipahayag na namin ito, kaya pinalitan namin ito sa unang equation at pinapasimple.

Ito ay lumiliko tulad ng isang quadratic equation :, malulutas namin, ang mga ugat ay tulad nito,. Sa gawain, kailangan mong hanapin ang pinakamataas na presyo kung saan matutugunan ang lahat ng mga kundisyon na isinasaalang-alang namin noong naipon ang system. Oh, ito pala ang presyo. Cool, kaya nakakita kami ng mga presyo: at. Ang pinakamataas na presyo, sasabihin mo? Okay, ang pinakamalaki sa kanila, malinaw naman, ay tugon at nagsusulat kami. Well, mahirap ba? Sa palagay ko hindi, at hindi na kailangang maghanap ng sobra!

At narito ang nakakatakot na pisika, o sa halip, isa pang hamon:

Suliranin 3

Upang matukoy ang mabisang temperatura ng mga bituin, ang batas ng Stefan - Boltzmann ay ginagamit, ayon sa kung saan, saan ang lakas ng radiation ng bituin, ay pare-pareho, ay ang pang-ibabaw na lugar ng bituin, at ang temperatura. Alam na ang ibabaw na bahagi ng ilang bituin ay pantay, at ang lakas ng radiation nito ay katumbas ng W. Hanapin ang temperatura ng bituin na ito sa degree Kelvin.

Saan ito nagmula? Oo, sinasabi ng kundisyon kung ano ang pantay. Dati, inirerekumenda kong palitan ang lahat ng hindi kilala nang sabay-sabay, ngunit dito mas mahusay na ipahayag muna ang hindi kilalang hinahangad. Tingnan kung gaano kasimple ang lahat: mayroong isang pormula at kilala ito, at (ito ang titik na Griyego na "sigma". Sa pangkalahatan, gusto ng mga pisiko ang mga titik na Griyego, masanay dito). At ang temperatura ay hindi alam. Ipahayag natin ito bilang isang formula. Sana alam mo kung paano ito gawin? Ang mga nasabing takdang aralin para sa GIA sa grade 9 ay karaniwang ibinibigay:

Ngayon ay nananatili itong kapalit ng mga numero sa halip na mga titik sa kanang bahagi at gawing simple:

Narito ang sagot: degree Kelvin! At anong kakila-kilabot na gawain nito!

Patuloy naming pinahihirapan ang mga gawain sa pisika.

Suliranin 4

Ang taas sa itaas ng lupa ng isang bola na itinapon paitaas ay nagbabago ayon sa batas, kung saan ang taas sa metro, ay ang oras sa mga segundo na lumipas mula nang itapon. Ilang segundo ang mananatili ang bola ng hindi bababa sa tatlong metro ang taas?

Iyon ang lahat ng mga equation, ngunit narito kinakailangan upang matukoy kung magkano ang bola sa taas na hindi bababa sa tatlong metro, nangangahulugan iyon sa taas. Ano ang bubuo namin? Hindi pagkakapantay-pantay, eksakto! Mayroon kaming pagpapaandar na naglalarawan kung paano lumilipad ang bola, kung saan may parehong taas sa metro, kailangan namin ng taas. Ibig sabihin

At ngayon ay nilulutas mo lamang ang hindi pagkakapantay-pantay, ang pangunahing bagay ay, huwag kalimutang baguhin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay mula sa mas malaki sa o katumbas ng mas mababa o pantay, kapag pinarami mo ng magkabilang panig ng hindi pagkakapareho upang mapupuksa ang minus bago pa

Ito ang mga ugat, nagtatayo kami ng mga agwat para sa hindi pagkakapantay-pantay:

Interesado kami sa agwat kung saan ang minus sign ay, dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumatagal ng mga negatibong halaga doon, ito ay mula sa parehong kasama. At ngayon binuksan namin ang utak at maingat na nag-iisip: para sa hindi pagkakapantay-pantay ginamit namin ang equation na naglalarawan sa paglipad ng bola, kahit papaano ay lumilipad ito sa isang parabola, ibig sabihin ito ay tumatagal, umabot sa isang rurok at bumagsak, kung paano maunawaan kung gaano ito katagal sa isang altitude ng hindi bababa sa metro? Natagpuan namin ang 2 mga puntos na pagbasag, ibig sabihin ang sandali kapag siya ay umangat sa itaas ng mga metro at ang sandaling bumagsak siya, umabot sa parehong marka, ang dalawang puntong ito ay ipinahayag sa ating bansa sa anyo ng oras, alam namin kung anong segundo ng paglipad ay ipinasok niya ang zona ng interes sa amin (sa itaas ng metro) at kung alin ang iniwan niya (nahulog sa ilalim ng marka ng metro). Ilang segundo siya sa zone na ito? Lohikal na kumukuha kami ng oras ng pag-alis sa zone at ibawas ang oras ng pagpasok ng zone na ito mula rito. Alinsunod dito: - labis na siya ay nasa zone sa itaas ng metro, ito ang sagot.

Napakaswerte mo na ang karamihan sa mga halimbawa sa paksang ito ay maaaring makuha mula sa kategorya ng mga problema sa pisika, kaya mahuli ang isa pa, ito ang pangwakas, kaya itulak ang iyong sarili, may ilan lamang!

Suliranin 5

Para sa isang elemento ng pag-init ng isang tiyak na aparato, ang pag-asa sa temperatura sa oras ng pagpapatakbo ay eksperimentong nakuha:

Nasaan ang oras sa minuto ,. Alam na sa isang temperatura ng elemento ng pag-init sa itaas ng aparato ay maaaring lumala, samakatuwid dapat itong patayin. Hanapin ang pinakamahabang oras pagkatapos simulan ang trabaho upang i-off ang aparato. Ipahayag ang iyong sagot sa ilang minuto.

Kumikilos kami ayon sa isang naka-debug na pamamaraan, lahat ng ibinibigay, unang isinulat namin:

Kinukuha namin ang formula at inihambing ito sa halaga ng temperatura kung saan maaaring maiinit ang aparato hangga't maaari hanggang sa masunog ito, iyon ay:

Ngayon ay pinapalitan namin ang mga numero sa halip na mga titik kung saan kilala ang mga ito:

Tulad ng nakikita mo, ang temperatura sa panahon ng pagpapatakbo ng aparato ay inilarawan ng isang quadratic equation, na nangangahulugang ipinamamahagi kasama ang isang parabola, ibig sabihin ang aparato ay nag-init hanggang sa isang tiyak na temperatura, at pagkatapos ay lumamig. Nakatanggap kami ng mga sagot at, samakatuwid, na may at may mga minuto ng pag-init, ang temperatura ay katumbas ng kritikal, ngunit sa pagitan ng at minuto - mas mataas pa ito kaysa sa limitasyon!

Nangangahulugan ito na kailangan mong patayin ang aparato sa loob ng ilang minuto.

MATHEMATical MODELS. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

Kadalasan, ang mga modelo ng matematika ay ginagamit sa pisika: kung tutuusin, malamang na kabisaduhin mo ang dose-dosenang mga pisikal na pormula. At ang pormula ay ang matematikal na representasyon ng sitwasyon.

Sa OGE at Unified State Exam mayroong mga gawain sa paksang ito lamang. Sa pagsusulit (profile), ito ang problema sa bilang 11 (dating B12). Sa OGE - gawain bilang 20.

Kitang-kita ang solusyon sa solusyon:

1) Kinakailangan na "ihiwalay" ang kapaki-pakinabang na impormasyon mula sa teksto ng kundisyon - kung ano ang sinusulat namin sa ilalim ng salitang "Naibigay" sa mga problema sa pisika. Ang kapaki-pakinabang na impormasyon na ito ay:

• Pormula
• Kilalang pisikal na dami.

Iyon ay, ang bawat titik mula sa formula ay dapat na maiugnay sa isang tiyak na numero.

2) Kinukuha mo ang lahat ng mga kilalang dami at pinalitan ang mga ito sa pormula. Ang hindi kilalang halaga ay mananatili sa anyo ng isang liham. Ngayon ang kailangan mo lang gawin ay malutas ang equation (karaniwang isang medyo simple) at handa na ang sagot.

Well, tapos na ang paksa. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, napakahusay mo.

Dahil 5% lamang ng mga tao ang may kakayahang makabisado ng isang bagay sa kanilang sarili. At kung nabasa mo hanggang sa katapusan, nasa 5% ka na!

Ngayon ang pinakamahalagang bagay.

Naisip mo ang teorya sa paksang ito. At, muli, ito ay ... sobrang super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.

Ang problema ay maaaring hindi ito sapat ...

Para saan?

Para sa matagumpay na pagpasa ng pagsusulit, para sa pagpasok sa instituto sa isang badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.

Hindi kita makukumbinsi sa anuman, sasabihin ko lang sa isang bagay ...

Ang mga taong nakatanggap ng isang mahusay na edukasyon ay kumikita ng higit pa kaysa sa mga hindi pa natatanggap. Ito ang mga istatistika.

Ngunit hindi rin ito ang pangunahing bagay.

Ang pangunahing bagay ay na MAS MASAYA sila (may mga ganoong pag-aaral). Marahil dahil maraming iba pang mga pagkakataon para sa kanila at ang buhay ay magiging mas maliwanag? Hindi ko alam...

Ngunit isipin mo para sa iyong sarili ...

Ano ang kinakailangan upang matiyak na mas mahusay kaysa sa iba pa sa pagsusulit at sa huli ay ... mas masaya?

KUMUHA NG KAMAY, paglulutas ng mga PROBLEMA SA PAKSA NA ITO.

Sa pagsusulit hindi ka tatanungin ng teorya.

Kakailanganin mong lutasin ang mga gawain nang ilang sandali.

At kung hindi mo ito nalutas (Maraming!), Sigurado ka na pupunta sa isang lugar na may kamaliang pagkakamali o simpleng walang oras.

Ito ay tulad ng sa sports - kailangan mong ulitin ito nang maraming beses upang manalo para sigurado.

Humanap ng isang koleksyon kung saan mo gusto, kinakailangan na may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!

Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (opsyonal) at siyempre, inirerekumenda namin ang mga ito.

Upang mapunan ang iyong kamay sa tulong ng aming mga gawain, kailangan mong tulungan na pahabain ang buhay ng librong YouClever na kasalukuyang binabasa mo.

Paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. Ibahagi ang lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito - 299 r
2. I-unlock ang pag-access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa lahat ng 99 na mga artikulo ng tutorial - 999 RUB

Oo, mayroon kaming 99 na mga nasabing artikulo sa aming aklat, at ang pag-access para sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa kanila ay maaaring mabuksan kaagad.

Sa pangalawang kaso bibigyan ka namin simulator "6000 mga problema sa mga solusyon at sagot, para sa bawat paksa, para sa lahat ng mga antas ng pagiging kumplikado." Tiyak na magiging sapat ito upang makakuha ng hawakan sa paglutas ng mga problema sa anumang paksa.

Sa katunayan, ito ay higit pa sa isang simulator - isang buong programa sa pagsasanay. Kung kinakailangan, maaari mo ring gamitin ito nang LIBRE.

Ang pag-access sa lahat ng mga teksto at programa ay ibinibigay para sa buong buhay ng site.

Bilang pagtatapos ...

Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lang isipin ang teorya.

Ang "Naiintindihan" at "Nagagawa kong malutas" ay ganap na magkakaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.

Maghanap ng mga problema at malutas!

Ayon sa aklat ng Sovetov at Yakovlev: "ang isang modelo (lat. Modulus - sukat) ay isang kapalit na bagay para sa orihinal na bagay, na nagbibigay ng pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal." (p. 6) "Ang pagpapalit ng isang bagay sa isa pa upang makakuha ng impormasyon tungkol sa pinakamahalagang mga katangian ng orihinal na bagay gamit ang modelo ng bagay ay tinatawag na pagmomodelo." (p. 6) "Sa pamamagitan ng pagmomodelo sa matematika ibig sabihin namin ang proseso ng pagtataguyod ng pagsusulatan sa isang naibigay na tunay na bagay ng ilang bagay na matematika, na tinatawag na isang modelo ng matematika, at ang pag-aaral ng modelong ito, na nagpapahintulot sa isa na makuha ang mga katangian ng itinuturing na totoong bagay . Ang uri ng modelo ng matematika ay nakasalalay sa parehong likas na katangian ng totoong bagay at mga gawain ng pag-aaral ng bagay at ang kinakailangang pagiging maaasahan at kawastuhan ng paglutas ng problemang ito. "

Panghuli, ang pinaka-madaling maintindihan na kahulugan ng isang modelo ng matematika: "Isang equation na nagpapahayag ng isang ideya."

Pag-uuri ng modelo

Pormal na pag-uuri ng mga modelo

Ang pormal na pag-uuri ng mga modelo ay batay sa pag-uuri ng ginamit na mga tool sa matematika. Kadalasang itinatayo sa anyo ng mga dichotomies. Halimbawa, isa sa mga tanyag na hanay ng mga dichotomies:

atbp. Ang bawat itinakdang modelo ay linear o nonlinear, deterministic o stochastic, ... Naturally, magkahalong mga uri ay posible din: sa isang respeto, puro (sa mga tuntunin ng mga parameter), sa isa pa, ibinahagi na mga modelo, atbp.

Pag-uuri sa pamamagitan ng paraan ng pagpapakita ng bagay

Kasabay ng pormal na pag-uuri, ang mga modelo ay naiiba sa paraan ng pagkatawan ng isang bagay:

• Mga modelo ng istruktura o pagganap

Ang mga modelo ng istruktura ay kumakatawan sa isang bagay bilang isang system na may sariling istraktura at mekanismo ng paggana. Ang mga functional na modelo ay hindi gumagamit ng mga naturang representasyon at ipinapakita lamang ang panlabas na pinaghihinalaang pag-uugali (paggana) ng isang bagay. Sa kanilang matinding ekspresyon, tinatawag din silang mga modelong "itim na kahon." Posible rin ang mga pinagsamang uri ng mga modelo, na kung minsan ay tinatawag na mga modelo na "kulay-abo na kahon."

Malaki at pormal na mga modelo

Halos lahat ng mga may-akda na naglalarawan sa proseso ng pagmomodelo sa matematika ay nagpapahiwatig na ang isang espesyal na perpektong istraktura ay unang itinayo, makabuluhang modelo ... Walang itinatag na terminolohiya dito, at ang ibang mga may-akda ay tumatawag sa ideyal na bagay na ito haka-haka na modelo , haka-haka na modelo o premodel ... Sa kasong ito, ang huling konstruksyon sa matematika ay tinawag pormal na modelo o simpleng modelo ng matematika na nakuha bilang isang resulta ng pormalisasyon ng isang naibigay na makabuluhang modelo (pre-model). Ang pagbuo ng isang makabuluhang modelo ay maaaring gampanan gamit ang isang hanay ng mga handa nang ideyalisasyon, tulad ng sa mekanika, kung saan ang mga perpektong bukal, mahigpit na katawan, mainam na pendulum, nababanat na media, atbp ay nagbibigay ng mga nakahandang elemento ng istruktura para sa makabuluhang pagmomodelo. Gayunpaman, sa mga larangan ng kaalaman kung saan walang ganap na nakumpletong mga pormal na teorya (ang gilid ng pisika, biology, ekonomiya, sosyolohiya, sikolohiya, at karamihan sa iba pang mga lugar), ang paggawa ng mga makabuluhang modelo ay mas mahirap.

Malaking pag-uuri ng mga modelo

Walang teorya sa agham ang napatunayan nang isang beses at para sa lahat. Nilinaw ito ni Richard Feynman:

"Palagi kaming may pagkakataon na tanggihan ang isang teorya, ngunit, pansinin, hindi natin mapatunayan na tama ito. Ipagpalagay na nakapagpalabas ka ng isang mahusay na teorya, kinakalkula kung saan hahantong ito, at nalaman na ang lahat ng mga kahihinatnan nito ay nakumpirma nang eksperimento. Nangangahulugan ba ito na ang iyong teorya ay tama? Hindi, nangangahulugan lamang ito na nabigo kang tanggihan ito. "

Kung ang isang modelo ng unang uri ay naitayo, nangangahulugan ito na pansamantalang kinikilala ito bilang totoo at posible na mag-isip sa iba pang mga problema. Gayunpaman, hindi ito maaaring maging isang punto sa pagsasaliksik, ngunit isang pansamantalang pag-pause lamang: ang katayuan ng isang modelo ng unang uri ay maaaring pansamantala lamang.

Type 2: Modelo ng phenomenological (kumilos na parang…)

Naglalaman ang phenomenological model ng isang mekanismo para sa paglalarawan ng hindi pangkaraniwang bagay. Gayunpaman, ang mekanismong ito ay hindi sapat na nakakumbinsi, hindi sapat na makumpirma ng magagamit na data, o hindi sang-ayon sa mga umiiral na teorya at naipon na kaalaman tungkol sa bagay. Samakatuwid, ang mga phenomenological na modelo ay may katayuan ng pansamantalang mga solusyon. Pinaniniwalaan na ang sagot ay hindi pa rin alam at ang paghahanap para sa "totoong mekanismo" ay dapat magpatuloy. Ang Peierls ay may kasamang, halimbawa, ang modelo ng caloric at ang quark model ng mga elementarya ng elementarya sa pangalawang uri.

Ang papel na ginagampanan ng modelo sa pagsasaliksik ay maaaring magbago sa paglipas ng panahon, maaaring mangyari na ang mga bagong data at teorya ay nagkukumpirma ng mga phenomenological na modelo at maitaguyod ang mga ito sa katayuan ng isang teorya. Gayundin, ang bagong kaalaman ay maaaring unti-unting magkasalungat sa mga modelo ng hipotesis ng unang uri, at ang mga maaaring isalin sa pangalawa. Kaya, ang modelo ng quark ay unti-unting dumadaan sa kategorya ng mga pagpapalagay; Ang atomism sa pisika ay lumitaw bilang isang pansamantalang solusyon, ngunit sa kurso ng kasaysayan ay naipasa sa unang uri. Ngunit ang mga modelo ng ether ay gumawa ng kanilang paraan mula sa uri 1 hanggang uri 2, at ngayon ay nasa labas na sila ng agham.

Ang ideya ng pagpapasimple ay napakapopular kapag nagtatayo ng mga modelo. Ngunit ang pagpapasimple ay naiiba. Ang mga Peierls ay nakikilala ang tatlong uri ng mga pagpapasimple sa pagmomodelo.

Uri 3: Paglalapit (isinasaalang-alang namin ang isang bagay na napakalaki o napakaliit)

Kung posible na bumuo ng mga equation na naglalarawan sa system na pinag-aaralan, hindi ito nangangahulugan na malulutas sila kahit sa isang computer. Ang karaniwang tinatanggap na pamamaraan sa kasong ito ay ang paggamit ng mga approximations (mga modelo ng uri 3). Sa kanila mga modelo ng linear na tugon... Ang mga equation ay pinalitan ng mga linear. Ang isang karaniwang halimbawa ay ang batas ni Ohm.

At narito ang uri 8, malawak na ginagamit sa mga modelo ng matematika ng mga biological system.

Uri 8: Pagpapakita ng posibilidad (ang pangunahing bagay ay upang ipakita ang panloob na pagkakapare-pareho ng posibilidad)

Iniisip din ang mga eksperimento sa mga haka-haka na nilalang, na ipinapakita iyon sinasabing kababalaghan naaayon sa pinagbabatayan na mga prinsipyo at pare-pareho sa panloob. Ito ang pangunahing pagkakaiba mula sa mga modelo ng Type 7, na nagsisiwalat ng mga nakatagong kontradiksyon.

Ang isa sa pinakatanyag na naturang mga eksperimento ay ang geometry ni Lobachevsky (tinawag ito ni Lobachevsky na "haka-haka na geometry"). Ang isa pang halimbawa ay ang malawakang paggawa ng pormal na mga modelo ng kinetic ng kemikal at biological oscillations, autowaves, atbp. Ang Einstein - Podolsky - Rosen kabalintunaan ay ipinaglihi bilang isang uri ng 7 na modelo upang ipakita ang hindi pagkakapare-pareho ng mga mekanika ng kabuuan. Sa isang ganap na hindi planadong paraan, sa paglipas ng panahon, naging isang uri ng modelo ng 8 - isang pagpapakita ng posibilidad ng dami ng teleportasyon ng impormasyon.

Halimbawa

Isaalang-alang ang isang mekanikal na sistema na binubuo ng isang spring na naayos sa isang dulo at isang timbang m nakakabit sa libreng dulo ng tagsibol. Ipagpapalagay namin na ang timbang ay maaari lamang ilipat sa direksyon ng spring axis (halimbawa, ang paggalaw ay nangyayari sa kahabaan ng pamalo). Bumuo tayo ng isang modelo ng matematika ng sistemang ito. Ilalarawan namin ang estado ng system sa pamamagitan ng distansya x mula sa gitna ng pagkarga sa posisyon ng balanse nito. Ilarawan natin ang pakikipag-ugnayan ng tagsibol at pag-load gamit ang batas ni Hooke (F = − kx ) at pagkatapos ay gamitin ang pangalawang batas ni Newton upang ipahayag ito sa anyo ng isang kaugalian sa pagkakatulad:

kung saan nangangahulugang ang pangalawang hango ng x sa pamamagitan ng oras:

Ang nagresultang equation ay naglalarawan sa modelo ng matematika ng isinasaalang-alang pisikal na sistema. Ang pattern na ito ay tinatawag na "harmonic oscillator".

Ayon sa pormal na pag-uuri, ang modelong ito ay linear, deterministic, dynamic, concentrated, tuloy-tuloy. Sa proseso ng pagbuo nito, gumawa kami ng maraming mga pagpapalagay (tungkol sa kawalan ng panlabas na pwersa, kawalan ng alitan, maliit na paglihis, atbp.), Na sa katunayan ay maaaring hindi matupad.

Kaugnay sa katotohanan, madalas itong isang uri ng 4 na modelo. pagpapasimple ("Tinatanggal namin ang ilang mga detalye para sa kalinawan"), dahil ang ilang mahahalagang unibersal na tampok (halimbawa, pagwawaldas) ay tinanggal. Sa ilang mga pamamaraang (sabihin, habang ang paglihis ng pagkarga mula sa balanse ay maliit, na may mababang pagkikiskisan, para sa hindi masyadong mahabang oras at sa ilalim ng ilang ibang mga kundisyon), tulad ng isang modelo ay naglalarawan ng isang tunay na mekanikal na sistema ng maayos, dahil ang mga itinapon na kadahilanan ay may bale-wala ang epekto sa pag-uugali nito ... Gayunpaman, ang modelo ay maaaring pino sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa ilan sa mga salik na ito. Ito ay hahantong sa isang bagong modelo na may isang mas malawak (kahit na limitadong muli) saklaw ng kakayahang magamit.

Gayunpaman, kapag pinino ang modelo, ang pagiging kumplikado ng pananaliksik sa matematika ay maaaring tumaas nang malaki at gawing walang silbi ang modelo. Kadalasan, pinapayagan ng isang mas simpleng modelo ang isang mas mahusay at mas malalim na pag-aaral ng totoong sistema kaysa sa isang mas kumplikadong (at, pormal, "mas tama").

Kung ilalapat natin ang modelo ng harmonic oscillator sa mga bagay na malayo sa pisika, maaaring magkakaiba ang makahulugang katayuan nito. Halimbawa, kapag inilalapat ang modelong ito sa mga biological populasyon, malamang na ito ay maiuri bilang uri 6 pagkakatulad ("Isaalang-alang lamang natin ang ilan sa mga tampok").

Mahirap at malambot na mga modelo

Ang Harmonic Oscillator ay isang halimbawa ng tinatawag na "mahirap" na modelo. Ito ay nakuha bilang isang resulta ng isang malakas na pag-idealize ng isang tunay na pisikal na sistema. Upang malutas ang isyu ng pagkakagamit nito, kinakailangang maunawaan kung gaano kahalaga ang mga salik na pinabayaan natin. Sa madaling salita, kinakailangan upang siyasatin ang "malambot" na modelo, na nakuha ng isang maliit na pagkagambala ng "mahirap" na isa. Maaari itong ibigay, halimbawa, sa pamamagitan ng sumusunod na equation:

Narito ang isang tiyak na pag-andar, na maaaring isaalang-alang ang puwersa ng alitan o ang pagpapakandili ng koepisyent ng tigas ng tagsibol sa antas ng extension nito, ay isang maliit na parameter. Malinaw na pagpapaandar f hindi kami interesado sa ngayon. Kung pinatunayan natin na ang pag-uugali ng malambot na modelo ay hindi naiiba sa panimula ng pag-uugali ng isa (hindi alintana ang malinaw na anyo ng mga nakakaabala na mga kadahilanan, kung ang mga ito ay sapat na maliit), ang problema ay mababawasan sa pag-aaral ng matigas modelo Kung hindi man, ang aplikasyon ng mga resulta na nakuha sa pag-aaral ng matibay na modelo ay mangangailangan ng karagdagang pananaliksik. Halimbawa, ang solusyon ng equic ng harmonic oscillator ay mga pagpapaandar ng form, iyon ay, mga oscillation na may pare-parehong amplitude. Sinusundan ba mula rito na ang isang tunay na oscillator ay makikilos sa isang walang katapusang mahabang panahon na may pare-pareho na amplitude? Hindi, dahil isinasaalang-alang ang isang system na may di-makatwirang maliit na alitan (laging naroroon sa isang tunay na system), nakakakuha kami ng mga basang oscillation. Ang pag-uugali ng system ay nagbago nang malaki.

Kung panatilihin ng isang sistema ang husay na pag-uugali nito sa ilalim ng maliliit na kaguluhan, sinasabing matatag sa istruktura. Ang isang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng isang hindi matatag na istruktura (di-magaspang) na sistema. Gayunpaman, ang modelong ito ay maaaring mailapat sa mga proseso ng pag-aaral sa paglipas ng limitadong agwat ng oras.

Nababago ang laki ng mga modelo

Ang pinakamahalagang mga modelo sa matematika ay karaniwang may isang mahalagang pag-aari unibersalidad: sa panimula magkakaibang mga totoong phenomena ay maaaring inilarawan ng parehong modelo ng matematika. Halimbawa, ang isang maayos na oscillator ay naglalarawan hindi lamang sa pag-uugali ng isang pag-load sa isang tagsibol, kundi pati na rin ng iba pang mga proseso ng oscillatory, madalas na isang ganap na magkakaibang kalikasan: maliit na mga oscillation ng isang pendulum, oscillations ng antas ng likido sa U -hugis na sisidlan o isang pagbabago sa kasalukuyang lakas sa oscillatory circuit. Kaya, sa pag-aaral ng isang modelo ng matematika, pinag-aaralan namin nang sabay-sabay ang isang buong klase ng mga phenomena na inilarawan nito. Ito mismo ang isomorphism ng mga batas na ipinahayag ng mga modelo ng matematika sa iba't ibang mga bahagi ng kaalamang pang-agham na gawa ni Ludwig von Bertalanffy upang lumikha ng isang "Pangkalahatang teorya ng mga sistema".

Direkta at kabaligtaran na mga problema sa pagmomodelo sa matematika

Maraming mga problema na nauugnay sa pagmomodelo sa matematika. Una, kinakailangan upang makabuo ng pangunahing pamamaraan ng naka-modelo na bagay, upang kopyahin ito sa loob ng balangkas ng mga ideyalipikasyon ng agham na ito. Kaya, ang isang kotse ng tren ay nagiging isang sistema ng mga plato at mas kumplikadong mga katawan na gawa sa iba't ibang mga materyales, ang bawat materyal ay itinakda bilang pamantayang mekanikal na ideyalisasyon (density, nababanat na moduli, karaniwang mga katangian ng lakas), pagkatapos kung saan iginuhit ang mga equation, sa daan ang ilang mga detalye ay itinapon bilang hindi gaanong mahalaga, ang mga kalkulasyon ay ginawa, kumpara sa mga sukat, ang modelo ay pino, at iba pa. Gayunpaman, para sa pagpapaunlad ng mga teknolohiya sa pagmomodelo ng matematika, kapaki-pakinabang na i-disassemble ang prosesong ito sa mga pangunahing elemento ng nasasakupan nito.

Ayon sa kaugalian, mayroong dalawang pangunahing klase ng mga problema na nauugnay sa mga modelo ng matematika: direkta at kabaligtaran.

Direktang gawain: ang istraktura ng modelo at lahat ng mga parameter nito ay itinuturing na kilala, ang pangunahing gawain ay upang magsagawa ng isang pag-aaral ng modelo upang makuha ang kapaki-pakinabang na kaalaman tungkol sa bagay. Anong static load ang makatiis ng tulay? Ano ang magiging reaksyon nito sa isang pabuong pag-load (halimbawa, sa martsa ng isang kumpanya ng mga sundalo, o sa daanan ng isang tren na walang iba't ibang bilis), kung paano malalampasan ng isang eroplano ang tunog na hadlang, kung mahulog ito mula sa pag-flutter - ito ang mga tipikal na halimbawa ng isang direktang gawain. Ang pagtatakda ng tamang direktang problema (pagtatanong ng tamang tanong) ay nangangailangan ng espesyal na kasanayan. Kung ang mga tamang katanungan ay hindi tinanong, ang tulay ay maaaring gumuho, kahit na ang isang mahusay na modelo ay binuo para sa pag-uugali nito. Kaya, noong 1879 sa Inglatera ay bumagsak ang isang tulay na metal sa Tay, na ang mga tagadisenyo ay nagtayo ng isang modelo ng tulay, kinakalkula ito para sa isang 20-tiklop na kadahilanan para sa kargamento, ngunit nakalimutan ang tungkol sa hangin na patuloy na humihip sa mga lugar na iyon. At makalipas ang isang taon at kalahati, gumuho ito.

Sa pinakasimpleng kaso (isang oscillator equation, halimbawa) ang direktang problema ay napaka-simple at binabawasan sa isang malinaw na solusyon ng equation na ito.

Kabaligtaran problema: maraming mga posibleng modelo ang kilala, kailangan mong pumili ng isang tukoy na modelo batay sa karagdagang data tungkol sa bagay. Kadalasan, ang istraktura ng modelo ay kilala at ang ilang mga hindi kilalang mga parameter ay kailangang matukoy. Ang karagdagang impormasyon ay maaaring binubuo sa karagdagang data ng empirical, o sa mga kinakailangan para sa object ( hamon sa disenyo). Ang karagdagang data ay maaaring dumating nang nakapag-iisa sa proseso ng paglutas ng kabaligtaran na problema ( passive surveillance) o maging resulta ng isang espesyal na nakaplanong eksperimento ( aktibong pagsubaybay).

Ang isa sa mga unang halimbawa ng isang virtuoso solution ng kabaligtaran na problema sa may pinakamaraming posibleng paggamit ng magagamit na data ay ang pamamaraan ng pagpapanumbalik ng mga puwersa ng alitan mula sa mga naobserbahang dampal na oscillation, na itinayo ni I. Newton.

Karagdagang mga halimbawa

kung saan x s - Laki ng populasyon na "balanse", kung saan ang pagkamayabong ay eksaktong binabayaran ng pagkamatay. Ang laki ng populasyon sa naturang modelo ay may kaugaliang halaga ng balanse x s at ang ugaling ito ay matatag sa istraktura.

Ang sistemang ito ay may isang estado ng balanse kung ang bilang ng mga rabbits at foxes ay pare-pareho. Ang paglihis mula sa estado na ito ay humahantong sa mga pagbabago-bago sa bilang ng mga rabbits at foxes, na kahalintulad ng mga pagbagu-bago sa harmonic oscillator. Tulad ng kaso ng harmonic oscillator, ang pag-uugali na ito ay hindi matatag sa istraktura: isang maliit na pagbabago sa modelo (halimbawa, isinasaalang-alang ang limitadong mga mapagkukunan na kinakailangan ng mga kuneho) ay maaaring humantong sa isang husay na pagbabago sa pag-uugali. Halimbawa, ang isang estado ng balanse ay maaaring maging matatag, at ang mga pagbabagu-bago ng bilang ay mawawala. Posible rin ang kabaligtaran na sitwasyon, kapag ang anumang maliit na paglihis mula sa posisyon ng balanse ay hahantong sa mga mapaminsalang kahihinatnan, hanggang sa kumpletong pagkalipol ng isa sa mga species. Ang modelo ng Volterra-Lotka ay hindi nagbibigay ng isang sagot sa tanong kung alin sa mga senaryong ito ang napagtanto: kinakailangan ng karagdagang pananaliksik dito.

Mga tala

1. "Isang representasyong matematika ng katotohanan" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Sa mga pilosopong isyu ng pagmomodelo sa cybernetic. M., Kaalaman, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng System: Teksbuk. para sa mga unibersidad - ika-3 ed., rev. at idagdag. - M.: Mas mataas. shk., 2001 .-- 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarskiy A.A., Mikhailov A.P. Pagmomodelo sa matematika. Mga Ideya Paraan. Mga halimbawa. ... - 2nd ed., Rev .. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - Ika-3 ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wiktionary: modelo ng matematika
7. Mga CliffNote
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approach para sa Multiscale Phenomena, Springer, kumplikadong serye, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. "Ang isang teorya ay itinuturing na linear o nonlinear, nakasalalay sa kung ito ay isang linear o nonlinear matematika na patakaran ng pamahalaan, at kung anong uri ng linear o nonlinear na mga modelo ng matematika ang ginagamit nito. ... Nang walang pagwawaksi sa huli. Ang isang modernong pisisista, kung muling nilikha niya ang isang kahulugan ng isang mahalagang kakanyahan bilang hindi linyaridad, malamang, ay kumilos nang iba, at, ginugusto ang hindi linyaridad bilang mas mahalaga at laganap ng dalawang magkasalungat, ay tutukoy sa linearity bilang 'hindi nonlinearity' . " Danilov Yu.A., Mga lektura sa hindi linear na dynamics. Isang panimula sa elementarya. Serye na "Synergetics: mula sa nakaraan hanggang sa hinaharap". Edisyon 2. - M.: URSS, 2006 .-- 208 p. ISBN 5-484-00183-8
10. "Ang mga sistemang dinamika na na-modelo ng isang may hangganan na bilang ng mga ordinaryong kaugalian sa pagkakatulad ay tinatawag na mga lumped o point system. Inilarawan ang mga ito gamit ang isang may hangganan na dimensional na puwang ng yugto at nailalarawan sa isang may hangganang bilang ng mga degree ng kalayaan. Ang isa at ang parehong sistema sa ilalim ng iba't ibang mga kundisyon ay maaaring isaalang-alang alinman sa puro o bilang ipinamahagi. Ang mga modelo ng matematika ng mga ipinamamahagi na system ay bahagyang mga pagkakatulad na equation, integral na mga equation, o ordinaryong mga equation na may isang lagging argument. Ang bilang ng mga degree ng kalayaan ng isang ipinamamahagi na system ay walang hanggan, at isang walang katapusang halaga ng data ang kinakailangan upang matukoy ang estado nito. " Anischenko V.S., Dynamical system, Soros educational journal, 1997, blg. 11, p. 77-84.
11. "Depende sa likas na katangian ng mga napag-aralan na proseso sa S system, ang lahat ng mga uri ng pagmomodelo ay maaaring nahahati sa deterministic at stochastic, static at dynamic, discrete, tuluy-tuloy at discrete-tuloy. Ang deterministikong pagmomodelo ay nagpapakita ng mga deterministikong proseso, iyon ay, mga proseso kung saan ipinapalagay ang kawalan ng anumang mga random na impluwensya; ipinapakita ng stochastic modeling ang mga probabilistic na proseso at kaganapan. ... Ang static na pagmomodelo ay ginagamit upang ilarawan ang pag-uugali ng isang bagay sa anumang punto sa oras, habang ang dinamikong pagmomodelo ay sumasalamin sa pag-uugali ng isang bagay sa oras. Ginagamit ang discrete modeling upang ilarawan ang mga proseso na ipinapalagay na discrete, ayon sa pagkakabanggit, pinapayagan ka ng tuluy-tuloy na pagmomodelo na ipakita ang mga patuloy na proseso sa mga system, at ang discrete-tuloy na pagmomodelo ay ginagamit para sa mga kaso kung nais mong i-highlight ang pagkakaroon ng parehong discrete at tuluy-tuloy na proseso. " Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng System: Teksbuk. para sa mga unibersidad - ika-3 ed., rev. at idagdag. - M.: Mas mataas. shk., 2001 .-- 343 p. ISBN 5-06-003860-2
12. Kadalasan, ang modelo ng matematika ay sumasalamin sa istraktura (aparato) ng simulate na bagay, mga katangian at ugnayan ng mga bahagi ng bagay na ito na mahalaga para sa mga hangarin sa pagsasaliksik; ang ganitong modelo ay tinatawag na istruktural. Kung ang modelo ay sumasalamin lamang kung paano gumana ang isang bagay - halimbawa, kung paano ito tumutugon sa panlabas na impluwensya - pagkatapos ito ay tinatawag na functional o, sa makasagisag, isang itim na kahon. Posible rin ang mga pinagsamang modelo. Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - Ika-3 ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
13. "Isang halata, ngunit ang pinakamahalagang paunang yugto ng pagbuo o pagpili ng isang modelo ng matematika ay nakaklilinaw hangga't maaari ng isang ideya tungkol sa naka-modelo na bagay at paglilinaw ng makabuluhang modelo batay sa impormal na mga talakayan. Ang isa ay hindi dapat magtipid ng oras at pagsisikap sa yugtong ito, ang tagumpay ng buong pag-aaral ay higit na nakasalalay dito. Nangyari ito nang higit sa isang beses na ang makabuluhang gawaing ginugol sa paglutas ng isang problema sa matematika ay naging hindi epektibo o nasayang pa dahil sa hindi sapat na pansin sa bahaging ito ng bagay. " Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - Ika-3 ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
14. « Paglalarawan ng konsepto ng konsepto ng system. Sa sub-yugto na ito ng pagbuo ng isang modelo ng system: a) ang modelong pang-konsepto M ay inilarawan sa mga abstract na termino at konsepto; b) isang paglalarawan ng modelo ay ibinibigay gamit ang mga tipikal na matematika na iskema; c) mga pagpapalagay at palagay ay sa wakas ay tinanggap; d) pinatutunayan ang pagpili ng mga pamamaraan para sa approximating tunay na proseso kapag pagbuo ng isang modelo. " Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng Sistema: Teksbuk. para sa mga unibersidad - ika-3 ed., rev. at idagdag. - M.: Mas mataas. shk., 2001 .-- 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.